Tema 2 1

UNIDAD 2: FUNCIONES.
2.1 Definición de variable, función, dominio y rango de una función.
2.1.1 Definición de Variable: Es una literal a la que se le pueden asignar, un número ilimitado de valores; las cuales se
designan usualmente con las últimas letras del alfabeto las cuales son p, q, r, s, t, u, w, x, y, z. y algunas letras del alfabeto
griego.
2.1.2 Una función (f): es una regla que produce una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos tal que a cada
elemento del primer conjunto le corresponde un elemento y solo uno del segundo.
Para comprender su comportamiento, las funciones pueden ser representadas en cuatro formas. Cada representación
describe de una manera particular a la función, por lo que a menudo es conveniente pasar de una forma de representación a otra,
mismas que son:
a) Verbalmente
(mediante una descripción en palabras.)
Consiste en una descripción de la función con palabras, para denotar la relación entre la variable dependiente e
independiente. Por ejemplo:
1. El área de un círculo depende de la longitud de su radio; si se conoce la longitud del radio, podemos determinar
el área. Decimos que el área es una función del radio.
2. El costo semanal de producir cualquier artículo depende del número de artículos producidos. Decimos que el
costo es una función del número de artículos.
3. Las prestaciones otorgadas por el sistema de seguridad social de un país depende de su tasa de desempleo.
4. La cantidad de cierto artículo que el fabricante ofrecerá depende del precio que pueda lograr. La cantidad es una
función del precio.
b) Numéricamente
(por una tabla de valores.)
Se obtiene por medio de una tabla de valores. Esta representación es muy útil cuando el dominio y la imagen
de la función son conjuntos discretos. Por ejemplo:
1. Los costos mensuales de un pequeño fabricante están dados, en miles de dólares, x representa el
número de empleado y f  x  representa el costo promedio por empleado.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
7 5.33 4.5
4 3.67 3.43 3.25 3.11 3
f  x  12
c) Visualmente
(por una gráfica.)
Mediante una gráfica observamos el comportamiento de una función principalmente cuando no se tiene la
expresión algebraica. Con esta representación se puede emplear la curva para hacer predicciones, o bien, es
posible encontrar la ecuación que satisface la gráfica o por lo menos una parte de ella. Sea f una función,
entonces la grafica de f es el conjunto de todos lo puntos  x, y  en el plano cartesiano para los cuales
y  f  x ”.
Por ejemplo:
1. Las siguientes gráficas.
d) Algebraicamente
(por una fórmula explicita.)
Hace uso de una expresión algebraica, para describir con precisión la manera en que están relacionadas las
variables. Permite calcular el valor de y para un valor determinado de x ; a tal proceso se le conoce como
evaluación de funciones. Los siguientes son ejemplos de funciones representadas algebraicamente:
x 1
g ( x)  x
f ( x)  x  2
i ( x )  2^ x
h( x ) 
x
Definición de función: Una función f es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A
exactamente un elemento, llamado f  x  , en un conjunto B. El número f  x  es el valor de f en x y se lee
“f de x”. Por lo general denotamos a las funciones con las letras f , g , F ó G
2.1.3 Definición de Dominio:
El conjunto A es llamado el dominio de la función y se representa a menudo por D f .
Un símbolo que represente un número arbitrario en el domino de una función f es llamado variable
independiente.
Obtención del dominio de una función D f .
El dominio de una función son los valores posibles de x (variable independiente) y estos valores serán
aquellos para los cuales la expresión y  f  x  exista, es decir, y  f  x  esté definida en los reales.
En general, para determinar el domino de una función debemos tener presente dos reglas:
1. Si f  x  es un cociente, éste no existe si el denominador se hace cero, por lo que se deben de eliminar del
dominio aquellos valores de x (de los reales) para los que ocurra esto.
2. Si f  x  es una raíz cuadrada, éste existirá sólo si el radicando es positivo o cero, es decir, si y  m
donde m  f  x  , existirá si m  0
2.1.4 Definición de Rango:
El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f  x  cuando x varía entre todos los valores del
dominio, representándose por R f
Un símbolo que represente un número en el rango de f es llamado una variable dependiente.
Obtención del Rango de una función R f .
Para obtener el rango (valores de y ) en una función y  f  x  es el siguiente:
i. Despejar la variable x de la función y  f  x .
ii. El rango será el conjunto de valores que puede tomar la variable “ y ” despejada la variable x
Ejemplos de Evaluación de funciones:
Ejemplo 1:
Dada f  x   2 x 2  5 x  1 evalúe el valor de f cuando x  a, x  3, x  2, x   1 4 , es decir,
determine f a , f 3, f  2, f  1 4 .
Solución:
f x  2 x 2  5 x  1
f a   2a 2  5a  1
f 3   23  53  1  4
2
f  2  2 2  5 2  1  19
2
 4  2 1 4  5 1 4 1  19 8
2
f 1
Ejemplo 2:
Dada g x   3 x 2  2 x  5
Evalúe
a) g1  h ;
b) g1  gh ;
g  x  h  g  x 
c)
h
Solución:
a) Nuestra función original es g x   3 x 2  2 x  5 ; nos piden evaluar g1  h , es decir, lo único que
tenemos que hacer es sustituir la x en la ecuación g x   3 x 2  2 x  5 por 1  h , por lo que
tenemos:
2
g 1  h  31  h  21  h  5
g1  h  31  2h  h2   2  2h  5
g1  h  3h2  4h  6
b) Aquí reemplazamos la x por 1 y h , respectivamente en nuestra ecuación g  x  por separado y
posteriormente realizamos la suma de ambos resultados obteniendo:
2
g 1  31  21  5  6
gh  3h2  2h  5
g1  gh  6  3h2  2h  5
c) En este caso reemplazamos la x por x  h , restamos la función original g  x  y al resultado lo
dividimos entre h ,
2
2
teniendo: g  x  h  3 x  h  2 x  h  5  3 x  2 x  5  h3h  6 x  2
en consecuencia:
g x  h  g x   3 x 2  2 x  5  h3h  6 x  2  3 x 2  2 x  5  3h  6 x  2
h
h
Ejemplos de obtención del dominio de una función:
2
1. Determinar el domino de la función g , donde g  x  
x
Solución:
2
Para que g  x  
exista, x debe ser diferente de cero, por lo que decimos que el dominio de g son
x
todos los reales excepto el cero
3
2. Determinar el domino de la función g , donde g  x  
x 1
Solución:
3
Para que g  x  
exista, x  1 debe ser diferente de cero, es decir debemos de investigar para que
x 1
valores de x , x  1  0 , por lo que sólo debemos despejar x de la igualdad anterior obteniendo los
valores x , mismos que serán eliminados del domino de la función, en nuestro caso tenemos: x  1  0 
x  1 . Así, el dominio de g son todos los reales excepto el -1
2
3. Determinar el domino de y  x   2
x  16
Solución:
El domino no existe si, x 2  16  0
x 2  16
x  4
por lo que el domino de y son todos los reales excepto  4
x2
4. Determinar el domino de y  x  
2
2x  5x  2
Solución:
2 x 2  5x  2  0
(2 x ) 2  5(2 x)  4  0
El domino no existe si, (2 x  4) (2 x  1)  0
(2 x  4) (2 x  1)
0
2
1
2 x  1 x  2  0
2 x  1  0 ó
1
ó
x
2
 x  2  0
x2
por lo que el domino de y son todos los reales excepto
1
, 2
2
5. Determinar el domino de y  x   x
Solución:
El dominio existe si, x  0 , por lo que el domino de y son todos los reales mayores o iguales a cero
6. Determinar el domino de y  x   x  2
Solución:
El dominio existe si, x  2  0 , por lo que x  2 , así, el domino de y son todos los reales mayores o
iguales a -2
7. Determinar el domino de y  x   4  2 x
Solución:
El dominio existe si, 4  2 x  0
4  2x
4
x
2
2 x ó
x2
así, el domino de y son todos los reales menores o iguales a 2
8. Determinar el domino de y x   x 2  1
Solución:
El dominio existe si, x 2  1  0
 x  1 x  1  0
 x  1  0   x  1  0
x  1  x  1
así, el domino de y es  ,1  1, 
Ejemplos de obtención del rango de una función:
1.
2.
Encontrar el rango de la función y  x  1
Solución:
i. Despejando x tenemos x  y  1
ii. Observando la identidad anterior notamos que no existen restricciones para la variable “ y ”, por lo
que podemos decir que el rango es el conjunto de los números reales.
Encontrar el rango de la función y  x 2
Solución:
i. Despejando x tenemos x   y
Observando la identidad anterior notamos que y existen solo si y  0 , por lo que podemos decir
que el rango es el conjunto de todos los valores para los cuales y  0 .
1
Encontrar el rango de la función y 
x
Solución:
1
i. Despejando x tenemos x 
y
ii. Observando la identidad anterior notamos que “ y ” tiene que ser diferente de cero, por lo que
podemos decir que el rango es el conjunto de todos los reales excepto el cero.
Encontrar el rango de la función y  x 2  1
Solución:
i.
Despejando x tenemos x 2  y  1
ii.
3.
4.
x   y 1
ii.
Observando la expresión
y  1 , notamos que solo existe si y  1  0 es decir existe solo si y  1 , por lo
que podemos decir que el rango es el conjunto de todos los reales mayores o iguales que 1.