Bol etin de Malematicas
Vol.
IX, N"
/JP. /-37
(. QUE
ES LA
MATEMATICA
MODERNA
?(O)
F. SMITHIES
1. Introcluccion.
Lo pri mero que debe dec i rse acerc a de 10 que comunmente
"moderna"
es que realmente
no es tan moderna como podri a suponerse.
te de ella fue de hecho cre ada.hace mas de cincuenta
aire de novedad es que sclamente
rio en la ensefianza
solamente
ticas
nuevas maternaticas
mientras
en la ultima
Gran par-
afios (*). Lo que Ie da
qeneracion
un
ha tenido un efecto se-
de matemati cas en las carreras de nue stras universidades
en los ultimos
de la escuela
se II ama matemati ca
aries se ha empezado a sentir su impacto en las materna-
secundaria.
Un tal desfasamiento
es natural e inevitable;
usual mente se crean como herramientas
no sean mas que eso no hay razones que obliguen
simple de exponerl as
0
y
a reexaminar
las
de inve sti qacion
y
a buscar la forma mas
a la luz de elias partes mas elementales
de
la matemati ca. Es al empezar a ensefiar un tema nuevo cuando la sirnpl ifi cacion
principia
ycuando
esto se ha logrado uno empieza a apreciar
jas del nuevo punto de vista en niveles
Ouiero ilustrar
mas bien elemental;
(0)
Esre
art iculo
esto examinando
Mathematical
re vi s t a,
N. del E.
Gazette"
venta-
mas elementales.
las line as de cambio en lin tema particular
con este proposito
fue originalmente
en "The
las posibles
publicado
"01. XLVII,
he escogido
can "I titulo
el algebra
"What
1963 y se publica
lineal
is Modern
v,
y
en parti-
Mathematics'"
con la au t o ri z ac ion de dicha
1'
cular, la
teoria
sobre las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales.
EI problema de resolver sistemas de la forma
con coeficientes
ax
+
by
..
I)
ex
+
dy
=
q
numericos. fue atacado exitosamente por los antiguos babilonios
y en Ias matematic as escol ares son fami I lares, desde hace Iargo tiempo, los ej ercicios acerca de soluciones de tt ecuaciones con tt incognitas,
para valores pe-
quefios de n. Hasta el siglo diez y ocho poca atencion se presto a los casos excepcionales,cuando
el sistema no tenia solucion
0
tenia muchas ; esos casos
se
consideraban como accidentes desagradables resultantes de un problema mal planteado. Vale la pena sefialar de pasada el viejo habito maternatico de considerar
que un problema debe tener una solucion uni ca
0,
en el peor de los casos, un nu-
mere finito de soluciones (como en las ecuaciones cuadrati cas).
Esto esta pro-
bablemente ligado al hecho de que uno Ileva a cabo una oper acion aritmetica
con
el objeto de calcular un resultado especifi co y realiza una construccicn qeometrica para obtener una figura bien determinada. En las matematicas elementales muy
poe as veces, como en el caso de I as ecuaciones dicfanticas,
infinite
se obtiene un range
de soluciones de un problema dado.
EI siglo diez y ocho aporto el concepto de determinante y la solucion explicita, por la regia de Cramer, de un sistema de tt ecuaciones lineales con n incognitas. Pero el caso excepcional permanec io en la
penumbra; inclusive
10 dejo de lado, con la observacion de que la cl asificacion
Jacobi
de sistemas con deter-
rninante nulo parecia ser un asunto tedioso.
EI descubrimiento,
2
per Sylvester, de la nocion de rango y la creaclon por Cay-
ley, del calculo de matrices lograron nuevos progresos ; sus trabajos condujeron a
unateoria
completa de los sistemas de ecuaciones lineales a la cual contribuye -
ron Kronecker, Dodgson y otros. La teoria descansaba fuertemente en las propie dades de los determinantes, ya que el range de una matri z se defini a como el orden de su maximo menor no nulo y aSI continuo haciendo se hasta fechas comparativamente recientes;
la
una soberbia exposiclcn de esta version puede hallarse en
Introduction to higher algebra
cher. Mi propia introduccion
<Introduccion al Algebra Superior), 1907, de Be-
al tema en 1929 era.una serie de lecciones en las cua-
les todo el enfasis estaba en el estudio de ias propiedades de los determinantes
por si mlsmas, y las aplicaciones
a sistemas de ecuaciones eran incidentales.
La s herramientas para el sigui ente paso fueron creando se durante la ultima
parte del siglo diez y nueve. Los matematicos gradualmente fueron liberandose de
Ia idea de que una ecuacion expresaba una igualdad entre numerus ; la aparicion ,
primero de los ruimeros complejos y luego de los cuatemios,
lnicio este proceso ;
la teoria de grupos contribuyo a su desarrollo y el cal culo de matrices de Cayley
hizo aun mas. Hasta entonces el lenguaje qeometrico se habia confinado a situaciones que podrian ilustrarse en unespacio
de dos
0
tres dimensiones, perc Cay-
ley 10 uso temeraria y exitosamente en el caso n-dimensional.
EI Ausdehnungs-
l ehre (Teoria de la extension), 184:1 y 1862, exhibia un punto de vista aun mas
qeometrico, siendo un primer intento hacia una geometrfa intrfnseca de un espacio
de
n
dimensiones;
def inia, por ejemplo, la nocion de independencia lineal de un
conjunto de vectores y la de dimension de un subespacio. En este punto no puedo
resistir
Bourbaki
la tentacicn de citar una observacion de una de las notas histortcas
de
(Algebre . Cap. III> : \\ situados entre, por una parte, los metodo s pura-
mente sinteticos,
una especie de lecho de Procustes sobre el cual sus ortodoxos
3
di scipulos
se someten a la tortura y, per otra,
un sistema de coordenadas
impuesto arbitrariamente
cesidad de alqdn tipo de calculo
por Leibnitz
qecmetrico,
e imperfectamente
zado por la escuela cuaternista
calar y vectorial
mo un lenguaje
separadamente.
se referian
al espacio de 3 dimensiones,
para el matematico
aplicado
que co-
a aparecer, en conexlon
con in-
qeometr ico para el algebra.
sobre los fundamentos
de varias porciones
Hilbert
es-
Por mucho tiempo, sin embargo, la
Hacia fines del siglo diez y nueveempezaron
vestigaciones
de aqui na-
en las cuafes los productos
solamente
mas como una herramienta
fue quizas el reali-
Tait y sus st!guidores;
del algebra yectorial,
mayor parte de estos trabajos
uno siente la ne-
como el son ado, pero no creado,
hacia un tal calculo
de Hamilton,
eran tratados
y se consideraban
exitoso
tal
al espacio,
a
por Camet ~'
bosquejado
EI primer intento parcialmente
cieron otras formulaciones
losmetodo s analitic os, ligados
de la Matematica;
y otros en los fundamentos
sistema de axiomas de Euclides,
los numerus naturales.
mas para un espacio
vectorial
del tema, formulaciones
axiomaticas
son bien conocido.s los trabajos
de la qeornetria
que correqian
de Pasch,
las fall as en el
como tambien 10 son los axiomas de Peano para
Menos familiar,
dis cusion, fue la enunci acionpor
logicos
pero de mayor importancia
en la presente
parte de Peano, en 1888, de un sistema de axio-
real con un nurnero finito
de dimensiones.
E I si gu iente gran paso fue dado como resul tado de Ias pri meras i nvestigaciones sobre espacios
siglo.
Hilbert
vectoriales
habia usado un espacio
en la teori a de las ecuaciones
ces icn infinita
(xl.x2'
es convergente.
E. Schmidt
4
infinitodimensionales
...
particular
integrales;
de esta clase como herramienta
un punto de este esp acio es una su-
) de nurneros reales
y M. Frechet
en los albores del presente
tal que la serie x~+xl
introdujeron
ststematicarnente
+ ..•
el len-
guaje geometrico en la discuslon del espacio de Hilbert.
Por algun tiempo habian
aparecido esporadicamente en Matematicas sistemas con una infinidad de ecuaciones lineales en una infinidad de incognitas y von KOch habia atacado valientemente estos problemas creando una tecria de determinantes infinitos
embargo, revelo ser de limitada aplicabilidad.
En 1909 Toeplitz
la cual,
sin
abandono el en-
foque via determinantes y trato dichos sistemas por medic de 10 que ahora deberiamos lIamar metodo s vectoriales;
para la investiqacicn
estos fueron recoqidos por F. Riesz y otros
de los numerosos espacios infinite dimensi onales que rapi-
damente apareci an en escena.
La axiomatizacidn
lIego lentamente-pues
no era aun un habito matematico-pe-
ro comenzoen 1922 cuando Banach y Wiener, independientemente, dieron sistemas
de axiomas para una ampli a clase deespacios
infinito-dimensionales;
alrededor
de 1929 von Neumann y Stone formularon axiomas para los espacios de Hilbert. AI
mismo tiempo se difundia lentamente el convencimiento de que ahora era posible
dar un nuevo enfoque al caso infinito-dimensional
Ia
; el uso de los determinantes en
teori a de los si stemas de ecuac ion es Iineal es fue gradual mente abandonado en
favor de los metodo s vectoriales.
Los axiomas de espacio de Hilbert, con algu-
nos cambios menores, proporcionaron una axlornati zaclon nueva y simple para los
espacios euclideancs
finito dimensionalesy
por 10 tanto un calculo qeornetrico de
I a clase mencion ada por Bourbaki, capaz de dar descripciones
gama de situaciones
denadas "impuesto
qeometricas.
arbitrariamente
sin sujecion
simples de una gran
a un sistema particular
de coor-
al espacio".
EI desarrollo de veloces computadoras electr6nicas
tambien ayudo a relegar
los determinantes ; se encontro que la solucion explicita
de un sistema de ecua-
ciones lineales en terminos de detefminantes no era, en la practica,
la manera
5
mas rapida ni ta mas confiable para obtener larespuesta.
La evolucion que he descrito ha dado como resultado una nueva union del algebra y la geometri a proporc ionando, como veremos mas detail adamente adelante ,
un acceso mucho mas directo a la teoria de los sistemas de ecuaciones 1ineales;
la introduccion
de ideas procedentes del anal isis tambien se ha facilitado
ha hecho mas accesible,
juntos convexos ylas
y se
por ejemplo, la discuslon de las propiedades de los con-
desigualdades lineales asi como sus aplicaciones
ala pro-
qramacion lineal.
En el resto de este articulo c ambiareIa dlrecclon del enfoque de nuestro tema;
en lugar de examinar el impacto de ideas matematicas nuevas en un sector de las
matematicaselementales,
considerate uno tras otro algunos de los conceptos ba-
sicos de la maternatica contemporanea tratando de indicar suinfluencia
unifica-
dora en diversas ramas del pensamiento matematico.
2. La T f:Oria Je Con;untos.
2.1.
Empezamos con el concepto de conjunto el cual es hoy en dia el mas fun-
damentalen
toda la estructura de la Matematica. No deseo verme involucrado aqui
en las dificultades
logicas y paradojas que han fastidiado
ala teoria de conjun-
tos en los ultirnos 60 aries ; simplemente adoptare el punto de vista desprevenido
sequn el cual un conjunto es una cierta colec clon de objetos del pensamiento, e.
g. puntos 0 ruimeros 0 vectores. De hecho, las paradojas y lasdistinciones
les queenfrenta
elIcqico
suti-
rnatematico solo raramente afectan la labor del trabaja-
dor matematico ; y cuando elias levantan sus desaqradables cabezas es normalmente bastante faci I hall ar una manera practi ca de evitar Ia di fi cultad.
En consecuencia, consideramos un conjunto como una colecclon de objetos
6
0
elementos
Y usamos la notacion
xEA
es un miembro del conjunto
para indicar que el elemento x pertene-
ce
0
Par ejemplo, si x es un punto del plano Y
A
es una linea en el mismo plano, considerada como el conjunto de todos los pun-
A.
tas que la conform an, entonces
x E A qui ere que el puntox
esta en la linea
A.
2.2. Decimos que el conjunto
A
esta contenido en B,
es un
A
yescribimos
a A tambien pertenece a B·
del conjunto
B,
que
0
si cada elemento que pertenece
A C B,
POr ejemplo, el conjunto
teres de 4 es un subconjunto del conjunto
ra que un conjuntoes
subconjunto
A de los multiples en-
B de los ntimeros pares. Se conside-
un subconjunto de si mismo, de tal manera que siempre te-
nemos A CA.
EI conjunto de los elementos
te comin 0
interseccion
x tales que x E A
de A y B se denota per
nen elementos comunes, en otras palabras,si
que su interseccicn
es el
conjunto nulo
0
Y x E B,
A (\ B.
y B
A
son
conjunto vado ,
An
¢ ; en este caso podemos entonces escribir
esto es, la par-
Si A Y B no tie-
disyuntos
decimos
el cual denotamos por
B = ¢.
Consideramos que ¢
es un subconjunto de cual quier conjunto de tal manera que siempre tenemos ¢ CA.
Siempre se hace distlncicn
co miembro es x;
al otro.
entre un elemento x y el conjunto
los enunciados
xE A
Y
Ix I
C A
son equivalentes
Podemos observar la convenienci a de tal distincicn
Si A es un subconjunto de un conjunto fijo
Y puede denote-se
por
sefialanoo
uno
que ¢
I ¢ I tiene un elemento.
no tiene elementos perc
x que pertenecen a
Ix I cuyo uni-
perc noa
E
C
A,
A" 0
A
E, el conjunto de los elementos
se llama el
complementa
E - A . Claramente
de
A (en E)
E' = ¢, ¢'= E ,
(A 'J" = A.
7
EI conjunto
union
ma la
conjuntos
(A
n
de los elementos
de
A y B
tales
que
fijo
Estos
nes de union e interseccion
se verifica
E,
resultados
x Eo A
0 X E B
facilmente
se describen
son duales
(0 ambas)
se lla-
AU B . Si A Y B son ambos
Y se de nota por
de l1I1 con junto
B)' '" A'~U B'.
x
que
(A U B)' '" A'r) B',
diciendo
una de la otra,con
sub-
que las operacio-
respecto
ala
comple-
ment acion .
Hay numerosas
troducido;
identidades
por ejemplo,
que conectan
EI conjunto
a estas
de todos
los subconjuntos
es un ejemplo
estrechos
De la estructura
vinculos
formal
les. Anteriormente
cualquier
presable
especial,
condi cicn
=I p,
8
de un
deriva
los matematicos
impuesta,
"locus"
(luqar),
una lecci6n
estaban
diqarnos.a
para describir
Pero la neqacion
por ejemplo,
0 el conjunto
Iun
dado
de
algebra
circuitos
Boole:
tales
electricos
semiplano)
con interrupdigitales.
central
al hablto
en el
de pensar
de un punto,
deberia
y, mas aun, introdujeron
un conjunto
en el cual
algebras
para las matematic as el ementa-
la posicion
de puntos
con respecto
E
su posicion
entregados
de una ecuacion
el conjunto
y
de conjuntos
por medio de una 0 mas ecuaciones
esta manera.
Considerar,
de un conjunto
con el di seiio de computadores
del algebra
tema podemos en este punta
(A U C)
'" A.
en muchas p ates, desde loqi ca hasta
y tienen
n
(AnB)U(AOC)
A U A '" A (lA
tres operaciones,
aparecen
teres
como
(A U B)
(B U C)
An
leyes
que hemos in-
tenemos
A U (B fl C)
y tambien
las tres operaciones
de puntos
( x , y)
ax
+ by
una pal abra
Tales
de
; ,-par que no
del plano tal que
< p?
ser ex-
determinado
no es una ecuacitin
que
ax
conjuntos
+ by
son a menudo extremadamente utlles ; por ejemplo, el interior de un polfgono convexo puede siempre represe-ntarse como la interseccion de un ruimero finito de semiplanos. Un campo nuevo de la matematica, la prcqramacion lineal, con sus numerosas aplicaciones
en proyectos
a gran escala y de diversas clase s, se ocu-
pa principalmente de resolver sistemas de tales desigualdades lineales.
2.3. Frecuentemente queremos considerar conjuntos cuyos elementos son a su
I ¢ I ; por otra parte, podemos
vez conjuntos ; ya hemos mencionado el conjunto
formar el conjunto de todas las rectas eri un plano dado. Un ejemplo especialmente importante es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado E ;
P
este conjunto se denota
(E) .
Otra operacion importante es la formacicn del producto de dos conjuntos
B . Si
x E A
Y
YE
denotamos por
B,
x como primer elemento y
= (X2'
Y2)
ordenadas
si Y solo si
y
Xl
(x, y) con x
='
EA
(x, y) la pareja ordenada
A y
form <KIapor
como segundo elemento ; de tal manera Que (x
x2
Y
Y
Yt " Y2.
YE
B
es el
Por ejemplo, 'si
I'Y
1)
EI conjunto de todas las parejas
producto
de A y B' Y usual-
mente se denota per
A x B·
recta real, entonces
A x B es el conjunto de todas las parejas ordenadas
A
y. B son ambos iguales a la
(x, y)
de mirneros reales y puede representarse por medio del conjunto de todos los puntas de un plano;
de aqui la hoy comun notacion
IR2
( abrevi aclon de lR x IR )
para designar un plano dado.
3. Relaciones
y Funcio~-es.
3.1· Sean E y F
vi ales y de excepcton.
dos conjuntos dados ; supondremos, para evitar casas trique ninguno de ellos es vacio. Supongamos tarnbien que sa-
9
bemos 10 que significa
decir que un elemento
y de
con un elemento
x R y
yescribamos
F
x de E
0
en E ~cuando
E = F.
f: y F pueden designar ambos el conjunto de los ntirneros reales y
<;
puede ser la relacidn
R
R
para indicar esta atlrmaclon.Dl-
remos en este caso que R es una relaclon en (E. F) ~
POr ejemplo,
esta en fa relacion
en este caso x
R
y
qui ere decir sirnplemente
x <v•
R. podemos definir un subconjunto correspondiente
Dada una tal relacion
del producto
GR
Ex
F .. GR
(x, y) tales que x
E E
fica
R .. se trata de fa natural extension
de la relacldn
•
Y
es el conjunto de todas las parejas ordenadas
E F
Yademas
x R y.
Decimos que GR
Ex
F ,- podemos definir
simplemente que (x, y) E G .. entonces
G es un subconjun-
R conviniendo que
G
gra-
a esta situacion de la no-
cion elemental de gratica de una funclon. Reciprocamente, si
to arbitrario de
es la
x
R
y
es la gratica de la relacion
significa
R.
Lue-
go hay una correspondencia uno-a-uno entre relaciones en (E. F ) Y subconjuntos
de Ex
F.
En esta seccion describiremos tres clases especialmenteimportantes
ciones : relaciones de equivalencia,
relaciones de orden y funciones.
3.2. Si E es un conjunto dado, una relaclon
equivalencia
si satisface
(i)
XRX
un
Si r R
run
Si
xRy
entonces
y
R
en E es una
y
e z ,
x E E ) ..
yRr
entonces
XRZ.
Estas tres condiciones tambien se enuncian diciendo que R
10
relacion de
las condiciones siguientes
(para todo
Y ,
de rela-
es (t) reffexiva,
(ii) simetrica y (iii) transitiva.
Son ejemplos de relaciones de equivalencia:
igualdad en un conjunto arbitrario
E ,. la relacion
e indicando que x-yes
par un entero fijo
divisible
la
y
definida en los enteros
m:
la rel acion de paralelis-
x R
mo entre lineas rectas en el plano, con la convene ion de que cualquier recta es paralela a si misma
Cuaido
R es una relacion de equivalencia en E.
es posible realizar una par-
tic ion de E en clases de equivalencia disyuntas entre sf ; todos los miembros de
una misma clase son equivalentes entre sf y dos elementospertenecientes
ses distintas
nunca sort equivalentes entre sf. Cuando R
da clase contieneun
es la igualdad en E ca-
solo elemento; en nuestro segundo ejemplo, todos los rniem-
bros de una misma clase dejan el mismo residue al ser divididos
por
tercer ejemplo cada clase corresponde a una direccicn enel plano.
tel cualquier particion de E
lacion de equivalencia
x y y
a cla-
en
m,.
en el
Reciprocamen-
en clases (suoconjuntos) disyuntas determina una re...
E;
en este caso convenimos Que x R y siqnifica
Que
pertenecen a una misma c1ase de la particidn .
EI conjunto de todas las clases de equivalencia resultantes al partir
se Ilamael
cociente
de E por R y se denota
te puede especificarse
E por R
Cada clase en el cocien-'
E/R.
per medio de un elemento representante ; e.g. especificar
una direccion dando una recta en tal direcclcn.
3.3. Se dice que una rel acion R en un conjunto
y que
E
es un
conjunto ordenado
(por
R)
si
R
E es una
relacion de orden
tiene las siguientes propie-
dades :
x
(i)
x R
un
Si x R Y
(para todo
y
x Eo E ) ,.
Y R X ,entonces
x =
y
11
«u
x
Si
R Y
y
Y R Z,
Una relacion de orden es entonces reflexiva,
la relacion
y
x.:s
en los ruirneros
f(t)
funciones reales
fica Que
f(t) 'S. get)
positivos
y
m
R
n
si E
real
x y y
en
n
I
S y
de E tal Que x
y
y
Sv
S u,
Infimo,
0
in!(X,Y),
de
'sup
divide an"
x
elementosde
E;
v
u.:s
mas. Sea S
de
y
y.
(A, B)
,
=
R
y 0 Y
pa-
R X;
reales, d i-
x
y
y
una rela-
para todo
y se escribe
v
tal Que x.:s
v
minima cota supeu = sup (x,
y).Una
la maxima cota inferior, extremo inferior
0
Unconjuntoordenadoenelcualcada·parde
Todos los
reticules ; anotamos que.en el caso de la relacton
AU B ,
=n
si hay un elemento u
<el cual es tinico, si exlste) es la
supremo
signi-
de las propiedades de las
un supremo y un infimo se llama un reticulc .
ejellllios mencionadosson
um
u
las
por R.
y ademas
similar puede darse para
elementos posee
se tiene
y y
y Su
diremos Que
rior, extremo .superior
definicion
x
x
en los rnimeros
relaciones de orden pasamos a introducir una definicion
y sean
g
es decir, Que mq
deba tenerse
E
Para ilustrar un poco mas la vasta aplicabilidad
cion de orden en E
de todas
entre subconjuntos de un conjunto E.
AC B
ordenado
es total mente
Ejemplos:
es el conjunto de los enteros
E
s i esto sucede, como en e I caso de Ia rei acion x
remos Que E
y transitiva.
es el conjunto
quiere decir Que m divide a
No hemos supuesto Quedados
R Z .
conviniendo Que f.:s
t ; si
para todo real
q j Ia rei acton
ra algun entero
antisimetrlca
reales;
de una variable
x
entonces
in!
(A, B)
=
An
B
ACB,
; en el caso de la relacion
sup (m, n) es el minimo corruin multiple de my n e
(m, n) es el maximo comun divisor. ASI, las mas diversas situaciones
in!
encuadran
en la misma tecria general y muchas de sus propiedades pueden obtenerse de una
sol
12
a vez.
reticule
Como ejemplo de un conjunto ordenado que no es un
conjunto de todas las funciones
f( r)
reales
(f,g)
0
funcion
que es una
subconjunto
de
D
para algun
y
Para cada
XED
=
f(t)
t
=
get)
y
EF
R en un par de conjuntos.
si siempre que
r
R
y
r. R
Y
se llama el
dominio de definicion
y en
existe un unico
F
0
se tiene
Z
formado por todos los elementos
E
x
R
EI
y
de la funcion .
y : esto nos permite
R
y = f(x) , en lu-
, transformacicn. operador.
En las circunstancias
en
= z.
y
tales que x
domitiio
tal que x
funcio-
es
Ry _ Hay numerosos nombres para el concepto de funcion.segrn el con-
texto, e.g. apltcacton
D
entonces
0,
(E. F)
introducir la notacidn funcional usual, escribiendo, por ejemplo,
gar de x
el
no existe en dicho conjunto .
3.4. Se dice que una re lacich
nal
considerese
Que tienen derivada continua,
con la rel acion de orden antes mencionada; s}
sup
I
el conjunto
se llama
D
f
ces decir que
EI conjunto
F.
para alqun x en
descritas, decimos que la func ion
aplica
D
S de todos los
elrecorrido
sobre
0
imagen
y de
F
f
aplica su dominic
tales Que
y
=
!(xj
de la funcion, podemos enton-
s. Usualmente es conveniente tener
D = E
Y de ahora en adelante supondremos ordinariamente queeste es el caso; en otras
palabras,
la fun cion
f
esta definida en tooo el conjunto
E.
En este punto es conveniente introducir alguna terminologfa reciente. S, la
funcion
f
aplica
sobreyeccion
tal que f(xI):
inyeetiva
0
dice que es
0
E
sobre F,
que es
sobreyectiva.
implica
f(X2)
0
Si la funcion
xl=x2'
inyeccion .
que es una
biyeetiva
de tal manera que S
que es una
Si
sedice
f
f
= F,
se dice que es una
que aplica
que es
E
uno-a-uno
en F
es
<I-I)
0
es a la vez inyectiva y sobreyectiva se
biyeccion : tambien puede describirse
una
13
biyeccion
como una correspondencia
Una funcion
de considerarse
Ex
tonces
de dos variables
x
como una funcion
de una sola variable
La extenslon
F.
inmediata
3.5.
a funciones
en el sentido
considerar
mo funciones
a las Ilamadas
elias
consideradas
siones
y puede conducir
por supuesto,
obtenerse
los los
y
que aplica
en
E
En segundo
un unlco
valor
el valor
relacionados
tervalo
. 1~
tervalo
0
14
en-
general
lugar,
,construyendo
no es deII
trae ciertamente
de elias,
maneras
: puede darse
de
co-
confu-
A partir
a cada elemento
r
leccio-
y deben propiamen-
del logaritmo
a cada
ciertas
de
deuna
pueden,
del domi-
variable
E el conjunto
aSI una genuina
com-
de todos
funcion
PCF).
si y solo si
= g(x)
funciones
de varias
principal
x
con
forma manejable
Hx)
es
(0 multiformes)
definicion
correspondiente
cor responder
amargas que la unlca
Y (iO
nuestra
funciones,
los matematlcos
f=' g
de variables
En primer
y contradicciones.
lugar,
esta :
F , pue-
el producto
les han ensefiado
multivaluadas
; lIamarlas
verdaderas
puede hacerse
de F
que recorre
elementales.
no satisfacen
a paradojas
como se hace at definir
tambien
YE
y
en el uso del concepto
"funciones
como relaciones
una regia para escoger
pleja;
eE
x
raimero finito
de describir,
a las matematicas
te ser
nio,
de los matematicos
genuinas;
~
de cualquier
que acabamos
nes que son aplicables
seable
defin ida para
.
Las experiencias
funcion,
y,
y
E y F.
entre
1 -1
(i)
para todo
r ~1
< I < 2,.
f
y
g
x Eo
D.
debe distinguirse
estas
han
aprendido
de definir
tienen
la igualdad
de la funcicn
coinciden
x2
x2
a veces
de dos funciones
el mismo dominio
ASI, la funcion
dos funciones
por experiencias
es
de definicion
definida
definida
D.
sobre el
sobre el
en la interseccldn
inin-
de sus
dominios, pero no deben considerarse identicas ; ambas son
x2 definida sobre
respectivos dominios, de la funclon
gun dominio mayor. Puede parecer pedante insistir
restricciones ,
-1:;;; X :;;; 2
a sus
0 sobre al-
en este punto pero esto es de
considerable importancia hi storica : no hace mucho mas de un siglo que los matematicos empezaron a liberarse de la idea de que una funcion es 10 mismo que una
expre sion algebraica
0
analitica,
idea esta cuyos rastros aun permanecen hoy
muchas secciones de la ensefienza
en
elemental.
Otra diferencia importante es la existente entre una sucesion
(xn)
yel
con-
junto de sus valores. Una sucesion es sencillamente otro nombre para una funcion
cuyo dominio de definicion
es el conjunto de los enteros positivos
; el conjunto de
valores de la suce slon es precisamente el recorrido de esa funcion. As], (1,0,1,0,
i,o, ... ) es una sucesion infinita pero el conjunto de sus valores es el conjunto
finito
10, 1
I. Esta diferencia aparece a menudo acompaiiada en las presenta-
ciones elementales de las ideas fundamentales del anatisis.
4. Operaciones
algebraic as.
4.1. Sea E un conjunto dado. Por una ley
mos una funcion
res en E.
f
definida en un subconjunto
en E.
=x +y
neural;
de Ex E
(x ,y)
en Ex E
E entende-
y que toma valoEntonces, a
Ie corresponde un unico elemento
En la mayorfa de los casos no usamos un simbolo funcional
que escribimos
z
A
En aras de Ia senci lIez, supondremos que A = E x E.
cada parejaordenada
f(x,y)
de composicion en
x
=
y luego
, z xy , z
escribirunos
y con,
= x- y.
0
z
=
sino
sin, un simbolo especial entre ellos, e. g.
Para fines generales podemos usar algUn simbolo
entonces
15
A manera de ejemplos podemos mencionar la adicion
ruimeros enteros 0 en los reales, la operacion
conjunto dado, la operacion
sup (x
,y)
0
la multip licacion en los
AU B entre subconjuntos de un
en un reticulo .
Hay un cierto ruirnero de propiedades que una ley de composicion dada puede
0
no poseer ; mencionaremos algunas de las mas irnportantes.
Una ley puede ser
conmutativa,
xoy
Una ley puede ser
=yoz
un
:
(X,yEE).
asociativu,
Xo(yoz)
Puede existir
es decir
es decir
=(xoy)oz
elemento
xoe=eox
neutro
e
(x.y,z
E:E).
con respecto a la ley, es decir
=x
(XEE);
anotemos que si existe un elemento neutro entonces es autornatlcamente iinico ,
e' es tambien un elemento neutro, entonces
Pues si
e
r
e s e'<>'
Por ejemplo, la adicion y la multipl ic ac ion de ruimercs reales poseen todas estas
propiedades;
los elementos neutros son
0 para la adi cidn y 1 para la multipli-
cacion.
fa definida por fix)
La funcion
cion a izquierda por a;
si
a
0
r
=a
0
r'
0
si toda translacion
siempre implica que r
piedad cancelativa a izquierda,
16
=a
r
(x
Eo E)
se llama la
a izquierda es inyectiva,
= r',
transla-
es decir,
decimos que la ley posee la
Y analoqamente para translaciones
a derecha.
pro-
e
Si existe unelemento neutro
r'
en E
y, para un r
= e,
tal que x ox' =x'ox
en E dado, hay un elemento
decimos que X'
es un inverso
de x.
Si
la ley de composicicn es asociativa entonces el inverse, cuando existe, es unico,
pues si r"
es tambien un inverso de r , entonces
r ' = r'
0
e
= x'
Para i lustrar estas definiciones
enteros, se verifican
=
(x o'x")
0
(.I' 0 I)
0
x ,.
= e
0
x- " = r '
observemos que, para la multipl icacion en los
la propiedad cancelativa excepto cuando uno de los facto-
res es 0, sin embargo, no todo elemento tiene un inverso ; para la multipl ic acicn
de matrices ttxn,
con n? 2,
fallan las reglas cancelativas
mutatividad, perc aiin se tlene asociatividad
as! como la con-
y elemento neutro ; todas las propie-
dades mencionadas, excepcicn hecha de las reglas de cancel acidn, fallan
para
sustraccicn de rnirneros reales.
En matemati cas se presentan con gran frecuencia leyes de cornposicion que poseen ciertas combinaciones de estas propiedades. POr ejemplo, si en un conjunto
dado
E tenemos una ley de composiclon asociativa,
con elemento neutro y tal
que cada elemerrto de E posee un inverso, deciinos que esa ley determina una
estructura de grupo sobre
E
0
que E
es un grupo bajo dicha Iey. Asi, los nu-
meros reales forman un grupo bajo la adicicn y 10 numeros reales no nulos forman un grupo bajo la multiplicacidn
; ambos son grupos conmutativos.
de grupo no conmutativo 10 constituyen
n ~ 2)
bajo la multlplicacion
las matrices
nx
Un ejemplo
n no singulares
( con
.
En ciertas ocaslones podemos tener mas de una ley de composicidn definida
en un conjunto
signando
E cumpliendo se cier'tas relaciones especiales
las dos leyes por
x0Y •
y
x. y
entre elias. De-
podremos, por ejemplo,
tener :
17
xo (y -
z)
(X- y)oz
Decimos entonces que
0
= ( xo y)
- (x
z) ,
0
=fxoZ)-(yoZ).
distributiva
es
los nurneros reales, la multlplicactdn
con respecto a - . Asi, en el caso de
es distributiva
con respecto a la adicion: por
otra parte, en el algebra de conjuntos, tenemos
A
(l
n B)
U (A
n C)
(A U B)
n (A
U C) ,
(B U C) = (A
A U (B
n C) =
de tal manera que fa union y la interseccion
,to
r
son distributivas,
cada una con respec-
a la otra.
4.2.
Otro tipo de operacion algebraica resulta
definida en Ex
cuando se considera una funcion
ley de
y que toma valores en F .. hablamos entonces de una
F
composiciol1 extema
entre E y F·
ga solo un papel subsidiario,
en F. Por ejemplo, sea E
Cuando, como con frecuencia ocurre,
E jue-
podemos decir simplemente que la ley esta definida
el conjunto de los numeros reales y sea
F el conjun-
1'0 de los vectores del espacio euc Iideano ; podemos entonces formar el producto
A
x
de un numero real
otras feyes ; asi, si
dad mixta : (A 0/1 )
E
0
X
A por un vector
x.
Pueden tenerse varias relaciones con
designa una ley interna en E,
= A (/1
x).
podemos tener asociativi-
A menudo nos representamos los elementos
de
como operado res que actuan sobre los elementos de F.
Au" mas, otro tipo de operacion se presenta cuando tenemos una funcion defi-
nida en Ex
E
y que toma valores en otro conjunto
F.
Como ejemplo, tomemos
como E el conjunto de los vectores en el espacio euclideano y sea F el conjunto de los nurneros reales ; podemos entonces formar el producto esc alar 0 interno
18
r . y de cada par de vectores de E. De nuevo podemos tener en estos casos varias relaciones de asociatividad
4.3.
y distributividad
con respecto a las 9tras leyes.
Fuera de los grupos las estructuras algebraicas mas importantes son los
anillos,
los cuerpos y los espacios vectoriales.
Haremos una breve descripcicn
de
cada uno.
En un
anillo
tenemos dos operaciones internas, denotadas ordinariamente por
x + y Y xy ~ bajo fa primera operaclon el conjunto es un grupo conmutativo;
segunda operae ion es asoclativa y tambien distributiva,
Ejemplos:
la
con respecto ala primera.
n.
en cada ca-
es un anillo con la propiedad adicional de que alquitar
el elemento
los enteros,
0
los ruimeros reales,
0
las matrices n x
so con respecto a la adiclon y la multiplicaclon.
Un
cuerpo
neutrode Ia.primera.operacicn
(usualmente denotado por 0) el resto del conjunto
forma un grupo bajo la segunda operacion, Ejemplos : losmimeros
racionales,
reales, los complejos, los cuaternios. En este ultimo caso la multlpltcacicn
16s
no es
conmutativa.
Decimos, finalmente,
espacio vectorial sobre
Que E es un
hay una ley de composi cion interna denotada por
grupo conmutativo,
por ,\
x
,donde
'\(/lx)=f,\p.)x,
plicaclcn
(/l x ).
en K
(i j)
xEK
(b)
x +y
WI
cuerpo
bajo Ia cual
hay una Iey de composi cion extern a en E.
Y
donde
(c) ,\(x+y)=,\x+,\y,
es un
(a)
1 eselelementoneutrodelamulti-
y
(d}('\+/l)x=(,\x)
Facilmente se comprueba que, en este sentido,los
eucl ideano forman un espacio vectorial
m
denotada
con las siguientes propiedades :
X E E.
l·x=x,
E
K .Si'
+
vectores del espacio
sobre el cuerpo de los mimeros reales.
EXisten muchos otros tipos de estructurasalgebraicas
; mencionamos unicamen-
19
te las algebras
sobre un cuerpo y los modules
Detenqamonos
terminologfa
trado
un momento para preguntarnos
y notacion
c I as ifi cae ion 5 istematica
junto
razones.
rapidamente
de propiedades
particulares.
ciertas
en conuin,
piedades
para los enteros,
y quizas
de mayor irnportanci
estas
estructuras,
los conceptos
podemos
valiosa
estamos
acerca
4.4.
en -posicion
tructura
a guisa
te propcsito
estamos
con alguria
ayudaran
Sea
20
nivel
por ejemplo,
estas
pro-
lugar,
de una de
al li corresponden
en las estructuras
habremos
0 con-
tienen
un nuevo especirnen
que cosas
Ia
de pen-
En tercer
a
de este tipo ; si
obtenido
informacion
adicionales
; para
de abstracc ion empleare
en el cual pueden
vectoriales
ocasional
del espacio
en
do sabre la teori a de los sistemas
se ccion
economia
etc.
una
en
separadamente
ideas algebraicas
n
ilustrarse
una sola
todas estas
; en realidad,
ideas.
Espero
porque
de ecuaciones
que estas
no
es-
Con es-
podemos suponer
eucl ideano tridimensional
dimensiones.
a su vez a sefial ar en mas detalle
la primera
1105,
matrices.
de preguntar
alqunas
con vectores
incursion
construir
nueva estructura.
tornare los espacios
trabajando
las
a estas prequntas,
en un elevado
de modelo
promueven
establecer
reales,
han demos-
que se presentan
que los ani
son importantes
Deseo ahora introducir
tener que mantenernos
lugar,
no necesitamos
Estes
dada posee una propiedad
a, euando encontramos
respuestas
de nuestra
demostrado
de toda la
nos permiten
al gebraicas
En segundo
los numerus
que ya sacemos
encontrar
lugar,
si una estructura
; una vez que hayamos
propiedades
esta secc icn.
En primer
de I as estructuras
y reconocer
samiento
cual es el proposito
que hemps introducidoen
ser de valor per varias
practica
sobre un anillo.
que
ordinario
digresiones
las ideas modern as han actualineales
en la forma descrita
en
de este articulo.
E un espacio
vectorial
sobre,
digamos,
los ruimeros
reales.
Nos pregunta-
mos primero cuales
mismas
si
subconjuntos
x -'- Y Eo M
toncesque
O=O·XEM
siempre
Si
A
M
es un
es un subconjunto
por ejemplo
nuevoun
el mismo
de
generado
combinaciones
lineales
per
n es un entero
An
una relacidn
yRy'
implicanque
quiera
EI
de
= x + (-.1)
subespacios
E/R,
la clase
M
arbitrario,
de
0
X
XEM.
en-
Deci-
E.
de
E que contienen
de todos estos
subespacios
a A.
Decimos
se trata del conjunto
+ An Xn
xl'
a A.
es de
que
M es
de todas
las
son elementos
de
X2 ' •.••
de equivalencia
A.
EM.
x-x
E
(ii)
Sea M
podemos entonces
vectorial
de
E
M
al cual denotaremos
si
(i)
XRX'
A
si
que
x R
es
R
r'
junto
con
laclasedeequivalencia
demostrar
M
que
Iac i I men-
bastante
x R
r'
si y solo
es un subespacio
es una rel ac ion de equivalencia
ahora por
com-
impiicaque
y que se tiene
Reciprocarnente,
E
Xn
en E .. diremos
y
E..
de
•
arbitrarios.
(X+y)R(X'+y')
la rel ac ion
E.
cociente
(x)
M existen
para todo numero real
das las clases
rp
vectorial
de espac io vectori al de
M es un subespacio
x- r '
esta propiedad
siempreque
subespacio
son mimeros reales
conti ene al el emento
tendra
M
bajo las
es un nurnero real, Se tiene
A
-X=(-l)XEM
+ A 2 x 2 + •••
positivo
con I a estructura
si
y
vectoriales
finitas.
patible
(AX)R(Ax')
M
A .. en realidad
A 1 xl
R
EO
y es el menor de los que contienen
el subespacio
Sea ahora
x
E .. la interseccicn
subespacio
y A 1 • A2 ' ...•
que
yque
mos en este caso que
te que
son a su vez espacios
E
leyes de composic idn ; de hecho, un subconjunto
(i)
donde
de
es el conjunto
ElM.
de equivalencia
con respecto
a esta rel acion.
de equivalencia
que contiene
al eiemento
x.
Designemos
Podemos
cualen E.
de topor
ahora
21
convertir a
ElM
en un nuevo espacio vectorial de tal manera que se satisfagan
las relaciones
(jJ(X)+(jJ(Y)~(jJ(X+Y)
(jJ(AX)=A(jJ(x)
,
T odos estos conceptos son claramente apl icables a cualquier estructura algebraica. Podemos preguntarnos por Ias subestructuras
de cual quier estruc tura,
por
la subestructura qenerada por un subconjunto, por las relaciones de equivalencia
compatibles con una estructura y por las estructuras cocientes con respecto a estas relaciones.
vee-
Las cosas no son siempre tan simples como en los espacios
toriates : por ejemplo, no todo subgrupo de un grupo cualquiera puede ser la clase de equivalencia
del elemento neutro con respecto a alguna relac icn de equiva-
lencia compatible ;en esta situacion aparece la clase especial de los subgrupos
normales.
Sean ahora E y F
dos espacios vectoriales
f
los numerus reales, en este caso) y sea
ma valores en F.
Diremos que
f
<sobre el mismo cuerpo, el de
una func ion definida en E
homomorfismo
es un
de
E en
y que toF
si
se
cumple que
frx
f (B)
La imagen
relac ion -
Hx)
=
de E
ffx')
+
y)
= f(x)
por la funcion
ftx)
=
0
f
fey)
f(Ax)=Af(x).
,
es un subespacio vectorial de
es una relac ion de equivalencia
su estructura de espacio vectorial;
que
+
es un subespacio
en
E ,-compatible con
luego el conjunto de todos los
N de E,
lIamado el
F. La
nueleo
x EE
tales
° espacio
10 del homomorfi srno.
Si un homomorfismo es biyectivo,
22
i.e., si
f
(B)
=
E
Y ademas
f(x)=f(x')
nu-
implica
x
isomorfos
= x'
isomorfismo
, se llama un
segun
f.
y decimos entonces que
En el caso general resulta que
y
f(E)
£/N
e y /.
son
son espacios
vectori al es isornorfos.
De nuevo, esta discusion puede extenderse a estructuras algebraicas genera les. Podemos definir un homomorfismo
f
como una funcion que preserva
las ope-
raciones algebraicas obteniendose tambien un isomorfismo entre la imagen ICE) de
£
por el homomorfismo y el cociente de
compatible
45.
f(x)
= f(x')
e
segun la rel acion de equivalencia
.
Adelantemos ahora el argumento un poco mas, aprovechando ciertas
pro-
piedades especiales de los espacios vectori ales, Dado un subespacio cualquiera
M de un espacio vectorial,
decir, un subconjunto
propio de B genera
pacio total
e
existe un sistema minimal de generadores de M. es
de M que genera a M pero tal que ninqiin subconjunto
B
M ,.
a un tal sistema
10
lIamamos una
tiene una base finita decimos que este es
dimension finita,
siendo su
dimension
base
de
M.
Si el es-
finito dimensional
0
de
el nurnero de elementos de una base; el re-
sultado (nada trivial> de que este numero es el mismo para todas las bases de £
es el teorema fundamental de toda la
espacios vectori al es de
e
teoria,
Podemos entonces clasificar
los sub-
de acuerdo con su dimension.
Ccnsideremos ahora un sistema de ecuaciones linea les
aJ1xJ+
aJ2x2
+ •••
+ aJn xn
=
YJ •
a2JxJ+
a22x2
+ •••
+ a2n xn
=
Y2'
(1)
23
II
F ormamos e I espac io vectori al
xn)
de numero s reales, con las operaciones
(X1.X2,···.Xn)+
algebraicas
(x·1,xi.···.
formamos
puede ahora escribirse
f
.r.. Yk
YI'
finimos
el
=Y
que la dimension
ra~ de isomorfismo
(Y1'
de
.
(1)
de
,
n
en IRk.
IR
EI nucleo
f
Y2: ...•
para las cuales
Yn)
como la dimension
del cociente
+
jORn).
(1)
es el con-
por ceros
f
es el con-
posee soluciones;
Sin dificultad
las
de-
se demuestra
el teorema gene-
que
n
dim j(lR
La teoria completa de los sistemas
de
seqdn
)
es igual a dim E- dim N,.
E/N
nos dice entonces
dim N
f(lR
f
N de
reemplazando
ll
del lado derecho de (1),. la imagen
rattgo
A x n)
r
EI sistema de ecuaciones
IRk.
del sistema hornoqeneo obtenido
junto de las l1-plas
asi :
... xn+x·n).
A x 2 •...
= (A xl'
.
en la forma
es un homomorfismos
junto de soluciones
XII)
el espacio vectorial
f(x)
donde
definidas
x·n)=(X1+Xj.x2+xi,·
A ( x l: x 2' . . "
Analoqamente
x = rx 1 .r 2'
de I as 11 -pi as ordenadas
IR
)
=
dim IRn
de ecuaciones
=
11 •
lineales
puede ahora edificarse
con base en esta sola ecuacion.
t,o que he tratado de hacer aqui es mostrar cuan natural
que de la teoria de los sistemas
escena uno
0
estructuras
alqebraicas,
les .
24
dos conceptos
de ecuaciones
lineales
que de hecho tienen sentido
y cuan rapidarnente
Ilega a ser este enfo-
cuando seintroducen
en
en una gran varied ad de
esto conduce a los resultados
centra-
5
E structuras
5.1.
topo!ogicas
En la matematica
cia y continuidad
nar cuales
clasica
las cuales
se encuentran
pasaremos
son las estructuras
nociones
a examinar
abstractas
tales
como convergen-
ahora con el objeto
que les corresponden
de determi-
en los contextos
mas generales.
Recordemos
(xn)
suce sio"
cuar.do
la definicion
n
de ruimero s reales
tiende
ro positivo
a infinito
tal que
110
abreviadamente
distancia
I
I x- y
en la forma usual;
(Pn)
E
Observemos
esta definicion
Siquiendo
un sistema
-
x
1
<
conuerge
y
E>
ruimero real
siempre
E
11 ....
00
t12:
que
: se dice que
lImite x
hacia el
existe
0,
un ente-
Escribimos
110,
la
esto
x
y
y
o
,
del par de variables
tridimensional
hay entonces una qeneralizacion
converge
de puntos
siempre
que
es sencillamente
para dos puntos
definamos
hacia el
limite
p
cuando
q
P y
d(p,q)
la distancia
obvia de la definicion
la
anterior
n ....
00
:
si
n Z no'
que fa unica propiedad
es la existencia
del espa
axiomatico
de axiom as ; Ilegamos
io eucl ideano que interviene
de una nocion de distancia
ordinario,
para una noc ion razonable
Dade: una col eccion
(x, y)
reales
de la recta real.
euclideano
el procedimiento
son deseables
5.2.
xn
cuando
del plano 0 del espacio
d(Pn, p) <
cOl1vergel1te
es
sit dado cualquier
entre los puntos
la suce s icn
de una sucesion
en la forma
x n .... X
La funcion
de convergencia
as! al siguiente
E de elementos
entre pares de puntos.
determinamos
de distancia
x,y,
en
cuales
propiedades
y las usamos para conformar
resultado
.,.
.
supongamos
que hay una
25
func ion de valores reales
tes condiciones
d(x, y) definida en ExE
d(x,y).;::
(ii)
d(x,y)
= 0
(iii)
d(y,x)
= d(x,y)
(iv)
d(x,z):s
puntos.
r , todo y :
paratodo
0
si y solo si
r =Y
r , todo Y
para todo
d(x,y)+d(y,z)
Dec imos entonces que E
0
las siguien-
:
(i)
distatlcia
y que satisface
mitrica
es un
d(x, y);
espacio mitrico
triangular"
todo z .
con respecto a Ia
a los elementos de E
Los requisitos (i) - (iii)
presa la "desigualdad
r , todo y,
paratodo
futlciotl de
se les acostumbra Ilamar
son obviamente razonables, mientras que (iv) exindicando que la suma de dos lados de un trian-
gulo es por 10 menos igual al tercer lado ; la funcion de distancia en el espacio
~
euclideano
claramente satisjace
lascuatro
condiciones.
Como otros ejemplos de espacios metricos podemos meneionar
perficie de una esfera, siendo
ximo que une r con
y y,
d( r , y)
(a) la su-
la longitud del menor area del circulo ma-
(b) el conjunto de todas las funciones a valor
definidas y continuas en un intervalo cerrado
a
-< t -< b ,
real
.
definiendo la metric a
por
d(L g) =
max
I f(t)
- get)
a:st:sb
Introducimos enseguida algunas definiciones.
real positivo;
la
vecitldad
junto de todos los r
dice
abierto
ticular,
26
de E con
sit paracada
¢ y el mismo
esfirica
E
v (xo' 0)
st«,
Xo de A
Xo)
existe
Sea
de
X
Xo E E
o
con
Y 0 un numero
radio 0 es el con-
< 0 • Un subconjunto
8 tal que V(Xo,o)eA;
A
de E se
en par-
son conjuntos abiertos. Se dice que el punto Xo
per-
tenece
A
clausura
a la
un punto de
del subconjunto
un conjunto
A,.
cilmente
se demuestra
reciproca
mente, el complemento
mos que
U
tenida
en
es una
vecinda.d
n ...
es abierto
A
si,dado
F
de Xo
en
F,
espacios
su complemento
conjunto cenudo.Fay
es cerrado
A"
cerrado es siempre
si alguna vecindad
E> 0,
existe
metricos
y sea
Se dice que la funcion
0>0
E>O,existe
<0 ;
I a func ion
f
es
tal que
continua en
ta definicion
es la qeneral izacion
ra funciones
reales
Pueden
esferlca
no
abierto
de Xo
que,
Deciesta con-
d(xn,x)S
tal que
siendo
E
siem-
Puede observarse
fin i r todos
los conceptos
los resultados
es
de cada uno de sus puntos.
continua
si es continua
Xo ~ E
d(x,
que
en cada punto de
y natural de la definicion
y
en E
en el punto
siernpre
E.
ordinaria
aplicabilidad
estableciendo
relaciones
en numerosos
dominies
a considerarlos
Es.
pa-
entre
de
las
aqui ; en vez de ello avanzare-
E
es.un espacio
metrico
mas no la metric a, estamos
que hemos introduc ido arriba.
siguientes
definida
de qeneralizacion.
que si
de cada punto,
una funcion
real.
estes de una amplia
mos un paso mas en el proceso
las vecindades
E
muchos otros conceptos,
No nos detendremos
f
f
d[f(x),f(xo)l<E
inmediata
de una variable
introducirse
rnaternaticas.
5.3.
se llama un
de un conjunto
sit dado
co
y
E
que toma valores
y
A
contiene
o
n ~ no .
Sean ahora
ello s,
Ii =
de x:
de convergencia se aplica sin cambio alguno a un espacio rnetrico general:
cuando
pre que
x 0)
que si
si cada vecindad
U.
La definicion
xn ... x
tal que
A
A
: Un subconjunto
Un punta
Xo
A
aunen
E sto
es abierto
pertenece
en el cual se nos dan
si
capacidad
de de-
es con secuenci a de
y
solo si es vecindad
a la clausura
A
de
A
si
y
27
solo si cada vecindad de r o
verge hacia el limite
"
0
tal que
xn
E U
para todo
f(x)
11
2: "0'
cualquiera
siempre que r E U.
E V
La funcion
v
de
[(xo)'
f
(x n) con-
Lasuceslon
r si y solo si, dada cualquier vecindad
solo si, dada una vecindad
tal que
contiene un punto de A.
U
de
x,
existe
es continua en Xo
hay una vecindad
sl y
de Xo
U
Resulta aSI que la metrica no juega un
papel esencial ; su funcion es meramente la de proporcionar una manera de decir
que un punto esta cerca
0
"en la vecindad"
de otro.
Pero hay ocasiones en las cuales queremos considerar tipos de convergencia
que no puedenderivarse de una metrica. POr ejemplo,consideremos
la coleccion
fn
todas las funciones reales de una variable real y convengamos en que
cuando
11 ~
~
ra todo real
DC
t;
quiere decir simplemente que
fn(t)
.... f(t)
cuando
f
11
00
reales arbitrarios
y sea
es, por definicion,
Un subconjunto
...
,
una
apropiada de vecindad, podemos encuadrar este tipo de convergenc ia en
el marco general. Sea 11 un entero positive,
t2,
pa-
puede demostrarse que no existe metrica alguna en E en termi-
nos de la cual pueda definirse esta convergencia. Sin embargo, introduciendo
definicion
E de
tn .. 8)
t 1, t2,
0> 0 " entonces, la vecindad
el conjunto de todas las funciones
U
para una seleccion adecuada de
fn
de vecindad, si y solo si
....
f
f n (t)
cuando
.... [(t)
f
...
,
v(fo"
tn'
numeros
t i- t2,
.. "
11,
t i- t2,
11 ....
tn .. 8)
tales que
/0 si contiene a v
de E se llama una vecindad de
tonces bastant e fac i I veri fic ar que
ta definicion
sean
00
,
...•
tn ' O.
(fo
.. t i-
Es en-
de acuerdo con es-
para cada real t.
No es nada difi ci l conformar un sistema de axiomas para espacios topoloqicos
generales
28
en terminos del concepto de vecindad ; de hecho, el famoso sistema de
'"
,.
r
I
Hausdorff
(1913) era de esta forma. No obstante,
mente mas sencillo
tomar como fundamental
s'
por razone
el concepto
e'crlicas,
de conjunto
es ligera-
y es-
abierto,
to es 10 que haremos.
Los axiomas
tos
x
J
son entonces
Y, .. "
Cf
y sea
dades siguientes
if>ECf,
(ii)
si
(iij)
la union de cualquier
Decimos
E
conj unto
que
(f
Y
entonces
punto~
man
y
una coleccicn
E Cf,
B
una coleccion
de subconjuntos
entonces
coleccion
E es un
que
los conjuntos
Y G CU.
An
de
espacio topologico
(j' se Ilaman los
de
Decimos
y
E
B
de conjuntos
U es un a vee indad de x 0 si
Xo E G
Sea E
de elemen-
con las propie-
E
:
(i)
A
los siguientes:
de
;
(f
(f
pertenece
los elementos
conjuntos
de
abiertos
s610 si exi ste un conjunto
que la coleccion
(f
define
de nuevo a
de
E
se Ila-
E.
abi erto
una
Un
G tal
topologia
en
xn
x
E.
Se requiere
y
xn
y ,
-
(iv)
una condictdn
Si x
tos
entonces
y
y
dorff
0
5.4.
espacio
Sea
= y:
son puntos
A y B
De un espacio
x
adicional
tales
asegurar
una tal condic ion es
distintos
que
topoldqico
si deseamos
x E A,
de
E,
Y
E B
que satisface
entonces
Y
A n
que si
_
.
existen
conjuntos
abier-
espacio
de Haw
B = if> •
(iv) se dice que es un
separado.
f
una funcion
lores en otro espacio
definida
topol6gico
F.
en un espacio
topol6gico
La condicicn
para que
E
f
y que toma va-
sea continua
en
29
E
puede expresarse de otra manera ; puede demostrarse que { es continua si y
solo si, para todo conjunto abierto
{(x)
les que
junto abierto de
el conjunto de todos los x E E ta-
imagen inversa
esto es, la
E B,
B de F.
de B,
es un subcon-
E.
Supongamos ahora que- { es una biyeccion,
((x) = f(y)
(1(8)
x=y.
implica
es decir, que {(E)
Hay entonces una func lon inversa
=
F
y que
de F
en E
que satisface las condiciones
g[{fx)
Si esta funcion
(ismo
=x
(r
y
F
son
homeomorfos
F, decimos que { es un
sequn la aplicac ion {.
tra nueva forma de la condic icn de continuidad,
inversa
f[g (y) 1 = y ,
EE )
9 es a su vez continua en
y que E
CO)
,
1
9 (B) es abierto siempre que
B
Usando nues{
con
es abierto siempre que A es
10 es. En otras pa labras, un homeomor-
fismo Ileva conjuntos abiertos en conjuntos abiertos en ambas direcciones;
sencillamente
un isomorfismo entre las estructuras topoloqicas de
es
E y de F. Ve-
mos as! que la noc ion de isomorfismo, Ia cual fue introducida en un contexto
gebraico, es tambien relevante
E F ).
homeomor-
vemos que una biyeccion
9 es un homeomorfismo si y solo si ((A)
abierto y
(y
al-
en estructuras matematicas de clase bastante di-
ferente.
Podemos tambien tener otras clases de isomorfismos.
funcion biyectiva
espacio metrico
definida en un espacio rnetrico
30
No debe
confundirse
con la palabra
1 =d(x,y)
"'homomorfismo"
f
una
y que toma valores en otro
F, Y suponqase que
d[f(x),f(y)
CO)
E
Por ejemplo, sea
definida
en
§ 4.4.
x, y E E.
para todo
te que
L1amamos
es, ni mas ni menos
a
r
una isometrfa
que, un isomorfismo
y vemos
inmediatamen-
de las e structuras
rnetricas
de E y F.
6. Interacciones
6.1.
entre algebra y topologia.
Muchos de los espacios
estructura
algebraic a
nada con ellos.
as! como tambien
ciarse
los vectores
del espacio euclideano;
= x +y
topolcqicas
es continua.
cos, es comun introducir
la funcion
En consecuencia,
r
definida
cuando formulamos
que presenta tanto rasgos algebraicos
de elementos
la funcion
contin
ostan
pre-
r, y, ...
continua
en IR x IR por
un sistema
de
como topolcqi-
un buen comportamiento
Tomemos como ejemplo los axiomas de grupo topoloqico
grupo como multtplicac
(ji>
algebraicas
As!, la adicion es una operacion
axiomas que garanticen
logico y tambien satisface
(j)
s forman un grupo de trans-
como estructuras
con mas precision,
axiornas para una estructura
§
aso-
hallamos que I as ope rae iones algebra icas se comportan
en los ruimeros reates;
junto
reiacio-
que Ilevan la esfera en sf misma.
bien desde el punto de vista topolcqico.
sentido.
estrechamente
a una esfera pueden
alrededor de su centro, lascuale
sentes, ordinariamente
y)
algebraica
poseen tambien una
los numeros reales forman un grupo bajo la adic ion ,
Cuando tanto estructuras
rex,
mas interesantes
tienen alguna estructura
Por ejemplo,
las rotaciones
formaciones
0
tcpoloqiccs
en ese
; e sto es, un
COII-
el cual es a la vez un grupo y un espacio tope-
las condiciones
siguientes
(escriblmos
la operac ion del
ion ) :
rex ,y) = xy , definida
en
§x § y
que toma val ores en
§
es
a;
la funcien
g(x)
= rl,
donde
x!
es el inverso de
x, es continua en § .
Cuando se verifican
gia es
condiciones
compatible
con la estructura
Cuando decimos
topoloqico
import antes de la rnatematica
( u horneomorfismo).
elemental
isomorfismos
con respecto
pueden considerarse
; por ejemplo,
a la multipl
constituido
por el con junto
cualquiera
de las funciones
62
0
0
de todos
=
y
la teoria
una de elias
plo, uno de los problemas
ra determinar
para construir
ciertos
; el ejemplo
tipos
de dos espacios
esto juegan
7. Conclusiones.
32
negativo
La ultima
completo
tienen
de los logaritmos
de
esta
por los ruimeros
rea-
con el grupo topoloqico
con respecto
a la adicion
topoloqica
a partir
consiste
y, una algebrai-
de esta.
en hallar
en espacios
Por ejemcriterios
Se
topolcqico
el de losgrupos
: si los grupos de hornoloqia
entonces
meta que quisiera
s de
de homolcqia.
alqebraicos
seria
a
mismos
no
la cons-
; y los esfuerzos
en el campo de la topologia
tene-
construidos
los espacios
alcanzarse
pa~
cone-
grupos de homologi a i somorfos,
de invariantes
un ampl io papel
como afirmaciones
un isomorfismo.
es quizas
dados no son isomorfos
pueden ser home omorfos.
de un sistema
algebraicas
mejor conocido
de~
resultados
cos dados son 0 no homeomorfos.
estructuras
mos por 10 menos un criterio
lograr
proporciona
de la topologia
topolcqi
Deb ido a que espac ios homeomorfos
truccion
reales
y la otra se construye
centrales
si dos espacios
cen metodos
partir
los ruimeros
A veces no se nos dan a la vez una estructura
ca sino unicamente
Algunos
constituido
ic acion es isomorfo
toga x
queremos
y que es a la vez un isomorfismo
asoc iada con el hecho de que el grupo tcpoldqico
les positivos
que la topolo-
de esta cl ase son isomorfas
Que acuia entre elias
algebrai co y un isomorfismo
de tales
de esta clase decimos
alqebraica.
que dos estructuras
cir que hay una biyeccion
la existencia
apropiadas
algebraica.
para
7. Conclusiones.
No he intentado
revisar
que han sido creadas ; entre otros merecen por 10 menos una men-
ras matematicas
cion escueta
(i)
nes y la construccion
de tipos bastante
babilidad,
y
exitosamente
mas que unos pocos de los muchos tipos de estructu-
la teoria de la medida que cubre temas como areas y volumede una nocion general de medida para conjuntos
complejos
(ii)
y que sirve
ademas de base para la teoria de la pro-
la teoria de las variedades
se ha desarrollado
de puntos
en los ultimos
diferenciables
afios. Tambien
que tan rap ida y
he tomado
105
en-
teras y los numerus reaies como hechossin
mostrar como t arobien ellos pueden
crearse con base en la teori a de coniuntos.
Lo que he tratado de hacer es exhibir
uno
0
dos, de entre los mas simples e importantes
tipos de estructuras,
juegan un papel a traves de todo el campo de las matematicas
influencia
aun en niveles
Se acostumbraba
discretas
munmente
describir
y contlnuas".
definiciones
como dedicado
bastante
En otras palabras,
a numerus y configuraciones
en alguna definicion
creacion , anal/sis
miento;
como "Ia
ciencia
de las magnitudes
y aun ahora en dicc ionarios y enciclopedias
mostrar que el alcance de la matematica
incluido
y tienen una notable
elementales.
1(\ matematica
similares.
al tema se
aparecen cocaracterizaba
10
geometric as. Espero haber logrado
moderna es demasiado
amplio para estar
de este tipo, Ouizas podria ser descrita
y Iormaliz ac lcn de nuevas modalidades
y no debe olvidarse
las cuales
abstractas
hoy como la
de pensa-
que gran parte de este proceso es estimulado
neces idades de otras ramas de Ia c ienc ia y repercute a-su vez
por las
en e I desarrollo
de
estas.
Se ha suqerido
a veces que el rasqo esencial
empleo del rnetodo axiomatico,
de la maternatica
Cree que esto es una simpl ificacion
moderna es el
exagerada';
105
33
sistemas axiomaticos han side un rasgo familiar de la matematica desde los tiempos de EUclides. Sin embargo, la mayoria de los viejos sistemas axlomaticos
nian una cosa en conuin : eran intentospara
te-
lograr, en forma axiomatica, una ca-
racteriz acion completa de una estructura matematica particular, e.g. de la geometria euclideana
0
de los enteros positivos
nos, se trataba de sistemas
univalentes;
0
de los numerosreales.
En otros termi-
dos estructuras que satisfiesen
sistema eran automaticamente isomorfas y por 10 tanto indistinguibles
un tal
una de la otra
desde un punto de vista abstracto. En cambio, la mayoria de los sistemas axiomaticos usados hoy son
multivalentes
ras matematicas d istintasque
tcpoloqico.
sino un tipo
; hay, por ejemplo, una infinidad de estructu-
satisfacen los axlomas de grupo y los de espacio
EI sistema de axiomas no caracteriza una sola estructura matematica
0
"categoria" de tales estructuras.
En este punto puede resultar interesante una corta diqresion : se trata de mostrar cOmo el concepto de estructura matematica se ajusta dentro de la teoria genera~ de ccnjunto s , Suponqase que tenemos una estructura de grupo defin ida sobre un
conjunto dado E;
E
esto equivaie a decir que tenemos una funcicn de
que satisface ciertas propiedades, especificadas
Ex
E
en
por los axiomas de grupo Dar
la funcion es tanto como dar 5U gratica la cual es un subconjunto de (E x E) x E,
es decir, un elemento de
P[
(E x E) x E
de grupo que pueden defini rse sobre
conjunto de
P[
(E x E) x E
1,
1.
EI conjunto de todas las estructuras
E corresponde por 10 tanto a un cierto
esto es, a un cierto elemento de
Esto ilustra un procedimiento general;
E, F, G, ...
P[(ExEJx
E11.
siempre que especlficamos una estructura
matematica de alguna clase sobre un conjunto baslco
de conjuntos basrcos
Pf
sub-
E 0 sobre un cierto numero
estamos especificando un elemento de la je-
rarquia de conjuntos que puede obtenerse a partir de los conjuntos dados por apli-
34
cacion repetida de las operaciones
adicionales
consistentes
de E y el conjunto
para la enseiianza
en formar el conjunto
Ex
i Que conclusion
del calculo de conjuntos
F
P
y de las operaciones
de todos los subconjuntos
(E)
de las parejas ordenadas
(x.y) con x
podemos sacar de nuestro' sumario de la matematic a moderna
del tema en los nivel es? Mientras se considere
que la maternati-
c a comprende unic amente el arte del ca Icu 10 y I a construcc ion geometric
la continua tentacion
Y Y E F.
E E
de ensefiar el tema dando recetas : "Primero
a, ex iste
usted hace es-
to y luego hace aquello ": Para algunos alumnos esto puede ser suficiente;
tienen gusto natural por las matematicas
pasarla con el menor esfuerzo posible.
una proporcion
no
y todo 10 que desean es aprender
Para otros,
sinembarqo,
mucho mayor de 10 Que uno podria sospechar
como
yen verdad para
en un principio,
tal ti-
po de enseiianza puede engendrar una perenne aversion por las matemati cas ; mucha gente eventualmente
se resiente
si se Ie pide realizar
trucos sin entender que
es 10 que esta sucediendo
y porque. Todos conocemos a aquellos
esta falta de comprension,
han Ilegado a la conc lusion de que poseen mentes
no
: Pocos entre ellos se dan cuenta de Que no han podido entender
los
rnatematicas
trucos debido a que nunca recibieron
Cuando las rnatematicas
una adecuada expf ic acicn de los mismos.
se miran como un estudio de estructura
una tent acion mucho menor de caer en la enseiianza
lcqica,
existe
de recetas ; el objetivo
esen-
cial de las matematic as aparece entonces como el desentraiiar
ca Simple en una sltuacion
des de esa estructura
en niveles
elementales
de pensamiento
aparentemente
complicada
una estructura
no se usa el lenguaje general y abstracto
involucrado
tiene valor una completa comprension
y una conciencia
logi-
y el empleo de las prop ieda-
para lograr un mayor dominio de la sltuaclon.
Perc en todos los niveles
que, debido a
Per supuesto
de este articulo;
de los
procesos
de los tipos de estructuras
matema-
35
I
ticas
a que pertenecen.
En este punto quisiera
que la totalidad
generales
de la ensefianza
y particulates.
de un artropodo
a alguien
una lanqosta.
Para captar
ra maternatica
debe estarse
mente grande
y variado
je es un proceso
c ido
maternatica
y loqic amente mas simples
turas mas complejas
general
dar una voz de alerta.
parta de los tipos
descendiendo
Para mi esto luce
que nunc a ha visto
una mariposa,
de cualquier
de especirnenes
10
particular
particulares
a
10
general,
de
10
en posicion
de sefial ar sus semejanzas
dentro del marco total
estructuras
del mismo tipo;
cual el conocimiento
existente
tipo de estructusuficienteel aprendiza-
conocido
a
10
hay un proceso
Iecundacion
particular
suficientes
desconoinversa
especime-
de tal manera que se aclare
En seguida
de
0
y mostrar que todos ellos
de la matematica,
de una estructura
las estruc-
de I as ideas es a menudo
nes debe estarse
tipo de estructura
mas
una arafia
de esa clase;
Sin embargo, tan pronto se han acumulado
lugar
hacia
de antemano en poses ion de un repertorio
pedagog i camente correcta
a un cierto
de estructuras
como dar una definicion
del orden loqico.
pertenecen
que abogan per-
gradualmente
cabal mente el significado
que va de
La ordenacion
Hay entusiastas
pueden buscarse
otras
mutua por medio
proporciona
enfoques
su
del
fructuosos
para otras.
No tengo la intencion,
para decir
yen
como debe aplicarse
po.de ideas que he tratado
bo dejar
a otros.
10
Mi objetivo
que los rnatematicos
pensamiento
36
en la ensefianza
de explicar
que, en las dos generaciones
y
verdad no tengo ni el conocimiento
en este articulo;
ha sido mas bien exhibir
anteriores,
piensan
esta desplegando
de la matematica
ha sufrido
al respecto.
toda su potencia,
ni la
habil idad,
el ti-
elemental
es esta una tarea que dealgo de la transformacion
l a estructura
Solamente
de la matematica
ahora esta modalidad
aun a niveles
de lnvestiqac
de
icn ,
pero ya ha Ilegado
cuenta en todos
a ser tan utll
los niveles
en que recons ideremos
que debe ensefiarse
enseiianza
incluyendo
College,
tanto que debe ser tenida
los mas elementales.
Ha Ilegado
en
la epoc a
desde el prine ip io cual es materna t i cas vamos a ensefiar, per-
una cierta
rama en lugar de otra y como nuestros
deben estar a tono con el nuevo alcance
des y capacidades
SL John's
y a compenetrarse
de nuestros
del tema y
COil
metodos
de
las necesida-
alumno s.
Cambridge
37
