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UNICIDAD DE TRIANGULOS

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Matemáticas
Secundaria
º
1.
UNICIDAD DE TRIÁNGULOS.
Qué vamos a aprender: Análisis de la existencia de unicidad en la construcción de triángulos
Materiales: libretas, lápiz, regla, popotes o tiras de madera o
tiras de cartón, hojas recicladas, compas.
(1 semana)
Del 9 al 13 de noviembre 2020.
Te explico
Tanto los triángulos como cuadriláteros poseen características propias que definen
su construcción, forma y dimensiones.
En el caso de los triángulos, estos poseen tres lados que forman tres ángulos que,
aunque pueden ser diferentes, su suma es siempre de 180°.
Dicho de otra manera la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 1800
La unicidad es una característica de los triángulos en la que, dadas unas medidas
específicas, sólo se podrá construir un triángulo, respetando las propiedades de
estos.
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS.
Recuerda que los triángulos son figuras geométricas formadas por tres lados y tres
ángulos. Por lo tanto los triángulos se pueden clasificar según sus lados y según sus
ángulos.
Según sus lados son: Equilátero, isósceles y escaleno.
Según sus ángulos son: Acutángulo, rectángulo y obtusángulo.
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Observa la siguiente ilustración para entender mejor la clasificación de los triángulos.
La unicidad triangular es la propiedad que tienen los triángulos que me permite
saber, si se pueden construir o no dichos triángulos.
Para empezar.
Cuando se pide construir una figura geométrica con ciertas condiciones a veces es
posible hacerlo y a veces no. Por ejemplo. ¿Crees que es posible trazar un triángulo
cuyos lados midan 10 cm. 1 cm. y 1 cm? ; ¿Por qué?
Este es el tipo de reflexiones que realizarás en este tema, es importante que hagas
tus suposiciones y luego trates de comprobarlas.
Consideremos lo siguiente.
Recorten popotes, tiras de madera o tiras de cartón de las siguientes medidas.
2 cm.
3 cm.
4 cm.
5 cm.
6 cm.
8 cm.
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Traten de formar triángulos, usando como lados tres de los pedazos del material que
cortaste. Verifica la siguiente tabla, formando los triángulos que aparecen en ella, y
observa porque algunos si se pudieron trazar y otros no.
Medidas de las tiras para formar el
triángulo.
¿Es posible trazar el triángulo?
8 cm, 3 cm, 2 cm.
NO
8 cm, 6 cm, 4 cm.
SI
8 cm, 4 cm, 2 cm.
NO
6 cm, 4 cm, 3 cm.
SI
6 cm, 3 cm, 2 cm.
NO
Si construiste los triángulos con las tiras que cortaste de acuerdo a las medidas que
aparecen en la tabla, te darás cuenta que solo dos triángulos se pueden construir y
tres no. ¿Por qué pasa esto?
Esto se debe a cierta propiedad que guardan los lados del triángulo. Esta propiedad
nos dice:
Para poder construir un triángulo, la suma de la medida de dos de sus lados debe
ser mayor a la medida del tercer lado.
Tomemos como ejemplos dos medidas de los lados de un triángulo que aparecen
en la tabla.
Ejemplo 1.
Medidas: 8 cm, 3 cm, 2 cm.
Lo que haremos es sumar dos de sus lados y comparar el resultado con el tercer lado,
en todos los casos la suma debe ser mayor que la medida del tercer lado.
8 + 3 = 11,
8 + 2 = 10,
3 + 2 = 5,
11 es mayor que 2, que es la medida del tercer lado
10 es mayor que 3, que es la medida del segundo lado.
5 es menor que 8, que es la medida del primer lado.
Como puedes observar, no todas las sumas de dos de los lados son mayores que la
del tercer lado. En el último caso la suma fue menor, por lo tanto, el triángulo con
las medidas mencionadas, NO SE PUEDE CONTRUIR.
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Ejemplo 2.
Medidas: 8 cm, 6 cm, 4 cm.
Repetimos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior.
8 + 6 = 14,
8 + 4 = 12,
6 + 4 = 10,
14 es mayor que 4.
12 es mayor que 6.
10 es mayor que 8.
Como puedes observar, en todos los casos, la suma de las medidas de dos de los
lados es mayor que la medida del tercer lado, por lo tanto, el triángulo con las
medidas mencionadas, SI SE PUEDE CONSTRUIR.
De esta forma puedes saber, cuando es posible o no construir un triángulo dadas
sus tres medidas.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.
En matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen las mismas
dimensiones y la misma forma sin importar su posición u orientación.
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Lo mismo ocurre con los triángulos. Dos triángulos son congruentes cuando sus
lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes
tienen la misma medida. Sin importar la posición u orientación en la que se
encuentren.
Los triángulos anteriores son congruentes ya que tienen las mismas medidas aunque
no conserven la misma posición.
El símbolo utilizado para señalar congruencia es el siguiente.
Los criterios de congruencia de triángulos más usuales son tres.
1.- Criterio LLL (Lado, lado, lado)
2.- Criterio ALA (Ángulo, lado, ángulo)
3.- Criterio LAL. (Lado, ángulo, lado)
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Observa los siguientes ejemplos, en ellos te podrás dar cuenta si existe o no
congruencia y de que criterio se trata.
Ejemplo 1.
En este caso los lados correspondientes de ambos triángulos tienen las mismas
medidas, por lo tanto podemos decir que existe congruencia por el criterio LLL
(Lado, lado, lado).
Ejemplo 2.
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Los triángulos son congruentes, porque tienen respectivamente congruentes dos
ángulos y el lado comprendido entre ellos. Criterio ALA (ángulo, lado, ángulo).
Ejemplo 3.
Como te puedes dar cuenta, en este caso ambos triángulos tienen los lados
correspondientes iguales y el ángulo comprendido entre ellos tambien es igual, por
lo tanto podemos decir que existe congruencia por el criterio ALA (lado, ángulo,
lado).
PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS.
Perímetro es la medida obtenida como resultado de la suma de los lados de una
figura geométrica plana. Es decir, el perímetro es lo que mide el contorno de la figura.
El perímetro es, por tanto, una medida de longitud, por lo que vendrá en
centímetros, metros, pulgadas… en general, en unidades lineales.
Para calcular el perímetro de una figura, basta con sumar todos sus lados, sin
embargo, existen fórmulas que nos pueden llevar a calcularlo de una manera más
sencilla.
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ÁREA DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS.
El área o superficie de una figura plana hace referencia a la cantidad de espacio que
se encuentra delimitado dentro de una figura plana. Sin embargo a diferencia del
perímetro en donde para calcularlo solo necesitábamos sumar sus lados en este caso
se utilizan diversas fórmulas y procesos para poder encontrar el área de una figura
plana. Dependiendo cuantos lados tenga esta y si es regular o irregular.
El área o superficie además es una magnitud de dos dimensiones es decir involucra
siempre el largo y el ancho de una figura por lo que la unidad de medida que
utilicemos debe ser expresada siempre al cuadrado. Ejemplo cm2, m2, km2, etc.
En este caso calcularas áreas de triángulos y cuadriláteros, por lo que es
conveniente recordar que son los cuadriláteros y como se clasifican.
No se te olvide, que al inicio de la ficha, mencionamos como se clasifican los
triángulos según sus lados y según sus ángulos, igual mencionamos cuanto suman
sus angulos interiores.
Un cuadrilátero, en matemáticas es un polígono que cuenta con cuatro ángulos y
cuatro lados.
La suma de sus ángulos interiores es de 3600.
Los cuadriláteros se clasifican de la siguiente manera.
Es necesario mencionar que en la primaria aprendiste a calcular áreas y perímetros
de figuras geométricas, incluyendo la longitud de la circunferencia y el área del
círculo.
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Para ayudarte a recordar, puedes apoyarte en el siguiente formulario de perímetros
y áreas, que aparece a continuación.
A continuación algunos ejemplos de perímetros y áreas de figuras geométricas.
Triángulo isósceles.
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Rectángulo.
Cuadrado.
Recuerda que elevar un número a la segunda potencia o al cuadrado, consiste en
multiplicar el número por sí mismo (1.20)2 = 1.20 x 1.20 = 1.44
Rombo.
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En este caso para hallar el perímetro, tambien se puede multiplicar la medida de un
lado por el número de lados, ya que el rombo tiene sus cuatro lados iguales.
P = 4 x 5 = 20 cm
Trapecio.
Romboide.
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Polígono regular (Pentágono).
Longitud de la circunferencia y área del círculo.
Longitud de la circunferencia = perímetro.
Para aprender más
Como sugerencia y si cuentas con los medios necesarios puedes apoyarte en los
siguientes videos.
Video. UNICIDAD DE TRIANGULOS
https://www.youtube.com/watch?v=9SHUf5K2ESk
Video. CONGRUENCIA Súper fácil congruencia para principiantes
https://www.youtube.com/watch?v=Y37rNwZ_aGc
Video. CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Súper fácil
https://www.youtube.com/watch?v=U4MTmLvvKQ4&t=50s
Video. Perímetros y áreas de figuras.
https://www.youtube.com/watch?v=s4l-jE3RhVg
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Manos a la obra
Resuelve.
1.- Recuerda que en la primaria aprendiste a trazar triángulos con escuadra y
compas. Si no te acuerdas fíjate bien en las imágenes. Te servirán de apoyo para las
actividades siguientes.
2.- Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar los siguientes triángulos cuyos
lados midan.
a) 8 cm, 9 cm, 7 cm.
b) 9 cm, 5 cm, 6 cm.
c) 6 cm, 3 cm, 2cm.
3.- Respondan las preguntas.
a).- ¿Pudieron trazar los tres triángulos? ________________
b).- ¿Cuál no fue posible trazar? ____________________
c).- Si dos lados de un triángulo miden 6 cm y 3 cm, indiquen una posible longitud
para el tercer lado, de manera que se pueda trazar el triángulo. _________________
d).- Tracen triángulos en los que dos de sus lados midan 6 cm y 3 cm, y escribe cuanto
midió el tercer lado. _________________
e).- Si se pone la condición de que la medida del tercer lado sea un número entero,
¿Cuántos triángulos diferentes pueden trazarse con dos lados que midan 6 cm y
3cm? _________________
4.- Propongan tres medidas de lados diferentes a las anteriores para que puedan
trazar un triángulo.
a).- ¿Cuáles son esas medidas? ____________, ____________, ____________
b).- Tracen el triángulo y verifiquen sí pudieron trazarlo; si no pudieron intenten con
otras medidas y escríbanlas.
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5.- Sin hacer trazos, escriban SI a los triángulos que se pueden trazar y NO a los que
no se pueden trazar.
Medidas de los lados del triángulo.
¿Es posible trazar el triángulo?
10 cm, 5 cm, 5 cm.
8 cm, 9 cm, 2 cm.
1 cm, 0.5 cm, 2 cm.
2.5 cm, 3 cm, 1.5 cm.
4.5 cm, 3.5 cm, 9 cm.
6.- Analiza los siguientes triángulos y con base en la información, determina si son
o no congruentes y por qué criterio.
580
2cm
1
2
1010
3 cm
3
2cm
4 cm
cmc
mcm
Escribe tu respuesta:
cmc
7.- Encuentra el perímetro de las siguientes
mcm figuras geométricas.
a).- Un cuadrado que mide 16.4 cm, de lado.
b).- Un rectángulo que mide 35. 5 cm, de largo y 23.7 cm, de ancho.
c).- La longitud de la circunferencia que tiene un radio de 3 cm.
3 cm
210
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8.- Encuentra el área de los siguientes polígonos.
a).- Un triángulo que tiene de base 16.4 cm, y una altura de 12.6 cm.
b).- Un hexágono regular que mide 8.5 cm, por lado y de apotema 6 cm.
c).- Un romboide de 15.3 cm, de base y 9.7 cm, de altura.
d).- Un rombo, cuya diagonal mayor es de 13.2 cm, y diagonal menor 10.4 cm
e).- Un trapecio de base mayor 18 cm, base menor 11 cm, y altura 9 cm.
Repaso y practico
Resuelve los siguientes problemas.
1.- Antonio realiza su entrenamiento diario, corriendo alrededor de un parque de
forma rectangular que mide 56 m, de largo y 43 m, de ancho, si en el entrenamiento
de hoy Antonio dio 12 vueltas al parque ¿Cuántos metros y cuántos kilómetros
recorrió?
2.- Una persona quiere colocar triple cerca de alambre alrededor de un terreno en
forma de pentágono regular que mide 45 m, por lado ¿Cuánto gastará en alambre,
si el metro cuesta $21.50?
3.- Calcula el número de mosaicos cuadrados que hay en un salón rectangular de 6
m de largo y 4,5 m de ancho, si cada mosaico mide 30 cm de lado.
4.- Calcula cuál es el precio de un mantel cuadrado de 3,5 m de lado si el m2 de tela
cuesta $98.5
5.- Calcula lo que costará sembrar césped en un jardín de forma circular que mide 3
m, de radio, si el metro cuadrado de césped plantado cuesta $53.5
Lo que aprendí
Rellene los círculos si observa que su hijo(a) logró lo siguiente.
o Identifica cuando un triángulo se puede o no se puede trazar.
o Entendió los criterios de congruencia de triángulos.
o Comprende como se clasifican los triángulos por sus lados y por sus ángulos.
o Utiliza las fórmulas de perímetros y áreas para resolver problemas.
o Resolvió los ejercicios de la ficha con ayuda.
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