ALGEBRA1

Clase-18
Unidad de Algebra:
Expresión Algebraica:
Es un número o una letra o una combinación de números o letras por medio de
una o más operaciones; es decir + , - , . , : .
Ejemplos:
7
; x ; 3 + a ; x - 5 ; 6x2y ; 3a2b + 2ab2 ;
3x - 5xy + 2y ;
5a 2b 2ab b 5
−
−
3c
d
3c
; 4x 3 y − 2x 2 y − 3xyz + 5 yz 2 − 8 yz 3
son expresiones algebraicas.
Término:
Es un número o una letra o una combinación de números y letras por medio de la
multiplicación o división o ambas operaciones juntas.
Ejemplos:
3
;
x
; -8ab
;
5
x
;
- 5a 3 bc 2
;
7 x 3 yz 2
8a 5 b3 c 2
son términos.
Clasificación de las expresiones algebraicas según su número de términos:
a) Monomios: Es toda expresión algebraica que posee sólo un término.
Ejemplo
5 x 3 yz 2
7
2
3
7 ; a ; 5ab ;
; 5x y z ;
z
8a 5 b3 c 2
b) Binomios:Es toda expresión algebraica que posee sólo dos términos
Ejemplos:
7x3 y2 8x2 y3
2
2
3 + a ; 5x – 3y ; 8a bc + 5abc
;
−
3z
7z
c) Trinomios: Es toda expresión algebraica que posee sólo tres términos
Ejemplos:
8a 2 b 5b3 c 3 7cd 2
3x 2 − 5 x + 6 ; a 2 + 2ab + b 2 ;
−
−
3c
2d
9e
d) Multinomios: Es toda expresión algebraica que posee dos o más términos; en
consecuencia los binomios y trinomios son multinomios.
Ejemplos:
8a 3 a 2 b ab 2 c 2bc 2 5c 3
3x 2 y + 5xy 2 ; 8a 2 − 5b + 3b2 ;
−
+
−
+
5d
3d
2d
3d
9d
Notar que:
a) Los multinomios se indican también por polinomios.
b) Los paréntesis y fracciones se consideran un sólo término, sin
contenidos.
(1)
importar sus
Ejercicio:
Expresión
5x2y + 3yz3
Monomio
Binomio
Trinomio
Multinomio
2a3b2 - 5abc + 3b2c3
5a 2b 3 c
7cd
(3x + 2y) - 5z
3x 2 − 2xy + z y
+
7w
3
5x2 - 3y3 + 7z2
a3 - b4 + c5 - d2 +3
Partes de un término:
Todo término consta de dos partes; el factor numérico y el factor literal.
Ejemplo:
Término
− 7x 3 y 2 z
Factor numérico
Factor literal
a 2b3
− x 2y3z
3
Términos Semejantes:
Dos o más términos son semejantes si poseen el mismo factor literal.
Ejemplos:
a) 5a2b ; -7a2b ; a2b son semejantes.
b)
3 2 3
4
x yz ; − 2x 2 yz 3 ; x 2 yz 3 ; − x 2 yz 3 son semejantes
5
3
Notar que 3m2np3 ; -m2n3p ; 4m3n2p no son términos semejantes, ya que
cambian los exponentes.
Reducción de términos semejantes:
Es una operación que consiste en reducir a un sólo término dos o más términos
semejantes; para ello se operan los factores numéricos y se conserva el factor
literal común.
Ejemplos: Al reducir:
a) 10x – 23x + 7x – x + 12x =
b) 5a2b - 17a2b + a2b
(2)
c)
1
1
bx 2 − bx 2 + bx 2 =
5
3
d) − 2a 2 b 3 +
3 2 3 1 2 3
a b − a b + a 2 b3 =
4
2
Al haber términos semejantes de distintas clases, se reducen por separado los
de cada clase.
Ejemplo: Al reducir:
a) 15x – 9y + 15 - 12x –3y – 3 + x + 5y + 7 =
b) -3a2b + 5ab2 + 12a2b - 23ab2 =
c) -71a3b - 84a4b2 + 50a3b + 84a4b2 - 45a3b + 17a4b2 =
d)
2 2
1
1
3 5
5
1
x y − + 3xy − x 2 y + − xy + x 2 y − =
3
3
2
4 2
6
6
Valor numérico:
EL valor numérico de una expresión algebraica, es el resultado que se obtiene al
reemplazar en esta las letras por los valores que se les designa, para luego
efectuar la operatoria indicada.
Ejemplos:
Para a = 2 ; b = 5 ; c =-3 ; obtener el valor numérico de:
a
c
b) ac + 3c – (2a - 5b) =
a) a 2 − ab + ac + c 2 =
c) 3a +
+ 2c =
b
a
(3)
Operaciones entre expresiones algebraicas:
1) Adición: Para sumar dos o más expresiones algebraicas, se escriben en forma
continuada los términos de cada una de ellas con su propio signo, para luego
reducir términos semejantes si es que los hay.
Ejemplos:
1) Entre monomios: La suma de:
a) 3a con 5b es:
b) 5x con -2y con 3z es:
2) Entre monomios y multinomios: La suma de:
a) 5x con 3x - 2y es:
b)-7a2b con -5ab + 3a2b es:
3) Entre multinomios: La suma de:
a) 3x2y - 2xy con 5xy - 7xy2 con -x2y + 3xy + xy2 es:
b)
2 3
1
1
a b − 3ab con − ab 3 + 2ab con a 3 b − ab 3 es:
3
2
6
Otra forma de obtener la suma consiste en escribir las expresiones una bajo de la
otra, dejando los términos semejantes en una misma columna y a continuación
reducir estos.
Ejemplo:
Si P = 7x2y + 3xy - 4xy3 ; Q = 3x 2y - 7xy - 2xy 3 ; R = -4x2y + xy + 3xy 3 ; luego
P+Q+R=?
P=
Q=
R=
P+Q+R=
(4)
2) Sustracción: Para obtener la resta de dos expresiones algebraicas se escribe el
minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo, cambiando el
signo de cada uno de sus términos por el contrario, para luego reducir términos
semejantes si es que los hay.
Ejemplos:
1) Entre monomios: La resta de:
a) 3x con 5y es:
b) 6ab con -7ab es:
2) Entre monomios y multinomios: La resta de:
a) 8x con 5x - 3y es:
b)-7x2y con -9xy + 4x2y es:
3) Entre multinomios: La resta de:
a) x2 + y2 -3xy con -y2 + 3x2 - 4xy es:
b) a 3 + a 2 − a +
5
7
9
7
con − a 2 +
a+
es:
6
8
10
8
Otra forma para restar multinomios, consiste en ordenar estos y bajo el minuendo
copiar el sustraendo cambiando el signo de cada uno de sus términos por el
contrario para luego reducir términos semejantes.
Ejemplo:
Sean los multinomios:
P=
5x 3 − 8x 2 + 9 x − 13 ; Q = − 3x 3 − 2x 2 − 5 x + 10 ; luego P - Q = ?
P=
-Q =
P–Q=
(5)
Ejercicios Complementarios:
1) Si P = 5x3y - 2x2y2 - 9xy3 ; Q = -3x2y2 + 2x3y - xy3 ; R = 4xy3 - 6x3y + x2y2 ;
luego P + Q - R =
2) Restar 6x3 - 9x + 6x2 - 7 de la suma de x3 - 8x2 + 5x + 9 con -6x3 - 25x – 15.
3) Si S = 3a - 5b; T = -8a + 2b y Q = 2a – b 4) Si
se tiene que S – T + Q = ?
A = 15x3 + 2xy – 5y2 + 3x2
B = -3xy + 7y2 – 2x2 – 12x3
luego A – B =
A)
B)
C)
D)
E)
–3a - 4b
–3a - 8b
13a - 4b
13a - 8b
Otro valor
A) 3x3 + 12y2 – 5x2 – 5xy
B) 3x3 + 2y2 – x2 + xy
C) 27x3 – 12y2 + 5x2 + 5xy
D) 3x3 – 2y2 + x2 + xy
E) 27x3 – 2y2 + 5x2 – 5xy
5) Si x =-6 ; y =-2 ; luego el valor de la 6) De 3x – 2 artículos fabricados hay
expresión (x – y)2·(x + y) es:
2x – 3 defectuosos; luego los buenos son:
A) -128
A) x
B) -64
B) 1
C) 128
C) x - 1
D) 512
D) x + 1
E) Otro valor.
E) x - 5
7) ¿Para cuál(es) de los siguientes valores 8) Si a , b y c son tres números enteros;
de “n” se cumple que n 3 + n 2 – 2n = 0 ?
l) n =-1
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo l
Sólo ll
Sólo lll
Sólo ll y lll
Todos
ll) n = 1
entonces 2a + b + c es un número par si:
lll) n =-2
(1) b y c son números impares.
(2) b y c son números pares.
A)
B)
C)
D)
E)
(6)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por si sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Ejercicios Propuestos:
1) Reducir términos semejantes en:
(a) 5x - 11y - 9 + 20x - 1 - y =
(c) 15a2-6ab-8a2+20-5ab-31+a2-ab =
(b) -6m + 8n + 5 - m - n - 6m - 11 =
(d) m2+71mn-14m2-65mn+m3-m2-15m2
+ 6m3 =
2) Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas, si a=1; b=2;
1
2
1
c=3 ; d=4 ; m= ; n= ; p= ; x = 0.
2
3
4
(a) (b - m)(d - n) + 4a2 =
(b) b2(c + d) - d2(m + p) + 2x =
(c) 2mx + 6(b2 + c2) - 4d2 =
(d)
d(m + n) a 2 + b2
:
=
2
a
c
3) Al escribir en su forma más reducida:
4) Si a la suma entre “a” y “b” se le resta
-x3 + 5x2y + 2xy 2 + 2y 3 - 6x2y + 2x3 – y3 =
la diferencia de “a” y “b” se obtiene:
A) x3 + x2y + y3
A) 2a
B) x3 + x2y + 2xy 2 - y3
C)
x3
-
x2 y
+
2xy2
+
y3
B) 2b
C) 0
D) –x3 + x2y – 2xy 2 – y3
D) –2a
E) –x3 - x2y + 2xy2 – y3
E) –2b
5) Si P=5x2y-3xy+4xy2; Q=8x2y+5xy-7xy2 6) Una persona tiene 3m + n lápices de
R =-9x2y-6xy-5xy2 ; luego la expresión los cuales m – n son azules; m – 4n son
rojos y el resto son negros. ¿Cuántos
equivalente a P – (Q – R) es:
lápices negros tiene?
A) 4x2y - 4xy + 8xy2
A) m + 6n
B) 6x2y - 2xy - 8xy2
B) m – 4n
C) 22x2y + 8xy + 2xy2
C) 5m – 4n
2
2
D) -12x y - 14xy + 6xy
D) 5m + 6n
E) Otra expresión.
E) Otra expresión
(7)
7) Un equipo deportivo convierte m
puntos en su primer partido, m-5 en el
segundo y m+10 en el tercero. ¿Cuántos
puntos convierte en el cuarto partido si
en total obtuvo 4m puntos?
A) m – 5
B) m + 5
C) 2m + 5
D) 2m – 5
E) m + 15
8) Si S = 3x – 2 ; T = -x + 3 ; U = 2x + 1.
De las siguientes proposiciones es (son)
verdadera(s):
l) S + T = U
ll) T – U = -S
lll) U – S = T
A) Sólo l
B) Sólo l y ll
C) Sólo l y lll
D) Sólo ll y lll
E) Todas
9) Al restar 5x3 – 2x2 + 3x – 1 de la suma
de 6x3 + 5x – 2 con –4x2 – 2x + 5 se
obtiene:
A)-x3 + 2x2 – 4
B) x3 – 2x2 + 12
C) x3 – 6x2 + 4
D) x3 – 2x2 + 4
E) x3 + 6x2 + 4
10) Si x =-3 ; y =-1 ; entonces el valor de
a
8
; el valor de x para a =
;
bc
15
4
10
b=
y c=
es:
5
9
A) 0,6
B) 1
C) 1, 6
D) Casi 1/3
E) casi 3
11) Si x =
la expresión (x – y)3 – (x + y) 2 – 4x2y3 es:
A)
B)
C)
D)
E)
–60
–58
12
28
Otro valor.
2
a+b
; b = 3a y c =
; luego
3
2
a +c
el valor de la expresión
=?
b
A) –1
B) –1/3
C) 0
D) 1/3
E) 1
12) Si a = −
13) S p = 3 y q = -3 . ¿Cuál(es) de las 14) Se puede obtener el valor de la
siguientes expresiones es (son) de valor expresión a2 – 2ab + b2 si:
igual a 18 ?
(1) a = 5 y b = 2a
2
2
2
2
b
l) p + q
ll) p – pq
lll) q – pq
(2) b = 10 y a =
2
A) Sólo l
B) Sólo l y ll
C) Sólo l y lll
D) Sólo ll y lll
E) Todas.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional.
Respuestas Ejercicios Propuestos Clase-17
1) D
2) C
3) C
4) B
5) D
6) C
7) C
8) D
9) B
10) B
11) C
12) D
13) C
14) B
15) A
16) E
17) C
18) D
(8)