Física Cuántica D.Sc. D.Sc.Ing. Ing.Benjamín BenjamínBarán Barán Prof. Prof.Titular Titularde deFÍSICA FÍSICAIIII Facultad Facultad de deIngeniería Ingeniería Universidad Universidad Nacional Nacionalde deAsunción Asunción E.mail: bbaran@cnc.una.py Introducción Histórica Max Planck “Radiación de un cuerpo negro“ Albert Einstein “Efecto Fotoeléctrico“ Niels Bohr propone su “modelo atómico“ R.A. Millikan mide h Efecto Compton Louis de Broglie propone un “comportamiento ondulatorio de las partículas“ 1927 C.J. Davisson y L.H. Germer de Bell Telephone experimentan difracción de electrones 1925 Erwin Schrödinger propone “Ecuación de ondas“ 1927 “Principio de Incertidumbre” de Wemer Heisemberg 1900 1905 1913 1916 1923 1924 Radiación de un Cuerpo Negro I(f,T) [w/Hz.m2] T1 T2 T3 f [Hz] Teoría clásica de la radiación: I(f,T) = Cte. k.T.f2 ...... donde la constante de Boltzman k = 1.38x10-23 [J°K] Teoría de Planck: Hipótesis: osciladores de energía discreta En = n. h.f; n = 0,1,2, ... I(f,T) = Cte.f3 / (1 - ehf-kT) ...... donde la constante de Planck h = 6.63x10-34 [J.s] Efecto Fotoeléctrico Luz con potencia P I I [A] P2 P1 f Potencial V RESULTADOS EXPERIMENTALES •El potencial de corte solo depende de la frecuencia f de la luz y no de su intensidad o potencia P de la luz. •Al aumentar la potencia P de la fuente de luz, se aumenta I, pero no se varía el potencial de corte. Postulado de Einstein: fotones con E = h.f Ejemplo 1: ¿cuántos fotones por segundo emite una fuente monocromática de luz verde-amarilla (5.500 A°) de 25 w? E = P.t = N. h.f = N. h.c / λ N = λ. P.t / h.c = 7 x 1020 fotones 25 w Efecto Compton (1923) (choque elástico de un fotón y un electrón) E’ = h.f’ p’ = E’ / c E = h.f p=E/c φ E=0 p=0 E = mv2/2 p=0 La onda (de rayos X) dispersada por el grafito sale con una frecuencia menor f’(φ) que depende del ángulo φ λ‘ - λ = ( h / m.c) (1 - cos φ) Producción y Aniquilación de Pares hf = E- + E+ E = h.f p=E/c E=0 p=0 E- E=0 p=0 E- e- E+ e+ eE = h.f p=E/c E+ e+ Ondas de De Broglie (1924) “ La naturaleza dual (onda-partícula) de la luz, también se manifiesta en la materia” p = E / c = h.f / λ.f = h / λ electrón: e- 106 m/s λ=h/p λ = 7.3 x 10-10 m 40 m/s λ = 8.3 x 10-36 m pelota: 2 kg 1927 C.J. Davisson y L.H. Germer de Bell Telephone realizan experimentos con difracción de electrones Principio de Incertidumbre de Heisenberg “Al medir una partícula, se modifica su estado por lo que existe un límite hasta donde se puede conocer su posición y cantidad de movimiento, simultáneamente.” Δp.Δx > h/4π ΔE.Δt > h/4π v fotón de observación Ecuación de Schrödinger -h2 2m ( ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ ∂x2 ∂y2 ∂z2 ) ∂Ψ +V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h ∂t i = (-1)1/2 h = h / 2π ψ(x,y,z,t) ... función (compleja) de onda V(x,y,z) ... función de energía potencial |ψ (x,y,z,t) |2 ... puede entenderse como la probabilidad de encontrar la partícula en estudio en las coordenadas x,y,z,t. Ecuación estacionaria de Schrödinger Solución unidimensional: -h2 2m Ψ(x,t) = Ψ(x) e -iEt / h d2Ψ dx2 ( ) +VΨ=EΨ Solución cuando V= 0 Ψ(x) = Α e ikx + B e-ikx (2mE)1/2 con k = h Pozo infinito de Energía E Condiciones de frontera: Ψ(x=0) = Ψ(x=L) = 0 entonces: Ψ(x) = A sen( kx ) kL = nπ de donde: y como: E= L kL= n2 E1 p = h /λ = h k con E1 = p1 = h 2L (2mE)1/2 L = nπ h h2 8 m L2 y pn = n p1 x como: Ψ(x) = A sen( kx ) ∞ Recordando que: ∫-∞ Ψ(x) 2 dx = 1 L ∫ A2 sen2( kx ) dx = 1 A = (2/L)1/2 0 Finalmente,para el estado base: Ψ(x) = (2/L)1/2 sen( n k1x ) Notar que Δ x ∼ L/2 mientras Δx Δp ∼ h/4 (2mE1)1/2 con k1 = h Δ p ∼ h/2L por lo que Ejemplo: Ejemplo EFECTO TUNEL V v x a Mecánica Clásica Mecánica Cuántica: b x < a; P(x>b) = 0 P(x>b) > 0 Solución del EFECTO TUNEL Para 0 ≤ x ≤ a : -h2 2m Separación de variables: -h2 2m d2Ψ d x2 ∂2Ψ ∂x2 ( ) Ψ(x,t) = Ψ(x) e ( )=E Ψ(x) = Α e ikx + B e-ikx ∂Ψ = i.h ∂t -iEt / h Ψ (2mE)1/2 con k = h Finalmente: Ψ1(x,t) = Α ei(kx-wt) + B e-i(kx+wt) con ω = E / h Para a ≤ x ≤ b : -h2 2m ∂2Ψ ∂x2 ( ) + V Ψ = i.h ∂Ψ ∂t Ψ2(x,t) = C ei( k2 x – w t) + D e-i(k2 x + w t) ( 2m(V-E) )1/2 con k2 = h Condición de borde: Ψ1(a,t) = Ψ2(a,t) De donde C y D no pueden ser simultáneamente nulos Entonces, Ψ2(b,t) no es nulo Para x ≥ b : -h2 2m ∂2Ψ ∂x2 ( ) ∂Ψ = i.h ∂t Ψ3(x,t) = F ei(kx-wt) + G e-i(kx+wt) Condición de borde: Ψ2(b,t) = Ψ3(b,t) De donde F y G no pueden ser simultáneamente nulos, por lo que existe alguna probabilidad mayor que cero de encontrarse en esta región. Conclusiones • La Física Clásica es una buena aproximación de la realidad para el mundo macroscópico, debido a la pequeña granularidad de la naturaleza (h=6.63x10-34 [J.s]). • Todo lo conocido en la naturaleza, ondas y partículas, presentan una dualidad onda-partícula. • Existe un límite impuesto por la misma naturaleza para el conocimiento cinemático y dinámico de una partícula (Principio de Incertidumbre de Heisenberg). • El estudio de la naturaleza solo puede hacerse en forma probabilística (Función de onda ψ ).