UNIVERSIDAD INCA GARCILASO
DE LA VEGA
Facultad de Ingeniería administrativa
e Ingeniería Industrial
ESTADISTICA I
UNIDAD 4: Distribución de Frecuencias Bidimensionales
Sesión 9
Variables Aleatorias Bidimensionales
Introducción
El resultado de un experimento puede generar también dos o más variables
aleatorias de importancia. Ejemplo: se extrae aleatoriamente un estudiante
de cierta universidad y se anota su estatura x y su peso y, consideramos el
par
(x, y) como un solo resultado del experimento.
Definición
Si Ω es el espacio muestral asociado aun experimento y x e y son dos
funciones que asigna número real x = X(w), y = Y(w) a cada uno de los
elementos de w ∈ Ω, el par ordenado (x, y), se llama variable aleatoria
bidimensional o vector aleatoria bidimensional.
Variables Aleatorias Bidimensionales
El rango de la variable aleatoria bidimensional (x, y) es:
R x*y =
𝒙, 𝒚 𝐥 𝒙 ∈ 𝑹𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹𝒚
Es decir, es el producto cartesiano de los rangos de las variables aleatorias X e
Y. La probabilidad de estos eventos se escribe:
P(x = a, y = b), P(x ≥ 𝒂, 𝒚 = 𝒃)
Ejemplo 1
Una tienda comercial tiene dos vendedores A y B. Sea X el número de televisores
vendidos en un día por A e Y el número de televisores vendidos en un día por B.
Entonces el rango será:
Rx = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 y Ry = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒎
Se tiene también que: x = 2, y = 4, es el evento: “A vende por lo menos 2 televisores
y B vende 3”
Ejemplo 2
Una urna contiene 3 bolas numeradas 1, 2, 3 respectivamente. De la urna se
extraen 2 bolas al azar una a una con reposición. Sea x el número de la primera
bola que se extrae, e Y el número de la segunda bola que se extrae.
Se tiene que el par (x, y) es una variable aleatoria bidimensional con rango:
Rx*y = {(𝒙, 𝒚) / 𝒙, 𝒚 ∈ {𝟏, 𝟐, 𝟑}} pues Rx = Ry = {𝟏, 𝟐, 𝟑}
Distribución Bidimensional Discreta
Definición
Sea (x, y) una variable aleatoria bidimensional discreta con rango Rx*y. A cada
posible resultado (x, y) de (X, Y) asociamos un número,
p(x, y) = P(X = x, Y = y)
Llamado la función de probabilidad conjunta, que cumple con las siguientes
condiciones:
a) p(x, y) >= 0 ∀ (x, y)
b) σ 𝑥,𝑦 ∈𝑅𝑥𝑦 σ 𝑝 𝑥, 𝑦 = 1
Los valores 𝒙, 𝒚 , 𝒑(𝒙, 𝒚)
probabilidad conjunta.
∀ (x, y) ∈ Rx*y, se llama la distribución de
La probabilidad de un evento cualquiera A en Rx*y (A ⊂ Rx*y) está definido
por:
P 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑨 = σ
𝒙,𝒚 ∈𝑨
𝒑(𝒙, 𝒚)
Distribución Bidimensional Discreta
Si la variable bidimensional es finita su representación tabular es:
Distribución Bidimensional Discreta
La función de distribución acumulada de la variable aleatoria bidimensional está
definida por:
𝒀
F(x, y) = p (X <= x, Y <= y) = σ𝑿
𝒖=−∞ σ𝒖=−∞ 𝒑(𝒖, 𝒗)
Ejemplo 3
Hallar la distribución de probabilidad conjunta y su gráfica de la variable
aleatoria bidimensional definida en el ejemplo 2
El rango de la variable aleatoria (X, Y) es:
Rx*y = {(𝒙, 𝒚) / 𝒙, 𝒚 ∈ {𝟏, 𝟐, 𝟑}}
Rx*y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
Luego: p (1,1) = p(x = 1, y=1) = 1/9
p (1,2) = p(x = 1, y=2) = 1/9
p (1,3) = p(x = 1, y=3) = 1/9 etc.
Se tiene que p(x, y) = 1/9,
x = 1, 2, 3
y = 1, 2, 3
Es la función de probabilidad conjunta de X e Y.
Ejemplo 4
Sea (x, y) la variable aleatoria bidimensional del ejemplo 1. Suponga que la
distribución de probabilidad conjunta x e y está dada por la siguiente tabla:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que cada vendedor vende a lo más 1 televisor?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que B venda más televisores que A?
a) Se debe calcular la probabilidad del evento
(x ≤ 1, y ≤ 1)
P(X ≤ 1, Y ≤ 1) = F(1, 1) = p(x=0, y=0) + p(x=0, y=1)
+ p(x=1, y=0) + p(x=1, y=1) = 1/16 + 1/8+ 1/16 +
1/8 = 3/8
b) Calcula la probabilidad del evento (x< y)
P(x< y) = p(x=0, y=1, 2) + p(x=1, y=2)
= p(x=0, y=1) + p(x=0, y= 2) + p(x=1, y=2)
= 1/8 + 1/8 + 1/16 = 5/16
Distribuciones Marginales
Definición
La función de probabilidad individual para X e Y se llaman distribuciones de
probabilidad marginal o función de probabilidad marginal.
La distribución marginal para X está dada por:
PX(x) = p(X = x) = σ𝒚∈𝑹𝒚 𝒍 𝑿=𝒙 𝒑 𝑿 = 𝒙, 𝒀 = 𝒚 = σ𝒀∈𝑹𝒚 𝒑(𝒙, 𝒚)
La distribución marginal para Y está dada por:
PY(y) = p(Y = y) = σ𝒙∈𝑹𝒙 𝒍 𝒀=𝒚 𝒑(𝒙, 𝒚)
Distribuciones Marginales
El nombre de marginal se debe a que los valores de estas distribuciones están
dadas por la suma total en los márgenes de las filas y columnas de la
representación tabular de p(x, y)
Ejemplo 5
La función de probabilidad conjunta de la variable aleatoria (x, y) está definida
por:
p(x, y) =
𝒙+𝒚
𝟑𝟐
, x = 1, 2 y = 1, 2, 3, 4
Hallar la distribución de probabilidad marginal de X y de Y
σ𝒚∈𝑹𝒚 𝒍 𝑿=𝒙 𝒑 𝑿 = 𝒙, 𝒀 = 𝒚 = σ𝒀∈𝑹𝒚 𝒑(𝒙, 𝒚)
a)
pX (x)
= P(X = x) = σ𝑹𝒚 𝒍 𝑿=𝒙 𝒑 𝒙, 𝒚 = σ𝟒𝒚=𝟏
=
𝒙+𝟏
𝟑𝟐
+
𝒙+𝟐
𝟑𝟐
+
𝒙+𝟑
𝟑𝟐
Luego, pX (x) = P(X = x)
X
𝒙+𝟒
+
𝟑𝟐
𝟐𝒙+𝟓
=
𝟑𝟐
𝒙+𝒚
𝟑𝟐
, x = 1, 2 es la función de probabilidad marginal de
b) pY (y) = P(Y = y) = σ𝒙∈𝑹𝒙 𝒍 𝒀=𝒚 𝒑(𝒙, 𝒚) = σ𝟐𝒙=𝟏
𝒙+𝒚
𝟑𝟐
=
𝟏+𝒚
𝟑𝟐
+
𝟐+𝒚
𝟑𝟐
Luego, pY
Y
(y)
= P(Y = y) =
𝟐𝒚+𝟑
𝟑𝟐
, y = 1, 2, 3, 4 es la función de probabilidad de
Distribución de Probabilidad Condicional
Definición
Si (x, y) es una variable aleatoria bidimensional discreta, la función de
probabilidad condicional de X dado Y = y, se define por:
𝒑(𝒙,𝒚)
px|y (x|y) =
𝒑𝒀 (𝒚)
𝒑𝐘 (𝒚) > 0
Similarmente la función de probabilidad condicional de Y dado X = x, se
define por:
𝒑(𝒙,𝒚)
py|x (y|x) =
𝒑𝑿 (𝒙)
𝒑𝐗 (𝐱) > 0
Ejemplo 6
Sean X e Y dos variables aleatorias cuya función de probabilidad conjunta
esta definida por:
𝒑 𝒙, 𝒚 =
𝒙+𝒚
𝟑𝟐
x = 1, 2
y = 1, 2, 3, 4
Hallar:
a) La función de probabilidad condicional de X, dado Y = y
b) La función de probabilidad condicional de Y, dado X = x
En el ejemplo 5 se halló las respectivas funciones de probabilidad marginal,
pX (x) =
𝟐𝒙+𝟓
𝟑𝟐
, x = 1, 2
pY (y) =
𝟐𝒚+𝟑
𝟑𝟐
,
y = 1, 2, 3, 4
a) Probabilidad condicional de X:
px|y (x|y) =
𝒙+𝒚
𝟑𝟐
𝟐𝒚+𝟑
𝟑𝟐
=
𝒙+𝒚
𝟐𝒚+𝟑
para x = 1, 2 cuando y = 1 ó 2 ó 3 ó 4
Por ejemplo: p(x=2|y=2) = px|2 (2|2) = 4/7
b) La función de probabilidad de Y:
py|x (y|x) =
𝒙+𝒚
𝟑𝟐
𝟐𝒙+𝟓
𝟏𝟔
=
𝒙+𝒚
𝟒𝒙+𝟏𝟎
para y = 1, 2, 3, 4
cuando x = 1 ó 2
Por ejemplo: p(y=3|x=1) = py|1 (3|1) = 4/14 = 2/7
Esperanza y Varianza de una variable aleatoria
bidimensional discreta
Sea (x, y) una variable aleatoria bidimensional discreta, y H(X, Y) una
función de dos variables aleatorias x e y. El valor esperado de H(X, Y) se
define por:
E 𝑯(𝑿, 𝒀) = σ𝑹 σ 𝑯 𝒙, 𝒚 𝒑(𝒙, 𝒚)
𝒙 𝒚
∗
La varianza de X e Y están dados por:
𝝈𝟐𝒙 = E(x - 𝝁𝒙)𝟐 = σ𝒙∈𝑹𝒙 𝒙 − 𝝁𝒙
𝝈𝟐𝒚 = E(y - 𝝁𝒚)𝟐 = σ𝒚∈𝑹𝒚 𝒚 − 𝝁𝒚
𝟐
px(x) = E(x)2 – (𝝁𝒙 )2
𝟐
py(y) = E(y)2 – (𝝁𝒚 )2
Ejemplo 7
La variable aleatoria bidimensional (x, y) tiene la siguiente distribución de
probabilidad conjunta.
Calculo de la probabilidad marginal
Calcular:
a) E(X+Y)
b) E(XY)
c) E(XY2), E(2XY + XY2)
a) 𝝁𝒙 = E(X) = σ𝒙∈𝑹𝒙 xpx(x) = 0(3/6) + 1(6/12) = 6/12
𝝁𝒚 = E(Y) = σ𝒚∈𝑹𝒚 y py(y) = 1(3/12) + 2(9/12) = 21/12
Ahora: E(X + y) = E(X) + E(Y) = 6/12 + 21/12 = 9/4
b) E(XY) = σ𝑹 𝒙 𝒚 σ 𝒙, 𝒚 𝒑(𝒙, 𝒚) = 0.1 (1/6) + 0.2(2/6) + 1.1(1/12) + 1.2(5/12)
∗
= 11/12
c) E(XY2) = σ𝑹 𝒙 𝒚 σ 𝒙, 𝒚
1.4(5/12) = 21/12∗
𝟐
𝒑(𝒙, 𝒚) = 0.1(1/6) + 0.4(2/6) + 1.1(1/12) +
d) E(2XY + XY2) = 2E(XY) + E(XY2) = 2(11/12) + 21/12 = 43/12
Covarianza y Coeficiente de Correlación
Sean x e y dos variables aleatorias con media 𝝁𝒙 y 𝝁𝒚 respectivamente. La
covarianza de X e Y, denotada por “Cov (X, Y)” , “𝝈xy” se define por:
Cov (X, Y) = 𝝈xy = E[(x - 𝝁𝒙) (y - 𝝁𝒚)]
= σ 𝒙,𝒚 ∈𝑹𝒙∗𝒚 𝒙 − 𝝁𝒙 (y - 𝝁𝒚) p(x, y)
La covarianza puede ser negativa, cero o positiva.
Sean X e Y variables aleatorias con desviación estándar 𝝈x y 𝝈y
respectivamente. El coeficiente de correlación de X e Y, denotado por
𝝆 𝑿, 𝒀 se define por:
𝝆 𝑿, 𝒀 =
𝑪𝒐𝒗 (𝒙,𝒚)
𝝈x 𝝈y
Ejemplo 8
La función de probabilidad conjunta de (x, y) está dada en la tabla.
Calcular:
a) Cov (x, y)𝝈𝟐𝒙
b) 𝝈𝟐𝒙
c) 𝝈𝟐𝒚
d) 𝝆 𝑿, 𝒀
e) 𝝈𝟐𝒙+𝒚
f) 𝝆 𝟐𝒙, 𝟑𝒚 + 𝟒
a)
E(X) = 0(5/8) + 1(3/8) = 3/8
E(Y) = 0(2/8) + 1(3/8) + 2(3/8) = 9/8
E(XY) = 0(1/8 + 2/8 + 2/8 + 1/8) + 1(1/8) + 2(1/8) = 3/8
Por lo tanto Cov (x, y) = E(XY) – 𝝁𝒙 𝝁𝒚
= (3/8) – 9/8 * 3/8 = - 3/64
b)
E(X2) = 0(5/8) + 1(3/8) = 3/8
Luego, 𝝈𝟐𝒙 = 3/8 – 9/64 = 15/64
c)
E(Y2) = 0(2/8) + 1(3/8) + 4(3/8) = 15/8
Luego, 𝝈𝟐𝒚 = E(Y2) – (𝝁𝒚)2 = 15/8 –(9/8)2 = 39/64
d)
Se tiene, 𝝈x = √𝝈𝟐𝒙 = √15/64 = √15 / 8
𝝈y √𝝈𝟐𝒚 = √39/64 = √39 / 8
𝑪𝒐𝒗 (𝒙,𝒚)
Por tanto, 𝝆 𝑿, 𝒀 =
𝝈x 𝝈y
e)
=
− 𝟑/𝟔𝟒
𝟏𝟓∗𝟑𝟗
𝟔𝟒
𝝈𝟐𝒙+𝒚 = 𝝈𝟐𝒙 + 𝝈𝟐𝒚 + 2Cov(x, y)
= 15/64 + 39/64 + 2(- 3/64) = ¾
f)
𝝆 𝟐𝒙, 𝟑𝒚 + 𝟒 = 𝝆 𝑿, 𝒀 = -1/√𝟔𝟓
= - 1/ √𝟔𝟓
