HIDRODINÁMICA TEOREMA DE BERNOULLI

HIDRODINÁMICA
Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de
las leyes de los fluidos en movimiento
Cuando un líquido está en movimiento, las
moléculas de este se deslizan unas sobre otras
de tal manera que se presenta rozamiento en este
desplazamiento, al cual se le denomina
viscosidad.
Solamente vamos a trabajar con fluidos de poca
viscosidad como lo es el agua.
PRINCIPIO DE CONTINUIDAD:
Este principio se emplea para tener en cuenta que
al desplazarse un fluido por una tubería, la
cantidad de materia que entra por unidad de
tiempo debe ser la misma que sale en el mismo
tiempo, no importa que la abertura de salida sea
diferente a la de entrada.
x1
x2
V0
V
a
A
TEOREMA DE BERNOULLI
Relaciona la disminución de la presión de un
fluido en movimiento cuando aumenta la
velocidad.
Este teorema se utiliza cuando hay variación de:
área de sección transversal y de altura.
La ecuación a utilizar es:
Po + ρgho + 1/2ρv2o = P + ρgh + 1/2ρv2
Po = presión inicial
ρ = densidad del fluido
Vo = velocidad inicial
P = presión final
V = velocidad final
Ejemplo:
Se tiene un depósito de agua, al cual le llega
constantemente para que el nivel se mantenga
estable, este depósito se encuentra abierto a la
presión atmosférica, a una altura h con respecto
al nivel del fluido se abre un orificio pequeño.
¿Cuál es la velocidad con que fluye e agua por el
orificio?
vo =0
Po
A = sección transversal de entrada
a = sección transversal de salida
cantidad de materia que entra / t = cantidad de materia que sale / t
ME / t = MS / t
ρVE / t ρVs / t
ho
volumen de fluido que entra / t = volumen de fluido que sale / t
P = Po
v
Ax1 / t = ax2 / t
AVo = aV
AVo = aV
De acuerdo con la ecuación de Bernoulli tenemos:
PRINCIPIO DE TORRICELLI:
Relaciona la velocidad de salida de un líquido a través
de un orificio de un recipiente, con la altura del líquido
situado por encima de dicho agujero.
La velocidad de salida de un líquido a través de un
orificio localizado a una altura determinada con
respecto al nivel del mismo, es la misma velocidad que
adquiere un objeto en caída libre desde el nivel del
líquido hasta el sitio en el cual está hecho el orificio.
Po + ρgho + 1/2ρv2o = P + ρgh + 1/2ρv2
Po = presión atmosférica
Vo = 0 el nivel del agua permanece estable
h = 0 altura con respecto al nivel de referencia
P = presión atmosférica
Po + ρgho + 0 = P + 0+ 1/2ρv2
V2 = V2o + 2gh
V2 = 2gh
V=
2 gh
ρgho = 1/2ρv2
v=
2 gh 0
Expresar la densidad 1.2 gr / cm3 en Kg / m3
h
V
1.2
gr
cm
3
x
1 Kg
3
10
x
10 gr
2
cm 
3
1m
6
3
=
;
1
1 . 2 x10 Kg
3
10 m
3
V
1.2
gr
cm
3
= 1.2x103
Kg
m
3
gr
cm
3
= 103
Kg
m
3
HIDROMECÁNICA
C) la velocidad del líquido en la sección C.
EJERCICIOS
3
Un líquido de densidad ρ g/cm se desplaza como
Por la ecuación de continuidad
indica la figura:
AV1 = aV2 ;
πR22 Vc = π R12 VB
P1
V1
Despejando la velocidad Vc se obtiene:
A
R1
Vc =
R2
h1
2
Vc
2
D) La presión en la sección C.
A partir de la ecuación de Bernoulli en las secciones B y
C se tiene¨
Pc + ρghC + 1/2ρv21 = PB + ρghB + 1/2ρv22
La alturas hC y hB son iguales por tanto se anulan
R2cm
estos términos.
P2
C
Pc + 1/2ρv21 = PB + 1/2ρv22
B
Pc - PB = 1/2ρv22 - 1/2ρv21
C = 1/2ρ(v22 - v21)
h2
La diferencia Pc - PB es la presión manométrica
H
Quiere decir que la presión absoluta en C es la
D E
presión atmosférica menos esta presión.
E
E) La diferenta de altura entre las columnas de
mercurio del tubo en U.
Hallar: A) la velocidad de salida del líquido. B) La Igualando las presiones en D y E se tiene:
cantidad de líquido que sale por segundo. C) La
velocidad del líquido en la sección C. D) la presión en la Pc + ρHg gH + ρgh3 = PB + ρgh2
sección C. E) la diferenta de altura entre las columnas ρHg gH + = PB - Pc + ρgh2 - ρgh3
de mercurio del tubo en U.
A partir de la ecuación de Bernoulli.
P - P   gh 2 -  gh 3
H= B C
R1cm
h3
R1 cm
 Hg g
P1 + ρgh1 + 1/2ρv21 = P2 + ρgh2 + 1/2ρv22
EJERCICIO:
El corazón lanza 64 cm3 de sangre por segundo
A)
2
Las presiones P1 y P2 son iguales, ambas están en la aorta, de sección 0.8 cm . a la salida de la
aorta, la sangre se expande en 5 millones de
expuestas a la misma presión atmosférica.
-7
2
La velocidad V1 = 0 ya que el nivel del agua permanece capilares, cada uno de sección 4x10 cm . ¿Cuál
es la velocidad de la sangre en los capilares?
estable.
ρgh1 = ρgh2 + 1/2ρv22 amplificando por 2 y
A partir de la ecuación de continuidad
cancelando las densidades tenemos:
V2 = 2 g  h 1  h 2 
Esto quiere decir que la ecuación de Bernoulli
contiene la ecuación encontrada por Torricelli.
B) La cantidad de líquido que sale por segundo
A partir de la ecuación de continuidad se tiene:
AV1 = aV2 ; donde a = π R2 es el área de salida
La cantidad de líquido que sale es aV2
Entonces la cantidad de líquido que sale por segundo
es: π R2V2 (el radio lo expresamos en metros).
Si se quiere saber en litros por segundo, las unidades
de longitud se expresan en decímetros y al efectuar las
operaciones se obtiene dm3; un decímetro cúbico
equivale a un litro.
AV1 = a V2
3
AV1 = 64
cm3
; V1=
64 cm / s
0 . 8 cm
V2 =
AV 1
a
; V1 = 80 cm/s
2
;
V2 =
64 cm / s
20 x10
0 . 8 cm x 80 cm / s
6
5 x10 x 4 x10
3
V2 =
2
1
cm
V2 = 32 cm / s
2
7
cm
2
HIDRODINÁMICA
1. El teorema de Bernoulli es una consecuencia de
la:
A) Conservación de la masa.
B) Conservación del volumen.
C) Conservación de la cantidad de movimiento.
D) Conservación de la energía mecánica.
E) Conservación del momentum.
2. Un depósito muy grande contiene agua, de
densidad ρ, hasta cierta altura h. Se abre un
pequeño orificio en el fondo.
En la parte superior del depósito la presión
atmosférica es p. La velocidad de salida del agua
por el orificio, en un gas (aire) de presión p, es:
A)
D)
gh
B)
2
C)
gh
2 ( p   gh )
E)

2 gh
2 (  gh  p )

3. En la parte superior del depósito del ejercicio
anterior, hay vacío. La velocidad de salida del
agua por el orificio, en el vacío, es:
A)
D)
gh
B)
2
C)
gh
2 ( p   gh )
E)

2 gh
2 (  gh  p )

El siguiente enunciado sirve para contestar las
preguntas 7 a 9.
Un tubo cilíndrico horizontal, de radio 10 cm, se
estrecha hasta la mitad de su radio original. Cada
segundo sale de la parte estrecha  litros de agua.
7. La velocidad del agua en la parte estrecha es:
A) 0.04 cm /seg B) 0.2 cm /seg C) 4 cm /seg
D) 40 cm /seg
E) 200 cm /seg.
8. La velocidad del agua en la parte mas ancha, es:
A) 5 cm /seg B) 10 cm /seg C) 30 cm /seg
D) 80 cm /seg E) 160 cm /seg.
9. La diferencia de presión entre los puntos 1
(parte ancha) y 2 (parte estrecha) es:
A) 750 dinas /cm2
B) 850 dinas /cm2
2
C) 1500 dinas /cm
D) 1600 dinas /cm2
E) 3000 dinas /cm2.
La siguiente información sirve para contestar las
preguntas 10 y 11.
En cierto punto 1 de un tubo de sección A1, la
velocidad es v1. En otro punto 2 situado a una
distancia h por debajo del primero, la sección es
A2 =
A1
3
y la velocidad es v2.
La presión es la misma en los dos puntos.
4. En la parte alta del deposito del ejercicio anterior, 10. La velocidad v1 es:
la presión es 2p. La velocidad de salida del agua
A) 1/2 gh ; B) 2 gh ; C)
por el orificio, en un gas de presión p, es:
E) 5 gh .
gh
A)
B) gh
C) 2 gh
2
11. La velocidad es:
2 ( p   gh )
2 (  gh  p )
A) 1/2 gh .
D)
E)


5. En la parte superior del deposito del ejercicio
anterior, la presión es p. La velocidad de salida
del agua por el orificio, en un gas de presión 2p,
es:
A)
D)
gh
B)
2
2 ( p   gh )

C)
gh
E)
2 gh
2 (  gh  p )

B)
2 gh .
C)
3 gh
3 gh
; D) 3/2
gh
.
D) 3/2 gh .
E)
5 gh
.
El corazón lanza 64 cm3de sangre por segundo en
la aorta, de sección 0.8 cm2. a la salida aorta, la
sangre se expande en 5 millones de capilares,
cada uno de sección 4 x10-8 cm2.
HIDRODINAMICA
12. La velocidad de la sangre en la aorta es:
A)
B)
C)
D)
E)
13.
14.
80 cm / seg.
50 cm / seg.
40 cm / seg.
32 cm / seg.
20 cm / seg.
Con respecto al problema anterior la velocidad
de la sangre en los capilares es:
A) 800 cm / seg.
B) 500 cm / seg.
C) 400 cm / seg.
D) 320 cm / seg.
E) 200 cm / seg.
Por un tubo de sección Ao = 30 cm2 fluye agua
con velocidad Vo = 4 m / seg. Si el tubo se
estrecha hasta tener una sección A= 10 cm2, la
velocidad del agua es:
A) 10 m / seg.
B) 12 m / seg.
C) 14 m / seg.
D) 16 m / seg.
E) 20 m / seg.
17. Ahora en la parte superior del depósito hay aire
a una presión de 2,5 p, (p = presión atmosférica)
P =105 Nt /m2 ; la densidad del fluido es = 103
Kg /m3. La velocidad de la salida del agua por el
orificio es:
A) 10 m/seg; B) 12 m/seg; C) 14 m/seg;
D) 16 m/seg; E) 20 m/seg.
18. Si el orificio se encuentra a 5 m de altura sobre
el suelo. La distancia horizontal que recorre el
agua en la caída es:
A) 10 m;
B) 12 m;
C) 14 m;
D) 16 m;
E) 20 m.
La siguiente información sirve para contestar las
preguntas 19 a 22.
El tubo de la figura tiene en X una sección de 20cm2
y en Y una sección de 5 cm2. Cada segundo sale del
tubo 4 litros de agua.
Y
Py
X
Px
15.
El tubo del problema anterior se ramifica en tres
tubitos, cada uno de sección 4 cm2. La
velocidad del agua en cada tubito es:
A) 10 m/seg.
B) 12 m/seg.
C) 14 m/seg.
D) 16 m/seg.
E) 20 m/seg.

h
N
M
’
19.
La velocidad del agua en la salida es:
A) 80cm/s; B) 100cm/s;
c) 150cm/s;
D) 200cm/s; E) 250cm/s.
En un depósito muy grande de agua, abierto a la
presión atmosférica, se hace un pequeño orificio
sobre una pared lateral, a una profundidad de 5 m.
20.
La velocidad del agua en Y es:
A) 800cm/s; B) 1000cm/s; c) 1500cm/s;
D) 2000cm/s; E) 2500cm/s.
16.
21.
La diferencia de presión entre los puntos X y Y
es:
A) 100.000 dinas /cm2;
B) 200.000 dinas /cm2.
C) 300.000 dinas /cm2;
D)400.000 dinas /cm2.
El siguiente enunciado sirve para contestar las
preguntas 16 a 18.
La velocidad de salida del agua es:
A) 10 m/seg.
B) 12 m/seg.
C) 14 m/seg.
D) 16 m/seg.
E) 20 m/seg.