Corrección evaluación aplicaciones de la derivada 22-22

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FIGEMPA
Corrección evaluación aplicaciones de la derivada
Nombre: …………………………………………………. Semestre: Primero
Fecha: …………………………………………………….. Carrera: ………………………….......
Resuelva los siguientes ejercicios.
8
1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑥 2 +4 en el punto (2; 1)
𝑑𝑦
−8(2𝑥)
−16𝑥
= 2
= 2
2
(𝑥 + 4)2
𝑑𝑥 (𝑥 + 4)
𝑑𝑦
−16𝑥
= 2
𝑑𝑥 (𝑥 + 4)2
𝑚=
−16(2)
1
=−
2
(4 + 4)
2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦−1=
−1
(𝑥 − 2)
2
2𝑦 − 2 = −𝑥 + 2
𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0
2. Determine los puntos de inflexión de la curva 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 − 10𝑥 3 − 12𝑥 2 + 10𝑥 + 9
𝑓´(𝑥) = 12𝑥 3 − 30𝑥 2 − 24𝑥 + 10
𝑓´´(𝑥) = 36𝑥 2 − 60𝑥 − 24 = 0
3𝑥 2 − 5𝑥 − 2 = 0
𝑥=
5 ± √25 − 24
6
2
𝑥1 = 1
𝑥2 = 3
3. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2
𝑦´ = 3𝑥 2 − 6𝑥
𝑦´ = 3𝑥(𝑥 − 2)
𝑥=0
𝑥=2
0
+
creciente
2
−
decreciente
+
creciente
𝑓´(𝑥)
𝑓(𝑥)
4. Dada una hoja cuadrada de lado (𝑎), se desea construir una caja sin tapa, cortando en sus
esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determinar el lado
de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen de la caja sea el mayor posible
𝑉 =𝑙𝑎ℎ
𝑉 = (𝑎 − 2𝑥)(𝑎 − 2𝑥)𝑥
𝑉 = (𝑎 − 2𝑥)2 𝑥
𝑉 = 𝑎2 𝑥 − 4𝑎𝑥 2 + 4𝑥 3
𝑉´ = 𝑎2 − 8𝑎𝑥 + 12𝑥 2
12𝑥 2 − 8𝑎𝑥 + 𝑎2 = 0
𝑥=
8𝑎 ± √64𝑎2 − 48𝑎2
24
𝑥=
8𝑎 + 4𝑎
24
𝑥=
8𝑎+4𝑎
24
𝑎
2
= Solución
absurda
𝑥=
8𝑎 − 4𝑎 𝑎
=
24
6
5. Un triángulo rectángulo en el primer cuadrante está formado por los ejes 𝑥 y 𝑦 y una recta
pasa por el punto (2; 3). Halle los vértices del triángulo.
𝐴=
𝑦
3
(0; 𝑦)
𝑏ℎ
2
𝑥
3𝑥
= 𝑥−2
𝐴=
𝑦 = 𝑥−2
3𝑥
𝑥 (𝑥 − 2)
2
𝑥−2
2
𝐴=
(2; 3)
3𝑥
2𝑥 − 4
(𝑥; 0)
6𝑥(2𝑥 − 4) − 3𝑥 2 (2)
𝐴´ =
(2𝑥 − 4)2
𝐴´ =
12𝑥 2 − 24𝑥 − 6𝑥 2
(2𝑥 − 4)2
𝐴´ = 0 = 6𝑥 2 − 24𝑥
0 = 𝑥(𝑥 − 4)
𝑥=4
𝑉1 = (4; 0)
𝑦=
3(4)
4−2
=6
𝑉2 = (0; 6)
6. Encontrar el área del mayor triángulo isósceles que tenga un perímetro de 18 pulgadas.
𝑃 = 2𝐿 + 𝑏
18 = 2𝐿 + 𝑏
𝑏 = 18 − 2𝐿
ℎ
ℎ = √𝐿2 −
𝐿
𝐴=(
𝑏/2
𝐴=
𝑏2
4
𝑏ℎ
2
1
ℎ = 2 √4𝐿2 − 𝑏 2
18 − 2𝐿 1
18 − 2𝐿 2
) √4𝐿2 − (
)
2
2
2
1
𝐴 = (9 − 𝐿) √4𝐿2 − (9 − 𝐿)2
2
1
𝐴 = (9 − 𝐿) √4𝐿2 − 81 + 18𝐿 − 𝐿2
2
1
𝐴 = (9 − 𝐿) √3𝐿2 + 18𝐿 − 81
2
1
1
6𝐿 + 18
𝐴´ = − √3𝐿2 + 18𝐿 − 81 + (9 − 𝐿) (
)
2
2 2√3𝐿2 + 18𝐿 − 81
1
1
3𝐿 + 9
𝐴´ = − √3𝐿2 + 18𝐿 − 81 + (9 − 𝐿) (
)
2
2 √3𝐿2 + 18𝐿 − 81
0 = −(3𝐿2 + 18𝐿 − 81) + (27𝐿 + 81 − 3𝐿2 − 9𝐿)
−6𝐿2 + 162 = 0
−6(𝐿2 − 27) = 0
𝐿 = 3√3
𝑏 = 18 − 6√3
2
1
ℎ = 2 √4(27) − (18 − 6√3)
1
ℎ = 2 √108 − 324 + 216√3 − 108
𝐴=
𝑏ℎ
2
𝐴 = (9 − 3√3)
7. Existen dos rectas tangentes a la curva 𝑦 = 𝑥 2 que pasan por el punto (1; −3). Halle las
ecuaciones de tales rectas.
𝑚 = 2𝑥
𝑚 = 2(3)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦 + 3 = 2𝑥(𝑥 − 1)
2𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0
2
2
2𝑥 − 2𝑥 − 𝑥 − 3 = 0
2
𝑥 − 2𝑥 − 3 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0
𝑚=6
𝑦 + 3 = 6(𝑥 − 1)
6𝑥 − 𝑦 − 9 = 0
𝑚 = 2(−1)
𝑚 = −2
𝑦 + 3 = −2(𝑥 − 1)
2𝑥 + 𝑦 + 5 = 0
8. Un globo está siendo inflado en tal forma que su volumen aumenta a razón de 5
𝑚2
. ¿A
𝑚𝑖𝑛
qué rapidez aumenta el diámetro cuando éste tiene 12m?
𝑉=
4𝜋𝑟 3
3
𝑑𝑉
𝑑𝑟
= 4𝜋𝑟 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
5 = 4𝜋𝑟 2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝑟
5
=
𝑑𝑡 4𝜋𝑟 2
𝑑𝑟
5
=
𝑑𝑡 4𝜋(6)2
𝑑𝑟
= 0,0011 𝑚/𝑚𝑖𝑛
𝑑𝑡
9. Evalúe el siguiente límite
𝑙𝑛𝑥
𝑥→0 ln(𝑠𝑒𝑛𝑥)
lim
𝑙𝑛𝑥
∞
=
𝑥→0 ln(𝑠𝑒𝑛𝑥)
∞
lim
1
𝑥 = lim 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0
lim cosx
𝑥→0
𝑥→0 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
= =1
𝑥→0 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
1
lim
3
3
√𝑥 − √𝑎
𝑥→𝑎 √𝑥−√𝑎
10. Evalúe el siguiente límite: lim
3
3
√𝑥 − √𝑎 0
lim
=
𝑥→𝑎 √𝑥 − √𝑎
0
1
1 −23
3
𝑥
2𝑥 2
√𝑥 − √𝑎
3
lim
= lim
= lim 2
𝑥→𝑎 √𝑥 − √𝑎
𝑥→𝑎 1 −1
𝑥→𝑎
2
3𝑥 3
2𝑥
3
1 2
−1
2𝑥 2−3 2𝑎 6
2
lim
=
= 1
𝑥→𝑎
3
3
3𝑎6
11. Dentro de un tanque en forma de cono está entrando agua a razón de 3
cono es de 5𝑚 y su altura 4𝑚. Determine.
𝑚3
.
𝑠
El radio del
a) La velocidad con la que asciende la superficie libre del agua.
b) La razón de cambio respecto al tiempo de la velocidad de subida cuando la profundidad del
agua es de 2 𝑚. (Considere el vértice del cono hacia abajo)
5𝑚
𝜋𝑟 2 ℎ
3
𝑉=
𝑟
ℎ
4𝑚
5
=4
𝑟=
𝜋(
𝑉=
5ℎ
4
5ℎ 2
) ℎ
4
𝑉=
3
25𝜋ℎ 3
48
𝑑𝑉 75𝜋ℎ2 𝑑ℎ
=
( )
𝑑𝑡
48
𝑑𝑡
3=
𝑑ℎ
𝑑𝑡
75𝜋(2)2 𝑑ℎ
( )
48
𝑑𝑡
=
12
25𝜋
Parte b) 3 =
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 0,1528 𝑚/𝑠
25𝜋ℎ 2 𝑑ℎ
16 𝑑𝑡
𝑑ℎ 48ℎ−2
=
𝑑𝑡
25𝜋
𝑑2 ℎ
96
=−
2
𝑑𝑡
25𝜋(ℎ)3
𝑑2 ℎ
96 𝑑ℎ
=−
2
𝑑𝑡
25𝜋(2)3 𝑑𝑡
𝑑2 ℎ
96
12
=−
(
)
2
3
𝑑𝑡
25𝜋(2) 25𝜋
𝑑2 ℎ
12 2
=
−
(
)
𝑑𝑡 2
25𝜋
𝑑2 ℎ
= −0,023 𝑚/𝑠
𝑑𝑡 2
𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥
12. Evalúe el siguiente límite lim 𝑥−𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥→0
lim
𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 0
=
− 𝑡𝑎𝑛𝑥 0
𝑥→0 𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
1−1
=
=0
2
𝑥→0 1 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥
1−1
lim
Segunda aplicación
𝑠𝑒𝑛𝑥
0
=
2
𝑥→0 −2𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥
0
lim
Tercera aplicación
lim
𝑥→0 −4𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
1
=
=−
4
𝑡𝑎𝑛𝑥 − 2𝑠𝑒𝑐 𝑥 −2
2
2
𝑒 𝑥 −1
13. lim 𝑐𝑜𝑠𝑥−1
𝑥→0
2
𝑒𝑥 − 1
0
lim
=
𝑥→0 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1
0
2
2𝑥𝑒 𝑥
0
=
𝑥→0 −𝑠𝑒𝑛𝑥
0
lim
Segunda aplicación
2
2
2𝑒 𝑥 + 4𝑥 2 𝑒 𝑥
2
= − = −2
𝑥→0
−𝑐𝑜𝑠𝑥
1
lim
14. Con 60 𝑐𝑚 de alambre se construyen dos triángulos equiláteros cuyos lados miden 𝑎 y 𝑏.
¿Qué valores de 𝑎 y 𝑏 hacen que la suma de las áreas de los triángulos sea mínima?
3𝑎 + 3𝑏 = 60
𝑎 = 20 − 𝑏
𝐴1 =
𝑎 ℎ1
2
𝐴2 =
𝑏 ℎ2
2
ℎ1 = √𝑎2 −
𝑎2
4
ℎ1 = 2 √3
ℎ2 = √𝑏 2 −
𝑏2
4
ℎ2 = 2 √3
𝑎
𝑏
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2
𝐴=
𝑎 𝑎
𝑏 𝑏
( √3) +
√3
2 2
22
𝐴=
(20 − 𝑏)2 √3 + 𝑏 2 √3
4
𝐴=
√3
[400 − 40𝑏 + 𝑏 2 + 𝑏 2 ]
4
𝐴=
√3
[200 − 20𝑏 + 𝑏 2 ]
2
𝐴´ =
√3
[−20 + 2𝑏]
2
𝐴´ = 0
𝑏 = 10 𝑎 = 10