Estadı́stica (MIM) - EXAMEN (70% de la calificación) Convocatoria de Junio 2014 (Modelo 1) Nombre DNI Firma Grupo CUESTIONES (20% de la puntuación). Señale con una cruz la respuesta que considere correcta en el cuadrado correspondiente. Si se equivoca, rodee la cruz con un cı́rculo y señale la que considere correcta. Cada respuesta incorrecta resta 0, 2 puntos. (a) (1) (2) (3) (b) (c) (d) (a) (4) (5) (6) (b) (c) (d) (a) (b) (c) (7) (8) (9) 1 Para una variable estadı́stica cualitativa la representación gráfica más adecuada es: (a) (b) (c) Polı́gono de frecuencias Diagrama de sectores Histograma (d) (a) (b) (c) (d) (10) (d) Ninguna de las anteriores 2 ¿Cuál de las siguientes medidas se utiliza para estudiar el tipo de asimetrı́a de una distribución? (a) (b) (c) (d) La media muestral La varianza muestral El coeficiente de Fisher Ninguna de las anteriores 3 Si entre dos variables estadı́sticas hay dependencia lineal inversa, entonces su covarianza es: (a) (b) (c) (d) Igual a cero Positiva Negativa Ninguna de las anteriores 4 Si A y B son dos sucesos de un mismo espacio de sucesos tales que P (A) = 0.3, P (B) = 0.6 y P (A ∩ B) = 0.2, entonces P (A ∩ B) es igual a: (a) (b) (c) (d) 0.5 0.8 0.7 Ninguna de las anteriores 5 Si A y B son dos sucesos de un mismo espacio de sucesos tales que P (A) = 0.3, P (B) = 0.4, entonces se tendrá que P (A ∪ B) = 0.7: (a) (b) (c) (d) Siempre Si A y B son independientes Si A y B son incompatibles Ninguna de las anteriores 6 Una bolsa contiene dos monedas, una normal y la otra trucada que tiene dos caras. Elegimos una moneda al azar y al lanzarla observamos que sale cara. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda lanzada sea la legal? (a) (b) (c) (d) 2/3 1/3 1/2 Ninguna de las anteriores 7 Tenemos una población de veinte personas donde doce son mujeres. La población se encuentra también clasificada por estado civil en dos grupos: solteros y no solteros. El 50% de los hombres son solteros mientras que el 75% de las mujeres no lo son. Se selecciona una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea soltera?: (a) (b) (c) (d) 0.25 0.65 0.35 Ninguna de las anteriores 8 De una variable aleatoria X son conocidos E[X] = 10 y V ar[X] = 2. Entonces para Y = 2X − 10 tendremos: (a) (b) (c) (d) E[Y ] = 10 y V ar[Y ] = 4 E[Y ] = 20 y V ar[Y ] = 4 E[Y ] = 10 y V ar[Y ] = 8 Ninguna de las anteriores 9 Si fX (x) es la función de densidad de cierta variable aleatoria X, marca la opción INCORRECTA: (a) (b) (c) (d) R +∞ 0 ≤ fX (x) ≤ 1 para todo x f (x)dx = 1 X es continua Ninguna de las anteriores −∞ X 10 Si una variable X sigue una distribución B(6, p), entonces es cierto que (no es necesario usar STATGRAPHICS): (a) (b) (c) (d) P (X ≤ 6) = 1 P (X > 7) = 1 P (X < −1) = 0.5 Ninguna de las anteriores PROBLEMAS (50% de la puntuación) Observación: Siempre que sea posible, todos los resultados deben expresarse con 4 cifras decimales. El planteamiento de cada problema debe quedar reflejado en el examen y deberá señalarse cuando una solución se obtuvo usando el software (indicando brevemente la ruta seguida). En ningún caso será correcto un ejercicio si sólo se indica un número aislado obtenido del software sin la correspondiente justificación. La utilización del ordenador se reducirá al uso del software habitual. Queda prohibido y será motivo de anulación del examen, la utilización de cualquier otro recurso. Los resultados deben expresarse en las unidades adecuadas Problema 1 Una compañı́a A desea hacer predicciones del valor anual de sus ventas totales en cierto paı́s a partir de la relación de éstas y la renta nacional. Se dispone de la siguiente información sobre X:“Renta nacional, en millones de euros” e Y :“Ventas, en miles de euros, de la compañı́a A” en el perı́odo 2002-2012. xi yi 189 402 190 404 208 412 227 425 239 429 252 436 257 440 274 447 293 458 308 469 316 469 (a) Calcula la renta media del paı́s en el periodo considerado y razona si puede considerarse representativa (0.4 puntos). (b) Calcula la renta mediana y la renta que es superada por el 35% de todas las rentas (0.3 puntos). (c) Estudia el tipo de asimetrı́a de la distribución de las rentas y realiza un comentario oportuno. (0.2 puntos). (d) Calcula la recta de regresión que exprese las ventas de la compañı́a A en función de la renta del paı́s. Interpreta adecuadamente la pendiente de la recta (0.4 puntos). (e) Calcula e interpreta el coeficiente de correlación lineal (0.3 puntos). (f) Si en 2013 la renta nacional del paı́s fue de 325 millones de euros, ¿cuál será la predicción de las ventas de la compañı́a para ese año? ¿Puede considerarse representativa dicha predicción? (0.4 puntos). Problema 2 El dueño de un café instala una máquina de juego en la que la distribución de la cantidad, en euros, que la máquina puede dar por partida es: xi pi 0 0.70 2 p 5 p 10 0.09 20 0.01 (a) Calcula la esperanza y la deviación tı́pica de la variable (0.4 puntos). (b) ¿Cuál es la moda de la distribución? ¿Y el percentil 85? (0.3 puntos). (c) Calcula la correspondiente función de distribución (0.4 puntos). (d) Calcula las probabilidades: P (X > 2), P (1 < X < 15) y P (X ≤ 5/X > 1) (0.4 puntos). Problema 3 Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución N (65, σ). Se sabe también que el 39, 0589% de los que realizaron el test obtuvieron puntuación inferior a sesenta puntos. (a) Calcula la desviación tı́pica de la variable X : “puntuación obtenida en el test” (0.4 puntos). En los siguientes apartados se considerará que σ = 18. (b) Se clasifica a los examinados en el grupo de cultura general aceptable si la puntuación obtenida se sitúa entre 49.85 y 83.65 puntos, ¿qué porcentaje de personas serán incluidas en el citado grupo? (0.3 puntos). (c) Se sabe que un 15% de las personas tienen una excelente cultura general. Seleccionadas al azar veinte personas, ¿cuál es la probabilidad de que más de cinco estén incluidas en este grupo? ¿Y de que lo estén seis o menos? (0.4 puntos). (d) Se desea formar un equipo de cuatro personas con excelente cultura general para asistir a un concurso televisivo. ¿Cuál es el número medio de personas que deberemos seleccionar hasta completar el citado equipo? (0.4 puntos).