MICROECONOMÍA INTERMEDIA Teoría del Consumidor Repartido 2 Curso 2020 1. Un consumidor tiene preferencias que se pueden representar por la siguiente función de utilidad: 𝟏 𝒖(𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ) = 𝟐𝒙𝟏 𝒙𝟐𝟐 Suponga que se está evaluando el impacto que tendría aplicar un impuesto unitario de $2 por unidad consumida del bien 1 que se traslada totalmente al consumidor. En la situación previa a la aplicación del impuesto las variables exógenas tenían los siguientes valores: p1 = 10 p2 = 2 m = 1.000. a) Determine la recaudación que se obtendría con el impuesto. b) Determine la pérdida de utilidad resultante de la aplicación del impuesto. c) Suponga ahora que en lugar de aplicar el impuesto al consumo del bien 1 se opta por introducir un impuesto a la renta que genere la misma recaudación 1 que el impuesto al consumo del bien 1. Determine la pérdida de utilidad que provoca la aplicación del impuesto a la renta. Compare esta pérdida con la obtenida en el punto b) 1 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) = 2𝑥1 𝑥22 𝑈𝑀1 = 𝑈𝑀2 1 2𝑥22 2𝑥2 1 = 𝑥 − 1 2 𝑥1 𝑥2 2𝑥2 𝑝1 = 𝑥1 𝑝2 1 𝑝1 𝑥2 = 𝑥 2 𝑝2 1 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 = 𝑚 1 𝑝1 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥 =𝑚 2 𝑝2 1 2 1 𝑝1 𝑥1 + 𝑝1 𝑥1 = 𝑚 2 3 𝑝 𝑥 =𝑚 2 1 1 2𝑚 𝑥1 = 3𝑝1 1𝑚 𝑥2 = 3𝑝2 2𝑚 𝑥1 (𝑝1 , 𝑝2 , 𝑚) = 3𝑝1 2 × 1.000 𝑥1 (12, 2, 1.000) = 3 × 12 𝑅 =2× 2 × 1.000 ≅ 111,1 3 × 12 3 𝑢(𝑝1 , 𝑝2 , 𝑚) = 2 × 2𝑚 1𝑚 ×( ) 3𝑝1 3𝑝2 1 2 1 1.000 2 2.000 𝑢(10, 2, 1.000) = 2 × ×( ) 30 6 𝑢(10, 2, 1.000) ≅ 1.721,3 𝑢(12, 2, 1.000) = 2 × 1 1.000 2 2.000 ×( ) 3 × 12 3×2 𝑢(12, 2, 1.000) ≅ 1.434,4 ∆𝑢 = 𝑢(10, 2, 1.000) − 𝑢(12, 2, 1.000) ∆𝑢 = 1.721,3 − 1.434,4 = 286,9 𝑢(10, 2, 1.000 − 𝑅) 1 2 2 × (1000 − 𝑅) 1000 − 𝑅 =2× ×( ) 30 6 4 𝑢(10, 2, 1.000 − 111,1) = 1.442,6 ∆𝑢 = 1.721,3 − 1.442,6 = 278,8 2. Suponga que un consumidor tiene preferencias representadas por la siguiente función de utilidad: 1 1 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) = 2𝑥13 𝑥23 Las variables exógenas tienen los siguientes valores, p1= 1, p2 = 3, m = 500. a) Determine la cesta óptima para el consumidor. b) Suponga que el precio del bien dos se incrementa y pasa a ser, p2 = 4. El precio del bien uno y la renta no se modifican. Calcule la variación total, el efecto sustitución y el efecto renta provocados por la suba del precio del bien 2. Para la determinación del efecto sustitución use la compensación de Slutsky. 5 Primer paso: Obtención de las funciones de demanda 1 1 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) = 2𝑥13 𝑥23 Finalmente se obtiene: 1𝑚 𝑥1 (𝑝1 , 𝑝2 , 𝑚) = 2 𝑝1 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝2 , 𝑚) = 1𝑚 2 𝑝2 Determine la cesta óptima para el consumidor. p1= 1, p2 = 3, m = 500. 𝑥1 (1, 3, 500) = 𝑥2 (1, 3, 500) = 1 500 = 250 2 1 1 500 500 250 = = 2 3 6 3 c) Suponga que el precio del bien dos se incrementa y pasa a ser, p2 = 4. El precio del bien uno y la renta no 6 se modifican. Calcule la variación total, el efecto sustitución y el efecto renta provocados por la suba del precio del bien 2. Para la determinación del efecto sustitución use la compensación de Slutsky. Cálculo de la variación total ∆𝑇 𝑥2 = 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝21 , 𝑚) − 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝20 , 𝑚) ∆𝑇 𝑥2 = 𝑥2 (1, 4, 500) − 𝑥2 (1, 3, 500) ∆𝑇 𝑥2 = 1 500 1 500 − 2 4 2 3 500 500 1.500 − 2.000 ∆ 𝑥2 = − = 8 6 24 𝑇 ∆𝑇 𝑥2 = − 500 125 =− 24 6 Cálculo del efecto sustitución ∆𝑇 𝑥2 = 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝21 , 𝑚) − 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝20 , 𝑚) ∆𝑆 𝑥2 = 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝21 , 𝑚 + ∆𝑚) − 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝20 , 𝑚) 7 ∆𝑚 = 𝑥20 ∆𝑝2 ∆𝑚 = 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝20 , 𝑚)(𝑝21 − 𝑝20 ) ∆𝑚 = 𝑥2 (1, 3, 500)(4 − 3) 250 250 ∆𝑚 = ×1= 3 3 𝑚 + ∆𝑚 = 500 + 250 1.750 = 3 3 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝21 , 𝑚 + ∆𝑚) = 1 𝑚 + ∆𝑚 2 𝑝2 1.750 1.750 1 3 1.750 875 𝑥2 (1,4, )= = = 3 2 4 24 12 ∆𝑆 𝑥2 = 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝21 , 𝑚 + ∆𝑚) − 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝20 , 𝑚) 875 250 875 − 1.000 125 ∆ 𝑥2 = − = =− 12 3 12 12 𝑆 Cálculo del efecto renta 8 Vimos previamente que: ∆𝑇 𝑥2 = 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝21 , 𝑚) − 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝20 , 𝑚) ∆𝑆 𝑥2 = 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝21 , 𝑚 + ∆𝑚) − 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝20 , 𝑚) ∆𝑚 𝑥2 = 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝21 , 𝑚) − 𝑥2 (𝑝1 , 𝑝21 , 𝑚 + ∆𝑚) Se puede verificar que: ∆𝑆 𝑥2 + ∆𝑚 𝑥2 = ∆𝑇 𝑥2 𝑚 ∆ 𝑥2 = 𝑥2 (1, 4, 500) − 𝑥2 (1,4, 1.750 ) 3 1 500 875 1.500 − 1.750 ∆ 𝑥2 = − = = 2 4 12 24 𝑚 250 125 ∆ 𝑥2 = − =− 24 12 𝑚 Verificación: Teníamos que: 9 ∆𝑆 𝑥2 = − 125 12 125 ∆ 𝑥2 = − 12 𝑚 ∆𝑆 𝑥2 + ∆𝑚 𝑥2 = − 125 125 250 125 − =− =− 12 12 12 6 Teníamos también que: 500 125 ∆ 𝑥2 = − =− 24 6 𝑇 Se verifica entonces que: ∆𝑆 𝑥2 + ∆𝑚 𝑥2 = ∆𝑇 𝑥2 3. Igual al ejercicio 2 pero empleando la siguiente función de utilidad: 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 + 2ln(𝑥2 ) Lo primero a hacer es obtener las funciones de demanda. 10 Sustituyendo la restricción presupuestaria en la función de utilidad se tiene: 𝑚 𝑝2 𝑥1 = − 𝑥2 𝑝1 𝑝1 𝑚 𝑝2 𝑢(𝑥2 ) = − 𝑥2 + 2ln(𝑥2 ) 𝑝1 𝑝1 De la condición de primer orden se desprende: 𝜕𝑢(𝑥2 ) 𝑝2 2 =− + =0 𝜕𝑥2 𝑝1 𝑥2 𝑝2 2 = 𝑝1 𝑥2 𝑝1 𝑥2 = 2 𝑝2 𝑥1 = 𝑚 𝑝2 − 𝑥2 𝑝1 𝑝1 𝑚 𝑝2 𝑝1 𝑥1 = − 2 𝑝1 𝑝1 𝑝2 11 𝑥1 = 𝑚 −2 𝑝1 Algo a resaltar es que la función de demanda del bien dos no depende de la renta, por lo tanto solamente muestra el efecto sustitución. Se tiene entonces: ∆𝑇 𝑥2 = ∆𝑆 𝑥2 4. Igual al ejercicio 2 pero empleando la siguiente función de utilidad: 2⁄ 1⁄ 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) = 4𝑥1 3 𝑥2 3 y aplicando la compensación monetaria planteada por Hicks en lugar de la de Slutsky. 12
