Análisis Financiero de Riesgos

Finanzas II –Taller de Finalización de Semestre - Riesgo, rendimiento y carteras de inversión
El objetivo principal del presente taller es la preparación de un informe por cada grupo conformado, el que contendrá el
desarrollo de todos los ejercicios (10) que se presentan y para lo cual se basarán en las ejemplificaciones que se presentan en
el documento.
I. Formalidades del informe a preparar
a. Documento en formato Word
b. Tipo de letra: Times New Roman
c. Tamaño de letra: 11
d. Justificación: Completa
e. Paginación: Abajo y a la derecha
f. Interlineado: 1,5
g. Ortografía: Aplicar corrector en caso de duda
h. Redacción: Revisar
i. Compaginación: Revisar
j. Extensión: No se indica
k. Márgenes: 2,5 cm en margen superior, inferior, derecho e izquierdo.
II. Entrega
a) Entrega oficial del informe será por vía electrónica hasta el Sábado 26 de junio de 2010 (24 horas).
b) Los trabajos recibidos con posterioridad no serán recibidos.
III. Desarrollo
Para el desarrollo del presente trabajo se conformarán, a libre elección de los alumnos, seis grupos de cuatro personas (de
los cuales tres estarán conformados por cinco personas). La constitución de los grupos deberá ser informado al docente por
via electrónica al email.
IV. Puntos Clave de Aprendizaje
a) Adaptación de Gitman: Fundamentos de Administración Financiera
El riesgo es la posibilidad de sufrir una pérdida o, de modo más formal, es la variabilidad de los rendimientos. El
rendimiento es un cambio en el valor más cualquier distribución en efectivo, expresado como un porcentaje del valor inicial.
La mayoría de los gerentes que toman decisiones financieras tienen aversión al riesgo, es decir, requieren rendimientos
esperados más altos como compensación por aceptar un riesgo mayor.
El riesgo de un activo individual se mide de la misma forma que se calcula el riesgo de una cartera o grupo de activos. El
análisis de sensibilidad y las distribuciones de probabilidades se emplean para evaluar el riesgo desde le punto de vista del
comportamiento. El análisis de sensibilidad utiliza varios cálculos de rendimientos probables para estimar la variabilidad de
los resultados. Las distribuciones de probabilidades, tanto las gráficas de barras como las distribuciones continuas, ofrecen
una idea más cuantitativa sobre el riesgo de un activo.
Además del intervalo, que es el resultado optimista (el mejor) menos el resultado pesimista (el peor), se pueden utilizar la
desviación estándar y el coeficiente de variación para medir el riesgo de manera cuantitativa. La desviación estándar mide la
dispersión alrededor del valor esperado de un activo y el coeficiente de variación usa la desviación estándar para medir la
dispersión en forma relativa.
El objetivo que el gerente de finanzas tiene para la empresa es crear una cartera eficiente, que maximice el rendimiento para
un nivel de riesgo determinado o minimice el riesgo para un nivel de rendimiento específico. El riesgo de una cartera de
activos se reduce a través de la diversificación. Las nuevas inversiones deben considerarse a la luz de su efecto sobre el
riesgo y el rendimiento de la cartera. La correlación, que es la relación estadística entre los rendimientos de los activos,
afecta el proceso de diversificación. Cuanto más negativa (o menos positiva) sea la correlación entre los rendimientos de los
activos, mayores serán los beneficios de reducción del riesgo de la diversificación. La diversificación internacional, que
implica la inclusión de activos extranjeros en una cartera, se usa para reducir aún más el riesgo de una cartera. Por supuesto,
con estos activos se presenta el riesgo de la fluctuación de las monedas, los riesgos políticos y otros riesgos financieros.
1
El riesgo total de un valor está integrado por el riesgo diversificable y el riesgo no diversificable. Este último es el único
riesgo relevante, porque el riesgo diversificable se elimina fácilmente por medio de la diversificación. El riesgo no
diversificable se mide con el coeficiente beta, que refleja la relación entre el rendimiento de un activo y e rendimiento del
mercado. El coeficiente beta se obtiene con el uso de técnicas estadísticas que se aplican para conocer la pendiente de la
“línea característica”, la cual explica mejor la relación histórica entre el rendimiento del activo y el rendimiento del
mercado. El coeficiente beta de una cartera es un promedio ponderado de los coeficientes beta de los activos individuales
que la conforman.
El modelo para la valuación de activos de capital (MVAC) usa el coeficiente beta para relacionar el riesgo de un activo con
respecto al mercado y el rendimiento requerido del activo. La representación gráfica del MAVC es la línea del mercado de
valores (LMV). Aunque el MVAC presenta algunas desventajas. Ofrece un marco conceptual útil para evaluar y vincular el
riesgo y el rendimiento.
b) Adaptación de Gitman: Principios de Administración Financiera
La palabra riesgo comúnmente te usa como sinónimo de incertidumbre para referirse a la variabilidad de los rendimientos
esperados. En términos estadísticos, el riesgo está presente cuando se conoce la distribución probabilística de los
rendimientos y la incertidumbre se presenta cuando no se conoce esta distribución.
El riesgo de un activo sencillo se mide casi igual que el riesgo de cartera o cobranza de activos, pero debe distinguírselas, ya
que a menudo existe un beneficio para aquellos que mantienen carteras. Dos enfoques de uso común para entender el riesgo
del activo son el análisis de sensibilidad y el empleo de probabilidades. El primero consiste en la valuación de diversas
estimaciones de los rendimientos de los activos, como son la optimista, la probable y la pesimistas. El intervalo o amplitud
suele emplearse para cuantificar el riesgo al medir la dispersión de estos rendimientos potenciales. Un planteamiento más
sofisticado sería el asignar probabilidades a los diversos resultados, ya sea objetiva o subjetivamente, a fin de determinar el
valor esperado de los rendimientos.
El riesgo puede valuarse visualmente al dibujar una gráfica de barras o la distribución probabilística completa (si se dispone
de datos suficientes) relacionada con los rendimientos de la inversión. Para obtener una medida más concreta del riesgo,
pueden emplearse medidas estadísticas de la variabilidad.
Dos factores estadísticos que proporcionan una medida del riesgo de un activo son la desviación estándar y el coeficiente de
variación. Este último, que es la desviación estándar de la media (o valor esperado del rendimiento un activo), dividido
entre el valor esperado del rendimiento de un activo, resulta útil para obtener una medida relativa del riesgo del activo.
El tiempo en que se reciben rendimientos también afecta el riesgo de un activo. En general, cuanto más lejano en el futuro
sea el momento en que se habrán de recibir los rendimientos, tanto mayor será la variabilidad de éstos.
Otra consideración importante es el riesgo de cartera, el cual establece la relación entre los diferentes rendimientos de los
activos. La correlación entre activos en una cartera, que el grado en el que varían sus rendimientos entre sí, afecta en gran
medida el riesgo total de la cartera. Los activos cuyos rendimientos se correlacionan negativamente proporcionan la mejor
combinación para minimizar el riesgo total.
Una de las principales consideraciones en la toma de decisiones financieras comprende la relación entre riesgo y
rendimiento. En un mundo perfecto de mercados eficientes, el único riesgo es el no diversificable, del cual no es posible
medirse en virtud de que se debe a cambios en la economía. El riesgo diversificable, que se atribuye a la empresa en sí y
proviene en sí y proviene de la ocurrencia de hechos aleatorios o fuera de control, puede eliminarse mediante la
diversificación. El riesgo no diversificable puede señalarse a través de beta, un índice que relaciona la capacidad de
respuesta o movimiento del rendimiento de un activo con el del mercado. Los índices beta pueden ser positivos o negativos;
la mayoría son positivos y menores de 2. El modelo de asignación de precio de un activo de capital (MAPAC), utiliza a beta
para asociar el riesgo de un activo inherentes al mercado con su rendimiento requerido. Gráficamente, dicho modelo se
conoce como línea de mercado de valores (LMV), que ilustra para cada nivel de riesgo no diversificable (beta) el riesgo
asociado requerido en el mercado.
c) Adaptación Merton: Finanzas
No hay una estrategia única de selección de cartera que se ajuste a todo el mundo.
La etapa en el ciclo de vida es un determinante importante en la composición óptima de la cartera de activos y pasivos de
una persona.
Los horizontes de tiempo son importantes en la selección de cartera. Distinguimos tres horizontes de tiempo: horizonte de
planeación, el horizonte de decisión y el horizonte de negociación.
2
La tolerancia al riesgo de una persona para soportar o asumir el riesgo, es un determinante principal en la selección de
cartera.
Para tomar decisiones sobre la selección de cartera, la gente en general puede lograr una tasa de rendimiento esperada más
alta sólo exponiéndose a un riesgo mayor.
A veces podemos reducir el riesgo sin reducir el rendimiento esperado mediante una diversificación más completa, ya sea
dentro de una clase dada de activo o a través de clases de activos.
El poder de la diversificación para reducir el grado de riesgo de la cartera de un inversionista depende de las correlaciones
entre los activos que constituyen la cartera. En la práctica, la gran mayoría de los activos están correlacionados
positivamente entre sí porque a todos les afectan los factores económicos comunes. En consecuencia, es limitada la propia
capacidad para reducir el riesgo a través de la diversificación entre activos riesgosos sin reducir el rendimiento esperado.
Aunque en principio la gente tiene miles de activos elegir, en la práctica eligen de un menú de unos pocos productos finales
por intermediarios financieros, como cuentas bancarias, fondos de inversión de acciones y bonos, y bienes raíces. Los
intermediarios aprovechan los últimos adelantos de la tecnología financiera para diseñar y producir el menú de activos que
ofrecen a sus clientes.
V. Ejemplos
Ejemplo 01: Rendimiento
Gameroom, una sala de juegos de video, desea determinar la tasa real de rendimiento de dos de sus máquinas de video,
Conqueror y Demolition. La empresa adquirió el juego Conquetor hace exactamente un año por $20.000 y en la actualidad
posee un valor en el mercado de $21.500; durante el año, generó $800 de ingresos en efectivo después de impuestos.
Adquirió el juego Demolition hace cuatro años y su valor durante el año disminuyó de $12.000 a $11.800; durante el año,
generó $1.700 de ingresos en efectivo después de impuestos. Si se sustituyen estos valores en la ecuación siguiente, se
puede calcular la tasa anual de rendimiento, k, de cada máquina de juegos de video.
Conqueror (C):
kC = ($21.500 - $20.000 + $800) / $20.000 = $2.300 / $20.000 = 11,5%
Demolition (D):
kD = ($11.800 - $12.000 + $1.700) / $12.000 = $1.500 / $12.000 = 12,5%
Aunque el valor de Demolition disminuyó durante el año, su flujo de efectivo relativamente alto le permitió ganar una tasa
de rendimiento mayor que la obtenida por Conqueror durante el mismo periodo. Desde luego, es importante el impacto
combinado de los cambios en el valor y en el flujo de efectivo que la tasa de rendimiento mide.
Ejemplo 02: Evaluación del riesgo
Alfred Company, una empresa fabricante de equipos de golf por pedido, intenta elegir la mejor de dos alternativas de
inversión, A y B. Cada una requiere un desembolso inicial de $10.000 y cada una ofrece, como tasa anual de rendimiento
más probable, el 15 por ciento. Para evaluar el riesgo de estos activos, la gerencia realizó cálculos pesimistas y optimistas de
los rendimientos relacionados con cada inversión. La tabla siguiente exhibe los tres cálculos para cada activo, junto con su
intervalo.
Inversión inicial
Tasa anual de rendimiento:
Pesimista
Más probable
Optimista
Intervalo
Activo A
$10.000
Activo B
$10.000
13%
15%
17%
4%
7%
15%
23%
16%
El activo A parece ser menos arriesgado que el activo B, porque su intervalo del 4 por ciento (17% - 13%) es menor que el
intervalo de 16 por ciento (23% - 7%) del activo B. Al tomar decisiones financieras, el gerente que tiene aversión al riesgo
3
preferiría el activo A en lugar del B, porque el activo A ofrece como rendimiento más probable el mismo que el del activo B
(15%), pero con menor riesgo (intervalo menor).
Ejemplo 03: Evaluación del riesgo
Una evaluación de los cálculos pasados de Alfred Company indica que las probabilidades de que ocurran resultados
pesimistas, más probables y optimistas son de 25, 50 y 25 por ciento, respectivamente. La suma de estas probabilidades
debe ser igual al 100 por ciento; es decir, deben cubrir todas las alternativas consideradas.
Ejemplo 04: Rendimientos esperados
La tabla siguiente presenta los cálculos de los valores esperados para los activos A y B de Alfred Company. La columna 1
proporciona las probabilidades y la columna 2 muestra los rendimientos requeridos.
Para el activo A:
Resultados posibles
Pesimista
Más probable
Optimista
Total
Probabilidad
%
Rendimientos
(%)
(1)
0,25
0,50
0,25
1,00
(2)
13
15
17
Rendimiento esperado
Probabilidad
%
Rendimientos
(%)
(1)
0,25
0,50
0,25
1,00
(2)
7
15
23
Rendimiento esperado
Valor ponderado
(%)
[(1) x (2)]
(3)
3,25
7,50
4,25
15,00
Para el activo B:
Resultados posibles
Pesimista
Más probable
Optimista
Total
Valor ponderado
(%)
[(1) x (2)]
(3)
1,75
7,50
5,75
15,00
Ejemplo 04: Desviación estándar esperada
La tabla siguiente presenta el cálculo de las desviaciones estándar de los activos A y B de Alfred Company, que se basa en
los datos presentados antes.
Para el activo A:
i
1
2
3
k
_
%
13
15
17
k
%
15
15
15
_
(k - k )2
%
4
0
4
Pr
0,25
0,50
0,25
Total
_
(k - k )2 x Pr
%
1
0
1
2%
Para el activo B:
i
1
k
%
7
_
k
%
15
_
(k - k )2
%
-8
Pr
0,25
_
(k - k )2 x Pr
%
16
4
2
3
15
23
15
15
0
8
0,50
0,25
Total
0
16
32%
La desviación estándar para el activo A es de 1,41 y la desviación estándar para el activo B es de 5,66 por ciento. El riesgo
mayor del activo B se refleja en que presenta una desviación estándar más alta.
Donde el cálculo de la desviación estándar de cada activo es la siguiente:
_
σA = √[(k - k )2 x Pr] = √2% = 1,41%
_
σB = √[(k - k )2 x Pr] = √32% = 5,66%
Nota : No olviden de considerar que cuanto mayor sea la desviación estándar, mayor será el riesgo.
Ejemplo 05: Coeficiente de variación
Cuando se sustituyen la desviación estándar obtenidos en el ejemplo anterior y los rendimientos esperados, también
obtenidos en un ejemplo anterior, para los activos A y B en la siguiente ecuación:
CV = σ / k
donde CV = coeficiente de variación
De este modo, los coeficientes de variación para A y B son 0,094 (1,41% / 15%) y 0,377 (5,66% / 15%), respectivamente.
El activo B tiene un coeficiente de variación mayor y es, por lo tanto, más arriesgado que el activo A. Puesto que ambos
poseen el mismo rendimiento esperado, el coeficiente de variación nos proporciona más información que la desviación
estándar.
Ejemplo 06: Coeficiente de variación
Una empresa intenta seleccionar el menos arriesgado de dos activos, X e Y. El rendimiento esperado, la desviación estándar
y el coeficiente de variación de cada uno de estos activos se presentan a continuación:
Método estadístico
(1) Rendimiento esperado
(2) Desviación estándar
(3) Coeficiente de variación [(2) / (1)]
Activo A
12%
9%
0,75
Activo B
20%
10%
0,50
Si la empresa comparara los activos sólo con base en sus desviaciones estándar, preferiría el activo X porque tiene una
desviación estándar menor que el activo Y (el 9 por ciento en comparación con el 10 por ciento). Sin embargo, la
comparación de los coeficientes de variación de los activos muestra que la gerencia cometería un grave error si eligiera el
activo X en lugar del activo Y, porque la dispersión relativa (o riesgo) de los activos, reflejada en el coeficiente de de
variación, es menor para el activo Y que para el activo X (0,50 en comparación con 0,75). Por supuesto, el uso del
coeficiente de variación para comparar el riesgo de los activos es eficaz porque también toma en cuenta el tamaño relativo,
o rendimiento esperado, de los activos.
Ejemplo 07: Diversificación
La tabla siguiente muestra los rendimientos pronosticados de tres activos distintos (X, Y y Z), durante los próximos cinco
años, junto con sus valores esperados y desviaciones estándar, Cada uno de los activos posee un valor de rendimiento
esperado del 12 por ciento y una desviación estándar de 3,16 por ciento. Por tanto, los activos tienen un rendimiento y un
riesgo similares, aunque sus patrones de rendimiento no son necesariamente idénticos. Una comparación de los patrones de
rendimiento de X e Y muestra que tienen una correlación perfectamente negativa, pues se desplazan en direcciones
exactamente opuestas con el paso del tiempo. Una comparación de los activos X y Z indica que tienen una correlación
perfectamente positiva, ya que se desplazan precisamente en la misma dirección. (Nota: los rendimientos de X e Y son
idénticos) (En todo caso, no es necesario que las corrientes de rendimiento sean idénticas para que tengan una correlación
perfectamente positiva).
Cartera XY. Al combinar porciones iguales de los activos X e Y (los activos que tienen una correlación perfectamente
negativa), se forma la cartera XY (que exhibe la tabla que se acompaña). El riesgo de esta cartera, según refleja su
desviación estándar, se reduce al 0 por ciento y el valor del rendimiento esperado se mantiene en 12 por ciento. Puesto que
5
ambos activos poseen los mismos valores de rendimiento esperado (se combinan en partes iguales y tienen una correlación
perfectamente negativa), la combinación produce la eliminación completa del riesgo. Siempre que los activos tienen una
correlación perfectamente negativa, existe una combinación óptima (similar a la mezcla del 50 por ciento en el caso de los
activos X e Y) cuya desviación estándar resultante es igual a 0.
Cartera XZ. Al combinar porciones iguales de los activos X y Z (los activos que tienen una correlación perfectamente
positiva) se forma la cartera XZ (que exhibe la tabla que se acompaña). Esta combinación no afecta el riesgo de esta cartera,
según refleja su desviación estándar, pues permanece en 3,16 por ciento, en tanto que el valor del rendimiento esperado se
mantiene en 12 por ciento. Siempre que los activos tienen una correlación perfectamente positiva, como la combinación de
los activos X y Z, la desviación estándar de la cartera es la del activo más arriesgado. Como los activos X y Z tienen la
misma desviación estándar (3,16 por ciento), las desviaciones estándar mínima y máxima son del 3,16 por ciento, que es el
único valor que se podría asignar a la combinación de estos activos. Este resultado se atribuye a la situación poco probable
de que los activos X y Z sean idénticos.
Tabla: Rendimientos pronosticados, valores esperados y desviaciones estándar para los activos X, Y y Z y las carteras XY y
XZ
Año
Activo X
Activo Y
Activo Z
Cartera XY
Cartera XZ
%
%
%
%
%
1999
8
16
8
12
8
2000
10
14
10
12
10
2001
12
12
12
12
12
2002
14
10
14
12
14
2003
16
8
16
12
16
Estadísticos:
Valor esperado
Desviación estándar
12%
3,16%
12%
3,16%
12%
3,16%
12%
0%
12%
3,16%
(a) La cartera XY, formada en un 50 por ciento por el activo X y en un 50 por ciento por el activo Y, ilustra la correlación
perfectamente negativa, porque estas dos corrientes de rendimiento se comportan de manera completamente opuesta durante
el periodo de 5 años. Los valores de su rendimiento se calculan como muestra la tabla siguiente.
Año
Rendimiento
Rendimiento
Cálculo del rendimiento
Rendimiento
pronosticado
pronosticado
de las carteras
esperado de la
Activo X
Activo Y
cartera, kp
%
%
%
(1)
(2)
(3)
(4)
1999
8
16
0,5 x 8 + 0,5 x 16 =
12
2000
10
14
0,5 x 10 + 0,5 x 14 =
12
2001
12
12
0,5 x 12 + 0,5 x 12 =
12
2002
14
10
0,5 x 14 + 0,5 x 10 =
12
2003
16
8
0,5 x 16 + 0,5 x 8 =
12
(b) La cartera XZ, formada en un 50 por ciento por el activo X y en un 50 por ciento por el activo Z, ilustra la correlación
perfectamente positiva, porque estas dos corrientes de rendimiento se comportan de manera idéntica durante el periodo de 5
años. Los valores de su rendimiento se calculan con el mismo método demostrado anteriormente, la que describe la cartera
XY.
(c) La ecuación general que se presenta a continuación:
n
k
k=
i
i 1
n
6
Es utilizada para calcular los valores o rendimientos esperados, tal como se demuestra a continuación para la cartera XY,
debido a que no se proporcionan las probabilidades relacionadas con los rendimientos.
kxy = (12% + 12% + 12% + 12% + 12%) / 5 = 60% / 5 = 12%
Se aplica la misma fórmula para calcular el valor del rendimiento esperado de los activos X, Y y Z, y de la cartera XZ.
(d) La ecuación general que se presenta a continuación:
n
σk =
 (k
 k )  Pr i
2
i
i 1
Se utiliza para calcular las desviaciones estándar, como se demuestra a continuación para la cartera XY, debido a que no se
proporcionan las probabilidades relacionadas con los rendimientos.
σk xy = √[[(12 – 12)2 + (12 – 12)2 + (12 – 12)2 + (12 – 12)2 + (12 – 12)2] / (5 -1)]
σk xy = √(0 / 4)
σk xy = 0%
Se aplica la misma fórmula para calcular la desviación estándar de los rendimientos de los activos X, Y y Z, y de la cartera
XZ.
Ejemplo 08: Interpretación de coeficientes beta seleccionados
Beta
2,0
Comentario
Se desplaza en la misma dirección que el mercado
1,0
Se desplaza en la misma dirección que el mercado
0.5
Se desplaza en la misma dirección que el mercado
0,0
No se mueve ante movimientos del mercado
-0,5
Se desplaza en dirección opuesta al mercado
-1,0
Se desplaza en dirección opuesta al mercado
-2,0
Se desplaza en dirección opuesta al mercado
Interpretación
Dos veces más sensible o
arriesgado que el mercado
Misma respuesta o riesgo que el
mercado
(esto
es,
riesgo
promedio)
Sólo la mitad de sensible o
arriesgado que el mercado
El movimiento del mercado no lo
afecta
Sólo la mitad de sensible o
arriesgado que el mercado
Misma respuesta o riesgo que el
mercado
(esto
es,
riesgo
promedio)
Dos veces más sensible o
arriesgado que el mercado
Nota: Una acción que es dos veces más sensible que el mercado experimentará un cambio del 2 por ciento en su
rendimiento por cada cambio del 1 por ciento en el rendimiento de la cartera de mercado, y el rendimiento de una acción
que sea la mitad de sensible que el mercado experimentará un cambio del 0,5 por ciento por cada cambio del 1 por ciento en
el rendimiento de la cartera del mercado.
Ejemplo 09: Beta de una cartera
Austin Fund, una importante empresa de inversión, desea evaluar el riesgo de dos carteras, V y W. Ambas contienen cinco
activos, con las proporciones y los coeficientes beta que muestra la tabla siguiente.
Activo
Cartera V
Proporción
Beta
Cartera W
Proporción
Beta
7
1
2
3
4
5
Totales
0,10
0,30
0,20
0,20
0,20
1,00
1,65
1,00
1,30
1,10
1,25
0,10
0,10
0,20
0,10
0,50
1,00
0,80
1,00
0,65
0,75
1,05
Los coeficientes beta de las carteras V y W, b V y bW, se calculan sustituyendo, en la ecuación siguiente, los datos
correspondientes de la tabla.
n
bP =
w
j
bj
j 1
De este modo:
bV = (0,10 x 1,65) + (0,30 x 1,00) + (0,2 x 1,30) + (0,20 x 1,10) + (0,20 x 1,25) = 1,20
bW = (0,10 x 0,80) + (0,10 x 1,00) + (0,2 x 0,65) + (0,10 x 0,75) + (0,50 x 1,05) = 0,91
El coeficiente beta de la cartera V es de 1,20 y el de cartera W es de 0,91. Estos valores parecen lógicos, porque la cartera V
contiene activos con coeficientes beta relativamente altos y la cartera W contiene activos con coeficientes beta
relativamente bajos. Desde luego, los rendimientos de la cartera V son más sensibles a los cambios en los rendimientos del
mercado y, por tanto, son más arriesgados que los de la cartera W.
Ejemplo 10: Modelo para la valoración de activos de capital
Herbst Corporation, una empresa en crecimiento dedicada al desarrollo de software, desea determinar el rendimiento
requerido sobre un activo (el activo Z) que posee un coeficiente beta, b Z, de 1,5. La tasa de rendimiento libre de riesgo es
del 7 por ciento; el rendimiento sobre la cartera de activos del mercado es del 11 por ciento. Si se sustituyen b Z = 1,5, Rf = 7
por ciento y km = 11 por ciento en el modelo para la valoración de activos de capital, representado por la siguiente ecuación:
kj = Rf + [bj (km – Rf)]
De este modo, podemos obtener un rendimiento requerido:
kZ = 7% + [1,5 x (11% - 7%)] = 7% + 6% = 13%
Al ajustar la prima de riesgo del mercado del 4 por ciento (11% - 7%) de acuerdo con el índice de riesgo (beta) de los
activos de 1,5, se obtiene como resultado una prima de riesgo del 6 por ciento (1,5 x 4%). Si se suma esa prima de riesgo
con la tasa libre de riesgo del 7 por ciento, se obtiene un 13 por ciento de rendimiento requerido. Siempre y cuando todo lo
demás permanezca igual, cuanto mayor sea el coeficiente beta, mayor será el rendimiento requerido; y cuanto menor sea el
coeficiente beta, menor será el rendimiento requerido.
Ejemplo 11: Línea de mercado de valores
En el ejemplo anterior sobre Herbst Corporation, la tasa libre de riesgo, R F, fue del 7 por ciento y el rendimiento del
mercado, km, fue del 11 por ciento. Puesto que los coeficientes beta relacionados con RF y km, bRF y bm, son por definición 0
y 1 respectivamente, la LMV se registra usando estados series de coordenadas (esto es, b RF = 0, RF = 7%, y bm = 1,0, km =
11%). La figura representa la línea del mercado de valores que se obtiene con el registro de las coordinas proporcionadas.
Como es habitual, la línea del mercado de valores de la figura presenta el rendimiento requerido relacionado con todos los
coeficientes beta positivos; se destaca la prima de riesgo del mercado del 4 por ciento (km del 11% - RF del 7%). Para el
coeficiente beta del activo Z, bZ, que es de 1,5, el rendimiento requerido correspondiente, k Z, es del 13 por ciento. La figura
también ilustra la prima de riesgo del activo Z que es del 6 por ciento (k Z DEL 13% - RF del 7%). Es obvio que para los
activos con coeficientes beta mayores que 1, la prima de riesgo es mayor que la del mercado; para los activos con
coeficientes beta menores que 1, la prima de riesgo es menor que la del mercado; para los activos con coeficientes beta
menores que 1, la prima de riesgo es menor que la del mercado.
8
Rendimiento requerido, k (%)
kZ =13
Prima de
riesgo de
mercado
(4%)
km =11
RF =7
0
bRF
1,0
bm
Prima de
riesgo del
activo
(6%)
1,5
bZ
Riesgo no diversificable, b
Ejemplo 12: Determinación del valor de beta para un título accionario
Sea los siguientes datos sobre retornos de las acciones para las acciones de Akai y del Mercado:
Año
1
2
3
4
5
KAI
12,0
16,0
20,0
16,0
6,0
Mercado
10,0
18,0
16,0
10,0
8,0
En primer lugar,se calcula para Akai y el mercado el retorno medio; así:
Retorno medio para Akai: (12,0 + 16,0 + 20,0 + 16,0 + 6,0) / 5 = 14,0%
Retorno medio para Mercado: (10,0 + 18,0 + 16,0 + 10,0 + 8,0) / 5 = 12,4%
En segundo lugar se calcula la desviación estándar de la muestra; así:
Para Akai:
x - xm
-2
2
6
2
-8
Total
(x – xm)2
4
4
36
4
64
112
y - ym
-2,4
5,6
3,6
-2,4
-4,4
(y – ym)2
5,76
31,36
12,96
5,76
19,36
75,2
(x - xm) (y - ym)
4,8
11,20
21,60
-4,80
35,20
68,00
Luego, la desviación estándar será:
9
Desviación estándar para Akai: √[112 / (5 – 1)] = 5,29
Desviación estándar para Mercado: √[75,2 / (5 – 1)] = 4,33
Finalmente calculamos el coeficiente beta:
Coeficiente Beta entre Akai y Mercado = 68 / [ (5 – 1) x 5,29 x 4,33 ] = 0,742
Lo que se puede concluir del valor anterior es lo siguiente:
1º Existe una relación positiva entre Akai y el Mercado
2º Dado que el valor obtenido es cercano a 1, entonces, podemos señalar que existe una fuerte asociación entre ambas
variables.
Si adicionalmente calculamos lo que se denomina como coeficiente de determinación:
Coeficiente de determinación entre Akai y Mercado = (0,742) 2 = 0,5505 = 55,05%
Lo anterior, se interpreta que el 55,05% de la variación en los retornos del título de Akai es explicada por la variación en los
retornos que acontecen en Mercado.
Ejemplo 13: Carteras de inversión
Supongamos que tenemos la posibilidad de invertir en acciones de dos compañías: Indumentaria S.A. y Margarina S.A. Los
rendimientos esperados y sus probabilidades de ocurrencia se muestran en la tabla siguiente:
Escenario
Probabilidad
Expansión
Normal
Recesión
30
50
20
Rendimiento de
Indumentaria S.A.
40
20
-20
Rendimiento de Margarina
S.A.
-5
15
20
Indumentaria S.A. suele tener buena rentabilidad en los periodos de expansión de la economía y pérdidas en los periodos de
recesión, mostrando bastante elasticidad al ciclo económico. Por el contrario, Margarina S.A., por tratarse de una firma que
produce “bienes inferiores” suele mostrar un comportamiento inverso: en los periodos de bonanza económica sus ventas
caen, porque los consumidores compran bienes de mejor calidad y viceversa. Por lo tanto, los rendimientos de Indumentaria
S.A. y Margarina S.A. se encuentran correlacionados negativamente. Podemos ver en la tabla siguiente los cálculos del
rendimiento esperado y la desviación estándar para dichas inversiones:
Escenario
Expansión
Normal
Recesión
P(x)
30%
50%
20%
r
40%
20%
-20%
P(x)r
0,12
0,10
-0,04
E(r) = 18%
[r – E(r)]
22%
2%
38%
P(x) [r – E(r)]2
0,01452
0,0002
0,02888
σ2 = 0,04360
σ = 20,88%
Escenario
Expansión
Normal
Recesión
P(x)
30%
50%
20%
r
-5%
15%
20%
P(x)r
-0,015
0,075
0,04
E(r) = 10%
[r – E(r)]
-15%
5%
10%
P(x) [r – E(r)]2
0,007
0,001
0,002
σ2 = 0,010
σ = 10%
10
En un escenario de expansión, el rendimiento de Indumentaria S.A se sitúa por encima del rendimiento esperado y lo
contrario sucede con Margarina S.A. En un escenario recesivo, la situación se invierte. Este fenómeno se debe a que los
rendimientos de estos dos activos covarían en direcciones opuestas. La covarianza entre los rendimientos de dos activos se
calcula en cuatro pasos:
a) Teniendo en cuenta las probabilidades de cada escenario económico, se calcula para cada inversión su rendimiento
esperado E(x).
b) Se multiplican las desviaciones de las dos inversiones con respecto a E(x) para cada escenario.
c) Ponderamos los resultados obtenidos en el paso 2, multiplicando éstos por su probabilidad de ocurrencia.
d) Sumamos los resultados obtenidos en el paso 3 para determinar la covarianza.
Escenario
Probabilidad (%)
Expansión
Normal
Recesión
30
50
20
Desviación
(%)
A
22
2
-38
Desviación
(%)
B
Desviación
(%)
Desviación
(%)
-15
5
10
-0,033
0,001
-0,038
A
x
B
P(x)
x
Desviación
A
(%)
x
Desviación
B
(%)
-0,0099
0,0005
-0,0076
Covarianza =
-0,017
Como los dos activos se mueven en direcciones opuestas, la covarianza es negativa (-0,017). Sin embargo, no hay razón
para que limitemos la inversión a un solo activo; podríamos invertir una parte en cada una de las acciones, como hemos
visto.
Ejemplo 14: Rendimiento esperado de un portafolio
Supongamos que hemos repartido nuestra inversión entre dos activos: el 20% del dinero en el activo A (cuyos rendimientos
son más variables), y el 80% restante en el activo B (cuyos rendimientos son menos variables). Los rendimientos esperados
para el próximo año y la desviación estándar se aprecia en la siguiente tabla:
Activo
A
B
Proporción en el portafolio
20
80
Rendimiento esperado
2
15
Desviación estándar
40
20
Si invertimos el 20% de nuestro dinero en el activo A y el restante 80% en el activo B, su rendimiento esperado sería igual a
los rendimientos de los dos activos ponderados por el porcentaje invertido en cada uno:
r(E) = 0,20 x 21% + 0,80 x 15% = 16,2%
Como puede apreciarse, el rendimiento esperado del portafolio representa el promedio ponderado de los rendimientos de los
activos que lo integran; en la relación anterior, las ponderaciones se encuentran representados por las proporciones
invertidas en cada activo.
Ejemplo 15: Riesgo del portafolio
Ahora sabemos que el rendimiento esperado del portafolio es del 16,2%, pero ¿cuál es la desviación estándar de dicho
rendimiento? Sabemos que la desviación estándar del activo A es del 40%, mientras que el del activo B es del 20%. Se
podría estar inclinado a suponer que el riesgo del portafolio, al igual que el rendimiento esperado, puede calcularse a través
del promedio ponderado de las desviaciones estándar de los activos individuales. Suponiendo que usted hubiera invertido el
20% y el 80% en los activos A y B respectivamente, la desviación estándar sería del 24%:
0,20 x 40% + 0,80 x 20% = 24%
Pero esto sólo sería correcto si los precios de las dos acciones estuvieran correlacionados perfectamente, es decir, variaran
en el mismo sentido e igual proporción. En cualquier otra circunstancia, la diversificación siempre reducirá el riesgo por
11
debajo del 24%: la varianza y la desviación estándar de un portafolio no es la simple combinación de las varianzas de los
activos que la integran. Siguiendo con el ejemplo, si el coeficiente de correlación entre ambos activos es ρ AB = 0,5. La
fórmula para calcular la varianza del portafolio es:
Varianza del portafolio (σ2AB) = (w1σ1)2 + (w2σ2)2 +2w1w2ρ1,2σ1σ2
La varianza del portafolio es igual a la suma de los cuadrados de las proporciones invertidas en cada activo multiplicada por
su varianza, más la cantidad de covarianzas (ρ1,2σ1σ2) multiplicada por las proporciones invertidas. Cuando sólo se tienen
dos títulos en la cartera, hay un número igual de varianzas y covarianzas:
σ2AB = 0,202 x 402 + 0,802 x 202 + 2 x 0,20 x 0,80 x 0,50 x 40 x 20 = 64 + 256 + 128 = 448
El riesgo del portafolio lo expresamos a través de la desviación típica o desviación estándar, que corresponde a la raíz
cuadrada de la varianza:
Desviación del portafolio (σP) = √448 = 21,16%
Como puede observarse, la desviación estándar del portafolio es menor al 24%, que resultaba de la simple combinación de
las proporciones, debido a que los rendimientos de dichos activos se encuentran imperfectamente correlacionados (el
coeficiente de correlación es 0,5). Podemos entonces concluir que el riesgo del portafolio depende de:
 La proporción o peso relativo (w) de cada activo.
 La desviación estándar (σ) de cada activo.
 La covarianza (ρ1,2σ1σ2) entre los rendimientos de los activos.
VI. Ejercicios
Ejercicio 01 (07.04): Análisis de riesgos
Babb Products desea realizar una inversión para expandir una línea de productos y está considerando dos diferentes tipos de
expansión. Después de investigar los posibles resultados, la empresa realizó los cálculos que muestra la tabla siguiente:
Inversión inicial
Tasa anual de rendimiento:
Pesimista
Más probable
Optimista
Expansión A
$12.000
Expansión B
$12.000
16%
20%
24%
10%
20%
30%
a) Determine el intervalo de las tasas de rendimiento de cada uno de los dos proyectos?
b) ¿Qué proyecto es menos arriesgado? ¿Por qué?
c) Si usted tomara la decisión de inversión, ¿cuál proyecto elegiría? ¿por qué? ¿qué implica esto en cuanto a su percepción
del riesgo?
Ejercicio 02 (07.05): Riesgo y rentabilidad
Blue Book Publishers desea adquirir una de dos cámaras para microfilmación, R o S. Ambas deben proporcionar beneficios
durante un periodo de 10 años y cada una requiere una inversión inicial de $4.000. La gerencia elaboró la tabla siguiente,
que incluye los cálculos de las tasas de interés y las probabilidades de obtener un resultado pesimista, más probable y
optimista:
Inversión inicial
Tasa anual de rendimiento:
Pesimista
Más probable
Cámara R
Cantidad
$4.000
Probabilidad
1,00
20%
25%
0,25
0,50
Cámara S
Cantidad
$4.000
15%
25%
Probabilidad
1,00
0,20
0,55
12
Optimista
30%
0,25
35%
0,25
a) Determine el intervalo de la tasa de rendimiento de cada una de las dos cámaras.
b) Calcule el valor del rendimiento esperado de cada cámara.
c) ¿Qué cámara es la más arriesgada? ¿Por qué?
Ejercicio 03 (07.09): Rendimiento esperado, desviación estándar y coeficiente de variación
Actualmente Bix Manufacturing considera tres activos, F, G y H. La tabla siguiente muestra las distribuciones de
probabilidad de los rendimientos esperados para estos activos.
I
Activo F
Probabilidad
1
2
3
4
5
0,10
0,20
0,40
0,20
0,10
Rendimiento
(%)
40
10
0
-5
-10
Activo G
Probabilidad
0,40
0,30
0,30
Rendimiento
(%)
35
10
-20
Activo H
Probabilidad
0,10
0,20
0,40
0,20
0,10
Rendimiento
(%)
40
20
10
0
-20
a) Calcule el valor del rendimiento esperado de cada uno de los tres activos. ¿Cuál de ellos proporciona el rendimiento
esperado mayor?
b) Determine la desviación estándar del rendimiento de cada uno de los tres activos. ¿Cuál representa un riesgo mayor?
c) Estime el coeficiente de variación de cada uno de los tres activos. ¿Cuál parece tener el riesgo relativo mayor?
Ejercicio 04 (07.10): Rendimiento de una cartera y desviación estándar
Jaime Wong desea crear una cartera que contenga dos activos, L y M. El activo L representa el 40 por ciento del valor de la
cartera y el activo M representa el otro 60 por ciento. La tabla siguiente muestra los rendimientos esperados de cada uno de
estos activos durante los próximos seis años, de 1999 a 2004.
Año
1999
2000
2001
2002
2003
2004
Activo L
14
14
16
17
17
19
Activo M
20
18
16
14
12
10
a) Calcule el rendimiento esperado de la cartera para cada uno de los seis años.
b) Determine el valor de los rendimientos esperados de la cartera durante el periodo de seis años.
c) Estime la desviación estándar de los rendimientos esperados de la cartera durante el periodo de seis años.
d) ¿Cómo es la correlación de los rendimientos de los dos activos L y M?
e) Analice los beneficios de la diversificación, obtenidos por la creación de la cartera.
Ejercicio 05 (07.11): Análisis de cartera
La tabla siguiente proporciona los datos sobre los rendimientos de tres activos F, G y H, correspondientes al periodo 19992002.
Año
1999
2000
2001
2002
Rendimiento esperado
(%)
Activo F
16
17
18
19
Rendimiento esperado
(%)
Activo G
17
16
15
14
Rendimiento esperado
(%)
Activo H
14
15
16
17
13
Con el uso de estos activos, usted seleccionó las tres alternativas de inversión que presenta la tabla siguiente:
Alternativa
1
2
3
Inversión
100% del activo F
50% del activo F y 50% del activo G
50% del activo F y 50% del activo H
a) Calcule el rendimiento esperado durante el periodo de cuatro años para cada una de las tres alternativas.
b) Determine la desviación estándar de los rendimientos durante el periodo de cuatro años para cada alternativa.
c) Utilice los resultados obtenidos en los incisos a) y b) para calcular el coeficiente de variación de cada alternativa.
d) Con base en sus resultados, ¿cuál de las tres alternativas de inversión recomendaría? ¿por qué?
Ejercicio 06 (07.17): Coeficientes beta y clasificaciones de riesgo
La acción A tiene un coeficiente beta de 0,80, la acción B posee un coeficiente beta de 1,40 y la acción C presenta un
coeficiente beta de -0,30.
a) Clasifique estas acciones desde la más arriesgada hasta la menos arriesgada.
b) Si el rendimiento de la cartera del mercado aumentara un 12 por ciento, ¿qué cambio esperaría encontrar en el
rendimiento de cada acción?
c) Si el rendimiento de la cartera del mercado disminuyera un 5 por ciento, ¿qué cambio esperaría encontrar en el
rendimiento de cada acción?
d) Si piensa que el mercado de acciones está a punto de experimentar un declive significativo, ¿qué acción agregaría a su
cartera? ¿por qué?
e) Si usted pronosticara un repunte del mercado de acciones, ¿qué acción agregaría a su cartera? ¿por qué?
Ejercicio 07 (07.18): Coeficientes beta de carteras
Rose Berry intenta evaluar dos posibles carteras ambas integradas por los mismos cinco activos, pero en proporciones
distintas. Ella tiene un interés particular en utilizar el coeficiente beta para comparar el riesgo de las carteras, y con ese
propósito reunió los datos que muestra la tabla siguiente:
Activo
1
2
3
4
5
Coeficiente beta del
activo
1,30
0,70
1,25
1,10
0,90
Totales
Proporción de la cartera
en A (%)
10
30
10
10
40
100
Proporción de la cartera
en B (%)
30
10
20
20
20
100
a) Calcule los coeficientes beta de las carteras A y B.
b) ¿Qué cartera representa un riesgo mayor?
Ejercicio 08 (07.20): Uso del MVAC o CAPM
Aplique la ecuación básica del modelo para la valuación de activos de capital (MVAC) para realizar lo siguiente:
a) Calcule el rendimiento requerido de un activo con un coeficiente beta de 0,90, cuando la tasa libre de riesgo y el
rendimiento del mercado son del 8 y 12 por ciento.
b) Determine la tasa libre de riesgo de una empresa con un rendimiento requerido del 15 por ciento y un coeficiente beta de
1,25, cuando el rendimiento del mercado es del 14 por ciento.
c) Estime el rendimiento del mercado para un activo con un rendimiento requerido del 16 por ciento y un coeficiente beta de
1,10, cuando la tasa libre de riesgo es del 9 por ciento.
d) Calcule el coeficiente beta de un activo con un rendimiento requerido del 15 por ciento, cuando la tasa libre de riesgo y el
rendimiento del mercado son del 10 y 12,5 por ciento, respectivamente.
Ejercicio 09: Cartera de inversión
14
Usted ha invertido el 40% de su dinero en la acción A y el resto en la acción B. Sus expectativas son las siguientes:
Título
A
B
Rentabilidad esperada (%)
10
15
Desviación típica (%)
15
25
El coeficiente de correlación entre A y B es igual a 0,5.
a) ¿Cuál es el rendimiento esperado y la desviación típica de las rentabilidades de su cartera?
b) ¿Cómo cambiaría usted su respuesta si el coeficiente de correlación fuera 0 o -0,5?
c) ¿Esta cartera es mejor o peor que otra en la que todo se hubiera invertido en la acción A, o es imposible determinarlo?
Ejercicio 10: Determinación de beta
Determine el valor de beta y del coeficiente de determinación para los siguientes datos sobre retornos de las acciones para
las acciones de Lan Chile y el IPSA durante los últimos quince años. Explique los resultados obtenidos.
Periodo anual
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Lan Chile
9.720,00
9.601,00
9.850,00
9.810,00
9.951,00
10.000,00
9.910,00
10.050,00
10.070,00
9.900,00
10.000,00
9.950,00
9.955,00
10.270,00
10.380,00
IPSA
3.774,86
3.727,84
3.787,34
3.812,25
3.833,91
3.886,86
3.836,33
3.883,73
3.890,62
3.864,14
3.860,66
3.876,68
3.903.40
3.944,33
3.969,23
15
RIESGO, RENDIMIENTO Y CARTERA DE
INVERSIÓN
16
Ejercicio 01:
Análisis de riesgos.
a) El intervalo de la tasa de rendimiento de la expansión A es de un 8% (24% - 16%).
El intervalo de la tasa de rendimiento de la expansión B es de un 20% (30% - 10%).
b) El proyecto menos arriesgado es la expansión A, ya que su intervalo de la tasa de rendimiento es menor,
que el intervalo de la tasa de rendimiento de la expansión B. Si el intervalo de la expansión A es menor
que el intervalo de la expansión B, entonces la expansión A es menos riesgosa.
c) Nosotros elegiríamos el proyecto A, porque ofrece el mismo rendimiento más probable que el proyecto
B (20%), pero con mucho menor riesgo.
Ejercicio 02:
Riesgo y rentabilidad.
a) El intervalo de la tasa de rendimiento de la cámara R es de un 10% (30% - 20%).
El intervalo de la tasa de rendimiento de la expansión S es de un 20% (35% - 15%).
b) Valor del rendimiento esperado para la cámara R:
Resultados Posibles
Probabilidad (%)
Rendimientos (%)
Valor Ponderado (%)
Pesimista
0,25
20
5%
Más Probable
0,5
15
12,5%
Optimista
0,25
30
7,5%
Total
1
Rendimiento esperado
25%
17
Valor del rendimiento para la cámara S:
Resultados Posibles
Probabilidad (%)
Rendimientos (%)
Valor Ponderado (%)
Pesimista
0,20
15
3%
Más Probable
0,55
25
13,75%
Optimista
0,25
35
8,75%
Total
1
Rendimiento esperado
25,5%
c) La cámara más arriesgada, es la cámara S, porque su intervalo de la tasa de rendimiento es del 20%,
porcentaje mayor, que el del intervalo de la tasa de rendimiento de la cámara R, que solo, es de un 10%.
Además no existe una diferencia muy alta en los rendimientos esperados.
Ejercicio 03:
Rendimiento esperado, desviación estándar y coeficiente de variación.
a) Rendimiento esperado de los 3 activos:
Activo F:
Resultado Posible
Probabilidad (%)
Rendimiento (%)
Valor Ponderado (%)
1
0,10
40
4%
2
0,20
10
2%
3
0,40
0
0
4
0,20
-5
-1%
5
0,10
-10
-1%
Total
1
Rendimiento esperado
4%
18
Activo G:
Resultado Posible
Probabilidad (%)
Rendimiento (%)
Valor Ponderado (%)
1
0,4
35
14%
2
0,3
10
3%
3
0,3
-20
-6%
Total
1
Rendimiento esperado
11%
Resultado Posible
Probabilidad (%)
Rendimiento (%)
Valor Ponderado (%)
1
0,10
40
4%
2
0,20
20
4%
3
0,40
10
4%
4
0,20
0
0%
5
0,10
-20
-2%
Total
1
Rendimiento esperado
10%
Activo H:
Por lo tanto, el activo G es el que proporciona el rendimiento esperado mayor.
b) Desviación estándar para los 3 activos:
Activo F:
I
k (%)
1
_
_
Pr
_
k (%)
(k - k )2 (%)
40
7
1089
0,10
108,9
2
10
7
9
0,20
1,8
3
0
7
49
0,40
19,6
4
-5
7
144
0,20
28,8
5
-10
7
289
0,10
28,9
Total
(k - k )2 x Pr (%)
188
σF = √ 188 = 13,71.-
19
Activo G:
I
_
_
k (%)
(k - k )2 (%)
Pr
_
(k - k )2 x Pr (%)
k (%)
1
35
8,3
712,89
0,40
285,156
2
10
8,3
2,89
0,3
0,867
3
-20
8,3
800,89
0,3
240,267
Total
526,29
σG = √ 526,29 = 22,94.-
Activo H:
i
_
_
k (%)
(k - k )2 (%)
Pr
_
(k - k )2 x Pr (%)
k (%)
1
40
10
900
0,10
90
2
20
10
100
0,20
20
3
10
10
0
0,40
0
4
0
10
100
0,20
20
5
-20
10
900
0,10
90
Total
220
σH = √ 220 = 14,83.c) El coeficiente de variación para cada uno de los 3 activos:
Activo F:
CV = 13,71 / 4 = 3,4275.-
Activo G:
CV = 22,94 / 11 = 2,0854.-
Activo H:
CV = 14,83 / 10 = 1,483.-
20
Como conclusión, ante los valores de coeficiente de variación calculados (que son los más representativos para
calcular el riesgo relativo), el activo F es el que tiene el mayor valor. El coeficiente del activo H es el que resultó
con menor valor y por lo tanto con menor riesgo.
Ejercicio 04:
Rendimiento de una cartera y desviación estándar.
a) Rendimiento esperado de la cartera para cada uno de los seis años.
Año
Activo L (%)
Activo M (%)
Rendimiento esperado de la cartera
(0,4)
(0,6)
(%)
1999
14
20
17,6
2000
14
18
16,4
2001
16
16
16
2002
17
14
15,2
2003
17
12
14
2004
19
10
13,6
b) Y el valor de los rendimiento esperados:
KLM = [(17,6 + 16,4 + 16 + 15,2 + 14 + 13,6) / 6]
KLM = 15,46.-
c) La desviación estándar para los rendimientos esperados
KLM = 15,46.-
σ KLM = √ [[17,6-15,46)2 + (16,4-15,46)2 + (15,2-15,46)2 + (14-15,46)2 + (13,6-15,46)2] / (6-1)]
σ KLM = √ (11,4136 / 5) = 1,5108.d) La correlación de los rendimientos de los dos activos L y M es negativa, ya que se desplazan en
direcciones opuestas con el paso del tiempo.
21
e) Con la diversificación se elimina el riesgo. Los eventuales hechos aleatorios o fuera de control se
eliminan mediante la creación de la cartera y su diversificación, ya que al combinar los activos
disminuye su riesgo.
Ejercicio 05:
Análisis de cartera.
a) Alternativa 1:
Año
Rendimiento esperado
Activo F
1999
16
2000
17
2001
18
2002
19
KF = [(16+17+18+19) / 4] = 17,5%
Alternativa 2 :
Año
Rendimiento
Rendimiento
Rendimiento
esperado
esperado
esperado
Activo F (0,5)
Activo G (0,5)
de la cartera FG
1999
16
17
16,5
2000
17
16
16,5
2001
18
15
16,5
2002
19
14
16,5
KFG = [(16,5+16,5+16,5+16,5) / 4] = 16,5%
22
Alternativa 3:
Año
Rendimiento
Rendimiento
Rendimiento
esperado
esperado
esperado
Activo F (0,5)
Activo H (0,5)
de la cartera FH
1999
16
14
15
2000
17
15
16
2001
18
16
17
2002
19
17
18
KFH = [(15+16+17+18) / 4] = 16,5%
b) Alternativa 1:
σ = √ [[(16-17,5)2 + (17-17,5)2 + (18-17,5)2 + (19-17,5)2] / (4-1)] = 1,29%
Alternativa 2:
σ = √ [[(16,5-16,5)2 + (16,5-16,5)2 + (16,5-16,5)2 + (16,5-16,5)2] / (4-1)] = 0
Alternativa 3:
σ = √ [[(15-16,5)2 + (16-16,5)2 + (17-16,5)2 + (18-16,5)2] / (4-1)] = 1,29%
c) Alternativa 1:
CV = [1,29% / 17,5%] = 0,073
Alternativa 2:
CV = [0 / 16,5%] = 0
Alternativa 3:
CV = [1,29% / 16,5%] = 0,078
23
d) La segunda alternativa es la más recomendable ya que resulta con un coeficiente de variación de 0 o sea,
sin riesgo alguno. El objetivo que el gerente de finanzas tiene para la empresa es crear una cartera
eficiente, que maximice el rendimiento para un nivel de riesgo determinado o minimice el riesgo para un
nivel de rendimiento específico, que en este caso logro la perfección, es decir, 0.-
Ejercicio 06:
Coeficiente beta y clasificación de riesgo.
a) La acción más arriesgada es la acción B, luego la segunda acción más arriesgada es la acción A, y por
último la acción menos arriesgada es la acción C.
b) Aumentaría el rendimiento de las acciones A y B y habría una disminución en el rendimiento de la
acción C.
c) Existiría una disminución en el rendimiento de las acciones A y B y un aumento en el rendimiento de la
acción C.
d) Habría que agregar a la cartera la acción C, que al ocurrir un declive del mercado, generaría que la tasa
de mercado baje y provocaría que el rendimiento requerido sea mayor, siempre y cuando las otras
variables permanezcan constantes.
e) Agregaríamos a nuestra cartera la acción A, ya que con el repunte del mercado, aumenta la tasa de
mercado, lo cual provoca que el rendimiento requerido sea mayor, manteniendo las otras variables
contantes.
24
Ejercicio 07:
Coeficiente beta de carteras.
a) βA = (1,3 x 0,1) + (0,7 x 0,3) + (1,25 x 0,1) + (1,10 x 0,1) + (0,90 x 0,4) = 0,935.βB = (1,3 x 0,3) + (0,7 x 0,1) + (1,25 x 0,2) + (1,10 x 0,2) + (0,90 x 0,2) = 1,11.-
b) La cartera que representa un riesgo mayor es la cartera B, porque está por sobre el riesgo promedio del
mercado, en cambio la cartera A, está por debajo del riesgo promedio del mercado.
Ejercicio 08:
Uso del MVAC o CAPM.
a) r = 8% + 0,90(12% – 8%) = 11,6%
b) 15% = rLR + 1,25(14% – rLR)
rLR = 10%
c) 16% = 9% + 1,10(rMK – 9%)
rMK = 15,36363636
d) 15% = 10% + β(12,5% – 10%)
β=2
25
Ejercicio 09:
Cartera de inversión.
40% acción A
60% acción B
Correlación entre A y B = 0,5
Título
Rentabilidad esperada (%)
Desviación típica (%)
A
10
15
B
15
25
a)
Rentabilidad esperada A
Rentabilidad esperada B
Rentabilidad esperada
(0,4)
(0,6)
de la cartera AB
10
15
13
KAB = 13%
Coeficiente de correlación = 0,5
σ 2 (varianza) = 0,42 x 152 + 0,62 x 252 + 2 x 0,4 x 0,6 x 0,5 x 15 x 25 = 351
σ (desviación estándar) = √ 351 = 18,73
b) Coeficiente de correlación = 0
Varianza (σ 2) = 0,42 x 152 + 0,62 x 252 + 0 = 261
σ (desviación estándar) = √ 261 = 16,15
Coeficiente de correlación = -0,5
σ 2 (varianza) = 0,42 x 152 + 0,62 x 252 + 2 x 0,4 x 0,6 x -0,5 x 15 x 25 = 171
σ (desviación estándar) = √ 171 = 13,07
26
c) Inversión total título A
KA = 10%
σA = 15%
Inversión en cartera AB
KAB = 13%
σAB = 18,73%
Con la inversión total en el título A se obtiene una menor rentabilidad, pero a la vez tiene un menor riesgo. La
decisión de cual opción es mejor va a depender de cuan adversa al riesgo sea cada persona.
Ejercicio 10:
Determinación de beta.
Periodo
Lan Chile
IPSA
1
9,720.00
3,774.86
2
9,601.00
3,727.84
3
9,850.00
3,787.34
4
9,810.00
3,812.25
5
9,951.00
3,833.91
6
10,000.00
3,886.86
7
9,910.00
3,836.33
8
10,050.00
3,883.73
9
10,070.00
3,890.62
10
9,900.00
3,864.14
11
10,000.00
3,860.66
12
9,950.00
3,876.68
13
9,955.00
3,903.40
14
10,270.00
3,944.33
15
10,380.00
3,969.23
anual
Retorno Medio para LAN = 9,961.13.Retorno Medio para IPS = 3,856.81.27
X-Xn
(X-Xm)^2
Y-Ym
(Y-Ym)^2
(X-Xm) (Y-Ym)
(A)
(B)
(C)
(D)
-241.13
58145.28
-81.95
6716.13
19761.36
-360.13
129696.02
-128.97
16633.78
46447.12
-111.13
12350.62
-69.47
4826.36
7720.65
-151.13
22841.28
-44.56
1985.77
6734.80
-10.13
102.68
-22.90
524.50
232.07
38.87
1510.62
30.05
902.88
1167.87
-51.13
2614.62
-20.48
419.51
1047.31
88.87
7897.28
26.92
724.58
2392.11
108.87
11851.95
33.81
1142.98
3680.56
-61.13
3737.28
7.33
53.70
-447.99
38.87
1510.62
3.85
14.81
149.56
-11.13
123.95
19.87
394.74
-221.20
-6.13
37.62
46.59
2170.44
-285.74
308.87
95398.62
87.52
7659.40
27031.39
418.87
175449.28
112.42
12637.81
47088.15
Total
162498.05
A+B= 523267.73.C+D= 56807.39.Desviación Estándar LA = 723.36.Desviación Estándar IPSA = 238.31.Coeficiente Beta entre LAN Chile e IPSA es de 0.07.Coeficiente de determinación es de 0.45%
28