caracterizacion fractomecanica probabilistica de aleaciones

CONAMET/SAM-SIMPOSIO MATERIA 2002
CARACTERIZACION FRACTOMECANICA PROBABILISTICA
DE ALEACIONES BASE COBRE
G. Díaz, E. Donoso y A. Varschavsky
Universidad de Chile, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Núcleo de Ingeniería de los
Materiales, IDIEM, Casilla 1420, Santiago, Chile,
e-mail: gediaz@cec.uchile.cl, edonoso@cec.uchile.cl, avarschav@cec.uchile.cl
RESUMEN
Se presenta un modelo de caracterización fractomecánica probabilística aplicable a materiales que
presentan un comportamiento dúctil a la fractura, como es el caso de gran número de aleaciones base
cobre. Se emplean como variables aleatorias las tensiones de fractura, las tensiones de fluencia, el límite
elástico y el factor de intensidad crítico de tensiones en modo I. como variable aleatoria. Cuando el
tratamiento probabilístico se hace sobre las tensiones de fractura de materiales dúctiles hay que estudiar
qué tipo de función de distribución de probabilidad se ajusta a los datos experimentales. Se emplearon las
funciones de distribución de probabilidad acumulativa de Weibull. Se estimaron los parámetros de
Weibull mediante mínimos cuadrados. Se estudió además el efecto de tamaño. Se estimaron las
dispersiones de los parámetros de las funciones de distribución de probabilidad usando la matriz de
información de Fischer. Finalmente, la caracterización probabilística queda definida a través de los
parámetros de las funciones de distribución de probabilidad y de sus respectivas dispersiones.
Palabras claves: Fractura, Weibull, Probabilidad de fractura, Aleaciones.
1. INTRODUCCION
El tratamiento probabilístico de materiales o la
Resistencia Probabilística de Materiales obedece a
la imposibilidad de caracterizar unívocamente a un
material considerando valores de propiedades
características
con
dispersión
nula.
Como
propiedades características pueden mencionarse las
tensiones de fractura, las tensiones de fluencia, el
factor de intensidad crítico de tensiones en sus
diversos modos, entre otros. Aun cuando los
métodos de medición han adquirido gran
sofistificación
y
refinamiento
mejorando
la
precisión y la exactitud de las medidas
experimentales, no deja de estar presente el
fenómeno de la dispersión de los resultados.
Tomando cuenta de ello Weibull [1] propuso el
análisis
estadístico
de
los
resultados
experimentales de fractura de materiales frágiles,
el cual se extendió posteriormente a los materiales
que presentan comportamiento dúctil a la fractura.
En el primero de éstos, es decir, en los materiales
frágiles, la variable aleatoria a cons iderar es la
tensión de fractura, mientras que en los segundos
se ha empleado como variable aleatoria las
tensiones de fluencia. De esta forma, los resultados
experimentales quedan descritos a través de
funciones de distribución de probabilidad. Estas
funciones de distribución de probabilidad están
definidas por medio de un determinado número de
parámetros y será la evidencia experimental la que
señale cuántos correspondan para cada caso
particular. La diversidad de aplicaciones y los
métodos de determinación de parámetros pueden
encontrarse en Kittl y Díaz [2]. Para una
solicitación cualquiera, en un cierto material, la
rapidez de aplicación de las cargas externas
también tiene influencia sobre las funciones de
distribución de probabilidad. En [3] se discut e
respecto de la aplicabilidad de modelos que
utilizan las funciones de distribución de Weibull
cuando
las
cargas
externas
se
aplican
paulatinamente.
En
la
estimación
de
los
parámetros que describen a las funciones de
distribución de probabilidad se han ut ilizado tanto
métodos analíticos como métodos gráficos, estos
últimos presentan la ventaja de la sencillez de su
aplicación según mostraran León y Kittl [4]. Junto
a lo anterior, el efecto del tamaño de las muestras
ensayadas
sobre
las
variables
aleatorias
características
también
ha
sido
tratado,
considerando diversas funciones de distribución de
probabilidad [5]. Desde un punto de vista
experimental son variados los materiales que se
han caracterizado mediante un análisis estadístico,
entre ellos puede mencionarse a los morteros de
cemento [6] y a los vidrios [7,8] los cuales
presentan un comportamiento frágil a la fractura,
determinándose en ellos la forma de las funciones
de distribución de probabilidad con sus respectivos
parámetros. En el caso de los vidrios se desarrolló
un método simplificado para determinar el factor
de intensidad crítico de tensiones en modo I, sin
generar por fatiga la grieta inductora de la fractura
[7]. No basta con estimar los parámetros de las
funciones de distribución de probabilidad, hay que
estimar, además, sus respectivas dispersiones [2].
Mediante la matriz de información de Fischer es
posible estimar tales dispersiones. Luego, no sólo
hay variabilidad en las tensiones o propiedades
características de los materiales, que podemos
representar mediante sus valores medios y sus
respectivas dispersiones, sino que también los
parámetros de las funciones de distribución de
probabilidad presentan dispersión. Para que tengan
validez estadística los resultados obtenidos a partir
del ensayo de una cierta cantidad de probetas es
necesario contar con un cierto número mínimo de
ellas. Lo anterior impone, en ocasiones, severas
restricciones a la ejecución de ensayos. Por tal
razón se han desarrollado métodos de simulación
que permiten la est imación de los parámetros de
las funciones de distribución de probabilidad junto
a sus respectivas dispersiones [9]. En el caso de
materiales como las aleaciones base cobre, con
comportamiento dúctil a la fractura, además de
considerar como propiedad aleatoria las tensiones
de fluencia, con sus valores superior e inferior, es
posible también emplear otras propiedades para ser
analizadas desde un punto de vista probabilístico,
entre ellas las tensiones de fractura, las tensiones
de pasaje desde el rango lineal elástico al rango
plástico y el factor de intensidad crítico de
tensiones en modo I. Un trabajo previo [10] mostró
que el factor de intensidad crítico de tensiones en
modo I en láminas de cobre 99.99% y en láminas
de cobre con 15% de zinc seguían funciones de
distribución de probabilidad acumulativa de
Weibull.
2. FUNDAMENTOS
El objetivo de este trabajo es la formulación de un
modelo teórico que permita la caracterización
fractomecánica probabilística de aleaciones base
cobre sometidas a ensayos de tracción uniaxial
constante, determinar los valores medios con sus
dispersiones de propiedades características como
fractura, fluencia, límite elástico y factor de
intensidad crítico de tensiones en modo I,
determinar el efecto de tamaño, determinar los
parámetros de las funciones de distribución de
probabilidad
acumulativa
y
sus
respectivas
dispersiones y determinar modificaciones en los
parámetros al incorporar niveles de tolerancia
admisibles en las probabilidades acumulativas.
 σ 

φ( σ) = 

 σ0 
Sea un sólido homogéneo y de geometría arbitraria
sometido a un sistema de cargas externas que
generan un campo de tensión constante al interior
del material. La probabilidad de que no ocurra un
cierto evento aleatorio, que puede ser o la tensión
de fractura, o la tensión de fluencia, o el límite
elástico de tensión o el factor de intensidad crítico
de tensiones en modo I, se determina a partir del
teorema del producto de las probabilidades de
eventos independientes. Para ello considérese una
división arbitraria del volumen total del sólido, V,
en dos volúmenes disjuntos V1 y V2. Sin perder
generalidad utilicemos σ para representar al evento
aleatorio. Luego, la probabilidad de que no ocurra
el evento aleatorio σ en el volumen V es igual al
producto de las probabilidades de que no ocurra el
evento aleatorio ni en V1 ni en V2, es decir:
~F(V = V + V , σ) = ~F(σ, V ) ~
1
2
1 F(σ, V2 )
~F = 1 − F
(1)
~
F es
donde
la probabilidad acumulativa de que no
ocurra el evento aleatorio σ. La ecuación (1) es la
ecuación
fundamental
de
la
resistencia
probabilística de materiales y su solución, para el
caso de un campo de tensiones uniaxial constante
está dada por:
F (σ, V) = 1 − e xp {−
V
φ(σ)}
Vo
(2)
donde V0 es la unidad de volumen y φ es la
función riesgo específico de Weibull. La ecuación
(2) es la función de distribución de probabilidad
acumulativa de Weibull. Generalmente, los datos
experimentales se ajustan bastante bien a
funciones riesgo específico de dos y de tres
parámetros:
m

σ − σL m
)
φ( σ) = ( σ

o
φ( σ) = 0

σ ≥0
σL < σ ≤ ∞
(3)
(4)
0 ≤ σ ≤ σL
donde los parámetros m, σ0, σL son parámetros que
se determinan a partir de los datos experimentales
y son representativos del proceso de génesis o del
proceso de fabricación de los materiales.
3. VALORES MEDIOS Y DISPERSIONES
Al disponer de una muestra de N valores
experimentales de las variables aleatorias se
pueden determinar sus valores medios
respectivas dispersiones
σ=
1
N
σ
y sus
N
σi
∑
i=1
1
N
∆σ =
∆σ :
(5)
N
(σi − σ) 2
∑
i =1
(6)
Para el caso de una función riesgo específico de
Weibull de dos parámetros las expresiones que se
obtienen para el valor medio y para la dispersión
cuando N → ∞ son:
∞
−
∫ (σ − σ)
ln ξ 2 ( σ) = lnξ1 ( σ) + ln
1/ 2
2
1 
2
Γ(1 + m ) − Γ (1 + m ) 


∞
m−1 −x
e
dx = Γ(m)
(9)
0
Luego, la dispersión respecto de la media tiene la
siguiente expresión:
∆σ
=
σ
(Γ(1 +
2
1 1/2
) − Γ 2 (1 + ))
m
m
1
Γ(1 + )
m
(10)
Ahora, para el caso de una función riesgo
específico de tres parámetros el valor medio y la
dispersión son, respectivamente
1
σ = σo (
(14)
(8)
donde Γ es la función gamma de Euler:
∫x
1
V
=
φ (σ)
1 − F(σ ) V0
dσ
1
 V  m

= σ0 

 V0 
ξ( σ) = ln
Cualquiera sea la forma de la función riesgo
específico de Weibull, de dos o de tres parámetros,
si se tienen dos conjuntos de muestras de
volúmenes V1 y V2, se obtiene:
2 dF dσ =
0
−
La ecuación (2) puede rescribirse de la siguiente
manera:
(7)
∞
∆σ =
Se denomina efecto de tamaño a la posibilidad de
inferir el comportamiento mecánico de un material
de volumen V2 si se conoce su comportamiento
para un volumen V1. En este caso, conocer el
comportamiento mecánico significa conocer los
parámetros de la función de distribución de
probabilidad acumulativa de Weibull.
1
 V  m
dF
1

σ = σ dσ = σ0 
Γ(1 + )

dσ
m
 V0 
∫0
4. EFECTO DE TAMAÑO
V −m
1
)
Γ(1 + ) + σ L
Vo
m
(11)
1
V − 
2
1 1 / 2
∆σ = σ0 ( ) m Γ(1+ ) − Γ2 (1 + )
Vo
m
m 

(12)
Mientras que la dispersión respecto del valor
medio está dada por:
2
1  1/2

2
Γ(1 + m ) − Γ (1 + m ) 
∆σ

=
1
σ − σL
Γ(1 + )
m
(13)
V2
V1
(15)
Si se grafica lnξ(σ) versus lnσ se obtiene el
diagrama de Weibull. Luego, la ecuación (15)
muestra que si se conoce el diagrama de Weibull
para la muestra de volumen V1 se puede obtener el
diagrama de Weibull para la muestra de volumen
V2 mediante una traslación paralela del primero de
ellos.
5. ESTIMACION DE PARAMETROS
El primer método de estimación de los parámetros
de la función de Weibull fue propuesto por él
mismo. En este método, Weibull hacía pasar la
recta que mejor se ajustara a los datos
experimentales
dispuestos
en
un
diagrama,
diagrama que posteriormente pasó a llamarse
diagrama de Weibull. De este modo, con la recta
de mejor ajuste pudo estimar los parámetros m y
σ0 , para el caso particular de una función de
riesgo de dos parámetros.
Un segundo método, que puede emplearse en la
estimación de parámetros, es el método de
mínimos cuadrados. Es un método más general por
cuanto permite estimar parámetros en funciones de
riesgo específico de Weibull de dos y tres
parámetros, a partir de un ajuste mínimo
cuadrático a los datos experimentales dispuestos
en un diagrama de Weibull. Se presentan dos
variantes para este método, mínimos cuadrados
lineales y mínimos cuadrados no lineales. Para
simplificar la exposición sólo se tratará el primero.
La función de Weibull de tres parámetros puede
escribirse de la siguiente manera:

1 
V
y = ln ξ( σ) = ln l n
)
 = m ln ( σ − σ L ) + ln (
Voσ mo
 1 − F( σ) 
(16)
A partir de un conjunto de datos experimentales de
valores del evento aleatorio para un material
similarmente fabricado y sometido a un estado de
tensión
constante
éstos
deben
ordenarse
ascendentemente. Si, a continuación, se utiliza
como estimador de la probabilidad acumulativa del
evento aleatorio aquél que ha demostrado tener
menor sesgo, entonces el modelo lineal es:


1
V
y i = ln  ln
= m l n ( σ i − σ L ) + ln (
) + εi
(i −0. 5 ) 
Vo σ mo
 1 − n 
(17)
donde E(εi) = 0, E es el operador esperanza
matemática y εi es el error producto de la
diferencia entre el valor observado de F(σi) y el
valor esperado. Luego, los estimadores de mínimos
cuadrados que maximizan el coeficiente de
correlación ρ son
m̂S =
∑
m̂ S , σ̂ 0S y σ̂ LS . Por lo tanto:
y il n (σi − σˆ LS ) − 1
n
i
∑
i
∑ ∑
yi
 ∂ 2 ln f (σ ; m, σ , σ ) 
i
0 L 
rij = − E 
∂θi ∂θ j


{θ} = {m, σ0 , σ L }
(19)
∞
∫0
E( g) = g(σ)
En esta matriz, posterior a su inversión, quedan las
varianzas, en la diagonal, y las covarianzas de los
estimadores, expresadas como (1/n) R-1. Para el
caso particular de un material sometido a un estado
de tensión constante con función riesgo específico
de Weibull de tres parámetros, los elementos de la
matriz de Fischer son:
1
V
V
(1.82379 − 0.84555 l n( ) + ln 2 ( ))
V0
V0
m2
1
V
r12 = −
(0.42277− l n( ))
σ0
V0
r11 =
1
1 V m
r13 =
( )
σ0 V0
2
r22 =
l n (σi − σˆ LS )
dF
dσ
dσ
1
1
1
1
1
V 
 Γ(1 − ) − Γ' (2 − ) + (1 − )Γ (1 − ) l n( )
m
m
m
m
V0 
 m
m
σ 20
i


l n 2 (σi − σˆ LS ) − 1 
n


1
 V
σˆ 0S = 
exp[ −
V
n
0

∑
∑
i
i
1
2


l n (σi − σˆ LS )

m̂
yi + S
n
∑
(18)
σ̂0 S , σ̂ LS )
m 2
1 V
1
) (1− )( ) m Γ(1− )
σ
m V0
m
r33 = (
m −1 2 V m
2
) ( ) Γ(1 − )
σ0
V0
m
2
 1
 m̂
l n( σ i − σ
ˆ LS)] S

i
σˆ LS = σˆ LL
donde ρ( m̂ S ,
r23 = (
(20)
Las
ecuaciones
anteriores
(20)
permiten
determinar la dispersión de cada uno de los
parámetros. Este método exige que la matriz de
Fischer sea semidefinida positiva e invertible.
es máximo. Bajo el
supuesto de un modelo lineal los estimadores de
mínimos cuadrados que se obtienen son insesgados
de varianza mínima.
6. DISPERSION DE LOS PARAMETROS
Una vez estimados los parámetros de la función
riesgo específico de Weibull pueden estimarse las
dispersiones asociadas a cada uno de ellos, de tal
forma que cada parámetro se exprese en términos
de su valor medio estimado más la dispersión del
mismo. Cuando se tiene grandes muestras, o
muestras estadísticamente válidas para estimar los
parámetros,
los
estimadores
de
máxima
verosimilitud se distribuyen aproximadamente a
través de una distribución normal multivariada con
valores medios m, σ0 y σL. Esta última función
tiene una matriz de información de Fischer R,
simétrica, que es una forma cuadrática, cuyos
elementos están dados por:
7. DISEÑO PROBABILISTICO
En diseño probabilístico no basta con conocer la
probabilidad acumulativa F de un cierto evento
aleatorio, hay que asignarle, además, una
tolerancia ∆F. Aquí se considerará sólo cambios en
el parámetro m producto de la incorporación de la
tolerancia en el diseño. A fin de simplificar y sin
perder generalidad, consideremos una función
riesgo específico de Weibull de sólo un parámetro,
m, es decir, φ( σ) = σ m . Por lo tanto, un incremento
∆F>0 en la probabilidad acumulativa F del evento
aleatorio implica un incremento ∆m para m.
Luego, la expresión de la probabilidad acumulativa
queda:
{
F + ∆F = 1 − exp − σ m + ∆m
}
Al considerar lo anterior la tasa de variación ∆m/m
está dada por:
(21)
∆m
=
m

1

l nln (
)
 1 − ( F + ∆F)  − 1
1 

l n l n (
)
 1 −F 
(22)
De manera análoga se obtienen las tasas de
variación para los otros parámetros.
8. RESULTADOS PRELIMINARES
El
formalismo
aquí
descrito
permite
la
caracterización probabilística, ya iniciada, en
aleaciones base cobre. Se ha observado, para cobre
puro y para cobre con 15% de zinc, funciones de
distribución de Weibull al considerar como evento
aleatorio el factor de intensidad crítico de
tensiones en modo I. El método expuesto presenta
la ventaja adicional de ser extensible a otro tipo de
aleaciones.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen al Fondo Nacional de
Desarrollo Científico y Tecnológico, FONDECYT,
por el proyecto Nº 1020127.
REFERENCIAS
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