CURSO: MATEMATICA FINANCIERA I TEMA: Interés Compuesto Unidad 5 Interés Compuesto Andrés Benavides Corro Instituto del Sur – 2024 Objetivos de la sesión a) Explicar y definir el interés compuesto y su subdivisión b) Interés simple y interés compuesto - un análisis. c) Resolución de ejercicios: valor futuro, valor presente, tasa de interés compuesto y el tiempo. d) Descuento compuesto, resolución de ejercicios. e) Ecuaciones de valor a interés compuesto. Temas que abordaremos 1. Definición del interés compuesto 2. Comparación entre el interés simple y compuesto 3. Periodos 4. Valor futuro equivalente a un presente dado 5. Cálculo del valor presente equivalente de un valor futuro 6. Cálculo del número de períodos 7. Cálculo de la tasa de interés 8. Descuento compuesto ¿Qué es el interés compuesto? Se denomina interés compuesto en activos monetarios a aquel que se va sumando al capital inicial y sobre el que se van generando nuevos intereses. https://www.economipedia.com El interés compuesto es uno de los tipos de interés existentes en términos financieros. La palabra interés hace referencia a la ganancia que produce un capital. Este capital puede estar prestado o depositado y en cualquiera de los dos casos generar un interés. http://www.economiasimple.net El interés compuesto es ese tipo de interés que añade al capital los intereses generados, por lo que el interés compuesto se calcula sobre los propios intereses. Esto se traduce en un efecto multiplicador del dinero, pues además de generar dinero con la inversión inicial, los intereses que dicha inversión ha tenido pasan a formar parte tanto del dinero obtenido como la base sobre la que se calcula el interés compuesto. http://www.enciclopediaeconomica.com Interés compuesto Operación financiera en la cual el capital aumenta al Si decides invertir hoy la suma de S/10,000 en un DPF que final de cada periodo por la suma de los intereses paga el 7% cuatrimestral, analiza el resultado del cálculo de vencidos. La suma total obtenida al final se conoce con los intereses durante dos años. ¿Cuáles son tus el nombre de monto compuesto o valor futuro y la conclusiones u observaciones? diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le denomina interés compuesto. El interés compuesto es más flexible y real, ya que valora periodo a periodo el dinero realmente comprometido en la operación financiera, por ello es el tipo de interés más utilizado en las actividades financieras. 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒏 Capital= n= i= 10,000.00 2 años 6 7.00% Cuatrimestral R= 15,007.30 Validar S/.15,007.30 3 Periodo Capital 0 1 2 3 4 5 6 10,000.00 10,000.00 10,700.00 11,449.00 12,250.43 13,107.96 14,025.52 Interés 700.00 749.00 801.43 857.53 917.56 981.79 Monto 10,000.00 10,700.00 11,449.00 12,250.43 13,107.96 14,025.52 15,007.30 Comparación entre el interés simple y compuesto Si inviertes $ 1.000 en una caja local, al 2.5% mensual durante un año, al final de los cuales esperas recuperar el capital principal y los intereses, de no existir retiros ni depósitos intermedios. Calcula la suma final y realiza la comparación a interés simple. Capital= n= i= R= Validar Simple: 1,000.00 1 años 12 2.50% Mensual 12 1,344.89 S/.1,344.89 1,300.00 Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Capital Inicial Simple Compuesto 1,000.00 1,000.00 1,000.00 1,000.00 1,025.00 1,000.00 1,050.63 1,000.00 1,076.89 1,000.00 1,103.81 1,000.00 1,131.41 1,000.00 1,159.69 1,000.00 1,188.69 1,000.00 1,218.40 1,000.00 1,248.86 1,000.00 1,280.08 1,000.00 1,312.09 Interés Simple Compuesto 25.00 25.00 25.00 25.63 25.00 26.27 25.00 26.92 25.00 27.60 25.00 28.29 25.00 28.99 25.00 29.72 25.00 30.46 25.00 31.22 25.00 32.00 25.00 32.80 Monto Simple Compuesto 1,000.00 1,025.00 1,025.00 1,050.00 1,050.63 1,075.00 1,076.89 1,100.00 1,103.81 1,125.00 1,131.41 1,150.00 1,159.69 1,175.00 1,188.69 1,200.00 1,218.40 1,225.00 1,248.86 1,250.00 1,280.08 1,275.00 1,312.09 1,300.00 1,344.89 PERIODO El tiempo que transcurre entre un pago de interés y otro se denomina periodo y se simboliza por n, mientras que el número de periodos que hay en un año se representa por m y representa el número de veces que el interés se capitaliza durante un año y se le denomina frecuencia de conversión o frecuencia de capitalización. Ejemplos de periodos de capitalización 30% Anual capitalizable o convertible diariamente 28% Liquidable o capitalizable semanalmente 24% Capitalizable quincenalmente 36% Anual convertible mensualmente 32% Anual liquidable bimestralmente 40% Anual capitalizable trimestralmente 20% Anual compuesto cuatrimestralmente 35% Anual convertible semestralmente 18% Anual liquidable anualmente Con la información siguiente determine cuales son los valores de m y n (elabore un diagrama): Información Si un documento ofrece pagos semestrales y tiene una duración de 3 años. Si un documento ofrece pagos bimestrales y tiene una duración de 1 año. Si un documento ofrece pagos semanales y tiene una duración de 2 años. Si un documento ofrece pagos mensuales y tiene una duración de 2 años. Si un documento ofrece pagos anuales y tiene una duración de 4 años. m 2 6 52 12 1 n 6 6 104 24 4 a 3 1 2 2 4 Valor futuro (Monto) a interés compuesto El valor futuro, se encuentra a partir de un valor presente dado, para lo cual, debe especificar la tasa de interés y el número de períodos. 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒏 En matemática financiera toda fórmula está asociada con un diagrama de tiempo . Valor futuro (Monto) a interés compuesto El valor futuro, se encuentra a partir de un valor presente dado, para lo cual, debe especificar la tasa de interés y el número de períodos. En matemática financiera toda fórmula está asociada con un diagrama de tiempo . Calcular el monto de una inversión de $150,000 a dos años, si me otorgan una tasa mensual del 1.5%. 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒏 M=? M = 150,000(1+0.0150)24 1.5% mensual 2 años M = 214,425.42 $150,000 R.- El monto de inversión será de $214,425.42 Valor futuro (Monto) a interés compuesto ¿Cuánto dinero se acumulará en seis meses en una cuenta de ahorros que reconoce el 2% mensual si hoy se invierte en una caja municipal $400.000? Si el 2 de enero se depositó $150.000 en una cuenta de ahorros y deseo saber cuánto puedo retirar al finalizar el año, asumiendo que me den una tasa de interés mensual del 3%. 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒏 Valor futuro (Monto) a interés compuesto Si al finalizar los meses de julio y septiembre ahorré $1500 y $2100 respectivamente; encontré un inversionista que me paga el 4% mensual por estas sumas de dinero. ¿Cuánto obtendré el 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒏 15/11/2022? Inversión 1 Inversión 2 Tasa 1,500.00 31/07/2022 107 2,100.00 30/09/2022 46 4.00% mensual 0.00133 -> tasa diaria 4%Mensual Jul $1500 Ago Set $2100 M=? Oct M1 = 1500(1+ 0.00133)107 M1 = 1729.85 Nov M2 = 2100(1+ 0.00133)46 M2= 2232.74 Total=3962.59 Rpta.- El 15/11/2022 recibiré $3962.59 como resultado de mis ahorros invertidos al 4% mensual Valor actual o presente (Capital) a interés compuesto Dado un monto determinado, sujeto a una tasa de interés, por un periodo determinado averiguaremos cuál fue el capital inicial 𝑪 = 𝑴 𝟏 + 𝒊 −𝒏 𝑪 = 𝑴/(𝟏 + 𝒊)𝒏 En 2.5 años una empresa cambiará su máquina empacadora por una de mayor capacidad, en dicha fecha, se venderá en S/3,000 aprox. y la nueva debe costar S/12,000 ¿Qué capital se debe depositar si deseo adquirir la nueva máquina? Una entidad financiera pagará 3% mensual, por el DPF. Solución: 𝐶= S/9000 3% 𝑀 1+𝑖 𝑛 C = 9000/(1+0.03)30 2,5 años C = 3707.88 C= ? R.- La empresa debe depositar S/3707.88 como capital para abrir el DPF. Valor actual o presente (Capital) a interés compuesto › Calcular el valor presente en el siguiente diagrama si la tasa de interés es del 10%... › ¿Qué suma de dinero es necesaria depositar hoy en una COPAC que capitaliza el 3% mensual a fin de obtener en dos años $ 3.000 para irme de viaje? › Si tu abuelo desea invertir una suma de dinero en una financiera local para retirar S/25000 dentro de 2 años ¿Cuál será esa suma a depositar si la tasa es del 7,01% trimestral? 𝑪 = 𝑴 𝟏 + 𝒊 −𝒏 𝑪 = 𝑴/(𝟏 + 𝒊)𝒏 Calculando el número de periodos a interés compuesto Despejamos la variable tiempo (n) de la fórmula básica. 𝒏= 𝒍𝒏 𝑽𝑭 𝑽𝑨 𝒍𝒏(𝟏+𝒊) ¿A cuánto tiempo S/1500 es equivalente a S/600, si se deposita hoy en un fondo que paga al 2.5% mensual?. S/1,500 2.5% mensual n=? 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝒍𝒏 𝟔𝟎𝟎 𝒏 = 𝒍𝒏(𝟏+𝟐.𝟓%) n = 37.11 meses S/600 n = 3 años, un mes y 3 días R.- Serán equivalentes en tres años, un mes y tres días. Calculando el número de periodos a interés compuesto ¿En cuánto tiempo podrías duplicar un capital, si en la entidad donde piensas invertirlo te ofrecieron una tasa del 2,5% mensual? Tratando de lograr un capital ($10,000) para un futuro emprendimiento, si hoy depositas $1000 buscando siempre entidades que te paguen no menos del 12% anual ¿Cuánto tiempo te tomará? 𝒏= 𝑽𝑭 𝒍𝒏 𝑽𝑨 𝒍𝒏(𝟏+𝒊) Calculando la tasa de interés compuesto La tasa de interés es la razón del interés devengado del capital, en la unidad de tiempo, la tasa de interés está dada como un porcentaje o como su equivalente en forma decimal. 𝑽𝑭 𝑽𝑨 𝟏 𝒏 𝒊= −𝟏 Si te prestaras $200 de un amigo, luego de diez meses le pagas $250, ¿Qué tasa de interés mensual te está cobrando? 𝟏 $ 250 𝒊= i=%? 10 meses 𝒊= 𝑽𝑭 𝒏 −𝟏 𝑽𝑨 𝟐𝟓𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟏 𝟏𝟎 −𝟏 $ 200 i = 2.257% mensual R.- La tasa cobrada es el 2.257% mensual. Calculando la tasa de interés compuesto Como resultado de diferentes ingresos tienes hoy S/1000, si quieres duplicarlos en 3 años ¿Qué tasa de interés necesitas? ¿Qué tasa de interés te hace falta para que $1,000 se conviertan en $5,000 en 20 años? 𝒊= 𝑽𝑭 𝑽𝑨 𝟏 𝒏 −𝟏 Actividad: Práctica de ejercicios Se ha suministrado un cuadernillo (ver adjunto en capitulo Interés Compuesto en Moodle) con distintos casos a resolver utilizando cada uno de los conceptos que iremos aprendiendo a lo largo del curso. Recomendaciones El trabajo en grupo es mandatorio, lo que significa que todos los participantes resolverán y estudiarán cada caso para poder explicar su solución. Es importante verificar la respuesta utilizando métodos alternativos, y deberá incluirse en el cuadernillo de trabajo. La última pregunta (que encontrará en blanco) supone plantear un caso, que debe de exigir un grado de complejidad, tanto en su enunciado como en su solución. El caso que sea presentado por un grupo será anotado como participación adicional. El descuento compuesto Operación financiera que tiene por objeto el cambio de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la fórmula de descuento compuesto. El descuento que opera con base en el interés compuesto. Si el proceso de capitalización es la suma periódica de los intereses, el descuento compuesto es lo contrario. Se simboliza con Dc. Descuento comercial o bancario Se aplica sobre el valor nominal del documento, el interés se cobra por adelantado, en lugar de cobrarlo en la fecha de vencimiento. Los intereses cobrados por anticipado se llaman descuento. El valor presente es la diferencia entre el Vn y el Dc,. 𝑫𝒄 = 𝑽𝒏 𝟏 − 𝟏 + 𝒅 −𝒏 Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de $45000 por cinco meses a una tasa del 15%. Dc=?? Vn=45000 𝑫𝒄=𝑽𝒏[𝟏−(𝟏+𝒅)^(−𝒏) ] 15% Dc=45000 [𝟏−(𝟏+15%)^(−5/12) ] 5 meses Dc=2545.69 Descuento comercial o bancario 𝑫𝒄 = 𝑽𝒏 𝟏 − 𝟏 + 𝒅 −𝒏 Calcular el descuento bancario compuesto de un pagaré cuyo valor nominal es S/7000 y vence dentro de 45 días. La tasa nominal anual es de 36%, con periodo de descuento mensual. 𝑫𝒄=𝑽𝒏[𝟏−(𝟏+𝒅)^(−𝒏) ] Dc=7000 [𝟏−(𝟏+3%)^(−1,5) ] Dc=312.63 Dc=?? 36% 54 días Vn=7000 Ecuaciones de valor con interés compuesto Su banco le otorgó un préstamo a pagar de la siguiente manera: $13.000 en 2 meses, $24.000 dentro de 5 meses y $32.000 en 12 meses. Ante la recesión e imposibilidad de pago, el banco le propone refinanciar de la siguiente manera: $8.000 en 3 meses, $35.000 en 10 meses y el resto en 16 meses; se aplicaría una tasa del 2% mensual, determinar el saldo a pagar. VA=Deuda VADeudas=13K(𝟏+0.02)−2 +24K(𝟏+0.02)−5 +32K(𝟏+0.02)−12 i=2% mensual 0 2 ff 5 13K 12 24K VADeudas= $59,464.52 32K 59,464.52 (𝟏+0.02)16 =8K(𝟏+0.02)13 +35K(𝟏+0.02)6 +X Deuda= $59,464.52 i=2% mensual 0 3 10 X= 59,464.52 (𝟏+0.02)16 - 8K(𝟏+0.02)13 - 35K(𝟏+0.02)6 16 X= $31,867.50 8K 35K X ff R: El saldo a pagar en el mes 16 sería $ 31,867.50 Vamos a ejecutar unos ejercicios… Al invertir $ 2.000 al 1,5% mensual por 3 años. ¿Cuál es el monto al término de ese tiempo y cuál es el interés ganado?. R. $ 3418,28 y $ 1418,28 Si empiezas a laborar con un sueldo mensual de S/4500, se espera que los aumentos sean del 7.5% anual, ¿Cuál será tu sueldo si te jubilaras en 25 años?. R. S/ 25,527.93 Su familia invirtió $ 200.000 en un proyecto a 5 años, inicialmente pagaban 6% trimestral y 3 años después la tasa cambio al 1,5% mensual. Calcular el monto total de la inversión al finalizar los cinco años. R. $ 575,288.10 ¿Cuál es el valor futuro de S/1.800 que vencen dentro de 3 años, si la tasa de interés es 5% bimestral? R. S/4331,91 Pagó a su contador S/81,500 con un pagare por sus honorarios. ¿Cuál era el importe inicial si el préstamo fue de 6 meses y el interés del 2,5% mensual? R. S/ 70,277.19 Se dispones hoy de dinero para invertir, (max.10K) aquí tienes dos alternativas: 1) al 2,45% mensual y 2) al 15,25% semestral. ¿Cuál debes tomar?. Encontraste una oportunidad de duplicar tu capital en un año, si la capitalización se lleva a cabo cada quincena, ¿Qué tasa de interés se aplica en esta operación?. R. 2.93% quincenal SI aportas $ 25.000, a una sociedad y te retiras al cerrar el quinto año los demás socios te entregaron $72.000. ¿Qué rendimiento anual obtuviste de tu inversión?. R. 23.56% ¿En cuántos años se cuadruplicará su inversión hoy a un interés del 24% anual pagadero en su totalidad al vencimiento? R. 6.44 años… Veamos otros casos… Si deposito hoy S/10.000, dentro de 6 meses S/5.000 y 4 meses después de realizado el anterior depósito, S/20.000, ¿Cuánto habré acumulado 18 meses desde el primer depósito si transé una tasa del 3% mensual?.R. S/49488.54 Su empresa tiene una letra de $ 25.000 que vence dentro de 6 meses y reconoce intereses al, 2.8% mensual, de negociar el documento con una financiera le acepta la letra pero con un descuento del 3,5%. ¿Cuál es el Ve de la letra y el descuento aplicado?. R. $24,002.51 Dc= $5,502.70 Tu papá prometió que al terminar la carrera enviaría de viaje a ti y tu hermano/a y les entregaría a cada uno $ 4.000. A ti te faltan 2 años y tu hermano/a 3 años. ¿Cuánto debe invertir hoy en un DPF que paga el 2,5% mensual para cumplir la promesa? R. $3855.88 Si el parque automotor de nuestra ciudad ha venido creciendo al 2,5% anual, considerar que el parque tienen actualmente 450.000 de vehículos, en cuánto tiempo se duplicará si sigue creciendo al mismo ritmo?. R. dos años, cuatro meses y dos días MATEMÁTICA FINANCIERA I FIN DE LA SESION 3 Interés Compuesto
