fundamentos-algebra (1)

GUÍA DE ESTUDIOS PARA EL EXAMEN A TITULO
DE SUFICIENCIA DE FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA.
INSTRUCCIONES El conjunto de ejercicios que a continuación se presenta tienen como objetivo proporcionarte orientación sobre los temas que debes estudiar para presentar el ETS de la asignatura ”Fundamentos de
Álgebra”. Es importante que tengas en cuenta que los problemas que resuelvas d esta guı́a no serán los mismos
que se incluyen en el examen.
NÚMEROS COMPLEJOS.
1. Efectúe cada una de las operaciones indicadas y exprese el resultado en forma rectangular.
i − i2 − i3 + i4
(1 + i)2
1 − i 2
1 + i 3
−2
(d) 3
1−i
1+i
5 − 2i 10 − i
+
3 − 4i 4 + 3i
4 i11 − i2 (a)
(c)
(e)
(b)
1 + 2i
3∠ 15◦ + (3∠ 20◦ )3
(2 − 2i)(4 − 3i)
√
(f )
iπ/2
1−i
(1 + 3 i)(2e
)
h 1 2 1 3 i
+ i +
− i
(g) (4 + 5i) −
4 3
5 2
2. Simplificar cada una de las siguientes expresiones.
(i).
(ii).
i4 + i7 − i10
4 − i5 + i8
(2 + i)(1 − i)(−1 + i)
(−2 + 2i)2
h
(iii). (2 − 2i)2 √
i
2
i
√ −√
√
2 − 2i
2 + 2i
3. Dados los números complejos Z1 = 4e2π/3 i , Z2 = 2∠ 60◦ , Z3 = 1 + i. Calcule las siguientes operaciones y
exprese los resultados en forma polar.
(a) Z =
i25 (Z3 )8
(Z2 )5
(b) Z =
1
2Z1 + 4Z3
Z1 Z2
4. Dados los números complejos, calcule las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma rectangular, polar y exponencial.
Z2 = 3 ∠ 15◦
Z1 = 5eiπ/4
(a) Z = Z1 • Z2 • Z3
(c) Z =
5. Para Z1 , Z2 , Z3
exponencial.
∈
Z3 = 2 + 4i
(b) Z = Z1 + Z2 + Z3
Z1 − Z2
Z3
(d) Z =
(Z1 )3
Z2 (Z3 )2
C, realizar las siguientes operaciones y expresarlas en forma rectangular, polar y
Z1 = 2eiπ/6
Z2 =
√
3−
√
3i
(i). (z1 z3 ) + z2 (Resp: 3.8 − 9.5i)
(iii). (
z1 2 z2
)( )
z3
z3
Z3 = 4(cos π/4 + i sen π/4)
3
(ii). 5z1 + z2 − 2z3
5
(iv). (z1 + z3 )3
6. Encuentre las raı́ces indicadas de las números complejos dados, exprese los resultados en forma rectangular
y grafique las raı́ces en el plano complejo
(a) Las raı́ces cúbicas de z = 8 + 8i
√
(b) Las raı́ces cuadradas de z = 8 + 8 3 i
(c) Las raı́ces quintas de z = −32i
(d) Las raı́ces cuadradas de z = −7 + 24i.
√
(e) Las raı́ces quintas de z = −16 + 16 3 i
7. Sea z = (3 − 6i)(4 − ki), calcule el valor de k para que z sea un número imaginario puro.
8. Sea z = (3 − 6i)(4 − ki), calcule el valor de k para que z sea un número real.
9. Sea z = (5 − 2i)(4 − ki), calcule el valor de k para que z sea un número imaginario puro.
10. Sea z = (3∠30◦ )(3 − ki), determine el valor de k para que z sea un número imaginario puro.
π
11. Sea z = 3−ki
1−i , calcule el valor de k de tal manera que arg(z) = 4
12. Una raı́z cúbica de un número complejo es 1 + i. Halle dicho número complejo y sus otras dos raı́ces cúbicas.
√
13. De un pentágono regular centrado en el origen conocemos un vértice que es el punto (1, − 3). Determinar
los retantes vértices.
MATRICES Y DETERMINANTES.
2
(a) Sean
A=
−2
1
4
0
B=
2 −4
−1 k
Calcular el valor de k para que AB = BA.
(b) Obtener el valor de X de la expresión matricial siguiente, dadas las matrices




2 1 5
2 1 3
A = −2 1 0
B = 0 −2 7
4 1 1
0 0 1
i. Ecuación:
X = A0 B + 2A
ii. Ecuación:
X = (BA)0 − 2B
(c) Obtener la matrı́z X, de las ecuacones siguientes dada las matrices A, B.
i. X = A−1 B + B −1 A
ii. X = (A B)−1
Si
A=
0
1
−1
2
B=
2
0
−1
2
(d) Para a ∈ R y
1
0
a
a2

2
B = 4
2

4
5
7
A=
Calcular A2 , A3 .
(e) Dadas las matrices

3
A = 2
4
1
0
1

0
3
2

2
C = 3
1
0
0
0

0
1
2
Calcular: A2 , A ∗ B, −3A + 8C y A + C(C − A)
(f) Mediante operaciones elementales transformar A en una matrı́z escalonada, e identificar el número de
filas no nulas (ese valor es el rango de una matrı́z)




1 4
−1
3 1
2 4




3
A= 2 5
B= 1 4
C=
5 3
1 10 −11
5 −2
(g) Calcular la matrı́z inversa de cada una de ellas.



1 0 4
2
A =  0 1 2
B = 0
−1 3 1
2
3
1
1
1

0
3
1

1
C = 0
2
−1
1
0

0
0
1
(h) Comprobar que el producto de matrices no es conmutativo calculando ambos productos en las matrices.

1
A = 2
2
0
−1
2

0
2
1

2
B = 3
4
1
0
−1

4
−1
5
−4
k
(i) Dadas la matrı́z

1
A = 0
0
1
1
0

1
1
1
Calcular: A2 , A3 , A4
(j) Dadas las matrices
A=
3
−5
−4
1
B=
7
5
Determinar el valor de k para que AB = BA.

4 −1 0
0
1
(k) De la matriz A =  1
−1 a −2
Calcular el valor de a para que la matrı́z A sea singular, es decir, su determinante sea cero.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
(a) Se tiene el sistema de ecuaciones lineales siguiente
x + z = 10
2x + 3y = 17
3x + 4y + z = 32
y además se sabe que la matrı́z de coeficientes A del sistema tienen como inversa:

A
−1
3/2
=  −1
−1/2
2
−1
−2

−3/2
1 
3/2
Cálcular la solución del sistema.
(b) Utilize el método de Gauss-Jordan para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
4
i.
2x − 5y + 3z = 4
x − 2y + z = 3
5x + y + 7z = 11
ii.
2x + 3y + z = 1
3x − 2y − 4z = −3
5x − y − z = 4
iii.
2x + y + z = 4
3x − y + z = −8
y − 7z = −8
iv.
3x + 2y + 4z = 1
5x − y − 3z = −7
4x + 3y + z = 2
(c) Aplicando el método de Crammer, resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
i.
2x − y + z = 3
x + y − 2z = −3
x + 4y − 5z = −6
ii.
−5x + 8y + 2z = 15
x + 7y + 4z = −8
3x − 2y − z = −2
iii.
x+y+z =0
x − y + 3z = −1
x + y + 9z = −2
iv.
4x − y + 5z = −25
7x + 5y − z = 17
3x − y + z = −21
5
v.
x + 2y = −2
10x − 5y + 9z = 48
y − z = −4
VECTORES.
1. Determine 2 vectores perpendiculares al vector (1, 1, 1) que no sean paralelos entre si.
2. Determine si alguno de los siguientes vectores es paralelo al vector 4i − 6j .
Respuesta
a)
−i − 32 j
Si
b)
8i + 12j
Si
Respuesta
c)
5
2(i − j ) − 3( 21 i − 12
j)
No
d)
(5i + j ) − (7i + 4j )
Si
~ sean paralelos (utilice el producto cruz) de no ser asi justifiquelo.
3. Calcule c (si existe) para que ~u y w
Respuesta
a)
~u =5i + 3j
~ =2i + cj
w
c = 65
b)
~u =2i − cj
~ =i + 4j
w
c =−8
c)
~u =−ci + 5j
~ =8i − 2j
w
c =20
d)
~u =− 12 i − 15 j
~ =−ci − 2j
w
c =5
4. Dados u y w calcule:
i)
ii )
iii )
iv )
v)
u+w
u−w
3u − 5w
−4u − 2w
k 3(u + w) − 2(u − w) k
en los siguientes problemas.
a)
c)
e)
u=i −j
u = i + 12 j
u = 2i − j + 3k
w = −i + 2j
w = 35 i − 14 j
w = i − 2k
b)
d)
f)
u=j
u = 2i − 52 j
u = i − 4j + 2k
w = 3i − 3j
w = − 13 i + 5j
w = −4i + 7j + 5k
5. Sea w el vector con dirección π4 y magnitud 2, y v el vector con dirección π3 y magnitud 3. Calcule k w k,
k v k, w · v, el vector unitario en la dirección de v y el vector unitario en la dirección de w. Dibuje los
vectores de cada inciso.
6
Respuesta
a)
b)
c)
d)
kwk
kvk
w·v
vector unitario en la
e)
direccion de w
vector unitario en la
2
3 √
√
3 2
3 6
2 + 2
√
√ 2
2
2 , 2
direccion de v
√ 3
1
,
2 2
6. Determine en cada problema las variables a, b y c para que se cumplan las ecuaciones:
Respuesta
a
b
c
a)
(8a, 2b, 13c) = (52, 12, 11)
13
2
6
11
13
b)
(−4a, b, −3c) = (5, −6, 1)
− 54
−6
− 13
c)
( 15 a, − 23 b, 47 c) = ( 31 , 27 , − 34 )
5
3
− 37
21
− 16
7. Encuentre números a y b tales u = av + bw
Respuesta
a)
u= i + j
v= 2i − 3j
w= i + 5j
4
a= − 13
5
b= 13
b)
u= i
v= −2i + 4j
w= 5i + 7j
5
a= 34
b= 17
8. Los puntos A = (1, 2), B = (3, 4), C = (5, 1) forman un triángulo. Calcule el área del triángulo.
9. Determine en cada inciso si los puntos A, B y C son colineales.
Respuesta
A =(1, −2, −3)
B =(2, 1, 0)
C =(4, 7, 6)
Si son colineales
A =(−5, −2, 4)
B =(−3, 1, 5)
C =(2, 5, 6)
No son colineales
A =(1, 4, 5)
B =(1, 3, 7)
C =(−4, 1, −3)
No son colineales
A =(0, 2, 3)
B =(3, 4, 5)
C =(−9, −4, 3)
Si son colineales
10. Los siguientes puntos P = (0, 0), Q = (1, 1), R = (1, 5), S = (0, 6) forman un trapezoide. Calcule el área de
esta figura utilizando el producto cruz.
11. Un avión vuela en lı́nea recta con vector de dirección 10i +6j +5k (en kilómetros por hora). En un momento
el avión se encuentra en el punto (3, 4, 5).
(a) ¿En que posición se encuentra 1 hora después?
7
(b) ¿En que posición se encuentra 1 minuto después?
(c) ¿Cuánto tarda en subir 10 metros y en que posición se encuentra?
(d) ¿Cuánto tarda en subir a una altura de 10 metros y en que posicion se encuentra?
ESPACIOS VECTORIALES.
1. Determinar si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales sobre el campo de los números reales.
a) P5 (X; R), el conjunto de los polinomios de grado 5 en la variable x con coeficientes reales y con
la operaciones usuales de suma entre polinomios y el producto por escalar siguiente; si α ∈ R y
f (x) ∈ P5 (R) con f (x) = a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 , entonces αf (x) = a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 +
αa2 x2 + a1 x + a0 .
b) El conjunto de las matrices 3 × 3 de coeficientes reales (M3×3 (R)) con las siguientes operaciones, si
A, B 
∈ M3×3 (R) con




a11 a12 a13
b11 b12 b13
a11 − b11 a12 + b12 a13 − b13
A = a21 a22 a23  y B = b21 b22 b23 , entonces A⊕B := a21 + b21 a22 − b22 a23 + b23 .
a31 a32 a33
b31 b32 b33
a31 − b31 a32 + b32 a33 − b33


αa11 a12
a13
Y si α ∈ R, entonces el producto por escalar está definido como αA :=  a21 αa22 a23 
a31
a32 αa33
4
4
c) R con las siguientes operaciones; si a, b ∈ R con a = (a1 , a2 , a3 , a4 ) y b = (b1 , b2 , b3 , b4 ), entonces a +
b := (a4 +b1 , a3 −b2 , a2 +b3 , a1 −b1 ) y el producto por escalar queda definido por αa = (a1 , a2 , a3 , αa4 ),
si α ∈ R.
d) C−{0}, los números complejos menos el cero, con la el producto entre complejos y producto por escalar
usuales, es decir; el producto entre complejos toma el papel de la suma de vectores y el producto por
escalar es la multiplicación de un núemro real por uno complejo.
2. En las siguientes preguntas justifique su respuesta.
a) Si R3 es el R-espacio vectorial con las operaciones usuales y W es un sub-espacio vectorial de R3 ,
entonces ¿ W puede constar sólo de un elemento ?
b) Sea R2 el R-espacio vectorial con las operaciones usuales ¿ Toda recta que no pase por el origen es un
sub-espacio vectorial de R2 ?
c) Si W es un sub-espacio vectorial de un espacio vectorial V , entonces ¿ W puede tener elementos que no
tengan inverso aditivo?
TRANSFORMACIONES LINEALES.
1. En los siguientes ejercicios demostrar o refutar que la función dada es una transformación lineal(Todos los
espacios vectoriales serán considerados con sus operaciones usuales).
i) T : R3 → R3 dad por T [(a, b, c)] = (−b, −c, a).
a11 a12
4
ii) T : M2×2 (R) → R , dada por T
= (a12 , a22 , a11 , a21 ).
a21 a22
iii) T : P2 (X; R) → R3 donde, T (a2 x2 + a1 x + a0 ) = (a2 + a1 , a0 , 0).
iv) T R → R en donde T (x) = cos x.
8
Formulario básico de Fundamentos de Álgebra NO OFICIAL
Números Complejos
Si z, w ∈ C con z = a + ib y w = c + id, entonces
1. z + w = (a + c) + i(b + d).
2. z · w = (ac − db) + i(ad − bc).
3. z = a − ib.
4. ||z||2 = a2 + b2 .
z·w
5. wz = ||w||
2.
6. z = ||z|| [cos(Arg(z)) + isen(Arg(z))], donde Arg(z) ∈ [0, 2π)
7.
√
n
h
i
p
z = n ||z|| cos Arg(z)+2kπ
+ isen Arg(z)+2kπ
.
n
n
Donde k = 0, 1, ..., (n − 1)
Espacios vectoriales.
Un espacio vectorial V sobre el campo escalar K, es un conjunto que contiene dos operaciones, una operación
“suma“ y un producto por escalar (V, +, ·) que satisface los siguientes axiomas.
1. u + v es un elemento de V (propiedad de cerradura bajo la suma)
2. u + v = v + u (propiedad de conmutatividad de la suma)
3. (u + v) + w = v + (u + w) (propiedad de asociatividad de la suma).
4. Existe un elemento en V denotado por 0, tal que 0 + u = u, para todo elemento u de V (propiedad del
neutro aditivo).
5. Para todo u en V existe un elemento denotado −u tal que u + (−u) = u − u = 0 (propiedad del inverso
aditivo).
6. α · u es un elemento de V para todo α en K y para todo u en V (propiedad de cerradura bajo producto por
reales).
7. α(u + v) = αu + αv (propiedad distributiva del producto real con respecto a la suma compleja).
9
8. (α+β)u = αu+βu (propiedad distributiva de la suama real con respecto al producto real con un complejo).
9. (αβ)u = α(βu)(asociatividad de la multiplicación por números reales).
10. Para cada elemento u ∈ V 1u = u .
Ejemplo Sea V = R3 , entonces se tiene que R3 es un espacio vectorial real con la suma y producto por un
escalar clásicos.
Ejemplo
El conjunto de matrices n × m es un espaco vectorial real con las operaciones de suma y producto por un
número real clásicas.
Sub-espacios Vectoriales
Definición Sea V un espacio vectorial real y sea W un subconjunto de V diferente del vacio, entonces se dice
que W es un SUB-ESPACIO VECTORIAL de V ; si W es un espacio vectorial real.
Proposición Sea V un R espacio vectorial y W ⊂ V diferente del vacio, entonces W es un subespacio vectorial
−
−
de V si y sólo si: Dados →
u,→
v ∈W yα∈R
→
−
→
−
1. u + v ∈ W .
−
2. α→
v ∈ W.
→
−
3. 0 ∈ W .
Ejemplo Si V = R2 , entonces cualquier recta que pase por el origen es un subespacio vectorial de R2 .
Ejemplo El conjunto de todas las matrices n × n reales triangulares (superiores o inferiores) es un sub-espacio
vectorial del espacio vectorial de todas las matrices reales n × n.
Transformaciones Lineales
Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el campo K, una función T : V → W es una transformación Lineal si
satisface las siguientes propiedades.
1. T (a + |V b) = T (a) + |W T (b). Para todo u, v ∈ V
2. T (α · |V a) = α · |W T (a)
Ejemplo Sea V = R3 y W = P (R)2 (los polinomios de grado 2 de coeficientes reales). Sea T : R4 → P (R)2
dada por T [(a, b, c)] = cx2 + bx + a, entonces T es una transformación lineal. En efecto, sean u = (a1 , b1 , c1 ) y
v = (a2 , b2 , c2 ) elementos de R3 . Entonces
1.
T [u + v] = T [(a1 , b1 , c1 ) + (a2 , b2 , c2 )]
= T [(a1 + a2 , b1 + b2 , +c1 + c2 )] = (c1 + c2 )x2 + (b1 + b2 )x + (a1 + a2 )
= c1 x2 + c2 x2 + b1 x + b2 x + a1 + a2
= [c1 x2 + b1 x + a1 ] + [c2 x2 + b2 x + a2 ]
= T [u] + T [v].
10
2. Sea α ∈ R y u = (a, b, c), entonces
T [α(u)] = T [α(a, b, c)] = T [(αa, αb, αc)]
= (αc)x2 + (αb)x + (αc)
= α[cx2 + bx + a]
= α · T [u].
Por lo que T es una transformación lineal.
Lo que corresponde a matrices, sistemas de ecuaciones y vectores es responsabilidad del alumno
11