17. Calculo integral y sus aplicaciones - Moisés Lázaro Carrión

cálculo
integral
Y SUS APLICACIONES
i%
r = —6cos0
r = 2 - 2cos0
I
A(R) =
Jt
r2dd
2jl/s
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Moisés LÁZARO Cantón
J ------------------------------------------------- ^
cálculo
integral
Y SUS APLICACIONES
♦ La antiderivada y la
integral indefinida.
♦ Aplicaciones de la
integral definida.
Moisés Lázaro Carrión
r
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Estudios: Lic. en Matemáticas Puras, Lic. en Educación, Maestría (Métodos Cuantitativos de
la Economía U.N.M.S.M.), Maestría (Matemáticas Puras P.U.C.P.).
Experiencia Docente:
Pontificia Universidad Católica del Perú
Universidad Ricardo Palma
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Universidad Nacional de Ancash Santiago Antúnez de Mayolo
Universidad Nacional del Callao
Universidad Particular San Martín de Porres
La presentación y disposición en conjunto de:
CÁLCULO INTEGRAL
Y SUS APLICACIONES
Autor: Moisés Lázaro C.
Son propiedad del autor:
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin la pre­
via autorización por escrito del autor y la editorial. Dec. Leg. 822.
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N0...,: 2014-01136
International Standard Book Number ISBN N°...................... : 978-9972-813-80-1
Derechos Reservados ©
Tercera Edición: Enero 2014
Tiraje: 1000 ejemplares
Obra editada, impresa y distribuida por:
Distribuidora - Im prenta - Editorial - Librería
Impreso en Perú
Printed in Perú
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d Cm ía, ñemtana y
mache ejempiwc
so c g s o e g & 'jo g s o c g s o c g s o e #
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iv
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PRÓLOGO
Este libro expone las técnicas de integración de funciones
reales de variable real y sus aplicaciones, explicados de una mane­
ra sencilla y fácil de entender. Es un gran complemento para los
cursos que hacen uso de las integrales indefinidas y definidas tales
como los cursos de Física y los cursos de ecuaciones diferenciales
ordinarias básicas.
No es un libro de Análisis Matemático de las integrales de
funciones reales de variable real, sino un libro de Cálculo Integral,
cuya única finalidad es dar pausas precisas del buen manejo de las
fórmulas elementales de las antiderivadas de las funciones polinómicas, racionales, irracionales, trigonométricas, exponenciales,
logarítmicas, etc. a su vez, explicar ios diversos métodos de inte­
gración.
Para aprender el Cálculo Integral, sólo se requiere saber el
algebra elemental y un poco de trigonometría.
Este libro, se ha preparado pensando en los estudiantes que
requieren aprender el Cálculo Integral, que se estudia en los pri­
meros cíelos de la Universidad o Institutos Superiores.
En dos capítulos se cubren dos temas del Cálculo Integral: el
primer capítulo se refiere a las técnicas de integración y el segun­
do capítulo se refiere a las aplicaciones del Cálculo Integral en lo
que respecta al Cálculo de Áreas en sus formas rectangular, paramétrica y polar.
Al final de cada capítulo se dan problemas propuestos que
todo lector debe entrenarse.
El autor.
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VI
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ÍNDICE
CAPÍTULO 1
LA ANTIDERIVADA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA
1. Teorema del Valor Medio
1.1
1.2
Teorema de la función constante............................
Corolario (de la diferencial constante)
.................................
02
02
2. La Antiderivada de una función
2.1
2.2
Definición...........................
La Antiderivada general...............
03
03
3. La Integral Indefinida
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Definición.........................................................................................
Regla de la Cadena..........................................................................
Propiedades Elementales de la Integral Indefinida...........................
Teorema del Cambio de Variable en una Integral Indefinida............
Integrales Inmediatas........................................................................
04
06
06
06
08
4. Métodos de Integración
4.1
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.1.5
Integral por Partes.............................................................................
Integral por partes del producto de polinomios por arcos..................
Integral por partes del producto de polinomio por logaritmo............
Integral por partes del producto de polinomios con funciones
trigonométricas..................................................................................
Integral por partes del producto de polinomios por exponencial
Integrales por partes circulares ........................................................
49
50
60
67
75
78
5. Integración de Funciones Trigonométricas
5.1
Integrales del tipo I m n = j* senm¿u ■eosn ¡ud¡u................................
5.2
Integrales de las formas: Jsen A x • eos B x d x , j *sen A x sen B x dx ,
5.3
88
J eo s A x • eos B x d x ........................................................................
100
Integrales de las formas: í tgfjudju , J escn ju d j u .........................
101
vii
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5.4
Integrales de las formas: j*secn //d// , J*cscn //d// .......................
104
5.5
Integrales de las formas: J íg m//secn //d// , j*c£gm cscn ¿u d ju
106
6.
Integración por Sustitución Trigonométrica...................................................................
110
7.
Integración por Fracciones Parciales................................................................................
120
7.1
Método Práctico de hallar A, B y C ..................
122
8.
Integral de Funciones Racionales que Contienen senp y c o sp ........................
13 9
9.
Integrales de Funciones Racionales de: senix, cos2x ,tg2x ...................................
142
10.
Otros Casos que se Presentan en la Integral
V » , J i I R (sen x , c o s x ) d x
..........
143
CAPÍTULO 2
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
/.
Area de las regiones planas en coordenadas:
Cartesianas, Paramétricas y Polares
1.1
Area en coordenadas cartesianas........................................................
211
1.2
Área de una región limitada por una curva paramétrica.....................
259
1.3
Área de una región limitada por curvas en coordenadas polares
279
Problemas Complementarios - Resueltos........................................................................... 296
Problemas Propuestos..................................................................................................................... 307
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CAPITULO 1
I
II
á M
T i n t T P I I / A
I mwMC l m l w
I I A
Y
LA INTEGRAL INDEFINIDA
Antes de hacer las respectivas definiciones de la antiderivada y la integral indefini­
da, es necesario recordar los siguientes temas:
t. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Si f ( x ) es una función continua en el intervalo cerrado [ a , b ] , y si / (x ) es dife­
renciadle en el intervalo abierto ] a , b [ , entonces existe por lo menos un número
c, a < c < b tal que:
f{c )= m h m
t
pendiente de A B
pendiente de la tangente £
en x = c
£ es paralelo a A B .
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APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO
1.1
TEOREMA DE LA FDNCIÚN CONSTANTE
Si / (x ) es una función continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b [ . entonces:
í ' ( x ) = O si y sólo si / (x ) = k . k - constante.
Este teorem a nos dice: si la derivada de una función es cero, entonces dicha
función es una constante y recíprocamente, la derivada de una constante es cero.
Ejem plos :
P)
Si
y' = 0
=>
donde
y' = ^
y= k
y' = 2 x
Si
=>
( y - x 2)' = 0
=>
(y - x 2 =C
y=x
0
,
Si
+C
, C = constante
y ” - É.JL
y
i2
dx*
y " = 12x
(y f - 6 x 2 )' = 0
,
y’ = %
,
y = / (x )
y '- 6 x 2 = Q
(y - 2 x 3 - Q x )' = 0
y - 2 x 3 - C xx = C 2
y = 2x
1.2
+ Q x + C 2 ; Q , C2 son constantes.
COROLARIO ( DE LA DIFERENCIA CONSTANTE)
Sean f ( x ) y g ( x ) dos funciones continuas sobre [a,b] y diferenciables sobre
]a ,b [, entonces:
f ,(x ) = g '( x ) , V x g ]a,b[
si y sólo si
2
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f ( x ) = g (x ) + C
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Prueba
(=>)
f'(x ) = g\x)
Por hipótesis:
;
a < x <b
{ f { x ) - g ( x ) Y = 0 .............................. Según el Teorem a 1.1
f(x )-g (x ) = C
(<=)
f ( x ) = g (x ) = C
=>
Por hipótesis:
f (x ) = g (x ) = C
Derivar:
f '( x ) = g '(x ) + 0
Así queda:
f ' { x ) = g r{x)
;
V x e ]a ,b [
2. LAANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN
—
2.1 Definición
------------------------------------------------------ ----------------------------------
Decimos que una función F ( x ) es una ANTIDERIVADA de otra función f ( x )
continua en un intervalo I, si se cumple:
F !( x ) = f ( x )
,
V x e í
Ejemplos:
(? )
La antiderivada de
f ( x ) = 3 x 2 es F ( x ) = x 3 , porque F ' ( x ) = 3 x 2 .
(T )
La antiderivada de
f ( x ) = c o s 2 x es F (x ) = ^-sen2x , pues
F '(x ) = ^ 2 co s2 x
F ' ( x ) = co s2 x
= f(x )
0
La antiderivada de g ( x ) =
=± 2
2~ - es G (x ) = j L n (x 2 - 2) pues:
= f(X }
2.2 U ANTIDERIVADA GENERA1
Si F(x) es una ANTIDERIVADA de f(x) sobre el intervalo /, es decir:
Si F r(x) - f(x) sobre I. entonces la función.
G(x) = F(x) + C es la ANTIDERIVADA GENERAL de f ( x ) .
3
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Ejemplos:
( T ) La Antiderivada General de
/(x) = 3 x 2 es g ( x ) = x 3 + C
FW
( T ) La Antiderivada
General de / (x ) = c o s 2 x es G (x ) = ~ s e n 2 x + C
(3 ^ La Antiderivada General de
( T ) La Antiderivada
General de
La Antiderivada
General de
-
g (x ) =
e s H (x )= lL n (x 2 - 2 )+ K
•
•
/ (x ) = 5 es F (x ) = 5 x + C
/ (x ) = x es F ( x ) = +
C
( í f ) La Antiderivada
General de f ( x ) = ~ es F ( x ) = Ln|x| + C
( T ) La Antiderivada
General de / (x ) = y ~
(8 ^ La Antiderivada
General de /(x) = e 2x es F (x ) = -|e2x + C
(9 ^ La Antiderivada
General de /(x) = 3 e ~ 2x es F (x ) = ~-|e~2x + C
( w ) La Antiderivada
General de /(x) = x e “ x
es F (x ) = - 2 L n | l- x j + C
es F (x ) = --g-e~x
+C
3. LA INTEGRAL INDEFINIDA
3.1 DEFINICIÓN
-----------------------------------------------------------------------------------------
Se llama INTEGRAL INDEFINIDA de una función / ( x ) , a la antiderivada gene­
ral de la función.
Es decir, si f ( x ) = F '(x ) , V x e / entonces:
G (x ) = J f ( x ) d x = F ( x ) + C
t
1—
,
V x e l
D e n o ta a todas las antiderivadas d e ¡a fu n c ió n f ( x )
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L a Antiderivada y la Integral Indefinida
Ejemplos:
11
i\ x 2 dx =
+C
J e o s 3 x dx =
(D
J«
0
[
5)
sen 3 x + C
dx = - i e ' 3x + C
dx = -\Jl - x 3
J -^ = d x = -2 VT^x + C
Nota:
,
,
~1 < x < 1
x < 1
La integral indefinida es el proceso de hallar ¡a antiderivada general
I
De la definición:
se deduce
/ (x ) = F (x ) + C
,
Si F ' ( x ) = f ( x )
J / (x )d x = /(x)
Usando diferenciales, si
d F (x ) = F '{ x ) d x
:=>
J d F ( x ) = F (x ) + C
í
F '(x )d x = F (x ) + C
5
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3.2 REGLA Di LACADENA
La regla de la cadena, es:
j* f ( u ( x ) ) u ' ( x ) d x = F ( u ( x ) ) + C
Ejemplos:
j * ( l - x 2 ) 3( - 2 x ) d x = -^ -(1 -x 2 )4 + C
u (x ) = 1 - x 2
l/ ( x ) = —2 x <--------------deriva d a de u respecto a x.
du
=
u '{ x ) d x
<
diferencial de u es igual a la d eri­
va d a d e u p o r el diferencial d e x.
j — ^ -y (-2 x )d x = L n ( l - x 2 ) + C
j 1 X
,
-1 < x < 1
u (x ) = 1 - x 2
u '(x ) = - 2 x
,
du = ju'{x)dx
3.3 PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
®
í c f (x )d x = c J / (x )d x
®
J[/{x)-fc g (x )]d x - J / ( x ) d x r j* g (x )d x
(3 )
J [a / ( x ) + b g (x )]d x
c = constante real
a J / { x ) d x ± b J g (x )d x
3.4 TEOREMA DEL CAMDIO DE VARIADLE EN UNA INTEGRAL
INDEFINIDA
Sea la composición de las funciones/y u expresado por z = f{ u { x ) ) , donde:
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/
I
*
x
■* y = u(x)
J
* c
■* z = f { u { x ) ) , I y J son intervalos
z = f(u )
y = u(x)
Las hipótesis son:
1) f(u ) es continua en J.
2)
y = u(x) tiene derivada continua con inversa x = u * (y) sobre I.
3)
u '(x) = 0 , V x € I .
4)
Rang(u) = u{I) a J .
Entonces, para y e R a n g (u ), se cumple:
j*/ (u (x ))u '(x )d x = J*/(u)du
,
u = u (x ).
Ejemplos:
(T)
J x - ( i - x 2 )5dx= J x V - ^ r
donde :
1- x
O
= ¿u
¿ / + C
- 2 xdx = d/¿
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= - i ( l - x 2 )6 + C
Moisés Lázaro Carrión
®
jl x6* Jl
+
x
Hacer :
3x
+ U 3)2 *
Jlíí-2'
Sx2 ~ 3
jl
+M
/Z
l+
3 arctS u + C
3
i- arctg x 3 + C
= ju
dx = d¡u
dx - — -d/Li
3x
© J& -Í
l + x
2 (1 + x 2 ) du = j e 11 -d u = e u + C
g arctg x +
Hacer :
q
arctg x = jli
—ó-dx = djU
1+ X'
dx = { l + x )d fi
3.5 INTEGRALES INMEDIATAS
IN T E G R A L D E LA D IF E R E N C IA L D E U N A V A R IA B L E
dx = x + C
Se lee: “La integral del diferencial de x. es igual a “x
Ejemplos:
0
Jdd = <?+ C
(T )
J 3 dy = 3 Jdy = 3 y + C
(2 )
J*cit = £ -f- C
©
j .d A
©
j.d l = l + C
©
du = v + C
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= A+C
La Antiderivada y la Integral Indefinida
IN T E G R A L D E LA P O T E N C IA D E LA F U N C IÓ N ID E N T ID A D
®~l í
xndx -
n+ 1
+C
I S í ? lee "L a integral de x " c-'s ig u a la x " : i d ivid id o en tre n ~ - l
j siem p re q u e n
--2 . D o n d e }{ <) -■ x es la fu n ció n identidad.
E jem p los:
(Tji
(0
Jxdx = ~ + C
4/2 +1
J y fx d x = J x l! 2d x =
1/2 + 1
"p "
O
J
4
(D
( 0 S J — ^ -d x -s jx
j*2x' 5dx = 2J V 5dx = 2
+c
= f x 3/2 + C
x Jdx = 0 - + C = 4 + C
3+1
+c
. 3 0
0
3//5d>
+C - 3 0
= f
2 ^ +C
| -% d x = 5 J x “8dx
i
-8 + 1
7x ’
c
+ C
;y
fé
$
$
isa
g
a
p
g
m
g
s3a
B
a
g
a
¡3B
sa
s85i¡sigi^
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- 0
_
3
“
V 2
J*
1//2dx
x - V 2* 1 | r
- 1/2 + 1
+C
x 2./ 5+ C
+C
0
C
+
=-fVx +c
42
= 3>/2 V í + C
C
Moisés Lázaro Camón
J*[2x2 - i x ~ 5 V x ] dx = 2 J x 2d x --~ J x d x - 5 J x 1//2d
xó
3
1 y
5 ^3/2
■1f Xv 2
10 v-3/2
3 X
3
2
% r+c
+c
IN T E G R A L D E LA P O T E N C IA D E U N A F U N C IÓ N C O M P U E S T A
m +1
dju = — — =— + C
| jum
^ r
m +1
Se lee:
me M
m ^ -1
,,
©
“La integrul de ,ii'n es iguala //""'1 dividido entre m ■+ 1 ::
siempre y cuando exista la derivada de la base f i ”.
D o nde lí " es la potencia de ¡a función compuesta //.
|O b s e rvación:
j
Si no existe la derivada de la base //, entonces no se
puede utilizar la fórmula (3 )
Ejemplos:
(T )
/ ~ J x y¡4x2 - 5 dx
I
Solución:
V2 O .,dju = 4 J © 2 d//
i a 1/2 +1
8 1/2 + 1
La base es
// = 4 x 2 - 5
El diferencial de ¡a es
d¡u = 8 x dx
dx = ~ d ¿ u
8x
sustituir en /:
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+c
iid ü + c
8
3/2
//
c
x
2 - 5 ) 3/2+ C
1 . 1 „3 / 2
8 3
¿ ( 4
L a Antiderivada y la Integral Indefinida
<D
Calcular I =
J
sustituir en I :
\Ji~ 3x dx
1= j V /2(~^)d//
Solución:
¿n ~ 1 - 3x
La base es:
= “ 3 J
dg = - 3 dx
su diferencial:
dx = --gd//
= —| ( l - 3 x ) 3/2 + C
Nota: Para evitar muchas sustituciones, recomiendo hacer dicha integral di­
rectamente sólo averiguando si existe la derivada de la base p. Cuando
al derivar la base. faltase sólo una constante. entonces en el resultado
de ¡a integral escribimos multiplicando el inverso de dicha constante.
■«■■v' « ■
($ )
....
m»
Calcular / = J x 2 ^ 2 - 5 x 3 dx .
Solución:
La base es: g = 2 - 5 x
o
o
, su diferencia es: d/r = ~15x d x .
Como vemos, dentro de la integral no existe la constante -1 5 en consecuencia
agregamos en el resultado, la inversa de -1 5 que es •—
.
Así tendremos:
/= J x 2
3/2_ 5 x 3dx
1 ( 2 - 5 x 3 ) 1/3 + 1 . ^
— -15
1/3 + 1
= J x 2 ( 2 - 5 x 3)1/3dx
t
Entonces:
La derivada de
= - L | ( 2 - 5 x 3 )4/3+ C
2~5x3 es - 1 5 x 2
= - ■ ¿ ( 2 - 5 x 3)4/3+ C
= _ _ L J(~15x2 )(2 - 5 x 3 ) 1/3 dx
_
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11
Moisés Lázaro Carrión
Calcular:
« r
/
3 x 2 dx
Solución:
©
Calcular:
/ = |-pJ====r dx
j y 3 —4 x
Solución:
La base es
:
Su diferencial e s :
// - 1 - 3 x 2
Hacer:
/-
| ( 3 - 4 x ) 2dx
d// - ¿ 6 x d x
4
^— Falta
Dentro de la integral falta el número -6.
entonces al integrar, se agrega
Al integrar, hacemos
.
1
1
Así tendremos:
4
/= Jx (l- 3 x 2)^4dx
»
2
Calcular:
í 1 • 3XÍ! } • - C
1
+C
í
I
dx
Solución:
Hacer:
5 } Calcular:
/ = |x ( 4 - x
) 2d x
\-2)x
/ = J Se n 2 x c o s ^ 2 x d x
^
Falta
Al integrar, hacemos:
Solución:
La base es:
// = eos 2 x
1
/
2
Su diferencial es d/i - - 2 s e n 2 x d x
Falta
í
I sen 2 x eos
l
eos' 2 x
~2
3
{4 - x 2 ) 2
+l
_i + 1
-> / í x 2 + C
Luego:
J=
4.
iV 3 ^ 4 x + C
*c
1 (1 - 3 \
- i 4t
(3 - 4x) 2
Calcular:
2xdx
+c
- eos3 2 x + C
6
I ~
í yj 3 - 2 sen 2x
Solución:
Pero:
/ = J eo s 2 x (3 - 2 sen 2 x ) l ! 2 dx
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La Antiderivada y la Integral Indefinida
pi = 3 - 2 s e n 2 x
La base es:
dpi = - 4 eos 2 x d x
Solución:
=>
-Falta
Luego:
1 = J eos 2 x (3 - 2 sen 2 x ) 4/2 d>
1
Luego:
7=
11J Calcu lar:
d tg d d d
7-
7 = I s e n 3 x eos 3 x d x
Solución:
pi = eos 3 x
La base es:
d/r -
i r 1- *
- 3 se n 3 xdx
t
Al integrar obtenemos:
Solución:
Hacer:
0 dd
2
-V 3 --2 s e n 2 x + C
Calcular:
J-jsec
o
-1 + 1
4 (3 - 2 s e n 2 x )2 + C
9j
dpi = sec
/= i¿ £ + C
(3 -2 s e n 2 x ) 2
-4
p i-tq d
La base es:
7 = _icosl3x + C
7 = J (4 - x )
dx
= - ¿ e o s 4 3x + C
pi = 4 - x
La base es
su diferencial
d/r = ~1 dx
(12JI Calcular:
^— "Falta
Al integrar agregamos la inversa de -1 ,
í
7
Solución:
La base es:
que es -1 .
Lnx
2x
dx
// ----- Ln x
du~~—d x
Así obtenemos:
(4 - x )
2
Pero:
Í =* j i 2 * d x
Integrando:
I -■ ~
+C
-4 + 1
I = -2 ji-x + C
2
2
+ C
4- L2n x + C
4
®
Calcular:
I ~ J s e c 2 0 tg 6 dd
13J Calcular:
7=
| cos2 xsen
!■
2xdx
13
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Moisés Lázaro Carrión
Solución:
A l integrar:
La base es:
// - sen 2 x
d/v - 2 cos 2 xdx
Al integrar, obtenemos:
tg4 <9+ C
I =
(16) Calcular:
2 x dx
Solución:
/ = 15£!¿2S. + C
I - ^sen 4 2 x + C
14)
/=
Pero:
/=JíL!f)V2*
Luego:
/ = -4- — -|XI- —
-2
Calcular:
~2
1 = j e 2x ^ (4 - 5 e 2x)2dx
r +1
+C
= - £ (1 - 2 x f ! 2 + C
Solución:
Pero:
I = J e 2x (4 ~ 5 e 2x f í 3 dx
-10 e
(Í7 )
Calcular:
/=
J sec4 9 t g 9 d 0
Solución :
Falta
Hacer:
Integrando
I~
Jsec3 d ís e c é 't g 0 ) d 9
-i
/ = - fñ
| ó---+1
-10
+C
La base es:
// = sec d
d/u - se c 0 t g 0 d 0
^ ( 4 ~ 5 e 2x) 5/3 + C
Luego, la integral es:
15)
Calcular:
La base es:
1 = Jtg3 6>sec2 dd#
/ = ~ s e c 4 <9+ C
// = tg <9
dju = sec2 0d 9
14
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
IN T E G R A L D E L P R O D U C T O D E U N A C O N S T A N T E P O R U N A F U N C IÓ N
I a ■ju{x) - d x = a | ju(x) ■dx
4 )----
Se lee: “La integral de una constante a p o r una función, //(x) es igual al produc­
to de la constante a multiplicado p o r ¡a integral de la función /.j{x)
Ejemplos:
©
Calcular: / =
j*5 J l - x
dx
Por lo tanto:
•+c
Solución:
1= 5
y
V I-x d x
_
3 /c
1 v-2
5 | ( l ~ x ) 1/2dx
-i
©
Calcular:
/ = j*3csc2 0 c tg d dO
i
= 5 a - (1- 4 2 - + c
-i
Solución
= - i 2 ( l ~ x ) 3/2 + C
(2 ^ Calcular:
5 - ~ x 2 dx
/= ílx
= 3
u - ctg 0
La base es:
.-=>
Solución:
I-~
J x ( 5 ~ ~ x 2) ^ 3cíx
Jcsc:
Luego:
d u = - esc 0
I ----- 3 -y
+C
----- - d3 ciof'U - C
2
La base es:
// = 5 - -- x 2
dju = -•§ x d x
Falta - - | dentro
©
Calcular:
J=
Solución:
de la integral.
I - J L J ( 3 - ^ x ) V 2d,
V3
Sólo fines educativos - FreeLibros
xdx
Moisés Lázaro Cerrión
La base es
=>
Luego:
¡u = 3 - y ¡ 3 x
1
djLi = - ^ 3 dx
(3 -S x flz
3/2
-S
+c
x/3 x ) 3/2+ C
f(3 -
IN T E G R A L D E U N A S U M A
// = //(x)
j * ( / / + v )d x = j*//dx + J v d x + C
© ~
V = v (x )
Ejemplos:
IJ
x)
Calcular: I
o
dx
Calcular:
í
( x 2 - 5 )2
dx
Solución :
Solución:
f X4
W m = j* (x - 2 x V x 4 x 2 )dx
/ = J x d x - 2 J x 3¡ 2dx + J x 2dx
„ x2
/
o x ^ 2 , xJ , p
~~2~ ¿ ' W
- 10 í x ^
- J x 7//2d x - 1 0
r' T + L
= ¿ - i xV 2 + 4 + c
(6 )—
' J^
10x2 < 2o ,
=■
j*x
25 J i ‘f e
3/ 2d x + 2 5
Jx
_1^2d x
x 9/ ? - 4 x J/ 2 + 5 0 x l!2 4 C
Í£ (/(x ))d x = / M
+ C
Ejemplos:
O í ^ { 5 x z + 2x-3)d x = 5xz + 2 x - 3 + C
<DJ^{sen2x - 5x
(T | J - ~ ( 2 x - x 3 +e5C)dx = 2 x -x 'í +ex +C
.41 l-^-(Lnx-3x)dx = L n x -3 x + C
í
16
Sólo fines educativos - FreeLibros
)dx = sen2x - 5 x 2 + C
La Antiderivada y la Integral Indefinida
]
S e lee:
df,i
Lr¡ j /./J + C
/i = ij(x )
"la integral da una fu n c ó n Hftf iONAL ¿:n éi ■./v-.. C deriuuir. i
de! denom inadni c\isic en a mer e: :<\-r
lUTMi >XXi".
'■
c.
;
V del I tenc>n;:i ¡i i. ;Y>:‘
E jem plos:
CD
Solución:
I = J~dx
Calcular:
H duuond’iador es
Solución:
I — L n jx j + C
/■ ,:1
da
Su diferencia) es:
(T )
1= J
dx ~ L n |x - 1 i + C
(3 ^
Calcular:
I = J ---y --—' dx
dx
o.v"
-9.v‘v/x
-■ — - - - - d e
j * .
S u s !in .¡ir a i i ¡ : /
Solución:
//= 4 x
-5
r
=>
-
■
’ ;
í
1
8
Calcular:
I
— dx
í:
Solución:
f da
J *
= — Ln| p\ + C
= - L n | 4 x 2 -5 | + C
Calcular:
v ; L n j 4 - 3 x '- ¡ + C
d x = -§~d/./
=
(4^|
cM-ni/d ■■■ C
d// = 8xdx
su diferencial es:
Sustituir en /
2
a
El denominador es
í = j*
5x¿
4 - 3xc
-dx
// - 3 —4 z
El denominador es
su diferencia! es:
2x
d /./ = - 8 € 2x dx
j
'
I— falta
existe
dx = — ~~du
Sólo fines educativos - FreeLibros
-8 e
'
Moisés Lázaro Carrión
Solución:
Sustituir en I :
í
Pero:
-8e 2x dV
M
1
1
8 Ln |//1+
//
C
7
// = 4 - 3 V x
du = —4=-dx
D on d e
J5
7
2e 3'
-dx
En este caso, escoger
4 - L n | 3 - 4 e 2 x |+ C
Calcular:
4 - 3 Vx
dx
Solución:
En este caso la derivada del denom ina­
dor no existe en el numerador, pero
2Vx
h
—
¡- Á
—l—r/v
í— Falta
Integrando:
I =
L n j4 - 3 V x | + C
haciendo una simple operación alge­
braica en el denom inador obtendremos
su derivada.
( 8 jj
Así
Solución:
5— ~
-dx
3e 3x
■dx
5e3x -2
El denominador es
// = 5 e 3x - 2
Calcular:
x {3 - 2 Ln x )
Pero:
7
Si
// = 3 - 2 Ln x
í
3 - 2 Lnx
dx
d u - ( - 2 ) —dx
l
Falta
d/j = 1 5 e3xdx
su diferencial es:
dx =
Sustituir en / : 7
\
15e x
f 3e3x
"J
"
1
-dju
15e3>
_ 3 f dfi
15 1 M
Integrando:
/ = 4 j L n j3 - 2 Lnx| + C
Calcular: 7
Solución:
El denom inador es
í yfx (4 -3 -Jx)
dx
co s3 x
3 - 2 sen 3 x
dx
d// = ( - 6 ) eos 3 x dx
Í L n | 5 e 3 x -2| + C
7
í
/j - 3 - 2 se n 3 x
i Ln [//1+ C
Calcular:
dx
1
Falta
Integrando: 7 =
18
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L n j3 - 2sen3x| + C
La Antiderivada y la Integral Indefinida
QOJ
Calcular: I
i
5 sec^ 2 x
3 - 2 tg 2 x
dx
(jí)
Calcular: 7 = f -A - 3x dx
J 2x - 3 x
Solución:
Solución:
J
J= 5
H - 2 x -3 x 2
dx
3 - 2 tg 2 x
dju = (2 - 6 x ) d x
= (2 )(l- 3 x )d x
1
El denom inador es: // = 3 - 2 tg 2 x
r>
d/n = ( - 4 ) sec 2 x d x
su diferencial es:
Integrando:
paita
7 = -g- Ln| 2 x - 3 x 2 1+ C
L — Falta
Integrando:
7= 5
Ln 13 - 2 tg 2 x |
j -2^-dx
x- 3
©
_ lñ _ )c/x
J ( 2x + 6
x - 3
x 2 + 6 x - 1 8 L n | x ~ 3 | 4- C
| L n | 3 -2 tg 2 x | + C
-En este caso, prim ero se divide. Esto se
hace cuando ei grado d el polinom io num e­
rador es mayor o igual al grado del deno­
m inador.
IN T E G R A L D E U N A E X P O N E N C IA L
jl L
(? }—
Ln a
+c
La integral de la exponencial a fl es la misma exponencial dividido
por
L n a , siempre que exista el diferencial del exponente p .
Ejemplos:
(i)
7 = | 2 3~2xd x - ^
2
3~2x
Ln2
4 -C
í
7= I sen 3x5
3 -4 c o s3 x
dx =
=>
d// = ( - 2 ) d x
Falta
Ln5
■4 C
1 c 3 -4 c o s3 x
4-C
12Ln5
¡u ~ 3 - 2 x
Pues:
1 5-
12
p = 3 - 4 eos 3x
Pues:
=>
dp = (12) sen 3 dx
-Falta
19
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Camón
~2x
(3> / = Je~2x7 e
2
— o~2x
— 11.
7
2Ln7
J V '* ' J
dx = J - 2 l — - + C
Ln7
■J
~
4- C
+ U
=>
3
¡
( ax ~ h x ) 2
ax b :
x_ —
_ o 5^~y
*Zi'J*
_/
"á
"p^
T •« .i p
Vx
2 yjx
a 2x - 2ax bx + b 2x
ax b:
í
2x + -
“ ~ ' Ln( ; )
5 barct3>
l +x2
// = arctg x
d//
J I( íf - 2+L f J*
M f)
í
■dx
2 + ¿ i| d x
aJ
(f)'
Ln5
Pues: jLl = yfx => dju = —y=?dx
■d x
Solución:
í
Ln a
Ln a
d// = ( - 2 ) £ ~'¿xdx
[——Falta
J
-1/2;
la j/ Ü ^ a ^ +C
// = e - 2 x
Pues:
3/2 x __
o l í ___ L . |dx
ax¡2 '
a*l*
Luego:
l +x
I
= ^
•dx
b arctgx
+ C
4-C
IN T E G R A L D E U N A E X P O N E N C IA L S IM P L E
d>—
í € ;'d/y = e M + C
// = p ( x )
S e ¡ee "La integral de una exponencial simple, es la misma exponen­
cial. siempre y cuando exista la derivada del exponente"
Ejemplos:
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
, 2 x;e3~ ^ ? * d x -
+c
©
í= | ^ - d x - = 3 | ^ d x
= 3 ( 2 ) [ ¿ xj + C
Pues: /¿ = 3~ cgs2 x => d¿u =(2 )sen2xdx
'■ -— F a lte
©
' ‘J
e
-I
= 6 e ^ +C
■dx
Pues
J * + e " 2>- T e
//=
Vx
d//
yX
•Falta
e
Z
= 4
Pues:
-W x
)dx
■±e -3 x - ± e - 2x - e "K + C
o
- ^
3 r3 2
dx
i ? : ! r iR i+ c
// - e x •=> dju = € x • d x
IN T E G R A L D E F U N C IO N E S T R IG O N O M É T R IC A S
sen judju = - eos // + C
La
in te g ra ! d e !
i,en//
es
ig u a l a m e n o s c o s e n o ,
s ie m p r e
r u a n d o e x is ie la d e r iv a d a d e ! a r c o a .
i;
1
E je m p lo s i
©
-= i I sen 2 x dx
= - -- eos 2 x +
C
© ' = /
Pues el arco es: ju = 2x => d¿/ = (2 )dx
"t"
L
El arco es: ¿t;
)dx = ?
4 - xJ t© d/t - -3x~ dx
Falta
xsen (3 -2 x 2)c6c = P c o s (3 -2 x ¿) + C
Pues el arco es:
3 x ~ s e n (4 - x
:=s dx ■■■-—-—du
Lueqo / - i 3 x “ sen //—---.jd//
- j* sen // du -
- eos //) -/■C
//= 3 - 2 x 2 => d// = - 4 x d x
dx = - ~ d g
- COS / / -T C
-- c o s (4 - x 3 ) t C
21
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Camón
(4 ^ 1 =
j e
2 x s e n (5 + e 2x ) d x = - ~ { - e o s ju )
Luego:
/ = ^ (-c o s (3 -5 s e n x )) + C
= íleos ( 3 - 5 se n x ) + C
ju = 5 + e~2x => d/,¡ = -2e ~2x
= ^-cos(5 + e “ 2 x ) + C
(^ / =
( $ ) I = J e o s x sen ( 3 - 5 s e n x ) dx = ?
J*i~sen(2 ~ 3 Lnx)d>c = ~ c o s (2 - 3 Lnx)
ju = 3 - 5 sen x
El arco es:
=>
//= 2 - 3 Ln x
Donde:
d u ~ -3-i-dx
r
dju = ( - 5 ) eos x d x
X
d x = ——d//
L — Falta
Ejemplos:
(T )
J = J c o s 5 x d x = is e n 5 x + C
El arco es: /¿ = 5 x
(2 )
=>
(T )
d/i = 5 d x
= 2 J ^ c o s (l-3 > / x )d x
= 2 ( - f ) s e n ( l - 3 >/3) + C
1 = J eos 3 0 d $ = ~ Sen 3 0 + C
El arco es:
// = 30 =5 dju = 3dd
/ = J -^ c o s (l-3 \ / x )d x
El arco es:
ju = l - 3 ‘J x
(T )
=> dju = ~3-~lj~dx
I = j* e ~ 2x eos (3 + e “ 2x )dx
2v x
/ = -| s e n (l- 3 V x ) + C
= 4>sen (3 + e ~2x) + C
(¡5 )
El arco es:
ju = 3 + e ~2x => d// = - 2 e “ 2xdx
/ = J ~ co s(2 --| L n x )d x
= —|sen ^ 2 - - | L n x ^ + C
22
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La Antiderivada y la Integral Indefinida
El arco es
/ = J c o s (2 -d )d d = - sen (2 - 6 ) + C
g = 2 ~ ^5 L n x
3
■=> d// = ~ 4 ” CÍx
3 x
El arco es: // = 2 - 0
J x c o s (2 - 3 x 2)dx = —~ sen ( 2 - 3 x 2) + C
El arco es: g = 2 - 3x
=> d g - ~d0
I-
9J / = j eo s( 2 6 ) d 6 = ~ s e n 2 0 + C
=> dg = ~6x dx
í
101 / = \cos{7ra)da = ~ sen (;ra r) + C
1= |x c o s ( l - x }dx = - ~ s e n ( l - x
El arco es: g = l - x 3
)+ C
dg = - 3 x 2dx
í -- J tqhQ dd = -g- Lnjsec5/9J + C
El arco es:
I = J -J L tg (3 -5 V x )d x
g = 50 => dg = 5d&
= 2 J - ^ = - 5 t g (3 - 5 V x )d x
I— Falta el 5
(2^
El arco es:
I ~ j*tg3 xd x: = ^ L n js e c 3 x j + C
g -3 -b 4 x
El arco es: // = 3x => dg = 3dx
/ = 2 ( - | ) L n | s e c (3 - 5 > / x )| + C
Jxtg(2 - 5 x 2 )d x
= ~“
2-s¡x
Luego:
1— Falta el 3
/=
= > dg = - 5 - d ~ d x
J = - f L n | s e c (3 ~ 5 V ^ )| + C
L n ¡sec(2 - 5 x 2)j + C
El arco es: g = 2 - 5 x 2 => dg = - lO x d x
0
/=
J t g (5 -2 d )d < 9
= —~Ln|sec(5-2<9)| + C
23
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Moisés Lázaro Camón
El arco es:
(7 )
p = 6 - 2 0 => dp = —2d9
/= JV * t g (3 +2e-*)c¡x
L Falta el -2
(T )
7 = J s e n 2 x t g (l - c o s 2 x )d x
= ~ ~ Ln|sec(3 + 2 e ~ x }| + C
El arco es:
p = 3 + 2e ~x => dp - ~2e "~xdx
= ~ L n | se c (l-c o s2 x )| + C
(8>
El arco es:
p = 1 - cos2x => dju = 2sen2x
J= jV tg (3 - 2 * )d x
= ~ T n 2 L n !s e c ( 3 ~ 2 X )| + C
^ Falta el 2
El arco es:
p = 3 - 2 x => d/r = ~ 2 x Ln2dx
(o )—
Jctg/rd// = Ln|sen//¡ + C
r
j La integral de ¡a c o fg // es ígua/ a/ logaritmo natural de sen//, siem­
pre y cuando existe la derivada del arco p .
¡)
/ = Jcotgód dd = -i-Ln¡sen6d| + C
41
/ = J c o t g (4 x -l)d x
El arco es: ja = 60 => dp = 6d6
J=
= ^ L n | s e n (4 x - l)¡ + C
El arco es: // = 4x - 1 => dp = 4dx
íI cotg(2 ~ 3 d )d d
-|Ln|sen{2 ~3d}| + C
/=
El arco es: p = 2 - 3d => d// = -3dd
/ = Jcotg(3 - 6 ) d 0
I x 2c o t g (3 ~ 5 x 3 )dx
í=
■jL Lnjsen (3 - 5 x 3 )| + C
El arco es:
= -Ln|sen(3 - d)j + C
// = 3 - 5 x
El arco es: p = 3 - 0 => d// = -ld d
24
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=> dp = -1 5 x dx
L a Antiderivada y la Integral Indefinida
I = J x c o tg x 2dx = ~Ln|senx2 [ + C
Entonces:
/ = —|Ln|sen(3 + V l - 3 x ) j + C
El arco es:
¡4 = x 2 =>
dju =
2xdx
/= Jcotg3ydy = —Ln|sen3y| + C
Q )
1 = J ic o tg (3 - L n 2 x )d x
El arco es:
= -L n | s e n (3 ~ L n 2 x )| + C
El arco es:
( i - 3y => d/¿ = 3dy
/= J cotg(2<9- l)d¿?
^ = 3 - L n 2 x :=> d (i = - - ^ d x
= ~ Ln|sen(2é?-l)| + C
-d x
X
(8 ^ / ~ j*-j=rL™r c°tg(3 + V l - 3 x )dx = ?
El arco es:
¡.1 = 2 6 - 1 -=> dju = 2d6
El arco es:
(i = 3 + V i - 3x => d//-
2 %/l - 3 x
dx
Jsec//d// = LnJsec/^ + tg/./| + C
(T )
l
I = I sec9ydy
I = Jsec3é?dd
= |-Ln|sec3d + tg3d| + C
El arco es: (4 = 26 => d/i = 3dd
(D
i=
El arco es:
a -f
( i = 9y => d// = 9dy
= | s e c ( l - 2y)dy
| sec5 x d x
-g-Ln¡sec5x + tg 5 x j + C
El arco es:
L n | sec9y+ tg 9 y ¡ + C
( i = 5 x => d (i = 5 dx
ÍL n js e c ( l- 2 y) + t g ( l - 2 y)j + C
El arco es:
( i = 1 - 2y
d (i = - 2 d y
25
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Moisés Lázaro Carrión
©
Pero
= J sec 2 OdO
í
Ln|sec 2^ + tg 2^) + C
El arco es:
jlí
Calcular:
sen 9 - 1
(l~ 3 s e c 2 d )d d
eos2 3#
f( sen 30 eos
J
3 0 - sec 30 ) dO
_ i Ln |sec3e + tg3é?j + c
=
I = Ln jsecdj - Ln|secd + tg d j + Q
c • sec #
J
í
I = J*tg<9
íg 6 d0
d O -- J sec 0 dd
/ = Ln
V eo s2 #
I - d -3 -| L n | s e c 2 d + tg2d| + C
eos 6
sen 6 _
1
)d 0
eo s#
eos#
j
\
3
rfn
eo s2 # / U U
J
I = J d d - 3 J s e c 20 dO
í>
I
Pero:
I
= 20 => dju - 2dd
í = J
f / eos 2# _
I
= ~ sec 30 - ^ Ln |sec 30 + tg 301+ C
, si Ci = L n c
sec # + tg #
J = J*-Lsec(2-3 L n x )d x
Hallar I
í
co s2 # - 3
eos 2#
©
1-
-
d0
í esc
L n | sec(2 -3 L n x ) + tg (2 -3 L n x )| + C
ju d f í
í
|csc2ddd
~ Ln|csc2d~ctg2d| + C
El arco es:
= Lnjcsc // - c tg jlí | + C
(3 ^
M = M(x)
I - Jcsc
dx = ?
El arco
djLJ - “
j j = 2 Q => d¿u = 2dO
b dx
Entonces;
©
/= J
csc4 d d d
/ = (0 -b)Ln|cSc ( 7 sT ) - c t g ( í f 5 ) U c
— L n jc s c 4 d -c tg 4 d | + C
El arco es: ¡j = 4d => dju = 4 dO
J
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(eos fox + s e n h x j'
sen bx
dx = ?
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Pero:
j
_
I1=
J<
J(
Jcsc3(9d0~3 Jsen30cos23Odd
t i eos2 bx
+
sen2 bx + 2 eos fox sen fox i ^
sen fox
1 + 2 eos bx
sen bx
senbx
i~Ln|csc30~ctg3(9| - 3( -■! j
dx
i Ln|csc30-ctg30j + --eos3 3 0 + C
f ( —i¡—+2cos b x )d x
J \ senbx
+q
/
í
sen 2x
5
sen2x
cos2x
sen2x
i = | | ^ lH ^ i| d x .
J*escbxdx + 2 J*eosbxdx
= -i-Lnj esc bx - ctg bx |+ -sen bx + C
Pero:
jdx
í
1 = j (5csc2x-ctg2x)dx
©
sen3¡9 - 3 sen
'= {
30 eos 30
sen2 30
Pero:
7j
í
sen30
3 sen3 30 eos2 30
sen2 30
sen2 30
í
0
| Ln|csc2x-ctg2x | - j Ln|sen2x| + C
de
l-
de
sec
J sec 2 5 0 d / / = - jk g 5 0 + C
El arco es:
/ / = 5 0 ■=> dju = 5 de
í
I = le s c(ri7re)de
O
- L n jc s c ( n / n 9 ) - c tg ( r ¡ ; r 0 ) | + C
ja dju. = tg jt + C
= Mx)
e
/ = |i z l ^
fc ie
í
eos 2 30
i
1
2 e o s 30
eos 30
eos 30
.2
(sec 3 0 + 2 sec 3e)dO
(D
í= j
sec ( 1 - 3 e)d O
í-
Integrando:
= -4- t g ( l - 3 0 ) + C
I -■i-tg30 + 2-l-Ln|sec30 + tg30| + C
El arco es:
// = 1- 30 =>
dg = -3de
27
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
f — |— c£x = 4 f — \— dx
J eos 3 x
J eos 3x
( 7)
/ = J( 1 + tg 2 x )2 dx
(1 + tg2 2 x + 2 t g 2 x )d x
= 4 J sec2 3 x d x
4 ~ íg 3 x + C
sec 2 x + 2 t g 2 x )d x
~ tg 3 x + C
I
El arco es: j u ~ 3 x => d/i = 3dx
= Jsec2 2xdx + 2 Jtg2xdx
=
© Í=J :
x 2 sec2( 3 - 2 x á )dx
tg 2 x + 2 - Ln|sec2x| + C
= i tg 2 x + Ln|sec2x( + C
= - ltg (3 - 2 x 3)+ C
El
5x
arco es:
ju - 3 - 2 x 3
3 - 3 sen2 (1 - x ¿
dju ~ - 6 x 2dx
•dx
_____ 5x_____ dx
3(1 - sen2 ) (1 - x 2 ))
(?)
;= J
€ ¿ x sec2 (5 + 3 e 2x )dx
3
4 t g (5 + 3e~2x ) + C
//=5 + 3e~~2x => d// = - 6 e ~ 2xdx
/= Jcsc2 a x d x
= - i
/
e o s2 (1 - x 2 )
dx
~ Jxsec2{ l - x 2 )dx
El arco es:
(n>—
íJ
- ft g (l~ x 2)+ C
esc judju = -c tg fj + C
ctg ax + C
©
I = Jcsc2( a - b x ) d x
= - ¿ (- c tg (a - b x )) + C
El arco es:
j j = a x => d/r = a d x
= ¿ c t g (a - b x ) + C
El arco es:
/j = a ~ b x => d f i ~ - b d x
28
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
(T í
1= f
dx = 5 fx c s c 2 x 2
J sen x
J
(T )
5 ^ ( -c tg x 2 ) + C
| c tg x
1=
j*(x - l ) c s c 2(2 x
~ x 2 )d x = ?
El arco es:
//= 2 x - x 2 => d// = (2 - 2 x )d x
+C
= -2 (x -l)d x
El arco es:
(i = x
:=> d// = 2 x d x
Luego:
í
1
xsen
(3Lnx)
/ = —i ( - c t g ( 2 x - x 2 }) + C
-dx
í - c s c 2(3 L n x )d x
= -| -c t g (2 x -x 2 )-f C
©
í=
f j s h ? csc2(3- ' j r * * )dx=?
El arco es:
El arco es:
// = 3 L n x => d¡u = 3j¿dx
Luego:
I =
// = 3 - \/5 - 3 x => d//
c t g (3 L n x ) + C
2/5-3x
f = J cscz 20 dO = ~"|ctg2<9 + C
0
=>
dx
3
dx
/ = —| c t g (3 -> / 5 -3 x )-fC
El arco es:
H - 20 => d// = 2dd
(6 )
(? )
El arco es:
J = J*86>2 csc2( l - 3 d 3 )d0 - ?
=>
1 = 8 f 02esc2 (1 ~ 303 )d0 = ?
0
ju = 1 -3<93 ri> d j u - ~902d6
Luego:
/ i-n 0
dg^náO
Pero:
El arco es:
J = J i c s c 2(^ d )d d
/ = -■¿ r c t g ( ^ ) + C
;= Jcsc2( | ) d 0
= - 2 c tg (| ) + C
I = ~ -§ c tg (l - 3 d 3 ) + C
29
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Camón
1_J
El arco es:
/ = |sec2x tg 2 x dx = -~-sec2x + C
ís
ju = 2 x
El arco es:
// = 3 - x 5 => dju = -5 x 4dx
d/¿ = 2dx
1=
I-
J s e c ( a - b x ) t g ( a - bx)dx
El arco es:
~ se c(a ~ bx)
jj = 2 + e ~ 3x => d/i = -3 e ~ 3xdx
El arco es:
Pero:
fi - a - bx ■=> dju - - b d x
7 = 5 J*e~3xsec (2 + e~3x) tg(2 +e _3x)dx
= ~ fs e c (2 + e~3x)+ C
/ = J sec 36* tg 30 d9 - E sec 36 + C
El arco es: ju - 3 6
0
^
J=
=> dju = 3d&
l
cob 3.r
5>(;n3x \ i
co-,
/=
f ( sec 2 3 x +
— E - )d x
J\
COSJx CCk 3x /
- ±
tg 3 x
--
íI x
s e n (l - 4 x
)
cos2 ( l - 4 x 2 )
Jlg 3 x sec 3 x dx
- E tg 3 x -i- E sec 3 x -r C
5^
1 = Jt g 5<9 sec 5<9 d<9
(f)
f l ^ l x dx
J ros¿3x
■
-
J^|7sec(2+C^x)íg(2+€~‘3x)dx=?
/= J-E^sec(3+Ln(l~x))tg(3+Ln(l-x))dx
/ = J x 4 s e c (3 x -x 5)t g (3 ~ x 5)dx
sec (3 - x ) + C
/=
30
Sólo fines educativos - FreeLibros
sec (2 -f V 3 - x ) tg (2 + V 3 - x )dx
L a Antiderivada y la Integral Indefinida
]
/ = J esc5 # cotg 5 (9 dd = - i esc5 d + C
(D
El arco es;
©
/ = J*csc7dcotg7d
(3 )
/=
J
J -
5 )1 =
// = 5 d => d// = 5dd
f x2
I 23x esc(1 -
g = g (x )
/=
2 3x) cotg(1 - 2 3x )dx
J esc 26* cotg 2<9 dd
d0 = -~-csc7d + C
g = 16 => d// = 7dd
El arco es:
^
esc fi cotg // d ¿u = -esc ju + C
sen (1 - 2 x )
/ = J c s c (-2 0 x ) c o t g (-2 0 x )d x
(8 ^ / = j*-icsc(3-2Lnx)cotg(3-2Lnx)c5c
dx = ?
f ;:2 c o s (l-2 x 3 )
i
'
sen(l - 2x3 ) sen(l -
(? )
^
2x¿
(9 )
)
/=
Jcsc(-j0)cotg(-§<?)d0
x 2cotg (1 - 2x3)csc (1 - 2x3)dx
(ÍO)
El arco es:
g = l- 2 x
Luego:
q
1 = j* csc ( - 5 0 ) cotg {-b$)d$
O
=> dju = - 6 x dx
(U) 7= J c sc (|e )c tg (fe )d 0
/ = - ■ ! ( - c s c ( l - 2 x 3 ))
= - ic s c (l-2 x 3 ) + C
(7 ^ J = j*ax c s c (3 -a x )c o t g (3 - a x )dx = ?
®
f =
J ^ - ' s c ( 3 - x ) cot9 ( 3 - 7 ) d x
(Í3)
/=
Jcsc ;r x cotg x dx
(14)
I =
í 5 2x csc 52x cotg 52x dx
El arco es: g = 3 - ax => d// = - a xLna
Luego:
/ =
-(-c s c (3 - ax ))
= - i- c s c {3 - a x ) + C
Lna
31
Sólo fines educativos - FreeLibros
mn
Moisés Lázaro Cantón
]
(20)—
J
J}f(í S
5 x 2 + 22
du
H2 + a2
-t
0a
í
x + 5
x
-dx
- 6 x + 34
Probar ¿qué pasa al derivar el d e­
nominador?
d2
arctg ^
n - //(x)
/
dx
V 5x
I 4 ~ a r c t g ^ ¿ |+
^
a
x ) 2+ (J¿)2
j u - ' J 5 x => d// = x/5dx
Luego / =
- arctg — + C
C
Si
// = x 2 - 6x + 34
dju = (2x~ 6)dx
+c
C om o el numerador no es 2x - 6 ,
hacer un arreglo algebraico para
que lo sea y así poder integrar.
dx
4 x 2 +9
dx
l(ia r c tg ^ )
(2x)2 + 3 ‘
// = 2x
Multiplicar y dividir por 2:
/ = i arctg ^
2 (x + 5)
í:
d// = 2dx
+C
2 - 6 x + 34
dx
2 x +10
í:
x 2 - 6 x + 34
Í t Tw* " J
1
2
Restar y sumar - 6 en el numerador:
( x 2 )2 + 4 2
dx
1
1
4 arctg •
1
( 4)
^
2
2 Í x 2 6x +34
=> d^i ~ 2 x d x
/ = f - ^ á s ------= f
J x + 4 x + 20 J
dx
-dx
•• 4 { - 2- —----- dx
2J
í:x2~6x f 34
1
Ln|x2 - 6 x + 34| + — J —
2 - 6 x + 9 - 9 4. 34
= 4Ln|x2 - 6 x + 341 + 8 f
dx
( x + 2)
1
2
+16
Completar cuadrados en el denomina­
dor:
x 2 + 4x + 20 = x 2 + 4x + 4 - 4 + 20
= (x + 2)2 +16
x 2 - 6 x + 34
Separar en la suma de dos integrales:
2
f arctg ^~ + C
// = x
2x - 6 + 6 +10
\
J (x - 3) + 25
dx
dx
l = -|Ln|x2 - 6 x + 34| + 8 ia r c t g -— 2. + C
I
I,
J2x
Ax
6 e 2x + 1 4
-dx
Completar cuadrados en el denom i­
nador:
32
Sólo fines educativos - FreeLibros
L a Antiderivada y la Integral Indefinida
J= i
1
e4x _ 6e Zx + 9 - 9 + 14
_ f—
— dx ~ l f .X arctg —
J (e¿x ~ 3 ) 2 + 5
1+ C
a/5 J
- 1 f 2x dx + ^ f - ~ ~ d x
2 J x +16
^ J x +16
donde: g ~ Z 2x - 3 => dg = 2C2xdx
( 7)
/= f j 2^ £ _ d x =
Jiot>-2x+4
= ~ L n | x 2 +16| +•
f.- t .^ n.2-.- dy
J
cos“
fi^ i- d c
2 ¡ x2 + 1 6 ÜX
arctg |-
= -l-L n (x 2 + 1 6 ) - arctg-| + C
2 íc + 4
Pues: 2x = 2sen x eos x
r-
^
I
x
•J 9 x2 - 6 x + 10
Derivar el
dx
denominador:
1 8 x -6 .
Multiplicar y dividir p o r 18, luego
donde: // = cos2x --=> dj/ = - 2 s e n x d x
sumar y restar 6.
jf_iSL_l_iL.dK
18 J
= ~ J arctg ^
9x¿
- 6jc +10
= J_ f__iSL_l__dx + — f- - -6
r C
18 J 9x2 - 6x + 10
=i
18
18 J 9 x 2 ~ 6 x + 10
Ln|9x2 - 6 x + 101 +
1
1
dx
------- dx
18 J 9x¿ - 6x + l + 9
(3 x - l)2 +9
La derivada del denominador es: 2x
= -jL L n | 9 x 2 - 6 x + 9¡ + •— a rctg 3x^ ! + C
Se debe multiplicar y dividir por 2, así:
j
<D
dx
:2 - 25
1
t n
2 (5)
10 U M x + 5
dg
g2-a 2
y ~~5
|x + 5
2a
+c
Ln
/j + a + C
// = //(x)
© í=
+c
J
dx
_______________V 3 X -V 5
-U L n
^3 2/5 “ ‘ I S x + j5
Donde:
g = >¡3x => dja = x/3dx
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
2VÍ5
Ln
+c
4 3 x -S
S x +S
Luego la integral será:
3 2(2)
f
J
dx
=
x 2 - 6x + 7
L„
2V2
~
dx
f
J
c o s3 x + 1
■3-42
■3 + 42
]_ n
í x - 5x + 3
Al derivar el denominador obtenemos:
2x-5
x2 -6 x + 7 = x2 -6 x + 9 - 9 + 7
Para poder integrar, hacer dos operacio­
nes:
= {x - 3 )2 -2
J
dx
3x2 - 2x
1 I
1 r
_
dx
3 J
J x2 _ 2;
1ro multiplicar y dividir por 2
2do restar y sumar 5:
1= 1
dx
2
1\ _I
í
3 /
cuadrados
1
Ln
3x - 2
2 Ln
3x
(s )
;= J
x
2- 5
x
+ 3
dx
Separar en la suma de dos integrales:
| ~ —-— dx + ~ i —5—
2 hI X 2 - 5 x + 3
(X~3V
M i
i
]
9
Previamente completar
en el denominador:
1
+c
-dx ~ ?
Previamente hemos completado cuadra­
dos en el denominador:
r
co s3 x - 1 + 2
c o s3 x - 3
Í2
(x - 3 )2 - 2
+c
cos3x - 1 - 2
I = _JL_1_ Ln
2 J x ¿ -5 x + 3
■i-Ln|x2 - 5 x + 3| + 4 f-ó
I - i
2
h3 3 i + c
2
J
x2
dx
-5x + ¿ - ^ + 3
Lnlx2 - 5 x + 3| + -§ f
+c
dx
----
2 J i x - 1 ')2 - 1 1
Ln|x2 - 5 x + 3¡ + 5
sen3x
1
Ln
5 Vi3
' 2~ 2
-dx
eos 3x - 2cos3x - 3
sen3x
- í (cos3 x-l)
2x - 5 - a/Í3
-dx
- 4
completar cuadrados en el denominador:
cos2 3 x - 2 c o s 3 x + 1 - 1 - 3 = ( c o s 3 x - l ) 2 - 4
Ahora tenemos:
// = eos 3x -1
dju = -3sen3xdx
I = -i-Ln|x - 5 x + 3| h— 7=rLn
2 1
1 2413
2x - 5 + 4l3
G> i=J
5x
©
e6x - 4 e 3x +3
34
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Sólo fines educativos - FreeLibros
x- 3
- lO x
-dx
-dx
L a Antiderivada y la Integral Indefinida
©
dx
©
(4 x - l ) 2 - 3 6
© i=J
x2
d//
(22
(D f=|
dx
9 -x 2
Ln
2(3)
a + //
f-L n
a 2 - //2
a ->
2o
+c
3+ x
3- x
tg2 3 x - 6 t g 3 x ~ 55
' = . M ? = í
' - f a3 6 -f1 6e/ - íJ
dx
(V 3 )2 -(V 2 x )2
Lueg0: í = i i ^ Ln
—
2 V6
0
/= |
V 3 -V 2 >
¡ . t - 4 y —> d// = 4dy
Luego:
/ = dL Ln
6 + 4y
6 - 4y
+c
© J= f —.—5f—
J 2r2x-x2
W
J 3 (x-l}2
Previamente, completar cuadrados en el
denominador:
+c
2 + 2x - x 2 = -(.x2 - 2x +■1 -1 )+ 2
= - {x 2 -- 2x +1) +1 + 2
—
- 3 —(x —1)^
16 - (5x - 1 )'
5 2(4)
Luego:
y¡3 ~42x
+c
Donde:
dx
1— 1— L n
Donde:
y¡3 + j 2 )
■JU + >/2x
Ln
3 6 - (4 y )¿
6 + 4y
1 __L _ Ln
6 - 4y
4 2 (6 )
// = V 2 x => dfi ~ y ¡ 2 d x
Donde:
-2 - 8x2 + 1 6 x 4
+ e l // = //(x)
Í6L n | 3¿ -üx| + C
©
dx
x dx
1=
©
— dx
xb - 4xJ - 5
dx
sec2 3 x
II
í= f
—
x +6x+7
*~*N
©
dx
x (L n 2x - 2 L n x - 3)
II
<D Í=í
4 + 5 x -1
4 - (5 x - l)
// = 5 x - 1
/ = ¿ r Ln
+c
=> d ¡.i = 5dx
5x + 3
5 -5 x
+c
Luego:
0
I -
/= [
■í
24 + 2 x 2 - x 4
2 5 -{ x 2 - l ) 2
V3 f x - 1
> /3 -x + l
+ C
dx
dx
35
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
Previamente, completar
en el denominador
cuadrados
I = —j L n | l l - 4 x 2
V lí+ 2 x
'3 2
24 - 2x2 ~ x 4 = - ( x 4 - 2x2 + ...) + 24
= ~(x4 - 2x2 +1 -1 ) + 24
V ñ -2 x
L n ¡ll- 4 x ¿
4-n/i T
= - ( x 4 - 2 x 2 +1) +1 + 24
= - ( x 2 - 1)2 + 25
ju = x
Donde:
Ln
— Ln
20
©
2x - 3
Í = J
11 - 4 x 2
5 + (X
5 - (x
4 +x¿
6 - x¿
11- 4 x
2 f_ x
J
11- 4 x
1)
-1 )
+c
+c
J
11 - 4 x‘:
J
2 ^ L n | l l - 4 x 2 |- 3 J
=
' = / 45 - 20x - 25x¿
©
/= J
©
V il- 2 x
11 - 4 x
eos 3x
;= |
©
■dx
sen2x
-dx
16 + 6cos2x - eos 2x
dx
4 2 x -4 9 x
-5
dx
©
/ = J ; 4 + 6x -
©
/ = J 4 tg 5 x -tg ¿ 5 x ~ 3 -dx
dx
(VÍI)2 - ( 2 x )2
s ^ — dx
5~ €
4 -s e n 23x
dx_ 3 f__dx
-8x
ju
V ñ + 2x
dx
G>
(ñ )
dx
f —2x (jx+ f
J
Ln
- l = > d / / = 2xdx
1= ^
Luego:
+C
2x
=> dju = 2dx
36
Sólo fines educativos - FreeLibros
x¿
seo 5x
La Antiderivada y la Integral Indefinida
J -y/g 2 + a 2dju =^ju<j¿u2~+ a2 + jC t2 Ln|// + y¡jn2 + a2 |+ C
(23)—
(T)
I = J4 J
0
/=
+ 9 dx =
ju = g ( x )
x V x 2 + 9 + ~ 9Ln |x + ^lx2 + 9 j
J \¡{2x + 3 )2 +16 dx
donde
= 2x + 3
d// = 2dx
=|
l ( 2 x + 3 ) ^ { 2 x + 3 )2 + 1 6 + ~ 1 6 Ln|(2x + 3 ) + ^ (2 x + 3 )2 +16|
/ = U 2 x + 3 ) ^ ( 2 x + 3 f + 16 + 4 Ln|2x + 3 + / ( 2 x + 3)2 + 16| + C
©
I = I v x 2 - 2x + 5 dx = ?
Completar cuadrados en la subradical:
x2 -2 x + 5 = x2 ~2x + l - l + 5
/ = J V (x -~ l)2 + 4 d x
= (x - 1)2 + 4
= i ( x - l ) ^ / ( x - l ) 2 + 4 + -i-4 L n | x -l + -\/(x-l)2 + 4| + C
0
I
= J xV>x 4 ~ 6 x 2 + 34 dx
-
x 4 - 6 x 2 + 9 - 9 + 34 dx
H
J xyj(x2 ,
3 f
+ 25 dx
. Hacer
jli
= x 2 + 3
,
=>
d ¡a -2 x d x
^
Sólo fines educativos - FreeLibros
=
Moisés Lázaro Carrión
I = ¡
h i ^ í 2 + 25 + \ 25Ln|// + V a 2 + 2 5 1 + C
l = l F 1 ( X2 __3 ) ^ x 2 - 3)2 + 25 + f - L n jx 2 - 3 + y¡(x2 ~ 3)2 + 2 5 1 + C
0
/=
JVio
- lO x + x 2 dx
Completar cuadrados en la subradical:
= J - / x 2 - lO x + 25 - 25 + 30 dx
= J>/(x ~ 5 ) 2 + 5 dx
Ahora, integramos:
I = | (x - 5 ) y j i x ^ b f + 5 + ¿ 5Ln|x - 5 + ^ ( x - 5 )2 + 5 1+ C
Hallar las siguientes integrales, completando cuadrados previamente:
(? )
I - j V x 2 + 6 x + 109dx
(n )
/ = J e ~ x Ve~2x + 4 e~x + 8 dx
(? )
J = I V 2 5 x 2 - 20x +13 dx
(l^
/= Jsen3x?cos23x-2cos3x + 5cfcc
(? )
/=
(í? )
/ = J -b ^ 9 L n 2x - 6 L n x + lO d x
(? )
/=
I y x 2 - 6 x + 10 dx
(j? )
/ = J 2 x \¡22x - 2 X+ 1 + 2 d x
(ÍO )
J=
U l 8 - 8 x + x 2 dx
(n )
/ = J ^ x 2 + 14x + 58 dx
( jl)
/ = Iy
(18)
/=
(¡2 )
J = J i/ x 2 + 2x + 65 dx
(¡9)
/
j» ,-----------------------
■sj l l 3 ~ 1 4 x + x 2 dx
» --------------------
* --------------------
- -------------------------36 x 2 - 60x + 29 dx
Jsenxco6xVcos22x+6cos2x+25ck
= j* \¡a2x 2 - 2abx + 5b2 dx
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
(24)—
ll
1=
J ^ju2 - a2 dju ~ -p i^ p i2 - a2 -™-a2 Ln |// + sjpi
F| Vx^ - 1 6 d x ~ j x \ j x 2
2
a
2
16Ln|x + ^ x 2 —16 j + C
x V x 2 - 1 6 - 8 L n | x + V x 2 —1 6 1+ C
0 í=
^
j
^
tiene ju = 3x - 2 => d// = 3dx
1 1 (3 x - 2 )V (3 x - 2 )- 4 - Í 4 L n | 3 x - 2 + V (3 x - 2 )2 - 4 | ) + C
312
(T)
/=
j*
Vx2
- 4 x - 5 dx -- ? Completar cuadrados en la subradicaí:
(x - 2 ) - 9 dx . donde: // = x - 2
d/u =dx
Ahora, integremos:
/ = l ( x - 2 )V{x--2)2 - 9 - -Í9 Ln|x - 2 +■^/Ü - 2 ) 2 - 9 1 + C
J = j* a2x V a4x - 2a2x - 1 5 dx = ? , completar cuadrados en la subradicaí.
= j a 2x^ a 4x - 2a2x + 1 - 1 - 1 5 dx
J a 2x y¡(a2* "~ l )2 -1 6 dx , donde ju = a2x - 1
dpi = a 2x2 L n 2 d x
39
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
A l integrar obtenemos:
7 = ^ ( | ( a 2x- l ) , / ( a 2 x - l ) 2 - 1 6 - 8 L n |a 2* - l + ,/(a2 x - l ) 2 - 1 6 |) + C
Hallar las siguientes integrales, completando cuadrados, si lo requiere el caso:
J V x 2 - 9 dx
0
j y j t 2 ~ 25 dt
0
J>/x2 - 5 dx
0
Ív 4 í2 - I d i
0
J x V 9 x * -1 2 x 2 -6 d x
0
ÍV ít2 -3 d i
0
Ja/4x2 - 12x + 5 dx
0
|Vt2 - 3 í di
0
J V x 2 + 10x~39dx
0
i V i2 - 6 t d t
J
0
J V x 2 + 16x + 63 dx
0
j a/í2 + 14t + 45 dt
J
0
j sen26,A/cos2 2 (9 -
0
0
0
I sec 3x tg 3 x v sec2 3x - 25 dx
I sec2 5 x y tg 2 5x - 4 dx
0
í eos 3 0yj sen2 3(9 -
w
40
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
y . a2 -
¡ i 2 dpi
1 „ L2
2 , 1 _2 are sen — + c
/ = J V 2 5 - x 2 dx = ^ x S s - x 2 + \ 25 are sen
0
2
( )
f
V r¿
x 2 dx
~j
+ C
~ x V r “ ■■ x 2 ■; ~ r 2 are sen y i
y^r¿ ' T¿ + - ^ r ^ a r e s e n y
™ j --(O )V r2 - O -■-q-r2arcsen j
lr2( f |
- -j 7T r“
(0
pues:
0
1 ^ (0 )
are sen (1 ) -- -7
/ = J i / l 6 - (x - 3)2 dx = -| ( x - 3 ) ^ 1 6 - { x - 3 ) 2 + ~ 16 are sen ■— . + c
/ = J ^ 3 0 x - 9 x 2"- 21 dx = ? . Completar cuadrados en la subradical:
3 0 x - 9 x 2 - 21 = ~ (9 x 2 - 30x + . . . ) - 21
= (9 x 2 - 3 0 x + 2 5 - 2 5 ) - 2 1
= ~ (9 x 2 - 3 0 x + 25} + 2 5 - 21
= - (3 x - 5 )2 + 4
o sea:
/=
I y 4 ~ (3 x ~ 5 )
dx = -|| | - ( 3 x ~ 5 ) y 4 - ( 3 x ~ 5 )
+ ^ -4 are sen
~ (3 x - 5 ) -^4 - ( 3 x - 5 )2 + 2 a rc sen
Pues:
pi = 3 x ~ 5
=>
dpi = 3dx
Sólo fines educativos - FreeLibros
3x - 5
~T”
+ C
+C
Moisés Lázaro Camón
Com pletando cuadrados, hallar las siguientes integrales:
J Vs
q
- x 2 + 4 x dx
(0 )
J y j - x 2 ~ 14x
- 46 dx
jv
45 - 4 9 x
+ 2 8 x dx
JV
- x 2 ~ lO x - 24 dx
(H )
j \ / 8 0 - 4 x 2 + 4 x dx
J^/ - x 2 + 0 • 6 x ~ 0 • 05 dx
(S )
J
(í? )
J-~r ^ 3
<§> J/
21
/
/
d//
dK
J J
3x
x2
V5s~- 3
2
^ = V3x
a
f.
dx
:2.v•1r
1
8x
= ~ (x 2 +
Luego:
/ = are sen
2x -1
dx
f
^
f
dx
J
^ - x 2 - 8x - 7
J
a/9 - ( x + 4 )2
8x
dx
+16) +16 - 7
= - ( x + 4 )2 + 9
are sen —g— + C
d/r = 2dx
6 Ln x
- 7 = - { x 2 + 8 x +16 -1 6 ) - 7
/3X
Donde: // = 2 x - 1
I
- 9 L 2 nx +
yw = M * )
J -^(V5)2 - ( V 3 x )2
2
dx
135 - 2 5 x 2 + 3 0 x dx
dx
,
d(«=V3dx
3) /-J x/9
-
+ 12x
Completar cuadrados en la subradical:
=-~rarcsen--~^=- +
v3
V5
i- ,
41
//
í /1a-■»- /r2 - a r e sen— + c
-x 2 -
f
+ 3 4 x dx
5 -9 x
are sen ~ + c
■ i
-36x
O
9 x 2 + 12x dx
(2 6 }—
11
J-y/-25x2 + 10\/2 x dx
®
6j
'
í , * \
/
J
|*
42
Sólo fines educativos - FreeLibros
dx
V ? - 2x
+C
r
La Antiderivada y la Integral Indefinida
dx
/ l 5 - 9 x 2 + 6x
í
_______ dx
i/l6 - 25x2 - 30x
; =
f
/
10 I
J
¡O
Ln j // + y // +
I
0
9i
~jÉ L= = Ln |x + a/x^~+9 ¡ + C
J J9 + x2
^ Í tA
Donde: // ~ V 3 x => dju = yÍ3dx
0
/ = }
Donde:
51
/
¿ L n | 7 x -2 + ^ {7 x - 2
í
j+
C
dx
+ 16
¡a = 2 x - 3
)2 +161
d¿y =
2
dx
dx
^ ^ 9x2- 6 x + 5
dx
+ 4
Donde: f i - l x - 2
O
r___ ___
dx
V’í7x - 2r
o
= | L n | 2 x - 3 + ^ / (2 x - 3
<^3 x + y ¡3 x + 5 |+ C
~
dx
^20-25x2+40
J:
Í
t
+ 4x
Luego:
dx
®
dx
y 2- x
J
)2 + 4|
=> d f i - 1 dx
71
I
r
64x2- 48x + 25
__
dx
J ^ x 2- 2 x + 6
f _______ dx_______
dx
4 x - 12x + 25
Completar cuadrados en la subradical:
J 7 81x 2 -7 2 x + 52
i*
J
dx
x 2 + 6x +109
4x2 - 12x - 9 - 9 + 25 = (2x - 3)2 +16
43
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Camón
_ Ln |// + <J/j 2 - a 2 | + C
J
II
J
/
// = //(x)
Luego:
dx
x - 25
Ln|x + v x
2 —2 5 1+
dx
-J
C
^ { 4 * - 3)2 - 3 6
L n | 4 x - 3 + 'y / {4 x -í
(D
' = /
- 5
Donde: // = 4 x ~ 3 => djL = 4 d x
■ í
-J=-Ln|>/3X + V 3 x 2 ~5| + C
í
= |
dx
® .
;=
©
»-
©
/=
7 (5 x -1 )¿ -1 6
Ln|5x~l + ^/(5x-l)2 ~16|
Donde:
-i f e _
4 x - 12
dx
25x¿ f 20x
%
// = 5 x - l => dju = 5dx
41
í
361
dx
3x
dx
©
)2 -
f/l6x2T24TT27
dx
Completando cuadrados en la subradical:
4.x
1
dx
'3 6 x ~ - 1 2 x - 1 5
16x2 -24x-27 = 16x2 -2 4 x + 9 -9 -2 7
= (4x -3)2-36
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
¡a = ju(x)
í
I = |— &==■ = \ are sec 4 +■c
J x ^ x 2~9
ó
ó
O
j
0 I= J.
I ___________dx
_
J (2x
i r 1
2x - 1
= “ ^-aresee— g—
i
1 +, C
í
2x -1 , x-v
= -jare sec— ^— + C
Donde: // = 2 x ~ 1 =>
3)
/=
co s3 x dx
se n 3 x ^/sen2 3 x - 25
d// = 2dx
71
/
■ M = = - L are sec-4= + C
S
V5
dx
(3 x - 1 ) / 9
x 2-
6
x
-2
dx
í;
( x + 2 ) ^ x 2+ 4 x - 12
f
sen2xdx
=?
J cos2x y eos2 2x - 16
xdx
(x 2 - 1 ) -/ x L - 2 x 2 - 3
Pero:
/¿ = co s 2 x => dju = -
2 sen 2 x
dx
dx
(2 - 5
x
)/ 2 5 x 2- 2 0
x
-3 2
=>
íío l
Luego:
/= f sen2x("2 i£ k )_._i f
J
2 J
// ^ 2 -1 6
/
dx
(1 - 2 x )
4 x 2- 4 x + 3
^
-1 6
= | - (^ a r c s e c - | ) + C
= --g- are sec
+C
45
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
J
G>
2
dfi
—= = = _ —L L n
+a7 1
n/T7
a
, „2
dx
'=
í
U^Ln1
+
+C
dx
( 2 x - l ) >/ i Í x - l ? T 9
6
Donde;
©
/=
Hacer;
// = V 2 x
d// = V 2 dx
----------f
J i'3x + 2)V9x2 +12x + 8
/=
(D
/= f
r - ^ ----------
J (3 - 5x) y 25x - 30x + 25
d//
i/ / +
3
1 Ln
1/3
+c
ii
N _____
h l 2x¿
{
J2.
—L_
■fe
í
1 =
// = 2 x - 1 => d/r = 2dx
©
Luego;
(D
2x - 1
4 2 x2 -3
x = -^// => dx = -^d//
/=
// = // (x )
J+ c
+3
| H
+c
(D
í~2
~ ¡j 2
H
/=
r—
xLnx^Ln2x -*-4
l Lnl <Wa2V
+c
a
dx
f
J
4 ~ X
+c
|
J
x J 4 - x¿
|Ln
K H
í
dx
x
5 - 3x2
fc
Hacer: // - \/3 x
w
x ■- 4=- a
V3
dx = - ^ d f i
46
Sólo fines educativos - FreeLibros
L a Antiderivada y la Integral Indefinida
Donde: /./ = 3 x - 2 => d// = 3 d x
Luego: I =
dju
f V5 + J5^3x^
s>
®
Í=í
dx
(3 x ~ l)^ 4 - (3 x ~ l f
2 + -^4 _ (3x _'i'p
i _ lL n
3
2 tJ1
j- L n f
^^
3x -1
©
' ' í J- xj vf7r- 3Tx
®
. - i (2 - 5 x; ^12 - 20x - 25x2
®
'- L = í
®
. : r
^ y ~ Ln2x
sec2 3a dv
tg3 x ^ 16 - tg2 3 v
2 + / m 3 x ~ 1 }2
3x -1
■■ l + C
Observación
Hay fórmulas que no son necesarias aprenderse de memoria, tales como ocu­
rren con las fórmulas 21 hasta la 31. Las fórmulas 21 y 22 se pueden integrar
por el método de fracciones parciales.
Las fórmulas desde la 23 hasta la 31 se pueden integrar fácilmente por el
método de su st it u c ió n
t r ig o n o m é t r ic a .
Otros Ejemplos:
© í (2x -1) \J3 + Ax - 4x2
f
dx
^ri __ -t\ ( a —
i \2
J (2x - 1 ) ^ 4 - (2x - l)2
: I í
2\
2 W * - ( 2* - i 7
2x "" 1
j+ c
t — completar cuadrados:
-4 x 2 + 4 x + 3 = ~ (4 x 2 - 4 x + l ) + l + 3
= - ( 2x - l
Hacer:
)2 + 4
// = 2 x - l
dp = 2dx
,
a= 2
47
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
f ____ fx
_ f
J (1 - xx ))* JV xx 2 - 2 x + 4
- x 2 - 2 x + l - 1 + 3 ; // = l - x
(x
f
1
dx
JJ (( l - x ) ^ ( l - x ) 2 + 3
-s/3
v
^
1
x
----- +C
, a = V3
I)2 + 3
£ = _ = = f- J U ± _ = f _
J x . // y 4 - ¡ r
J x . Lnx y 4 - Ln x
Hacer:
i J
Ln
J
m
T „ f 2.,í.¿4 Z_íí/2 I + £
Í =, = _ 1l Ln
y 4 - //2
/¿ = L n x
= -i~ Ln
—L í l Z l i L L j + C
d ju ~ ~ d x
d x ~ x ■dju
0
f — íL ™
J
V y ' !l \ “
Hacer:
f ~ 7^
]
J
u
2x
= i.fír r s e C 2x --C
_
X ■y ■¿! V 1"
1
d fi - 2 ■d//
0
J
x fó .d
Hacer:
*-5
f — p—
J
x^¡\3x¡¿
----4,! v'3
v&
Ln j V l l ^ L Z i L e
\
u ----- \¡3 x . -\/5 -■a
d a -- x¡3 • d v
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48
Sólo fines educativos - FreeLibros
-n/3 x
y
La Antiderivada y la Integral Indefinida
4. METODOS DE INTEGRACION
4.1 INTEORAGItN POR PARTIS
Fírmala:
f [ i • dv = // ■v -
f v -d fj
donde ¿u(x) y v (x ) son funciones.
La integración por partes se aplica cuando en el integrando se encuentra el producto
de dos funciones que pueden ser: polinomios por arcos, polinomios por logaritmo,
polinomio por seno, polinomio por coseno, polinomio por exponencial, seno por exponencial, coseno por exponencial, sec
/n.
esc
g, .
Sugerencia para usar esta fórmula;
1. La función dv debe ser aquella que se pueda integrar inmediatamente.
2. Tener cuidado que un sólo ejercicio, a veces, se tiene que integrar por partes
más de una vez, o puede resultar una INTEGRAL CIRCULAR.
Ejemplos:
(T)
Calcular:
/ = J x • sen x dx
"V-J s---- v----- J
u
dv
En este caso, se elige dv = senx dx , que es fácil de integrar y jli - x . Luego,
integramos dv - senx dx y hallamos el diferencial de // = x . A continuación
se aplica la fórmula. Ordenando y resumiendo este proceso es como sigue:
fj - x
dv - sen x • dx
df.i = dx<-----------v = - c o s x
Por lo tanto: I = - x eos x + i eos x dx
í-
/ = - x • eos x + sen x + C
(Y )
Calcular:
I =
i x • e x dx
49
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
Nota:
Veamos:
ju = x
dv =
exdx
d// = dx <------- - v = e x
Por lo tanto:
/=
Afganos productos de funciones
se integran por partes con el
propósito de convertirlas en oíros
integrales de fácil e inmediato
cálculo Ver el ejemplo 3.
x • ex - J e x dx
J = x • ex ~ e x + C
(? )
Calcular:
/=
j* x ■yj l + x ■dx
Veamos:
ju = x
du = V l T x • dx
d/i -- dx<------------u = |(1 + x f 2
Por lo tanto:
I
=| x
(1+
J (1
x }3/2
+-x)3^2
dx = -| x (1
+ x }3/2 --|
• ■ |( 1 + x )5^2
/ = § x ( l + x f /2- ± ( l + x)5/2 f C
4.1.1. INTEGRA! POR PARTES DEL PRODUCTO DE POLINOMIOS POR ARCOS
En este caso se recomienda elegir com o “//’ la función arco.
0
Calcular: 1 =
f are sen x d x
Jv
v
/
do
Veamos:
ju = are sen x
dju
1
dx
dv = dx
_ v= x
50
Sólo fines educativos - FreeLibros
I
La Antiderivada y la Integral Indefinida
I = x a r c s e n x - [ - - ¿ — ¿be = x arcsen x + i l - x 2) 1/2 + C
J V i- * 2
Por lo tanto:
Integrar como potencia
(5 )
Calcular:
;= J a r c tg x d x
Veam os
g - are tg x
d fi
1 +X
Por lo tanto:
d v -d x
dx <-
u= x
I - x are tgx
í
l + x¿
-dx
I = x * are • tg x ~ \ • Ln (1 + x 2 ) + C
( 6)
I = J fa rc ■sen x
Calculan
)2 dx
Veamos:
1.- Hagam os la siguiente sustitución
y = are ■sen x
(i)
x = seny
dx = cosy dy
\ T i - * 2'
2.- Sustituyendo ( i ) y (ii) en la integral 1:
I = j* y 2 eos y dy .............. (En este caso se recomienda elegir com o
la función “u ” al polinom io
y2 ).
3.- Ahora integremos I por partes:
jli
= y2
d// =
2y
= eos y • dy
• dy<-
u = sen y
51
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
Luego:
¡
rsen u
2 J ^ n y .fc
h
'
(a)
'
4 . - Cálculo de /j por partes:
¿/ = y
^
du - sen y • dy
d// - dy
u - --eos dy
Entonces:
/j - - y ■eos y
f
j*eos y dy
/ - ■ - y e os y
-f-
sen y + Q ........... ......................... (b)
I = y2sen y - 2{ - y eos y + sen y +
Reemplazando ( b ) en ( a ):
/----- y 2sen y
)
2 y eos y -- 2 sen y - 2C,
/ = y s e n y + 2y c o s y ~ 2 s e n y + C 2
6 .-
©
En consecuencia:
Calcular: / =
Jx
I = (are sen x )2 • x + (2 are sen x ) v 1 - x
■arctgx dx
Veamos:
ju = are tg x
da ~ —~ d x
l + x2
Por lo tanto: I = ¿
du = x • dx
„2
U
• are tgx - ~ J
2
i
0 dx
Cálculo de I
L o primero que se hace es, dividir:
x2
x 2 +1
-x 2 - l
1
-1
52
Sólo fines educativos - FreeLibros
- 2x + C2
La Antiderivada y la Integral Indefinida
L u ego:
/! =
I
/l =
j* dx -
dx
l+ x z
‘ dx
11 ~ x - arctg x + C i
Sustituyendo
en I : I - ~ ~ * are tg x -
(x - arctg x + Clt
I = ~ ~ * a rc tg x - j X + ~ arctg x - j Q
(8 ^
Calcular:
/=
j* are sen
dx
x = 2 sen2y
1.- Hacer:
y = are sen
\
2
(i)
j = sen y
dx = 2 (2 s e n y • cos y dy)
dx = 2 s e n 2 y * dy
§ ~ sen 2 y
2.- Sustituyendo (i) y (¡i) en la integra! / ■
1 = J y • ( 2 sen 2 y • 2 dy )
J---2 | y - s e n 2 y * d y
3.- Ahora integremos 7 por partes:
Sólo fines educativos - FreeLibros
PT
Moisés Lázaro Carrión
Luego:
1= 2
~ eos
2
J^--| eos
I =
2y + j
• J eo s
2y + ^
• sen 2 y 4- C j
I = - y co s 2 y + ^ - s e n 2 y +
2
2y
• dy
C1
/ = - y (e o s 2 y - sen 2 y ) + i (2 s e n y • c o s y ) + C
4 . - Por el primer paso, podem os volver a hacer lo siguiente:
J = - arc s e n ^ ( l ~ § - f ) + 1/ § ^ L f + C
J= | -a rcs en ^ j ( l - x ) + ^« V zx ^ x ^ + C
(T )
x aresen x
Calcular: / = J
I
Veam os:
Í
arc í
X ‘ JT
dx
Ahora integremos I por partes:
U
du
= X
du = d x <
Luego:
are sen
u = 75-(are sen x )2
/ - i- x (aresen x
Cálculo de I 1 :
dx
Pero
)2 - 1
J {a rc s e n x f d x
, está calculado en el ejeracio 6
Luego:
I=
x (are sen x f - ^ [ ( a r e s e n x } 2 *x-f (2 are sen x ) V i - x2 - 2x
/ = - - ^ 1 - x 2 are sen x + x + C
54
Sólo fines educativos - FreeLibros
L a Antiderivada y la Integral Indefinida
( 10)
/ = J*x (arctg x )2 dx
Calcular:
Veamos:
1.- Hagamos el siguiente cambio de variable:
(i)
y = are tg x
=>
x = tg y
dx = sec y • dy
(ü )
tg y ^ x
2.- Sustituyendo (i) y (ii) en la integral I
sec y = Vl + x
1 = J ( t g y ) ( y )2 (sec 2 y d y )
I = I y 2 t g y - s e c 2 y dy
dv
u
3.- Ahora integremos / por partes:
u= y
du =
9
du = íg y - s e c
2y -d y
Luego:
<-
9
y -d y
u = i t g 2y
/ = i • y 2 tg 2 y - J y tg 2 y dy
h
4.- Cálculo de
u= y
por partes:
du = tg 2 • dy
o
dv = {sec y - l)d y
du = dy
Entonces:
u= tg y -y
Jj = y t g y - y
2-
¡ i = y tg y - y
2 -L n js e c y |
J (tg y ~ y )d y
v
+ ^ - + C]
55
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Gorrión
5.-
Sustituyendo Jj en la Integral I del paso 3:
| = i
•y2
y
y
-tg
y - y t g y + y ¿ + Ln|secy|~=j - ~ c i
y tg y -y
i = i • y 2 tg 2 y ~ y tg y +
H)
Calcular:
/=
9
• tg 2
Jx*
u2
~Ln|secy| + v +
+ Ln |sec y | + C
. arctg (3 x ) d x
Veamos:
u = a rctg {3 x)
du
1 + 9x2
dx *
Por lo tanto:
J = ■— . arctg ( 3 x ) -
J
1+ 9x2
í
arctg (3 x )
dx
-X 3 - 1 *
i v —i • x
9 X 9 1 + 9x2
J x .•ddx
x +~
lJ
arctg (3 x )
9 J
/ = 4r - a r c t g ( 3 x ) - i - ^ - + | - i
arctg (3 x )-
12j
Calcular:
I
í
X3
1 y2
18 A
1
162
dx
1+ 9x2
• dx
)+ C
are-sen V x ^
1.- Hagam os la siguiente sustitución:
(i)
l x
9
0 - - ix
9
r -n/( l i +. n9 x
„2z ) + C
L
Ln ( l + 9 x
9 x 2 +1
are sen V x = y
56
Sólo fines educativos - FreeLibros
1 +9x^
1 +9x¿
1
La Antiderivada y la Integral Indefinida
■sjx = s e n y
----- >
9
x = sen y
(ii)
dx - 2 sen y • eos y * dy
(iii)
2.- Reemplazando: (i; . (lí) y (iii) en la integra! /:
■2 sen y • eos y dy ■--- I —
I z^r I /-
2Jy
sen y ■dy -
2 [ - y eos y
• 2 sen y • eos y • dy
J- sen y - - C ]
V er Problema
1
I - - 2 y eos y +■2 sen y -■»- C ^
3.- Por lo tanto:
© C a lc u la r :
I --- - (2 are sen
\fx ) V i
- x + 2 v x - C.
/ = f i ^ f d x
H a ga m os la sustitución:
are tg x = y
x = tg y
(i)
d x = sec
y • dy
R eem p lazan d o (i) en / :
í= f j S ^ . s e ^ y . d y .
sen y
¡ =
| l C 3!Ci|Sy_i!E= | iC 4S ldy
y • seny ■eos y
|i U S - d y
sec y
(sec y )J
-dy =
eos y
y
du = sen y • eos
i y • sen y * co s° y • d y
u
s—
1_____ y
1____ 1/
du
y • dy
4
- eos y
y
Lu ego:
/= -
1-L + i
í:
| e o s 4 y • dy
57
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
Cálculo de I
I i = Jcos4y • dy = J*j^~-(l + cos2y) J2dy = — j* ( l + 2cos2y + eos2 2y)d y
I ~ i
h - 4 J*dy + -| Jcos 2ydy + -|: Jcos 22ydy
/i =
y+
Reemplazando
Jeos
2 22 yy dy
dy =
co s¿
= J-í
j- | (l
sen 2y + ^ y + - ^ sen 4y + Cj
+ c o s 4 y )d y
• | y + -| sen 4 y
en I :
/ = _J !H | lz + l . | ^ l y + l . scn 2 y + l y + X sen 4 y + c 1 ]
/a_ l^ li +^ y+i
1=
4.JLy + _L
sen 2 y + ^ y + ^
s en 4 y + l C i
sen2y 4. sen4y + C
(ií)
Reemplazando (i) en (ii):
I =
45 }
C a lc u la r :
+ — arctg x + ~ r sen 2 (arctgx) + -j—- sen 4 ( a rctg x ) + C
t
/ = | x •are sen x • dx
V eam os:
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Cálculo
/1
de por partes:
/j - j x 2 (1 - x 2 ) ~4/2 d x = J x • x {1 - x 2 T 1/2 d>
u ■■x
dv ~ x (1 - x 2 )
x ^
dx
v = - - - 2 ( 1 - x 2 I1/2
d// = dx
/j
u=
--x \/l - x 2 *
rVi
1- x2
- x 2 dx
Aplicar la fórmula 25
í
-
<y¡1 - \
\2
.Iv V T
Por lo tanto sustituyendo
/
/1
j ^íirt-senx ■ e
en / tenemos:
• a rc s e n x -■~ ( ■!■ • a rc se n x - ^ x ^ 1 - x 2 ) + C
/ - -i • ( 2 x 2 - l ) a r c • s c n x -r ^ x > / l - x 2 * C
(S )
Calcular:
I =
J are tg
V x •dx
V eam os:
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
Cálculo de ^ :
Haciendo la siguiente sustitución:
(T)
Vx = í
x = i2
dx = 2t • di
Reemplazando
(T) en
í( i+d
/i =
1
2
J lS -dt =2 J(1-T
l - í - y • di =
i i + 12
Sustituyendo L en 1 :
tenemos:
2
2í
—
/ = x are tg V x -
+r
dt
2
{ V ”x - arctg *j~x)
41.2 INTEGRAL POR PARTES DEL PRODUCTO DE POLINOMIOS POR LOGARITMO
En este caso considerar com o “u” la función logaritmo.
(í? )
Calcular: I =
í Ln x * dx
Veamos:
Luego:
/ - x ■Ln x - J x ' V ' dx
1
x ■Ln x - J dx
I - x • Im x - x + C
I = x ( Ln x - 1) + C
17)
i—
Vx + arctg Vx + C
/ = ( x + 1 ) arctg ^/x - ^/x + C
Ii = 2 { t - arctg i)
Ix =
i—
x ~ | -2 (V x - a rc tg V x ) + C
• di
Calcular: / = J x 2 L n x - d x
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Veamos:
du = x 2 x dx
u = Lnx
du - — • dx
L u ego:
í =
•Lnx -
v=
• I — dx
/•
¡
J -= — * Ln x - -i- • ! x 2dx
I = i— ■L n x ■x 3 + C
18)
i
Calcular: I = |
dx
2.- Reemplazando (i ) en I :
1.- Hacer la sustitución:
/=
X -r 1. — t
(i)
í
2\
2 £ ■dt
I = ¡ i t s i í i • 2 f • dt
!E
X + 1 = t¿
x - t2 ~ 1
dx = 2t ■dt
/ = 4 J Ln ( í ) di V er ejercicio 16
/ - 4 [ í (L n í - 1 ) + C ]
/= 4
/= 4
(í? )
Ln (í
Jx +
1
"7 + i - d + c
x/xT l ( ~ L n ( x + l ) - l ) + C
Calcular: I = J x • Ln
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Camón
Luego:
/=
1 —X
Ln
1+ X
I ~ 21- • Ln
f e
1- X
1+
X
- *
1
í(
X
- x 2 +1
~ x 2 +1
+ —W
1 - X2
|dx
-1
0+1
■ x + iL n , ,
£
1- X
1+ X
(20)
Calcular: / -
I 1- X
x +C
Pues:
| L n (x + V l + x 2 )d x
u = Ln (x + v l + x 2
du = dx
v- x
Luego:
I = x • Ln ( x + y j l + x 2 ) - J -
í = x • Ln ( x + ^ 1 + x
11
Calcular: I
Jx
• Ln
l + x^
) - 1/1 - x 2 + C
dx
Pero:
L n ^ l + x 2 j = - i- - L n (l + x 2
Entonces:
7=
1 Jx
dx
• Ln ( 1 + x 2 ) dx
62
Sólo fines educativos - FreeLibros
Ln
1+ x
1- X
-Ln
1~ X
1+ X
La Antiderivada y la Integral Indefinida
u = Ln (1 + x
Ahora integremos por partes:
dv = x • dx
l + x
,2
o
— • Ln (1 + x
Luego:
ir
• dx
xJ
- X 3 —X
í(
Ln (1 + x ‘
X
l+ x 2
j dx
x 2 +1
X
0 -x
^ - + i » L n ( l + x z ) |+ C
+ 1 ) Ln { l + x ¿
(x
Lnx
í {x + l f
Calcular: /
+C
* dx
u = Lnx
du = (x + 1 )
du
Luego:
-d x
dx +
-d — • Lnx +
x+1
— - - Lnx +
X + 1
1
X ( x + 1)
dx
dx
completando cuadrados
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
I - — L _ L n x + Ln
X + 1
fI x
X
X + 1
+c
Calcular
I
L u eg o :
/ = ~ • |x 2 • L n ( 1 - x ) dx
x )ú x ; p ero
■Ln
LnyfiT- x = ^ * L n ( l - x )
H agam os:
o
du = x dx
j
1 - L • — L n (l - x ) - - *
L u ego:
j* x - 1
dx
, Pero:
X2 + X +
0 -t x
0+ x
- X + 1
Entonces: / =
^=
•í ~ L n (l ~ x) ~ ~
r v-3
2 '!
if^ n ll ~ x ) - ~
/= i - x tL n (l- x )- ^ - x
24)
Calcular: I
x 2 + x +1 +
I
+ x + Ln |x - 1 1) j + C
4
- “ •x
- - x - ~ - L n | x - l| + C
. dx
Hagamos:
u - L n (x)
dv
du
2 L n (x) •
du
- • Ln íx)dx •*--
• dx
--L dx
du - x “ • dx
u
jd x
--
Sólo fines educativos - FreeLibros
0 +1
1
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Por lo tanto:
I ~ --i- Ln 2 (x ) + 2
• Ln ( x ) d x
U
Ahora calcularemos ^ por partes
Ui = Ln x
dui ~ ~ Y ’ dx
du-i - — -d x
«i
1
I = - — Ln 2 { x ) + 2
Por lo tanto:
Ln
Calcular: / =
J -2• dx
• Lnx + 1
( x ) - 2 • — Ln x - - + C
'
'
X
X
Jy 2/3 L n (3 y ) dy .
Veamos:
d i’ ~ y 2 °d y
u = Ln (3y)
du = ^ - d y
du
^ T T T
- • dy «
-ü -ÍV
53
dy
J = f - y r^
Calcular: I -
L n ( 3 y ) - ¿ - y s/ ' U c
íI x Lnx dx
Sólo fines educativos - FreeLibros
T
Moisés Lázaro Carrión
Veamos:
Haciendo:
u = Lnx
du = — • d x *
X
Luego:
L n x | x d x
/■
/ = 4 - Lnx- i - í + c
/= - - (2 L n x -1 ) + C
27)
Calcular: I = J x n • Ln x dx , n e Z +
Solución :
/
281
Calcular: I
xn+1
n+ 1
Lnx
Ln x
í7 ^
1
(n + 1 )¿
v-rt + l
x
+C
dx.
Solución:
I = 2 y [x {L n x - 2 ) + C
66
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
4.1.3. INTEGRAl P8R PARTES REI PROPUCTR DE POIINIMIOS
CRN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En este caso elegimos com o
29) Calcular:
“u” a
la función polinomio.
I -- J x ■eos (nx) ■dx
Haciendo:
u
x —_
du = eos (nx)dx
du--dx <-----------^ u ~ ^ • sen (nx)
Luego:
x sen (nx)
I
• J sen (nx) dx
/ = -n■x sen (nx)
'
' - -nL\ - -neos (nx) J] +C
I-
- • x sen ( n x ) +
301 Calcular:
4 r ■eos (n x )
+
C
I ~ I w eos (3 w )d w
Es similar al ejercicio 29.
Solución:
'311
I = ~ w sen (3w) + ~ eos (3 w ) + C
Calcular:
I -
fI x • s e n 2 (3 x ) dx
Haciendo:
u= x v
o
dv ~ sen (3x)cbc
dv = j (
du = dx <
Luego:
1
- eo s 6 x)d x
v ~ -~(x - ~ s e n ( 6 ;
7=|--x(x~-i - sen 6 x j
^ • J( * ~ ‘ sen 6 x j dx
67
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
/= 1.
x2 __L
x sen { 6 x ) - \ • x 2
/= \ x2
1
1 -
32)
x sen ( ó x ) - - ^ •
+
72
eos ( 6 x )
+C
• eos ( 6 x ) + C
. x 2 „ _ L . x sen ( 5 x ) _ X . COs ( 6 x ) + C
72
I = |x2 • sen ( x ) dx
C a lc u la r:
í*
Hagamos:
u= x
du =
du = sen(x)dx
2x
Por lo tanto:
• dx «*-
u = - c o s (x )
J= -x
• eos ( x ) + 2 i x • cos(x)dx
í.
Cálculo de /
du = eos (x)d x
u = sen(x)
Entonces:
I = - x 2 eos ( x ) + 2
/= - x
C a lc u la r:
/=
x sen (x ) -
I sen (x ) dx
l-
• eos ( x ) + 2 x ■sen ( x ) + 2 eos ( x ) + C
íx
• eos
(2 x )
dx
Hagamos:
du = cos( 2 x)d x
u = -g- • sen( 2 x )
68
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Luego:
/ = ~ *x
3
sen ( 2 x ) - -
Jx2 • sen(2 x)dx
Cálculo de U por partes:
di>i
di¡i - 2 x • d x <—
-
sen( 2 x)dbc
~ - 2 ' cos( 2 x )
Por lo tanto:
J - - J - x 3 s e n ( 2 x ) - - ~ - | - ^ ■x z c o s ( 2 x)-t- J x - c o s ( 2 x ) d x ¡
/ = • x3 sen (2x) + -|' • x2 eos { 2 x )--| f x • cos(2x)dx
Cálculo de I2 por partes:
u2 =
= cos( 2 x)dx
du2 = dx <--------------- v2 = j - sen(2 x)
Entonces:
1 = —•x 3 sen ( 2 x ) + - - x
2
eos ( 2 x ) - - §
- • x sen ( 2 x ) - ~ J s e n ( 2 x } d x
I = 1 . x 3 sen ( 2 x ) + — • x 2 eos ( 2 x ) - f - x sen ( 2 x ) - - | eos ( 2 x ) + C
34}
C a lc u la r:
I = j* x • cosec 2 (x )d x
Haciendo:
u= x \
ey
dv = eosec (x)dx
du - dx <-----------— v = - c o t g ( x )
69
Sólo fines educativos - FreeLibros
r
Moisés Lázaro Carrión
I = - x c o t g (x ) + | c o tg (x )d x
Por lo tanto:
í-
1 = - x cotg ( x ) + Ln|sen(x)| + C
35)
C a lc u la r :
I - J d sec 2 6 d6
361
C a lc u la r :
/=
371
C a lc u la r :
I
Hagamos:
,
S o l u c .:
1 = 6 tg<9 + Ln lcos^ l + C
I x • eos x • dx ,
S o lu c . :
/ = x s e n x + cos x + C
!■
t
dx
u - xv
c/i;
• dx
du ~ cosx
• sen
x - dx
v = -sen _1x
u--cosecx
d u -d x
Entonces:
/ = - x cosec x + J co sec x d x
I -■ - x cosec x + Ln j cosec x - cotg x | + C
38J
C a lc u la r:
I = I x * sen x • eos x • dx
Antes de Integrar, hagamos la siguiente sustitución:
Sabemos que:
Entonces: (i)
sen 2 x = 2 se n x • eos x
j sen
2x
= sen x • eos x
sustituyendo (i) en I :
70
Sólo fines educativos - FreeLibros
L a Antiderivada y la Integral Indefinida
J*[i
sen 2 x
I = — • |x • sen
v - - Í c o s 2x
du --d x <-
• x c o s 2 x + -| • | co s 2 x d x
1- ~
Luego:
í-
I =
39)
• dx
dv = s e n 2 x dx
u = x-
Haciendo;
2x
dx
• x cos 2 x + -g- • sen 2 x + C
I = J ( x 2 + 5 x + 6 ) cos ( 2 x ) dx
C a lc u la r:
1=
Jx2
/ = J
cos ( 2 x ) dx + 5
x 2 c o s (2 x )d x + 5
C á lc u lo d e í j
Ui = x 2
dui =
2x
f
• cos ( 2 x ) dx +
6 J c o s ( 2x )d x
x - c o s ( 2 x ) d x + 3 sen ( 2 x )
C á lc u lo d e l 2
= cos (2x )d x
dx<
j* x
yl =
2 ’ sen(2 x )
= cos( 2 x )d x
u2 *
du2 = dx <
u2 ~ 2 ' sen(^ x )
Por lo tanto:
1 = -|*x 2 sen(2x ) -- fJ, x sen ( 2x)dx + 5 -g-xsen(2x)--| Jsen(2x)dx
+ 3sen(2x)
I ~ ~ ‘ X2 sen(2x ) - J x s e n ( 2x)ck + -|*xsen{ 2x ) - | - ’ Jsen( 2x)dx + 3sen(2x)
71
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Canión
I =-| x 2 s e n (2 x )- J xsen(2 x)dx + ~ • xsen ( 2 x ) + ^--cos( 2x ) + 3sen(2x) + C
H n2
Cálculo de J3 por partes:
Entonces:
du3 -- sen( 2 x)d x
U3 - X '
>3 = - i * c o s ( 2 x )
du3 ~ dx *
t
|
/3
~ - ^ x c o s (2 x )
4 ---
j*c o s ( 2 x )d x
J /3 = _ l x cos( 2 x ) + l . s e n ( 2 x )
R e e m p la z a n d o / 3 e n I :
/ = -£x2sen(2x)4 ^xcos(2x)---|;sen(2x) + ^ • xsen(2x) + “ -cos(2x) + 3sen{2x)+C
^ “ ( 2 x2 ~ “4 +
f ^ )sen(2x )4 (
Calcular:
x f ¿ )cos{2x) 4 C
) sen( 2 x ) 4- (
/= |
Entonces:
40)
2x
/
)
eos ( 2 x ) + C
J x se n *! x )d x
Haciendo:
du - sen' (x)d x
da = sen(x)sen (x )d x
Q
da =- s e n (x )[l - c o s ^ x )] dx
du = sen(x)dx - sen x • eos 2 x dx
du - dx
P o rlo ta n to :
/ = -x c o s x
u = -c o s x +
4-i
• x eos 3 x -
j*
[ - c o s x + - - eos 3 x ]d x
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
I - - x eosx + i - x eos 3 x + J eo s x dx — • j* e o s 3 x • dx
/ = - x eos x + ~ x eos 3 x + sen x - ^ • I eos 13 x dx
í:
Cálculo de I
11 =
S
eos
x dx
/j =
j*eos x (1 - sen 2 x ) dx
I-i
J eos x dx - j*eos x sen2 x dx
-
1
r
¡ i = sen x
sen
3
x
Reemplazando I-. en /:
I - - x eos x t l x eos3, x -r sen x I = - x eos x t ^ x
/ = - x eos x +
41)
( sen x - ^ ■sen 3 x ]
eos 3 x +■sen x - ^ sen x + ^ senlJ x + C
x cos° x +
■sen x + d- sen3 x + C
D e m o s tra r q u e:
f senn + 1;
J cosm + 1.
Pero:
dx = — • sennx _ _n_
m r™mv- m
I = f - sri''
J cosm + 1x
í
seWLlx_ dx
r.m-1
dx = ís e n n x •
J
n e Z + ,m e Z
- n *— dx
cosm+1x
73
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
Haciendo:
Luego:
°
I = — • sen " x • eos m x
m
I sen n
m
I
1
x • eos "rn+1 x • dx
dx
v42J
D e m o s tra r que:
eos
m
- i
Hacer:
I =
1
x dx
í c o s ^
J sen ‘ x
.1 .. cosm x _ ni
n c0nn vn
i f
J
COS
m
X
,n
í
COS
+1 .
Haciendo:
Luego:
/- - L ■
n sen'' .x
- — f
n J
— --
sen” >
— ¡Jx
Sólo fines educativos - FreeLibros
:r¡ ™1
X
- 1 „
dx
s -í\r
U X
La Antiderivada y la Integral Indefinida
4.14 INTEGRAL POR PARTIS GIL PR0DUGT0 01 POLINOMIO POR EXPONENCIAL
En este caso elegir com o “ u” la función polinomio.
(43^
Calcular:
I - J x 2 •e
* dx
Hagamos:
du - e xdx
v = ~e
Por lo tanto:
!
I = - x 2 e~~x + 2
Cálculo de
I
I x • e~ xdx
j por partes:
u - x .
du = dx <-
dv = e Xdx
v = -e
Reemplazando en l :
/ - —x 4" e x - 2x e
/:--: - e x ( x
441
Calcular:
- 2e ' + C
-i-2 x *■ 2 ) -i- C
J = J x 2 -e2x d x
La solución es similar a la anterior. D ebe de tratarse de “bajar” la potencia de
x
o
, derivando sucesivamente.
Solución:
I = 4- • x 2 e 2x - 1 x e 2x + 4- • e 2x + C
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
451
Calcular:
I = j* x 3 • e x^3 dx
Su desarrollo es similar al ejercicio 43.
/ = _3 e “x/3 ( x 3 + 9 x 2 + 54 x + 1 6 2 ) + C
Solución:
461
Calcular:
/ = J e ^ * dx
Hagam os la siguiente sustitución:
4x = t
X = í2
dx = 2t - dt
Por lo tanto:
1=
|eí • 2t - d t
i
1 = 2 j t é ■tdt
du = dt <-------- ^ -------- J
Luego:
/=
2
(t e í - J V - d t )
I = 2 (te t - e i ) + C
I = 2el (t -1 ) + C
/= 2e^
{ y f x - l ) +C
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
( 47^
C a lc u la r:
1= |x'J * e x * dx
Pero:
I = | x 3 • ef
!• - ■r J
• dx = | x z • x e A dx
du
A h o ra integrem os p o r partes:
dv - x • e x
x" ex -
I
P o r lo tanto:
1
. v-2
I = j - ex
48)
i| x e x dx
1
c
(x ¿ - l ) + C
I = J ( x 2 - 2 x + 5 ) e x dx
C a lc u la r:
Pero:
■dx
I =
J*x2 e -x
/=
JI
dx-
2 J x • e~x
• dx + 5
j* e “ x
dx
V xdx
x 2e
Xdx -- 22 JI x • e x • dx - 5 e~
I-L está resuelto en el ejercicio 43.
/2
está resuelto en el ejercicio 43 parte J-,
Por lo tanto:
/ = -e
* (x 2 + 2x + 2) - 2 (-x e x - e x ) - 5 e "x -t- C
J = - e - x ( x 2 + 2 x -¡-2 ) + 2e X( x - í - l ) - 5 e K -<-C
/ = s~x ( x 2 + 2 x + 2 - 2 x - 2 + 5)
I = - e _x (x
C
+ 5} + C
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!«)
Calcular:
Dividiendo:
/=
|es“ M
|dx
í'
/ = J e senx ( x • eos x - sen x • eos
í'
2 x ) dx
Multiplicando y separando en dos integrales:
/ = J x e senx • eos x • dx - J e senxs en x • cos '~2 x • dx
h
h
C á lc u lo d e / j
du = dx <— v
C á lc u lo d e í 2
e
Reemplazando /] e í-¿ e n / :
í = x e wn* -
f e s,'n v
dx
I - x ef’onx - f e *’ux dx
/- e
- ! - i - ■e s,::i* - - 3 - . es;'n *
f - 1
- - • e * " * eo sx - d x ]
+ fe ^ n x dx + C
' ( x -- sec x ) h- C
4.1.5 INTEGRALES POR PARTIS CIRCULARES
Son aquellas que al integrar por partes, la integral original se repite. Esto nos permi­
te despejar la integral deseada.
5}
C a lc u la r:
I = Jex • sen x • dx
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La Antiderivada y la Integral Indefinida
Hagamos:
du ~ sen x dx
v=Entonces;
í
Cálculo de L
í -
eos X
s e n x • dx
~ - e x e o s x + I e x • c o s x dx
U
por partes:
m =e
düi = e
■dx <■
Reemplazando en I :
í e x sen
2
x • dx = - ex • eos x + e x sen x -
I:I ex sen x •dx
i
|ex sen x • dx = - e x • eos x + e x sen x
e x sen x • dx = - j * e x (eos x - sen x )
J
(5 ^
Calcular:
I = J sec 3 x •dx
(esta integral es muy usual)
Solución:
1) Descomponemos sec x en dos factores, así:
2) Ahora, integremos por partes:
Haciendo:
u ■--- sec x
sec1 x -- secx • sec x
/ --- J s e c x • sec¿ x • dx
du - sec¿ x • dx
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Por lo tanto:
í sec3x • dx = sec x • tgx -
Jsec x • tg2 x • dx
sec x • tg x - Jsec x • (sec2 x - 1 ) • dx
sec x • tg x - J (s e c 3 x - sec x ) dx
J
J sec 3 x • dx = sec x • tg x - Jsec3
jsec3 x * dx + | sec x • dx
2 J s e c 3 x • dx = sec x • tgx + Ln |sec x + tgx| + C
sec 5x • dx = — • [ sec x • tg x + L n |sec x + tg x j + C ]
52j
C a lcu la r:
I
Jo
e x sen(2x)dx
S o lu c ió n :
Haciendo:
du = sen(2x)dx
v = —|-cos(2x)
Entonces:
j
ex sen (2 x ) dx = - j • ex eos (2 x ) + -|- •
|
ex eos (2 x ) dx
'
Integremos
por partes:
du = cos(2x)dx
u = ^ • sen(2x)
80
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í
'
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Por lo tanto:
J e x sen (2 x )
dx =
ex eos ( 2 x ) + j
j r • ex sen (2 x )- d - •
j e x sen
{2 x)d x
J e x sen (2 x ) d x = - j • e x eos (2 x ) + ^ • ex sen ( 2 x ) - j • J e x sen (2 x ) dx
J e x sen (2 x ) dx +
• J e x sen (2 x ) dx = — • e x eos (2 x ) + j • ex sen (2 x )
r/4
4‘ J
ex sen (2x) dx = —^ • ex eos (2x) + ~- ex sen (2x'
f
Ȓt/4-
ex sen (2x) dx = |-
Jo
- i • ex eos (2 x ) + j ex sen ( 2 x ’
ex [ - 2 eos ( 2 x ) + sen ( 2 x ) ]
=
l •ex
* ( - 2 c o s { 2 x ) + s e n (2 x ) )
t/4
Luego, evaluando:
,ír/4
e v sen ( 2 x ) dx =
^ ■e ^ 4 ( - 2 eos ( x ( 2 ) + sen (>r/ 2 ) J
-- -~ * e ° ( - 2 c o s (0 )-¡-s e n (0 p ~1
ex sen ( 2 x ) dx =
31
Calcular:
Hagamos:
I =
( e^ 4 4
2
)
le e o s 8 d 6
í
d v = eos d dd
u= e
d u = e 6* • dd
v = sen(
81
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í efJ eos 0 ád = z 9 sen 0 -
Entonces:
i ensené?<
Nuevam ente /j se integra por partes:
du\ = sen 0 dd
ü} =
-- - eos 6
duj = z °d d
Por lo tanto:
i
e ft' eos 0 dO = z e sen 0
í z ° eos 0 d0 = z ° sen 0 + z ° eos 0 2
íI é
Je^cos^dd
I z 9 eos 0 dO
eosO dd = e f (sen d + eo s9 )
z e cosO d6 = ~¿z° (sen d + cos d ) + C
(54)
Calcular:
I = j e 2x • eos (3 x ) d x
El procedimiento es similar al ejercicio 53.
Solución:
(55)
I = ~ ^ - e 2x
I=
Calcular:
3 sen (3 x ) + 2 eos ( 3 x ) + C ]
1 zTf COS {7Tt)dt
Es similar al 53.
Solución:
(56)
Calcular:
I = —t£ — e f
7T2 +1
sen [ n t ) - — eos ( n t )
- ....... .............................
n
I = j e x sen 2 x • dx
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+C
La Antiderivada y la Integral Indefinida
du - e Xdx
u = sen x
Haciendo:
du =
2 sen x
du = sen
2x
• eos x dx
:u = - e
dx
í
I = - e " xsen2x + I e Xsen 2 x • dx
L u ego :
C á lc u lo d e
p o r p a rte s :
di^ = sen
2x
dx
üj = - j • eos
e x sen
2x
2x
2x
dx
-i'-jjr l e " y • sen
2x
dx = ~ ~ • e x eos 2 x - ~
\e x eos
l-
C á l c u l o d e J2 p o r p a r t e s :
du2 = eos
u2 = e
du 2 = - e xdx <---------------^ u2 =
2xdx
* sen 2 x
Reemplazando el resultado de /2 en ( * )
I-^ ~ Je x sen
2x
dx - --- e ‘ x eos
2x
- ~
sen
2x
j e ' x s e n 2 x d x ~ - j e ' x c o s 2 x - JL^ - s e n 2 x - ~
J e " x sen
2x d x
*í
J e *
• dx
sen 2 x dx
= ~ ^ - e " x ( 2 co s 2 x + sen 2 x )
/] - J e " x s e n 2 x ■dx ----- —| ^ ■e ‘x ( 2 co s 2 x + se n 2 x )
J-. - -
4-• e
x ( 2 c o s 2 x - r s e n 2 x )-¡-C
83
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educativos - FreeLibros
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R e e m p la c e m o s J j e n I
I = - e “ x sen 2 x - 4 • e x ( 2 eo s2 x + s e n 2 x ) + C
e x [5 sen 2 x + (2 c o s 2 x + s e n 2 x )] + C
/=
57}
I = J s e c 5 ( 3 x ) dx
C a lc u la r:
OBSERVACION:
Las integrales de las funciones trig on om é­
tricas:
/ = I sec 3 (3 x ) sec 2 (3 x ) dx
1) Hacer:
se c3 //,
sec5//,
secn//;
esc3 //,
CSC5 //; cscn/i , con n nú m ero im p a rp os i-
tivo, se desarrollan sim ilar al ejercicio 51.
2)
Ahora integremos por partes:
u = sec 3 ( 3 x )--------------
du
sec (3 x ) dx
du = (3sec (3 x )(sec(3 x ) • tg(3 x ))(3 )d x
du = 9sec 3 (3 x ) • tg(3 x )d x <----------3)
v = i • tg(3x)
Por lo tanto:
f
• tg (3x) • sec3 ( 3 x ) - 3 Jsec3 ( 3 x ) - t g 2 ( 3x) dx
/=
• tg (3x) • sec3 ( 3 x ) —3 Jsec 3 (3x) * [sec2 (3x) - 1] dx
í = 3-' tg(3x) • sec3( 3 x ) - 3 Jsec 5(3x) d x + 3 Jsec 3( 3 x) d x
Cálculo de /j es similar al ejercicio 51:
Hacer:
=
J sec(3x) • sec2 ( 3x ) d x
“i
Haciendo:
7} = J sec3 (3 x )d x
di>i
u1 =sec(3 x)-
dui = 3sec(3x) • tg{3x)dx-
dui = se c (3x)dx
vi = j • tg(3x)
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........... (i)
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Entonces:
I 1 = J sec3 ( 3 x ) dx - --- ■sec ( 3 x ) t g ( 3 x ) - J s e c ( 3 x ) tg 2 ( 3 x ) • d x
= ^ • sec ( 3 x ) tg ( 3 x ) - Jsec (3 x ) [ sec2 (3 x ) - 1 ] dx
= ~ * sec ( 3 x ) tg ( 3 x ) - J sec° ( 3 x ) dx + J sec (3 x ) dx
2 Jsec3(3 x ) dx = ^ • sec (3 x ) tg (3x) +
Ln j sec (3 x ) + tg ( 3 x ) |
Dividiendo por 2:
= J s e c 3 (3 x ) d x =
* sec (3 x ) tg (3 x ) + ^ L n j sec (3 x ) + tg (3 x ) j
Reemplacemos el resultado de ^ en 3) (i):
I = d- • tg (3 x ) sec3 ( 3 x ) - 3 Jsec5 (3 x ) +
3
~ * sec (3 x ) tg (3 x ) + jr L n ¡ sec ( 3 x )+ tg (3x)| j
Jsec5 (3 x ) dx = d-- tg (3 x ) sec3 ( 3 x ) - 3 Jsec5 (3 x ) + ~-sec (3 x ) tg (3x
j • Ln |sec (3 x ) + tg (3 x ) |
J secj (3 x ) dx = —•• tg (3 x ) sec3 ( 3 x ) + j • tg (3 x ) sec (3 x ) +
i • L n j sec ( 3 x ) + tg ( 3 x ) |+ C
(58)
C a lc u la r:
I =
Hagamos-
•
e 0* • cos (b x )d x
dv = cos (b x)d x
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I = ~ ' e ax sen ( b x ) - f - J e 0* • sen ( b x )d x
Entonces:
Cálculo de
por partes:
Ui = e
dih = sen (bx)dx
duj = a * e 0* • dx *
ul ~ ~ ¿ ‘ cos(bx)
Reemplazando este resultado en J-, :
/=
1
-i * e0* eos ( fox) + - *
. e 0* sen ( b x ) ~ ~
J e 0* eos { fox) dx = £ e°* sen ( fox) +
í
e°*
eos ( fox) dx
+
•
1
I e °*
/■
J e ax eos ( fox) dx
* e ax eos { fox) - ^ • J e 0* eos ( fox) dx
eos (fox) dx =
•
sen (fox) + a e0* eos (fox)
j J e 0* eos ( b x ) d x = - ~ e ax [ b sen ( b x ) + a eos (b x ) ]
+
b2 + a2
J e ax eos (fox) dx = -4r e0* [ fo sen (fox) + a eos (fox) ]
Por lo tanto:
e ax eos (b x ) dx = - 0*^—7 e ® [ b sen (b x ) + a eos (fox) 1 + C
a
591
C a lc u la r:
S o lu c ió n :
+b
L
i
1 = I e°* sen ( fox) dx
I =
2~"'¿2' eQX [ 0 sen
( b x ) - b eos (b x ) ] + C
86
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J
La Antidei'ivada y la Integral Indefinida
¡O)
Calcular:
Solución:
I =
62)
63j
64)
)3^2 + (1 + x )^2
+C
I = —?r— e f f /r sen ( ; r t ) - c o s (¿rí) 1 + C
I = I e 2x sen ( x ) dx
í-
I = j - e 2x ( 2 sen ( x ) - c o s ( x ) ) + C
/=
J£
j e x eos (3 x ) dx
J = ~=~ex s e n (3 x } + - ^ • e x c o s (3 x ) + C
Calcular:
Solución:
(1 + x
í*
Calcular:
Solución:
-
I ~ Je í eos (7 rt)d t
Calcular:
Solución:
-g L * dx
/= 2 I
Calcular:
Solución:
j
I = J cosec
I
3 ( x ) dx
- c o s e c (x ) c o t g (x ) + Ln |cosecx - c o t g x )
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+C
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5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INTEGRALES DEL TIPO
5.1.
I
i-
sen™ u • eos" u • du
=
CASOS;
ler. CASO
Cuando “ m v n ” sean un núm ero ENTERO
IMPAR
POSITIVO, no
importa ¡o que sea el otro exponente.
Es decir pnedf- ocurrir cualquiera de las siguientes» alternativas:
A ) m -- impar ■
B)
n
- impar e
n ?_ Q ....................... Z : - números enteros positivos
%"
a
ni e
Q
Q ---■
números racionales
C ) rr¡ '*■ n son números enteros impares positivos.
METODOS A SEGUIR
Paso 1
El de potencia IMPAR, se descom pone com o el producto de dos factores, tal que,
el primer factor tenga POTENCIA UNO y el segundo factor tendrá potencia, la di­
ferencia (que será par).
El segundo factor, que tiene potencia par, se expresa (según el caso) en función
de una de las siguientes identidades:
sen u =
o
eos u =
1
- eos u
1
o
- sen u
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La Antiderivada y la Integral Indefinida
Paso 3 |
Después d e las operacion es anteriores, las integrales q u e se o b tien en son fáciles
de calcular, puesto qu e son la inm ediata aplicación d e la fórmula:
du
n +■1
En la alternativa c) se tiene que: si m
a
+c
n &1
n son enteros impares positivos, entonces
se prefiere trabajar con aquel factor que tenga la m e n o r p o te n c ia im par.
Veam os la forma general en que debem os proceder:
A)
Si
m - 2 k + l (impar) para todo k e Z +
La integral
I - J sen2k +1 u * eos n u • du
/=
í
senu • sen
2le u * eosn
I
1
se descom pone en:
t
u • du
Factor d e potencia par
Factor d e potencia uno
/=
senu * (sen 2u)k • cosn u * du
1=
sen u • (1 - eos 2 u)k • cosn u * du
Desarrollando (1 - eos u f
y multiplicando por cosn u , obtenemos integrales
inmediatos que serán potencias del eos u .
B)
Si n = 2k + 1 (impar) para todo fce Z + .
La integral:
I ~ I senm u •cos2k +1 u ■d u , se descom pone en:
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Sólo fines
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I - J s e n m u • cos2k u • eos u • du
I = J s e n m u • { eos 2 u f • eos u • du
l = J s e n m u • ( 1 - s e n 2 u )k • cosu • du
Desarrollando (1 - sen 2u)fc y multiplicando por senmu , obtendremos integrales
que serán potencias de senu
E je m p lo s :
C a lc u la r :
@
S o lu c ió n :
I = J sen 3 x • eos 2 x • dx
La función sen2x descomponer en senx sen2x :
l
/ - | sen x • sen2 x • eos2 x • dx
I = Jsen
66}
C a lc u la r :
S o lu c ió n :
x • (1 -
eos2 x ) eos2 x • dx
I
j*sen x ■eos2 x
I
... i2p L .t. Lüpx ... c
• dx -
j*sen x • eos4 x
■dx
I = Jsen3 ( 2 x ) • eos5 ( 2 x ) dx
La función sen 3 (2 x ) descom poner en sen (2x) sen 2 ( 2 x ) .
1 = J sen 3 ( 2 x ) • cos 5 ( 2 x ) • dx
I
Trabajamos con este factor por
tener la menor potencia im par
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
l ~ Jsen ( 2 x ) • sen2 ( 2 x ) • eos5 ( 2 x ) dx
I ~ Jsen ( 2 x ) • [
1
- eos2 ( 2 x ) j •eos5 ( 2 x ) dx
/ = Jsen ( 2 x ) • eos5 ( 2 x ) dx r _
]_
eos
i _ --
C a lc u la r :
S o lu c ió n :
(2 x )
/
i ^ cos
|- - ¡
( - 2)
(2 x )
o
^
f O
* eos 6 ( 2 x ) + j~ * c o s 8 ( 2 x ) + C
I =
67)
-
fsen ( 2 x ) • eos7 (2 x )* d x
/ = Jeos3 ( 3 x ) • sen 7 ( 3 x ) dx
La función cos 3 (3 x ) se descom pone en cos(3x) eos 2 ( 3 x ) :
I = Jeos ( 3 x ) • eos2 ( 3 x ) • sen7 (3 x ) dx
I = J eo s ( 3 x ) * 1 1 - s e n 2 (3 x ) j • sen 7 (3 x )d x
/ = J eo s ( 3 x ) • sen 7 ( 3 x ) dx - J e o s (3 x ) • sen 9 ( 3 x ) dx
jr __ _1
_
sen (3 x )
/ = — *sen
C a lc u la r :
S o lu c ió n :
J
í
3l
sen
Jq(3 x ) +Up
(3 x )- s ^ s e n
sen5 (2 x )
e o s 2 (2 x )
30
(3 x ) + C
•dx
La función sen (2 x ) se descompone en sen (2 x ) sen' (2x).
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J sen (2 x ) • | sen2 (2 x ) j
* eos 2 (2 x ) dx
J sen (2 x ) • | 1 - eos2 (2 x ) j
• eos"2 (2 x )-d x
Jsen (2 x ) * 11 ~ 2 cos¿ (2 x ) + eos4 (2 x ) j • eos ¿ (2 x ) dx
Jsen (2 x ) eos"2 ( 2 x ) d x - 2 Jsen (2 x ) dx + Jsen (2 x ) • eos2 (2 x )d x
1
2
eos 4 i2*)
o /
2
(
-1
1
•eos( 2 x ) ) - 1 1• ^eos3 (I2 x ) + C
4- eos
m e í{ 92y-x ) —
-i- * sec (2 x")\ +
- \ • eos3 (2 x ) + C
Í69J
^
C a lc u la r :
S o lu c ió n :
J=
í
J Íj$en&
• dd
La función cos5(d) se descompone en eos (d)eos4 ( d ) .
/ = Jcos5d • sen"1/3 d • dd
I = Jeos 0 • eos4 6 * sen" ^ 3 d * dd
/ = Jeosd • (eos2 d )2 • se n "1/3 d • dd
/ = Jeos d ■(1 - sen2 d )2 • sen" ^
d • dd
/ = J e o sd • ( l - 2 s e n 2 d + se n 4 d) • sen 3 d - d d
1 = Jeos d • sen"1'3 d dd - 2 Jeos d sen^ d dd + Jeos d se n 3 d dd
/= +
[7 0 )
C a lc u la r :
S o lu c ió n :
1
sen 3 d -
JS
21
sen3 6 + ^ se n 3 d + C
/ = J sen3 2d • eos5 2d dd
Descomponer sen3 (2d) = sen(2d) • sen2 (2d)
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I =
Jsen 2 9 sen2 2 6 eos5 2 9 d 6 - Jsen 2 9 (1 - eos2 2 9 ) eos5 2 9 d 9
/=
Jsen 29 eos5 29 d¡9 - Jsen 29 eos7 • 29 d9 = - I L S ilJ - L + i . £2lJ~L
2
l — —
6
2
eos62 9 + -— eos8 29 + C
16
12
C a lc u la r:
/ = | eos'3 39 sen7 3 9 d9
La función eos '530 se descom pone en eo s{39) • eos* 39 .
S o lu c ió n :
I -
Jcos39 eos'"’ 30 sen'' 39 dO - J eos 39 (1 -- sen2 3 O )2 sen ' 39 dO
I =
Jcos39 ( 1 - 2
sen 2 3 ti + sen 4 3 9 ) sen 7 3 9 dO
- J eos 30 s e n ' 30 dO - 2 J eos 30 sen 9 30 dO + J eos 3 0 sen 1 1 3 0 dO
=
]
s fn '5
3
g
30
0
i
¿3
jy
3ü
_ i
-^
/ = ■— sen 8 3 9 - -Xr sen 10 3 9
C a lc u la r :
S o lu c ió n :
I =
Jsen3 5 x
sen ""' 3
jó
I)
p
61-
~ r sen 12 3 9 + C
dx
o
í =
J sen
5 x •sen2 5 x dx = J s e n S x ( 1 - c o s 2 5 x )d x
J sen 5 x dx - J s e n 5 x eos2 5 x dx
/ = - i ( - e o s 5 x ) ~ ( - -g) -S2!_££ + c
I - - ¿ eos 5 x + •— eos3 5 x + C
73)
o
La función sen 5 x se descom pone en sen5x • sen 5 x .
C a lc u la r :
/=
Jcos32xdx
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Solución:
Descomponer eos3 (2x) en cos(2x) • eos2 (2x)
J = Jeos 2x eos2 2x dx = Jeos 2x (1-sen2 2x)dx
= Jeos 2x dx - Jeos 2x sen2 2x dx
1=
74)
C a lc u la r :
Solución
sen2x -g- sen3 2x + C
J = J W * * c
Hacer s e n = senx sen4x
I
/ = Jsen x sen4 x dx = Jsen x (sen2 x }2 dx ■ J s e n x (l-c o s 2 x f dk!
.* Jsen x d x - 2 Jsen xcos2.xdx+ Jsen
^
cosx-
2 | - - 4 ± | - ^ +C
/ = -co sx + -|cos3x - ¿ c o s 5 X - C
C a lc u la r :
Solución:
I
^
I
/ = Jsen7 3x dx
Descomponer sen73x en sen3x-sen63x
= Jcos3xeos6 3x dx = Jcos3x(eos2 3x)3dx = Jeos3x (1-sen2 3x)3 dx
Jcos3x (1 -3 sen2 3x + 3 sen4 3x - sen6 3x) dx
= J cos3x dx - 3 J cos3x sen2 3xdx + 3 Jeos 3x sen4 3x d x - Jcos3xsen6 3xdx
94
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La Antiderivada y la Integral Indefinida
¿sen
ó
+
ó
O
3
5
3
7
+C
-isen 3 x - - - sen3 3 x + -1 sen5 3 x - - 3 js e n 7 3 x + C
(7 6 }
C a lc u la r :
S olu ción :
I =
J
sen 5 x dx
D escom p on er sen 5x en s e n x • sen 4x
I
= J sen
x sen 4 x dx
I -
J s e n x (s e n 2 x ) 2 dx
1-
J s e n x (1 - eos2 x )2 dx
I = J s e n x {1 - 2 eos2 x + eo s 4 x ) dx
/ = J s e n x d x - 2 J s e n x eos2 x dx + J s e n x e o s 4 ,x dx
I = - e o s x - 2 ^ L ~ - l J _ co^x. + c
/ = - eos x + -| eo s 3 x - ~ eos5 x + C
¿
2do. CASO
S ea
/=
5
I sen m u eos n udu
í-
Si m y ri son pares positivos, entonces se hace una transformación usando las
senu • eos u - ~ sen 2u
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Moisés Lázaro Carrión
E je m p lo s :
(7 ? )
C a lc u la r :
/ = H
xck
^
S o lu c ió n :
C c u !»:
j"Sen4
S o lu c ió n :
/=
J(sen2 2x)2dx
~ j* dx - ~ J cos 2 x d x
2
j*l-(l~2cos4-x + cos24x)dx
x ~ 2“ 2 sen ^ x
4 Jdc' 2J
cos4xdx + —Jcos24xdx
(7 8 )
C a lc u la r :
/ = J eos
p
i x - i2 . i4 sen4x + l
x dx
jdx
±x-jsen4x + j fdx +j jcos8xdx
S o lu c ió n :
l+ c o s 2 x
Jdx + i
■^•x-'|sen4x + '|x + -|"isen 8x + C
)d x
: |-x - 3-sen 4x + d^-sen8x + C
í cos 2 x dx
I v + i . I se n 2 x ) + C
2 X
2 2
x + ^sen 2x + C
C a lc u la r :
í
cos6 3 x
dx
S o lu c ió n :
J ( c o s 2 3 x )3dx
f/
Jl
1 + eos 6 x V
2
)
dx
3Í (1 + 3 cos 6 x + 3co s
6 x + eos3 6 x ) dx
96
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
oo|i—>■
oo¡h->
x
oo|(->
J
x + — ■sen 6 x + ^ - x + -^ J c o s 12 x dx + ¿ J co s 6 x (1 - sen2 6 x ) dx
jooji-j
J
J d x + 1- j*cos 6 x dx + ~
x +~
+ sen + J(
8" 6
sen 6 x
eos2 6 x dx + —
+ •— x + -~r * ~
sen 6x
+~
x +
sen 6 x
+ -gL- sen 12 x +
lo
C a lc u la r :
64
sen 12
sen 12x + ~ Jcos 6 x
i ^ x + jtr
16
Jcos 6 x eos2 6 x
) dx + ~
§
eos3 6 x dx
x -f ~ • ~
8
6
sen 6 x
sen 6 x
dx - ~
dx
Jcos 6 x sen2 6 x
- ~ • i - * — T -—- + C
8
- j¡~
6
3
sen3 6 x
/ =
Jsen4 5 x eos2 5 x
/=
J(sen25 x • eos25 x ) sen25 x d x
+C
dx
S olución :
=
J(sen 5 x • cos 5 x )2 sen2 5 x d x
_
sen 10 x ' l 2 ^ 1 - cos IQ x ^ ^
2
J
\
2
sen2 IQx | 1 ~ c o s ió *
•g- Jsen2 lO x dx -
Jsen210xcosl0xdx
Sólo fines educativos - FreeLibros
dx
Moisés Lázaro Carrión
83)
C a lc u la r :
J= J(2 - sen#)2 de
1 = | eos j • sen ~ • dx
S o lu c ió n :
I
S o lu c ió n :
J |eos2f
' sen2 -| jcos2~dx
/= J (4 ~ 4 s e n d + sen2 d )d d
e o s • s e n ) eos2-|dx
f
J
(
sen
( —
C a lc u la r :
x \ 2 ( 1+
i
(—
cosx
r
~
= 4 J d d ~ 4 j*sen6l d d + Jsen2 ddd
\ ,
)
= 4 d - 4 (- c o s d ) + J ( l ~ -— )d d
d x
J sen2x dx + ¿ J sen2x eos x dx
= 40 + 4 eos 0 + ^ 0 - ^ J eos 20 d O
= 40 + 4 eos ^ + 2 ^ ~ 2 ‘ 2 sen 2^ + C
¿ x - ¿ Jeos 2xdx + -?^sen3 x + C
=
0 + 4 eos 6 - ~ sen 2 0 -f C .
¿ x "w*2sen 2x + -¿ sen3 x + C
-x-dg-sen 2x + ^ sen3x + C
4}
C a lc u la r :
I =
J sen2ax
• e o s 2 ax dx
Solución
/= J(senax eos ax)2dx= J ( Jsen2ox ) Zdx *=!■ Jsen¿ 2axdx
“ 4 |(
- ■ |x “
= | 1 ^ - 8 J «*4 o x < ic
sen 4 ax + C
98
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
J
I = I | J sen 26
2 - eos 26 ) d6
C a lc u la r :
S o lu c ió n :
J ( sen 2(9-2 ^señ~2d
I
eos 20 + eos2 29 ) á9
J sen 26 dd - 2 Jcos20(sen 20)1/2 dd + jeos2 26 dd
-|cos 20-2-|--(i^||£.! .+ J^-fl + cos Q6) d6
eos 26 - ~ sen3^2 20 + ~ 0 + - J eos 46 d d
—| eos 26 - -|sen3/2 20 + ~ 0 + -i •~ ■sen 46 + C
—~
8?)
C a lc u la r :
eos 2 6 - j sen3/2 20 + - 6*+ ~ sen 46 + C
= Jsen4 26 • eos4 26 d d
/
S o lu c ió n :
I = J(sen 20cos 20 )4 d0
4
í(
^ sen 4 0 )
d0
~
| sen1* 40 d0
1
J(sen 2 40)2 dd
_i_ J* |1-’
16
0 - -J_1_
64
c»s 8 / ; j
2 d0 = ~~ J(1 -2cos 80 + eos2 80)
dd
J eos 8 0 dd + -g- J eos2 80 dd
^ X . l s en 8 e + i | ( Ü = « £ ) d ^
99
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
64
&
256 S e n ® ^ + 128 ^ + 128
.¿O
J
I
eos 16 0 d9
_2_ q — l— sen g ñ a, ----_ ~ sen 16 6 + C
128
64 v
256
128
16
— sen 8 0 + —
7 K sen 16 0 + C
2048
256
5.2. INTEGRALES 01 LAS FORMAS
S
□
M
H
1 sen Ax • cos Bx dx =
H U S B H F
isen Ax • sen B x d x -
3 1 cos Ax • cos Bx dx -
Para estos casos se usa lías transformaciones siguientes:
Para Q} -.en A\ • toe Bx -- -heniA
íi)\ + ,-en(A
Bl\]
Para (T | sen Ax • sen Bx = ^[cos(A - B)x - cos(A + B)x]
Para [TJ cos Ax • cos Bx = -|[cos{A + B)x -t cos(A - P)x]
E je m p lo s :
(87| Calcular:
/
í sen2x •cos4xdx
S o lu c ió n
í
/ = Isen 2x • cos4x dx
r[sen(2x + 4x) + sen(2x - 4x)]dx
J2
12
cos 6x + ¿ eos ( 2 x ) + C , cos(-2x) = co$2x
ís
Calcular: /= |sen3x •sen2x dx
S o lu c ió n :
J= J-|[cos(3x~2x)-cos(3x + 2x)]dx
¿ Jsen 6x dx + ¿ Jsen(-2x}dx
i •¿(-eos
Jcos x dx -
6x) + ¿ ^ -¿ j((-c o s (- 2x))dx
Jcos5xdx
= ~ sen x - ¿jsen 5x + C
100>
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
(89^
C a lc u la r :
(9 0 ^
í = Jeo s 4-x * eos 3x dx
C a lc u la r :
I = J e o s 5x eos 8 x dx
S o lu c ió n :
S o lu c ió n :
I=
I = i eos 4x • eos 3x dx
Jeos 5 x • eos 8 x dx
r[ cos(5x + 8x) + cos(5x - 8x)]dx
= I 4[cos(4x + 3x) + co s(4 x -3 x )]d x
- I jcos7x<ic + I Jeosx dx
~ J cosl3xdx + ~ Jeos (~ 3 x ) dx
= ~ •-y sen 7x + ~ sen x + C
i . J_
= ~ sen 7x + 4 sen x + C
—•sen 1 3 x -~ s e n (~ 3 x ) + C
2
13
i!3 x + j • ^-~-jsen(-3x) + C
~~
sen 13x + \6 sen 3x + C
26
N o ta :
sen( -3 x ) - ~sen (3x)
co.s(-3x) = cos(3x)
tgn u d u
ó
J ctg”
u du
Cuando “n ” es un número entero positivo, se procede dei siguiente modo:
El primer paso, es descom poner la potencia tg3u (o ctgnu) en dos factores, de
O
O
tal m odo que el primer factor debe ser siempre tg u (o ctg u ).
El segundo paso, es hacer la sustitución:
rg'^u - sen^u - 1
o
ctg“ u ---- csc^ u --1
El tercer paso, es multiplicar e integrar.
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Moisés Lázaro Carrión
Es decir:
I = Jtgnudu
1" Paso =
2a” Paso
í = Je tgn u du
= Jctg2u •ctgn-2udu
J tg 2 utgn~2 udu
= J(sec2u - l ) t g n~2udu
3erPaso =
Jsec2u*tgn-2u du - J tg n“ 2udu
=
J(csc2u - l ) c t g n~2udu
=
Jcsc2 U‘ Ctgr)-2u du- Jctgr7_2udu
E je m p lo s :
(9 l)
C a lc u la r :
I = J tg4 0 á9
C a lc u la r :
1 - J tg5 2x dx
S o lu c ió n :
S o lu c ió n :
/= Jtg 52xdx
J= J tg 4 0 dO
-
(9 2 )
= J tf2 x V 2 x *
J^ 9 2 & tg 2 0 d 0
= J(sec22 x -l)tg 32xdx
= j ( s e c 2 0 - l ) t g 2 0 d0
= Jsec22x*tg32 x d x - Jtg32xdx
= J s e c 2 0 tg 2 0 dO — J tg 2 0 d 0
=
=
~ J (s e c 2 # - 1
)d 0
tg 3 0 - J s e c 2 0 d 0 + J d0
= 4 tg 3 0 -tg 0+ 0 + C
=1
j*tg22x- tg2xdx
= 1 • tg4 2x - J(sec2 2x -1) tg2xdx
= -| • tg4 2x - Jsec22x • tg2xcix + Jtg2xdbc
= ¿ *tg4 2x —|
1 Ln|sec2xJ
= ^ -tg 4 2 x - j tg22 x +1 Ln|sec2x| +C
102 -
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La Antiderivada y la Integral Indefinida.
3}
C a lc u la r :
/ = J c tg 3 -|dx
-1
ctg4a x
J c s c 2ax • ctg a x + J*ctg axdx
S o lu c ió n :
I = j*ctg2
+ -- • Lnlsenaxj
• c tg ~ d x
a
'
f
~ 4^ c tg 4ax + — • ctg2ax
=
esc2 f - 1 ) ctg-- * dx
~ j*esc2 ~ * ctg - J c t g - d x
+ - • Lnlsen axl + K
^95} Calcular: I - Jctg43$dé?
.2 x
ctg
3 Lnlsen 41 + C
S o lu c ió n :
~ • ctg2 - - 3 Ln|sen |-| + C
j*ctg4 30 dO =■ Jctg 2 30 • c tg 2 30 dtí
i
94}
1= Jctg5axdx
C a lc u la r :
-- j* ( esc2 30 -- 1) ctg2 30 dU
S o lu c ió n :
---- j*esc 2 3O ■ctg 2 30dO - j*ctg 2 30 dO
I = Jctg5axdx
~“^ ‘
" Jlcsc 2 30 - l ) d l )
= Jctg2ax •ctg3axdx
-- - f ■ctg3 30 - j"esc 2 30 dO
j*dO
= J(csc2 ax -l)c tg 3axdx
= Jcsc2ax •ctg3axdx - Jctg3axdx
f
( esc ax
~~
• cig,53d - ( -q ) ( - ctg3í/) + O -j- K
---
• ctg3 3d *■■ ctg 3O + O -i- K
- 1 ) ctg ax dx
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
5.4.
IMTC6BJIÍESI! 1A FIRMA
J sec nudu
o
J csc nudu
CASOS:
CASOI
Si n es un número entero impar positivo, entonces se recurre a la
Integración por partes.
CASO II
Si n es un número entero par positivo, entonces
la potencia
secn u
(ó cscn u ) se expresa com o el producto de dos factores, de tal for­
ma, que el primer factor sea sec2 u (ó csc2 u ) y el segundo factor
,n - 2
secn 2 u (ó cscn
4u)
gonométrica:
sec
o
se
expresa en términos de la identidad tri­
2
u = tg u +1
csc
p
p
= ctg u + 1
de esta forma las integrales que resultan serán potencias de la tg u
ó ctgu.
Es
decir:
l
Jsecn u du
í = J cscn u du
Jsec2 u •secn~2 u du
Jsec2 u
fI sec2
sec
u) 2
= Jcsc2 u •cscn"2 u du
du
u (tg +1) 2 du
= Jcsc2 u [csc u) 2 du
= Jcsc2 u [ctg +1) 2 du
Ejemplos:
(9 6 j
C a lc u la r :
Jsec4 j¡x d x
104
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
S o lu c ió n ’.
S olu ción :
} = J s e c 4 |-xdx = J s e c 2 - j x ■sec2~xdx
- Jsec2
/= jesc20 - esc2 0dd
| tg2-g'X +1 ^du
= Jcsc20(ctg20 + l)d0
= Jsec2-|x • tg2-|xdx + Jsec2 - x d x
í esc 0 •ctg dd + íI-esc
tg3h
■2 •- - J3 —+ 2 • t g ~ x + K
6 d6
|-ctg30-ctg0 + K
2 . tS3
w3 -i ^ + 2 t g i x + K
3
)9^
(9 y
C a lc u la r :
I
J s e c 6 5 0 dd
S olu ción :
1=
C a lc u la r :
i¡esc
/ =
S olu ción :
3 0 d0
I = Jesc2 30 • esc6 30 d0
Jsec2 5 0 • sec4 5 6 dd
- e s c 2 30 (esc2 30 )3 d0
■í
■í
• í
■f
sec2 50 •(sec2 50 f
sec2 50 (tg 2 5 0 + 1)2 dd
sec2 5 0 (tg 4 5 0 + 2 tg2 5 0 + l ) d 0
5
Jsec25/9 tg2 5 0 d 0
te5 5g
5
=
J esc2 30 ( ctg230 + 1 )3 d0
=
J esc2 30 ( ctg6 30 + 3ctg4 30
+ 3ctg230 + l)d 0
= Jesc2 30 • ctg6 30 d0
sec2 5 0 -tg 4 50 d0
+ 2
i
d9
+
Jsec250 d0
í
+3 j esc 30 • ctg 30
+3 1esc 30 • ctg 30 dO + I esc 30 d0
2 . I . Ü Í 6£ + i . t g 5 0 + K
• tg5 50 + ~ • tg 3 50 + -- • tg 50 + K
1
'3 '
ctg 30
+3
C a lc u la r :
I -
J e s c 4 0 dd
7
I \ctgJ30
+ 3( ” 3 )
( 4
) ^
- ^
/ = ~ 2i ' ctg7 30 - i ■ctg5 30 —~ctg3 0 + K
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• ctg3 30
Moisés Lázaro Camón
ÍÓo) Calcular:
I = Jcsc6 f •dx
Jcsc2 £ ■( ctg4 ^ + 2 ctg2 -| +1 ] dx
S o lu c ió n :
esc'' j
I
í
*dx
csc^
j • cíg4 1- ■dx
+ 2 J esc2 — • ctg2 -|dx + |csc^ -| • dx
J-
esc2 — • esc4 ~ • dx
Jcsc2f * ( esc21 )
I CSC
5.5
ctgJ
dx
ctg ~ +1 )
ctg'
I * ctg5 f - f •Ctg3 1 - 2ctg| + K
dx
INTEGRALES DE LA FORMA:
J tgmusecnudu ó
Jctgmu •cscnu du
CASOS:
CASQI
Cuando n - 2 k
es número entero positivo par, se procede com o las
Integrales de la forma 5.4 . Así:
tgm//sec2íc/id// = tgm// sec2 lí sec2k 2 (jd¡u
fijo
2
sec //
t g > [t g V + l]
fc-i
du
multiplicar
Todas las integrales resultan potencias de tg//.
CASOII
Cuando “m” es impar a n es impar ó par se procede en descomponer en fac­
tores, tal que, aparezcan necesariamente juntos los factores sec // • tg // (ó
esc // • ctg //) para poder, finalmente integrar como potencias de sec // (ó
CSC u ). según sea la forma.
a) tg2íf’3//sec2f 3/ / b)
tg2fc' l//sec2jc' //=
tg // • sec //
FIIO
tg // * sec //
tg2fc//
sec2^ ¡u d/V =
tg2*// sec2*
(sec1
' fi - 1'*
106
Sólo fines educativos - FreeLibros
integrales de po­
tencias de sec //
//d// = integrales de potendas de sec //
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Ejemplos:
<1£¡> C a l c u l a r :
102)
I = j
I
= í tg3 6 sec4 9 d9
I
C a lc u la r :
tg3 9 •sec5 9 dO
S o l u c ió n :
S o lu c ió n :
I = j t g 0 '(sec 6) sec O d0
W tf,»
= Jtg3# • ( tg2 9 + 1 ) sec2 6 d6
=J
I tg 9
0 • sec d
6 * sec6
sec ¿'dé1
9d6 -
= Jtg 5# *se c 2#d# + Jtg 39 - sec2&d&
sec.
‘
Íí
6
-
+
+
(Í0 3 ^ C a l c u l a r :
7
"
J
■
j ttg O sec d • sec <9d6
K
k
ÍSÍ£
4
Jtg5 2x sec3 2x
I =
dx
S o l u c ió n :
I = J tg 2 x • sec2x • tg4 2x • sec2 2x • dx
= Jtg 2x • sec 2x • (tg2 2x )2 sec2 2x dx
= Jtg2 x • sec2x • (sec2 2 x - l ) 2 sec2 2xdx
- J
tg2x • sec2x • (sec 2x - 2 sec 2x + l)sec 2x •dx
tg2x-sec2x-sec
l'
1 . sec72x o . l sec5 2x
7-------- ¿ 2
5
~2
14
I
2 x d x - 2 j tg 2x • sec 2x • sec 2x dx+ j tg2x • sec2x * sec 2xdx
i
2
sec32x , y
3
* sec72x - i 5• sec5 2x + 6~ • sec3 2x -tí K
107
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
Q04j> C a l c u l a r :
í ctg
/
<9 * csc 0 dd
S o l u c ió n :
1=
| ctg3 0 • csc4 9 dd
/•
FIJO
í
ctg3 0
í
ctg 0 * csc
J ctg0 0
ctg
9
csc2 0
0 • (ctg 0 + l ) d 0
csc2 0
ctg 0
csc 0 dO
d0+
J ctg3 0
CSC
0d<9
+K
¿ • c t g 60 - ^ - c t g 4(9 + K
(1 0 5 ) C a l c u l a r :
/ = J ctg 6 x • csc 6 x dx
S o lu c ió n :
FIJO
I ctgóx • cscóx • ctg 6x •csc 6x • dx
(ctg 6x • csc 6x) (ctg26x )2 •csc6 6x dx
(ctg 6x •csc 6x) (csc2 6x -1 )2 esc6 6x dx
(ctgóx •csc6x) (ese4 6 x~ 2 ese2 6x + l)csc6 óxdx
ctg 6x • cscóxcsc106 x d x - 2 j*ctg 6x • csc 6x ese8 6x dx + J c tg ó x • cscóx • csc6óx • dx
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
( l0 6 | C a l c u l a r :
/=
j* ctg35é? • esc4 5 0 d0
S o lu c ió n :
FIJO
ctg50 • csc 50
I
• ctg2 50 • esc3 5 0 dO
J (ctg 50 ’ csc 5 0 ) - (ese2 50 - 1) ese35 0d 0
J (ctg 50 • csc 5 0 ) • ese5 50 dO - J (ctg 5 0 • csc50) • ese3 50 d0
ese6 5d
JL
ese
30
-
ese4 50
(-i).
50
ese
20
50
+
K
O tr a f o r m a d e r e s o lv e r |
También se puede integrar c o m o el caso I :
Así:
I ~ | ctg3 50 • ese4 50 d0
ctg
50 • ese 50 * ese 50 dO
ctg
50 * (c o t e r 50 + 1 ) ese
ctg
50(csc 5 0 )d 0 + ¡c tg 50 (ese 50) d0
i
1
5
¿
N o ta :
50 d0
50
ctg
'
6
*
ctg6 50
2\
H )
ctg
1 - ctg4 5 0
20
50
+
K
+
K
Este resultado es equivalente a la primera haciendo las trans­
formaciones trigonométricas.
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Moisés Lázaro Carrión
(1 0 7 )
C a lc u la r :
/ = J t g 2x • sec3 x * d x
N ota : Esta Integra1 no se podrá calcular si hacemos J j j g x • sec x
Pero si hacemos:
■ tg x s e c 2 x dx
tg 2x - s e c 2 x - 1 se tendrá. / - J (s e c 2 x - 1 ) ■s e c 3 x dx
Cada una de estas integrales se hace p o r partes.
6. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA RE FUNCIONES
QUE CONTIENEN:
L2-u2, L2~a2,
Para estos casos, el m étodo más corto para Integrar tales funciones es efectuar un
cambio de variable del siguiente m odo:
Función
Triángulo a construir
a y /
J a 2 -u 2
A
u
\
Hacer
~ = sen#
f<N
CS
CNI
[ a
UA
A
)
u = a sec 6
= sec 9
d u = a sec 6 tg 0 d O
a
A
^ = tg0
L 2 + a2
A )
u - a sen Q
d u = a eos 6 d O
\Jtf2— u 2
Vu2 - a 2
Sustitución
a
110
Sólo fines educativos - FreeLibros
u = a tg 9
du = a sec2 9 d 9
La Antiderivada y la Integral Indefinida
(l08j Hallar:
/
í
dx __
( 4 - x 2) 3/2
S o lu c ió n :
Hacer
x =
sen O
2sen 0
-x dx = 2 c o s Q d0
1~ J
Sustituyendo:
Í
2 eo s9 dd
2cosd dd
_
2 eos 9 d$
I
J
(4 - 4 sen 2 9 ) 3^2
4 3/>2(1 - sen 2 $ ) °^2
fc o s d d d _ i
i
2 3 ( cos 2 ^ ) 3/ 2 “ 4 ‘ J
f
1
cos3 0 ~ 4 * eos
J
6
de
Jsec2ddd = ~tgd + K
+x
- 1
4
109J Calcular: I
l
dx
x 2 + 2)3/2
sec i
-x
y = x¡7 sec d
» dy = y ? sec 6 • tgd dd
f ^ 2 sec2 9 da
J ■
,2 tg* O, ¿ f¡'¿
fg
C
J
set* a dO
2 -V2 i ty2
i ) :l:-
Sólo fines educativos - FreeLibros
j
2
I* sec“ d dd
d
J ■see-vy27iT
Moisés Lázaro Cantón
(lío)
I=
C a lc u la r :
x = y¡2 tg#
dx = \¡2 sec2 $ d0
Sustituir e n / :
/«
f-£ sE ÍS £ £ _ =4 -
J 7 sec"*0 V7 sec20-7
f -------
' i isecd}^7
-}
¡ = t 5 -- f — ^ h r < »--■ *• fco sO cW
7v 7
/
--- 4 • sen 0 -t C - ■- •
m )
C a lc u la r :
J
/
J
-i- C
dx
x*Jx?-9
S o lu c ió n :
Hacer
tg#
*
x
= 3tg<9
dx =
^x2+ 9
sec #
~» a/ x +9 = 3 sec#
Sustituir en I :
/
— f 3sec0 tg&d0
~
J
3 sec2 0 d#
27sec3d (3 tg d )
= ^ " J ^ 7 dé, = ^ ' j cos2ed^
112
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La Antiderivada y la Integral Indefinida
JL. f l
27
J2
(1 + eos 2 0 )d 6
•g--* j * ( l + c o s 2 d )d d
54 • [ 0 + 2
’ ser, 2 d
•— • [ d + ~ • 2 se n d • cosd
54
X
54
C a lc u la r :
are sec
M U .
(f)
X
aresee 4- +
(i)-
/
¿Jx2- 9
+K
dx
Solución :
: sec
Hacer
x = 3secd
dx = 3 s e c d • tgd dd
x¿ ~2
V x 2 - 9 = 3 tgd
■tgd
Sustituir:
1
f ? sec ^ ( 3 sec2 d d d ) =
J 3 6 t g6 /
= _ I_ .
34
f eos3 0
J sen6 #
eos 6 0
j
- 1
81
• f¿ssifi. dO
J
tg6 0
eos6 0 de
1
eo s3 0do
f ________
eo s3 0 - sen 6 0
81
J
f
J
36
= S - | (S f)3- ^ 7 ^
sen6 0
= ® - je o t g ^ - e s e 3^
• J(cotg
6 'ese O )-
cotg 2d • ese2 6dd
= 81 * Jcotgd • csc d • (ese2 8 -1 ) ese2 0d8
www.FreeLibros.org
Sólo
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113
Moisés Lázaro Carrión
d - - J(ctg 0 • esc0) • esc4 $ d O - - ~ j{ctg<9 • c s c 9 )c s c 2ddd
1. . esc 9
81
“
esc° O + ^
1_ ,
81
•- esc 6 + ~
í
405
\
405 x '
Ü l3 | C a lc u la r :
^
y
x
/
* esc 9 + K
l
i
¡x +9
^ 243
+K
(x 2 + 9 f ! 2 + — L - r • (x 2 + 9 f t 2 + K
243 x'
/
í
dx
(1 -2 x f y 4 x2 - 4x - 4
S o l u c ió n :
Lo primero que se hará es compietar cuadrados en el radical, así:
4x2 -4 x ~ 4 = 4x2 ~ 4 x + 1 -1 -4
(2 x -lr-5
(l-2 x )2 -5
sec0
*
1 - 2 x - >/5sec 9
>
- 2dx =
->
114
Sólo fines educativos - FreeLibros
\¡5 sec 9
tg 0 09
dx - - ~ - s c c O • XqO d9
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Sustituyendo, obtenemos:
~
í;(^ JE secd 'j
V5
íi
J
2
sec 0 tg 6 dd
M jE s e c d j
-5
sec 9 t gd d0
(2 5 sec4
0)(JEtg0)
2 ( 25) J E
i:
J
sec3 0
J cos3 ^ d # = -~J c o s # -c o s 2 # d # = --d j- J co s# (1 -s e n 2 9 ) d 6
50
50
Jcos 6 dd ~ Jcos 9 sen2 9 d9
J L . I s e n # - s&UL | + C
50
C a lc u la r :
1 - 2x
± + _J„
150
1- 2x
+c
/ = J x3 (1 - x2 J1/4 dx
S o lu c ió n :
j = sen#
Hacer:
---- > x = sen#
-» dx = cos # d#
1 —x 2
Sustituyendo:
I ~ Jsen3# •(1-sen 2 d)1/4cos# d#
= J sen3 @ *(eos2 d)1/4 cos# d#
= Jsen 3 # • cos1//2 # • cos # d#
= J (sen #) sen2 # • eos3/2 # *d#
•115
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Cairión
Jsen 9 • (1 - eos2 9 ) • eos3/2 9 dd
Jsen 9 •eos3/2 0 dd - Jsen 0 •eos3/2 6 •eos2 9 dO
í sen6 •eos3/2d dd
eos 2 + 1 0
í send • eos7/2 9 d9
+
l +1
= —§ • eos5/2 d
+
- 4 - ( v r ^ r
+
5
=
- f - ( l - x 2 )5
+
+ c
cos2 + 1
1+1
+ c
eos 9/2 d
9/2
2. 1
9
'
-X
2 .,( 1 — X 2
9
'
\9
+ c
+ c
(1 ~ x)d x
(lljjjl C a lc u la r :
h 2 + ^3 + 6 x - 9 x ' ¿")
Solución:
Paso 1
Completar cuadrados en el radical, así tendremos:
3 + 6 x - 9 x 2 = 3 - (9 x 2 - 6 x + ...)
= 3 - (9 x 2 - óx + l - l )
= 3 ~ ( 9 x 2 - 6 x + 1) +1
= 4 - (3 x - l)2
Luego:
P a s o jz j
/ = J-
(2+ ^ 4 ~(3x --1)2)'
• dx
Hacer la siguiente sustitución
3 x -l
3x- I
send
3 x ~ l = 2send
»
—
3 dx ~ 2 eos 6 d6
dx = ~ • eos 9 dO
4 -(3 *-!)"
Además: ^ 4 - ( 3 x - l ) 2 = 2 eos 9
116»
Sólo fines educativos - FreeLibros
x = -|(l + 2send)
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Sustituyendo en I :
f ( 1 - 3^
j
2 s e ñ é ? ) } (-IcQstfdtf)
J
{2 + 2cos^)2
1 —2 . . f (3 1 2 senff? cobttdO _ ¿ . f {2-2senfl)cos6 ^
~d J
f
Paso 3 |
2\2)
3{4}{l~cos0}2
fil
J
_ 3
12ü + cos<?)2
sen0}ros¿?
Hacer la siguiente sustitución:
1 + eos $ = 2 eos2 ~
2
sen 6* = 2sen-| • cos-|
eos 0 = eos2 -| - sen2 -|
Luego:
/ = ¿ f ( 1~ 2senf cosf ) ( cos2f ~ sen2f ) dg
9J
4 eos4 2
cos2-| - sen2-|-2sen-| • cos3-|+2sGri3|- • cos-| jd 0
36 J1
36
cos4 f
Separando en Suma de Integrales obtendremos:
36
_L
36
i.|
íl
1
I ¡ COS ~
J*[
sen2 (9/2
COS
2 sen 0/2
2 sen3 0/2
COS ^
COS“ 2
sec2 | - tg2 | • sec2 | - 2 tg | + 2 tg3 | ]d<9
,3 6»
2 t g f - 2 ^ - 2 ( 2 ) L n | s e c | ¡ + 2 |tg3 | d d
í-
117
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Camón
Donde:
J tg 3 | - d # = J t g 2 f - t g f - d # = J ( sec2 | - l ) t g | d í 9
= Jsec2 | * tg | • d# - J tg | • d#
ta 2 L
,
= 2 • —— - 2 Ln| sec ~
= tg2 | - 2 L n | s e c - f I
Luego:
/ = -36
¿
_L
36
(1 1 6 | C a l c u l a r :
2
t
2tg
í:
Solución:
g
2
• tg3 -2f - 4 Ln |sec-f |+ 2 t g 2 f - 4 L n |sec
tg
3
3 6
Ln I sec
1+ 2 tg2 - I + C
dx
4~x¿
x
Hacer
-1
= sec #
->
x - - l~ s e c #
-»
Sustituyendo en / :
/-
f
J VV 44 --4
- 4^tín2
W dd
-
f
dx = 3 s e c # tg # d#
2 costf cW
J 2co^
-- J d # = # -- are sen ( )
1171 C a l c u l a r :
P flw o jJ
dx
í -•Jx 2 - 2x - 8
Completar cuadrados en el denominador:
Así tendremos:
x 2 - 2 x - 8 = (x 2 - 2 x + ...) - É
= (x 2 - 2 x + l - l )
= (x - 1 )2 - 9
118-
Sólo fines educativos - FreeLibros
+C
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Entonces:
Paso
2
1
I
dx.
Hacer la sustitución:
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
7. IHTESRACIÓHP0RFRACCI8NISPIUICIBLK
Una función racional es aquella cuyo numerador y denom inador son polinomios
enteros, es decir son funciones en que la variable está afectada de exponentes ente­
ros positivos.
Si el grado del numerado es m ayor o igual al del denominador, deberá dividirse
para obtener una expresión mixta.
Para integrar una expresión diferencial que contenga una función racional en el
cual el denominador pueda descomponerse en factores primos reales, deberá tener­
se en cuenta cuatro casos:
ler. CASO
Los factores del denominador son todos de l e' grado y ningún factor se repite.
E je m p lo :
S o lu c ió n :
Paso 1 |
El número de factores que existan en el denominador indicará el número de
fracciones que deberá separarse, así: En el presente ejem plo hay 3 factores en el
denominador, lo cual indica que habrán 3 fracciones.
E n c o n s e c u e n c ia :
2x-l
x (x - 2 ) ( x + 3 )
x
x -2
x + 3
Tres factores, implica formar
tres fracciones
Paso 2 |
En el numerador de cada fracción se escribe una constante, así:
Ahora los siguientes pasos son para hallar las constantes A , B y C.
120
Sólo fines educativos - FreeLibros
L a Antiderivada y la Integral Indefinida
P a s o 3 j|
Quitar los denominadores, simplificar y ordenar, así obtendremos que:
2 x - 1 = A (x - 2 )(x + 3) + B x (x + 3) + C x ( x - 2 ) |
@
—A x 2 + A x —6 A + B x ¿ + 3B x + C x 2 —2C x
2 x - 1 = (A + B + C )x 2 + (A + 3B - 2 C )x - 6 A
Esta ecuación es una identidad, para todo x e R .E n consecuencia habrá que
igualar los coeficientes de las variables de igual potencia, así:
A + B+C =0
< A + 3 B -2 C = 2
- 6 A = -1
'
(1)
(2)
(3)
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos:
De (3):
A =£
Resolviendo (1) con (2). obtenemos:
fí + C =
j
B +
C -----
por22
por
¡2B + 2 C . - f
3B-2C=2-1
5B = f
Luego:
Sustituir los valores de A, B y C en el paso 2, así obtenemos:
P fl» o 5 j
Finalmente, integramos cada fracción:
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=
1
15 ^ x + 3 ^
6 JI xx C^C + í o J x - 2 <* C
= - ' Ln|x| +
L n | x-2 | -
Ln|x + 3| + C
LnK
Ln|
7.1.
Kx V6(x - 2 ) ^ 10
(x + 3)7/ 15
MÉTODO PRÁCTICO PARA HALLAR A, B Y C
Un m étodo práctico, rápido y breve para hallar las constantes A , B y C es sustitu­
yendo, en la ecuación 3*, la variable “x ” por los “PUNTOS CRÍTICOS” .
Veam os cóm o es esto:
En primer lugar, los “PUNTOS CRÍTICOS” se hallan igualando a cero cada factor del
denom inador en la fracción inicial.
En el presente ejemplo, tenemos:
x =0
x = 2
x (x - 2 )(x + 3) = 0
x = -3
En segundo lugar, cada punto crítico se sustituye en la identidad (3*)
Así tendremos en:
Si
x =0
->
2 x - 1 = A {x - 2 )(x + 3) + B x (x + 3) + C x (x - 2)
2(0) - 1 = A (0 - 2 )(0 + 3) + B (0 )(0 + 3) + C (0 )(0 - 2)
-1 = - 6 A
+
0
+
0
A - I
6
Si
x = 2
->
2 (2 )- 1 =
0
+
0
+
B (2 )(2 + 5)
+
0
3 = 10B
B = _3_
10
Si x =
-3
-> 2 ( - 3 ) - l =
+ 0 + C (- 3 )(- 3 - 2 )
- 7 = 15C
c =
^
z_
15
Nota: Los siguientes tres casos, se desarrollan similarmente.
122
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
2do. CASO
Los factores del denominador son todos de i'" grado y algunos se repiten:
E je m p lo :
Hallar:
í [x
1 = I ——
: — ^ dx
- 1 ) (x +
l'f
S o lu c ió n :
Paso^l
Hay 3 FACTORES en el denominador, entonces habrán 3 fracciones. El factor
(x + 1 ) se repite dos veces.
r:
.
Entonces:
3 x 2 + 5x
( x - l ) ( x + l)2
'
i
X ~ 1
t
(x + 1)2
t
x + 1
í
3 factores implica formar 3 fracciones
El factor (x + 1 ) que se repite dos veces, se escribe descendiendo su grado (de
grado dos hasta grado uno).
C om o el factor que se repite es de primer grado entonces se escribe una cons­
tante en cada numerador.
Así tenemos: — 3x2+5x _^ _ _ iL . + — B __ + __C_
( x - l ) ( x + l )2
X _1
(x+l)‘
Ahora, debemos hallar A, B y C.
Paso 3 |
Quitar los DENOMINADORES teniendo en cuenta que el mínimo común múltiplo
es ( x - l ) ( x + l ) 2 .
De esta manera obtenemos la siguiente identidad:
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C o n tin u a c ió n d e l p r o b le m a
Por el m étodo práctico, optamos por operar del siguiente m odo.
En primer lugar, los puntos críticos se obtienen igualando a cero, el denom ina­
dor de la fracción inicial.
En consecuencia si: (x - l ) ( x + 1 )
?
x = 1
=0
x = -1
En segundo lugar, sustituir cada punto crítico en la siguiente identidad:
(*)
3 x 2 + 5 x = A (x + 1)2 + B (x - 1 ) + C (x + l ) ( x - 1 )
Luego:
si
x = l
->
3 + 5 = A(1 + 1)2 + 0 + 0
8 = A (2 f
8 = 4A
si
x = -l
->
3 - 5 = 0 + B (~ l - 1 ) + 0
-2 = -2 B
B = 1
Ahora nos falta hallar el valor de C, pero com o ya no existen más puntos críti­
cos, entonces damos a “x ” cualquier otro valor.
En consecuencia, volvam os a la ecuación (*).
Supongam os que:
Pero:
si
A = 2 y 8 = 1
x = 0
-*
->
0 = 2 - 1- C
->
0 = 1 -C
0 = A -B ~C
Paso 4
Sustituir los valores de A , B y C en el paso 2, así obtendremos.
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Paso 5 |
Integrar cada fracción:
~ i -JL. dx
+
J — 1~~ dx
+
= 2 Ln |x ~ 11
+
J ( x - i r 2 dx
+
= 2 Ln |x - 1 ¡
+
J * " 1
J (x + l)2
1íl L 1L_
I = L n / c ( x - l ) 2( x + 1)
-
i - — dx
J
X
+ 1
Ln |x + lj + C
+
,
C = Lnk
Ln|x + 1| + L n k
^
3er. CASO
Cuando los factores en que puede descomponerse el denominador figuran al­
gunos factores de segundo grado irreductible y ninguno se repite.
E je m p lo :
I = I -.4x.. -L.1...... dx
Hallar:
J* ( x ~ l ) ( x ¿ + x + l )
S o l u c ió n :
Paso 1 |
Así:
El grado del numerador es igual al grado del denominador, enton­
ces se divide.
4x
+ x +1
—4 x 3
1
Pues: ( x - l j f x ^ + x + l ) = x 3 - 1
+ 4
x +5
t
Luego:
4 x 3 + x +1
x f - 1
P aso^2J|
/ . x
+ 5
„
x + 5
,
— §— ;— = 4 + — — - = 4 + -— - ■■■■■—
X J
- 1
(x - l)(x ¿ +
X
+ 1)
Debem os separar en fracciones parciales la función:
x + 5
( x - l ) ( x 2 + x + l)
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C om o el denom inador tiene dos factores, entonces se separan en dos fracciones
parciales.
Así:
x + 5 _________
( x - 1 ) ( x 2 + X + 1)
j _____________
X
1
x 2+ x + l
2 factores implica formar 2
fracciones
El denom inador de la primera fracción parcial es de primer grado, entonces en
el numerador se escribirá una constante (polinomio, un grado menor que el deno­
minador).
El denom inador de la segunda fracción parcial es de segundo grado, entonces
en el numerador se escribe un polinom io de primer grado de la forma B x + C .
Así:
Bx + C
( x - l ) ( x 2+ x + l)
'—
Paso 4 |
i—
•
x -1
x2 + x + l
t
t
2 factores implica formar 2
fracciones
x + 5 = A ( x 2 + x + 1 ) + (B x + C ) ( x - 1)
Quitar los denominadores:
= Ax
+ Ax + A + Bx
—B x + C x —C
x + 5 = (A + B )x 2 + ( A - B + C )x + A - C
Por identidad de polinomios, obtenemos el siguiente sistema:
A +B = 0
(1)
A -B + C = 1
(2)
A -C = 5
(3)
Sumar (1) + (2): 2 A + C = 1
Resolver
Sustituir (4) en (1):
f2A + C
1
<
{ A -C = 5
3A
2 -rB -O
Sustituir (4) en (3):
=■ 6
A=2
B= -2
(4)
2 -C = 5
126
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C = -3
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Paso 5 |
Sustituir los valores de A , B y C, se obtendrá;
x3 -1
4 +^:
x
1
x2 + X f
1
/ = 4 x + 2 Ln |x - 1| -
Integrar cada sumando:
J
f
X
'
2x- + X
1
+
dx
h
C á lc u lo d e I l •
}
= f
J X
2-v.~3
+ X + 1
dx = í
J X
+1
+ X
2x + l
+
1
dx -
j
J X
*
l.\
= Ln |x
9
l
dx + 2 í —ñ—~---- dx
.J X
+ X + 1I + 2
f
+ X + 1
1
-------— dx
J í x +i f +l
= Ln |x2 + x + 1| + 2 •
arctg ^
= Ln (x 2 + x + 1 ) + -íL arctg í
V3
1+ C
C o n c lu s ió n :
I = 4 x + 2 Ln|x - 1| - L n (x 2 + x + 1 )- - 4 = arctg ^ 2x + 1
4to. CASO
Cuando el denom inador contiene FACTORES DE 2
E je m p lo :
Hallar:
/=
GRADO y algunos se repiten
j*..x (xx9++\1)‘? dx
127
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Solución :
Paso l |
(x2 + l) 2
x2 + 1
í ______ t
3 factores implica formar 3 fracciones
Paso 2 |
En el numerador de la primera fracción se escribe una constante.
En el numerador de la 2da y 3ra fracción parcial se escribe un polinom io de pri­
mer grado de la form a ax + b .
A
,
Asi tendremos:
=
C
5-----5-
BX +
a
x
+
(x2 + l) 2
DX + E
— 5—
x 2+l
Debem os hallar las constantes: A , B, C, D , E :
Paso
3 §
Quitar los denominadores:
x 3 + 1 = A { x 2 + 1)2 (B x + C )x + (D x +
E ) x ( x 2
+1 )
= A ( x 4 + 2 x 2 +1) + B x 2 + C x + D x 4 + D x 2 -f E x 3 + E x
~ ( A + D )x 4 + E x 3 + (2 A + B + D ) x 2 + (C + £ ) x + A
Por identidad de polinomios, tendremos:
A +D = 0
(1)
£ = 1
(2)
< 2A + B + D = 0
(3)
C +E = 0
(4)
A = l
(5)
--------- >
D ~~ 1
Sustituir
(5)
en (1):1 + D = 0
Sustituir
(2)
en (4):
Sustituir
en
(3 ): 2(1) + B - 1 = 0
C
+1 = 0
------ >
yC = ~1
f í = -1
Paso 4 |
Los valores de A , B, C, D , E se reemplazan en el paso 2 = — +
.
Sólo fines educativos - FreeLibros
x
Ezh + ~ ~ í-L
(x 2 + l ) 2
X +1
La Antiderivada y la Integral Indefinida
[P a s o 5 \
Integrar:
= ü,|x| - J x ( x 2 + i r 2 d x - J
^
d
x
- J
^
*
+ ¡ ± - x dx
dx -1 - Ln|x2
= Ln|x| - 1 ■
+ 1| + arctg x
----- I—. X
d x - ± - Ln|x2 +11 + arctg x
¿ X +1
J (x +1)
¿
= Ln|x| +
'i
C álculo de l | :
L = í-
4
—
Hacer:
V * 1X
Luego:
íj =
1
=
dx
J i (x2 + l)2
x = tg0
J
(t g 2 d + l ) 2
Jl
= f^ d É )=
Jsec4 0
dx - sec 6 dd
-»
f- + - d í? =
J
sec2 £
J cos
(1 + cos 29) d9 = ~ J d 0 + 1
fc o s z dd<?
J
29 dO
= 1 - 0 + 1 sen 2 9 + C
= -|-* 0 + 1 • 2 se n 0 c o s 0
= ¿ arctg x + 1 '- ¡ - f — ■- J —
*
' y¡XZ + l
X
+1
X
= 1 arctgx + — £— + C
2
°
9/V+11
2
(x2 +1)
Conclusión:
I = L n jx l 4 1 —^ - 1
- Ln
• arctg x
- l - - ^ - - l L n ¡ x 2 + l¡
+ arctg
+ - 1 --■* - + 1 • arctg x + C
129
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
e j e r c ic io s )
118) Hallar
4x - 2
í x3 _ x2_ 2x dx
I
S o lu c ió n :
Factorizando el denominador: x 3 - x 2 - 2 x = x ( x 2 - x - 2) = x (x - 2 )(x + 1 )
Pero:
í
I
Entonces:
4x x (x - 2 j(x + l)
■
->
4x - 2
x ( x - 2) ( x + 1)
p
-
—A ,
B
x
x -2
t
t
i
C
x + 1
t
4 x - 2 = A ( x - 2 ) ( x + l ) + B x (x + l} + C x (x ~ 2 )
son puntos críticos: x = 0 , x = 2 , x = - 1 .
Luego:
si
x =0
=>
- 2 = A ( - 2)(1)
A = 1
si
x = 2
=>
6 = fí(2 )(3 )
B = 1
si
x = —1
=>
-6 = C (- l)(- 3 )
C = -2
Sustituir en (*):
'
'
= -L + _ 1 _ + — 2X
x -2
x+1
Integrando:
J = Ln|x| + L n | x-2 | - 2Ln|x + l| + C = Ln
x (x - 2) K
(x + l ) ¿
130
Sólo fines educativos - FreeLibros
,
C = LnK
L a Antiderivada y la Integral Indefinida
¡fff)
C a lc u la r :
J = j-^ ¿ ^ d x
S o l u c ió n :
1) Factorizar el denominador: x 3 - x - x (x 2 - 1) = x(x - l ) ( x + 1 )
Luego:
í—
/=
1
dx
J X ( x - 1 ) ( x + 1)
2) Separando en fracciones parciales:
5 x 2 - 3
A ,
B
X
x-1
_
x ( x ~ l ) ( x + l)
3)
C
,
x +1
5 x 2 - 3 = A {x - l ) ( x +1)
---- »
4-
B x (x +1 ) + C x (x - 1 )
Los puntos críticos son: x = 0 , x = 1, x = -1
4) Ahora, sustituir cada punto crítico en (3)
si
x = 0
=>
- 3 = A (-1 )(1 )
A = 1
si
x = 2
=>
6 = B (2 )(3 )
!T = r
si
x = -l
=>
2 = C (—1){—2)
C=1
Sustituir (4) en (2): — +
v
5) Integrar
'
'
'
X
x -1
+ —K r
x + l
J = 3 L n ¡x { + L n | x - l| + L n | x + l| + C
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
(1 2 0 ) C a l c u l a r :
I =
f
Solución :
1)
Dividir numerador entre denominador:
4x3 + 2 x2 + 0 + 1
-4 x 3 +
+x
2x 2 +
Entonces:
I = || 1+
Ji
r
,
i = x +
+ X +1
1 -----5
4x° - x
1
+1
|<-&-
4x - x
I 2X
P
x
4x3 - x
,
dx
C á lc u lo d e Jj
2) Factorizarel denominador:
Ix =
Entonces:
4 x 3 ~ x = x (4 x 2 - l ) = ( 2 x - l ) ( 2 x + l )
J -X(2x_i)(2x + i ) (áx
3) Separando en fracciones parciales
1
x ( 2 x - l ) ( 2 x + l)
= — + _JL_ +
2 x -l
x
Quitando denominadores:
4)
2 x 2 + x + 1 = A (2 x - l ) ( 2 x + 1 ) + B x ( 2 x + 1 ) + C x (2 x - 1 )
x =0
Los puntos críticos son: x (2 x - l)(2 x + 1 )
5)
Ahora, sustituir cada punto crítico en (4):
si
x =0
=>
1 = A (-1 )(1 )
A = -1
132
Sólo fines educativos - FreeLibros
2x + l
L a Antiderivada y la Integral Indefinida
si
:r>
x
2( i )
+ 2 + 1 ~ B { 2)( 2 Í 2) + 1
B -2
si
x
1=C
6)
Sustituir los valores de A , B, C en (3):
- 1 . 2
x
7)
Integrar:
2 x-l
^ = j~ d x +
,
1
2x + l
f - ¿ T dx + J l T T í áx
¡ i = -L n (x| + L n | 2 x ~ l | + ¿ - L n j 2 x + l| + K
2
I x = L n [ C x “ ! ( 2 x - l ) ( 2 x + l ) 1/2]
C o n c lu s ió n :
12lJ
LÍ^C
/ = x + L n [C x “ 1 ( 2 x - l ) (2 x + l ) 1//2]
C a lc u la r :
/=
J -y ~ ~ d x
S o l u c ió n :
1)
Separando en fracciones parciales:
* 2~ 3
_
x2 ( x -l) 3
i
A ,
x2
B ,
f
t
X
C
,
D
■
(x -1 )3 (x ~ l)2
t
f
£
x-1
t
5 factores implica formar 5 fracciones
Quitando denominadores:
2) x2 - 3 = A(x - 1)3 + Bx(x - 1)3 + Cx2 4- Dx2 (x -1) 4- Ex2{x - 1)2
Los puntos críticos se obtienen de x {x -1) = 0 <T
133
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
Estos dos puntos críticos sólo nos permitirá hallar dos incógnitas al sustituir
en (2); éstos son A = 3 y C = - 2 .
En este caso es preferible hallar las incógnitas por identidad de polinomios.
Veamos:
De (2) obtenemos:
x 2 - 3 = {B + £ ) x 4 + ( A - 3B + D - 2 £ ) x 3 + ( - 3 A + 3B + C - D + £ ) x 2
+ (- 3 A - B )x - A
Por identidad de polinomios obtenemos:
( 1)
B+E = 0
(2 )
A -3 B + D -2 E = 0
(3)
- 3 A
— > 9+E = 0
— >
+ 3B + C - D + E = 1
3A - B = 0
(4)
— » 9 -B = 0
-A = -3 — >
(5)
|A = 3
Sustituir los valores de A , B y £:
en (2) :
3 - 2 7 + D + 18 = 0
->
D = 6
en (3 ):
- 9 + 27 + C - 6 - 9 - 1
->
C = -2
3) Sustituir los valores de A , B . C . D , £
en (1):
= 3 * ^ + 9 Ln|x| - 2 - ^ - ^ + 6 - Í i - ^ i - 9 L n | x - l |
= - . 3 + 9 L n|x j +
x
(l2 2 ^
C a lc u la r :
(x
i)2
— 6 ^ _ 9 L n | x - l| + C
1
'
I =
134
Sólo fines educativos - FreeLibros
E = -9
La Antiderivada y la Integral Indefinida
S o lu c ió n :
1)
Separar en fracciones parciales, Factorizando previamente el denominador,
o
O
pues x + 3 x = x (x + 3)
4 x2+ 6
x ( x ¿+3)
2)
Quitando denominadores:
4x
O
_ A + Bx
x
í
C
x ¿ +3
+ 6 = A (x
r>
+ 3) + (B x + C )x
= A x 2 + 3 A + B x 2 + Cx
= (A + B )x 2 + C x + 3/\
3)
Por identidad de polinomios:
A +B = 4
— -»
B = 2
C =0
3A = 6
4)
B = 4 -A
—
A = 2
Sustituir en (1):
*
5 ) It »(e»jr¿»ndo:
I
2 La i |x '
Ln ( v 2 •- 3) r K
I = L n [C x ¿ (x 2 + 3 )]
123J C a l c u l a r :
/
J
LnK
(x + x - 1 0 ) dx
( 2 x - 3 ) ( x 2+ 4 )
S o lu c ió n :
1)
Separando en fracciones parciales:
x 2 + x -1 0
A
(2 x - 3 ) ( x 2 + 4 )
2x~3
Bx + C
+•
x 2+ 4
135
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
2) Quitando denominadores:
x 2 + x - 1 0 = A ( x 2 + 4) + (B x + C ) (2 x - 3)
- A x 2 + 4 A + 2 B x 2 - 3B x + 2C x - 3C
= (A + 2B )x 2 + (-3 B + 2 C )x + (4 A - 3C )
3) Por identidad de polinomios, obtenemos:
A + 2B = 1..... .............................. (I)
~3B + 2C = 1
.............................. (II)
4 C - 3 C = -1 0
......................
(III)
En (II) multiplicar por 3 :
- 9 B + 6C = 3
En (III) multiplicar por 2 :
8 A - 6 C = -2 0
8 A - 9B = -1 7 ......................
(I) con (IV):
í
-8
A + 2B = 1
8 A - 9 B = -1 7
>
[ - 8 A - 1 6 B - -8
8 A - 9 B = -1 7
-25B = - 2 5
Luego:
A = -1
4) Sustituir en (1):
=
y
C = 2
O
+ 2LL?.
_j_
5) Integrar.
7 = - lL n | 2 x -3 | +
/ = —i-L n | 2 x ~ 3 j+ - | * L n | x 2 +4J -*■ 2 - i arctg
136
www.FreeLibros.org
Sólo fines educativos - FreeLibros
(IV)
L a Antiderivada y la Integral Indefinida
(124) Hallar:
J=
| (4A -t .2*.+ 8) dx
f
x ( x 2 + 2 )2
S o lu c ió n :
1) Separar en Fracciones Parciales:
4x
+ 2x + 8 _
x(x 2 + 2 )2
Bx + C
2 , o>2
(x¿+2f
*
Dx + E
xz +2
i ____ 1
i
3 factores implica formar 3 fracciones
2)
Quitando denominadores:
4 x 2 + 2 x + 8 = A ( x 2 + 2 )2 + x (B x + C } + x (x 2 + 2 )(D x + E )
= (A + D)4 +
E x
3 + (4 A + B + 2D )x2 + (C + 2 £ )x + 4 A
Por identidad de polinomios, obtenemos:
A +D =0
A = 2
E =0
4 A + B + 2D = 4
3)
E =0
De donde \ D = - 2
C + 2E = 2
C = 2
4A = 8
B =0
Sustituir en (1) los valores hallados:
4) Integrando:
1=
í^ d x + i —
J
J (x
= 2 Ln Ix I + 2
Cálculo de L :
Hacer
= —+ — ~
X
(x
+ 2)
T + —~ ~
x
+2
— g- dx + J-gr™ dx
-¡-2)
f
( x 2 + 2 )2
J x + 2
d x - L n (x
+2} + C
E = i — ~ — : -dx
J {x + 2 ) ‘
= tg d
o-
x = ^J~2 tg d
->
dx = y¡2 sec 2 0 d d
137
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
Sustituir en Í 1 :
í
V2
4
f sec2 0 dO
a/2 sec2 0 d9 _ d 2
(2ta¿0 + 2)2
í
22
* i — \ —d9 = ^
J
42
sec (9
J*
V2
4
(sec
20)2
• fe o s 2 9 dO
J
(1 + cos 2(9) d9
<9+ •- • sen 29
42
f-[_ 9 + sen 9 cos 0 ]
_ 4¿
x
arctg -J=- +
V x 2 -i2
arct3i
+i ^
1
^/x2 + 2
+c
Sustituir en (4):
/ = 2 Ln|x| + 2
I = Ln
x
9
+2
J2
are ■tg
y[2
, + -V • are
*
4
,
2+
X
tg (
1
4
X ____
2
x¿ + 2
- Ln |x 2 + 2 1 +
Uc
2x + 4 J
138
Sólo fines educativos - FreeLibros
C
La Antiderivada y la Integral Indefinida.
8. INTEGRAL Di FUNCIONES RAOIONMIS QUE CONTIENEN
sen u y e o s u
Teorema
Una diferencial trigonométrica que contiene sólo funciones
racionales de sen u y eos u puede transformarse en otra e x ­
J fí(sen u,cosu)du
presión diferencial más sencilla mediante la sustitución:
2z
©
1
|cfu = ©
1
1+
©
1
senu =
|
eos u
1
m z2
+ z2
1
©
©
Donde:
a) La fórmula
Si
2
se deduce de
í
ig % =-- z
. del siguiente modo:
j
arctg z
u - 2 arctg z
du
2 •-
b) La fórmula ( 4 ) se deduce de ( T ) , del siguiente m odo:
se sabe que
tg ~ =
2
1 - eos u
V 1 + eos
tg'
u
1 - eos u
2
(* )
1 -+■eos t¡
Pero tg y = z , entonces sustituyendo en ( * ) se obtiene: z 2 = * + ^ “
z (1 + eos u) = 1 - eos u
Ahora, despejar eos te
->
z
2
2
i
+ z eos u + eos u = 1
eos u(z
+1) = 1 —z
->
eos u-
Sólo fines educativos - FreeLibros
l + zz
©
Moisés Lázaro Carrión
c ) La fórmula ( 4 ) Implica la construcción del triángulo:
Mirando el triángulo se obtiene senu
1
|C B |= ^\AB\2 - \AC\‘
Pues el cateto
ic b i
125J C a l c u l a r :
2z
1+ z ‘
/
2
„4
= v r + 2z 2 + z 4 - 1 + 2z z - z
•s/4z 2
—
7
2z
d<9
Ji + send + eos 9
Solución:
Sustituir
sen 9
f
d ? *
J 1 +_22z z l 1z-fz L
l +z2
<9 = 2 arctg z
2dz
l + z2
1+ z¿
de
/=
(9
2 = arctg z
tg 4 = z
l-z ¿
COSÍ
Luego:
Pues
2Z
1 + z2
-dz
f
J
1 + z2 + 2z +1 - z2
dz =
í
2 + 2z
dz
+ ZI + C
Ln|l + tg-|| + C
1261 C a l c u l a r :
de
í 5 + 4cos9
Solución:
Usar la sustitución tg -| = z
> d6 -
l +z
y el triángulo
Sólo fines educativos - FreeLibros
x
„
2z
La Antiderivada y la Integral Indefinida
2 dz
1 = í -----Ll£— 7- = 2 í —----- 7-^ ------- j - = 2 \ - f ~ J 5 + 4 i 2__£Í |
J 5 (1 + z 2 ) + 4 ( 1 - z 2 )
J z +9
\ 1- z2
Entonces:
= 2 • 4r arctg j + C = -|* arctg ^ ~ • tg
127) C a lc u l a r :
I =
í
+C
senx + t g x
S o l u c ió n :
Haciendo la sustitución tg ~ = z , dx = — ^
¿
1+ z
y usando el triángulo anterior ob-
2dz
,
r
i
i;*2
I = 1
tenemos:
r
2 (1 + z2 ) (1 - z2
f
-
1
[ 2 z (1
d - z 2)dz
r
J z ( l - z 2 ) + z ( l + z2 ) J
=
“ " J"
z¿ - 1
- z2
z
-
' tg 2
z ¿ ) + 2 z ( l 12 ^)1(14 Z¿ )
V ^ -d z
¿z
j ( Z + v ) CÍZ = - 2 [ í - L n ¡Z
+ ^ * Ln j tg ---1+ C
z
-1
(S )
C a lc u la r :
/ =
5cosx
S o lu c ió n :
Haciendo las sustituciones: tg
- z . dx -- —
. cos x -
Sólo fines educativos - FreeLibros
+c
Moisés Lázaro Carrión
129J C a l c u l a r :
/
í
sen x dx
4cos x + 3 sen x
Solución:
Haciendo las mismas sustituciones del ejercido anterior, tenemos:
f
J
y, r 1
i ' z¿
i
■
>¿ j o' ■>,
_ __ f
J
_ j _______2zdz_________
~ J ¡2 2z~ i 3z¡ 11 z2) ~
_______ 4zdz_________
■/.’}
1 4 11 z‘, | t f ) z ] í l
J
2j ______ zdz______ __
J.2z2 3* 2jfí
f
________ 4zdz__________
4 z “ - Ozjfl i z‘ )
14
_ £ j _______ zdz______
J 2 z - l í ! z 2j..z2 -
_
I _
zLj ’
Por fracciones parciales obtenemos:
l
Lnj 2 x + 1 1-
Ln|z -2| + -~¡r (2 L n (z 2 + 1) + 3 arctg z ) + C
= - § L n | 2 t g | + l | - - ¿ L n | t g | - 2 | + ¿ L n ( t g 2 f + l) + || + C
9.
IN T E G R A L E S D E F U N C IO N E S R A C IO N A L E S D E
tg x = t
Hacer la sustitución:
s e . Z x , e o s 2 * , tg 2x
x = are tg t
=>
dx - -~^Ll +r
_
sen x =
Ejem plo 1:
Hallar:
Solución:
/=
t
í
+r
, eos X =
dx
í ; cP sen^ x - b ^
, 2 _ P _ _ b2 _ X .
l + t2
1+ í2
_
1
dt
J1 a 2 ,t2
= “a2
V
2a
cos^ x
1
a2
Ln
* - -a1
a |
a tg x 2ab
í;
a tg x
b
+b
+c
142
Sólo fines educativos - FreeLibros
di
n + t¿
La Antiderivada y la Integral Indefinida
E je m p lo 2 :
C a lc u la r :
/ =
J
i
,
ó
_ f a +t2)2 (i +t2)2
J
,,2
1+r2 11+
r
dt
’ i + t2
f
J„
1+ í
( i - í 2 ) d + í 2 )2
dt
^__
■Por fracciones
parciales.
N o t a : Haciendo transformaciones trigonométricas, resulta sencilla la integral.
eos4 x i- sen4 x ~ 1 - 2sen¿ xcos2 x = 1 - - 4sen2 x c o s 2 x = 1 - i sen2 2 x
Luego:
/= f ¿ - ^ “
[ L
I
L
dx =
f I i dx = f - L
COS mX
l OOS ¿LX
dx =
co s2 x
* + 4 fc o s 2 x -d x
1
= ljs e c 2 x . d x + i i s e n 2x
-|--g-Ln|sen2 x + t g 2 x| + j s e n 2 x
i L n | s e c 2 x + tg2x| + A senx • c o s x + c
10. OTROS CASOS QUi SE PRESENTAN IH Lfl INTEGRAL j R
CASO 1
Si se cumple:
R (-sen x, cos x ) = - R (sen x, cos x ) ,
se hace la sustitución sen x = t .
CASO 2
Si se cumple:
(sen x , c o s x ) dx
j_
Cuando se cumple esta igualdad se dice que
la función R es impar respecto a sen x.
R (s e n x ,- c o s x ) = - R (s e n x ,c o s x )
se hace la sustitución sen x = t .
j
'—Res impar respecto a cos x.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
CASO 3
R (-sen x, - cos x ) = R (sen x , cos)
Si se cumple:
se hace la sustitución tg x = t .
N o ta :
Res par respecto a sen x
y cos x.
El caso 3 es el mismo de 3.5.1
E je m p lo s :
T )
H a lla r :
í-
- t
I a cos x +
b s e nx
dx
Se tiene:
R (s e n x , c o s x ) = -------- ---------
donde:
R { - s e n x ,-c o s x ]
a
• cos x +
a
b
• senx
l
(- c o s x ) +
b
(- s e n x )
cos x +
a
b sex
R no es par ni impar. Pero se puede aplicar la sustitución
tg 4 = t
,
2í
—1+ f
sen x
,
t - 1¿
l +L
c o s x - -----
2 dt
dx
1 + t2
2 dt
i , (2
a
2
a
■
' ----- 7T +
1+t
bk
2
2í1
—
) a - a t 2 +2bt
■dt = —
f
Ji
/=
J
a
t _ Completar cuadrados
dt.
í+4
í « - ffci >2
yjb'
H a lla r :
dt
J t 2 - — 1-1
1 + t2
° 2D I Z
©
~a
•Ln
9
9
b + cr
a
dt
a
+
Ln
a t - b - yj b 2
+ a2
+C
,
t = tg |
a t - b + yj b 2 + a 2
ck
(2 + cosx) s e nx
Se tiene: R ( sen x , cos x )
don d e: R ( -sen x, cos x ) =
l
(2 + cosx) se nx
(2 + cosx) ( - s e n x )
(2 + cosx) se n x
144
Sólo fines educativos - FreeLibros
= - fí(s e n x ,c o s x ¡
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Lo cual indica que R es impar respecto de a sen x.
eos x = t
Hacer la sustitución
-sen x dx = dt
dx = — —
Sustituir en I :
¡ = f
¿ L - ^___________________ f ______ ÚL______ = _ f _____ ur_
J (2 i'son.v
J 12 ■í )s e rr t
J ( 2 t ) ' l cosH)
¡ [ 2 t)[l
( í l 2 ) 't
ÍÍÉ
1) i.f
1}
1L
rj„i i,' f
- i.
^
b
1
1.
( j - i p
— - Por tracciones parciales se integra fácilmente
(T )
C a lc u la r:
j*
/=
1 + eos X
dx . Hacer la sustitución:
tg f = f
j = arctg t
2 arctg í +
- í
í
x = 2 arctg t
dt
i-t¿
dx = —< ■ dt
1 + t¿
2 arctg t + - 21
i + t
sen x
dt
eos X =
1 + tz
1- t z
1 + i¿
2 í arctg t dt + Ln (1 + f2 )
|
I— por partes: u = arctg t
■
du = —Krdt <1+ t2
t • arctg t
í 1+ L ■dt
dv = dt
"v = t
+ Ln ( l + L
= 2 1 • arctgt
=2 -tg f.f
= x • tg f
145
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
(T )
C a lc u la r :
— ñ,— d x
1 + tg x + tg x
<
R edu cir a sen o y co sen o
<
Multiplicar y dividir p o r 2
sen x
cosx------------d x
1
, sen x
¡ sen ^ x
cosx
2 „
senx • cosx
1 + s en x • co sx
dx
sen2 ^
dx
2 + s en 2 x
< ------ H acer:
2x = $
x = ir0
2
dx = -gdff
í
hh
Í2
í(I ( 1
f ^
d&
sen1
0 -9
+2
I \
1
r
I tg -| -í
4 6 — I
\— k d O
2
J send+ 2
*
l
la
2
\
9- + 2
+t¿
dt
íM + t + l
<
Sustituir •<
ser.^
1
„ ,
, <10 = - M r
1 + t¿ '
1+ 0
2 dt
1 + t¿
—
—
Sólo fines educativos - FreeLibros
—
4. 4
La Antiderivada y la Integral Indefinida
®
i
~J
®
l=
(T )
i -
@
/ = { sen3X -
I
dx
co s2 x -1 5
( s e n \ i 2soc<¿
~ ir> (4 - «*n2 x i
4
Q
15^5
4 s t * ! i 2 x - l ,^
4 t se n 2 v
C
- / ~ s' ?Jri ~ -4 Ln |eos x - sen x |+ C
=
j * y — ^ -r- -^í x -i- Ln| sen x + e o s x ¡) f C
eos3 x
dx = Ln
1^5?
- 11 ^
^/tg2 x + tg x + 1
- 4
3
arctg
’
&
+C
Otras Integrales:
@
I = J / t g x dx
Hacer ^/tg x = í
Se obtiene:
I = í - ^ r dt , 1 + í 4 = 1 + í 4 + 2 í 2 - 2 t 2 = (1 + í 2 )2 - 3 í 2
Jl +í4
/= f—
—J (1 + t ) - 2t
se integra por fracciones parciales
I = -j= [ Ln{ sen x + co sx - V s e n 2 x ) + arcsen ( sen x - c o s x )] + C
©
J © T s e ñ x dx = 2 ( sen
- eos -|) + C
s e n f +c o s | L 0
1= J ^ / l+ c o s e c x d x = 2 arcsen ,/ s e n x + C
& —
—4
1 ■+■Jcos -
+ 2 arctg J eos £ - Ln —
V
^
1 —*/eos ■
+C
2
147
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
(T )
C a lc u la r :
tg x
1= J j
-J
dx
2
+ t g x + tg x
senx
cosx
■ í
=1
2
Redu cir a sen o y co sen o
<
Multiplicar y dividir p o r 2
2 dx
\ -f senx + sen x
cosx
_
senx • cosx
■ í
<
1 + sen x ■c o sx
< jx
< ------ H acer:
s en 2 x . ^
2 + s en 2 x
dx =
I —sen<?_ aq
D ividir
1 2 + señé? U U
■ 2 * í| c\
2x = 0 => x = L @
¿
sen 6 + 2
Í
^— 7z d 0
<
í
Sustituir ■!
sent? + 2
1
. 2dt
-^ V + 2
l +r
1/3
I
i
Ti
2
l + t2 '
1 + t2
<----- Completar cuadrados: t2 + i + —- —
dt
I
1
± 6
2
0 ,,
d 0 = _2 dt
1 + t2
cir
J
1 /) _
] sen0 =
V
t + i1
2
\2 +
, 3
t+
arctg -7=4J 3/2
2
| 2
2 ' '
| _ v
2
'3v-rtrr í
2 tg x - 1
= x - -4= arctg — ■£=—
= x - -f= arctg
y¡3
\
J3
)
73
173
©
J = J .| .,.,>'4 ,,-,- = Í S X - t 1* lt3x
©
í=
"1—
— “ = 3
JÍ t 4-3eo
s x +osen
x 0
21+ 5
' ié ~ ' - ^ Ln|C0SX^+ C
a rc tg ( 3 t g x ) ^ - C
146
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y La Integral Indefinida
E
l -
f
_ cos2x-15
J ts<?nx 4 2 SÍ>c-Kr ~ 1Í3Í4 - soh2jc)
dx
4 .a,w ,i r 4&{'n2x-l
15 ^ 5
4 . sen2 x
(A )
/ = J f ~q'•|" '7 dx -
(T )
/ = j*—-^7— - rj ( x - LnJ sen x + cos x |) -t- C
©—
fJ—
5
sen
n
- ic-üy ~ ~g--:X1- ^ Ln [cos x - sen x [ +C
dx = Ln ^
\/tgx-l|
—
1-
^/tg x + t g x + 1
73
- ^
arctg
2 tgx +l
73
+ C
Otras Integrales:
©
/ = J / t g x dx
Hacer ^/tgx = í
Se obtiene:
/ = J "~ ~ r di > 1 + £4 = 1 + í 4 + 2 í2 - 2£2 = (1 + í 2 )2 - 3 í2
I = j * - ~2^r 2 2 se inteSra P or fracciones parciales
1 = -^- [ Ln(sen x + cos x - Vsen 2 x ) + arcsen ( sen x - cos x )] + C
©
/ ^ J ©
T ^ dx = 2 ( s e n f - c o s f ) + C
,s i
sen f + c o s | , 0
/ = j*^ l + cosec x dx = 2 arcsen yjsenx + C
I = f
J sen y eos3 §
= - 7=¿ - + 2 arctg . / cos -§ - Ln — p = = ¿ + C
-y cos f
1 - Jeos -§2
147
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
H a lla r las integrales:
®
¡7Ü7-,
©
í i (1+x2)'
©
1/ 1- xj
©
í í
r
©
dx
®
J ^x2(1 -x)
[
x dx
x5
dx
í :K^jl
- +* X2- +X6
i*
©
X
dx
f
J
dx
x jx 4 - 2 x 2- l
J
dx
1+ x4 + x8
Respuestas:
©
i
3xJ
- 5x
1 X+x"
©
2\2
(1 - * ©
®
16
Ln
y 1- x Vx
4)
¿ (8 -4
x2
©
i arctg x
+3
l +x
-iL n
, x > O
)^ 1 +
l + xV3 ■
4>/3
@
- ■ ¿ ( 1 5 + 10 x + 8 x 2 ) >/x ( 1 -
©
- j- V i - x 2 - Ln —
2V3
l- x V 3 -
©
x2
©
Ln
•v/3 arctg
arctg
x
2 + x° +
i02 are eos
x\¡3
) + | are sen V x (0 < x < 1)
148
Sólo fines educativos - FreeLibros
2-Jl
x +1
x s¡2
1—X
.... ([ x| < 1)
2z - 1
1 -x
donde
1 -x
x4
iLn 1(i- +z+z rz2
+ x3 + x6
V3
La Antiderivada y la Integral Indefinida
INTEGRALES INDEFINIDAS
EJERCICIOS
G R U P O I: I N T E G R A L E S I N M E D I A T A S
C a lc u la r:
Q j
X e 1. i
—— d x
Vx
dx
0
3x dx
0
0
©
dx
(5 x - 2) :d 2
x
0
©
©
2 - 5x
a
0
í— — dx
dx
x
* dx
(8x° f2 7 ) A
•e
-x 2
e*
dx
2 + ex
*
©
©
©
x 2 y l + x 2 dx
x
ax
1
í— ~
1
Q t]
,
@
dx
.
-r = = --- =--- dx
J ^isenx - co sx
senx-cosx
J y a2senx + b2eos2x
I
sen x
J Teos2x
©
J V sen 2 x
©
J
1 .cos-x
|
dx
dx
arcsenx i2^
r \ 1
1 - x'
Ln {x -4 J 1 + x ‘~
1+
® J
isenx
----— ax
©
f
(24J
J Vcos^ X
I
sen x + 2 eos" x
í 14 x2 dx
1
dx
I x Ln x L n (L n x )
I
dx
í
arctg x
dx
I sen x -r eos x
©
dx
ex +e~x
¡«j
Í¿ L ! j 1 - ex
J
©
Í
í
dx
^[2 + c o s2 x
s e n x eosx
_
2y •3"
9X - 4 x
>
_dx
dx
x 2 (2 - 3x 2 )2 dx
29
sen2 x \¡tfQx
Ln LL—dx
1 x
eos x • dx
(SI
L _>
[2 8 ]
1- X2
dx
í
x ( l — x )10 • d x
-149
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
(1 -x)-100
©
J -á
dx
a
1+ X - X
í Ja
dx
í
(i-x r
dx
x + (árceos 3 x )
5xdx
©
dx
f -f i
dx
■dx
dx
(x + J
x¿ -1
1 + eos2 X
©
t 1 + c os 2x
©
(l + 2 x 2 )
x2( l + x2 )
37
38
dx
f
3 • 2X - 2 • 3*
dx
í
x (4 - Ln x )
í
dx
dx
senx • c o sx
® í
jo c o s a - e o s 2 x ) dx
are cos-^-
dx
^ 2 - se
e arctsx + x L n ( l + x 2 ) + l
l + x¿
39
íI e x sen (e x ) dx
(L n x )n
secx tg x
í:
dx
dx
í
sec2 x
+1
c o s2 x
4 + eos2 2 x
dx
-dx
En los siguientes integrales, previamente se divide antes de integrar.
61
x + 4
3+ x
3- x
(1 + X ) d
dx
63
í
dx
64
J ttt
x2 + 1
dx
dx
150
Sólo fines educativos - FreeLibros
65
f
J
66
r x +2
dx
J 2x " 1
x 2- l
X2 + l
dx
dx
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Para hallar las siguientes integrales se requiere:
I o Sumar y restar constantes que hacen falta para hallar antiderivadas conocidas.
2o Completar cuadrados para encontrar fórmulas conocidas de integración inm e­
diata.
5x - 3
x 2+ 6 x +12
681
í
_ dx
|
2x + 5x + 1
x + 5
í :x
70
a
í
85
í
í
+x - 6
+ 7x - 3
x + 1
+ 6x + 9
x - 2
3x
Q i)
f
+ 2x + 3
6 - 2x
S) J:
791
, 3x 1■■=dx
I
í
dx
- 4x - 4x
x
4 - 3x
2x - 1
dx
.i
i
4x
4^
5 x 2 + 6 x + 18
821
dx
- 4 x + 17
®
^ 4 x 2~t- 9 x + 1
l-x
b
-ü - d x
2 - 5x
dx
+ 2x + 2
^ 9 x 2 + 6x + 2
3- x
k x -x 2
dx
x + 3
dx
J'
dx
6x + 20
6x
j:2 x
72
dx
f e
dx
— dx
- 4x + 5
2x - 8
5x
- 2x +1
dx
dx
J x 2 + 2x + 2
Integrales p o r Partes:
[86]
Jx-sen2xdx
©
J* cos x dx
8]
Jx •eos2 xdx
Jx •tg2dx
90
©
92
Jx Ln
Jx3 •sen xdx
I
x n Lnxdx,n
J*Vx Ln2x c íx
-1
94
| ^ - 1 ) dx
J xZLn( l T 7 h x
151
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
[95]
J(Lnx)2 dx
(t06j
[_96_1
J Ln (x2 + 1) dx
©
®
Jü& dx
©
©
J vV *d x
ÍÍOÜ)
íx 3 ex dx
[ioTj
J\2 ax
dx
[l03|
je x ■cos3x dx
x +'
x arctg x
a/T7x^
dx
f
r■ arcseny'x
J
a/"L
!ll8¡
[120
(ñ oj
J( arctg x )2 dx
©
Jsen (Ln x ) dx
cos
\/l + >c2
xe
arctg x
xe‘
dx
dx
(l + X2)3/2
1 + X2) 3/2
+ x2
J(arc sen x)2 dx
i
:L n (x + a/i + x 2 }
a r c tg x
dx
¡109Í
©
(T02J Jex sen x dx
su r
aresenx
dx
dx
(x +
l)¿
[lili
e
sen x - dx
[T22J
e^x dx
(Lnx) dx
sen p
d x
K
-x dx
dx
©
i
fiijl
Jx2 ex senx •dx
[lZs]
(l26 |
[1Q4¡
Jlírc cos x •dx
©
J s e n x • L n ( tg x ) d x
(ios)
í x •are tg xdx
©
j L n ( x + V l + x 2" ) d x
arctg x
-dx
x 2(l + x 2 )
O
x arctq x
t
dx
INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES
BE FUNCIONES RACIONALES
11271
128
I;( x
í
í
2~
3
- 2 ) ( x + 5)
dx
(x + l ) ( x + 2){x + 3)
dx
(x + 1) (2 x +1)
2x
- 3x - 2
dx
dx
152s
Sólo fines educativos - FreeLibros
1 +xq
x(x
-1)
dx
x - 3x + 2
x ( x 2+ 2 x + 1)
dx
La Antiderivada y la Integral Indefinida
i» 1
/
x3 + 5x2 + 8x + 4
xó + 1
í
í
í
e
138)
139
(Í4Í1.
i
x4 -x2
J
J
(x
dx
¡149
fl
ÍI
-1
dx
ü*
(j53l
■dx
+ 1) ( x
+ x)
8x - 4x2 +
x (x
x + 4
dx
dx
—4)
x ( x ¿ + 4)
x -4
x - dx
( x - 2) ( x
í
- 4 x + 5)
61
(l5 5 j
dx
dx
( x - l ) 2 ( x 2 + 1)
X5 + 2 x 3 + 4 x + 4
í
í
í
1
(x
dx
x 4 + 2x3 + 2 x2
l + x
í
í
l
y
restar
2 x 2 en el de­
nominador
factorizar
dx
( * 2 +2)
y
dx
x (x ¿ + 4 )(x ¿ +1)
dx
9f
f e
J
dx
-dx ... Sug. Sumar
x 3 + X -1
jd x
.2
í
- 2 x + 3)
+ 1)
- X
144
148
dx
dx
X (x
X
í
©
( x — 1) ( x 3 — 4 x 2 + 3 x )
í
143
dx
3 x 2 +1
f e
í
(146J
(x 2 - l ) 3
xJ -1
©
dx
„Z
,3
dx
2x
(1 + x ) (1 + X
2 \2
)'
(x + l f
( x 2 + 2 x + 2)s
5 x 2 -12
x 2 - 6 x + 13 )z
dx
dx
dx
SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
©
J
i
(x z + 4 )¿
dx
V( 1 -x
( x V x 2 + a2 dx
159
u
(x2 + 4)3 dx
161
x¿ - 2
2 ,3
dx
dx
f r 1
dx
J 'J (x H-a2)
«153
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
í
í
16^
dx
, J¿
,2
l
dx
x 2 a/x ^ T 4
t.
1
[174
(ü
(¡§
([§
2
1 - eos x
(1 - coser • senx)^
1_______ dx
sen x + eos x
1
dx
(185)
1
dx
N
1
V2
dx
dx
1
2 - senx
_ i ______ dx
3 c o s x + sen x + 1
2 + eos x
íí
1 - tg x
^
í— L
J 1 - ser
h
Sólo fines educativos - FreeLibros
dx
r
dx
dx
dx
5 + 4 senx
(¡8 9 }
dx
dx
5 - 3 eos x
(¡8 7 )
dx
sen x + co sx +
180
1 - a eos x
‘gafe
i
2 - 1 6 ) 3/2
1 - 2 a eos x + a2
1183!
a2 + b 2 - 2 a b c o s x
j(x
1
a c o s x + b s en x + c
5 + 4 cosx
^
c o sx + 2 sen x + 3
}182~[
sen ^ ^
1 + senx
senx - sena
2ax - x d x , a > O
dx
j181 j
dx
c o sx - cosa
169
I = J*R( sen x , eos x ) dx
+ senx + cosx
1 + 2 cosx
173
1
í
J (1+ Í í )3/2
Jt
dx
X (x 2 - a2 \ I 2
INTEGRALES DEL TIPO
m
(7 + 4 x + x 2 )3/2
dx
dx
dx
dx
dx
La Antiderivada y la Integral Indefinida
RESPUESTAS
GRUPO 1:
1
j x V x + 2V x - 2 Ln |x|
2
-| ^ 2 -5 x
3
-1 (1 -3
4
x
2
15 (5 x - 2
5
-> /l - x 2
6
id
18
--y=-Ln |x¡2 c o s x + x/cos2x |
19
-are sen {x¡2 s e n x )
) 4/s
c tg
20
)3^2
21
4 i a rc t5 \ T 2
22
( arctg x ) ¿
+ x 3 ) 4/3
i
23
x +27
7
24
2
8.
25
9
Ln (2 + e x )
10
arctg e x
26
11
-2 Ln (e~~x - 1 )
27
12
- L n ( e~x + >/l + e ‘
13
i Ln3x
14
Ln |Ln (Lnx)|
17
-2x
30
31
\/l - s e n 2 x
I p
ya
28
29
2
15
16
x
o
2
9
sen x + b eos x
a2 * b ¿
32
33
Ln3^2 | x + ^ 1 + x 2
lL n 2 i ü
4
1- x
1 are sen
sen x
1 arctg (tg 2 x )
1
In
2 (L n 3 - Ln2) L' u
4 y 3 _ 12 v 5
3x
5x
3 X + 2X
9
+ yx
7
í i - x r + u - x ) 12
11
12
99 (1 - x
)99
1
49 (1 - x
)98
97 (1 - x
)97
4 - 4 + 4 - 4 + x - Ln^ +1)
8+ 3 0 x
375
Sólo fines educativos - FreeLibros
(2 -
5 x ) 3/2
Moisés Lázaro Carrión
34
2x
-
12x - 6
35
■i ( tg x + x ) + c
36
arctg x - — + c
37
3x - ;
38
O
52
■+ C
3Vx
2 (l- 5 )x
i
' +
Ln 1 •5
53
C
55
56
c - c o s (e x )
40
Lnm +
1x
,
,m ^ 1
=— be
m+ 1
Ln |Lnx|
’
Ln |Ln x | + c
42
are sen *
43
2
Ln 2
are sen
44
57
58
are sen — + c
46
e
+e
+c
48
■|Ln ( x 2 + 9 )--i-a r c tg -J + c
49
\ arctgx 2 ~ \ L n ( x 4 +
51
2 - Lnx
(are cos -|)
2 are sen ^
l) + c
2
e a rc tg * + Ln ( U -
x
2
y
—7==-Ln
4V5
61
x —4 L n |x + 4 ¡ + c
62
- x - 6 L n |x —3 ¡ + c
63
4 r + 3 x + Ln ( x 2 + 1 ) - 3 arctg x
2
2
V 5 + sen x
V 5 - sen x
- x - arctg x
65
x - 2 arctg x
66
•i-x + 4 L n | 2 x -l|
67
4 Ln( x 2 +
- 2"s/l - x 2 - J - ^ a r c sen x )"
are sen x + J í -
) + ^
60
64
47
50
2 + Lnx
Ln ( sec x + 'Jsec2 x +1
+c
-i- are tg - ^ + c
Ln
59
•+ C
45
■x + c
y
y
+ c , sim = -1
41
c - i [ V T - 9 x 2 + (a r c c o s 3 x )3
54
x • cos a - -^sen 2 x + c
39
are sen x + •
■+ c
Vi + * 2
+c
156-
Sólo fines educativos - FreeLibros
6x + 12 ) -
a rctgL iE '
La Antiderivada y la Integral Indefinida
68
l Ln ( 2 x 2 + 5 x + l ) + 15^
69
ÍL n (x 2 + x -6 ) + ^ L n ( ^ | ) + c
70
f L n (6 x 2 + 7 x - 3 ) + f L n ( | ^ ) + c
71
4 Ln (2 x
72
jr Ln (3 x 2 + 2 x + 3 ) - ^ a r c t g | ^ ~ j + c
73
L n ^ 4x + 5 + j ^
+ 6 x + 9) - | arctg y— ^— j + c
-\¡ 3 + 2x - x 2 + 3 are sen
x-l
—
,
|+ C
74
| v 8 - 4 x - 4 x 2 + | are sen ( 2>3'-- ) + c
75
\^4x - x 2 + are sen í
76
|- \/9x2 - 4 - 4 Ln 3 x + y ¡ 9 x 2 - 4 + c
77
3 1 Ln ( 4 x 2 - 4 x + 1 7 + | arctg
78
H Ln 18x + 9 + 4 \f^x2 + 9 x + 1 1-
79
3-y/x2 + 2x + 2 - 4 L n j x + l + ^ x 2 + 2 x + 2 j + c
80
|- ^ 9 x 2 + 6 x + 2 +
81
|| arctg 5x9+ 3 -
82
•| Ln ( x 2 - 4 x + 5 ) + 4arctg ( x - 2 )
83
-2 ^ j 1 - x - x 2 - 9 aresen
|+ c
4 1 ~] + c
^ 4x 2 +9x + l + c
Ln ( 3 x + 1 + ^ 9 x 2 + 6 x + 2 ) + c
Ln (5 x 2 + 6 x + 18) + c
2 x +1
V5
157
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
84
-L ^ 5 x 2 - 2 x + 1 + ^ ^ L n
85
V x2 + 2 x + 2 + 2 L n ( x + 1 + V x2 + 2 x + 2 ) + c
86
•L sen 2 x - g - x c o s 2 x + c
104
x • are eos x
87
x sen + eos x + x
105
x +1
arctg x —f + c
2
2
88
gj- + j x sen x + -g-eos 2 x + c
106
2 V x +1 are sen x + 4a/1 _ x + c
89
x •tg x -
107
V i + x 2 arctgx- Ln(x + V i + x 2 ) +
90
c - x 2 cosx+3x2senx+6xoosx--6senx
91
92
93
94
95
n+
1
xV5 -
+ Ln |eos x |+ c
( Lnx
L_
[ LnX
1
n+
o
110
2(>/2 - V x-1
L
x- 2 + c
are sen
j
Ln -1-X
1 -x
l +x
- 2 x L n x + 2x + c
x ( aresenx) 2-2arcsenx\/2-x2 -2 x + c
x z+ l
— (arctgx) - xarctx + -|Ln(l + x ) + c
111
•| ( sen Ln x - eos Ln x ) + c
112
(eos L n x + s e n L n x ) + c
113
x -2
x +
2e
+c
96
x L n (x
97
c - - ~ (L n 3x + 3 L n 3x + 6Ln x + 6)
98
c - e~x {x +1)
99
c - e~x (2 + 2 x + x 2)
116
x L n (x + L + x 2 )- V T +
100
e x (x 3 - 3 x 2 + 6 x - 6) + c
117
^ 1 + x 2 Ln ( x + V i + x 2 ) - x
101
ax M -
L™
+ 1 ) - 2 x + 2 arctg x + c
2x
Ln ¿x
Ln°a
114 :^ [ (x 2 - l ) s e n x - ( x - l ) 2 cosx]ex + c
115
118
L n tg | --c o s x L n tg x
(1 -
x ) e arctgx
2,Jl + x 2
102
¿ (s e n x - cosx)
^
119
103
3 e x se n 3 x
10
| e x c o s3 x
10
¡ c
c
Vx ) i + c
l +x
- i v - 2 - 1 Ln 11 —x ¡ + 4 - L n
3X
3
x (L n x )
108
109
l- x 3/2 í Ln2x ~ --| L n x
1-x
9
¿
+ ^ 5 x 2 - 2x + 1
( l + x ) e arctsy
2tJi + x 2
158
Sólo fines educativos - FreeLibros
x2
La Antiderivada y la Integral Indefinida
120
121
122
1 (2 - s e n 2 x - c o s 2 x )
2 e ^ ( y f x - l )+c
1233 1( l - \íx2 ) eos y f x + 2 \ f x
sen y fx
134
x + — + Ln
135
1 + lL n
136
c
x t
124
125
326
xarc s e n x
/-.
— =- + f Ln (1 - x
V l~ x 2
— f
Vi + x2
x
128
|Ln
129
Ln
130
H
131
4 r + Ln
132
Ln
\ k (x -
z
x
2 )(x + 5)|
(x
¿
(x
+ 2)4
+ 1) (x + 2 )
+c
+c
(x -
x2
x + 1
(x ¿ + l )
+c
x +1
, Ln
+ C
|x|
138
Ln J*L_
' tJx2 +1
139
¿ L n - y -— — r -4^ arctg
O
v3
12°
xv'1- xv 4
+.1
i
V
140
i Ln
141
Ln
142
—Ln
143
2 x + Ln
144
ia r c t g f + Í L n | - ^ j + c
145
x - arctg x + Ln
+ c
2x -1
146
x
147
Ln
148
Ln V L -l l + 1 arCtg
149
+ C
4
—4 x + 1
x¿ - 4x + 1
arctg ( x - 2 ) +
+
c
+ 1 arctg 2x + l + c
^x
+ x +1
1+ X
1- x
V3
^ arctg x + c
(x + l ) 2 (x2 + l)
x
V3
+x 2 -- +
(x +
2)°
2
arctg x + c
c
+ —^ - + 0
+ 2 + L
x
-1
j+ c
x • arctg x - i (a rd g x 2) - - 4 (arctgx)2 + c
Ln
i
x
2 \ ,
\ ( arctgx )2 + c
Lxi-¡=M= - - arctg x -
127
133
i T
x-1
2u l
+c
,2 - i1t2
(x¿
y
i+ c
137
.
(x - ir
4x + 7
2 (x + 1 )
+1 + c
+ Ln (x + 1 ) + c
k
•c
2 x - —+ 2 Ln ( x 2 + 2 x + 2 )- 2 a r c t g (x + l ) + c
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
150
151
152
153
154
155
nrcf0
ir
a rc ts T T ? + c
1 I n x2 + xa/^ + 1 ¡
J V f Ln ¿ - x ó + l + T
2 -x
L n (x
-
4 (x
+ 2)
+—
+2)
¿ L n x -- 7+ L n ( x
16
18
216 (x
+ 9)
i
,
x
arctg -f=- + c
----- i _ ... 1
+ l ) + 7¿ 5- L n ( x
288
36 (x + 9)
+ 648
+ 4 ) - - — ^----- + C
24 (x +
arCtS f + C
— ----------- 7j-L n | x + l| 4 - - Í- L n (l + x 2 ) + c
2 (x
+
9)
2
i
arctg ( x + 1 )
13x - 1 5 9
4
8(x
53
+
,
2x + 2 )¿
x - 3
+ C
156
8( x.2 - 6x + 13)
157
x + l
4 arc‘S f2+ 1
^ +T4 + C
8 x2
158
| -(2 x + a2 ) ^ x 2 + a 2 - ^ - L n ( x + ^ x 2 + a2 ) + c
159
^ x ( x 2 + 1 0 ) yj x 2 + 4 + 6 Ln ( X + y fx 2 + 4 ) + c
160
161
162
163
164
165
4)
+ i f arct3 —
+c
1—
yj x 2 - 2 + L n
2 /„2 ,
W a 2 + x 2 - ^ - L n (x + V a 2 + x 2 )
4x
•+ C
+ V2 +
166
1
3
167
— ,1
+c
+ 4x + x
a 2 y x 2 - a2
168
^■arcsen^^-
169
<¿
170
Vl+V2
2x + 7
¿
171
2
a re s e n
- -L. are sec — + c
n
a¿
h
■+ k
Ln |tg j + 1 1+ c
160 •
Sólo fines educativos - FreeLibros
O
2^ -^21+4x-x2 +k
x-a
16y[x*-16
+c
2
(x-aw 2 a x-x2
------- -
+5
,
|x |> 4
+k
La Antiderivada y la Integral Indefinida
172
a/3
•t/3 + tg-
Ln
^[3 - tg ^
■+ C
si - -y/3 < tg f < V 3
2
173
+c
tg f + l
tg |- + 1 | + c
181
arctg
182
~ + arctg
1+ a
l- o t g #
tg 4—cosa
arctg— con,
------ + -
183 .
sen2a
a - b
Ln
175
176
Ln
+
tg f+ tg f
C
184
# - ¿ L n (c o s x + s e n x ) + c
185
¿ arctg (
186
fr arctg — |—
o
2 tg | -j
5 tg f + 4
M
|-arctg
V
a
2 - ¿>2
3
arctg
187
+c
2 (/ 2
179
-
180
¿Ln
tg f + ^
ic o
/
a+ b
t g f+ t
-2
+ c
Ln(2 + eos x ) + -^arctg í
tg
+ c
cosx(cosx-senx)
1r
i
1+ c
i
lo o
------!— ^---------- - - | L n | c o s x - s e n x ¡ + c
189
2 tg x
190
Ln-
2 -1
tg f
+ c
+ c
tg -f -c o tg -í
2 o. x \
178
tg f-co sa
tg f-2cosa t g f + l
(c - a )t g f+ c
arctg -¡ = = = á = = - + c
174
177
+c
+ ^ a r c t g ( V 2 tg x ) + c
\$9x'-
6,„2x + tgx +1
fa r c tg ^ i +c
+ c
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Sólo fines educativos - FreeLibros
161
Moisés Lázaro Carrión
Integral in d e fin id a - Cálculo integral
1 . M É T O D O S M A S S IM P L E S D E IN T E G R A C IO N
♦
En los ejercicios del 01 al 27 hallar las integrales, usando la tabla de integrales y
aplicando las reglas elementales para la integración.
01.
JVxdx
02. j*^/xn dx
03. J ^ f
04.
J lO x dx
05. J axe xdx
06. J a
07.
Ja
08. J 3 ,4 x ~ ° ’17dx
09. J ( l - 2 u ) d u
10. J(\/x + l ) ( x - V x + l)d x
11. J4íLi2L£-__lE_ ¿x
12. J (2 x -1'2 + 3 x -0'8 - 5 ° ' 38)dx
13. J ( ^ ) 2 dz
f (1+3^ )3 dx
14.
f^ ¿ d x
15.
17.
Jf /7s&A
18. f - — — — dx
19.
dx
Jr1i++cocos!,s 2x
20.
í — cos2x
J eos x • sen
21.
ít g 2 xdx
22.
f
J
23.
J
f2 s e n 2 f dx
24.
í (1¥—
25.
J
26.
I ----- —— ñ—
J co s 2x + sen x
27.
♦
J
x
dx
2
J
J
J
2
X2(l +x2)
16.
dx
f
(1 + x )
dx
x (l + x 2)
I (arcsen x + árceos x )d x
En los ejercicios 28 al 105 hallar las integrales, aplicando el teorema sobre la invariancia de las fórmulas de integración.
28. Jsenxd(senx)
29. J tg3x d (tg x )
30. J -jí,= = J -
162
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
31. J (x + l)15dx
32.
dx
(2x - 3)!
33
34. j* ^ / (8 - 3 x )6 dx
35.
x/8 - 2 x d x
36.
+1 dx
38.
x v l - x 2 dx
37. J 2 x V x
40.
43.
46.
49.
52.
x dx
í ^]x^7l
41.
(6x - 5)dx
I cosx dx
J 1^/sen2dx
(arctg x )2dx
Jcos3xd(3x)
55. j*(c o s a
-cos2x)dx
58. J[cos(2x--|)
60.
J
l +x
4dx
2
63- f i Í T
sen x cos x dx
47.
cos x sen2x dx
-2
)2 tJl
-
x
x 3 dx
J tV
/- x + T
í
sen x dx
dx
í:
dx
(arcsen x
2
c-Jl + tg:
53.
d(l + lnx)
eos2(1 + lnx)
54.
Jcos3xdx
56.
s e n (2 x - 3 )d x
57.
Jcos(l-2x)dx
59.
J e x(senex)dx
dx
61.
(2x - 3)dx
x2 -3x^8
d (arcsenx)
64.
dx
x + rn
x dx
66.
J X3+l
67.
ex dx
ex + 1
68. J-,2x
69.
J tg x dx
70.
ctg x d x
71.
72.
j*ctg(2x + l)dx
73.
sen2x
dx
1+ eos2X
I Ü 2 + ld x
76.
e Senxd(senx)
79.
a x dx
75.
78.
í-
| a 3x
dx
( c * 1)
b (a + bx)‘ -dx
j*
44.
50.
l + x^
a + bx)c
J x 2 >/x3 + 2dx
'
Í 2^¡3^~-^5x~^
f
x
dx
í;
e 2x dx
Jtg3xdx
í
dx
x lnx
:senx cos xdx
■ í-
:_3x+1 dx
-163
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
81.
84.
J e x2xdx
82.
f ,
85.
f—
88.
f T
91. f - í ^ -
J^25^
87.
2x2+ 9
J
90.
-
J >/¡2^ 4
93.
f- l^ -
J e
x+4
83. J
J 1+ 9x
f —^
86.
J ^/4^
J x4+ 1
89.
J x4+1
Jx
94.
d( f)
J e * 3x 2dx
J
dx
f- r=
92.
+4
95.
y l - 4X
f-| ^
J a + se
96. j — ^ - d x
97. J ( e x + 1 ) 3dx
98. J-^=
"•
10°- f í l *
10L í
102.
f l^ L c fc c
J yj{
105.
103.
f
* ----------
104.
f 2 x y arcsenxck
J
J ( x + s jx 2 - l f
^/l
f x + (arcos3x) 2
J
♦
1-X2)3
x(l-x
V1-9*
En los ejercicios del 106 al 115 hallar las integrales, despejando la parte entera
de la fracción bajo el signo de la integral.
106.
} ^ dx
109.
112.
115.
♦
Jf llX+2 x , 2 d x
f
+1
107.
-dx
108.
110.
í Í^ Ild x
111.
dx
114.
113.
x-2
X2 -1
X +1
I ..........d x
a + bx
J
f z x - l*
x 4dx
J x 2+1
En los ejercicios del 116 al 132 hallar las integrales aplicando el m étodo de des­
composición de la expresión integrando y el m étodo para despejar el cuadrado
perfecto.
>16'
l l 7 ' J l^ T T )
, 1 8 ' J (x + l ) f 2 x i 3 )
164
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
í
122.
í
125
í
í
128
120
dx
123
í
126
í
129
í
x
2+ 3 x - 1 0
dx
(x - 1
)2 + 4
dx
4x
J
♦
fx 2+l
dx
(a - x )íb - x )
2+ 4x + 5
dx
+
6x -
9xl
121
dx
dx
4x
2-
124.
9
dx
x
2+ 2 x
dx
J -x 2 - 7 x
t
2 - 3x
+ 10
2
127 8------&
d
+ 3
dx
x -x
dx
í
y jl-(2 x + 3?
2-2 ,5
dx
132
^ 2 -
6x
-9x
2
En los ejercicios 133 al 156 hallar las integrales aplicando fórmulas trigonométri­
cas para transformar la expresión integrando.
133. Jcos2 x d x
.36. j \
dx
1 + senx
134.
I sen2x d x
137.
í
d
139.
í<
I (tg2x + tg4x )d x
40.
142.
| co s2 x co s3 x dx
43.
145.
í1 ^
d
t
148
3
eos x dx
•
138
1 + eos X
eos
2x d x
1 + sen x co sx
1
I sen 2 x sen 5 x dx
í
COSX
1 - eos X
1-
sen x
c o sx
í f ^
J yjeosa
135.
dx
da
141.
í1
l
dx
- eos x
1 + senx
1 - senx dx
1 co sx sen 3 x dx
/■
144.
I eos x eos 2 x eos 3 x dx
147.
t| = ! + d x
150.
Y
d
dx
151. Jcos3 x d x
52. J tg4 x d x
153. Jsen5xdx
154. Jsen4 x d x
55. J tg3 x d x
156.
f
J !
dx
2 . M É T O D O S P R IN C IP A L E S D E IN T E G R A C IÓ N
Integración por partes:
♦
En ios ejercicios del 157 al 193 hallar los integrales.
157.
d
x sen 2 x d x
158.
d
xeos xd x
159.
íI x e
Sólo fines educativos - FreeLibros
x dx
Moisés Lázaro Carrión
160. j x3 x dx
161. J x nlnxdx ( n * - 1)162. Jxarctgxdx
163. Járceos xdx
164. J arctg yfx dx
166. Jxtg2xdx
167.
■ I
x arctg x
i
1■ aresenx
,— ...
165
168
x eos2xdx
í
lgx
.
CAJk
dx
í J l + x 2 dx
170.
f (1
173. f f *
174. j x 2ln(l + x)dx
175. |x 2e~x dx
176. \x3e xdx
177. J x V d x
178. |x sen x dx
179. f x 2 eos 3xdx
180. Jln2xdx
181
i
ln
x
dx
+ x 2 )*
3x
171. Jln(x2 + l)dx
fs H S Ü d x
J
dx
183. J(arc senx)2dx
dx
184. J(arctg x )2xdx
185, Je sen xdx
186. J e3x (sen 2x - eos 2x)dx
187. Je ^ eos nxdx
188. I sen Inxdx
189. Jeos ln x dx
191. I Va2 + x 2dx
193. J
190.
x
f
dx
f T
2
2e x dx
2)2
x
(x +
193. J x 2e*sen x dx
Cambio de variable:
♦ En los ejercicios 194 al 229 hallar las integrales.
(susl’luyenci° * + l = z
. J j^ =
.
199.
202 .
J ((x
x --2
2 )r3
dx
J 1 + -J x
í
*
dx
197. f
J
x^jx + 1
200
_Jg_
203
J
J
x (x +
1) dx
dx
ax + b + m
x
dx
195. C — ,
1
198
201
204
í x^Jx
" ‘
dx
J,.,-J x d x
J*
xfx - \/x
166
Sólo fines educativos - FreeLibros
(sustituyendo x = z
La Antiderivada y la Integral Indefinida
*•
206- j v í t t
l. j * 4
-0*
(sustituyendo € x + 1 = z 4 )
dx
210.
212 . f — lUMií— dx
J
215.
217.
218.
221.
sen x • c o sx
f
J x 2 a/x2 + a
Í
¿
213.
J^/a
214.
3- x 3
f
J (x
x2adx
22 - 4/m) 2
(sustituyendo x = - , o x = a tg z , o x = a sh z
z
(sustituyendo x = - , o x = —2— , o x = a ch z
z
f¿ ^ d x
f
211. J V l + cos2 x • sen 2 x • c o s 2 x dx
(sustituyendo x = a sen z)
I — -M=., =
J
dx
209. j*-
2
J
dx
x6
(-2 ^ 2)3
227.
J xi --41 4dx
cosz
219. f £ ^ ¿ d x
*4
221 J
♦
2
J xdx2-a2
J
207- J
222.
}
220.
X2
f
x
2^
223.
9
225. J x 2 ^ 4 - x 2 dx
09
Q
228.
f
dx
f-r ^
■&—
f
J x f i^ 2
226. j -------x
ooq
~
dx
—
í ^ ----
) ^ a 2 + x 2y
I
2 + 4 ) y /4 x Z + l
(x + l)d x
229. í -----------
J a/x-x2
J
x (l + x e x )
En los ejercicios 230 al 234 hallar las integrales efectuando primero el cambio de
variables y luego integrando por partes.
231. J sen y fx d x
230. J e ^ d x
233.
^dx
J 1+ X 2
234.
f- ^
V
J x 2 (l + x
)
232. j -
dx
167
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
Diversos Problemas:
♦
E n los e je rc ic io s 2 3 5 a l 1 8 0 h a lla r las in te g ra le s :
235.
+ l) V
). JI ((xx +
V x 2 + 2x dx
240.
238
iI x cos x cdx
241
j * ( 2 - 3 x 4 )5 x 3dx
244
l e x (3 + e x )
í -^ L d x
247
i
2 x -l
í
250
|
Inxdx
í
246.
'
i f
252.
1
255
í
258
f
253
l +x‘
sen 4x dx
x 3 dx
259
• JT7T
x dx
í jT + 2
261
262
x
265
d267.
dx
í fizx-9x2 -2
(x - 3) dx
270
í ■<¡2>- 2x - x
273
í
276
2
(x - 2) dx
x 2 - 7 x + 12
(4 - 3x) dx
■ í ^ 5 x 2 + 6 x +18
268
271
274
277
242.
l - 2 -x ^ 33x4 - d x
245
1 -------- ^
e \ 1 -e '
248
^ d x
I g COS X dx
dx
,
251
J x ( l - ln2 x)
d<P
f
1 + 3x
4
254.
J sen^"<p cos^
256
cos6 x
I ( l + e 3 x )2 e 3 x d x
I senx
í ^Vx7=- dx
yfx dx
236.
X
-x
- X+ 1
^ Tr °i ri r
dx
Í S 2 | X dx
J
COS
257. J ( l - t g 3 x ) 2 dx
r
x dx
260
' J<
4
x dx
AJ2 + 4 x
j,- v a + x dx
263.
f
266.
í y¡9x
269
J - (x + 2)dx
dx
J ^5 - 2x + X
(8x - 11) dx
í \¡5+~2x
(3x - 1) dx
m
2x + 5
y 9 x 2 + 6x + 2
f
( 2 - 5 x )d x
J
y¡4x2 +9x+~l
dx
dx
2 - 6x + 2
x 2 + 2x + 2
-~ x2
■ í 4 x 2 - 4 x + 17
í
s e n x + c o s x ) “ dx
. j
275.
168-
Sólo fines educativos - FreeLibros
I
(3x - 1 ) dx
yjx2 + 2x + 2
2x
A *
-3 x + l
dx
x dx
•\/3x2 -11 x + 2
La Antiderivada y la Integral Indefinida
281- j arct9 xdx
279.
282.
285.
288.
291.
294.
j* x s e n x c o s x dx
J
f-co-s- | x dx
J
284. J*e2xx 3 dx
286. f ^ - d x
287. f
J In sen x
X
eos
283. J *x2 c o s a x dx
289. ¡V
sendx
J
[ e 2x2 + lnx ^
- dx
296.
297. | ^ ~ d x
298. J e xsen2x dx
299.
300.
301.
302.
303.
306.
309.
312.
315.
318.
321.
324.
fi- ^ d x
tgx
f
305.
f x 3 e xZ dx
307. f e ~ x Z x 5 d x
308.
L
310. í ^
x)
J
i l í -
JV o ^ F
dx
304.
J *j3co$íp + sen<p
[L B E c l x
J (1 + sen
J Í+ + 1
f
316.
f
310.
¡ X ( ^ + ^ )
f
J
dx
322i
[ax + b ) 4 x
f -,-—
J sjx^ + 4
^
J
313.
X4
senx
J
{^ L d -d x
J
J
325.
J
dx
x
dx
X6
¡L Ib ± d x
¡4^1-1
¡
f i - ^ d x
J
X
x
f - ^
311.
—
i x a rcsen x
f= = T
J ^ 1—X
,
d
j
(1 + t g x ) d x
sen 2x
J
1. + sen x
sen x dx
n ln x ^
f “ l£ d x
J
xx
x 3 dx
J Vi+2*2
J
x 4^
T 4
3 1 4 .-f ----317. í
J
320.
323.
13
Jyfx(x-l)
2 2x
J
J j 2 + 2x2
J 1+
4 - cos
293. í € eX+xdx
ex +1i d x
295.
J
4)2
sen 2 x d x
I
292. i —
J e +1
(l + x
290. f
1-s e n á x
J
x 7 dx
J
326.
(2 + x ) J l + x
f
x
dx
J ( 1- x2)5
f
J
x dx
( l - x 4) l
¡f^ e b e
J x 2 Vx
169
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
•
f ~~—T T
328.
J (l +x2)3
.
329.
831. J ü i ^ ü i d c
dx
. J are eos
r
f-J ^,-(1---_ e2x
+ e x ) dx
e x
332.
334. j*ln (x + >/l + x 2 ) dx
dx
335. j*
dx
J eos 3 x
3.
fJ -*2 -xp^1 arctg* x dx
yjsen2x
TIPOS PRINCIPALES DE LAS FUNCIONES INTEGRALES
Funciones fraccionarias racionales:
♦
En los ejercicios 337 al 346 hallar las integrales.
1)
El denominar tiene solo distintas raíces reales.
QQ7
|
990
340.
f
3 <far.
341.
J 6x - 7x - 3x
* dx
337' J T x+ ÍT Í2 J T T )
343.
345.
2)
f
m
dx
|
nQQ
J 2x2 - 3 x-2
m
f ^ X 4 - 8 dx
J x - 4x
342.
-----------------------
J (2x -1) (4x - 16x +15)
f
2x + 41x —91
t
J (x ~ "ÍT (~x~t~3)'(x - 4) <**
1 dx
f ’ t
J 4x - x
J
344.
í
4- 3 x 2 + 2
346. f * 6 - 2* ,:4
4 ++33^
*J - 9 x ¿ +4 dx
J
5~ 5 x 3+ 4 z
¡ - {l x- 2~ ^ dx
J x -5 x +6
El denominador tiene sólo raíces reales; algunas raíces son múltiples.
347.
J
Jf
x (x
? ldx
2 + 2x + 1)
■y/ +
350.• Í -x¡ - +- {V dx
•
X 3 - X 2
f ------ 4 ^ ---- 2
J
(x + 2 ) 2 (x + 4 ) 2
. f ----- L ÍÉ L ----
J ( x - l ) 2 ( x2 - l )
348.
351.
f f i í ± 2 \ 2 dx
J l * - 1/
J
349.
*
(x - 2 )
5 dx
352.
í - ^ — 4 ^ -------
J x
fJf . ,dx ¿
354. f-x 3 ~ 6X3 + 9x + 7 dx
355. f
357. f — ^ 2- 2x + 3)dx—
m
J
(x - 2)
(x - 5)
J (x-l)(x3-4x2+3x)
170
Sólo fines educativos - FreeLibros
+5x
J
f
J
+
8x + 4
La Antiderivada y la Integral Indefinida
359.
3)
f x33 2-x-2 +24 dx
J
x
360.
(x -2 )
í~ d x
J (x 2 - l ) 3
El denom inador tiene distintas raíces complejas.
361.
364.
367.
i—
362. f - ^
J x íx S l)
J (x - 1) (x
363. f
J l + X°
365
- 2x + 5)
í- y - ^ S
3
366.
2+ x -1
J x ' - x
368. í
J (x 2 + l)(x 2 +x)
-----
369.
J (x + 1)2 ( x 2 +1)
4)
í
(3x 2 + x + 3) dx
J ( x - l ) ° ( x 2 + l)
( x 3 - 6) dx
x 4 + 6x 2 + 8
dx
1+ x
El denominar tiene raíces complejas múltiples.
373.
[ — 9—
J (x
Í
376
379
í
J 1- x
j
S7,
370.
372. J
x dx
J
+ 2)
(x +
l dx
1)
374.
í ------ ------------ r
J x (4 +■x
f
dx
( x 2 + 2x + 2 )3
'
(1 + x
m í (*
)
375.
070
dx
J (x 2
x
•fa fr
)
+9 )3
‘
í
2 - 1 2 )d x
2 - 6x + 13 }2
(5 x
J (x
2x dx
r
J (l + x ) ( l + x
2)2
9dx
- 1)
5 ) M étodo de Ostrogradskí.
. f
1 7Í -2 , dx
382.
J (X ¿ + X + 1 ) 2
384
386 .
J ( x - 1 ) 2 ( x 2 +1 )2
— 2
387.
J x 4 (x 3 + l)2
J (x
f y 5 ¡ x ----26x! ~ f x ~ f - dx
(x
+ 4 x + 5)
(x
í
X 2 4- X + 1
J
.2 n2
385. Jí
(l + x ) ( l + x 2,3
f X-6x+3
X---¡-4-X-2?t2
3 (x 2 + l)2
J
J
383.
+4)
+ 2x + 10)
=-
388.
f
(x +
2) dx
J ( x 2 + 2 x + 2 )'
390. f
J
Sólo fines educativos - FreeLibros
3x
4+ 4
Moisés Lázaro Camón
Algunas funciones irracionales:
♦
En los ejercicios 393 al 414 hallar los integrales.
ax + b
Funciones de la forma R x, ny ™ + ^ ■, d
{ M ai* + h y a-¡x +
1)
x dx
393
■ L v ítv ? )
396■
m
W
2)
bi
**■ J —
397. J
399. J ^ j f ^ d x
g
d
x
& *
¡
(x + l ) 2 + (x + l ) 3
40°-
Binomios diferenciales x m {a + h x n) p dx
401.
J a/ x (1 + ^ x )4 dx
402.
403.
406.
409.
412.
404.
f ~¿£—
407.
f ^ ^ d x
410.
1 + x4
J
x
J p r fH r
J x 5 ^ ( l + x 3)2dx
405.
f^ -^ d x
408.
f — V fe --
411.
J f x ( l - x 2)dx
414.
J
Xb
J x ^ l + x8
413.
J x 1 (1 + x 1)”3 dx
tfr+ x'3
J
J
P ^ jE d x
W
f^ E ld x
X
dx
Funciones trigonométricas:
♦
1
394 J w + v W *
En los ejercicios 415 al 456 hallar las integrales.
415. Jsen 3x cos 2 x
418. í ^ x dx
J cos¿ x
421.
f tt~~~T
J (1 ~ cosx)
2
dx416.
419.
J-^ y v dx
fJ - - ?idx
.
cos x sen x
f—
422-J
K%
(1 —cosx)
217. J
420.
fJ
í
dx
cosx-sen x
sen4x c c
423- Jeos 6x dx
172
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
424
. j*ctg 4x dx
427.
J
sen
x
J t g 5x d x
42 6 .
428.
J
429.
J
432.
Ii tgx • cos2x
----------------If sen x &
+ co
sx
430 .
434
J se n x -c o so x
5
+4
Í
442 .
f
J
.
450 .
1 -s e h
í—
J sen
440
| _________
J (se n x +
dx______________
, ^ 2—
eos
x
Jl + sen x dx
Jv
451.
x
J V
454.
f r - dx-
—
f
'cos2x~- 3i¿ í=
eo s 4 x -^4 - ctg
x
sen 2x dx
1 - tg x
dx ________
J 5 - 4senx + 3cosx
446.
449.
452.
J ^/sen3x eo s5 x
J
dx
441|
2 s e c x )2
a sen x +b
448. f
x
fI
438.
443.
J
( J l + cosec x dx
453
'
445. f ,
x
f ^ n3-2 x . dx
J sen
'
I
x + 5sen x
x - eos
f
J 5 - 3 eos x
o—
J 4 -3 co s
f
444
435
f 2l-+ c5o^sx - dx
437.
senx
dx
4 + t g x + 4 c tg x
439
í
I 1 + tgx
436 • I V # —
J
eos x - sen x
|-------------J431.
a eos x + osen x
f^ c o s fx *
433
j*t gdx8 x
425.
f-
J1
dx____
i
J sen 2x + tg 2x
í
J senx cosx
dx
f-p ---------
J yl - sen
455.--- f --------- —
J
456.I jJ yv t g x d x
Funciones h ip e rb ó lic a s :
♦
En los ejercicios 457 al 475 hallar las integrales.
457. JI cch
h xx dd xx
460 •
fI
u— % •
chx + shx
463. j * t h 2 x d x
-----------------------
458.
461.
Jshxdx
459. J-
f (sh 2ax + sh 2ax) dx
46 2 .
I '
464. J c t h 2 x d x
dx
ch2x
|sh2x
dx
I
465. J *s h 3 x d x
— -------------------------------------------------------------------------------■
— --------------173
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
466. J ch 3x d x
467
469. j*cth 5x d x
470
í
473 .
Ü * x dx
dx
472.
(1 + ch
x )‘
■ í
th 4x dx
468. j*s h 2x c h 3x dx
dx
l
471
shxchx
dx
sh x
x
dx
í . ch
x
e 2x dx
475.
sh x
Funciones racionales de: x y *Jax 2 + bx + c .
♦
En los ejercicios 476 al 499 hallar las integrales
I
Xaj x
+ x
dx
479
Jf x\¡2r += x
482
í
1
+1
dx
x\j x 2 + 4 x - 4
___
480.
(2x - 3 ) ^ 4 x - x 2
483.
í
A/2x + x
2 x - l dx
«Í
dx
485. | V l - 4 x - x 2 dx 486. J 488. J
491.
494.
í
ek
. [- ,
J
1 + a/ x 2 + 2 x + 2
3 x 2 - 5x
dx
492
| - ;x-' - 8 - ~ 3 dx
495
497.
3 -2 x + x'
a/ x
- 4x - 7
-\/l + x 2
2 + x"
x 2 dx
r
3 x 3 dx
a/ x 2
+ 4x + 5
f
x 4 dx
J -Jx2 + 4x + 5
J*
dx
■x + 1
a/1 - 2 x - x
f
J
dx
(x-l)dx
2 x +1
dx
478
í : Xa/ x 2 + 2 x - 1
f
481
J (x-
484.
dx
1)a¡ x 2 + x +1
j*Ví!3 x
487- Í ~
- 3 x + l dx
dx
,----- ^
J x (x + a/1 +
490.
499
)
■2 x + 5
493.
496
x
a/ x 2
r
J
-x - 1- dx
+ 2x + 2
dx
( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1) a/ x 2 + 2 x - 3
f
' J(
(2x + 3) dx
(x ¿ + 2 x + 3)a¡ x 2 + 2 x + 4
Diversas funciones:
♦
En los ejercicios 500 al 555 hallar las integrales
500. {
x 3 dx
(x -D 12
rn.
501.
1
J:
xdx
502. J x ^ / o T+ xx dx
174
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
x 4 dx
503.
506.
504'
Jl*
505' j
507'
5°8'J
509. j * ( x 2 + 3 x + 5) cos 2 x dx
516.
j se n -v /x dx
512. J*
jx e ^ d x
515. J ( x 3 - 2 x 2 + 5 ) e 3 x d x
517.
j
518. f ---------
522.
( í ± ± p l dx
520.
f-
523.
J
x6
J X
525.
- &
J (l + x ) ‘
- ^ -ó -
s e n 2 x - 2 senx
&— -
526.
3 (x - 1 )2
f-ílíL
521. f .— _
[É ^ -d x
524. f ^ ^
J
f — .-
J'
J1 +l COS
+ c o sX2 x
J
ln x
527.
531.
x2ex cosxdx
532. |xex (x2 +1)dx
537.
540.
543.
546.
x
\jtq2x + 2
dx
538.
x arctg x
7 2xdx.
x+
sen
x
f — £ L = ^ 2¿ L . =
J x J x 4 +3x2 +1
( x e x dx
x e x dx
(l + x ) 2
( l + x 2) 2
f
J eos
J
dx
(e3x + e x ) dx
-e 2x +
1
544.
547.
533. j - - ndx
J -Jsen0 x cos'x
f
J
539.
r_arctgx ^
J íl + x
í
536.
542.
Jl + e x
f
J
dx
r =. =. =
(2 x -3 )J 4 x -x 2
(arctg x d x
J
f
(1 - 2 )
J
-. -
1 + senx + cosx
f
)3
J
e 2x
J ^Jli ++ ee xx ++ e
2x
,
dx
^ 2 -^
J
J
535.
f-~ -
JJ ^ ( - i ^ c o s 2 *
ln x
530. f - JilHL
529.
x cos
x 15- l
J
x
x ln (1 + x3) dx
sen
dx
JV l +^
¡ y p T l
528.
534.
arcsen x dx
514.
x
519.
ln(x +1) dx
510. j* x 2 sh x dx
511. j * a r c t g ( l + V x ) dx
513. j e ^ d x
(x 2 - 1 ) ( x + 2 )
548.
í
J
J
tg x dx
1+ tgx +
www.FreeLibros.org
Sólo fines educativos - FreeLibros
t g 2x
■175
Moisés Lázaro Camón
. J s e n 8x dx
552
f - 4 -^ - 4-
J
558.
sen x + cos
x
550. J ~ ~ 4 y r ^
551- J
553.
554.
cosx
J
(x
- 3x - 1 0 ) '
2- l
f 2
J
x
+1
r
dx
+ x
Ií e seiix x P°s 3 x ; senx d x
M étodos para calcular
integrales definidas Integrales Im propias
1 . M É T O D O S D E IN T E G R A C IÓ N E X A C T A .
Aplicación directa de la fórmula de Newton Leibniz:
♦
En los ejercicios 556 al 583 calcular las integrales
1
,JVr
J V I + x dx
556.
o
-i
557
-13
dx
558.
2
9(
559.
|-M -d x
16
560.
I sen {
-<p0 jdt
(ex - l) 4ex dx
563.
I
í
[ ¿ ^ ( b > a > 0 )
564
1
0
e
1
0
3
2
e
X i j l - (lnx)
566.
2 ,
i
I i-^ d x
567
l
1
1
e3
V3
2
x n_1 dx
\ja
dx
J jx +9-4x
0
2a
0
dx
f
561
0
562.L j I,
|
‘ i
■ í (11 + 5 x ) "
dx
- J
:,J l + ln;
570.
176-
Sólo fines educativos - FreeLibros
x dx
( x.2* +, li)\2
i
e x dx
x
dx
í
í
1 M
2
La Antiderivada y la Integral Indefinida
2
í
0
i
Qdx
(x-a)(x-2a)
572.
2
1
l
dx
J
2 x 3 +3x - 2
7Z
i
dx
575
í
-0,5
dx
s¡8 + 2x ■
J c o s 5 x senx 2 x dx
577.
dx
■ í x 2 + 4x + 5
O
■)
578.
n_
’__K
4
(0
579. Jsen 2 (¿yx + <p0 ) dx
580.
0
581.
12
J c t g 4 <pd<p
a
♦
J ^ / c o s x - e o s 3 x dx
_7C
2
0
Jt
4
dx
1 + COS X
*sen ■
582. I—^ d x
f
í
eos x dx
2
583.
J c o s í sen^2í - -jJ di
En los ejercicios 584 al 593 hallar las integrales integrándolas por partes.
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Camón
2
594.
J e o s n x dx y
Deducir las fórmulas de recurrencia para calcular las integrales
o
J2L
J sen nx dx (n es un entero positivo o cero) y calcular las integrales;
o
a)
Jsen ^xdx;
b)
0
Jcos’ x * ;
c)
0
J s e n ^ x dx
o
595. Deducir la fórmula de recurrencia para calcular la integral
J s e n mx c o s n x dx
o
( m y n son enteros positivos o ceros; examinar los casos particulares de valores
pares e impares de m y n).
o
596. Deducir la fórmula de recurrencia y calcular la integral J x ne x dx (n es un en-1
tero positivo).
597. Demostrar la fórmula de recurrencia;
f
J
________ x__________| 2n - 3
dx
(l + x 2 ) n
Zln-lMl + x 2 ) " - 1
2 ( n - l)
f
J
dx
(i + x 2 )'1' 1
1
dx
(n es un entero positivo) y mediante ésta calcular la integral
0
e
598.
Demostrar que si J m =
j*ln m x dx , se tiene
2\4 •
(l + x )
J m = e - m J m_ j (es un entero po-
1
sitivo).
1
599.
Hallar la integral J x p (1 - x ) q dx (p y q son enteros positivos).
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Cambio de variable en la integral definida:
♦
En los ejercicios 600 al 620 calcular las integrales.
9
600.
1
J
-^ _ d x
601.
4
f- E ^ L
J 1+Vx
604.
3
1 _____
23
L£L¿L,
Jsen6|-dx
606.
607.
0
3
n
4
1
j*eos72x dx
o
1
J ^ ~ Id x
V2
2
1
2
J--JY ~
J
611. J ¿ Í l l d x
1
_____________
l
614. j x 2^ l - x 2 dx
o
-ln 2_ _ _ _ _
o
a
616.
0
f
3
r
2
J x + JV
a a2 - x
" x2
617. • f1— <*-
2
J
*, ( x
O ^
O
f i l 2j - - x.2I 3 dx
J
2,5
x
5
2 +3\2)
2V2
5____ ___________
618.
____
2
613. j V ( l - x 2) 3 dx
V2 X
\ j l - e 2x dx
____
610. J ^ - ^ d x
1
612.
x 2 dx
608. J
o
609.
í - ^(- x 2)L ~ dx
J 3+mx- 2 ) 2
0
S
615.i
605.
J J e x +e~x
0
¡ 4 ^
J 4^4
0
1
603.
602.
J 1+X
619.
f
J
0
(2 x 2
+ l) \ jx
620.
+1
f -
J
x ^ (x 2
----
- 2);
Distintos problemas:
621. Calcular el valor m edio de la función y = V * + -4= en el intervalo [1, 4 ].
dx
622. Calcular el valor m edio de la función / (x ) = —E — en el intervalo [1; 1,5].
X
+ X
623. Calcular el valor m edio de las funciones / (x ) = sen x y /(x) = sen2x en el in­
tervalo [0, n ] .
179
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
624. Calcular el valor m edio de la función /(x) = — -— en el intervalo [0, 2].
e x +1
625. ¿Para qué valor de a el valor m edio de la función y = ln x en el intervalo [1, a]
es igual a la velocidad media con que varía la función en este intervalo?
♦
En los ejercicios 626 al 642 calcular las integrales.
i
2_
y ¡2
626. f- & - T
Jx
627.
+ x 3
1
f
0J
J
0
#2
629.
f
,
628. í
J
(1 + X 5 ) 3
0
2
630.
n + x 8 ^5
(1 + x )
í
-......
+ l1)) 3
:
0J J x + 1 + J/(( x +
631.
x
ln 5
633. | x 5J l 7 x 2 dx
x 2 dx
0
634. j
0
3
f
^
í
fx s e n x ,
636, J c o s 3 x d X
f
0
0
f
1
16
0
639. J*(arcsen x )4 dx
g
(X 2
1
2
f _ ( 3 x ± 2)dx_
641.
640. J arctg-y/Vx - 1 dx
0
i
x+g
637‘ J 2cosx + 3
l
6'
____
0
63fi
638. J ————-
x 2 dx
J
-a
V3
632.
3 dx
- 3x + 2
+a
n
1
x
x
642_ f
+ 4 x + 1)2
J
senx cosx dx
a 2 eos2 x + b 2sen2x
2
643.
Mostrar que
J
0
I —5—
— 5- = ~ , donde a y b son cualesquiera números
a 2 cos2 x + b 2sen2x
2
y
reales distintos de cero.
644.
Resolver la ecuación
I — ,-A. =, = -S.
J xJ^TI
<2
V2
180
Sólo fines educativos - FreeLibros
M
La Antiderivada y la Integral Indefinida
645. Resolver la ecuación
I -¡= M = r = -J
J
Jex ~ 1
6
ln 2
646. Al quedarse convencido de la validez de las desigualdades ~ > ln x > 1 para
4
x > e , mostrar que la integral
I
J yin*
es menor que 1, pero m ayor que 0,92.
3
1
647. Mostrar que f « 0 , 523 <
6
f - r===M ==-= < —
J J4 ^ 2 ^ ¥
0
4^2
« 0,555
0,5
648. Mostar que 0,5
< | -= ^ = - < -2- « 0,523 (n>l)
J
0
6
649. Valiéndose de la desigualdad sen x > x -
3
, que es válida para x > 0, y de la
X
2
desigualdad de Cauchy - Buniakovski, evaluar la integral J ^ x s e n x dx .
o
i
650.
Mostar que 0,78 < í
{i
o
< 0,93
651.
Hallar los valores máximos y mínimo de la función J (x ) = I - ~ l- ' -•— dt en el
Jt2
o
- 2 t + 2
intervalo [-1 ,1 ]
652.
Hallar el punto extremo y los puntos de inflexión de la gráfica de la función
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
♦
En los ejercicios 653 al 665 demostrar la validez de las igualdades sin calcular las
integrales.
*
If xx iUsenyx
10sen9x dx
dx == 00
653.
}.
654.
654. f I —~ z ^ í-± 2 x- ~ - d x = 0
J
_
1
eos" X
J
s
8
-1
1
2
1
655. J e cosx dx = 2 J e cosx dx
-i
656. j eos x ln
o
dx = 0
-1
A
657.
a)
j*/(í) dt
Mostrar que si f ( t ) es una función impar,
es una función par, es
a
-X
decir, que
X
J f ( t } dt = J f ( t ) dt
a
a
x
b)
¿Será la función j f ( t ) d t impar, se la función f ( t ) es par?
a
1
658. Demostrar la validez de la igualdad
7
1—~
-
J i +r
i —™
J 1+ r
X
tg x
659.
Demostrar la identidad
J
1
ctg x
I
i
660. Demostrar la identidad
(x > 0)
l + t¿
s-
I —
J
i
t(i
+t¿ )
sen x
j*
- 1
eos
aresenx f t d t +
0
661. Demostrar la validez de la igualdad
j*
x
árceosx¡td t = ~
o
1
i
j* x m( l - x ) ndx = J x n( l - x ) mdx
182
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
b
b
662. Demostrar la validez de la igualdad J f ( x ) d x = J*f ( a + b - x ) d x
a
2L
663.
Demostrar que
a
Ü
J*/(eos x) dx = J / (s e n x ) dx . Aplicar el resultado obtenido
0
o
JL
JL
para calcular las integrales j*cos 2 x dx y j*sen 2x dx .
o
o
664. Demostrar que:
n
71
J x / (s e n x ) dx = f j*/ (s en x ) dx
o
o
'
2
K
2
• 2 x J / (s e n x ) dx = n J / (s e n x ) dx .
o
o
71
Aplicar el resultado obtenido para aplicar la integral
I—
J 1+ eos
0
X
dx
665. Mostrar que si la función f ( x ) es periódica cuyo período es igual a T, se tiene
a+ T
que
I / (x ) dx no depende de a.
180
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
Integral in d efinida - Cálculo in te gra l
1. M E T O D O S M A S S IM P L E S D E IN T E G R A C IO N .
ü-+i
01. | V x ° + C
02. **■
04. * 0,4343 • 10 x + C
05.
07. ,/^k + c
08. « 4 , l x 0,83 + C
n+
m
(ae)x
1 + Ina
+ c
03. C - i
X
+c
06.
Vx + C
09. u - u 2 + C
2 _ ~ e x +ln|x|
2
10. f x - v x
11. C —
12. C - 1 0 x “ 0,2 + 1 5 x 0,2 - 3 , 6 2 x 1’38
13. z - 2 1 n | z | - - + C
14.
2x2 -12x-6
3-v/x
+ C
15. |-Cc^" +
-y -
x V x + -| x \ / x ^
-” X 2 V x + C
17. -4=-arcsenx + C
V3
16.
18.
+
3x>/x
2(1,5 )J
+c
1 9 .-|(tgx + x ) + C
20. C - c tg x - t g x
21. tg x - x + C
22. C - c t g x - x
23. x - s e n x + C
24. arctg x ~ — + C
25. ln |x |+ 2 arctg x + C
26. tg x + C
27. £ x + C
28. &SLJL +c
29. ^
30
3 x
¡n 1,5
+ x z +C
(a + bx)
b (l-c)
+c
31.
1)
16
(X +
16
+c
32. C -
34. C - ^ ( 8 - 3 x ) 5
W (x 2 +1)
3+c
35. C -
+ C
8 (2 x - 3)
yj(8 - 2 x )3
2\3
36. ~ ^ V a + bx + C
37.
39. | ^ ( x 3 + 2 )6 + C
40. ^/x2 + 1 + C
41. 1 ^ 4 + x 5 + C
42. | ^ ( x 4 + 1 ) 2 + C
43. ^ 3 x 2 - 5 x + 6 + C
44. -^sen4x + C
45. s e c x + C
46. 3 ^ jse n x + C
47. C - f e o s 5 x
48. f ^ ( l n x ) 3 + C
49. ^ £ ¿ + C
50. C
38. c - i ^ / a
184
Sólo fines educativos - FreeLibros
2(arcsenx)¿
La Antiderivada y la Integral Indefinida
51. 2,Jl + tg x + C
52. sen 3 x + C
54. ¿ s e n 3 x + C
55. xcos¿r - ¿ s e n 2x + C 56. C - ¿ c o s ( 2 x - 3)
57. C - ¿ s e n ( l - 2 x )
58. ¿ t g ( 2 x - f ) + C
59. C - c o s (e x )
60. ln (l + x 2) + C
61. ln |arcsen x |+ C
62. ln (x 2 - 3 x + 8) + C
63. ¿ l n | 2 x - l | + C
64. ¿ ln |ex + m |+ C
65. ¿ ln (x 2 + 1 ) + C
66. ¿ ln |x 3 + 1 1+ C
67. ln (e x + 1 ) + C
68. ¿ l n ( e 2x + a 2) + C
69. C - ln |cos x |
70. ln |sen x |+ C
71. C - -jln ¡ cos 3 x |
72. j ln |sen(2x + 1 ) |+ C 73. C - ln (1 + cos 2 x)
74. ln |ln x |+ C
75. lnm+1x + C >si m *
m +1
76. e senx + C
77. e senx • C
78. -flf- + C
31na + °
79. C -
80. r
°
81. 0 , 5 e x V
ln a
e1~3x
3
53. t g (l + ln x ) + C
ó
\-(tg 4 x - s e c 4 x ) + C
1 y
ln |ln x |+ C , si m = -1
2 +C
82. C - i e - 3
83. arcsen j + C
84. -i- arcsen 5 x + C
85. ¿ arctg 3 x + C
86. arcsen— + C
87. ^ a r c t g f x + C
88. i arcsen - y + C
89. -■arctg x 2 + C
x2 + C
90. 1 arcsen —
91. ¿ arctg — + C
1
4
/"i
92. —arcsen x + C
93. ¿a rctg
94. arcsen 2X ,
In2
+ °
95. a1 arctg
C
° sena+
a
96. e x + e ~x + C
2
a
+ C
97. i e sx + | e 2x + 3 e x + x + C
98. arcsen x - ^ l - x 2 + C
99. -|ln ( x 2 + 9) - ¿a rctg
100. arcsen x + V l - x 2 + C
+ C
101. Tj-arctg x 2 - ¿ l n ( x 4 + 1) + C
102. arcsen x
+C
103. f [ x 3 - < ¡{x2 - l ) 3 ] - x + C
104. C - 2^1 - x 2 - -y- ^(arcsen x ) 3
105. C - -i [^1 - 9 x 2 + (árceos 3 x ) 3]
106. x - 4 1 n | x + 4| + C
185
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
107.
2' [ x
"2 ln |2 x
~
108. y-j^x - yin ( bx + a |] + C
+ 1 II + C
110. 2 x + 3 ln ¡ x - 2 |+ C
109. C - x - 6 1 n | 3 - x
111 .
1
2 "
+ ~ ln I 2 x - 1 1+ C
112. x + ln(x
14
114. C - - r X 4 - 4-x3 - i - x 2 - x - ln 11 - x
113. x - 2 arctg x + C
4
O
¿
x + arctg x + C
115.
117.
X + 1
123. — ln
12
1
126.
-1
X+1
2x - 3
2x + 3
-c
121.
+c
2x - 3
x +1
x - 5
4 -ln
o
x
-2
+c
X 4
127.
+c
122.
¡->
3x -1
y in
x
+c
b -x
-2
x + 5
+c
+c
125, j arctg ~ ~ + C
2,arctg
_ +„ —
1- 2x f c
128. 44 arcts~~o~~
+ C
2
130. arcsen (x - 2) + C
129. 4-arcsen (2 x + 3) + C
i
Ix - 1
119. -r-M n
b -a
V2 + xV3
124. - V l n
+ C
2V6
4 2 - xS
arctg -j^ - + C
1
116. ln
118. -J-ln
5
'+ C
x
1 2 0. x + ln
+ 1) + C
132. -4arcsen —X.1 + c
133. f +
135. C - ctg-|
136. t g ( f - f ) + C
137. 2 tg — - x + C
138. 2tg(-| + ■
—) — x + C
139. y t g 3x + C
140. ln(2 + sen 2 x ) + C
141. C ~
131. y arcsen — ^— + ^
134.
sen 2 x
2
4
c
3
V3
- 2
+ C
+ c o s2 x ) 142. — sen 5 x + 4 sen x + C
143. 4-sen3x - —rsen 7 x + C
o
14
144. y-(2x + sen 2 x + 4-sen4x + -4Se n 6 x ) + C
147. c o £ ^ _ i n |co sx l + C
2
146. ln (l + sen x ) + C
149. 2 4/cosa - - z
151. sen x -
145. ln j tg (y + ^)| + C
148.-4---------------+ C
senx
3sen x
150. t g x + 4-tg3x + C
+C
152. j t g 3x - tg x + x + C
154. J-x - 4-sen2x + -i-sen 4 x + C
153. C ~ cos x + |-ctg3x - 4 co s5x
155. -y tg2x + ln |co sx ¡ + C
156. C - ctg x - y ctg 3x - -4ctg 5x
186
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La Antiderivada y la Integral Indefinida
2. MÉTODOS PRINCIPALES DE INTEGRACIÓN.
Integración por partes:
157. js e n 2 x - ~ x co s2 x + C
158. x s e n x + c o s x + C
159. C - e ~ ~ x (x + 1)
160.
161. ¿ L ± ( i n x _ _ J ^ ) + c
162 .
r¡
1
+1
n
- x"2 + C
163. x árceos x -
3
(xln 3 - 1) + C
X +1
2 a rc tg x ~ ~ + C
164. x arctg yfx - x/x + aertgx/x + C
165. 2 ^ J x T T aresen x + 4 ^Jl~~~x + C
166. x tg x - 4^- + ln |eos x | + C
+ -jj-x sen 2 x + 4 Co s 2 x + C
167.
ln
168. C - “ j l s (xx/e)
169. \/l + x 2arctgx - ln(x + y l + x 2 ) + C
170. 2(x/x - ^/x - 1 aresen x/x) + C
171. xln ( x 2 + 1 ) - 2 x + 2 arctgx + C
172. C
+ 4 arctg x
2(1+ x-
173. x 2^ l + x 2 ~ § / ( 2 + x 2) 3 + C
174
( x 3 + 1) ln(2 + x)
x3
x2
3
9
6
x
3
, p
176. e x ( x 3 - 3 x 2 + 6 x - 6 ) + C
178. C - x
q
175. C - e “ x (2 + 2 x + x ‘
177. a x ¡ r ~ ~
lna
ln
a
+ - 4 — 1+ C
in a
o
co sx + 3 x senx + 6 x c o s x - 6 sen x
179. ~ x 3 + -|-x2sen 2 x + 4 XCOs 2 x - 4 sen 2 x + C
180. x (ln 2 x - 2 1 n x + 2) + C
181. C - —(ln 3 x + 31n2 x + 61nx + 6 )
182. C - ~ 4 ^ ( | l n 2+31n x + 2)
183. x(arcsen x)
184.
■2 +
+11
2
+ 2 aresen x •y¡2 - x
rotor x
vt
(arctg
)
o
28Í 1 4
-2 x + C
i
9
-—xvaprrHrt
r c t g xv 4
+- 4-ln (1 + x ) + C
185.
e
(senx-cosx
+c
. 3x
186. -j-j- (sen 2 x - 5 eos 2 x ) + C
187.
189.
(n sen nx + a eos nx) + C
188.
^-(coslnx + sen ln x ) + C
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|-(senlnx - c o s ln x )+ C
Moisés Lázaro Camón
190. C - j y j l - x 2 + j arcsenx
x dx
(Poner du =
r I
,== =-, y luego
l-Jl - x
yjl —X
2
J
dx transformar a la forma
1 - 7 = dx)
J j l - X 2
191. |-y/a2 + x 2 + — -ln(x + -y/a2~+ x 2 ) + C
193.
1 1 —x 2
-|-[(x2 - l ) s e n x - ( x - l ) 2 c o s x ] e x
192. ^ ^ a x + C
C
Cambio de Variable:
194. 2 [V x ~TT - ln (l + V x T T )] + C
195. ^ E I ( 5 x 3
35
x +1-1
197. ln
,
¡X+ 1+1
+ 6 x 2
+ 8 x
+ 16) + C
196. C -------
x- 2
2(x - 2)
+ C
198. 2 V x - 2 + V2 arctg V “ "^"~ + C
199. 2 [ V x - l n ( l + V x )] + C
200. 2 arctg V x + C
201. 2 (V x - arctg V x ) + C
202. | (x + 1)^ -
3(x +
1)3 +
31n 11 +
- 1 1+ C
203. ~[^¡clx + b - m ln | yjax + b + m |] + C
204. x + P p
+p p
+ 2-sJx + 3 V x + 6 1 n | V x - l | + C
205. 3 V x + 31n |V x - 1 1+ C
207. f[\ / x ^ + 21^
209. ln
211.
3 + 2 1 n | 1^
~x + C
J l + e x +1
206. 2V x - 4 V x + 41n(l + V x ) + C
- l ¡ ]
215. C -
p 3-
a
'°
x
208. | r ( 3 e x - 4 )V c e ^ T T )^ + C
210. 2^/í + ln x - ln |ln x |+ 21n |J l + ln x - 1 1+ C
0.4-^(1 + e o s 2 x ) 3 (3 - 2 c o s 2 x ) + C
213. C - 1
+ C
x 3 (2a 3 + x 3)
212. -i-ln2 t g x + C
+ 4 ln |x 2 - 4 1+C
214.
a
216. -—-aresen— - 4\/a2 - x 2 + C
Z
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Z
’
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217. C - -^arcsen
219. C -
221. C
223. ln
a/
218. C
|x|
a
Í^ 2
220
arcsen x
X
.2 ,5
x/(9^
45x1
1+ a X¿ +1
222.
+c
a 2-v/x2 + a 2
9x
2_ i
226.
4 a/Í5
a
+C
+c
{ ^ 9
224. C
225. j ( x 2 - 2)-y4 - x 2 + 2 a r c s e n + C
r
227. á r c e o s
3x;
a /x
ln
-a
c>/Í5 + 2-J-4 x
+1
c7 Í5 -2 a/4x 2 +1
+c
(- C (Se puede realizar la sustitución x = ^
228. 2 arcsen V x + C (Se puede realizar la sustitución x = sen 2z )
229. ln
+ C
1 + xe '
(Multiplicar el numerador y el dominador p or
e x , y poner
xex = z)
230. 2 z ^ * {4 x - 1 ) + C
232_
231. 3 [ ( 2 - C c 2 ) c o s ^ + 2 ^ s e n ^ x ] + C
x a ^ c + ¿2i n (i _ x~ 2 /
)+ c
Vi
234. ln
233. x a r c t g x - ( a r c t g x 2) - ^ ( a r c t g x ) 2 + C
—arctg x - - i(a rc tg x )2 + C
/1+X'
Diversos Problemas:
235. ¿ a/(x 2 + 2 x ) 3 + C
236. i ( l + e 3x) 3 + C
237. 2
238. e
239. C - | ( l - e x ) 2
240. ^ s e n x 2 + C
242. C - i l n | l + 3 x 3 - x 6 j
243. f l n ( l + x 2) + C
C
4
6
241. C - ^ - ( 2 - 3 x 3 ) 5
244. C - l n ( 3 + e “x )
+C
245. C - arcsen e ~x
246. 2yjl + x 2 + 31n(x + sjl + x 2 ) + C
247. | [ 2 ^ 9 ^ 2~ ^ 4 - 3 1 n | 3 x + >/ 9 ^ 2^ 4 |] + C
248. 2sQn4x + C
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Moisés Lázaro Camón
249. árese n -^4 + C
V3
252.
(arctgx)r
n+ 1
250. C -
+ C , si n ^ - 1
253. C - 2ctg 2<p
ln 11 - ln
x
+ ln(x + \ x
251.
+ 1 ) + C-
y L n jarctgx'l, si n = - 1 .
254. 2 x - t g x + C
255. -píg Jx + C
256. ^-^/tg5x (5 t g 2x + 9) + C
257. i ( t g 3 x + ln eos 2 3 x ) + C
258. ^ ¿ - ^ ¿ + x - l n | x + l| + C
259. C - - i T
260.
+ C
X” 1
2— =-
2(x - 1)
261. x y [ i + 2 x - \ y ¡ 0 ^ + 2 x ) 3 + C
262. ~ ( 3 x - 2a)^{a + x ) 3 + C
a mx b !
263. f + Is e n 2 x - + 1 % /ü tñ x - co sx + C
e
m ln a + nlnb
265. C - ln[ 1 - x + V 5 - 2 X + X 2 ]
267. -i-aresen — ~
3
V2
266. i l n ( 3 x - l + > / 9 x ^ 6 x + 2 ) + C
+ C
268. C - 8-^5 + 2 x - x 2 - 3 aresen-^-pi
v6
269. ~2 ln (x
270. C - a/3 - 2 x - x 2 - 4 aresen-^-^
271. | ln(4x 2 - 4 x + 1 7 )+ i ardg-^r-i + C
272. 3>/x2 + 2 x + 2 - 41n(x + 1 + a/x + 2 x + 2 ) + C
+ 2 x + 2) + arctg (x + 1 ) + C
273. ln
[X
0¡
+ C
274. | ^ 9 x 2 + 6 x + 2 + ^ l n {3x + l + y ¡ 9 x ^ + 6 x ~ + 2 ) + C
275. C - ln |2 x 2 - 3 x + 1 1
276. -||arctg — ^ ■- - -^-ln ( 5 x 2 + 6 x + 18) + C
277. f i l n |8 x + 9 + 4 ^ 4 x 2 + 9 x + 1 j - | - ^ 4 x 2 + 9 x + l + C
278. W 3 x 2 - l l x + 2 + - l U n
3 V
279. ~ ^ 2 x 2 + 3 x
6x/3
A^ln (x +
X
+ f
11
x2-^ x +f
+ C
2 + 4^-) + C
280. y f { a - x ) ( x - b ) - {a - b)arctgj-^—~ + C
281. x a r c tg x - -i-ln (1 + x 2) + C
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La Antiderivada y la Integral Indefinida
283. - \ [ { oj2x 2 - 2) sen cox + 2 ojx eos cox] + C
Ü)
282. ~ s e n 2 x - ~ x co s2 x + C
®
^
284. € 2x ( i j X 3 - | -x 2 + j X - -|) + C
285. t g x • ln {cosx) + tg x - x + C
286. In |ln sen x | + C
287. \
288. ¿ (ln | t g ^ | + c o s 3 x ) + C
289. i l g ( J + ^ ) + C
290. C - l l n
—i —
291. i n - ^ - + C
2) + C
293. e e
8
292. 21n (e
2 - eos
2+e
294. \ e
2x
+C
ex+1
295.
2s£ t ^ + c os2x)
+C
[3 ln (x i ^1
296. x ~ y j l - x 2arcsenx + C
298. sL{\ _
1
‘
l. -+• X'
297. C - -- (—
sen x
+ c
+ c tg x )
299. ¿ ( t g x + ln |tgx|) + C
c
300. ln |sen x + eosx| + C
301. j \n tg{ f + f )
302. sec x - t g x + x + C
303. sen x - arctg sen x + C
304. V 2 1 n | tgf! + C
305. ln x • ln ln x - Inx + C 306.
307. C - I e _x 2 ( x 4 + 2 x 2 + 2 )
309. C - x ^
2^1^
310.
-a
308. ¿ (x ^ - 1)^/1 + 2 x ¿ + C
2
2)5 - ~
24x
-L + c
27x
+C
- ^aresen x
311. J - l - 2-{xl z l l + C
314.
X2 2
i/ (x
2 - a 2)3
+a
312,
4V x 2 - a 2
24x
m
+ c
+ a 5arcsen ■
—+C
313.
120x°
+ C
_ ln (4/^3 + ! ) ] + c
3
316. x + 4^/x + 1 + 41n (^/l + x - 1) + C
317. 2 arctg^/l + x + C
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Moisés Lázaro Carrión
319. - J x 2 + 2 x ln |x + 1 + < j x 2 + 2 x ¡ + C
318. ln
320.
C (Es conveniente la sustitución x = sen u
8 (1 - x ‘
321. - ^ a r c t g J f + C
322. C
324. 4-x a/x
+ 4 - ln (x " + J x
326. C - J-J-
j— - J-arcsenVx 3
327. C -
3x
4(1 + x
329. arcsene
330. 2 <Jex
8,2
(1 + X ° j
12 x
"
+ 4) + C
, 3arctg x
2x
tC
2\/l - x
325. ln
328.
-j----------- ----------
8(1 + x ‘
- a/1 - e
323. -
x -1
Vx +1
+c
(x ~ + 1) arctgx
2y[x + C
c
1 - 2aYctg*Jex - 1 + C
331. C —-i- ln 2 (1 + —) (sustituyendo u =
333. x árceos
1+
—
332. arctg x + — ---- ^ + C
a
X
3x
- V x - arctgVx + C
334. x ln(x + y[i + x 2 ) - yjl + x 2 + C
_3_3/+„ 5
335. 55
3x (5 tg
x + ll) + C
336. ^ ( t g 2x + 5 ) 7 t g x + C
3 . T IPO S PRINCIPALES DE LAS FUNCIONES INTEGRALES
Funciones fraccionarias racionales:
337. ln
339. ln
341. y
7 2 X + 1
+ C
(x - 3 )‘
338. íjrln [(x - 2 ) 2 .n/ 2 x + 1 ] + C
+ C
+ — + 4 x + ln
340. y i n |3x + 1 1+ y i n |2 x - 3 | 33
x (x - 2)"
(x + 2y
+ C
342. j x + ln|x| - ^ l n | 2 x - l | - ^ ln | 2 x + l| + C
16 ‘
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ln|xr| + C
La Antiderivada y la Integral Indefinida
343. ln |2x- 1| - 61n|2x-3| + 5 ln | 2 x - 5 ¡ + C
345. - V l n
2V3
347. in
+c
&
ln
2^3
■V3
6
i —T
353. 21n
350. x + i
^
3(x - 2 )
2(x - 2)
x +4
x+2
x 2 + 6x + 8
5x +12
f - ln ! x + 11
356.
-+
1
359 { l n
361. ln-
3
+c
354.
(x +1) (x
1i
369. { [ln
lx -11
+1)
a r c t g + C
364. ln
arctgx + C
366. { l n
>/3
- {a r c t g x + C
+ arctg x -
+ ln |x - 5 ¡ + C
(x - l)‘
362. U
n
1]n
365. - ^ ¿ + ln- l* - l|
+c
x +1
360. C ------ ^ — :
¿(x-¿)
V3
1*1
358. ¿ - f l n | x | + 201n|x-3| - { f l n | x - 2 | + C
-^t- H y + C
4 x 12 + x +1
2(x - 2) ‘
c
(x -l)‘
x —1
. ¿
+ O
+ -^ ln |x - 1 1+ {ln | x + 1 1+ C
1*1
,/x2 +1
367. 4-ln-
X
+ C.
+c
+ C
x-2
* =. Vi ■■ +
363.
352. i + i l n
4 (x -l)
1*1
X - 1
x +2
ln
+ ln I x - 2 I
3(x + 1 ) 1
4 (x -l)2
357. - L - +
x ( x - 2)J(x - l ) ( x +1)"
348. 41n j x ¡ ~ 3ln|x-~l|
+ ln |x + 1 1+ C
c
+c
x 2 ^l
346. 4^ + ln
x +1
x +1
349.
351.
x-V 2
x + \¡2
x 2 -2
344.
(*-1 )
r]
(x + 1)
i
2x + 5)
1 + X
1 —X
,
2x - 1
n
+ -4= arctg— — + C
| arctg
-irr'try —
X ~ ^ +l C
+ g
C
{ arctg x + C
368. {ln | x + l| - { l n ( x
+ C
370. ^ - - 2 x - f + 2 l n ( x z + 2 x + 2 )- 2 a r c t g (x + l ) + C
aw,4 «x
3^2
xV2
371. ln * ¿ + 4 + ^3 arctg
f - arctg
+ C
x ¿ +2
Sólo fines educativos - FreeLibros
2 + 1 )-
2~Jt T) + ^
Moisés Lázaro Camón
372.
—
1 |n x 2 + xV2 + 1 + ^2
—
L
4n/2
In
x 2 - x / 2+1
arctg c/2 + C (En el denom inador de la expresión inte-
4
w 1 -x*
grando sum ar y restar
373.
__________^
ln(x
2 -x
4 (x 2 + 2) ^
+ 2)
o
x
2
— i-7 =-arctq-r=- + C
2
4 + V2
V2
c
1 i „ /., 2
374. Y^ln |x |- —-ln (x £‘ + 1) + ^ l n ( x " + 4)
375.
13x -159
377. -------378.
07n
379.
384.
16
x -3
. ^
„„„
arctg - /p 4 + C
-
.. __ l in | x + 1 1+ l l n ( l + x 2 ) + C
r J
15x
36(x
+ 9)
+ 4 0 x ° + 33 x
------------ — -----+
48(1+ x 2) 3
48
648
- x
+ ln
x2+1
1
4- ln -\J.x
x 2(x 2 + 1)
386. f i n
x d +1
1
+ arctg x + C
1
x ¿ 4-2x 4-10
3
- - x+ 1
x
• 2x
2x4-5
8 ( x 2 + 4)
2 ( x 2 + 4 x 4 - 5)
392. ( —d x
'
194*
2
4
+ |x
4
1
5 '
2
+
X - 1
c
41n
2x + C
12x ¿ - 5x - 1
2(x3 - x 2)
c
18(x +1)
+
2
(x 2 +2x4-10)“
H-
X
4(x
+ 2x + 2 )‘
— arctg
x(3 - 2x 2*2
391.
8 /6
+c
■+ c
- arctg (x +
16
+ 1) ‘
2
2x"
383. C - 6 ln
390, C - — - t l ^ E 32 -^ .a rc tg x
8x(x
-
11
385. d — - - d ~o + \ • — — + 4-arctgx + C
(1 + X
x“ +1
+1)
3(x + l)
X + 1
388. d arctg (x + 1) +
389. C -
3(x
X -1
2 ln (x 2 + x + 1) 4-d r
+1 + C
3x
arctg
387- d s
380,
a
s
( X - I ) ( x 2 + 1)
3
arctg x -t- C
—+ 2_ arctg -2x+j.
3x
8 (x “ + 2x 4- 2}"
+ --------- 5- + -JL arctg f + C
4- 9)
±
. 6x J + 15x 2 + 18x 4- 8 ^ £
3 _ W v -x .1 \
376. - arctg (x + 1 )
216(x
381.
382.
+
8 (x 2 - 6x + 13)
24( x ¿ t- 4)
ln
2
)
3 - 7x - 2 x 2
2 (x 3 - x 2 - x + 1)
V3 4- x / 3
/ 3 —x / 2
+c
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+ ln-
- 1!
(x + l ) ‘
+c
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Algunas funciones irracionales:
393, In(l + %
10
) 10
10
5
31n(l + lxfx)
394, 2%/x - 3\/x - 8 \/x + 6\/x + 4 8 +
33L-./6r :
12/77 , r »
-ln(\/x -
395. 8
Jx + 1 - J 1 -
398. in
d
388. 6 d (l + x
■i|
399, ín —
/ 4
y ti
4' U
2
171
-■+-2 ) ....^
¿(x + l )2 - l ( x
X
16
arctg
2 %
-1
+ l )3 +-i(x
+ l) 6
ÍT
2 are'c t3 y u ,
C
**}2
C
"31^3 ~ 2f x ~2
C
7X
i+ x
/x arctg
C
(x + 1) + -p{x + 1)6 -
\{x + 1) : + c
397. (V x - 2)x/l - x - arcsenVx + C
+i U c
f C , donde u = 3
-8
1 4- X
+ C , Multiplicar el numerador y el denom inador de la fracción por
400.
f T - 1, y sacar los multiplicadores fuera del signo de radical.
401. f x V x + f f - x v x 5 + f | x 2^ / x + | x
402. 3 in
3,C
242 + 3 1
2(1 +
r X 3f
~ x
2v x ^
+C
+ C
403. i l n ( f x " + l - l ) - | l n [ ^ ( x
404. 1 3
2 a/x +
2 + 1 )2
+ 4 x 2 + 1 + 1] + ^
arctg
406. | l n ^1 + x4 +x - f1 arctg
4/1
+c
■+ C
jx d +1
407.
4-ln a / l I í l I i Í _
408. f ( 4 ^ + x[x - 3) ^¡ 1 + x¡x + C
6u +
_ _ _ _ _
3^5
~ ± M + X á) ü + C
405. 4in ---+-uí .i---- 1 arctg — ¿-1- + C , donde u
43
(u -l)‘
409.
' 3/x 2 + 1 + 1
21n -jd!—L = - 2x/3 arctg -—, ! 1 + C , donde u = \/l + V x
y u2 + u + 1
43
Sólo fines educativos - FreeLibros
-+ c
Moisés Lázaro Carrión
410.
ah
411.
^
n
l
-
+ -^ a rc tg
*3
+ C , donde u = \fl + x
11+ x
1
*. 2 $ l 7 ^
C — ------ + -f--arctg-J— f=x
412. C
413.
n
\ju2 + u + 1
V3
1
3'1! + x 3) 2 + x ^ l + x ú + x ‘
l+ * ‘
1
2 V
1+x
u+ 1
i
. 2u - 1
l —X'
l i n ___—
= = • — 1 arctg
a r c—t ¡=g + C , donde u = 3i
y
2(u 3 +1)
414. 12
lln
xV3
10
5
6
u+ i
+ C , donde u = 1 + x/x
10
13
S
2V3
Funciones trigonométricas:
415. ^ - c o s 3 x (3 c o s 2 x ~ 5 ) + C
416.-— K,--------— - + C
417. l n l t g x l
418. t g x + - j s e n 2 x - - f x + C
15
1
1
^ - +C
2 sen x
3 eos x
cosx
4
2
419. - i{t g 2x - c t g 2x ) + 21n |tg x |+ C
4 2 a (tg V l ) ( l g 4x t 10tg2x-^l)+ c
3 tg x
421. .....1
+ C
co s x -1
422. l c t g | - l c t g 3 | + C
423. ^ - x + ^ -s e n 2 x | c o s 4 x + y-cos 2 x + yy j + C
4x - y t g 3x
424. x - y - c t g 3x + c tg x + C
425. j t g
426. x - y c t g 7x + | -c tg 5x - - | c t g 3x + c t g x + C
427. C — -c-s| - +yln | tg| -|
428. -|-lnl 't--!-- 1+ 4 s e n x e o s x + C
429. C - y - 4 —
430. ^f-ln
431. -J— 1---- ln t g —
4
432.
196
1-tg x
yjcos2 x
2
+C
- ln|cosx| + C
1 + tgx
x + arctg-2-
Ja2 + b 2
433.
ln
y l - 4 sen2
Sólo fines educativos - FreeLibros
o -^
+c
La Antiderivada y la Integral Indefinida
434. y [ x + ln |sen x + c o s x |] + C
9
435. y arctg {2. tg-|j + C
5tg-- + 4
436. - a r c t g — |-----h C
437. ln (2 + eos x ) +
arctg |~|=- tg -|j + C
. 00 eosx(eosx - senx)
i ,
¡
.
^
438. ----- -— ^-------- 1- y in I eo sx - sen x j + C
431 é * - ¿ H * x+2l+5iifr 2T-éNcosxl + c
„ ,n cos2x - 15
4
4sen2x +1
--aresen 4 + sen2x
x—
440. j r p
— +■
15(4 + sen2x) \5-Jl5
441. — l---- f C
2 - tg-,
444. i
tg x -f ^
^
+C
442, y arctg (3 tg x) + C
443. -j=- arctg (x/2tg x ) + C
arctg (V2íg x) + C
445. ~V
nh arctg
ab
448. C - - ¿ c tg x + 4 * arctg %
447. ln
42
V2
448. 2 (s e n | --c o s | -j + C
|?/tgx-í'
t g ¿x + tgx + 1
b
b
+C
- — arctg-
2 tg x +1
°
^3
C
para los valores de x que satisfacen la desigualdad
sen-| + eos — > 0 , y -2 ^ se n | -- eos-y} + C para los valores de x que satisfacen
la desigualdad sen-| + cos-| <
0
4 /2
449. 2^/tgx + C
450. C - - — --^ctg Jx (Poner u = ctg x
451. 4 4 / tg x + C
452.- ^ ln (V 2 t g x + ^Jl + 2 tg ^ x ) + C
453. 2arcsen yQen x
V2
C
454. C - y tg x (2 + tg 2x)a/4 - ctg 2x
456.
455.
1 + ./COSt
JcO Sj
+ 2arctgJcos-| - ln — ^ = 2. + c
V
1 - Jcos-|
jL [ln (sen x + eos x - ■
sj s e n 2 x ) + arcsen(sen x - eos x )] + C
Funciones hiperbólicas:
457.
sh x + C
458.
460.
x +C
461.
ch x + C
459.
th x + C
7j-sh2ox + C
462.
■ fh x jch x-x+ C
¿a
Sólo fines educativos - FreeLibros
Moisés Lázaro Carrión
464. x - cth x + C
483. x —th x + C
465. ~ ch ° x - ch x + C
466. sh x + I s h 3x + C
467. x - th x - ft th ° x + C
468. ~sh 3x + 'f sh 5x + C
489. ln |sh x ¡
470. ln ¡ thx |+-C
472.
o
5
471. inith-hi + C
1t gthx
473. "fin
- arctgy th x + C
2 |l-~,Jthx¡
girvh
¿
c
474. x t h x
hcíh ¿ x - --^crh ‘hx : C
h í i i 2 h"-i
o
:.h.
C
in ch x 1 C
475. C - ~ £
3shJx
Funciones racionales de: x y \jax
476. ln —
-f fax + c
477. ~ árceos -
lyjx 2 + X + 1
V2 ,
479. C - ~ l n
V2
478. aresen-
1
~r 2\¡2
480. ln ! x +1 + ^Í2x + x ^
3 + 3x
481. C - - U n
S
+C
V2x + x
x + l)
x -1
482. C - - 4 = in
x + 6 + x60 x - 15x ‘
V I5
483. \ (x - 1) V e 2 - 2x - 1 - ln ¡ x - 1 + V x 2 - 2 x - 1 1+ C
484. 1 ( x -
- 3 x + 1 + - ~ = ln V 3 x ^ - 3 x + l + ^ . ( 2 x - 1 )
sVs
jv 3x
2/
A
485.¿ (x + 2 h/T 4 x - x
486. C -
198
2{2x - 1 -
2
x +1
r
X+2]
+ o aresen -
fs J
C
■|ln ¡ 2 x - 1 - 2 \¡x 2 - x + l + |21n|x - V x 2 - x + 1 j
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderívada y la Integral Indefinida,
x + -Jx " + 1
487. ln
I + X '
J
488.
4 1 +. yjx 1
+ in (x
X-
' '
-
H2
'
‘
' ■
14,
'
.
' >¡ •*
2x r 2 i + O
.
!
■
.
•
> ’
492, ( x " - 5 x - 2 0 )7 x
+ 4x + 5
1
*•’
‘
495. { 4 x 'J
Áx
2+~
x
+2
‘
! + 2 x“
t
'
i + 2 )4 -0
v *
x " -t- 4 x + 7 + 4 r
2 \+ C
4 *
(x •+• 2 + y x 2 4 4 x
5) -¡- C
o
+■ln(x -x -\jx^ + 1 )-i- (".
x¡2 .-2 x :
- 2x
488, : k E l
.
l a. arccos •— r 4-C
s )i
8íx 4 m
497.
,
<.
1
X-4X,X-X;>
2
15 ín (x + 2 \/>c ¿ + 4 x + 5 ) + C
1
+2' ■
496, ^
■-I-c
I
i- 4
3'arctg 2 2
499. ln 1 2 4 2
Jx2-
+ 2x i- 4)
x+1
+c
Diversas funciones:
590. C - — 4
8( x - l ) °
501, X x
2
x
1
.
3
,
3(x- l'L
2 - 1)3 ] x C
503- 2 x a rc,s( e " ' 2 7 ) + c
10( x- l ) lü
_L
l l ( x - l ) TI
502.
3(4x -■3a)%(a 28
504. 4. arasen x
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X
■+ C
T2
Vi
x
+C
Moisés Lázaro Carrión
505. 4 - 2 x + i i n ^ l ^ f í + C
506. ~ l n
|x + l|;
K-------- 3_ jj-. x —1
507. -§ arctg x
16 m x + 1
4 (x 4 -1 )
+c
1 + X
1 - X
+ -i-arctg x + C
508. 2 a/x + 1 [ln |x + 2| - 2 ] + C
509. (-jjj-x + | -)cos2 x + l j x 2 + ~ x + ~ )s e n 2 x + C 510. x 2c h x - 2 xsh x + 2 c h x + C
511. x a rc tg (l + V x )-\ G c + ln |x + 2 V x + 2 ¡ + C
512. ln
1 - J l - X ‘
•+ C
513. 3 e ^ { \ [ x ^ ~ 2 $ [ x + 2) + C
514. 3 e ^
- 5
515. e 3x { ~ x 3 - x
517.
+ 12oVx -1 2 0 ) + C
+ 20x- 6 0 ^
2 + -|x + ^ - j
+C
516. 2(sen>/x - -s/xeos>/x) + C
+ ^-arctgVx - 1 + C
4
4x
518. 2 ¿ + ^ V x 2 - l - i l n [ x + V x 2 - 1 | + C
519. ln(x + j T+~ x ) 2
520. ( | x
3-fx
W x
2 + l+ fln (x
521. 3[ln|u| - ln (l + > / l-u
522.
15x
;
524. ^
15
+ # ln
°
Z +Z+1
y/T77i
3x3
x
+ V x 2 +1) + C
V íT Í + i
- \/3 arctg
+c
2z + 11
x/3
8sen¿|
527.
b sen2a
ln
sen(a - x)
sen (a + x)
+c
) - aresen u ] + C , donde u = \/x
+ x -1
i5<
+ 5 x -2
2 ¿ ----
4x Jl + x
jn + x ¥
5x5
523.
529. j ^ + C
lnx
200
3) - |
x
ln
y¡2x + 1-1
yj2x + 1+1
C , donde z = x '
526. -^ a rc tg ^ ¿ - + C
+ C , donde a = árceos £ , si a 2 < b 2 ;
- — a r ^c c otn grv + C >, donde a = á r c e o sn - ', si a 2 >
528. -|-x2 ln (l + x
C - J jE íll. +
X
2 + ¿ ln (x 2 - x
2
+ l)- i- ln (x + l) + ^ a r c t g - ^ = i + C
530. arctg yj.x 2 - l
Sólo fines educativos - FreeLibros
lnx
i x^-1
+c
La Antiderivada y la Integral Indefinida
531. d e x [(x
2 *9 x - 3
3 . ¡iny-
- l)c o s x + ( x - 1 )
c
sen x ] + C
532.
■+ C
534. Jjr(tg 4x - ctg 4x ) + 2(tg 2x - c tg 2x ) +
535. a r d g (tg xx ) + C.
6 ln |tg x
|+ C
536. Inj 1 + t g d l- f C
537. arctg -=J§iL===- + Sn(y 2 + tg Xx + tg x + C
\ 2 + tq 2x
538, ln—
540.
1 + X
itiíi+ n d
+C
542. I h l l C
6
v2
ll„
544. din
4
x + 6 + \/60x - 15x"
539. C - - p i n
2x -
vi 5
541. 2 x V l + e x - 4 V l + e x
araS
|x + l¡
arctgx
i
^ / T l
2(1+ x ) 2
4(x + l)
545. x - lo g 2 11 - 2 X j + 1
Sn2
1
1- 2X
+1
arctg x
543. C
6x ‘
3x J
,/l + e
C
arctg x
2(1 + x )
4(1 + x ‘
+c
+•
1
2(1 - 2 ;
546. arctg (e x - e ~ x ) + C
1
+C
3(1 - 2 ;
547. ln
1+ e x - 41 + e x" -i- e ‘
c
r>¿X
1 e + J1+ e X +, e
548. x - -Jd arctg d/d+Ei + C
549.
sen 4 x + ~ s e n 32 x + j ^ - s e n 8 x + C
x - ~ sen 2 x +
550. | x
¿
2 + | ln (l
¿
+ x x) + -
2 v2
(1+ xz)
552. C a r c t g ( v / 2 c t g 2 x )
554.
c
551.
49 (x-5 )-
x- 5
27
30
+, /Hrln
48(x + 2)
343
x+2
+c
553. x t g f + C
árceos-qr~~ + C (Dividir el numerador y el denom inador por x
+1
la sustitución x + ~ = z ) .
X
555. e senx(x - s e c x ) + C
Sólo fines educativos - FreeLibros
2
y realizar
Moisés Lázaro Carrión
M é to d o s para calcu lar in teg ra le s d e fin id a s in te g ra le s Im p ro p ia s
1.
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN EXACTA
Aplicación directa de la fórmula de Newton-Leibniz:
556. - § (4 8
1)
557.
559. 7 {
558. ..5 (^ 1 6 - 1 )
580. {
e
o
s
561.12
562. 0 , 2 ( e - l )5
563. 3 f n ^
564. {
565. f
566. 1 + { l g e
567. e - / e
2
‘
1.2
6n
571. l n f
570. 4
572. 0 ,2 1 n {
¿
573, a rc tq x §
O
°
574. § ln f-
575.
f
576.2
577. §
578.
•§
579. ¿
581. - + 1- - a + U ~ ~ c i ^ a
580. -0,083...
582.1
583. - V 2 / 3
585.7r/2 — 1
586. - 4 4 ^ x 4 , + i
588. 2
5
8
9
.
584. 1 - 2/e
587.
1
592.
594 al — '
' 15 ,
bl 1' 5,3,1 . rc ~ fi A?Q •
o; 8.6.4.2
j._ n -
t'm,n
1
r
m+ na m,n-2
593. 6 - 2 e
__ m ~ 1 r
m+ n
Si rt es impar, se tiene: J l
si m es impar, se tiene: J
’n
-
m’ n
si m es par y n es par, se tiene:
1
nnn
y
1
’
tcj -- 6 rc
590.
591. ^
kqc
/
r ) 10-8 ■6 •4 •2 __ 256
cj n . 9. 7 . 5.3
693
2,n
(n —l)(n-3)...4-2
(m + n)(M + n - 2)...(m + 3)(m + 1) ’
(m - l)(rn - 3)...4 •2
(m + n)(m + n - 2)...(n + 3)(n + 1) ’
r
m>n
=
(n ~ 1)(n - 3)....3 ■1 •(m - l)(m ~ 3)...3 •1
1-(m
7—+ n)(m
w ----- ^ ----------------„
+ n - 2)(m + n - 4)....4 •2
Sólo fines educativos - FreeLibros
La Antiderivada y la Integral Indefinida
1 /i
596. ( - l ) nn!
I
e\nl ' (n - 1 )!
4-
-4-
1!
5 71
4“ "I
64
598.
599.
. Poner x = sen z y aplicar el resultado del ejercicio
(p + q + 1)!
Cambio de variable en la integral definida:
600. 7 + 2 ln 2
601.
2
602. —
- f
604.
21 n 2
603. §
605. 8 + ^ - n
1 + V2
2
606. —r i i . Poniendo x = 2z transformarnos la integral dada en 2 j sen 6z dx
. Poner x
607.
608. ^
609. y ¡ 2— ^ + l n ^ |
V3
610. ^
1 + V2
15
611. x/S ——
612.
614. f 6
615.
617. | §
618. f
( ir n ^
8)
4- ln(2 - %/3)
613.
616. f
619. arctg 1
2
R2Í1 2¡E. 4- K'fc
WU* 27 + ^ T
Distintos problemas:
621.
y
622. 2 1 n | « 0,365
623.
625. Para a = e
626. ^ln
b
624. 2 + In -rr—
+1
628. 81n3-151n2 + ¿2-
ti
2
¿
5
629. ^ ( 5
Sólo fines educativos - FreeLibros
+ 7
^
)
Moisés Lázaro Carñón
630. fO
631. a 2 [ V 2 - l n ( V 2 + l ) ]
632. V 3 - l l n ( 2 + V 3)
633.
634. 4
635. ln
105
ti
v5
640. 1Ó7
24
3
-v'E
2^3
642. .2 . 2 ln
- b‘
643.
644. x = 2
645. x = ln4
647.
7 + 2y7
638.
637. U=-arctg-fl
636. f4 - l¿
639. “ g- - 3 ti '
-
646.
4 - 2 x <f' q u e
Utilizar las relaciones 4 - x “ > 4
son validas para
0 < x <1
648. Utilizar las desigualdades V"1 ~ x “ - r/1 - x ¿" < 1 , donde - 1 < x < 1 v n
649. 1,098 < / < 1,110
650. Para evaluar la integral por abajo, utilizar la desigualdad 1 + x
4 < (!
+x V
,y
para evaluar por arriba, emplear la desigualdad de Cauchy - Buniakovski.
651. 1(1) ^ 1,66 es el valor máximo,
-0,11 es el valor mínimo.
652. El mínimo existe para x = l(y = -1 7 / 1 2 ), los puntos de inflexión son (2. -4 / 3 )
y (4/3,-112/81).
653.
654.
655.
656.
657. a) Sustituir la variable de la integración de acuerdo con la formula i
- x , divi­
dir el intervalo [a, - x] teniendo en cuenta que la integral de una función impar
sobre el intervalo [--a, a] es igual a cero.
b)
No, si a x 0 ; si, si a = 0
658. Poner t = I j z
659.
660.
661.
663.
Cada una de las integrales es igual a /t /4
664.
Poner x = n - z . La integral es igual a n /4
Sólo fines educativos - FreeLibros
662.
665.
La Antiderivada y la Integral Indefinida
EJE R C IC IO S D IV ERSO S 1 ;
666.
Un acuario tiene 5 pies de longitud, 2 de ancho y 3 de profundidad y está Heno
de agua. Calcule (a) la presión hidrostática sobre el fondo del acuario; (b) la
fuerza hidrostática sobre el fondo; íc) la fuerza hidrostática sobre un extremo.
Los tanques de almacenamiento que están a la derecha tienen extremos vertica­
les con la forma exhibidas en las figuras y están llenos de agua. Explique cóm o se
aproxima la fuerza hidrostática sobre un extremo del tanque con una suma de
Rlemann, Luego exprese la fuerza com o una integral de Riemann y evaíúeta.
667.
669.
668
■lOni-
I2 pies
.
670.
671. Un canalón se llena con un liquido cuya densidad es 840kg /rn . Los extremos
del canalón son triángulos equiláteros de 8m de lado y vértice hacia abajo.
Calcule la fuerza hidrostática sobre uno de los extremos del canalón.
672. Un cubo de 20cm de lado está en el fondo de un acuario en que hay lm de
agua. Calcules la fuerza hidrostática sobre (a) la cara superior del cubo y (b)
uno de los lados verticales.
673. Una alberca mide 20 pies de ancho por 40 de largo y su fondo es un plano in­
dinado; el extremo bajo tiene 3 pies de profundidad, y el hondo, 9 pies. Calcu­
le la fuerza hidrostática sobre (a) el extremo bajo; (b) el extremo hondo: (c) uno
de los lados, y (d) el fondo de la alberca.
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Moisés Lázaro Carrión
cb
674. Emplee la fórmula F = I
Ja
pgxw{x)dx
para demostrar que:
F = (pgx)A ,
donde x es la abscisa del centroide de la placa y A es su área. La ecuación indi­
ca que la fuerza hidrostática contra una región vertical plana es igual a la que se
presentaría si la región estuviera horizontal y a la profundidad de su centroide.
675. Se colocan las masas m¡ en los puntos P ¡ . Halle los momentos M x y M y y el
centro de masa del sistema: m1 = 4 ; m2 = & ; P i ( - 1,2) ; P 2 (2,4 )
♦
Dibuje la región limitada por las curvas y estime visualmente la posición del cen­
troide. Luego, encuentre las coordenadas exactas del centroide.
676. y = x 2 , y = 0 , x = 2
677. y = e x , y = 0 , x = 0 , x = 1
♦
Halle el centroide de la región limitada por las curvas:
678. y = s e n 2 x , y = 0 , x = 0 , x ~ n / 2
679. y = senx , y = eos x , x = 0 ,
x
= tt/4
680. Halle el centroide de la región limitada por las curvas: x = 5 - y 2 , x = 0
♦
Calcule los momentos M x y M y , y el centroide de masa de una lámina con la
densidad y forma indicadas.
681. p = l
■\—1
682. Halle el centroide de la región limitada por
las curvas y =
/\
\
<1
y y = x
o
,
0<
x <
2
, has­
ta el tercer decimal. Dibuje la región y mar­
que el centroide para ver si su respuesta es
razonable.
/
-1
2
.
1
X
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La Antiderivada y la Integral Indefinida
683. Demuestre que el centroide de cualquier triángulo está en el punto de intersec­
ción de sus medianas. [SUGERENCIAS: coloque los ejes de m odo que los vérti­
ces estén en (a ,0 ), ( 0 ,b ), y (c, 0 ). Recuerde que una mediana es el segmento
de la recta que va de un vértice al punto m edio del lado opuesto. También, re­
cuerde que las medianas se intersecan en un punto que está a dos tercios de: la
longitud de la mediana, partiendo de los vértices).
♦
Halle el lugar del centroide de la región que muestra cada figura, no por integra­
ción, sino localizando los centroides de los rectángulos y los triángulos (de
acuerdo con el resultado del Ejer, 683) y aplicando la aditividad de los m om en­
tos.
685. Un cono de altura h y radio de la base r.
686. Demuestre las ecuaciones:
í
Ja
i
i
* [/ (* )■ S ( x ) ] d x
i
687. La función de costo marginal C ’(x ) se definió com o la derivada de la función
de costo. Si el costo marginal para fabricar x unidades de un producto es
C' { x) = 0 .0 0 6 x2 - 15x +
8
(en dólares por unidad) y el costo fijo de arranque es
C (0) - $1,500,000, dólares, aplique el teorem a del cambio total para hallar el
costo de producción de las primeras
688.
2000 unidades.
El costo marginal de producción de x unidades de cierto producto es
74 + l . l x - 0.002x 2 + 0.0 0004x3 (en dólares por unidad). Encuentre el aumen­
to de costo si el nivel de producción se eleva de
1200
689. Se da una curva de dem anda por p = 450/(x +
sumidor cuando el precio de venta es de
10
8 ).
unidades a 1600.
Halle el superávit del con ­
dólares.
690. Una curva de oferta está representada por p = 5 -jL-n/x . Calcule el excedente
de productor cuando el precio de venta es $ 10 .
691. Una
compañía
P = -8°°$(y>2d ooo—
m odela
la
curva
de
demanda
para
un producto
con
use una gráfica para estimar el nivel de ventas cuando el precio
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Moisés Lázaro Carrión
de venta es $16, Luego, encuentre aproximadamente el excedente de los con­
sumidores para este nivel de ventas.
692. Si el capital que tiene una empresa en el momento t es f { t ) , entonces la deri­
vada,
se llama flujo neto de inversión. Si el flujo neto de inversión es de
■nJt millones de dólares anuales (t representa números de años), calcule el au­
mento de capital {la formación de capital) desde el cuarto hasta el octavo año.
693. Aplique la ley de Poiseuille para calcular el flujo en una artería humana normal,
en
donde
podem os
suponer que
77= 0.027,
R = O.OOScm ,
/ = 2 cm , y
P = 4000dinas / cm 2 .
694. Se em plea el m étodo de dilución de colorante al fin de medir el trabajo cardia­
co, con 8mg de colorante. Las concentraciones del mismo, en m g / /, están ex­
presadas por c(t) - y ¿(12 - 1) , 0 < t < 12 , donde t se da en segundos. Determine
el trabajo cardiaco.
Respuestas:
666. (a) 187.5 lb/ft2
667. 6 .5 x lO ó N
670. 10005 7ir3N
(b) 1875 Ib
688. 1 .5 6 x l0 3lb
(b) 353N
673. (a) 5 .6 3 x lO 3Ib
674.
(b) 5 .0 6 x 104 lb
678.
(7r/4,Ji/8)
680.
(2, 0)
683.
686
.
687. $14,516,000
690. $4166.67
689. 3 . 4 7 x l 0 4 lb
671. 5.27 x 105iV
672. (a) 3 1 4 N
675.40, 12, ( l , ^ )
(c) 562.5 Ib
(c) 4 . 8 8 x l 0 4 lb
676.(1.5, 1.2)
(d) 3 .0 3 x 105ib
677. (l/ (e - 1 ), (e + 1)/4)
679. (( 71V 2 -4)/[4(>/2 - 1 )], l/[4(>/2 - 1 )])
681. j , 0, ( 0 , | )
682. (0.781,1.330)
684. (O i )
685. j n r 2h
688. $43,866,933.33
691.3727 ; $37,753
689. $407.25
692.
16(2-\/2 - 1)/3 « $9.75 millones
694.
¿L / s
693. 1 .1 9 x l0 ~ 4 cm 3 /s
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La Antiderivada y la Integral Indefinida
EJE R C IC IO S D IV E R S O S 2:
895.
La función de costo marginal C '( x ) se definió com o la d.'-m.U
d on de costo. Sí el costo marginal para fabricar x: unida L
.> '
J
es:
C' { x) = 0 .0 06xz' - l,5 x + 8 (en dólares por unidad) y el costo fijo de arran­
que es C (0 ) = $1,500,000 . dóim"~
hallar el costo de producción de
898.
El costo
' ,:que ei teorem a del cam bo total para
eras 2000 unidades.
marginal de producción de •x unidades de cierto producto
74 + l . l x - 0,G02x2 + 0.00004x °
(en dólares por-unidad).
es
Encuentre el
aumento de costo si el nivel de producción se eleva de 1.200 unidades a
1600.
897.
Se da una curva de dem anda por p = 450 / (x + 8 ). Halle el superávit del
consumidor cuando el precio de venta es de 10 dólares.
898.
Una curva de oferta está representada por p
Calcule el exce­
dente de productor cuando el precio de venta es $10.
899.
Una compañía m odela la curva de demanda para un producto con
_ 800,000e x"'5000
P ~~ ' x + 20 ,000 “ "
use una gráfica para estimar el nivel de ventas cuando el precio de venta es
$16. Luego, encuentre aproximadamente el excedente de los consumidores
para este nivel de ventas.
700.
Si el capital que tiene una empresa en el momento t es f ( t ), entonces la d e ­
rivada, f ' { t ) , se llama flujo neto de inversión. Si el flujo neto de inversión es
de yft millones de dólares anuales (í representa número de años), calcule el
aumento de capital (la función de capital) desde el cuarto hasta el octavo
año.
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Moisés Lázaro Carrión
701.
Aplique la ley de Poiseuille para calcular el flujo en una arteria humana nor­
mal, en donde podem os suponer que rj - 0.027 , R = 0.008 cm , / = 2 c m , y
P = 4000 dinas/cm2 .
702.
Se em plea el m étodo de dilución de colorante a fin de medir el trabajo car­
diaco, con 8 m g de colorante. Las concentraciones del mismo, en mg/1, están
expresadas por c(t) = j t { 12 - t ) , 0 < t < 12 , donde t se da en segundos. D e­
termine el trabajo cardiaco.
Respuestas:
695.
$14,516,000
696.
$43,866,933.33
697.
$407.25
698.
$4166.67
699.
3727 ; $37,753
700.
16(24 2 - 1 ) / 3 * $9,75 millones
701.
1.19 x 10~4 cm 3/s
702.
i LVs
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CAPITULO 2
APLICACIONES
DELA
INTEGRAL DEFINIDA
1. Area de las reg io n es planas en gooroenadas :
CARTESIANAS, PARAMlTRICAS Y POLARES
1.1 Area en co o rden ad as ca r te sia n a s
Para hallar el área de una región R es necesario conocer las funciones que
acotan y los límites de integración.
Las integrales a calcularse pueden ser con respecto a “x ” o con respecto a “ y
este criterio dependerá de la forma que tenga la región.
Podem os resumir 4 casos:
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Moisés Lázaro Carrión
1
La región R es:
R = { (x, y)/0 < y < f ( x ) , a < x < b :
f
2 | ) región R es:
R - { (x, y)/0 < x < f ( x ) , c < y <
df
r-/(x)
dy;
I i i
dx
dA = y • dx=> A = I
Ja
b
y • dx , y = /(x)
dA = x • dy
A-
La función / : [a, b] -> JR es continua en
[a,b]
x = /(y)
x • dy
y f(x) > 0 , V x e [a, b] .
La regla R es:
R. ■- {(x,y)/g(x) < /(x) , a < x < b )
La región R es:
R = í (x. y)/s(y) ^ / (y ), c < y < d •
/.z:
-/(y)
dA = [/(y) - g(y)]dy
A=
[f(x)~ g(x)]dx
A-
í
[/ (y)-g (y)]d y
En el cuadro tener en cuenta las siguientes notaciones:
En el C aso I:
La notación
dA = y • dx
indica: el diferencial del área del rectángulo es igual al
producto de su altura “y ”
multiplicado por su
base dx
- base del rectángulo
altura del rectángulo
—diferencial de área (rectángulo elemental)
donde:
y ■- f { x ) es una función definida en el intervalo cerrado [a,b] y es continua en [a,b]
Geométricamente y = f ( x ) es una curva o recta con dominio [a,b].
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Aplicaciones de la Integral Definida
Sí integramos la ecuación diferencial dA = y • dx desde “ a” hasta u5!'
y -f
f
obtenemos:
u • dx
i4
dA :
es ei diferencial de are a,
dx :
es el diferencial de x.
Calcular el área de la región R limitado por las gráficas de:
E je m p lo 1.
y -
, 5 i x i - 5 v - 9 -- 0
S olu ción :
[ jf jjá i]
Graficar la región R.
4x
x >0
1 + x2
-4x
x <0
1+ x2
5 x - 5y - 9 = 0 , x > 0
5 ¡x [ - 5 y + 9 = 0
- 5 x - 5y - 9 = 0 , x < 0
El valor absoluto que aparece en cada función subdivlde la fundón.
Debemos graficar cada función:
a)
Gráfico de /(\) = - - - - -
.
x x 0
Derivar, para averiguar si tiene máximos o mínimos:
/ '(* ) =
(1 -i- x2) (4) - 4x{2 x )
{i + x d
0 -c> x ó 1
■4:.v-
i.
(1 + x 2 ) 2
/' + 0
a
f- i x x <
x > 0 *í= > x = 1
1
a
x > 0]
/’ : 0 -o [(x < - 1 v x o 1) /\ x > 0]
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y y x <1
x > 1
Moisés Lázaro Carríón
c)
Visto en un diagrama:
Gráfico de:
5 x -5 y -9 = 0 , x > 0
3 niax
f> 0
/'< 0
creciente
decreciente
máx (/) = /(1) = 2
X
Gráfico de
g (x )
-4 x
1 + x2
1
9
5
y
4
5
h(x) = y = x ■
d) Gráfico de:
-5 x -5 y - 9 = 0, x < 0
mín (/) = /(O) = 0
b)
0
, x < 0 se
opera de manera similar, obtenién­
X
y
0
9
5
1
4
5
J (x ) = y = ~ x - |
dose:
m áx (/) = / ( - l ) = 2
mín (/) = /(O) = 0
Nota:
El gráfico de la región R nos permite 4 cosas básicas:
a)
Nos permite ver la disposición de las funciones que son fronteras de la re­
gión. En este problema tenemos:
01/1
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Aplicaciones de la Integral Definida
Fronteras superiores
Fronteras inferiores
b) nos permite intuir cóm o se podrá INTEGRAR. Si la región se barre vertical­
mente se integra respecto a x; pero si se barre horizontalmente, se integra
respecto a y. La elección de una u otra forma dependerá de la disposición de
las funciones frontera.
En este problema se integra con respecto a x, porque es más sencillo “barrer”
verticalmente.
c) nos permite intuir los límites de integración. En este problema los límites de
integración son: x = - 3 , x = 0 , x = 3.
d) nos permite visualizar si la región es simétrica con respecto al eje “y” o con
respecto al eje “x ” . Cuando la región es simétrica con respecto a uno de los
ejes coordenados, bastará hallar el área de la mitad de la región para luego
ser duplicado.
En este problema, la región R es simétrica con respecto al eje Y.
Paso 2 |
Hallar los límites de integración.
Los límites de integración se hallan resolviendo sistemas de dos ecuaciones con
dos incógnitas.
En este problema se debe resolver los sistemas:
y
-4 x
4x
y = 1+
l + x2
y = x -f
y = -x
Las soluciones son:
Las soluciones son:
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Moisés Lázaro Carrión
P a s o 3j
Cálculo del área por integrales definidas.
Porque la región es simétrica con respecto al eje Y, bastará calcular
el área de la mitad de la región.
C om o R ■---
u R? y
Id •= R 2 , entonces:
Á rea de R = 2 (área i?2 ) * —
dos veces el área ele R<¿
El área de R.~> es:
A
<^2)=r
Jo
[f(x )-h {x )]d x
| íjÍX,-/:Udd;-.
Jo
1 t 'm -i'-íij''i - 4 •
I
Luego:
Ejemplo 2.
I.n (l i- x 2 ) - - y i | x
1"2 Ln 10 4
A IR'- --- 2
i-4g( 3 ) ]
| '2 L n l - O i O ¡ = 2 L n 1 0 ¡ ^
2Ln 10 + Á l ¡ - ( 4 LnlO - dQ );
)u¿
Hallar el área de la región S limitada por las gráficas:
y = (x - 2)2/3 + 1
S:
x - 6y + 36 = 0
4 x + 3y - 1 8 = 0
Solución:
1. Graficar la región S.
2. Hallar ios límites de integración.
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Aplicaciones de la Integral Definida
Gráfico:
f y = ( x - 2 ) 2/3 + 1
Resolver los sistemas:
x - ó y + 36 = 0
x - 6y + 36 =■ 0
L4 x + 3 y - 1 8 = 0
1 ^ (X ' 2)2/3 J l
¡ 4 x + 3y - 1 8 = 0
3.
>
A = (-6 ,5 )
>
B = (0.6)
C = (3,2)
¿Cóm o integramos?, ¿con respecto a x o con respecto a y?. Eso dependerá de la
disposición de las funciones - frontera.
En este problema, la disposición de las funciones - frontera están dadas para in­
tegrar con respecto a x .
Nota:
Antes de integrar conviene dar una mirada a la región S para tom ar decisio­
nes sobre tres aspectos muy importantes:
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Moisés Lázaro Carrión
a) ¿De dónde a dónde se va a integrar para hallar el área de la región S ?
b) ¿El área de la región S se calculará con una sola integral o con varias integraIes?
c)
Al ubicarse en un punto interior de la región S, ¿qué funciones frontera
están hacia arriba y hacia abajo?
Estas tres preguntas usted debe plantearse para hallar el área de una región cu­
yas fronteras son ecuaciones cartesianas en dos variables (x ,y ) .
Respondamos las tres preguntas para el presente problema:
a) Se integrará desde x =
6 hasta x = 3 .
b) El área de S, no se podrá calcular con una sola integral. ¿Por qué?
Para responder está pregunta sugiero al lector hacer mentalmente lo siguiente :
Tom e una RECTA VERTICAL y recorra verticalmente desde x -- 6 (que es el princi­
pio de la región S) barriendo la región hasta x = 3 (que es el final de la región S).
A medida que va recorriendo verticalmente, va mirando la función frontera de
arriba y de abajo. Si usted encuentra en este recorrido una “esquina” o un cam­
bio de función, entonces trace una vertical, la cual definirá una nueva subregión.
Del número de subregiones, dependerá las veces que se van a integrar.
En el presente problema hay tres subregiones: S j , S 2 y S 3 .
La región S 1 es barrida desde el vértice A hasta el vértice B.
La región S 2 es barrida desde el vértice B hasta el vértice D.
La región S 3 es barrida desde el vértice D hasta el vértice C.
Com o:
S = S j u S 2 u S 3 y S¡ n S } = <¡> , V i x j v S¡ n Sj = recta vertical
V ix j
A ( S ) = A ( S 1) + A ( S 2 ) + A ( S 3)
área de S.
Donde:
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Aplicaciones de la Integral Definida
J
=
-g-x + 5 - (x - 2 )2//3 ] dx =
x2 + 5 x-
{ x - 2 )5^3 J ^
= f ^ 4 + 7 .8
ii)
A(S2)=
J
[ - j x + 6 - ( ( x - 2 ) 2/3+ l ) ] d x
= J [^ —| x + 5 - (x - 2 ) 2/3 Jdx = ^ —| x 2 + 5x - - | (x
= - f ^
iü)
A (S 3 ) = J
[ ■ f x i 6- ( íx
+f
2)2^3 ■■1 ) ,dx
- f x 2 + 5 x - f ( x - 2 ) 5'3 ";¿ ■" 2.4
Por tanto: A (S ) * 17.5333 ...
Ejemplo 3.
Hallar el área de la región:
{ y2 = 4x
o .>
I 2x - y - 4 = 0
S o lu c ió n :
1) Graficar la región S.
2) Hallar los límites de integración resol­
viendo el sistema:
y 2 - 4 x ..............................
( i )
2 x - y - 4 = 0 -> y = 2 x - 4 ... (II)
(II) en (I):
(2 x - 4 )2 = 4 x
4 x 2 - 16x + 1 6 = 4 x
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- 2)5//3
Moisés Lázaro Camón
4 x 2 - 2 0 x + 16 = O
x 2 - 5x + 4 = O
X'i =1 - » yj = -2
(x - 4 )(x - l) = 0
x2 =
4
y2 =
4
3) Cálculo del área de S.
Se puede hallar de dos maneras:
a)
Si deseamos integrar con respecto a x, tendremos dos subregiones
y S2
S = Sj u S2 , S, n S 2 = d
Com o:
=>
A (S ) = A (S 1) + A (S 2)
Donde:
A (S 1)= : í [ / 4 x - ( - / 4 x ) l dx
Jo
= í [ 2-\/4x]dx
Jo
=
ri
_
i 4V xdx
Jo
[> /4 x - (2 x - 4 ) ] dx
f4
= J
[ 2-Jx - 2 x + 4 )] d x
= 2 • | x 3/2 - x 2 + 4 x ^
= [ f (4 )3/2 - 1 6 + 1 6 ] - [A - 1 + 4 ’
4 , 2 x 3/2 1 1
3
A (S 2 ) = J
A(S2) = f - f
Jo
=f
A (S l ) = f
Luego:
b)
A (S ) = § + yy = 9u2
Si deseamos integrar con respecto a “y " , tendremos una sola integral:
A (S ) =
J
.4
[/ (y )- g (y )]d y
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Aplicaciones de la Integral Definida
De: y
Donde:
O
H O
= 4 x , despejar x ; x = ^ y
= g (y )
De: 2 x - 4 = 0 . despejar x : x = —y + 2 = / (y)
Nota:
Cuando se integra con respecto a “y” hay que barrer la región con una recta
horizontal ‘‘imaginaria” desde y = - 2 hasta y --- 4 . teniendo a la derecha, la
1
'*
*í
9.
función /(y) = -|y + 2 y a la izquierda, la función g (y ) = —y .
xy =
Ejemplo 4.
Hallar la región de
S :
1
y (x 2 + 1 ) = x
x> l
Solución:
1)
Graficar la región S.
1
-----> y =
a)
xy =
b)
y (x 2 + 1 ) = x
c)
x >
7
> y = -r-y
X
+ 1
1
2) Los límites de integración son:
x =
1
y
x
->
+oo
3) El área de S, es:
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Moisés Lázaro Carrión
= Ln 1 + 1 Ln 2
= 0+i
A (S ) = - L n 2
Ejem plo 5.
Hallar el área de la región R, limitada por los gráficos de:
y = |x3 - 3 x 2 - x + 3|, x = 3.5 eje x .
Solu ción :
1.
Graficar la región R.
a) Gráfico de
y = x 3 - 3x2 - x + 3
y = ¡(x + l ) ( x - l ) ( x - 3 ) j
En primer lugar se gráfica.
o
f(x) = x l - 3 x
o
- x + 3 por derivada
1)
f ' ( x ) = x 3 - 6 x ~1
2)
f'(x) = 0
Xl = 1 - 0 . 2
x2 = ! + -£ ,*
3)
/'(O) > 0
=>
4)
x < -0 .2 v x > 2.2
f'{x) < 0
=>
5)
2.2
- 0.2 < x < 2.2
3 m áx de / : máx • f = (- 0 .2 ) = 3.07
3 mín de / : mín • / = /(2.2) = -3,0 7
En segundo lugar, se gráfica el valor absoluto.
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Aplicaciones de la, integral Definida
El gráfico de f ( x ) nos conduce a qraficar
v - I f(x )i
-
" '
Lo único que se hace es invenir la gráfica de
-/ .
-■i
[- / (x )
,
sí / ( x ) < 0
En
1,5.
v = - i , x = 1, x
3 . a' - 3.5 dividen a ia región R en cuatro subregiones: K ,
R 2 . Ff¿ y í?4 .
Antes de integrar, debem os analizar ios -signos del valor absoluto
/ (x ) = ! ( x - l ) ( x - l ) { x ~ 3 ) |
Una form a práctico de analizar los signos, es observando en la recta real desde
x --- -1 .5 hasta x •- 3.5 dibujando ios puntos críticos del valor absoluto.
■
' f
' "-•* ■
of X == —1..
Los puntos críticos de /(x) = !(x •+ l)(x ' - l ) ( x - 3)j
.
son j x = 1
Signos de f ( x ) - |(x + l ) ( x - l ) ( x - 3} j .
15
-1 .5 -1 .5 < x < -1 -1
ó
o ------------------------------------- « p -------AfVjiC.i!
Analizar co a x --- -1.2
v - ! í .)í- ó 5
Allí
y
entonces:
i
-------
1
-o
A - i
Analizar con
j { a )[
cnionoos:
y = -yx + l ) ( x - l ) ( x - 3)
l< x < 3
* ...-..- ■
................ .............
..(x + l ) ( x - - l ) ( x - 3)
x ---■ 2
y - - (x - t IHx - l ) ( x - 3 )
; * = - 1
t x - 1
|x = 3
[ x = 3.5
R = R 1 cu R2 u R3 u /?4
=x>
/ r con x a 3 .2
entonces:
Los límites de integración, en orden, son
Com o:
3 < x < 3 .5
' ---- -------------------
«../ --- !(-;-)(+-)(-(-))
V’
í x - -1 .5
2.
3
A{ R) - A { R l ) + A ( R 2 ) + A ( R o ) + A ( R 4 )
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y - (x + 1 ) (x - 1 ) (x - 3)
-f
Moisés Lázaro Carrión
Donde:
M R i)=
í 1 (-f)d x
J -1 .5
i
-1
- (x
3 -3 x 2 -x
+ 3 ) I dx = 1.015625
-1.5
1
(f)dx
A (K 2) = J
x 3 - 3 x 2 - x + 3 ] dx = 4
■ í
A ( R 3) = £
( - / ) dx
■ r
[ - ( x 3 - 3 x 2 - x + 3 )]d x = 4
z.3.5
A(RA =
J3
(f)dx
.3.5
J
Luego:
[ x 3 - 3 x 2 ~ x + 3 ]d x = 1.265625
A ( R ) = 10.28125
Ejemplo 6.
Hallar el área de la región acotada por la función:
—-—
/ (* ) =
1+ ex
1 + e'
,
si x >
0
,
si x <
0
y el eje x.
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Aplicaciones de la Integral Definida
S olu ción :
1.
El gráfico de la región es:
A = 8 lim
í
• dx
b-»+°o Jo e X+1
-8
lim L n (e ~ x +1) L
b->+oc
i,J
-8 lim ( Ln( e~° + 1) -- Ln( e ü + 1 ) )
b—>+x-'
/
- 8 (L n (0 + l)- L n 2 )
8 Ln 2
2. C om o la región es simétrica respecto
al eje Y, entonces el área es:
A = 2
l
1-i-e '
• dx
Nota:
También
se
puede
integrar
haciendo !a siguiente sustitución:
e v -■//
b
x - lm u
f
4
= 2 lim
■dx
b—>oo Jo 1 + e :
dx = — ■dit
como e x > 0 , V x e R se puede
multiplicar y dividir por e ' .
2
í
4e
Luego:
lim
dx
►+°c jJo
0 e * +1
Ejemplo 7.
I — -— dx = I
• — • du
J i +ex
J l + /i // ■
Fácil de Integrar -
Hallar el área de la región limitada por las funciones:
y = x 3 e 8 “ 2x , y = 4 x .
Solu ción :
1.
Graficar las funciones.
a)
Graficar
y = x 3 e 8 ~ 2x
Tabulando algunos valores para x no es suficiente. Ayudém onos con la deri­
vada para hallar los máximos y mínimos:
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Moisés Lázaro Carrión
De
y = x 3 • e 8 2x"
y' = 3x 2 • „8
e 2x
+ ^3 _g8- 2x' (_4X)
= x 2e 8^2x (3 - 4x"
Analizar:
%)
y' = O => x = O , x — 2
a2 ) y es creciente:
c=o
y' > O
»
x 2 e 8“ 2x2( 3 - 4 x 2) > O
<=>
3 - 4 x 2 >0
xeí
2.
Límites de integración.
Se obtienen resolviendo el siguiente
sistema:
y = x' •e
2 ’ 2 /
i- 2;
( 1)
(2 )
y - 4x
a3 ) y es decreciente:
Igualar (1 ) con ( 2) .
y' > O
j ?\ , ,/s
-co.-^yu i^.co
3 mínimo
= 4X
x3 , e8
2 _ 8-2x
x = 0 v x" •e
X = ± 2
3 máximo
(T\
3. H1 área es:
DECREC.
A -2
i
mínimo = y ( - ^
x(x2 -e8 2x —4) —0
^
\
^ 4 ^
I= — J- e
* - 4 3 1 .5
máximo = y ^ yp-) =
e 6,5
6 5
1=
i
£
Ix
I
3
( x 3 • 6 8 2x —4 x ) • dx
se integra
por partes
„ S
■e
- 2 x “-
Ja m i
» 431.5
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es directo
dx
Aplicaciones de la Integral Definida
Luego:
9
dju = 2 X ' dx<-
A = 21 -4-x2 -e8 2x - L e 8 2x'
-2 *% 1
_ i , 2
4
Ejemplo 8.
~i x = 2
2x 2 ]
J x =0
= ¿e8 -9~
i
|x . e 8~2*2 . dx
8 - 2 x ¿' _ 1 „ 8 - 2 x^
8
Calcular el área de la región limitada por las líneas:
Ln x
y = -47-,
T
y = x • Lnx
.
S olu ción :
1.
Sin necesidad de graficar, podem os hallar los límites de integración y luego inte­
grar.
LÍMITES DE INTEGRACIÓN.-
A l igualar las ecuaciones obtenemos:
Lnx
T7
= x • Ln x
L n x = 4 x 2 Ln x
L n x - 4 x 2 •L n x = 0
Ln x ( 1 - 4 x
)= 0
/~
,
x >0
> Ln x = 0
-» l - 4 x 2 =
=>
0
x=1
x =■
2 . El área, es el valor absoluto de la siguiente integral definida:
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Moisés Lázaro Carrión
4- (Ln x )2 -
x 2 • Ln x + -L x 2
Ln
X = 1
16
16
Ejemplo 9.
Calcular el área del triángulo curvilíneo limitado por el eje de orde­
nadas y las líneas y = t g x e y = -| eo sx .
S olu ción :
1.
Hallemos la intersección de las curvas:
tg x = J-cosx
-5211--- = eos x , eos x ^ 0
cosx
ó
O
3 s e n x = 2 eos x
= 2(1 - sen2 x)
o
2 sen x + 3 s e n x - 2 = 0
(2 sen x - l)(s e n x + 2) = 0
sen x = j
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Aplicaciones de la Integral Definida
2.
A -
El área es:
j
0
( tf co sx
A = ~ sen x
fg x jcíx
Ln cosx
¡x- o
LnV8
E je m p lo 10.
Hallar el área de la región comprendida entre la línea
.2
y - x •€ 2
Solución:
y su asíntota.
v2
1, Graficar la curva y - x • €
a) Dominio:
2 ,
x e R
b) Hallar máximos y mínimos.
_£
h i } Derivar:
._£
y' - 1 • e 2 + x • e 2 . (_ x)
x2
= e~"2" ( 1 - x 2 )
W
í^\
_i
mínimo = y (-1 ) = -e 2
_I
m áxim o = y (1) = e 2
c) A S ÍN TO T A :
X2
lim
x e
2 = 0
=u>
y = 0
es asíntota horizontal
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El gráfico es:
2. El área es;
f
A = 2 i
= -2e~
x •€
2 ■dx
2
= 2
Ejemplo 11.
Hallar el área de la figura comprendida entre la cisoide
y
o
3
=..... ..y y su. asíntota.
Solución:
1.
El gráfico de la cisoide es:
y = ± x
2a - x
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Aplicaciones de la Integral Definida
2.
El área es:
Í
2a
x ^ j-jL -d x
= 2 * í
=
t . - A a í — .dt
1; r
;! -.-fr
í
JU
16 cr í
Jeo
,
' 1’ ‘ i
= t
, hacer:
i
— X— = f2
2a - x
y --
J MA
i er
dx^-M rrrdt
(i + t f
r ' * t i l t r y ó dt
- Por partes
\ av ■E l ¡ A ) '"3 di
\
ai/ = 36' * di *----- - v
Ejemplo 12.
n o
Hallar el área de la región limitada por la línea x y
la recta que pasa por sus puntos de inflexión.
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= 4 ( x - 1) y
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S olu ción :
1.
Graficar la linea
x 2 y2 = 4 { x -1 ¡
y
a) Dominio:
x -1 > 0
x > l
b) Es simétrica respecto al eje x, porque al cambiar y por - y , no varía la ec.
c)
Derivar la función
y =
y =
x . 2 <—~=2Jx - 1
,/x 1
c2
c3
d)
Asíntota horizontal: y = 0
porque
lim
V E I=o
X —> + 0 0
e)
Puntos de inflexión: hallar la segunda derivada
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Aplicaciones de la Integral Definida
Haciendo y "
0 , obtenernos:
x =
C om o la curva es simétrica respecto al eje x. los puntos de inflexión recaen en
x =
2.
6
3.15
El área es:
6 2 43
í
■J-
2 Jx - 1
A = 2•
X - 1
■J:
i
J
dx
dx
= í
x - 1 = t2
2 1 • dt
,2 i
X — É +1
dx = 2t • dt
• dt
1
dt
í= 3+2j 3
8 - [ f-arctg* ] ‘
'
3
1 + 2 f - attíaJ l + 2 g
Ejemplo 13.
Hallar el área de la región acotada por las líneas y = 2 x 2 e x e
y = - x 3e x
.
Solu ción :
1.
Límites de la integración:
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y = 2x2 •e x
Resolver el sistema
y = -x 3 ex
2x2 e x = -X 3 e '
x 2 e x (2 + x ) = 0
2.
=í>
x = 0 v x = -2
El área es el valor absoluto de la siguiente integral:
í
A = !
I 2 x 2 e x - ( - x 3e x ) \dx
= 2- J
•
e
j
-Por partes
dos veces
x 3e xrfx
1
— Por partes
tres veces
18 _ o
_2
^
3. El gráfico es:
Donde:
a)
lim
,X
b)
Ejem plo 14.
2x^ex = 0
> -CC
lim - x 3 e x = 0
Hallar el área comprendida entre la curva y = e x • eos x y el se­
mieje x positivo.
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Aplicaciones de la Integral Definida
°S olu ción :
1. Límites de integración:
' i.
'
..........
'
,
X.
Dichas intersecciones se hallan haciendo y ---■ü ,
Luego:
crA ■eos x
■-->
0
eos x = 0
a
■+■k o . k e. IN
■■■ (2 b i I)-f _
2. Gráfico de
y - e ' -" - cosx
a)
La exponencial b h D v €b'
b)
Máximos y mínimos:
m asaltóte.
i/-■ -G A - c o s x ...€ A - sen.
■■■ € A (eos x asen x j
Hacer
y' ~ 0 =>
eos x + sen x ~ 0
5 o
co sx s --jLsenx
-■ 0
/o
s
ser
:
sen ( f
m
v-
tí
f-1-X^kyT
X = k7T -f
Los máximos y mínimos están en
c)
x -• kn - ~
Tabulando erigimos valores para x.
""i tifkdtxsx:
V.Sxrr::
bmb: f
4
U;2■<:
édi rye- eco
SI ¿"A
y = €~x ' cosx re
ti sM aa i-p?
cnA ce
X
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3.
El área es:
A = S0 +
, donde:
r2
Sq = I £ x ■eo sx • dx
a)
Jo
y
I
S -
'— Es por partes circular
'2 _ 1
(sen x - eos x ) •
x =0
a
/c*=0
\Sk
l +e 2
Supongamos que S k es el área entre una onda y el eje x, entonces x varía
b)
entre (21c-1)-|- y ( 2k + l ) ~ .
Es decir:
( 2 k - l ) - ~ < x < (21c+ 1 )^ .
Por tanto, el área S k estará expresado por la integral en valor absoluto:
í
{Zk + l)
e
• eos x |• dx
,
k=1
x = ( 2 k + !)■§■
■i (sen x - e o s x) € x
2
2
\x = (2k-l )
■
sen(2k + l ) f - cos(2/c + 1)§ ) e " (2k + ^ 2 - ¿ ( sen(2¿c - l ) f - cos(2k - l ) f ) e
:i((-l)fc-0)e_(2fc+1)2 - l ( ( - i ) fc- 1-0)e(2fc_1)^
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Aplicaciones de la Integral Definida
En valor absoluto, el área de S k será:
jS^ |= €'
-kn
e 2 +e 2
[
C om o k varía desde 1 hasta +oc, entonces el área e todas las regiones S-,
, es:
S= I
k --1
!sfc!
(
= p
k=l
-
2
eos h-
= eos h j • ]T
-k;r
e
k=1
Y
e -/CTT
fc= i
eos h f • lim
= eos h ~ • lim Z~n
n —> co
1 -e
1 -e
- eos h ~ • z~n — —
2
1-e"'
eos h— •
2 e 2 | e 2 _e ~2
=j-e
El área total es:
sen h-
2 -ctg h f
A = S() + S
2} + | e
2 -ctgh-|
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Á R E A S DE C O O R D E N A D AS C A R T E S I A N A S
Problema 01.
Calcular el área comprendida
entre la curva.
A
2
c;d
■
5
H
b
;
v = ± !L < r -
x‘
Solución:
Por ser la elipse
en el cuadrante t
será 4 veces el área encerrada
f
4 I —Ved - ■.A dx
Jlo
o 0
v cd - x 2 dx
x = a sen t
dx = a eos t di
f
Jo
/a 2 -
= j yj cd - cCsenÁ a eos t dt = | y a2 (1 - serd t) a eos t dt
= j*a 2 eos2 í dt = ac j*cos¿ tdt = a2 J í —
= a2 ^ ± + l sen2 2t J + C
! 1aliamos ios nuevos lurures de integración
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Aplicaciones de la Integral Definida
Problem a 02.
Calcular el área de la región del plano limitado por la curva f ( x ) = \) ■2 —4 x + 3¡ y
el eje Ox .
x2 - 4x + 3 = 0
x
/ (x) =
x =1
x = 3
-4 x + 3
si
x < 1
- ( x 2 - 4 x + 3)
si
1< x < 3
x2 -4 x + 3
si'
x > 3
S olu ción :
A=
f
J - ( x ¿ - 4 x + 3)dx = -
^ - - 2 x 2 +3x
^u2
3U
Problem a 03.
Hallar el área de la figura limitada por: y = x
n
, y = x ,x = 0 ,x = 2
Puntos de corte de la parábola y la recta y = x .
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Solución:
De x = O a x = 1, la recta queda por encima de la parábola,
A
•i
fJo
( x - X )dx = \
_
0
De x =■ 1 a x - 2 . La reda queda por debajo de la parábola.
/V
A ■
r2
J (x 2
u
6
x) dx
3
z l2
c 2
2L_ - v_
■■¿ i r
3
2 o <>
- i- r
Problem a 04.
Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y la tangentes a la curva
en los puntos de intersección con el eje Ox .
Puntos de intersección: 4 x - x 2 = 0
x (4 - x ) ■= 0
(0,0)
Solu ción :
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0,0):
y' = 4 - 2 x
y -0 = (x-0)
m = f' { 0) = 4
y = 4x
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(4,0)
Aplicaciones de la Integral Definida
Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4,0):
y' = 4 - 2 x
m = / '(4 ) = - 4
y - 0 = (x - 4)
y = - 4 x +16
\y = - 4 x -t-16
A=
[
Jo
r
X
í
[ 4 x - ( 4 x - x ¿ )]dx + I
J2
3 -1 2
3
0
+
r
L
¿ _ 8 ¿ + 16x
[ ( - 4 x + 1 6 ) - ( 4 x ~ x ¿ )]dx
= fu 2
En los problemas del 5 a 12 determine el área de la región acotada por las curvas
dadas:
Problem a 05.
y = -x + 3
, y = - i x + -| , x = - 2
, x =1
Solu ción :
Según el gráfico:
- r 2[ < - ) d
A =
í j -t-f)
dx
dx = I - 4 - x 2 + | x j
2 = 6 i/
Problem a 06.
y = 2x + 4
,
y =x -l
,
y =-2
y
y = 2
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Solu ción :
y
x = l y - 2
/ ...2
/
/
/
/
/
r --A
Luego:
X
X
/
„
A = |
x = y +
...........
tipo II, por lo que debem os despejar la va­
riable x.
X
>-
y = 2x + 4
■-2
x = --y
y - x - 1
(/(y) ■ g (y ))d y =
J
¡ (y i D
íp j
m>
2
x = y+1
2 ) dy
= J ( | + 3)dy = ^ + 3y J ^2 = 12^
Problem a 07.
x - 2y = - 5
x +y= 4
,
2x - y = 5
S o lu ció n :
Sean: L 1 : x - 2y = - 5
, L2 : x + y = 4
L3 : 2x - y = 5
Para realizar el gráfico encontremos los puntos de
intersección entre las rectas, resolviendo los siste­
mas de ecuaciones:
L¡ : x - 2y = - 5
L 1 : x - 2y = - 5
L2 : x + y = 4
L3 : 2x - y = 5
L2 : x + y = 4
L3 : 2x - y = 5
Así: L1 n L 2 = (1,3)
,
L 1 n L 3 = ( 5,5)
,
L 2 n L 3 = (3,1)
Resolvemos el problema por los dos métodos:
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Aplicaciones de la Integral Definida
M é t o d o 1: (Tipo í)
(integración con respecto a ía variable x)
Consideramos dos regiones, y.
1
, Lp : g (x j A- 4
2
L o
a, 2 X ~ 5
: h { r )
A a; área de IL -+■área de J??
<
A -
í>
A
J
| ( f ( x ) - g (x j)d x + J
(f ( x ) - 1 x))dx
*3
'(3,1)
-
|(-^x + ^ ) ' - ( 4 - x ) ] d x
|*
j (e
x
-4-
-
(2 x -.5
)
' dx
Luego:
/\~f |
i
X - !!* +§ [
Z J3
(—x -f- b)dx =-
A p - x | +%\ ~ - 3 x
-L. ¿
ni
-I. Z
M é t o d o 2: (Tipo II) (integración con respecto a la variable u)
Consideramos dos regiones, i
I-i : / ( y ) - 2 y - 5
(5,5)
ÍD- //
/
/¿-3
1-2
: S ÍL")
4
-
V
L 3 '■M y )=■ 2a + ^
V (3 ,i)
A = Area de R-t + Área de Ro
5
Í
í
Jl
3
j
/»5
(M y) - g(y))c/y +
+
( % ) - /(y))dy
dy+
í
J3
(ib + § ) - ( 2 y - 5 )
dy
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3 + 3 -- 6 u^
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Problem a 08.
x = y2 , x = 2 - y2
Hallamos los puntos de intersección entre las curvas:
y
O
= 2- y
O
9
+=> 2y^ = 2 => y ± 1 luego los
puntos son (1,1) y (1, —1 ).
C om o la región es simétrica con respecto al eje X,
entonces:
A = 2 | [ ( 2 - y 2) - y 2 ]dy = 4 f
1
( l - y 2)dy = f u 2
Problem a 09.
y = x 3 - 4x
, y =0
S olu ción :
Intersecando la curva y = x
x3 - 4x = 0
o
con y = 0 (eje x)
x (x 2 - 4) = 0 => x (x - 2 )(x + 2) = 0
x = 0 , x = -2
, x = 2
Determinaremos en qué intervalos y = x (x + 2 )(x - 2) es positivo o negativo. Luego
el bosquejo de la gráfica es:
y <0
y >0
y <0
y >0
(Si se desea hacer un gráfico más detallado debemos hallar los máximos, mínimos).
Luego:
A=
(•0
p2
I [(x 3 - 4 x ) - 0]dx + I [0 - (x 3 - 4 x )]d x = 4 + 4 = 8u2
J-2
JO
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Aplicaciones de la Integral Definida
P r o b le m a 10,
y = x ° - 12x
. y = x¿
Solución:
Grafíquemos la curve
Zx , halle -
rnos puntos críticos, rr
ínirnos.
y = 3x“
12 - 3 (x + 2)(x: ~ 2) ~ 0
=> Punto Máximo: (-2,1 6)
f x = -2
px. ¡
[x = 2
y =' X° - 12x
Punto Mínimo: (2 ,-1 6 )
Calculamos los puntos de intersección entre las curvas:
x 3 - 12x - x "
x":’ - a"6 - 12x = 0 :.r> x (x - 4 )(x + 3) = 0
x -- - 3 m> A ( - 3 3 )
Luego:
x = 4
m> fí(4 , ló )
x -- 0
=> C (0 ,0)
f
A =
| [(x
J- 3
i ~
a~
L 4
r
- 12x) -- x ^ jd x + I [x “ - ( x ° - 1 2 x ) ] d x
Jo
- ox
gx~ i
á
j ....3
¡ „o
i_0
1
4
, e. , 2 14 _ 99
160 _ 397 9
—Pf- +
—x¡~u
jo
4
0
1¿
+ 1 y x ,:> - 4 x 4 -+ 6 x “ i
Problem a 11.
x = x
, y = 2x , y = x
S olu ción :
Intersección:
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Moisés Lázaro Camón
•\¡2
/.l
A = 2 !
(2 x - x 3 )dx - 2 J (x - x 3 )dx
i
V2
l x2 _ ! x4
2
4
oo|co
A = 2
Nota:
lisie ejercicio pudo resolverse dividiendo la región en dos partes,
según tipo I y tipo i!.
Problem a 12.
y = Lnx
y --- Ln x
S olu ción :
Intersección:
L n x = Ln“ x => L n x (l - L n x ) - 0 ==> L n x = 0 v L n x = 1
=> x = 1 v x = e => (1,0), (e ,l)
f
A ~= | (Ln x - Ln2x)d x =
I
J
L n x dx -
J
Ln x dx - e L n e - e - (Ln 1 - 1 ) = 1
Resolvemos la segunda integral por partes:
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Ln2x d x
Aplicaciones de la Integral Definida
Problem a 13.
Halle el área de la reglón por debajo de la fundón f ( x ) = [x] y encima del eje X,
V x e [ tt, 5 ],
S olu ción :
Notem os que la función es seccionalmente continua, por ello:
f 1 f(x)dx + í
A =
— f
k
J;r
A= J
<•4
'
[x ]d x +
.4
A4
5
J
fix'jdx
I
f5
f»5
[x ]d x +
[x]dx
|*5
I
j
f 43
3dx+
í
J 71
4dx
x
Problem a 14.
Halle el área de la región comprendida entre la línea x y 2 = 8 - 4 x y su asíntota.
S olu ción :
Í2
C om o y - ± 2 J — —- y
\
x
lim 2 J - —
/-xi V
x-*0
= + x , entonces x = 0 es asíntota de la curva
dada.
Para
integrar
V=
8
con
respecto
a
y
despejamos
y2 +4
j4= f
d +h4 dv
J-oo y~
!■' + 4
=2 í
J[
A +4
dy
>t
= 16 lim
I
í —>oo J q
— dy =
y+ 4
F
16 lim 3-are tan 3í^-ccL
A = 8 lim ( aretan 3 - are ta n O ) = 4>tu2
f—
>co '
4
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/
4
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Problem a 15.
Bosqueje y encuentre el área de la región limitada por la parábola y = - x 2 + 4 x - 3
y las tangentes a la misma en los puntos (0 ,-3 ) y (4 ,- 3 ).
S olu ción :
y = -x
2
+ 4x - 3
=>
y - l = - (x
v
2)'"', es una parábola con vértice en (2,1)
, ,y
i)
Cálculo de L j : pasa por (0 ,-3 )
y' = - 2 ( x - 2 ) = m
=>
L x : y - (- 3 ) = 4 (x - 0)
m1 = - 2 ( 0 - 2 ) = 4
=>
L1 : y = 4x - 3
ii) Cálculo de L 2 : pasa por (4,-3)
y ' = - 2 (x - 2) = m
=>
m2 = -2 (4 - 2) - - 4
L 2 : y - (- 3 ) = - 4 ( x - 4 ) => L 2 : y = - 4 x + 13
íntersecando
con L 2 : 4 x - 3 = - 4 x + 13
==>
x = 2
=>
P (2 ,5)
Nótese que la región es simétrica; luego:
Í
2
[(4x ~ 3) - (-x 2+ 4x - 3}] d x “ 2J [ x2dx = f x3] q = f u2
2
Problem a 16.
Sea A l el área de la región fí} encerrada por la curva /(x) = 4 x - x 2 y el eje X, y
A 2 el área de la región R 2 encerrada por la curva / (x ) = 4 x - x 2 y y = mx . Sí se
sabe que
a2
= 8 , halle el valor de m.
S o lu c ió n :
/ (x ) = 4 x - x 2
o
- 4 = - ( x - 2)2
Parábola de vértice (2 ,4 ) .
248
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Aplicaciones de la Integral Definida
Iníersecando ía parábola con el eje X:
4>c
/
/
0 ::x> x (4
0
- 0, X - 4 ,
32
A, = j (4 x ■ x~ )dx —
U)
\
Iníersecando la paraboia y = 4 x - xX
sí /
la recta
y = mx :
4 x - x 2 - m x m> 'x(4 - m - x) ~ 0
x - 0 .
x = 4- m
A> =
í
mx i
2(4 - r r if - ~-(4 - m )° --~ m { 4 ~ r n f
A¿ = (4 - m 'r {2
Com o: -4- = 8
«2
=>
-- 4 (4 .... m)3 A
4 .. m)
— 2__
(4- m)°
(4 - m f J =
4 - m= 2
=>
m= 2
Problem a 17.
Dada la región Rj limitada por / (x )
=eos
r>
x y el eje X; dada la región R
2acotada
por g( x ) = 2a/Vx y el eje X. Determine el valor de a, si ambas regiones tienen la
misma área en el intervalo [0, n ) .
S olu ción :
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Moisés Lázaro Carrión
Í
n
eos 2 x d x =
A2 = í
Jo
A^ —■A 2
2J
(1 + COs2 x )d x
= t^ X + S€22jCJQ = §
2ax~1/2dx = 2 o [2 x 1/2]q 4 a V ^
^
-g- = 4 a^fñ
q=
Problem a 18.
Si A (r) es el área de la región limitada por las curvas y = 1, y = tan hx , x = 0 ,
x = r , halle
lim A (r)
X—
>+00
S olu ción :
A (r) =
í
Jo
(1 - tanhx)dx = [ x - Ln|coshx|]q
= r - Ln|coshr|
lim A { r ) = lim (r -L n | cosh r| )
X-> +co
x~> + o-j
=
lim A (r) = lim j r - L n
X—» +cO
X—»+
=
|1
+e
2e
■ 2r ^
! '~
lim ( r -
1 n( e" +e
r
l~ - T"
lim (r
Ln n
(1 +' ~~2r
e
) + L n (2 e “ r ))
X~>-fOC'
lim ( r - L n ( l + e 2 r) + Ln 2 - r L n e ) = L n 2
x —> + «
Problem a 19.
Halle el área de la región limitada por el eje x y la función
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Aplicaciones de la Integral Definida
S olu ción :
«•co
A = I
J-oo
*>co
-í
f { x ) d x = 2 I — ~ d x = 4 lim i
Jo 1+ e
Integrando por sustitución:
ií =
ex = u - 1
Pero:
Luego:
=>
=
Jro ^e* +1
1 + ex
du = ( u - l)d x
’
f
J*
==>
U -
1
du = e xdx
= dx
du
(u - l)u
Integrando mediante fracciones parciales:
1
U—1
( d T - u ) du = Ln|u“ 1 | _L ri| 'i| = Ln
Entonces:
dx
f e x +i
Jo
Ln
ex
= Ln
i + ef
i + e v CO
Ln( d =Ln
e -‘ +i
- -Ln je'^ + 1| + Ln2
Luego:
A = 4 lim (-Ln |e 1 -> 1| ~ Ln2) = 4Ln2u2
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dx
Jo i + e x
Ln 1 tLn 2
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P R O B LE M A S P R O P U E S T O S !
Á R E A E N C O O R D E N A D A S C A R T E S IA N A S .
m m t
Hallar el área de cada región limitada por las gráficas de las ecuaciones que se dan
a continuación.
y - |2 x - 1 ¡ ,
x = 0
,
f {x) = y[ x
,
© )
y = x kJ
y = 2x~x2
( 4/
f(x ) ^ x 3
2)
(V )
,
g (x ) = x 2
R p ta . 1/3
R p ta . 37/12
g (x ) ^ x
,
y = - x 1' + 4x^ - 3 x
©
y2 + x + 4 = 0
®
x 2 - 3x + y = 0
© )
xy =
1
Rpta. 5/2
x = 2
R p ta . 1/2
,
y
x " - 3x^ 4
2x
eje Y
,
R p ta .
5253
96
R p ta . 32/3
x3 - 3x2 + y = 0
Rpta. 37/12
y (x 2 + l ) = x
,
a la derecha de la recta x - 1
Rpta. 2 Lr¡2
®
2=
Rpta. e - l - f
®
y=
,
X2
y= ©
,
y = a ■sen x
,
'
X= 1
y =© Y
Rpta. rr
y = b •eos x
R p ta .
8 ab
2+ b2
Rpta. 32
12)
y = 4x2 - x 4
13;
y2 - 4 x = 0
14)
x 2 - 6x + y = 0
252
y
3
,
y - 2x + 4 = 0
,
x2 -2 x - y = 0
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R p ta . 9
Rpta. ^
Aplicaciones de la Integral Definida
©
y = x3 =
(l6)
y2 = x2 - x4
Rpta. ~
_ v-4 /v _j_ a \
y2 =
x (x + 4 )
R p ta . 4096
U)
6x 2 + 8x
,
eje x.
Rpta.
8
105
(18)
y 2 = x 2 (a 2 - x 2 )
R p ta . ^
(19)
9 a y 2 = x (3a - x) 2
Rpta. 8^ a ■
(20)
y =| x 2 —4 | ,
y = 2
R . Los límites de integración son: ->/6 , - 2 , - V 2 , V 2 ! 2 , V 6
Hay tres regiones.La región essimétrica respecto al eje Y.
@
y = e x , y = e “x , x = G , x = 2
2)
l(23)
y = x ■e x
,y = 0
y la ordenada máxima
Las dos ramas de (2 x - y )2 = x 3 , x = 4
Rpta. e 2 + ± - 2
Rpta. ~ j 1 - — ■
Rpta. 128
y = 25 - x 2
3y
Rpta. 98
3
- 256 x = 0
9 x 2 - 16y = 0
25)
y = 4x - x 2 eje X
x = 1. x = 3
y =■ x * Vx + 5 . eje x. x - -1 , x = 4
Rpta. ^ ( 40 n/5
f(x ) ■
- x ¿ y J x -3
28)
y -- x 3 - 6x2 + 8x . y -- x2 - 4x
Rpta. 71
y = 2 - x2 . y - -x
Rpta. |
@
1<
X
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Rpta.
42,804
27)
.
< 12
Rpta. —■
175
6
20 )
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©
y2 - x2 . x - 3y
y2 - x - 2 - . y2 x y - 2x3 - 3x2 y x3 3x
y y x2 . x x
+4 - 0
0
-
-
|x |,
V — |!-a.
x
y
9x
,
+i 1x jj +i
-
-
8-
y2
=
0
-
""2
¿w ,
x
a
,
x
=
4
-
y
+
12
-
Rpta. §
Rpta. X
Rpta. J f
1
Rpta. ~
x - 3
R p ta .
x\
R p ta . ¿ f -
y
@ )
y=
®
y = x2
©
y=^¿
(41J
\ /
y = X2-t- 1
©
X 2/3 + y 2/ 3 = a2/°
©
Hallar el área de la región comprendida entre la hipérbola equilátera
x
=
2a
2
+ a
,
,
1
Rpta. 7i a2
eje X
y = -¿
,
=
0
R p ta . 64
©
=
x¿ , 4x
1.
-
0
o ,
¡j ✓xv jI , yy -
x 3 - x 2 + 2xy
2x2
-
1
=
x2, y
6- 0
+
Rpta. &-J2
,
y =
2x
y = 4 - -|x 2
x2
> y = 2
^
Rpta.
R p ta . - f- ^ r
R p ta . -g- 7Ta 2
x 2 - y 2 = 9 , el eje O X y el diámetro.
(44)
Rpta. 4
Rpta. -|Ln3
Calcular el área de las dos regiones que la parábola y 2 = 2 x divide al círculo
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GRUPO 2
(T )
Calcular el área de la región limitada por la curva C : x 2y 2 + x +1 = 0 y la
recta vertical x = - 4 .
(Y )
Sea la región R =
i)
j (x ,y ) e R 2/ 1 < x < 4
,
0< y
<~
|
Hallar el número real "a" tal que la recta x = a , divide a R en dossubregiones de igual área.
ii) Hallar en número real "b" tal que la recta y = b , divide a R en dos subregiones de igual área.
®
Hallar el área de la reglón limitada por la gráfica de f ( x) =
en el pri_
mer cuadrante del plano, su asíntota vertical, el eje X y la recta x - 8 .
(4 j)
Dada la función
/(x) = x 2 • e x , se tiene:
Jl, es la recta que pasa por el punto m áxim o de / cuando x <
0.
£ es paralela a la recta tangente a / en el punto ( l,e ) . Hallar el
área de la re­
gión encerrada por la gráfica d e / y Ib
(IT )
Sea R la región del plano limitado por las curvas descritas por las ecuaciones:
x 2 + y 2 = 4 ; x 2 + (y - 5) = 0 ; 3|x| = 2y +
6
.
Hallar el área de R.
(jf)
Sea la región
Hallar:
(T )
lim
b—^+co
R = (x , y )/ o < y < x 2 • e
~ x
, 0< x <b .
( A rea ( R ) ) .
A l graficar las ecuaciones y 2 -- x 4 . (x - 5)2 + y 2 - 25 se determinan tres re­
giones acotadas. Hallar el área de cada una de dichas regiones.
Sugerencia: Factorizar la ecuación y
(T )
= X
Hallar el área de la región limitada por la curva y 2 - xlx ~~
y su asíntota,
haciendo previamente la gráfica de dicha curva.
(jT )
Hallar el área de la región acotada por la curva a x 2 - 2bxy + by2 - 1 - 0 .
donde a, b, h son constantes reales positivas tales que I r < ab .
Sugerencia: hacer rotación de ejes.
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Moisés Lázaro Carrión
10J Hallar él
y >
área
de
la
región ¡imitada por la cua'a y 2 + x y - 2 x 2 - 4 - 0 .
0 . por sus asíntotas y
ias recias x - -
1.
x - I .
@
Calcular el área de la región acotada por: y =
• e A y su asíntota.
(l2 )
Hallar el área de la región encerrada por la curva y 2 -- x ■e
(L3)
Calcular el área de la región acotada por V x -+- y y
y a . a > 0 y por los ejes
coordenados positivos.
0 4,1 Determinar si es posible asignar un número finito para representar la medida
del área de la región acotada por la curva cuya ecuación es y =
X
15]
.X -1
, el eje
(x > 2) y la recta x -- 2 .
Hallar el área de la región limitada por los ejes coordenados positivos y la
cmva: (x 2 + y2)5 = (a¿x 0 + b 2y 3)2 .
1_6)
La curva: x
- 2 y ' = p p divide a la circunferencia x
+y
-a
en tres re­
giones. Calcular las áreas de dichas regiones.
17J
Calcular el área de la unión de regiones comprendidas entre la curva
y = e " x •sen x y el semieje X positivo.
Rpta.
( l 8j
* cotg h -|-
Hallar el área de la unión de regiones comprendidas entre las funciones
/(x) = e ~ x • c o s x y g (x ) = - e ~ x • c o s x cuando [ 0,+oo>.
Rpta.
(1 + e ^ ) +
0
^ . cotgh-|
Hallar el área de la región limitada por la línea cerrada y 2 = (1 - x 2 )3 .
Rpta.
201
y
Calcular las áreas de las regiones acotadas por las curvas
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+ y2 = 1 y
Aplicaciones de la Integral Definida
Sj = S 3 - n - ^
R p ta ,
(l\ )
2 (tt -
Dada la función y -
Ln 3 - 2 arcsen
S í)
1 ' 2x
x1" - 2x +1
Hallar el área de la región limitada por la curva, el. eje de las abscisas y las
ordenadas x = 2 , x - 3 .
R p ta .
(22)
Hallar el área de la región acotada en el primer cuadrante por la curva
y =
3f x { a - x )
R p ta .
(23)
2 Ln 2 + 4
y las rectas y = 0 , x = 0 , x = a .
.
a3 (r(f ))z
1 l3//
rlt)
Hallar el área de la región acotada por la curva y = b- l - y la recta y = ~ x
Rpta.~ - -2 Ln 3
(24)
Calcular el área limitada por la curva y
. la recta tangente a la misma
en el punto de cibscisa x = 0 . y el eje OX.
Rpta.
(25)
§
Hallar el área de la región acotada por la curva y -
—-, el eje X y la recta
vertical que pasa por el punto de inflexión de la curva.
Rpta.
(26)
4 ^ / ÍT J -a r c t g ^ r ;^
: p i : s s : , c ; v ; y . s ; : /n y i s s ; y i ; . ; ;
: i'V
, .:
Calcular el área de la región limitada por la curva, y =
Rpta.
30 - 32 Ln 2
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y ei eje X.
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7)
Hallar el área de la región limitada por las curvas
y =~
— , y
cuando x varía en los siguientes intervalos:
a)
- 3< x < - 2
b)
2< x < 3
c)
x >3
S o lu c ió n :
a)
-^Ln-§
ÍLn2
b) Í L n 4
Demostrar que el área “sombreada” es
■| del área del paralelogramo A C D E . El
segmento
ED
paralelo
al
segmento
A C es tangente a la parábola.
R Pta *
L^ E : V = ~ X ~ 4
Area Som breada = 125/6
A rea paralelogramo =
Calcular el área de la región limitada por la curva x
y las rectas y =
Rpta.
+y
Los límites de integración son: x = |y, x = 4 , x =
6y + 21
=0
, x =^ .
x 2 - y2 = 1 , x = 0,
^ ■ + ÍL n
(2
+ V5)
Calcular el área de la región form ada por los puntos (x ,y ) del plano que v e ­
rifican las siguientes condiciones: x 2 + y 2 - 36 < 0 , y 2 > 9 x .
Rpta.
258
-
0.
Rpta.
1)
8x
; y =
Hallar el área de la región acotada por: x 2 + y - 7 = 0 ,
y =
-
24;r - 3y¡3
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Aplicaciones de la Integral Definida
1.2
AREA DE IIHA REGIÓN limitada por una curva param ítrica .
1. INTRODUCCIÓN
Veam os la región R en dos gráficas:
Ci
[ x = x (t)
[ y = y (í)
í e [ a , /?]
C,
En el primer gráfico, la región R está acotada por dos curvas G y d 2 que se intersectan en los puntos A y B. Si las curvas
y d2 están expresadas pos sus corres­
pondientes ecuaciones cartesianas, entonces el área de la región R es:
Area (R) =
f [ / ( x ) - g ( x ) ] • dx
Ja
En el segundo gráfico, se tiene la misma región acotadas por las mismas curvas
G y
cuyas ecuaciones paramétricas, respectivamente, se conocen.
En este caso, el área de la región R se halla por una fórmula que se deduce a
partir del Teorem a de Green (Integrales curvilíneas).
El área de la región R encerrada por las curvas dx y C2 es:
Cuando se quiere integrar sobre una curva
Area (R ) =
cerrada C, la notación usada es: (j*
A ^
^2
Integral a lo largo de la curva C2
Integral a lo largo de la curva Cj
Donde
62 es
Ia concatenación (yuxtaposición) de
que encierran a la región R
siguiendo una orientación antihoraria y la fórmula de cada integral curvilínea está
dada por:
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Moisés Lázaro Camón
J
=2
|
(x d y - ydx)
l2
J í; 2 - i f
(xdy - ydx)
Estas fórmulas son válidas, siempre que se cumplan las siguientes hipótesis:
hi :
Cada curva es regular de clase C 1 en todo ei recorrido de t de su dominio
La curva d, es REGULAR de CIASE C 1 . V t con a < t < ¡3.
La curva d;, es REGULAR de CLASE C 1 . V i con t2 < t < t 2 -
h¿ :
1.a orientación d e las curvas d 5 y d. que encierran a la región R, está dada
en el s e n t id o d e LA REGIÓN R (es el
sentido que sigue una curva de tai
m anera que la región R esté siem pre a la izquierda d e la curva).
REMEMBRANZA
, x = x (t)
Sea la curva d : -l
[ y = y(C
t e [ a , (3]
1. La curva d es de clase C 1 si las funciones x ( t ) , y (í) y sus derivadas x '( t ) , y'(f)
son continuas V t e [ « , / ? ] .
2. La curva d, es REGULAR si:
E je m p lo 0 1 .
[ x '( í
)]2 + [ y '( í )]2 d
0
;
V te [a ,j3 ]
Hallar el área de la región encerrada por la curva d, donde.
[ x - a - eos t
C : t
y = a • sen t
t e [0 , 2;r]
S olu ción :
1.
El gráfico de la curva C, es una circunferencia de radio a, a > 0 .
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Aplicaciones de la Integral Definida
l
0
o
i
t
i%
\
/
!
\
*
\ \
Cuando i recorre de 0 a 2 n la cuna.recorre desde (a, 0) hasta. (a,0)
\
y
. i
™$(3ÜÍ
v
siguiendo el sentido antihorario
cerrándose la curva,
2.
Una sola curva encierra la región R (Círculo)
La curva ó (circunferencia) es REGULAR y de clase C 1 V i ,
0 < í < 2n . Adem ás
la curva tiene orientación antihoraria cuando t recorre desde 0 hasta 2 n (es el sen­
tido según la región R, porque la región R está a la izquierda de Ó).
Luego, el área de la región R encerrada por la curva L, está dada por:
Area (R) =
=■ ~
j . 2*
( xdy - yd x )
/•2/r
I
[(a eos í)(a eos i d i ) - ( a sen £)(-a • sen i)d i]
Joo
p2jz
- i
f
[a2 eos2 t + a 2s e n A ]d í
«2;r
=j ° 2 |
Jo
di
= n • a2
E je m p lo 0 2 .
Hallar el área de la región encerrada por la curva
C:
x = a (2 eos i - eos 2 1)
y = a ( 2 sen í - s e n 2 í ’
S o lu c ió n :
1.
La curva se cierra en sentido antihorario cuando t varía desde 0 hasta 2 n es
decir i e [ 0, 2 zr ].
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[
.
%
0
2.
•>
]
¿
,
71
(
y
je
El área es:
p 2n
Area (A ) =
=
3.
(x • dy - y • dx)
6 r r a 2
El cálculo se puede abreviar cuando la curva es simétrica respecto a uno de los
ejes coordenados o cuando alguna curva-frontera de la región es uno de los ejes
coordenados.
En este caso: la curva es simétrica respecto al eje X y el área total de la región R
es el doble del área de la región R 1 .
L e'1
B
!
Le 2
f
D
A
.
X
La región R1 está cerrada por la curva C que es la unión de Q
con C 2 , por lo tanto:
si
entonces
1
* c2
Area de R
O*
Donde: Cj es el arco AB, cuyas ecuaciones paramétricas están dadas en el problema.
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Aplicaciones de la Integral Definida
a)
=¿
-
( x -• d
dyy-- y d
• dxx))
I ( [a • ( 2 co sí - co s 2 í ) ] [a( 2 c o sí Jo
- [ a (2 sen t - sen 2 t )] [a ( 7C
o
(1 -
2 sen t
2 cos2í ) ] )
+ 2 sen 2 t ] ) d t
eos t ) dt
= ^ {6a27r)
b)
Hallemos las ecuaciones paramétricas de C2 que coincide con el segmento BA
C om o B A es un segmento contenido en el eje X, cada punto es de la form a
(x, 0) con - 3 a < x < a .
Hallemos las ecuaciones paramétricas del segmento B A que tenga sentido de B
hasta A.
Bastará hacer x = i y cóm o y = 0 , entonces las ecuaciones paramétricas de la
curva C2 son:
t g [ - 3a , a]
donde:
dx = 1- dt
dy =
0
y la integral curvilínea a la lo largo de
es:
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c) P or tanto, el área de la región fí 1 es:
Area (P t ) =
= j*
+ J
= 3 a 2 ti + 0
= 3a 2 7z
d)
Area (fí) = 2
=
E je m p lo 03 .
A rea ^ )
6a 2/r
Determinar el área encerrada por el lazo de la curva descrita por
x —t
—4 t , y = t ~ 4 .
S olu ción :
Cuando se trata de hallar el área de una región encerrada por un LAZO, todo lo que
se necesita es hallar los PUNTOS DOBLES.
Hallar íj
Supongamos que
y t-¿ tal que
( x f o ), y ^ ) ) = (x (t2), y ( t 2 ))
( ¿i ~
, í j - 4 ) = ( t f , ¿2 —- 4 )
t 2 - 4C - t f - 4t 2
(
*1
~
^2
1)
(2 )
íf - 4 = tf - 4
=>
íj
~ ^ ( ti - í 2 )
fri2 - r
2
- í 2 ) ( i 2 + % t2 + t f ) - 4 ( íq - í 2
( ¿i —¿ i) ( ^ + í 2 ) =
0
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Aplicaciones de la Integral Definida
C om o se quiere fj & í 2 , entonces se reduce a:
\
+ ¿i 12 ^'^2 ~ ^
|
t| + ¿2 —0
(2 )
en ( 1 ):
íf ~
............................ ........... ...........,... ( 1 )
-L>
¿2
........................... ( 2 )
E = ~L¿
+ E? = 4
d —2
t| ~ 4
Sustituir en (2):
v
f2 = 2
=> ^ = - 2
í 2 = -2
=> ti = 2
Si
¿2
~
-2
De esto podem os deducir que la variable t recorre el intervalo
2
Cuando
t - -2
=>
El primer punto del LAZO es (0,0)
Cuando
t~ 2
=>
El segundo punto del LAZO es (0,0)
<
t <
2,
En consecuencia el área de la región encerrada por el LAZO es:
A rea (i?) = j? J
2
¡•2
í
Dondem ^ x = í° ^ 4í
(x - d y - y d x )
[ ( í 3 - 4 í) { 2 t ) - { t ¿ - 4 ) ( 3 í 2 - 4 ) ] di
\
2
- 12
' dx = ( 3 í 2 - 4 ) di
f 2
I
.
[- t
-2
r2
= 4 .2 J
_
+
8í
[- i4 +
í55 +, !8¿¿3
° -1 6 t
- 1 6 ] dt
8í 2 - 1 6 ]
es simétrica
] d y = 2 i . di
di
t =2
í =0
256
15
Nota:
E l resultado negativo es porque el Lazo se genera en sentido horario
(la región R no está a la izquierda). En este caso bastará anteponer el
signo menos a ¡a fórmula de la integral curvilínea
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C o n clu s ió n :
A rea { R ) = % & jli2
2. TEOREMADEGREEN
1.
S ea
{o = A ( x , { , ’ )d x + B(x,ij)d\¿
A (x, y ) y
B (x ,y )
una
fo r m a
s o n fu n c io n e s re a le s cié c ia s e
d ife re n c ia !
C 1
sobre
,
donde
un c o n ­
ju n to a b ie r to U c: I? ¿ ,
2.
S e a R u n a r e g ió n c e r ra d a y a c o ta d a (s u b -c o n ju n to d e
R2)
con
F R O N T E R A u n a c u m a C c e r ra d a , s im p le , R E G U L A R y d e c la s e C 1 .
3.
L a c u rv a C está o r ie n t a d a e n s e n t id o a n tih o r a rio .
Entonces:
TESIS
JI»
óy
i
dx • c/y = Q
(A (x ,y )d x + B (x ,y )d y )
(1 )
-INTEGRAL CURVILÍNEA DE LA FORMA DIFERENCIAL
ú) = A(x, y)dx + B(x, y)dy A LO LARGO DE LA CURVA F
■INTEGRAL DOBLE DE LA FUNCIÓN |E Í - 4^- ) SOBRE LA REGIÓN R.
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Aplicaciones de la Integral Definida
ACLARACIONES DEL TEOREMA DE GREEN
a) Se dice que las funciones reales en dos variables: A (x ,y ) y B (x ,y ) son de clase
C 1 , si las derivadas parciales
1
dy
y ~
*
dx
son continuas en el conjunto abierto U.
J
b) Se dice que una curva b cuyas ecuaciones paramétricas son x = x ( t ) , y = y (í)
t e [ a , / 3 ] , es de clase C 1 si sus derivadas x ' ( t ) , y'(£) son continuas en el inter­
valo a < t < f3 en el que la curva está definida.
c) Intuitivamente, una curva C es cerrada y simple, cuando tiene una las siguientes
formas.
N o son simples las siguientes curvas:
d)
Intuitivamente, una curva C es regular cuando no tiene puntos angulosos (pun­
tas-agujas).
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e)
La fórmula (I) se utiliza frecuentemente para reducir el cálculo de la integral d o ­
ble al de una integral curvilínea.
Para hallar la integral curvilínea Q (0 , se procede del siguiente modo.
I o Hallar las ecuaciones paramétricas de la curva C , si no se conocen.
2o Hallar el intervalo cerrado [ a j í ] que recorre " i " tai que la curva empieza en
(x(¿2 ) , y(cz))
y
termina
(x{J3), y(/?))
en
cerrándose
la
curva
cuando
(x (c r), y(o ')) = (x (/ i), (/?)). La curva se orienta en sentido antihorario.
Reemplazar en la integral curvilínea: x, y, dx. dy en términos de t. Así tendre­
mos:
i
g)
{A >
r
\
,
.
|
d f},y (í)) ■x' ( t ) + B(x{t). pít)} • y '(í)j • dt
>Y-
IN TE R PR E TA C IÓ N FISICA.
La form a diferencia
0) = A (x, y ) • dx + B (x ,y) • dy
C0 = ( A ( x , y ) . B ( x , y ) i . (dx • dy)
€0 =
Entonces la integral W
F (r (£)) • r ’ (t)dt
A
£
...
F i r i í ) ) • r'(í)df
expresa el trabajo que desarrolla la fuerza F
cuando una partícula se desplaza
por el camino r ( í ) desde el punto P - r í o ') hasta el punto Q = r (/?) •
El camino r ( í ) es la función vectorial
r : [a , A j - *
f? 2
t m r (t) = ( x (í ), y ( f ))
El vector velocidad es r ' ( t ) = ( x ' ( t ) , y '( O
h)
En la fórmula (I) si d = d } cv d 2 u d 3u ... u dr
,1
donde cada curva d, es regular de clase C ,
entonces:
9fifi
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cj'
i)
(o
= J
co +
j*
(tí + .+. ....-+
-+ J* I
a)
F : IR2
Sea la función
-x
U,y)
donde co = A ( x , y)dx + J3(x,y )dy
R
z-F {x,y)
cF
dF = ~
El diferencial de F es:
0) ,
''
sp
' dx + V t * dy
co = A * dx: + B • dy
COROLARIO
j*J
Si en la fórmula (I):
se hace
b)
j*j* dx
/y x
entonces: a)/
B = ~9 x
A = - ~9 yf
( x d y - y d y ) ...... ( 1 )
integral de línea sobre la
curva cerrada c, que es la
frontera de la región R
S i la r e g ió n R está lim ita d a p o r la curva Y, eí eje x y
x = a ,
las recta s
A{R) = -
y
«y
4
dy
área de la
región R
c)
\
^ v
j j A - ^ j d x * dy = (j^ A ( x , y)d x + B(x, y)d y ,
x ~ b , el área d e la región R es
y (£ )x ' (t) * dt
|
Ja
Y
C está p a r a m e t r iz a d a p o r :
x=
*
s
~ x -b
r : [ « , / ? ] - > IR 2
—> r ( t ) = (x
t
d)
S i la r e g ió n
R
Ja
r
x (f)y
: [a , /?] -»
t
R
a
= d, e l
(£) • dt
á r e a d e la r e g ió n R es:
c
b
y= d
e s tá lim ita d a p o r la c u r v a ñ el e je Y y
las rectas y = c, y
A(R) = I
(£ ), y (t ) )
d
está p a r a m e t r iz a d a p o r:
2
- > r(£ ) = ( x ( í ) , y ( t ) )
y e
N o t a : La integral de línea a lo largo de una recta horizontal o vertical es cero.
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*
Moisés Lázaro Carrión
E je m p lo 0 4 .
Hallar el área de la región R, dado en el gráfico adjunto.
P a s o s a s e g u ir:
Debem os dar el sentido que corresponde a las fronteras de la región R (dicho
1.
sentido es tal que la región R esté a la izquierda).
2.
™ = 1 desde el punto A hasta el punto B.
Debemos parametrizar la elipse
•
< i+ ¿ = 1
Una elipse dada por la ecuación cartesiana -Ar
c2 b2
x = a eos t
se parametriza haciendo
y = b sen t
donde “f” es el ángulo entre el eje Ó X y el radio vector Ó P
x - 4 eos t
Para el problema dado, será
donde
0 < t< ^ ,
a
=
porque
p
2 senf
A = (4 c o s 0 ,2 s e n 0 ) = (4 ,0 )
B = ^ 4 c o s -| ,2 s e n | -) = (0 ,2 ’
3. Cálculo auxiliar: x '( í ) = - a s e n í
4. Aplicar la fórmula:
í
k ¡2
A (R ) = - |
(2 s e n f) (~ 4 s e n í)d f
*n¡2
I
sen 2 t - 2 n
Jo
270
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Aplicaciones de la Integral Definida
E je m p lo 0 5 .
Hallar el área de la región limitada por
las gráficas de las ecuaciones: x = |y (, x 2 + y 2 = 8 .
Solución:
•
Después de darle sentido a las fronteras de la región
R, cerrando el circuito, se parametrizan cada frontera:
a) La parametrización del segmento O A es:
r{ t) = (0 ,0 ) + f [ ( 2 , - 2 ) - ( 0 , 0 ) ]
r ( í ) = (2 t ,- 2 t ) , 0 < i
,
0 < t < 1
<1
b)
La parametrización del arco A B es: r (í) = (y¡8 c o s í,V 8 s e n í),
c)
La parametrización del segmento B O , es:
r( t) = (2 ,2 ) + 1[ ( 0 , 0 ) - ( 2 , 2 ) ] , 0 < t < l
r (í) •
(2 - 2 í
0 <f <1
El área de la región R es:
=
•
, 2 - 2 í) ,
fl
c^/4
(xdy-ydx) + | J
( xdy - y d x ) + \
fJo
I ( xdy - y d x )
Hacer los cálculos auxiliares para obtener A ( R ) = 2tt
Ejemplo 06.
Hallar el área de la región limitada por la curva: e
x —4 —4t
y = 2 -2 tl
S o lu c ió n :
1. La gráfica de la curva es:
2. Los límites de integración se hallan en
los puntos de intersección con el eje X.
La intersección de la curva con el eje X
se halla haciendo y =
Si
y = 0
0.
0 = 2 - 2 12
=> t = ± 1
Luego
l < t <1
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y el eje X.
Moisés Lázaro Carríón
La función vectorial continua que parametriza a la curva ó es:
•
r : [- 1 ,1 ]
->
R 2
t
-»
r ( t ) = (4 - 4 t , 2
2 12 )
En este caso, por la forma que tiene la región, conviene aplicar la fórmula dado
en c) del corolario.
í
y (í) x'(t)dt
J
(2 -
2 í 2 )(-4)dft
(1 -
1¿ )dt =
A (R ) = ~ f
E je m p lo 07.
8 | t~
”] t rJ i]
1
3 ..! t = -1
-
32
Hallar el área de la región R.
Solu ción :
El área de la región R, es:
i
A (R ) = i
x dy - y dx
e v OA u A B
=i
2
f"+ f ^
r
a)
ÓÁ
í
0)
AB
Para calcular la integral de línea jty , debem os parametrizar el arco de circunfe­
rencia B O del siguiente modo.
Si tomamos com o polo, el origen (0 ,0 ) y O P es el radio vector, el punto (x ,y )
en coordenadas polares es ( 1 ) -j
x = r eos t
y = rsen t
donde r se obtiene de:
x 2 + y 2 = 6x
r 2 = 6r eos t
r = 6 eos t
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(2 )
Aplicaciones de la Integral Definida
Al reemplazar (2) en (1), obtenemos la función vectorial
R ‘
t
>
r { t ) = (6 eos 2 í , 3sen 2 t)
|*
i®nfl
j x dy - ydx = J
[(ó c o s 2 t) ( 6 c o s 2 í) - (3 se n 2 f) ( - 12 cosf sen f)]d t
2
rd
Jo
b)
36 eos t d t = 97r
I co se obtiene parametrizando el segmento dirigido A B
La integral de línea
AB
r (t) - A + t ( B ~ A ) , 0 < ¡t < 1
del siguiente modo:
r ( t ) - (3 + 3 t,-3 + 3 t ) , 0 < f < 1
Luego:
j* x d y - y d x =
J
[(3 + 3 í)( 3 ) - ( - 3 + 3 t)(3 )] = 18
AB
CONCLUSIÓN:
El área de la región R, es: A ( R ) = t> ( 9 n + 0 + 1 8 } = j 7 r + 9
E je m p lo 0 8 .
Hallar el área de la región limitada por el lazo x
q
q
+ y' - 3axy = 0
Solu ción :
1.
Parametrizar la curva con la sustitución, y = t x .
x 3 + f 3x 3 - 3 ax • tx = 0
x =
3 at
ü ?
3 at2
1 + t3
2.
C om o la curva forma un lazo, hallemos los puntos dobles, que van a ser preci­
samente los límites de integración.
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Moisés Lázaro Carrión
y t-¿ tal que
Hallar í¡
Supongamos que:
r-¡ * h>
( x (t2), y (íx) ) = ( x (í2), y (t2) )
Igualar componentes y resolver las ecuaciones:
3aíj
_ 3 aí2
1+íf 1+
(1 )
3 a íf _
(2 )
1 + f3
3 at§
1 + í|
íl (1 + t‘2 ) - t<¿ (1 + t f )
=>
1+
(1 )
1 + í'i )
~
(2 )
( 1 ) en ( 2 ) : tf • | (l + íf)= tfll + tf)
=’>
tj ■Í (1 + tf ) — t| íf (1 + íf )
2
=>
í 1 t2(1 + t f ) (¿i - t 2) =
^¿2 (1 + í f
=>
ti =
=>
)=
0 v t 2‘
0
com o t j ^ t 2
0
0
=
v
L = -1
No puede ser, porque D x,,„ = R - { - 1 J
En este caso, solo tenemos una única solución real: t = 0
Cuando
t= 0
=> x
= 0
a
y = 0 . Punto inicialP = (0 .0 )
Deseamos hallar otro valor de t tal que x = 0
en este caso se cumple: x = 0 cuando
y -
0
cuando
Por tanto, los límites de integración son:
a
y =0
i ->
+x
t
+ oe
t - 0 y t
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x
Aplicaciones de la Integral Definida
3.
El área de la región es:
x =
A = 2 ^
(x • dy - y • dx)
C:
Sai
oaP
1+r
=
En la forma diferencial: co =.- x • dy - y • dx
1
2
i:
i
I " _ 9gÓ
í
X 2 -d t
(1 + í 3 .,2
Multiplicar y dividir por x
¿y = x
• dt
'~2 •di
t 2 { l + t3
=
3a¿
x ■dy - y ■dx
x2 _^
obtenemos: — - í
El área de A es:
A
Nota:
:
= x 2 • d | “ •j , al dividir
+00
2" 9 a 2 Í
Jo
r>
i ¡ / ^- ' ^AT d7 n
..... (III)
Sin hacer ningún artificio, igual resultado se obtiene cuando en Ja
o) = x d y ~ y d x
forma diferencial
se sustituye las ecuaciones pa-
ramétricas y las diferenciales.
Ejemplo 09.
Hallar el área de la región limitada por la curva
C: x = 1 - eos 21 , y = 4 eos t y el eje Y.
Solu ción :
1.
Al graficar la curva ó se obtiene:
t
x -
1-
eos
0 1
Tí
4
0
0
21
y - 4 • eos t
^4
2x¡2
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2
3 n/
1
-2V2
/4
71
0
-4
Moisés Lázaro Carrión
2.
El área de la región R, es:
A {R ) =
x dy - y dx
Si aplicamos el corolario, porque d2 es un segmento vertical, la fórmula se redu­
ce a la forma:
A (R ) =
j* x (t)
e2
r
n
lo
•lo
e
y'{t)dt , donde dy = y '(t)d f
X •dy
..........
e l s ig n o - e s p o r q u e e s t a m o s c a m b i a n d o e l s e n t i d o d e la p a r a m e t r iz a c ió n d e c 2 ( q u e n o s ig u e la d ir e c c i ó n s e g ú n la r e g i ó n R ) .
(1 - eos 2t) ( - 4 sen f) • dt
n
•lo
( - 4 ■sent + 4 sen f • co s2 f) • 4t
14 2
//
3
Ejem plo 10.
Hallar el área de la región limitada por las gráficas de las curvas:
[ x = ij(f2 +2)
e 1 :\
2
[ y =t
- 2 <f <4
f x = 3+t
¿ 2 :\
[ y = -2 + í
S olu ción :
1.
El gráfico es:
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0<f <
6
Aplicaciones de la Integral Definida
La curva Cj tiene orientación horaria (- ) y la curva d 2 tiene orientación antihoraria
2.
(+), entonces al área de la región R es: A ( R ) = — ( J
x dy - y dx = -|
J +J
10
(Ü
r1 u
a)
El cálculo de
J ® se hace con la parametrización de ír:1,
o
C om o la parametrización de id no si­
,
,.
, ,
.,
„
gue la dirección según la región R, entonces:
b)
El cálculo de
J
J _2
x d y - y d x = - (- 3 ) = 3
J o se hace con la parametrización de d 2 >es^° es:
c'2
J o = [ x d y - y d x = 15
C O N C L U S IÓ N :
A [ R ) = 8 + 15 = 18
PRO BLEM AS PR O PU ESTO S
ÁREAS DE REGIONES LIM ITADAS PO R CURVAS PARAMETR1ZADAS
(TJí
Hallar el área de la región limi­
¡J3j
tada por un arco de la cicloide
x = a(t - sent) y =
a (l
Hallar el área del lazo de la línea
x = 3t
- co s í) el
, y = 3t - t
.
eje de las abscisas.
Hallar el área del lazo de la línea
Calcular el área de la región limi­
x =
¿2 - 1
, y = t3 - t .
tada por la astro ide:
*
[ 5j
3
Hallar el área de la figura limitada por la rama de la trocoide:
I x - a t - b sen t
( y = a - b eos t
[ 6j
3
x = a • eos t , y = a • sen t
< ^ < Qj
y la tangente a la misma en sus
puntos interiores.
Hallar el área de la región limitada por la curva con ecuaciones paramétricas
x = 2t —1 , y = 121 - 4 t 2 y el eje X.
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f~7~)
Calcular el área de la región encerrada por el lazo de la curva ó, cuyas ecuaciones paramétricas son: x = t
( 8j
- t , y=t
Q
- 3 t.
Hallar el área de la región limitada por la curva con ecuaciones paramétricas
x
y ;
O
;
4 r ’ . í > 0 y las líneas de las ecuaciones x = 1 y x - 4 .
H •y
-
*
* •-
d la región encerrada por el lazo de la curva Ó : x = t° ~ t ,
are a
de
ia
región
encerrada
por
la
curva:
x = eos3 1 .
e n í.
¡11}
t íallar e! área de la región limitada por la curva Ó:
x -- 2 * sen2ó . y = 2sen¿0 * tg d y su asíntota ^ en esta caso
0<
9 <~ j ,
Hallar el área de la región limitada por la curva ó:
x = 2 • ctg 6 , y = 2 • sen 2 6 , 0 < 6 < n y el eje X .
13]
Hallar
el
2
y = b • sen
14 j
115
^
área
de
Q
9
t , (c
la
= a
9
región
acotada
por
la
curva:
x = — • eos
9
- b ), (envoluta de la elipse)
a ■sen2 1
Calcular el área de la región acotada por la curva: x = a • eos t , y = ^
2 + sení
Hallar el área encerrada por el lazo de la curva: ó : ]
-f-
[ y- t
^
-3 t
t e R
R ESPU E STAS:
3 TIO2
a
7r{b2
0
9
278
i
60
3 _„2
^na
0
+ 2a b )
0
Qñ)
0
fÓ 3
36
0
20
8
©
81
371
2
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0
0
©
ó
Aplicaciones de la Integral Definida
1.3
Area de una rebiú n lim ita d a po r una c u r v a
EN COORDENADAS POIARES
1. INTRODUCCION
Intu itivam ente, la fórm u la q u e nos perm ite hallar el á rea d e u na regió n lim itada
p o r una cu rva en co o rd en a d a s polares, se d ed u c e a partir d e la fórm u la q u e corres­
p o n d e al á rea d e un sector circular.
Veamos:
a)
P o r regla d e tres sim ples ten em os:
Si al a rco 2 n co rresp o n d e el á rea n r 2 e n ­
ton ces al a rco 6. ¿ Q u é á rea correspon d erá?.
2n
n r2
A
T = radio de la
circunferencia.
A - ^ r20
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
DEARCO 6 Y RADIO r
b)
El área q u e co rresp o n d e al sector d e arco
d d es:
dA = j r 2 - d d
,
r = f{0)
P o r tanto, el á rea q u e co rresp o n d e a la
lim itada p o r r = f ( 0 )
A = j
D o n d e la fu n ción f -.\a,/3] - >
REGIÓN
y los ra yos a y f f será:
r 2 ■d d
E es contin u a en [ a , f i ] y r > 0 , \/de\a.p\
0 -*■ r = f ( 0 )
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c)
Sea la región R = ( ( r , 6 ) e
Jf?2/o <
g (0 ) < f ( 6 ) , a < 6 < ¡3
donde las funciones:
f : ¡ a ,/3) - * ¡R
S
g :[a ,/]]-> E
son continuas en [ a , p ].
Entonces el área de la región R, es:
de
Ja
O b s e rv a c ió n j
La fórmula definida en h) se puede hallar aplicando suma de
Riemann.
Veamos:
TEOREMA
Sea la región R
j ( rj i ) e R ¿ j r
f { 0) > (Km < 0 < fi j donde la fun­
ción /: [ d/. A] - * í R es continua en ei intervalo [ar./i]. entonces el
área de la región R es:
“''" '" 'ir
.
AIR) = 1 f ' ¡ 2 (tí)-d O .
D e m o s tra c ió n :
Deseamos hallar el área de la región R (ver fig. 2)
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1. Consideremos una partición P de [ a j í ] definida por:
P = ( a = Oq , tf , 6 ,..., 0¡ _ ^
tal que
a = d0 <
donde:
A 6*r - 6i -
2. Sea:
¿3»- e
,..., dn = ¡3)
< ... < tf_ i, <0, < ... < 0n = (3
, /= 1 , 2 ,
n
3. El área del sector circular de radio / (d ¡) y arco A¡9¡, está dada por:
y He,)}
2
■ c u o . - i . 6’,]
ésta área existe en cada intervalo [ 0 ¡ p , 6* 1 .
C om o existen n intervalos, entonces la suma de las medidas de las áreas de los n
sectores circulares es:
/ =i
4. Si j¡ A| = máx { Aí?f / / = 1,2,....n ] , entonces:
Km y
||A||-o° ^
E je m p lo 0 1 .
Encontrar
2 -
el
"
área
-
de
la
¡' 'JW f-dO
Ja
región
acotada
por
r = 4cos2é?.
S olu ción :
1. Hacer una breve discusión de la ecuación para graficar la curva,
a)
INTERSECCIONES: Con el eje polar, eje
0
0
Y
4
71
0
-4
, eje n , eje
3 n/
h
0
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la
gráfica
de
Moisés Lázaro Carrión
b) S IM E T R Í A S : Cuando la ecuación polar es función solo del coseno, siempre
existe simetría respecto al eje polar.
Para probar, bastará hacer el cambio (r,-<9) y se observará que la ecuación
no varía.
c) EXTENSIÓN: C om o el coseno es acotado, se tiene:
-1
=>
< eos 0 <
1
- 4 < 4 eos 0 < 4
|4 eos 0 |< 4
Este resultado nos indica que la curva esta
acotada por una circunferencia de radio 4.
d)
LIMITES d e INTEGRACIÓN: Sí existen soluciones para la ecuación r = 0 , se
obtendrán los límites de integración.
Asi:
4 eos 3(9 = 0
eos 3(9 = 0
30 = f + kn
fi —H
L -l L l
^
6£L ' 3O
La función coseno es decreciente en el primer cuadrante desde “4 ” hasta “0 ” ,
luego r disminuye desde 4 hasta 0, cuando:
0 < c o s 3 (9 < l
=>
2~ > 3 0 > O
¿
2. Para hallar el área total bastará calcular
el área de la región limitada por un solo
=>
f> 6 > > 0
O
5t¡
6
71
6
pétalo.
JL
6
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Aplicaciones de la Integral Definida,
A(R) = 2 4
í 6 r2 - d0
Jo
= í 6 (4 eos 3 66 2 • dd
Jo
= 16 j 6eos"" 30
dd-■=16 | 7~+ iVsen6í? |' 0
Jo
= ~ f~ - < r—
L¿
16
J
0=0
área de la re gió n en cerrada p o r un pétalo
El área total es; A = 3 ^4—| = 4 n
Ejemplo 02.
Hallar el
r2
=4
área de laregión acotada por la gráfica de la ecuación
sen
26 .
S olu ción :
1.
Breve discusión de la gráfica de la ecuación:
a) INTERSECCIONES:
Con el eje polar, eje j , con n y con
r
0
n
2
0
*
~2
O
0
O
6
b) L im ite s d e I n t e g r a c i ó n :
Si existen soluciones para r = 0 , se obtendrán los límites de integración.
Veamos:
Si r = 0
0 = 4 sen 2#
0 = sen 2 0
26 = kn
e = >f
Este resultado nos explica que el radio se reduce a cero cuando el arco es 0 o,
Y 2 1 711
3/"2 . (que serán los límites de integración).
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c)
E x te n s ió n :
Se cumple:
r
9
> O
4 • sen20 > O
=>
sen26 > O
=?>
O <26 <
O < 6 < f
v
2n
V
n < 6 < ^ f
< 26 < 3 tt
En estos intervalos está definida la curva.
c) S
im e t r ía s
:
Sólo existe simetría respecto al origen, porque al hacer el cambio {r, 6 ) por
(r, tt + 6 ) no cambia la ecuación.
d) T a b u la c ió n :
Tabular en los intervalos 0 < 6
v
n < 6 <^~
JL
2
JL
4
0
71
271
2
2. El área es:
También se puede hacer:
A = 4 -| j Q
4 r 2 -d 6
• sen 2 6 d 6
= 4.
= 4
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Ejemplo 03.
Encontrar ei área de la región que está acotada por el rizo más p e ­
queño de la gráfica de la ecuación r = 1 + 3 s e n # .
S olu ción :
1. Hacer una breve discusión de la ecuación para graficar;
a)
IN T E R S E C C IO N ES :
0
0
r
1
4
Tt
2*Á
1
-2
b) L im it e d e I n t e g r a c i ó n :
Si
r
0
0
~ú
■ 1 -i- 3 sen Ó
0
arasen ( - ^ )
Este resultado nos explica que ei radio de r se reduce a cero cucindo el arco
es 0 = arcsen (
) que será un límite de la integral a calcularse.
c) Sim etría :
Porque la función sólo depende de sen 0 . entonces es simétrica respecto al
eje f .
Al hacer el cambio (r , tt - 0 ) no varía la ecuación.
d) C om o la curva es simétrica respecto al eje
(-
2 , 3 n/ 2.)'-
y pasa por los puntos ( 4 . K/ 2 ) ,
hasta -■
ent ° nces bastará tabular desde
pasando por
arcsen ( - 3 ) •
-2
-
1.1
arcsen ( - j ^ )
- 0.02
0
o
r
- n/
/4
i
~n
Á
O
CM
9
-2 5 °
-
0.2
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10°
45°
0.47
3.1
-
4
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El área d e la región encerrada p or el rizo m ás p eq u eñ o es:
A =2 4
farcsen(-¿)
í:
1 ; r 2 -d6
1
(1
A=J
.2
+ 3 se n # )
• dO
~T
ü ■tí - ~ arcsen
- 3>/2
4
N o ta :
Tener en cuenta lo siguiente:
eos
arcsen
(4)
2V2
3
(o b s e r v a c ió n ]
C o m o p o d rá observar el lector hasta el m om en to, hallar el área n o reviste dificultad
si se con o cen los límites de integración. El gran p rob lem a es hallar los límites d e in­
tegración.
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Si la región está encerrada por una curva, los límites de integración se hallan te­
niendo en cuenta las siguientes recomendaciones:
1) Resolver la ecuación r = 0 .
Se presentan dos casos: existe solución o no existe solución.
a) Si existen soluciones, dichas soluciones serán los límites de integración.
b) Si no existe solución y la curva es cerrada, entonces los límites de integración
se pueden escoger los extremos de [0,2/r] o cualquier 6 0 en radianes y
0 = 0q +
2 /T , 0q
e [ 0, 2 re ] .
2) Observar las simetrías.
E je m p lo 0 4 .
Hallar el área
de
la región
encerrada
O
O
r = a ' eos 2# (lemniscata de Bernoulli).
por
la
curva
S olu ción :
1. Breve discusión de la ecuación,
a)
¡NTERCEPTOS:
0
0
r
±a
*A
L im ite s d e I n t e g r a c i ó n :
b)
Si: r = 0
7T
=>
3A
0 = eos 26
±a
i
0 = a2 - e o s 26
26
’ + kn:
— E- 4- ^7T
“ 4 2
Lim ites
c) SIMETRÍAS: Hay simetría respecto al eje polar (hacer el cambio por { r , - 6 ) ) y
respecto al origen hacer el cambio por (r , 6 + n ) , la ecuación no se altera.
d) E x t e n s i ó n :
r2 >
0
Vr
a 2 • eos 26 >
eos 2 6 >
f <
2d
< f
0
0
4f
t
<
2d
< 6 < 5?r
4
L1— Son los
f límites de Integración —t1
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e)
T a b u la c ió n :
Aprovechando las simetrías, bastará tabular en el intervalo \^0,~
JL
4
Ejcmplo 05.
Calcular el área de la región limitada por las curvas r = 2a eos 0 y
r = a (l + cos<9).
S olu ción :
Nota:
Cuando una región está limitada por dos o más curvas, hacer dos co-
1) Resolver el sistema
: r
2a • cosO
. r
2(1 - eos 0) <
<—
circunferencia
cardioidc
para hallar los límites de iníegración.
2) Graficar.
Veamos:
1.
2a eos 6 = a (1 + co s 0)
2 eos 0
= 1 + eos 0
eos 0 = 1
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2.
G ráfico:
H a y sim etría respecto al eje polar.
P orq u e el círculo está con ten id o dentro de la cardioide, el área es la diferencia d e
las áreas limitadas p o r las dos curvas.
A =
2
•i
=
Ejemplo 06.
Calcular
J
| [ 2 a e o s <9] 2 -
[ a ( l + eo s<9) ] '
_ ¿¡-a2 = <L
el
área
del
interior
de
las
curvas:
r = a (l + c o s 0 ), a > 0 .
Solu ción :
1.
Graficar.
r = a sen <9, es una circunferencia d e centro en ( 0 >§ ) y radio j
r = a (1 + e o s 6 ), es una cardioide.
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r = asen0
y
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2.
Límites de integración.
La intersección de las curvas se obtiene resolviendo.
a ' sen ¿9 - a (l + cosa)
send =
1 -+ cqsO
sen 6 - eos 0 = 1
=i>
sen O *
- eos 6 ~
=
sen
0^0
0=f
0 - JT
-Límites
3.
C álculo del área.
Observar el gráfico: Al girar el radio vector r desde el eje polar O X . en sentido
antihorario, barriendo toda la región, pasa por A - ( '§ '■ a ) hasta llegar hasta
Porque A es un p u n t o a n g u lo s o , el área se halla con dos integrales:
A =
Ejemplo 07.
J “ (a
• s e n # )2 dO + ^
j* í~ a (l + c o s d ) ] ~ • d d
Encontrar el área de la región que está acotada por las gráficas
de las dos ecuaciones dadas:
Jr =2
{ r = 3 - 2 • eos 0
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S olu ción :
1.
G ra fic a r c a d a cu rva.
a)
r - 2 es una circunferencia de centro en el origen y radio 2,
b)
r = 3 -2 c o s < 9 .
bd
Intersecciones:
r
10
| r
i
\
Sí
n j 3?^
0
2
5 i
i
m
0 = 3 - 2 eos
r=0
3
, esta igualdad implica que no existe solución .
eos 6
'—
Es mayor que uno
El máximo valor de coseno es 1, En este caso el conjunto solución es
vacío. Geométricamente este resultado nos indica que el radío r nunca
se reduce a cero.
c)
Extensión:
- 1 < eos 9 < 1
2 > -2 eos 9 > -2
C om o
Por -2
Sumar 3
5 > 3 - 2 eos 6 > 1
Este resultado implica que la curva es cerrada de radio mínimo r = 1 y radio
m áximo r = 5 .
El gráfico es:
2.
n
t e
t e
Hallar las intersecciones:
2 = 3 - 2 eos 9
5
i = eos 9
/i
71
\
0 = 2kn ±
\ \
0
V
A
t e
Necesitamos:
S
V
,
3
e = -%
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3.
El área de la región que es intersección de los planos encerrados por dos curvas
se halla sumando dos integrales, porque A es punto anguloso.
A = 2 -1
j * 3 ( 3 - 2 eo s<9)2 • d& + 2
= iu
n S
=
ÍE/3
3
E je m p lo 08 .
3
J * 2 2 • dd
2
2
Calcular el área de la región que es interior a la curva r = a y
exterior a la curva r = a ( 1 - eos 6 ).
S olu ción :
1.
El gráfico es:
2.
La intersección de ambas curvas se hallan resolviendo la ecuación:
a = a (l- c o s a )
1
=
eos 6 =
1-
eos 6
0
_
7T_
—
3;r
+ k , se necesitan <!
292
2
2
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3. Porque hay simetría respecto al eje polar, el área es:
í
A - 2 ■i
|
Jo
= a¿'
Jo
{ a 2 - [ a { 1 -c o S (9 )]2 ]
dO
[ a2 - a 2 + 2a 2 * eos 6 - a 2 • eos 2 0 ] • d9
I
í,
[2 eos 9 -
eos4* 1 • d<9
a2 F 2 serié? - ~ 9 - —sen 2#
2
41
(z -f)
E je m p lo 0 9 .
Hallar el área de la región que es interior a la curva r = 2 sen26* y
exterior a la curva r =
1
.
S olu ción :
1. El gráfico es:
2. I n t e r s e c c i ó n :
1 = 2 - sen29
j = sen 2 6
29 = kn + (—l ) fc j
- Son las intersecciones
¿i _ n
n
5 ti 19 — 23
& 19
12 5’ 12 ’ 12 71 ’ 12
Por la simetría existente, necesitamos sólo d = — y d = 4 para integrar.
12
3. El área es:
A =
8 -Jf
t
I “ [ ( 2 sen 2 éi)2 - l]d é >
12
2;r
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Ejem plo 10.
Hallar el área de la región encerrada por las curvas r = 3 + eos 4(9
y r = 2 - eos 4 6 .
S olu ción :
1.
Discutir la ecuación: r = 3 + eos 40
a)
b)
Intersecciones:
0
0
r
4
n
372
4
4
r = 3 + eos 40
4
Veamos si el radio r se reduce a cero:
r = 0
Hacer:
=>
0 = 3 + eos 40
- 3 = eos 40
\— ------ Absurdo
Este resultado nos indica que el radio nunca es cero.
c) Extensión:
Se cumple
- 1 < eos 40 < 1
Sumar 3
2 < 3 + eos 40 < 4
Esto implica que la curva es cemada y está acotada por las circunferencias de
radio 2 y radio 4. Es decir el mínimo valor que tiene r es 2 y el máximo
valor es 4.
d) Simetría:
e)
Es simétrica respecto al eje polar
Cambiar por ( r , - 0)
Es simétrica respecto al eje - j
Cambiar por (r, n - 9 )
Es simétrica respecto al
Cambiar por (r, n + 6 )
Monotonía:
PO LO
(Crecimiento y decrecimiento de la función).
Estudiemos la variación de
Si
0 < 40 < |
0
<
0
y r en cada cuadrante:
4 >r>3
(Decreciente)
0<£
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Si
<4$ < n
Sí
n <20 n g
Sí
3 >r> 2
Deciente'
23 < 2/
ere
0<
4
(Decreciente)
(Creciente)
4"
T a b u la c ió n :
Dando
i '~á , Oí H O
la mon
diente es:
2. Discutir la ecuación
r= 2
eos 43
S u g e re n c ia : Analizar de manera similar,
3. In te rs e c c ió n :
Igualar las dos ecuaciones y resolver
3 + eos 43 - 2 - eos 4 9
eo s4 0
-A
¿
A 6 ^ 2k n ±
kn i n_
2 ~ 6
4. C a lc u lo d e l Á re a : Porque hay simetría respecto a
desde 0 hasta ~ pasando por
Así:
A| —
j*^6 (2 - eos
El área total, será:
A =
(punto anguloso).
4 0 ) • dd + ~
8 Ai
, bastará calcular el área
j 4 (3-4- eos 4
£
9)
ó
5-s/S
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PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS - RESUELTOS
Problem a 01.- Determine los límites en forma que para región acotada por el
círculo x 2 + y 2 = 4 y la recta y = \/2 .
S olu ción :
Se procede de la misma
manera para identificar las
regiones
en
coordenadas
rectangulares, esto se hace
2
1
un dibuja de la región y se
traza el rayo de prueba.
El rayo L siempre entra en la región por la recta y = \¡2
x
o
+y
p
y sale por la curva
= 4 Estas ecuaciones en coordenadas polares son, para la curva.
{reosO )2 + (rsenO )2 = r 2 (cos2 <9+ sen 2# ) = 4
r2 = 4
y para la recta:
r sen# = V 2
r =
J L
send
r = \ ¡ 2 escQ
El ángulo mínimo es la intersección de la recta con la curva.
r = 2 = -^
sen #
4% _ 71
6 = are sen-
y el ángulo máximo es J-, la región se especifica como:
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Í
/»
7T/2 /®2
I f (r ,0 )d A = I
I
J tt/4
JR
f ( r , 0 )rdrd&
J d2. esc O
Á r e a e e c o o r d e n a d a s p o la re s
Al igual que el coordenadas rectangulares, sí / (x ,y) = 1, el resultado de la integral
doble es el área de la región plana, esto es:
Jt
Area = | j
rdA
dónde dA = drdd = dO dr . Y para los sólidos sobre la región plana en el plano xy
limitado por la superficie / (x ,y ), la integral doble que da el volumen se transforma
en:
V = J j* f ( r e o s (9,r s e n d j r d A
donde la ecuación de la superficie se convierte a coordenadas polares al sustituir
x = r eos 6 y y = r sen 0 .
Problem a 02.- Calcular el área entre los círculos de radio
1
y radio 2 con el mismo
centro.
Solu ción :
Por facilidad, se considera que el centro de ellos en el origen (0,0), por lo que las
ecuaciones de ellos son:
x
o
+y
9
x“ + y
o
9
=
1
, y en coordenadas polares r =
1
= 4 , y en coordenadas polares r = 2
Puesto que las ecuaciones de los círculos son
más sencillas en coordenadas polares que en
coordenadas rectangulares, se calcula el área
en coordenadas polares. Para el análisis, se
hace un bosquejo de la región (con winpiot) y
se traza un rayo desde el origen que cruce la
región.
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El rayo entra por el círculo de radio 1 y sale por el círculo de radio 2, y el ángulo es
desde 0 hasta 2 n para que el rayo pase por toda la región. La región se especifica
con:
E = { (r. (9) 10 < d < 2 ,1 < r < 2 }
Los límites para ambos, 0 y r son constantes, por lo tanto, se puede utilizar cual­
quier orden de integración dr d0 o dOdr . La integral doble para el cálculo del área
es.
J>2 n í*2
o
I
_0
rd rd H
„
[b
2 J,
■ dd= J
0
(ic 4 - D )d e = j o
i^ = fir = 3 ,
Problem a 3.- Calcular el área de la superficie limitada por la curva r = 1 - eos 6 .
S olu ción :
Se hace un bosquejo de la región (con winplot en coordenadas polares) y se traza un
rayo desde el origen.
En la figura se observa que el rayo, entra a
**
la región por el origen y sale por la curva
r -
1-
eos 6 ,
0
sea, que los límites son
0y
. A
am
1 - eos 0 . A l girar el rayo para cubrir toda la
región, el ángulo varía de 0 a 2tt . La re­
gión se especifica como:
R = { (r,é?) |0 < 0 < 2 ^ ,0 < r < 1 - eo s 0 }
La integral doble para calcular el área es:
fZK
• 2 7T p
í»l ~ C O S 0
Jo
Jo
7T
rdr, dO =
1 2 1 ^~cos ^ d 0
2 r Jo
i
2 71
^ • - (1 - c o s 0) dO
j - cosO + j eos 2 OjdO
Í '2 n
„
nao -------
« -
cos 9 + ^ + —eos 2 9 ) d 0
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^■0 - s e n O +
4
~
o
El área es ^ nu
O
^ser\26 T
8
Jo
2 71 ~ s e n %7T + s e n 0 ~ 0
+ ~ sen 4 ,T -^-senO = ~7t
.
Problem a 04.- Calcular el área encerrada por la leminiscata r¿ = 4 eos 20
Solu ción :
Se hace un bosquejo de la región:
Se observa que la región es simétrica, y el área
es 4 veces la de la sección del primer cuadrante.
Los límites de r son cero y y 4 c o s 2 0 . Al m over
el rayo (lado positivo del eje x), o sea 0o , hasta
el punto contrario, cuando r = 0 , el ángulo final
se calcula con r =
0=
-n/4 eos 20 , que da
0 = -f
.
La región se especifica con:
R = { (r, 0 ) |0 < 9n / 4 ,0 < r < V i c o s 20 }
y el área se calcula como:
, * * ' 4 p / 4 cos2 0
Area = 4 |
f
f
Jo
Jo
|
rd rd O
f ' ~ 4r .
4J
[V r
, - , ^ 1^
J0
27;
P ‘ -4
JP
o
d0- - - 4\
2cos 2 0 d O
= 4 sen 2 0 ] * ' 4 = 4 (s e n (2 m '4 )-s e n 0 ) = 4
Problem a 05.- Determine el área de la región por la curva o curvas, según sea el
caso:
r = 4sen0
S o lu c ió n :
r = 4sen0 , se trata de una circunferencia con centro en (0,2) y radio 2.
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Moisés Lázaro Carrión
P r o b le m a 0 6 .» Determíne el área de la región limitada por la curva o curvas,
según sea el caso:
r = 4send
S olu ción :
r = 4sen$ , se trata de una circunfe­
rencia con centro en (0,2 ) y radio
fd
A=¡il
= 16 I
Jo
f
fW
H
2
2.
(4sen 9)d6
'
sen 2 0 d 0
r = 1 + eos(;r - 9)
=>
r = 1 - eos 0
- r = l + cos(-¿?)
=>
-r =
o
1 + eos 0
La gráfica tampoco es simétrica con respec­
to al polo, debido a que:
- r - 1 + eo s<9,
r=
o
1 + cos(/T + 0 )
300
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=>
r=
1-
eos 0
Aplicaciones de la Integral Definida
A = 2 1~ i (1 +- e o s O)2 dO } =
j*
(1 + 2 e o s 0 +
eos2 )dü
j*
=
^1 +
2
eos 0 + -• (1
+
eos 2 dfj df)
t /T
=~ J
jo
(2 + 4 c o s 0 2 0 )d 0 = —I 30 + 4sen f? + ~ s e n 2 4 Jo - l ] 3 ( ^ - 0 ) + 4 ( 0 - 0 ) + i ( 0 - 0 )
i
A = 4(3/r)iri
P r o b le m a 7.- r = 2 eos 46*
S o lu c ió n :
Para realizar la gráfica analizamos la simetría con los ejes y el polo.
•
Con respecto al eje polar: r = 2 c o s 4 (- 0 )
•
Con respecto al eje /r / 2 : r = 2 co s4 (;r - 6 )
•
Con respecto al polo: r = 2 co s4 (;r + 6 )
0
0
6
4
n
n
3
;r
2
r
2 -1
-2
-1
2
n
r = 2 e o s 4 0 , es simétrica.
r = 2 eo s40 , es simétrica.
=>
r = 2 eos 4 0 , es simétrica.
Determinando en período para el cual,
r= 0
=>
2 eos 4 0 = 0
=a
40 = f
e
eos 40 = 0
Luego:
A = 161 i
L
Í <7T¡ 8
J>;r/8
o
4 eos 2 4 0 c/0
o
*nl 8
= 32
= 161
Jo
(2 c o s 4 0 )2d0
J0
ÍU c o s í
0 + -|-sen80
A = 2;ru2
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dd
16 ( | + 0 )
Moisés Lázaro Camón
Problem a 08.- Dentro de r =
2sen6 y fuera de
r= 1
Solución:
Note que r = 2 s e n $ es una circunferencia de radio 1 y centro en (0,1). Mientras
que r = 1 determ ina una circunferencia de centro en (0,0) y radío 1.
Intersección entre las curcas:
2sen.d = 1 ra> sen 6 = -k -=> 0 = f
O
0=
de
, esto implica que los puntos
intersección
son
(1 , tt/6)
y
( 1 , 5/r/ó).
Luego:
A
f
Ja
ra i 2‘
A =21
J/T/6
C'r /2
•ot/6
(1 -
([2 s e n 0 r ~ [llN d d
Í vt/2
t /6
í
n/2
(2sen4¿ 0 - l )d0
,n
2cos3)d3 = [3 - sen 2 d ] ^ = | /
0 --J
1 - eos 2$
r /6
l ) d0
o
/
+ ^ = | + c/A.\u2
P r o b le m a 09 .- Dentro de r = eos 0 y fuera de r = v 3 sen0 .
S o lu c ió n :
V em o s qu e r ~ eos 0 representa una circunferencia d e radio 1/2 y centro en (1 ,2.0).
r ■ 4?> s e n 3 representa una circunferencia d e radio
y centro en ( 0 . V 3 / 2 ) .
A h ora d eterm in em os los puntos d e intersección entre am bas curvas:
se.nO w
e o s 3 -■
uunto (>uí
'
2
Süüíi -
4;;
ra n < V -N ^
2»
0 - -p , d e d o n d e ob ten em os el
()
i| .
■ (»;
P e ro cu ando r = 0 tenemos:
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Aplicaciones de la Integral Definida
COS 6= 0
=>
0 = jr
=>
0
:=>
send =
0
a/3send =
J»7T/(3
[f^f)
6 =n
=>
(0,/r)
—>
/•n! 2
(eos 2 (9 - 3sen 2 d)d9 + ^ i
cos“ d d d
0
• ir ¡ 6
j*
í
(1 - 4sen 2d)dd + j
1 -4
1 - cos 2 0
eosL QdO
|
fJo
'0
c w + i ' " 2 1 * cos2í; dd
7 r /ó
/r /
2 cos 26* - l) d d + ™
^-[ sen 2 d - d ]q '
Jo
r/2
1 + 4~[^
Jo
2
(1 + cos 2(9) dd
+ 2'Sen 2 d
ir 12
Problem a 10.- Dentro de r = 1 + cos 0 y fuera de r = cos d .
S olu ción :
Vem os que r = cosd representa una circunferencia de radio 1/2 y centro en (1/2,0).
Por otro lado, r = 1 + cosd , representa un cardioide. Ahora determinamos los pun­
tos de intersección: 1 + cos <9 = cos 6 < = > 1 = 0 , de donde concluimos que no exis­
te intersección.
Pero cuando r = 0 tenemos:
f
]
A =2
*71
1 + cos 0
= 0
co sd = - l
cos 0 = 0
(1 + cos d )2 d 0 -
área de la cardioide
—
-i
J
2L
2
0= n
=>
(
0
,
tt/
=>
2)
*TC! 2
cos 2 d d d
área del círculo
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(0, 7r)
Moisés Lázaro Carrión
í
Jo
Í
1 + 2 eos 0 + —
JT
(2 + 4 eos 0
J
1de -
+ eos 26)d6 -■ ~
* n! 2
1 + cos2O
0
J
d0
*7
*7T¡2
( l + co s2 9)d0
4-f 3 0 + 4sen 0 + 15-sen 20 1 - \ \ 0 + -i-sen20 !
2L
¿
jo
P r o b le m a 11.- Dentro de r
¿
4
Jo
= eos 20 y fuera de r
= sen 0
S olu ción :
Según la gráfica vem os que ambas ecuaciones describen curcas que son simétricas,
por lo tanto trabajaremos sólo con la parte positiva. C om o r 2 = eos 20 , entonces
eos 20 >
0 ==> 20
e ^
J , de donde
0e
~
, ~ |, lo que significa que esta cur­
va está definida en ese intervalo. Por otro lado, tenemos que r 2 - sen20 implica.
sen 20 >
0
=+
20
e [ 0 ,tt] =>
La intersección entre las curvas ocurre cuan­
do 0 = —, pues:
eos 0 = sen 20 => tan 20 = 1 => 20 =
de donde 0 = 4 •
304
0 e| 0 , ~
Ahora determinaremos el área de la región
sombreada (de la derecha)
i)
Calculamos el área de la región limita­
da por r2 = eos 20 .
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Ai =
-
2
f
P7t!A
i f
a eos 26) d 0
=
2 |-k
J
/
t/4
eos 2 0 dO = [ i s e n 2 e i : ‘' = ¿ [ l -
0] = i u 2
í'i) Calculamos el área de la región limitada por ambas curvas.
?r/8
/•tt/4
f 1 sen2dd<9
sen2 0 d 0 + Ií
J0
c o s 2 0 d6
J;
d [ - c o s 2 e ] 5/8 + [sen 20 ] ^ )
_1
-42
\
4 —^ - +
* 42
1 +1 - ^
=
\
í 2
- - 4
l
}u ¡
Luego, el área de la región sombreada a la
derecha (gráfico 1 ) es:
A1, -~'A ,2 = 42 - 44( 2 - 7 2 ) = # .
Por lo tanto el área de toda la región sombreada será:
'
A = 2( Al - A ¿ ) = 2 ( f f ) = & u 2
P r o b le m a 12.- La región es interior a las curvas r = 3 + eos 4 0 y r = 2 - eos 4$ .
S olu ción :
Ambas curvas son simétricas con respecto al eje polar, al eje n y al polo. Luego, pa­
ra graficar las curvas tenemos:
r = 3 + eos 4<9
0
4
1
7T
6
2.5
2.5
7t
2
3
n
2.5
2.5
n
4
1
4
3
2
r=
2 - e o s 4$
0
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Podem os determinar el área de la región sombreada (más oscura) y multiplicamos
ésta por 8 para obtener el área total sombreada. Necesitamos hallar el punto de in­
tersección entre las curvas (para obtener los límites de integración. Así,
3 + eos 4 0 = 2 - eos 4 0 = - j
40 = ^
v
40 = ^
=>
—
Para nuestro caso empleamos 0 = ~ .
A l = \ \I
7116
Jo0
T
= 2
J
J
P7t¡A
(2 ~ c o s 4 0 )2d0 + Ii
J; 6
Jtt/
(3 + c o s 4 0 )2d0
(4 - 4uos40 + eos 2 4 0 ) d 0 +
*7r/4
J
(9 + 640 + cos^ 4 0)d 0
*7TÍ6
0
4 - 4 eos 4 0 + 1+ c
o s 8 » W +
|
Í9 + 6cos4i9 + 1+ c?si” ldi9
7r/ 6
Continuar.
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2L
3
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PROBLEMAS PROPUESTOS
GRUP01
H allar el área d e la región som breada.
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G R IF 0 2
Encontrar el área de la región acotada por la gráfica de la ecuación dada.
[
03)
r = Seos 3 ó
[l? )
Un pétalo de r ^ 2 eos 30
(I]
Un pétalo de r - c o s —
¡jj)
Interior de r = 1 ...sen 9
ÍO'7. i
Interior de
[ff)
Lazo interior de r
[ir )
r --- a (1 - sen 0)
[f0~[
r - a ’ sen 30
m u m
m
l + 2cos£/
3
Encuentre el área de la región que está fuera dela curva r - 2 o señó
1
y de­
ntro de la curva r = a (1 -eos ó ) .
[
12]
r = 4 • eos 6 y fuera de
Hallar el área de la región que está dentro de la curva
la curva r -- 2 .
13
Calcular el área de la región que está dentro de la curva r = 3 • c o s d y fuera
de la curva r = 1 + eos 0 .
Hallar el área de la región interior encerrada por las curvas: r = 2 + eos 2 # ,
r = 2 - eos 49 .
(T Í |
Encontrar el área de la región que es interior a r =
r=
[Te]
2 -f sen #
2 + cos 2 d
y exterior a
.
Hallar el área de la región limitada por la curva r =
2a
• eos 30 , que está fue­
ra del círculo r - a .
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17
Hallar el área limitada por la curva x 4 + y 4 = x 2 + y 2
S ugerencia:
Conviene pasar a polares, obteniéndose: r 2 =
1
eos46 + sen46
Hacer ¡os propio con los problemas: 18, 19, 20, 21.
Hallar el área de la región limitada por la lemniscata de Bernoulli:
(x 2 + y 2 )2 = a2 {x 2 - y 2 )
19 I
Hallar el área de la región limitada por la lemniscata de Bernoulli que se halla
dentro de la circunferencia.
20
2 x 2 + 2 y 2 = a2
Hallar el área de la región limitada por la curva (x 2 + y 2)2 = a2 x 2 + b 2y 2
Hallar el área de la figura acotada por la línea (x 2 + y 2 )3 = 4 a 2x y (x 2 - y 2)
m
Hallar el área de la región limitada por la línea
r 2 = a 2 ■cos n d , n e Z +
Hallar el área de la figura comprendida entre la parte externa e interna de la
línea r = a • sen 3 j .
Respuestas:
© ! ?' T
©
6tc
TV
6
09 |
13
3
n
na
©
06 2
10 T ~
'
2
S I
3n
ti a2
©
¡
37 n
6
3 tt
4
©
27t ^¡3
©
~2
ti a
©
( 2 tt -3 y ¡3 )/ 2
¡2}
5lV3
16
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4 (3 V 3 + 2 ^ )
a2 ( f + #