EJERCICIOS ANOVA SIMPLE (II) 2. Abre el fichero EXAM SEP07. a.- Queremos comprobar si el número de horas (medido a través de la variable # horas) que pasan los estudiantes del Politécnico en la Biblioteca guarda alguna relación con su hábito de lectura (medido a través de la variable lectura). Ejecuta un ANOVA, utilizando un nivel de significación del 5 %, e interpreta el resultado que obtienes. Variable respuesta: # horas. Factor: hábito de lectura. - Utilizando el ANOVA estudiaríamos si existe relación entre el número de horas que pasan los estudiantes en la biblioteca del Politécnico según sus diferentes hábitos de lectura. Para ello se realizará el siguiente contraste: H 0 = todas las medias son iguales μA = μB = μC = μD H 1 = alguna media no es igual alguna μi es diferente. - Para realizar el contraste se realizan los siguientes pasos: Comparación / Análisis de la varianza / ANOVA simple. - En variable dependiente se pondrá: # horas y en factor: lectura. - Para ver los resultados se consulta la Tabla ANOVA: Tabla ANOVA para #_horas según lectura Análisis de la Varianza -----------------------------------------------------------------------------Fuente Sumas de cuad. Gl Cuadrado Medio Cociente-F P-Valor -----------------------------------------------------------------------------Entre grupos 87,2906 3 29,0969 Intra grupos 2361,8 93 25,3957 1,15 -----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 2449,09 96 0,3349 - Como el p-valor obtenido ( 0´3349) es mayor que el nivel de significación (0´05) se acepta H 0 ; y por lo tanto se puede decir que la media de las horas que pasan los estudiantes del Politécnico es similar en todos los casos independientemente del nivel de lectura de cada uno; por lo tanto según el ANOVA simple no existe relación entre el número de horas que pasan los estudiantes del Politécnico en la Biblioteca y su hábito de lectura. b.- Comprueba si se satisfacen los requisitos del ANOVA. ¿Resultan, entonces, fiables las conclusiones del apartado anterior? - Los requisitos o condiciones del ANOVA son: normalidad, homocedasticidad e independencia de los datos. - Para estudiar estas condiciones se estudia la variable residuos, para ello: Botón guardar resultados / Marcar casilla residuos/Aceptar - Aparece por lo tanto en la hoja de datos una nueva variable, que es la de los residuos 1. Normalidad: - El contraste que se realiza es el siguiente: H 0 = variable residuos es normal H 1 = variable residuos no es normal Descripción / Distribuciones / Ajuste de distribuciones (datos no censurados). En datos poner residuos. - Para contrastar la normalidad se mira la ventana de Test de bondad de ajuste, y los p-valor que allí aparecen. Tests de Bondad de Ajuste para RESIDUALS Contraste Chi-cuadrado ---------------------------------------------------------------------------Límite Límite Frecuencia Frecuencia Inferior Superior menor o igual Observada -5,7058 14 Esperada Chi-cuadrado 12,12 0,29 -5,7058 -3,34551 15 12,12 0,68 -3,34551 -1,58048 14 12,12 0,29 -1,58048 8,76289E-7 9 12,13 0,81 8,76289E-7 1,58048 11 12,13 0,10 1,58048 3,34551 11 12,12 0,10 3,34551 5,7058 9 12,12 0,81 14 12,12 0,29 mayor 5,7058 ---------------------------------------------------------------------------Chi-cuadrado = 3,37137 con 5 g.l. P-Valor = 0,642933 Estadístico DMAS de Kolmogorov = 0,110348 Estadístico DMENOS de Kolmogorov = 0,050904 Estadístico DN global de Kolmogorov = 0,110348 P-Valor aproximado = 0,188487 - Según ambos p-valor, tanto el de Chi-cuadrado (0´642933), como el de Kolmogorov (0´188487), se acepta H 0, puesto que son mayores que el nivel de significación del 5%, por lo tanto según estos test la variable es normal. - También se estudian los p-valor obtenidos de los test de normalidad; para verlos: Botón amarillo/Test normalidad. Tests para la Normalidad para RESIDUALS Estadístico chi-cuadrado de bondad de ajuste = 48,2371 P-valor = 0,000638325 Estadístico W de Shapiro-Wilks = 0,95203 P-valor = 0,00490306 Puntuación Z para asimetría = 1,71722 P-valor = 0,0859391 Puntuación Z para curtosis = 0,242493 P-valor = 0,808394 - Dos de los test para la normalidad rechazan H 0, puesto que son menores que el nivel de significación; por lo tanto al fallar uno no se puede considerar como normal la variable residuos. 2. Homocedasticidad. - Para realizar este contraste es necesario volver al análisis ANOVA, y sería el siguiente: H 0 = todas las varianzas son iguales ρA = ρB = ρC = ρD H 1 = alguna varianza no es igual alguna ρi es diferente Los pasos son: Botón amarillo /Contraste de la varianza Contraste de Varianza Contraste C de Cochran: 0,303385 P-valor = 0,781548 Contraste de Bartlett: 1,01876 P-valor = 0,642881 Contraste de Hartley: 1,65968 Test de Levene: 0,236778 P-valor = 0,870514 - Estos tres p-valor son mayores que el nivel de significación y por lo tanto aceptan H 0, y por lo tanto las varianzas son todas similares. Por lo tanto se cumple la segunda condición necesaria para poder tomar los resultados del ANOVA como válidos. 3. Independencia. - Puesto que no disponemos de la fecha en la que hemos recogido los datos, no podemos realizar un estudio sobre su aleatoriedad ya que no aparece reflejado el orden temporal, por lo tanto daremos por supuesto que se cumple que se cumple esta condición. - Tras comprobar sí se cumplen o no las condiciones del ANOVA se puede concluir que los resultados obtenidos no son totalmente fiables, pues que los datos no siguen una distribución normal, sería necesario realizar otros estudios con otros métodos o aumentar el tamaño de la muestra. c.- Realiza el mismo contraste utilizando un método no-paramétrico, e interpreta el resultado que obtienes. ¿Es fiable? - Se utiliza el contraste de Kruskal – Wallis, para ello: Botón amarillo/ Contraste Kruskal-Wallis - Con este contraste en lugar de compararse las medias se contrastan las medianas: H 0 = todas las medianas son iguales medA = medB = medC = medD H 1 = alguna mediana no es igual alguna medi es diferente. Contraste de Kruskal-Wallis para #_horas según lectura lectura Tamaño muestral Rango Promedio -----------------------------------------------------------1 25 51,68 2 40 44,2375 3 26 55,7115 4 6 40,5 -----------------------------------------------------------Estadístico = 3,44376 P-valor = 0,328126 - El p-valor obtenido es mayor que el nivel de significación por lo tanto se acepta la hipótesis nula, lo cual indica que las medianas de las muestras son similares y por lo tanto no hay diferencias significativas entre el número de horas que los estudiantes pasan en la biblioteca independientemente de su hábito de lectura. - ANOVA y Kruskal-Wallis apoyan la misma conclusión; a pesar de que no se cumplen exactamente los tres requisitos de ANOVA, y por ello se busca una segunda opinión con contraste de Kruskal-Wallis, ambos apuntan en la misma dirección y por tanto tiene sentido admitir que no hay diferencias significativas entre el número de horas que alumnos con distintos hábitos de lectura pasan en la biblioteca. 3. Vuelve al fichero Selectividad.sf3. a.- Utiliza un ANOVA, al 2% de significación, para contrastar la evidencia de relación entre el Hábito de Lectura de los alumnos que aparecen en el fichero, y la Nota que han obtenido en selectividad. ¿Confirma el contraste de Kruskal – Wallis al conclusión que obtienes? Variable respuesta: Nota Factor: Hábito de lectura. - Se realiza el siguiente contraste: H 0 = todas las medias son iguales μA = μB = μC = μD H 1 = alguna media no es igual alguna μi es diferente. Para ello: Comparación/Análisis de la varianza/ANOVA simple. En Variable dependiente ponemos: nota selectividad En Factor ponemos: Hábito lectura Tabla ANOVA para Nota_Select según Hábitos_Lect Análisis de la Varianza -----------------------------------------------------------------------------Fuente Sumas de cuad. Gl Cuadrado Medio Cociente-F P-Valor -----------------------------------------------------------------------------Entre grupos 17,4718 2 8,73591 12,68 0,0001 Intra grupos 25,4919 37 0,688971 -----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 42,9637 39 - El p-valor obtenido (0´0001) es más pequeño que el nivel de significación que es 0´02; por lo tanto se rechaza H 0 , lo que indica que no todas las medias son iguales y por lo tanto sí existen diferencias significativas en las notas de selectividad de los alumnos según el hábito de lectura que tengan, o lo que es lo mismo el hábito de lectura de los alumnos sí que influirá en su nota en selectividad. Contraste Kruskal – Wallis H 0 = todas las medianas son iguales medA = medB = medC = medD H 1 = alguna mediana no es igual alguna medi es diferente. Para realizarlo seguimos los siguientes pasos: Botón amarillo/contraste de Kruskal-Wallis. Se realiza un estudio sobre las medianas de la muestra. Contraste de Kruskal-Wallis para Nota_Select según Hábitos_Lect Hábitos_Lect Tamaño muestral Rango Promedio -----------------------------------------------------------ALTO 12 29,3333 BAJO 9 8,05556 MEDIO 19 20,8158 -----------------------------------------------------------Estadístico = 17,1536 P-valor = 0,00018843 - El p-valor obtenido (0´00018843) es más pequeño que el nivel de significación que es 0´02; por lo tanto se rechaza H 0 , lo que indica que no todas las medianas son iguales y por lo tanto sí existen diferencias significativas en las notas de selectividad de los alumnos según el hábito de lectura que tengan, o lo que es lo mismo el hábito de lectura de los alumnos sí que influirá en su nota en selectividad. - Sí se confirman los resultados obtenidos con el contraste de ANOVA simple. b.- Valida las hipótesis del modelo, e interpreta el resultado. - Para validar la hipótesis del modelo es necesario que la variable notas de selectividad en cada uno de los hábitos de lectura cumpla tres requisitos: normalidad, homocedasticidad e independencia. 1. Normalidad. - Para estudiar la normalidad en la variable notas de selectividad en cada uno de los hábitos de lectura (bajo, medio, alto, etc.) se estudia en la variable residuos en lugar de ir miranda de manera independiente la normalidad de las notas en cada uno de los hábitos de lectura. Para crear esta variable seguimos los siguientes pasos: Botón guardar resultados / Marcar casilla residuos/Aceptar Una vez creada esta variable estudiamos su normalidad. Descripción / Distribuciones / Ajuste de distribuciones (datos no censurados). En datos poner residuos. Se realiza el siguiente contraste H 0 = variable residuos es normal H 1 = variable residuos no es normal - Para contrastar la normalidad se mira la ventana de Test de bondad de ajuste, y los p-valor que allí aparecen. Tests de Bondad de Ajuste para RESIDUALS Contraste Chi-cuadrado ---------------------------------------------------------------------------Límite Límite Frecuencia Frecuencia Inferior Superior Observada Esperada Chi-cuadrado ---------------------------------------------------------------------------menor o igual -0,863111 5 5,71 0,09 -0,863111 -0,45756 6 5,71 0,01 -0,45756 -0,145537 7 5,71 0,29 -0,145537 0,145538 8 5,71 0,91 0,145538 0,45756 2 5,71 2,41 0,45756 0,863111 6 5,71 0,01 mayor 0,863111 5,71 0,01 6 ---------------------------------------------------------------------------Chi-cuadrado = 3,74976 con 4 g.l. P-Valor = 0,44093 Estadístico DMAS de Kolmogorov = 0,0930565 Estadístico DMENOS de Kolmogorov = 0,0849602 Estadístico DN global de Kolmogorov = 0,0930565 P-Valor aproximado = 0,879082 - Tanto el contraste de chi-cuadrado como el de Kolmogorov, son mayores que el nivel de significación (0´02) por lo tanto se acepta H 0 , por lo tanto la variable residuos se puede considerar normal . Para contrastar la normalidad también se miran los test para la normalidad, para ello: Botón amarillo/Test para la normalidad. Tests para la Normalidad para RESIDUALS Estadístico chi-cuadrado de bondad de ajuste = 17,8 P-valor = 0,216042 Estadístico W de Shapiro-Wilks = 0,970766 P-valor = 0,492216 Puntuación Z para asimetría = 0,147654 P-valor = 0,882611 Puntuación Z para curtosis = -0,0300783 P-valor = 0,975999 - Todos ellos aceptan H 0 puesto que los p-valor obtenidos son mayores que 0´02, luego aceptan normalidad. - Por lo tanto sí se cumple la primera condición para poder validar el ANOVA simple. 2. Homocedasticidad. - Para este análisis se compara la varianza de las notas en selectividad según los distintos hábitos de lectura, para realizarlo es necesario volver al análisis de ANOVA simple, el contraste que se realiza es el siguiente: H 0 = todas las varianzas son iguales ρA = ρB = ρC = ρD H 1 = alguna varianza no es igual alguna ρi es diferente Los pasos son: Botón amarillo /Contraste de la varianza Contraste de Varianza Contraste C de Cochran: 0,413354 P-valor = 0,677533 Contraste de Bartlett: 1,03719 P-valor = 0,522509 Contraste de Hartley: 1,84254 Test de Levene: 0,378699 P-valor = 0,687375 - Los p-valor obtenidos son mayores que el nivel de significación (0´02), por lo tanto se acepta la hipótesis nula, lo cual indica que la varianza de las notas en selectividad según los distintos hábitos de lectura es similar en todos los casos. Por lo tanto también se cumple la segunda condición. 3. Independencia. - Este análisis no se puede realizr porque no aparece reflejado en la hoja de datos el orden temporal en que han sido tomados y por lo tanto no podemos mirar su aleatoriedad, por lo tanto damos por cierta esta condición. El contraste que habría que realizar sería el siguiente: H 0 = los residuos son aleatorios H 1 = los residuos no son aleatorios. - Por lo tanto ya que se cumplen las tres condiciones necesarias para poder dar por válido el análisis de ANOVA simple, se pude decir que los resultados obtenidos en el estudio son válidos; lo que significa que existen diferencias significativas en las notas de selectividad de los alumnos según el hábito de lectura que tengan, o lo que es lo mismo el hábito de lectura de los alumnos si que influye en su nota en selectividad. c.- A partir de la tabla de ANOVA, indica qué procentaje de la variabilidad está explicando el modelo. ¿Crees que lo que obtienes explica de algún modo el p-valor que has calculado en el primer apartado? Tabla ANOVA para Nota_Select según Hábitos_Lect Análisis de la Varianza -----------------------------------------------------------------------------Fuente Sumas de cuad. Gl Cuadrado Medio Cociente-F P-Valor -----------------------------------------------------------------------------Entre grupos 17,4718 2 8,73591 Intra grupos 25,4919 37 0,688971 12,68 0,0001 -----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 42,9637 39 - Para calcular el porcentaje de variabilidad dividimos la sumas de cuadrado de Entre grupos entre la total y multiplicamos por 100 (17´4718 / 42´9637) x 100 = 40´66 % -Al ser un porcentaje bastante alto, es lógico el resultado obtenido en el apartado 1 d.- A partir de la tabla de ANOVA, estima el valor del error experimental, e indica que significa. - Mediante el error experimental se mide hasta donde pueden llegar los residuos, es decir la diferencia entre cada dato y la media del grupo al que pertenecen. - Se calcula realizando la raíz cuadrada del dato CUADRADO MEDIO INTRA GRUPOS de la tabla ANOVA Tabla ANOVA para Nota_Select según Hábitos_Lect Análisis de la Varianza -----------------------------------------------------------------------------Fuente Sumas de cuad. Gl Cuadrado Medio Cociente-F P-Valor -----------------------------------------------------------------------------Entre grupos 17,4718 2 8,73591 Intra grupos 25,4919 37 0,688971 12,68 0,0001 -----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 42,9637 39 √0´688971 = 0´83004 - Indica que las notas de selectividad pueden tener una oscilación de 0.83004 arriba o abajo, en relación al hábito de lectura al que pertenecen. e.- ¿Cuántos grupos homogéneos establece Statgraphics? - Para de determinar grupo homogéneos realizamos los siguientes pasos: Botón amarillo / Contraste múltiple de rango. Contraste Múltiple de Rango para Nota_Select según Hábitos_Lect ------------------------------------------------------------------------------Método: 95,0 porcentaje LSD Hábitos_Lect Frec. Media Grupos homogéneos -------------------------------------------------------------------------------BAJO 9 4,8 MEDIO 19 5,98421 ALTO 12 6,63333 X X X -------------------------------------------------------------------------------- Contraste Diferencias +/- Límites -------------------------------------------------------------------------------ALTO - BAJO *1,83333 0,741617 ALTO - MEDIO *0,649123 0,620148 BAJO - MEDIO *-1,18421 0,680555 -------------------------------------------------------------------------------- - Los grupos homogéneos son aquellos que tienen alineadas la X, en este caso existen tres grupos homogéneos que corresponden a los distintos niveles de hábitos de lectura, serían BAJO, MEDIO y ALTO, y por lo tanto sí existen diferencias significativas entre las notas sacadas por los alumnos en selectividad y su hábito de lectura. f.- Estima: la nota media en selectividad correspondiente a los que poseen un bajo hábito de lectura; el efecto de un alto hábito de lectura. - Para determinar la nota media en selectividad para los que poseen un bajo hábito de lectura, seguimos estos pasos: Botón amarillo / Tabla de medias Tabla de Medias para Nota_Select según Hábitos_Lect con 95,0 intervalos LSD -------------------------------------------------------------------------------Error Estándar Hábitos_Lect Frec. Media (s agrupada) Límite inf. Límite sup. -------------------------------------------------------------------------------ALTO 12 6,63333 BAJO 9 4,8 MEDIO 19 5,98421 0,239613 6,29003 0,276681 0,190425 6,97664 4,40359 5,71138 5,19641 6,25704 -------------------------------------------------------------------------------Total 40 5,9125 - Según la estimación puntual realizada, aquellos estudiantes que tienen un nivel bajo de lectura sacan una nota media en selectividad en torno a 4´8. - Para calcular el efecto de un alto hábito de lectura, miramos en la misma tabla el intervalo obtenido en la estimación puntual: ALTO → 6´97664 – 6´29003 = 0,68661 - Según el resultado obtenido tener un hábito de lectura alto, implica tener aproximadamente 0´68661 puntuación en la nota media obtenida en selectividad. g.- Estima un intervalo LSD para la nota media en selectividad de aquellos que poseen un bajo hábito de lectura. Tabla de Medias para Nota_Select según Hábitos_Lect con 95,0 intervalos LSD -------------------------------------------------------------------------------Error Estándar Hábitos_Lect Frec. Media (s agrupada) Límite inf. Límite sup. -------------------------------------------------------------------------------ALTO 12 6,63333 BAJO 9 4,8 MEDIO 19 5,98421 0,239613 6,29003 0,276681 0,190425 6,97664 4,40359 5,71138 5,19641 6,25704 -------------------------------------------------------------------------------Total 40 5,9125 - El intervalo LSD, que da Statgraphics para aquellos que tienen un bajo hábito de lectura es: BAJO : [4´40359 , 5´19641] - Lo que determina que según la estimación puntual realizada, la nota media de aquellos estudiantes que tienen un bajo hábito de lectura se encuentra dentro de ese intervalo. 4. Indica cómo proceder para estudiar la existencia o no de relación entre las siguientes variables. Explica qué resultado obtienes en cada caso. a.- Hábitos_de_lectura /Centro - Se trata de dos variables categóricas o cualitativas, por lo tanto para poder estudiar si existe relación entre ambas crearé una tabla de contingencia y luego aplicaré el contraste chi-cuadrado; el contraste que se realizará será el siguiente: H 0 = centros y hábito de lectura tienen relación H 1 = centros y hábito de lectura no tienen relación - Los pasos para crear la tabla de contingencia son los siguientes: Descripción/datos cualitativos/tabulación cruzada - Sale la siguiente ventana y en ella metemos los datos: -En variable fila CENTROS y en variable columna Hábitos_Lectura; también se podría poner al revés puesto que es independiente. -Aparece la siguiente tabla de contingencia: Tabla de Frecuencias para CENTRO según Hábitos_Lect -Luego para ejecutar el contraste se hará: Botón opciones tabulares/Contraste chi-cuadrado Contraste de Chi-cuadrado -----------------------------------------Chi-cuadrado GL P-Valor -----------------------------------------14,06 8 0,0801 ------------------------------------------ -El p-valor obtenido (0´0801), es mayor que el nivel de significación (0,02), por lo tanto para un nivel de confianza del 98%, se acepta la hipótesis nula, luego las dos variables tienen no relación, por lo tanto existe independencia de las dos variables y por lo tanto el CENTRO y el HÁBITO DE LECTURA de los estudiantes no tienen relación. Por otro lado al realizar el análisis Statgraphics advierte de que alguna celda tiene una frecuencia esperada menor que 5, por lo tanto el resultado del contraste no es concluyente. Por otro lado a través de la tabla de contingencia se puede observar que aparentemente sí hay relación entre el centro y el hábito de lectura de los estudiantes, puesto que: * El p-valor obtenido es muy próximo al nivel de significación, y por lo tanto casi se puede aceptar la existencia de relación. * Las filas de la tabla de contingencia son muy diferentes entre sí, por lo tanto muestra que puede existir relación entre el centro en que estudien los alumnos y su hábito de lectura. b.- Nota-media / Sexo -Al tratarse de una variable cualitativa y otra cuantitativa se aplicará un análisis ANOVA simple, en el que el factor será la variable sexo y la variable respuesta será nota media; el contraste que se realizará será el siguiente; también se podrían utilizar las técnicas del primer tema puesto que se trata de comparar dos poblaciones (hombres y mujeres): H 0 = todas las medias son iguales μA = μB H 1 = alguna media no es igual alguna μi es diferente. - Para realizar el contraste se realizan los siguientes pasos: Comparación / Análisis de la varianza / ANOVA simple. Tabla ANOVA para Nota_media según Sexo Análisis de la Varianza -----------------------------------------------------------------------------Fuente Sumas de cuad. Gl Cuadrado Medio Cociente-F P-Valor -----------------------------------------------------------------------------Entre grupos 4,1159 1 4,1159 Intra grupos 35,1819 38 0,925838 4,45 0,0416 -----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 39,2978 39 -El p-valor obtenido es mayor que el nivel de significación (0´02), por lo tanto se acepta la hipótesis nula, por lo tanto se puede decir que la nota media que sacan los estudiantes en selectividad es similar en todos los caso independientemente del sexo; por lo tanto según el ANOVA simple no existe relación entre el sexo y la nota media obtenida. - Para que el estudio ANOVA simple se pueda dar por válido es necesario que se cumplan las tres condiciones: normalidad, homocedasticidad e independencia. 1. Normalidad. Se estudia la normalidad de los residuos, y se realiza el siguiente contraste: H 0 = variable residuos es normal H 1 = variable residuos no es normal Tests de Bondad de Ajuste para RESIDUALS Contraste Chi-cuadrado ---------------------------------------------------------------------------Límite Límite Frecuencia Frecuencia Inferior Superior Observada Esperada Chi-cuadrado ---------------------------------------------------------------------------menor o igual -1,01397 6 5,71 0,01 -1,01397 -0,537534 7 5,71 0,29 -0,537534 -0,170976 7 5,71 0,29 -0,170976 0,170975 3 5,71 1,29 0,170975 0,537533 6 5,71 0,01 0,537533 mayor 1,01397 1,01397 5 5,71 0,09 6 5,71 0,01 ---------------------------------------------------------------------------Chi-cuadrado = 2,00021 con 4 g.l. P-Valor = 0,73572 Estadístico DMAS de Kolmogorov = 0,086152 Estadístico DMENOS de Kolmogorov = 0,0589273 Estadístico DN global de Kolmogorov = 0,086152 P-Valor aproximado = 0,927872 -Ambos p-valor son altos y por lo tanto aceptan la hipótesis nula por lo tanto normalidad. También se miran los test para la normalidad. Tests para la Normalidad para RESIDUALS Estadístico chi-cuadrado de bondad de ajuste = 14,4 P-valor = 0,420356 Estadístico W de Shapiro-Wilks = 0,970004 P-valor = 0,469733 Puntuación Z para asimetría = 0,786384 P-valor = 0,43164 Puntuación Z para curtosis = -0,392098 P-valor = 0,694983 -Todos ellos son mayores que el nivel de significación del 2%, por lo tanto aceptan la hipótesis nula y como consecuencia la normalidad de la variable. 2. Homocedasticidad. H 0 = todas las varianzas son iguales ρA = ρB H 1 = alguna varianza no es igual alguna ρi es diferente Contraste de Varianza Contraste C de Cochran: 0,631667 P-valor = 0,248764 Contraste de Bartlett: 1,03683 P-valor = 0,247187 Contraste de Hartley: 1,71494 Test de Levene: 0,24292 P-valor = 0,624941 -Todos los p-valor obtenidos son mayores que el nivel de significación por lo tanto se acepta y en consecuencia se acepta la igualdad de varianzas. 3. Independencia. - Puesto que no disponemos de la fecha en la que hemos recogido los datos, no podemos realizar un estudio sobre su aleatoriedad ya que no aparece reflejado el orden temporal, por lo tanto daremos por supuesto que se cumple que se cumple esta condición. -Al comprobar los tres requisitos y observar que se cumple los resultados obtenidos gracias al análisis ANOVA simple, se dan por válidos, por lo tanto no existen diferencias significativas entre la nota media obtenida en selectividad y el sexo de los alumnos. c.- Nota_lengua / Sexo -Igual que en el caso anterior se trata de una variable cualitativa y otra cuantitativa, por lo tanto se aplica un análisis ANOVA simple, con el siguiente contraste: H 0 = todas las medias son iguales μA = μB H 1 = alguna media no es igual alguna μi es diferente. Tabla ANOVA para Nota_Lengua según Sexo Análisis de la Varianza -----------------------------------------------------------------------------Fuente Sumas de cuad. Gl Cuadrado Medio Cociente-F P-Valor -----------------------------------------------------------------------------Entre grupos 6,6589 1 6,6589 Intra grupos 40,4411 38 1,06424 6,26 0,0168 -----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 47,1 39 - El p-valor obtenido en este caso es menor que el nivel de significación del 2% (0´02), por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa, lo que significa que no todas la medias son iguales o lo que es lo mismo que existen diferencias significativas entre las notas sacadas en lengua, según sean chicos o chicas, por lo tanto estas dos variables sí tienen relación. Para poder dar por válidos estos resultados es necesario comprobar las tres condiciones del modelo: normalidad, homocedasticidad e independencia. 1. Normalidad. -Se estudia la normalidad de los residuos, y se realiza el siguiente contraste: H 0 = variable residuos es normal H 1 = variable residuos no es normal Tests de Bondad de Ajuste para RESIDUALS Contraste Chi-cuadrado ---------------------------------------------------------------------------Límite Límite Frecuencia Frecuencia Inferior Superior Observada Esperada Chi-cuadrado ---------------------------------------------------------------------------menor o igual -1,08712 4 5,71 0,51 -1,08712 -0,576313 16 5,71 18,51 -0,576313 -0,18331 0 5,71 5,71 -0,18331 0,18331 0 5,71 5,71 0,18331 0,576313 10 5,71 3,21 0,576313 1,08712 0 5,71 5,71 10 5,71 3,21 mayor 1,08712 ---------------------------------------------------------------------------Chi-cuadrado = 42,6006 con 4 g.l. P-Valor = 1,25231E-8 Etadístico DMAS de Kolmogorov = 0,215167 Estadístico DMENOS de Kolmogorov = 0,137977 Estadístico DN global de Kolmogorov = 0,215167 P-Valor aproximado = 0,0492633 Tests para la Normalidad para RESIDUALS Estadístico chi-cuadrado de bondad de ajuste = 81,55 P-valor = 1,45808E-11 Estadístico W de Shapiro-Wilks = 0,912536 P-valor = 0,00465665 Puntuación Z para asimetría = 0,71236 P-valor = 0,476239 Puntuación Z para curtosis = -1,12106 P-valor = 0,262261 -El p-valor obtenido en el test chi-cuadrado y en dos de los test para normalidad es menor que el nivel de significación por lo tanto se rechaza la hipótesis nula lo cual indica que no se cumple la primera condición que es normalidad. -Por lo tanto no se pueden considerar los resultados del ANOVA simple como válidos. -Puesto que los resultados del ANOVA no se pueden considerar como válidos será necesario realizar otro tipo de análisis como el contraste de Kruskal – Wallis, y comparar las medianas de las variables: H 0 = todas las medianas son iguales medA = medB H 1 = alguna mediana no es igual alguna medi es diferente. Contraste de Kruskal-Wallis para Nota_Lengua según Sexo Sexo Tamaño muestral Rango Promedio -----------------------------------------------------------M 19 24,5789 V 21 16,8095 -----------------------------------------------------------Estadístico = 4,79785 P-valor = 0,0284922 -El contraste de Kruskal – Wallis, da un p-valor mayor que el nivel de significación (0´02), por lo tanto se aceptaría la hipótesis nula, es decir que las medianas son similares, lo que indica que no existen diferencias significativas entre las notas sacadas en lengua por lo alumnos y su sexo, por lo tanto estas dos variables no tiene relación al nivel de significación fijado. Obsérvese, no obstante, que incrementando ligeramente el nivel de significación se concluiría que sí existen diferencias significativas. Puesto que se trata de comparar dos poblaciones y que los requisitos de ANOVA no se cumplen y además el p-valor obtenido en el contraste de KruskalWallis, se pueden utilizar las técnicas del primer tema, sobre comparación de medias y medianas y comprobar si la nota que sacan los estudiantes en lengua es distinta en mujeres y hombres, los pasos que se realizarían serían los siguientes: 1.- ¿Datos pareados? No son pareados, puesto que se trata de distintos individuos. 2.- ¿Las variables son normales? Normalidad varones. H 0 = nota_lengua (varones) es normal H 1 = nota_lengua(varones) no es normal Descripción / Distribuciones / Ajuste de distribuciones (datos no censurados) En datos se pondría nota_lengua y en selección sexo= “V” Tests de Bondad de Ajuste para Nota_Lengua Contraste Chi-cuadrado ---------------------------------------------------------------------------Límite Límite Frecuencia Frecuencia Inferior Superior Observada Esperada Chi-cuadrado ---------------------------------------------------------------------------menor o igual 4,95802 mayor 0 3,50 3,50 4,95802 5,40399 10 3,50 12,07 5,40399 5,7619 0 3,50 3,50 5,7619 6,11982 6 3,50 1,79 6,11982 6,56578 0 3,50 3,50 5 3,50 0,64 6,56578 ---------------------------------------------------------------------------Chi-cuadrado = 25,0001 con 3 g.l. P-Valor = 0,0000154398 Estadístico DMAS de Kolmogorov = 0,296596 Estadístico DMENOS de Kolmogorov = 0,179594 Estadístico DN global de Kolmogorov = 0,296596 P-Valor aproximado = 0,0497097 Tests para la Normalidad para Nota_Lengua Estadístico chi-cuadrado de bondad de ajuste = 78,6667 P-valor = 9,15934E-13 Estadístico W de Shapiro-Wilks = 0,770038 P-valor = 0,000122603 Puntuación Z para asimetría = 0,728146 P-valor = 0,466522 Puntuación Z para curtosis = -2,15022 P-valor = 0,0315377 El test de chi-cuadrado no se puede considerar como válido puesto que la frecuencia esperada es menor que 5, por lo tanto se mira el p-valor obtenido en el test de Kolmogorov y los test para normalidad, por lo tanto para un nivel de significación del 2% (0´02), dos de los test para normalidad rechazan H0 , ya que el pvalor obtenido en ellos (Chi-cuadrado de bondad de ajuste y Wde Shapiro-Wilks) es menor que el nivel de significación, por lo tanto la variable nota_lengua en el caso de los varones no se puede considerar normal. 3.- Comparo las medianas. - El contraste que se realiza es el siguiente: H 0 = M (nota_lengua mujeres) = M (nota_lengua varones) H 1 = M (nota_lengua mujeres) <> M (nota_lengua varones) Comparación / Comparación de dos muestras / Comparación de dos muestras / Columna de código y datos En datos pondría nota_lengua y en código muestra sexo Botón opciones tabulares / comparación de medianas Comparación de Medianas para Nota_Lengua ---------------------------------------Mediana de la muestra 1: 6,0 Mediana de la muestra 2: 6,0 Contraste W de Mann-Whitney (Wilcoxon) para comparar medianas Hipótesis nula: mediana1 = mediana2 (1) Hipótesis alt.: mediana1 <> mediana2 Rango medio de la muestra 1: 24,5789 Rango medio de la muestra 2: 16,8095 W = 122,0 P-Valor = 0,029535 El p-valor obtenido es mayor que el nivel de significación del 2% (0´02), por lo tanto en este caso se aceptaría H0,aunque el nivel de significación y el p-valor sean muy similares, y por lo tanto se acepta que la nota media de los hombres en lengua es similar a la nota media de las mujeres en lengua, por lo tanto no existen diferencias significativas entre la nota que consiguen los alumnos en lengua y el sexo. De nuevo, incrementando ligeramente el nivel de significación, se obtendría que ambas medianas son diferentes. 5. ¿Cómo podrías contrastar si la nota media en selectividad de las mujeres con alto hábito de lectura está, en general, por encima de 7? - Lo primero es comprobar si la variable nota media de las mujeres con alto hábito de lectura es normal o no realizando el siguiente contraste: H 0 = variable nota selectividad, mujeres con alto hábito de lectura es normal. H 1 = variable nota selectividad, mujeres con alto hábito de lectura no es normal Para ello se realizan los siguientes pasos: Descripción/Distribuciones/Ajuste de distribuciones (datos no censurados) - En datos pongo nota selectividad y en selección se pondría: Sexo=”M” & Hábitos_Lect = “ALTO” - Miro los test de bondad e ajuste: Tests de Bondad de Ajuste para Nota_Select Contraste Chi-cuadrado ---------------------------------------------------------------------------Límite Límite Frecuencia Frecuencia Inferior Superior Observada Esperada Chi-cuadrado ---------------------------------------------------------------------------menor o igual mayor 6,68428 4 3,60 0,04 5 5,40 0,03 6,68428 ---------------------------------------------------------------------------Datos insuficientes para efectuar el contraste de chi-cuadrado. Estadístico DMAS de Kolmogorov = 0,165918 Estadístico DMENOS de Kolmogorov = 0,142853 Estadístico DN global de Kolmogorov = 0,165918 P-Valor aproximado = 0,965364 - El test de chi-cuadrado no resulta fiable, puesto que alguna de las frecuencias esperadas es menor que 5, por lo tanto hay que fijarse en el test de Kolmogorov; y este test para un nivel de significación del 5%(0´05), por lo tanto como el p-valor obtenido (0´965364) es mayor que el nivel de significación se acepta H 0 y por lo tanto la variable notas de selectividad en mujeres con un alto nivel de lectura sigue una distribución normal. También se miran los test de normalidad: Tests para la Normalidad para Nota_Select Estadístico chi-cuadrado de bondad de ajuste = 10,0 P-valor = 0,124652 Estadístico W de Shapiro-Wilks = 0,909465 P-valor = 0,307073 Puntuación Z para asimetría = 0,70307 P-valor = 0,48201 Puntuación Z para curtosis = -0,46046 P-valor = 0,645183 - En todos los casos el p-valor obtenido es mayor que el nivel de significación, por lo tanto se acepta H 0 y en conclusión la variable es normal. - Una vez que ya he comprobado que la variable es normal, para comprobar si la nota esta por encima de 7, se utilizaría los test no paramétricos sobre la media y la mediana, por lo tanto tenemos tres test a nuestra disposición: El contraste que se realiza es el siguiente: H 0 = mediana = 7 Contraste sobre la mediana H 1 = mediana > 7 H 0= μ = 7 Contraste sobre la media - H 1= μ > 7 Y los pasos para ejecutarlo son los siguientes: Descripción /Datos numéricos/ Análisis unidimensional/ En datos poner Nota_selec y en selección Sexo=”M”&Hábitos_Lect=”ALTO” Botón opciones tabulares/ Contraste de hipótesis En la ventana de contraste de hipótesis, botón derecho, en media poner 7 y hipótesis alternativa mayor que Contraste de Hipótesis para Nota_Select Media muestral = 6,9 Mediana muestral = 6,7 Contraste t ----------Hipótesis nula: media = 7,0 Alternativa: mayor que Estadístico t = -0,352332 P-valor = 0,633155 No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05. Contraste de los signos ----------------------- Hipótesis nula: mediana = 7,0 Alternativa: mayor que Número de valores inferiores a la mediana de H0: 5 Número de valores superiores a la mediana de H0: 4 Estadístico para grandes muestras = 0,0 (aplicada la corrección por continuidad) P-valor = 0,500003 No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05. Contraste de rangos con signo ----------------------------Hipótesis nula: mediana = 7,0 Alternativa: mayor que Rango medio de los valores inferiores a la mediana: 5,1 Rango medio de los valores superiores a la mediana: 4,875 Estadístico para grandes muestras = -0,415374 (aplicada la corrección por continuidad) P-valor = 0,661067 No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05. - Los tres test de los que disponemos dan como resultado un p-valor mayor que 5% (0´05), por lo tanto se acepta H0 , o lo que es lo mismo que la nota media de las mujeres en selectividad con un alto hábito de lectura es igual que 7, pero no mayor; por lo tanto por lo general no se puede aceptar que la nota de las mujeres con alto hábito de lectura este por encima de 7.
