UNIVERSIDAD AERONÁUTICA EN QUERÉTARO ALUMNO: Jahaziel Olivas Garrido (7350) PROFESOR: Francisco Javier Uribe Luna Ingeniería en Diseño Mecánico Aeronáutico Física para ingeniería GRUPO: IDMA-08 A TRABAJO: Oscilación amortiguada Mayo 2021 Introducción Hasta este momento, solo se han visto sistemas oscilantes idealizados, en los cuales no consideramos algunos factores muchos factores, sin embargo, en la vida real, no podemos aplicar dichos sistemas, ya que tenemos la presencia de un factor como lo es la fricción, que es una fuerza disipadora y ocasiona que las oscilaciones cesen con el tiempo, gráficamente, se va disminuyendo la amplitud del sistema. Como menciona Zemansky y Freedman (2013), la disminución de la amplitud causada por Ilustración 1. Gráfica de un movimiento amortiguado fuerzas disipadoras se denomina amortiguamiento, y el movimiento correspondiente se llama oscilación amortiguada, el cual es el estudio de esta actividad. En esta actividad se resolverá la ecuación diferencial descrita por la oscilación amortiguada, se va a graficar la solución y se va a explicar dicha gráfica, se explicará un poco acerca de los casos de amortiguamiento crítico, sobre amortiguado y sub amortiguado, asimismo, se representarán con un esquema, y por último se determinará el cambio de energía con respecto al tiempo en las oscilaciones amortiguadas. Desarrollo Como se mencionó anteriormente, una oscilación amortiguada es cuando la amplitud del sistema va disminuyendo con el tiempo, ya que aparecen fuerzas disipadoras, como la fuerza de fricción. El caso más sencillo es cuando la fuerza de amortiguamiento es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo oscilante, por lo que dicha fuerza se puede describir como: 𝐹𝑥 = −𝑏𝑣𝑥 , en donde vx=dx/dt es la velocidad y b es una constante que describe la intensidad de la fuerza amortiguadora, por último, el signo menos indica que dicha fuerza va en sentido contrario a la velocidad. Por lo tanto, la fuerza total que actúa sobre el cuerpo se puede definir como: ∑ 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣𝑥 Y la segunda ley de Newton del sistema es: −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 , o bien, 𝑑𝑥 𝑑2 𝑥 −𝑘𝑥 − 𝑏 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑑𝑡 2 Como se pudo observar anteriormente, la solución a la ecuación diferencial es: 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝛼𝑡 cos(𝛽𝑡 + 𝜑) Además, en la ilustración 2 se puede observar como con el paso del tiempo, la amplitud va disminuyendo, Ilustración 2. Gráfica de la solución a la ecuación diferencial. pero al periodo sigue siendo el mismo. Esta disminución de la amplitud con el paso del tiempo se debe al factor exponencial decreciente, por lo que entre más grande sea el valor de α la amplitud disminuirá más rápido. Amortiguamiento crítico Como vimos en la solución de la ecuación diferencial, para el caso dos obtuvimos el caso de amortiguamiento crítico, en donde el sistema ya no oscila, sino que se vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta. Y para Ilustración 3. Gráfica del amortiguamiento crítico este caso, 𝛼 = 𝑤 y, por lo tanto, el valor de β=0. Sobre amortiguado Para este caso, tampoco existe oscilación, solo que el sistema regresa a su posición de equilibrio más lento que con amortiguamiento crítico como se puede observar en la ilustración 4, para este caso, el Ilustración 4. Comparación entre amortiguación crítico, sobre amortiguado y sub amortiguado valor para el discriminante ∆= √𝛼 2 − 𝑤 2 > 0, es decir, el valor de α debe ser mayor que el valor de w. Sub amortiguado Por último, tenemos el caso sub amortiguado, en donde el sistema oscila con amplitud constantemente decreciente, como se puede observar en la ilustración 4, en donde el valor de α debe ser menor al valor de w. Energía En las oscilaciones amortiguadas, la fuerza amortiguadora no es conservativa; la energía mecánica del sistema no es constante, sino que disminuye continuamente acercándose a cero después de un periodo de tiempo largo. Para deducir una expresión para la rapidez de cambio de energía, primero se escribe una expresión para la energía mecánica total en cualquier instante, la cual se define como: 𝐸= 1 1 𝑚𝑣𝑥2 + 𝑘𝑥 2 2 2 Entonces, para calcular la rapidez de cambio, derivamos esta expresión con respecto al tiempo, lo que nos queda: 𝑑𝐸 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑥 = 𝑚𝑣𝑥 + 𝑘𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐸 = 𝑣𝑥 (𝑚𝑎𝑥 + 𝑘𝑥) 𝑑𝑡 Conocemos que: −𝑘𝑥 − 𝑏𝑣𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 Por lo que la expresión dE/dt se puede reducir a lo siguiente: 𝒅𝑬 = −𝒃𝒗𝟐𝒙 𝒅𝒕 Conclusiones Para finalizar, en un sistema de oscilación amortiguada, se puede percibir que mientras pasa el tiempo, en las oscilaciones va disminuyendo la amplitud, debido a la fuerza amortiguadora, cabe destacar que al momento de existir una disminución de la amplitud, la energía del sistema también va disminuyendo poco a poco. Este sistema, es muy importante en la vida real, ya que los sistemas que se habían visto con anterioridad, solo eran casos ideales, por lo que en la oscilación amortiguada se consideran algunos factores externos que en la vida real se tiene y no permite que sea un sistema ideal, un ejemplo de estos factores externos puede ser la fuerza de fricción, etc. Además, se pudo analizar algunos casos de la oscilación amortiguada, como lo es el caso del amortiguamiento crítico, el sub amortiguamiento y el sobre amortiguamiento, en donde todos, se van acercando más y más a la posición de equilibrio del sistema conforme va pasando el tiempo, ya sea de forma oscilatoria o no. Fuentes de información Maggiolo, D. (s. f.). OSCILACIONES. EUMUS. Recuperado 27 de mayo de 2021, de https://www.eumus.edu.uy/docentes/maggiolo/acuapu/osc.html Movimientos periódicos - oscilaciones amortiguadas. (s. f.). IBERO. Recuperado 27 de mayo de 2021, de https://ibero.mx/campus/publicaciones/fisica/pdf/11MOVperiodicos-oscamort.pdf Rodrigo Bravo. (2016a, mayo 29). Física de las Oscilaciones - 18/ Soluciones no oscilantes [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=v_HJcpJOa4k Rodrigo Bravo. (2016b, mayo 29). Física de las Oscilaciones - 19/ La Solución Oscilante [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=O5JbmtAZn4s Zemansky, S. Y., & Freedman, Y. Y. (2013). Física Universitaria - Volumen 01 (13.a ed.). Pearson Educación.
