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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
TEMA:
Diagrama de fuerzas cortantes y momentos
flexionantes
SEMANA N.º 09
DOCENTE:
RAUL TERRAZAS RAMOS
¿Qué se puede
apreciar en la
imagen?
• Para que un elemento estructural no falle (se rompa o desplome)
debido a las fuerzas y los momentos que actúan sobre él, el ingeniero
proyectista debe conocer no sólo las cargas y reacciones externas, sino
también las fuerzas y los momentos que actúan dentro del elemento.
Utilidad
¿Cuál es la utilidad de este tema?
Reconocer el tipo de viga y
construir el diagrama de fuerza
cortante
y
momento
flexionante, conociendo los
puntos donde ocurre los
máximos valores útil en el
diseño de vigas.
TEMAS:
•
•
•
•
Tipos de vigas y las fuerzas actuantes
Diagrama de fuerza cortantey momento flexionante
Aplicaciones
Conclusiones
1 Viga.
Se llama viga a una barra estructural sometida a pares y fuerzas situados
en un plano perpendicular a su eje.
Las vigas se clasifican en:
1. Vigas estáticamente determinadas. (Fig. 1.1a)
2. Vigas estáticamente indeterminadas. (Fig. 1.1b)
a)
Vigas Estáticamente determinadas.
b) Vigas Estáticamente Indeterminadas
Fig. 1 Clasificación de las Vigas.
1.1 Vigas Estáticamente Determinadas: Isostáticas.
Se dice que una viga es estáticamente determinadas, cuando el número
de reacciones que se ejercen sobre la viga es igual al número de ecuaciones
de equilibrio. Se clasifican de acuerdo con sus condiciones de apoyo.
1. Vigas en Voladizo.
La viga esta sujeta
solamente en un extremo,
de tal manera que su eje
no puede girar en ese
punto.
a) Viga en Voladizo.
2. Vigas simplemente
Apoyadas.
3. Vigas con
Voladizos.
Se llama así cuando la
Se llama así cuando
viga
está
apoyada la viga tiene uno o los
libremente en sus dos dos extremos libres de
extremos.
apoyo
b) Viga SimplementeApoyada.
c) Viga con voladizos.
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector.
1.1.2 Vigas Estáticamente Indeterminadas: Hiperestáticas.
Se dice que una viga es estáticamente indeterminada, cuando el número de reacciones
que se ejercen sobre la viga excede al número de ecuaciones de equilibrio. Se clasifican de
acuerdo con sus condiciones de apoyo.
1. Viga en Voladizo con
apoyo en su extremo libre.
2. Vigas empotrada en sus
extremos.
La viga esta empotrada
en un extremo y apoyada en
el otro extremo.
Se llama así cuando la
Se llama así cuando la
viga está empotrada en sus viga está apoyada en tres o
dos extremos.
mas apoyos.
a) Viga en Voladizo y apoyada.
b) Viga empotrada en sus extremos.
Fig. 1.3 Clasificación de las Vigas.
3. Vigas con tres o mas
apoyos.
c) Viga con tres apoyos.
Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector.
1.2 Fuerza cortante y momento flexionante.
Consideremos la viga mostrada en la figura 1.4, esta
viga se puede cotar en cualquier sección, y trazar un
DCL de cualquier parte. El DCL de la porción
izquierda se muestra en la figura 1.4 (b), se mantiene
el equilibrio por medio de un sistema equivalente que
consta de una fuerza V que actúe en un punto dado y
un par M.
La componente V de la fuerza normal al eje de la
viga se denomina Fuerza Cortante, y el par M se
denomina Momento Flector.
La figura 7.5 ilustra la convención de signos que se
usa al trazar los valores positivos y negativos en las
gráficas de fuerza cortante y momento flexionante.
Fig. 1.4 Cargas en una viga.
Fig. 1.5 Convención de signos.
Un elemento estructural que esta
diseñado para soportar cargas que están
aplicadas en varios puntos a lo largo del
mismo se conoce como una viga.
En la mayoría de los casos, las cargas son
perpendiculares al eje de la viga y solo
ocasionaran corte y flexión sobre esta.
Cuando las cargas no forman un ángulo
recto con la viga, también producirá
fuerzas axiales en ella..
Concepto de fuerzas internas
• Considere la viga sometida a fuerzas a
externas y a las reacciones de soporte.
• Para determinar las cargas internas que
actúan en la sección transversal en el punto
C, se pasa por la viga una sección imaginaria,
cortándola en dos segmentos.
• Al hacer esto, podemos representar las
fuerzas y el momento internos con un
sistema equivalente que consiste en dos
componentes de fuerza y un par.
• La componente paralela al eje de la viga se
llama fuerza axial (Nc).
• La componente normal al eje de la viga se
llama fuerza cortante (Vc),
• Y el par M se llama momento flector (Mc).
La otra parte posee fuerzas y par de sentidos
opuestos.
10/
Notas del ponente
2024-10-23 18:19:02
-------------------------------------------Observe que esas cargas deben
seriguales en magnitud y opuestas
en dirección en cada uno de los
segmentos (Tercera ley de
Newton) . Así, al unir ambos
fragmentos estas fuerzas y par
se deben anular.
Fuerza cortante y momento flector interno
• Si consideramos una viga ante la acción de cargas perpendiculares a ellas, se tiene que
internamente el material del cual está compuesto la viga, estará sometido a efecto de
fuerza vertical y momento que tienden a flectarla.
P1:La viga como un todo es un cuerpo rígido, si se
secciona una segmento de ella, también debe
considerarse como un cuerpo rígido. Se procede a
calcular las reacciones, a partir de las
ecuaciones de la estática, ΣF=0 y ΣM=0.
Al cortar la viga, cada segmento generado
debe permanecer en equilibrio. Es así como
surgen reacciones de momento y de fuerzas,
las cuales tienden a flector y cortar la viga
respectivamente.
Fuerza cortante y momento flector interno
Si consideramos que el corte de la viga fue realizado a
una distancia X, se tiene para su condición de
equilibrio.
A partir de lo anterior, se ha podido definir a partir del cálculo de la fuerza que tiende a
cortar la viga (V), y el momento que se genera que la viga se flecte (M).
Notas del ponente
2024-10-23 18:19:03
-------------------------------------------A la fuerza axial se la
conoce tambiéncomo fuerza Normal.
En tres dimensiones la fuerza cortante,
la fuerza axial y el momento
flector tienes 2 componentes
cada una, y ademas aparece un
momento axial o normal llamado
momento torsor.
10/
Determinación del diagrama de fuerza cortante y
momento flector
• Si se analiza el corte anterior efectuado en la viga, se aprecia que el largo del corte se
definió en función de una distancia X.
• Apreciando la expresión del momento “M”, se aprecia claramente que el valor de este
momento depende del largo del corte de la viga. Por lo tanto se deberá de definir una
función tanto para “V” como para “M”, en función de la posición en la viga donde se
desee analizar la fuerza cortante y momento flector.
Análisis de vigas, caso 1
Para analizar la influencia del efecto de la fuerza cortante y momento flector, se deben
establecer criterios de discontinuidad de carga, por lo que se efectuaran dos corte según
los siguientes intervalos.
Tramo I:
0 ≤ x < 0,5L
Tramo II:
0,5L < x ≤ L
Notas del ponente
2024-10-23 18:19:03
-------------------------------------------ARMADURAS Y SU EFICIENCIA
ESTRUCTURAL. LAS
ARMADURAS Y SU
EFICIENCIA ESTRUCTURAL
Dr. Ing. Alexis Negrín Hernández
y Msc. Ing. Alejandro Chávez
Zelaya email:
anegrin@uclv.edu.cu y
alejandrojchavez@yahoo.com
INTRODUCCIí“N
Una armadura es un sistema
estructuralreticular de barras rectas
interconectadas en nudos
articulados formando triángulos.
Los elementos conforman,
comúnmente, uno o varios
triángulos en un solo plano y se
disponen de forma tal que las
cargas externas se aplican a los
nudos, por lo que en teoría, sólo
causan efectos de tensión o de
compresión. En la realidad,
algunos esfuerzos de flexión
pueden ocurrir como resultado
de la fricción en las uniones y de
cargas distribuidas aplicadas a
los miembros entre las
juntas(como el peso propio, por
ejemplo); generalmente, estos
esfuerzos son menores
comparados con las fuerzas
axiales y, por lo común, se
ignoran para propósitos analíticos. Una armadura se puede
considerar como la sumatoria de
una o varias veces el sistema
estructural cinemáticamente
invariable (estable) más sencillo:
el triángulo. Este es el criterio
usado como método analítico
para hacer el análisis cinemático
de sistemas reticulares: a partir
Tramo I: 0 ≤ x < 0,5L
Tramo II: 0,5L < x ≤ L
Graficando el comportamiento de la fuerza cortante y el momento flector
Notas del ponente
2024-10-23 18:19:04
-------------------------------------------Los diagramas de fuerza cortante
y de momento f1ector son
simplemente las gráficas de V y
M, respectivamente, en función
de x (Fig.
9.12), Ynos permiten ver los cambios
en la fuerza cortante y en el
momento flector a lo largo de la
viga, así como sus valores
máximo (menor
cota de la fuerza o el momento) y
mínimo (mayor cota inferior).
Se puede determinar las distribuciones
de las fuerzas y del momento
internos en una viga
considerando un plano a una
distancia arbitraria x del extremo
y estableciendo P, V y M como
funciones de x. Según la
complejidad de la carga, deberán
dibujarse varios diagramas de
cuerpo libre para determinar las
distribuciones sobre la longitud
total.
Los diagramas de fuerza cortante y de
momento f1ector son simplemente las
gráficas de V y M, respectivamente, en
función de x
Por lo tanto, el momento
flector máximo se ubica en el
centro de la viga y posee una
magnitud de 0,25 PL.
Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, a) dibuje los diagramas de cortante y de momento
flector, b) determine las ecuaciones de las curvas de cortante y de momento flector.
Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, a) dibuje los diagramas de cortante y de momento
flector, b) determine las ecuaciones de las curvas de cortante y de momento flector.
Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, a) dibuje los diagramas de cortante y de momento
flector, b) determine las ecuaciones de las curvas de cortante y de momento flector.
Dibuje los diagramas de cortante y de momento flector para la viga y las cargas que se muestran
en la figura, y determine el máximo valor absoluto
a) del esfuerzo cortante,
b) del momento flector.
Dibuje los diagramas de cortante y de momento flector para la viga y las cargas mostradas en la
figura, y determine el máximo valor absoluto
a) del esfuerzo cortante,
b) del momento flector.
Dibuje los diagramas de cortante y de momento flector para la viga y las cargas que se muestran en la
figura, y determine el máximo valor absoluto
a) del esfuerzo cortante,
b) del momento flector.
Si se supone que la reacción del suelo está uniformemente distribuida, dibuje los diagramas de
cortante y de momento flector para la viga AB y determine el máximo valor absoluto
a) del esfuerzo cortante,
b) del momento flector.
Conclusiones
• Para hacer el diagrama de fuerza cortante se requiere el diagrama de
cuerpo libre.
• Trazado el diagrama de fuerza cortante podemos trazar el diagrama de
momento flexionante.
• De los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante se obtienen
las variaciones que ocurren a lo largo de la longitud del elemento
estructural.
• De los diagramas se obtienen valores máximos que es necesario en la toma
de decisiones para elegir los materiales usados.
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
TEMA:
Diagrama de fuerzas cortantes y momentos
flexionantes-METODOAREAS
SEMANA N.º 11
DOCENTE:
RAUL TERRAZAS RAMOS
¿Qué se puede
apreciar en la
imagen?
• Para que un elemento estructural no falle (se rompa o desplome)
debido a las fuerzas y los momentos que actúan sobre él, el ingeniero
proyectista debe conocer no sólo las cargas y reacciones externas, sino
también las fuerzas y los momentos que actúan dentro del elemento.
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
TEMA:
TORSION
SEMANA N.º 11
DOCENTE:
RAUL TERRAZAS RAMOS
¿Qué se puede apreciarenla imagen?
TEMAS
• DEFINICIONES
• Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión
• Relación entre torsor, potencia y velocidad angular
• Ecuaciones empleadas en barras no circulares
• Resumen de ecuaciones
Torsión
Torsión
Par de torsión es aquel momento que tiende a torcer un elemento sobre su eje longitudinal, este par es
importante en las consideraciones de diseño de ejes o árboles de transmisión que son utilizados en diversos
equipos y maquinarias
1 INTRODUCCION
En este capítulo se revisarán y se estudiarán los esfuerzos y deformaciones en elementos de sección
transversal circular sometidos a pares de torsión. Estos pares tienen una magnitud igual a T y sentidos
opuestos. Son cantidades vectoriales que pueden representarse mediante flechas curvas, como en la
figura a o por vectores de par como en la figura b.
Los elementos sometidos a torsion se encuentran en muchas situaciones de ingeniería. La aplicación
mas común la representan los ejes de transmisión, que se emplean para transmitir potencia de u punto
a otro
1 INTRODUCCION
Considere el sistema que se presenta en la figura a, que consiste en una turbina de vapor A y un
generador B conectados por un eje de transmisión AB.
En la figura b separamos el sistema en sus tres partes componentes, puede verse que la turbina ejerce
un par de torsion o momento torsor T sobre el eje y que el eje ejerce un par igual sobre el generador. El
generador reacciona ejerciendo un par de torsion igual y opuesto T’ sobre el eje, y el eje ejerce la
torsion T’ sobre la turbina.
2 ANÁLISIS PRELIMINAR DE LOS ESFUERZOS EN UN EJE
Considerando un eje AB sometido en A y en B a pares de torsión T y T’ iguales y opuestos, se efectúa un
corte perpendicular al eje de la flecha en algún punto arbitrario C.
El diagrama de cuerpo libre de la porción BC del eje debe incluir las fuerzas cortantes elementales dF,
perpendiculares al radio del eje, que la porción AC ejerce sobre BC al torcerse el eje.
2 ANÁLISIS PRELIMINAR DE LOS ESFUERZOS EN UN EJE
Las condiciones de equilibrio para BC requieren que el sistema de estas fuerzas elementales sea equivalente a
un par de torsión interno T, igual y opuesto a T’.
Denotando con ρ la distancia perpendicular desde la fuerza dF al eje de la flecha, y expresando que la suma
de momentos de las fuerzas cortantes dF alrededor del eje es igual en magnitud al par T, se escribe:
Ya que dF = ƬdA, donde Ƭ es el esfuerzo cortante en el elemento de área dA
La distribución real de esfuerzos bajo una carga dada es estáticamente indeterminada, es decir, que esta
distribución no puede determinarse por los métodos de la estática.
2 ANÁLISIS PRELIMINAR DE LOS ESFUERZOS EN UN EJE
El cortante no puede tener lugar únicamente en un plano.
Considere el pequeño elemento de eje mostrado en la figura:
Se sabe que el par de torsión aplicado al eje produce esfuerzos cortantes en las caras perpendiculares
al eje de la flecha. Pero las condiciones de equilibrio requieren de la existencia de esfuerzos iguales en
las caras formadas por los dos planos que contienen al eje de la flecha.
Tales esfuerzos cortantes ocurren en realidad en la torsión considerando un “eje” elaborado de duelas
separadas sujetas con pasadores en ambos extremos a discos, como se muestra en la figura a. Si se
pintan marcas en dos duelas adyacentes, se observa que las duelas se deslizan una con respecto a la
otra cuando se aplican pares iguales y opuestos a los extremos del “eje” (figura b). Aunque no ocurrirá
deslizamiento en un eje de un material homogéneo y cohesivo, la tendencia al deslizamiento existirá, lo
cual muestra que ocurren esfuerzos en planos longitudinales así como en los planos perpendiculares al
eje de la flecha.
3 DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR
Considere un eje circular unido a un soporte fijo
en uno de sus extremos (figura a). Si se aplica un
par de torsión T al otro extremo, el eje se torcerá
al girar su extremo libre a través de un ángulo Ø
llamado ángulo de giro (figura b). Esto significa
que el ángulo de giro Ø es proporcional a T.
También muestra que Ø es proporcional a la
longitud L del eje. En otras palabras, el ángulo de
giro para un eje del mismo material y con la
misma sección transversal, pero del doble de
longitud, se duplicará bajo el mismo par de
torsión T. Un propósito de este análisis será
encontrar la relación específica que existe entre
Ø, L y T; otro propósito será determinar la
distribución de esfuerzos cortantes en el eje.
3 DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR
Cuando un eje circular se somete a torsión, todas sus secciones transversales permanecen planas y sin
distorsión. Aunque las distintas secciones transversales a lo largo del eje giran diferentes cantidades, cada
sección transversal gira como una placa sólida rígida. La figura a muestra las deformaciones en un modelo de
caucho sometido a torsión. Esta propiedad es característica de ejes circulares, sólidos o huecos, y no la
comparten los elementos con sección transversal no circular. Por ejemplo, cuando una barra con sección
transversal cuadrada se sujeta a torsión, sus distintas secciones transversales se tuercen y no permanecen
planas como se puede ver en la figura b.
Las secciones transversales de un eje circular permanecen planas y sin distorsión debido a que un eje
circular es axisimetrico, es decir, su apariencia es la misma cuando se ve desde una posición fija y se gira
alrededor de su eje por un ángulo arbitrario. (Las barras cuadradas, por otro lado, conservan la misma
apariencia sólo si se les gira 90 o 180 grados.)
3 DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR
Considere los puntos C y D localizados en la circunferencia de una sección transversal del eje, y sean C’ y
D’ las posiciones que ocupan después de que el eje ha sido torcido (figura a). La simetría axial del eje y
de la carga requiere que la rotación que hubiera causado que D llegara a D’ ahora debe llevar a que C
llegue a C’. Por lo tanto C’ y D’ deben estar en la circunferencia de un círculo, y el arco C’D’ debe ser
igual al arco CD (figura b).
3 DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR
Cualquier diámetro de una sección transversal dada permanece recto y, por lo tanto, cualquier sección
transversal dada de un eje circular permanece plana y sin distorsión.
Si todas las secciones del eje, desde un extremo hasta el otro, deben permanecer planas y sin
distorsión, es necesario asegurarse de que los pares se aplican de tal manera que los extremos mismos
del eje permanezcan planos y sin distorsión cuando la carga se aplique y que las deformaciones
resultantes ocurrirán de manera uniforme a lo largo de todo el eje. Esto puede lograrse aplicando los
pares T y T’ a placas rígidas, que se encuentren sólidamente unidas a los extremos del eje (figura a).
Todos los círculos igualmente espaciados, que se muestran en la figura a, girarán en la misma cantidad
en relación con sus vecinos, y cada una de las líneas rectas se convertirá en una curva (hélice) que
interseca los distintos círculos con el mismo ángulo (figura b).
3 DEFORMACIONES EN UN EJE CIRCULAR
Distribución de las deformaciones a cortante:
(figura a): Eje circular de longitud L y radio c que ha sido girado en un ángulo Ø.
(figura b): Desprendiendo del eje un cilindro de radio ρ, considere el pequeño
cuadrado formado por dos círculos adyacentes y dos líneas rectas adyacentes
trazadas en la superficie del cilindro antes de que se aplique carga alguna.
(figura c): Al someterse el eje a una carga de torsión, el elemento se deforma
para convertirse en un rombo
deformación unitaria cortante γ: Se mide por el cambio en los ángulos
formados por los lados de dicho elemento. La deformación cortante γ debe ser
igual al ángulo entre las líneas AB y A’B. (γ debe expresarse en radianes.)
la deformación unitaria a corte en una
flecha circular varia linealmente con la
distancia desde el eje de la flecha
Deformación a cortante γ a una distancia ρ del eje de la flecha:
4 ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO
Consideremos ahora un eje sometido a un par T tal que todos los esfuerzos a lo largo del eje circular
permanecen en la zona elástica del material, es decir, que no rebasan el valor de τy. Esto significa que
no ocurren deformaciones plásticas y en condiciones de aplicar la ley de Hooke para el esfuerzo y la
deformación a cortante, la cual nos dice:
𝑟 = 𝐺𝛾𝛾
Donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte del material. Por lo tanto, si multiplicamos ϒ por G,
obtenemos la siguiente relación:
Lo cual nos muestra que el esfuerzo cortante en la flecha varia linealmente con la distancia ρ desde el
eje de la flecha, como se muestra en la figura.
Distribución de esfuerzos en
un eje circular de radio c
Distribución de esfuerzos en
un eje circular hueco de radio
interior c1 y radio exterior c2.
4 ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO
Ahora, recordemos que la suma de todas las fuerzas elementales en cualquier sección transversal de la
flecha es igual a la magnitud T del par ejercido sobre el eje.
𝑇 = (𝑟𝑚á𝑥 𝐽)/ 𝑐
FORMULAS DE TORSION ELASTICA
Donde J es el momento polar de inercia con respecto a su centro O. Si sustituimos c por ρ, obtendremos
el esfuerzo cortante a cualquier distancia ρ del eje de la flecha. Cabe mencionar que J para un circulo de
radio c es igual a 1/2 𝜋𝑐^4 y para un eje un eje circular hueco de radio interior c1 y radio exterior c2 es
igual a:
4 ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO
Las fórmulas de torsión también pueden
utilizarse para un eje con sección transversal
variable o para un eje sujeto a pares de
torsión en lugares distintos de sus extremos
(Figura a).
El valor de T se obtiene dibujando el
diagrama de cuerpo libre de la porción de
eje localizada de un lado del corte (figura b)
y escribiendo que la suma de los pares
aplicados a esta porción, incluyendo el par
interno T, es cero.
4 ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO
Considere los dos elementos a y b localizados en la superficie de un
eje circular sometido a torsión. Como las caras del elemento a son
respectivamente paralelas y perpendiculares al eje de la flecha, los
únicos esfuerzos en el elemento serán los esfuerzos de corte
definidos por 𝑟𝑚á𝑥=Tc/J. Por otro lado, las caras del elemento b,
que forman ángulos arbitrarios con el eje de la flecha, estarán
sujetas a una combinación de esfuerzos normales y cortantes.
Considere los esfuerzos y fuerzas resultantes sobre las caras que se
encuentran a 45°al eje de la flecha. Para determinar los esfuerzos en
las caras de este elemento, se consideran los dos elementos
triangulares y se dibujas sus diagramas de cuerpo libre.
4 ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO
Los materiales dúctiles generalmente fallan a cortante. Por lo tanto, cuando está sujeta a torsión, una
probeta J hecha de un material dúctil se rompe a lo largo de un plano perpendicular a su eje
longitudinal (fotografía a).
Los materiales frágiles son más débiles a tensión que a corte. Cuando se somete a torsión, una probeta
de un material frágil tiende a fracturarse a lo largo de superficies perpendiculares a la dirección en que
la tensión es máxima, esto es, a lo largo de superficies que forman un ángulo de 45°con el eje del
espécimen (fotografía b).
5 ÁNGULO DE GIRO EN EL RANGO ELÁSTICO
Se deducirá una relación entre el ángulo de giro Ø de un eje circular y el par de torsión T ejercido sobre
el eje. Se supondrá que la totalidad del eje permanece elástica. Considerando primero el caso de un eje
de longitud L y sección transversal uniforme de radio c sujeto a un par de torsión T en su extremo libre,
Pero en el rango elástico, el esfuerzo de cedencia no se excede en ninguna parte del eje, se aplica la ley
de Hooke y se tiene que:
Radianes
La relación obtenida muestra que, dentro del rango elástico, el ángulo de giro Ø es proporcional al
par de torsión T aplicado al eje.
La fórmula anterior para el ángulo de giro únicamente puede utilizarse si el eje es homogéneo (G
constante), si tiene una sección transversal uniforme y sólo si está cargado en sus extremos.
Si el eje es sometido a par de torsión en lugares distintos de los extremos, o si consta de varias
porciones con secciones transversales distintas y posiblemente distintos materiales, debe dividirse en
partes componentes que satisfagan individualmente las condiciones requeridas para la aplicación de
la fórmula
5 ÁNGULO DE GIRO EN EL RANGO ELÁSTICO
En el caso del eje AB de la figura, por ejemplo,
deben considerarse cuatro partes diferentes: AC,
CD, DE y EB. El ángulo total de giro del eje, esto es,
el ángulo que gira el extremo A con respecto al
extremo B, se obtiene sumando algebraicamente
los ángulos de giro de cada parte componente.
Denotando respectivamente con Ti, Li, Ji y Gi el par
de torsión interno, longitud, momento polar de
inercia de la sección transversal y módulo de
rigidez correspondiente a la i-ésima parte, el
ángulo total de giro del eje se expresa como
El par de torsión interno Ti en cualquier parte dada del eje se obtiene haciendo un corte a través de esa
parte y dibujando el diagrama de cuerpo libre de la porción del eje situada a un lado de la sección.
5 ÁNGULO DE GIRO EN EL RANGO ELÁSTICO
En el caso de un eje con sección transversal circular variable, como se muestra en la figura, la fórmula
puede aplicarse a un disco con grosor dx. El ángulo por el que una cara del disco gira con respecto a la
otra.
5 ÁNGULO DE GIRO EN EL RANGO ELÁSTICO
Cuando ambos extremos de un eje giran, sin embargo, el
ángulo de giro del eje es igual al ángulo a través del que un
extremo del eje gira con respecto al otro. Considere, por
ejemplo, el ensamble de la figura a, compuesto por dos
ejes elásticos AD y BE, cada uno de longitud L, radio c y
módulo de rigidez G, unidos a engranes que se juntan en C.
Si un par de torsión T se aplica en E (figura b), ambos ejes se torcerán.
Puesto que el extremo D del eje AD es fijo, el ángulo de giro AD se mide
por el ángulo de rotación ØA del extremo A. Por otra parte, ya que
ambos extremos del eje BE giran, el ángulo de giro de BE es igual a la
diferencia entre los ángulos de rotación ØB y ØE, es decir, el ángulo de
giro es igual al ángulo a través del cual el extremo E gira con respecto al
extremo B. Denotando este ángulo relativo de rotación ØE/B, se escribe:
6 EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS
Hay situaciones, donde los pares internos no pueden determinarse
únicamente por medio de la estática. De hecho, en tales casos los pares
externos mismos, es decir, los pares ejercidos sobre el eje por los apoyos y
conexiones, no pueden determinarse a partir del diagrama de cuerpo libre
del eje completo. Las ecuaciones de equilibrio deben complementarse con
relaciones que involucren las deformaciones del eje y que se obtengan
considerando la geometría del problema.
Debido a que la estática no es suficiente para determinar los pares
internos y externos, se dice que los ejes son estáticamente
indeterminados.
7 DISEÑO DE EJES DE TRANSMISIÓN
Las especificaciones principales que deben cumplirse en el diseño de un eje de transmisión son la
potencia que debe transmitirse y la rapidez de rotación del eje. La función del diseñador es seleccionar
el material y las dimensiones de la sección transversal del eje, para que el esfuerzo cortante máximo
permisible del material no sea excedido cuando el eje transmite la potencia requerida a la rapidez
especificada.
Par de torsión ejercido sobre el eje:
Después de haber determinado el par T que se aplicará al eje y habiendo seleccionado el material que
será utilizado, el diseñador lleva los valores de T y del esfuerzo máximo permisible a la fórmula de
torsión elástica. Despejando J/c, se tiene
De esta manera se obtiene el valor mínimo permisible para el parámetro J/c.
En el caso de un eje circular hueco, el parámetro crítico es J/c2, donde c2 es el radio exterior del eje.
8 CONCENTRACIONES DE ESFUERZO EN EJES CIRCULARES
En la práctica, los pares de torsión comúnmente se aplican al eje mediante acoplamientos de brida
(figura a) o por medio de engranes conectados al eje por cuñas que caben dentro de cuñeros (figura b).
En ambos casos se esperaría que la distribución de esfuerzos, en la sección donde se aplican los pares, o
cerca de ella sea diferente de la que es dada por la fórmula de torsión. Ocurrirán, por ejemplo, altas
concentraciones de esfuerzos en la cercanía del cuñero mostrado en la figura b. La determinación de
estos esfuerzos localizados puede llevarse a cabo por métodos de análisis experimental de esfuerzos o,
en algunos casos, gracias al uso de la teoría matemática de la elasticidad.
3.9 DEFORMACIONES PLÁSTICAS EN EJES CIRCULARES
El propósito de esta sección es desarrollar un
método más general, que pueda utilizarse
cuando no se aplique la ley de Hooke, para
determinar la distribución de esfuerzos en un
eje sólido circular, y para calcular el par de
torsión requerido para producir un ángulo de
giro dado.
Hay que tener en cuenta que no se supuso
ninguna relación específica de esfuerzo
deformación cuando se probó que la
deformación a corte γ varía linealmente con la
distancia ρ desde el eje de la flecha. Así, esta
propiedad aún puede utilizarse en el análisis y
escribirse:
Donde C es el radio del eje
9 DEFORMACIONES PLÁSTICAS EN EJES CIRCULARES
Suponiendo que el valor máximo 𝑟𝑚á𝑥 del
esfuerzo cortante 𝑟 se ha especificado, la gráfica
de 𝑟 contra ρ puede obtenerse como sigue:
Esfuerzo cortante máximo correspondiente RT:
El esfuerzo ficticio RT se denomina modulo de ruptura a torsión del material dado.
En algunos casos, puede desearse determinar la distribución de esfuerzos y el par T correspondientes
a un ángulo de giro dado Ø. Esto puede hacerse para la deformación cortante γ en términos de Ø, ρ y
la longitud L del eje:
10 EJES CIRCULARES HECHOS DE UN MATERIAL ELASTOPLÁSTICO
Se obtiene un panorama más amplio del comportamiento plástico de un eje sometido a torsión si se
considera el caso idealizado de un eje circular solido hecho de un material elastoplastico. El diagrama
esfuerzo-deformación a cortante de tal material se muestra en la figura. Utilizando este diagrama,
puede procederse y encontrarse la distribución de esfuerzos en una sección del eje para cualquier valor
del par T.
10 EJES CIRCULARES HECHOS DE UN MATERIAL ELASTOPLÁSTICO
(figura a), Mientras el esfuerzo cortante 𝑟 no exceda la resistencia
de cedencia 𝑟Y, se aplica la ley de Hooke, y la distribución de
esfuerzos a través de la sección es lineal. 𝑟máx es dado por:
(figura b). Al aumentar el par, 𝑟máx finalmente alcanza el valor 𝑟Y
Sustituyendo este valor en la ecuación anterior y despejando el
valor correspondiente de T, se obtiene el valor TY del par al inicio
de la cedencia:
(figura c). Al incrementarse el par aún más, se desarrolla una
región plástica en el eje, alrededor de un núcleo elástico de radio
ρY. En la región plástica el esfuerzo es uniformemente igual a 𝑟Y,
mientras que en el núcleo elástico el esfuerzo varía linealmente
con ρ y puede expresarse como:
10 EJES CIRCULARES HECHOS DE UN MATERIAL ELASTOPLÁSTICO
(figura d). Al aumentar T, la región plástica se expande hasta
que, en el límite, la deformación es completamente plástica.
Valor del par T correspondiente a un radio dado ρY del núcleo elástico.
11 ESFUERZOS RESIDUALES EN EJES CIRCULARES
Una región plástica se desarrollará en un eje sometido a un par de
torsión suficientemente grande, y que el esfuerzo cortante t en
cualquier punto dado de la región plástica puede obtenerse del
diagrama de esfuerzo-deformación a cortante. Si se retira el par, la
reducción de esfuerzo y de deformación unitaria en el punto
considerado tendrá lugar a lo largo de una línea recta (figura). Como se
verá posteriormente, el valor final del esfuerzo no será, en general,
cero, ya que habrá un esfuerzo residual en la mayoría de los puntos, que
podrá ser positivo o negativo.
11 ESFUERZOS RESIDUALES EN EJES CIRCULARES
Los esfuerzos residuales en un material elastoplástico se obtienen al aplicar el principio de
superposición para la carga axial. Considere, por una parte, los esfuerzos debidos a la aplicación del par
dado T y, por otra, los esfuerzos debidos al par igual y opuesto que se aplica para descargar el eje. El
primer grupo de esfuerzos refleja el comportamiento elastoplástico del material durante la fase de carga
(figura a), y el segundo grupo el comportamiento lineal del mismo material durante la fase de descarga
(figura b). Sumando los dos grupos de esfuerzos, se obtiene la distribución de esfuerzos residuales en el
eje (figura c).
En la figura c se observa que
algunos de los esfuerzos residuales
tienen el mismo sentido que los
esfuerzos originales, mientras que
otros tienen el sentido opuesto.
Esto era de esperarse ya que, la
relación
Debe verificarse después de que
se retira el par.
12 TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
Una barra cuadrada mantiene su misma apariencia sólo si se gira 90°o 180°. Podría mostrarse que
las diagonales de la sección transversal cuadrada de la barra y las líneas que unen los puntos medios de
los lados de dicha sección permanecen rectas. Sin embargo, debido a la falta de simetría axial de la
barra, cualquier otra línea dibujada en su sección transversal se deformará cuando la barra se tuerza, y
la sección transversal misma se torcerá fuera de su plano original.
Sería erróneo suponer que el esfuerzo cortante en la sección transversal de una barra cuadrada varía
linealmente con la distancia desde el eje de la barra y que es, por lo tanto, mayor en las esquinas de la
sección transversal. El esfuerzo cortante en realidad es cero en estos puntos.
12 TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
Considere un pequeño elemento cúbico ubicado en una esquina de la sección transversal de una barra
cuadrada en torsión y seleccione los ejes coordenados paralelos a los bordes del elemento (figura a).
Como la cara del elemento perpendicular al eje y es parte de la superficie libre de la barra, todos los
esfuerzos en esta cara deben ser cero. Con referencia a la figura b, se escribe:
Ambas componentes del
esfuerzo cortante en la cara
del elemento perpendicular
al eje de la barra son cero.
Se concluye que no hay
esfuerzo cortante en las
esquinas de la sección
transversal de la barra.
12 TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
Torciendo un modelo de caucho de una barra cuadrada, se verifica
fácilmente que no ocurren deformaciones — y, por lo tanto, tampoco
esfuerzos— a lo largo de los bordes de la barra, mientras que las
deformaciones máximas —y, por lo tanto, los esfuerzos máximos—
ocurren a lo largo de la línea central de cada una de las caras de la barra.
La determinación de los esfuerzos en elementos no circulares sujetos a carga torsional está más allá del
alcance de este libro. No obstante, los resultados obtenidos de la teoría matemática de la elasticidad para
barras rectas con sección transversal rectangular uniforme se indicarán aquí por conveniencia.† Denotando
con L la longitud de la barra, con a y b, respectivamente, el lado más ancho y el más angosto de su sección
transversal y con T la magnitud de los pares de torsión aplicados a la barra, se encuentra que el máximo
esfuerzo cortante ocurre a lo largo de la línea central de la cara mas ancha de la barra y el ángulo de giro es
igual a:
12 TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
Los coeficientes c1 y c2 dependen sólo de la razón a/b y se dan en la tabla 3.1 para una cantidad de
valores de dicha razón. Note que las ecuaciones anteriores son válidas sólo dentro del rango elástico.
Se observa de la tabla 3.1 que para a/b ≥ 5, los coeficientes c1 y c2 son iguales. Puede demostrarse que
para tales valores de a/b se tiene que
Resumen de ecuaciones
Ley de Hooke para torsión:
  G 
G
: Esfuerzo cortante
G: Módulo de Rigidez
: Deformación angular unitaria
E: Módulo de elasticidad del material
: Relación de Poisson del material
E
2(1)
Esfuerzo cortante en barras de sección circular
debido a momento torsor
T 

J
: Esfuerzo cortante en el punto de interés de la sección transversal
: distancia medida desde el centro hasta el punto de interés=r
J: Momento polar de inercia de la sección transversal = IP
Ángulo de giro en barras circulares sometidas a
momento torsor
T  LAB
B / A 
J G
: Ángulo de giro de una sección “B” respecto a una sección “A”
T: Par torsor al que está sometido la barra circular
J: Momento polar de inercia de la sección transversal
G: Módulo de rigidez del material
LAB: Longitud de la barra entre las secciones “A” y “B”
Relaciones entre par torsor, potencia y
velocidad angular
P  T 
Tconducido

conductor
m

conducido Tconductor
: velocidad angular (radianes por unidad de tiempo)
T: Par torsor al que está sometido la barra circular
P: Potencia
m: relación de transmisión
EJERCICIOS
1𝑘𝑘
𝑝. 𝑘
𝑘
𝑛 = 112.98 𝑁𝑚
=
1016.86 0.02
= 89𝑀𝑃𝑎
228329𝑥10−12
𝜋
𝐽=
𝑇𝐷 =
𝜋
2
15𝑥10−3 3 5660.37
2
𝜌𝐷
4
= 7.95𝑥10
= 0.03𝑁𝑚
−8
𝑚
4
𝑇𝜌𝐷
30𝑥10−3 𝑥(15𝑥10−3)
𝑟𝐷 =
=
𝐽
7.95𝑥10−8
= 5660.37 𝑃𝑎
0.03
𝑇𝐷
𝑥100𝑥 =
100
𝑇
3𝑥103
𝑥
= 0.001𝑥
= 2.8274𝑥10−3𝑚2
Ejemplo:
Si se aplica un momento torsor de 10000 kg.cm sobre un árbol de 45 mm de
diámetro, ¿ cual es el esfuerzo cortante máximo producido?. Cual es el ángulo
de giro en una longitud de árbol de 1,20 m ?. El material es acero para el cual
G=8,4x105 kg/cm².
Solución:
El esfuerzo cortante máximo se origina en el límite externo del material y se
determina mediante la relación:
 max 
Tr
j
Donde: j 
 D4
32
j

32
(4,5cm)4  40,2cm4
Reemplazando los datos del problema:
 max 
10000kg.cm(2, 25cm)
40, 2cm 4
 max  560kg / cm 2
El ángulo de giro en una longitud de 1,20 m es:
10000kg.cm(120cm)
  TL Con los datos del problema  
(8,4x10 5 kg / cm 2 )(40,2cm 4 )
Gj
  0,355rad
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO:
RESISTENCIA DE MATERIALES I
TEMA:
Esfuerzo cortante transversal.
SEMANA N.º 13
DOCENTE:
RAUL TERRAZAS RAMOS
Elasticidad y resistencia de materiales
Ingeniería civil
¿Qué se puede apreciar en la imagen?
Utilidad
¿Cuál es la utilidad de este tema?
Aplicar el esfuerzo cortante en unaviga
en el análisis y diseño de ingeniería
TEMAS:
• Esfuerzocortantetransversal.
• Aplicaciones
• Conclusiones
Esfuerzocortantetransversal
RECORDAR QUE EN LA CORTANTE
EL
MAXIMO
ESFUERZO
SE
PRODUCE MAS CERCANO AL EJE
NEUTRO, A DIFERENCIA DE LA
FLEXION QUE SE PRODUCE EN LOS
EXTREMOS , ES POR ELLO QUE EN
LA PARTE b SE PUEDE TOMAR
CUALQUIERA DE LAS OS AREAS
TANTO POR ENCIMA O POR
DEBAJO DEL EJE..Y SE COMPRUEBA
QUE EL VALOR DE “Q” SALDRA LO
MISMO
Una viga cuadrada tipo caja se hace con dos tablas de 20 X 80 mm y dos tablas de 20 X 120 mm, las
cuales están clavadas como se muestra en la figura. Si se sabe que el espaciamiento entre los clavos es de s
50 mm y que la fuerza cortante permisible en cada clavo es de 300 N, determine
a) el máximo corte vertical permisible en la viga,
b) el esfuerzo cortante máximo correspondiente en la viga.
Una viga cuadrada tipo caja se hace con dos tablas de 20 x 80 mm y dos tablas de 20 x 120 mm, las
cuáles están clavadas como se muestra en la figura. Si se sabe que el espaciamiento entre los clavos es de
s = 30 mm y que el corte vertical en la viga es V = 1200 N, determine
a) la fuerza cortante en cada clavo,
b) el esfuerzo cortante máximo en la viga.
Tres tablas, cada una de 2 in. de espesor, se clavan para formar una viga sometida a un cortante vertical. Si
la fuerza cortante permisible en cada clavo es de 150 lb, determine el cortante permisible si el
espaciamiento s entre los clavos es de 3 in.
Tres tablas, cada una de 2 in. de espesor, se clavan para formar una viga sometida a un cortante vertical
de 300 lb. Si se sabe que la fuerza cortante permisible en cada clavo es de 100 lb, determine el máximo
espaciamiento longitudinal s que puede usarse entre los clavos.
Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, considere la sección n-n y determine
a) el máximo esfuerzo cortante en dicha sección,
b) el esfuerzo cortante en el punto a.
Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, considere la sección n-n y determine
a) el máximo esfuerzo cortante en dicha sección,
b) el esfuerzo cortante en el punto a.
Para la viga y las cargas que se muestran en la figura, considere la sección n-n y determine
a) el máximo esfuerzo cortante en dicha sección,
b) el esfuerzo cortante en el punto a.
Conclusiones
• Es necesario conocer el centroide para ubicar el denominado eje
neutro y el momento estático.
• El momento de inercia de la sección transversal de la viga debe
determinarse.
• El esfuerzo cortante máximo se localiza en el eje neutro.
• En vigas debe determinarse la fuerza cortante también se puede
determinar por método gráfico.
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