SM3 - Funciones y Estadística 1 Funciones: Tablas, gráficos y fórmulas Una función es una relación entre dos magnitudes de forma que a cada valor de la primera magnitud, llamada variable independiente, le corresponde un único valor de la segunda magnitud, llamada variable dependiente o función. Una misma función se puede representar mediante una fórmula, una tabla, o mediante un gráfico. Ejemplo: t v v = t2 -2 4 -1 0 1 2 1 0 1 4 Fórmula Tabla Gráfico 1 Dada la siguiente tabla, contesta las siguientes preguntas: Diámetro Longitud de la circunferencia 1 3,14 2 6,28 3 9,42 4 12,57 5 15,71 a) ¿Puedes encontrar alguna fórmula que relacione las dos variables? b) ¿Cuál sería la variable independiente y cuál la dependiente? 2 Escribe las fórmulas que corresponden a los siguientes enunciados: a) A cada número le corresponde el mismo más dos. b) A cada número le corresponde su doble. c) A cada número le corresponde su cuadrado. d) A cada número le corresponde su inverso. 3 Una persona sale de paseo de su casa y durante su recorrido para en cuatro lugares diferentes. El gráfico representa esta situación. a) ¿Cuánto tiempo ha durado el paseo? b) ¿Cuánto tiempo ha estado en cada uno de los cuatro sitios? c) ¿Cuál es el sitio que se encuentra más lejos de su casa? d) ¿En qué momentos ha ido más deprisa? Distancia a casa (m) 300 200 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tiempo (s) SM3 - Funciones y Estadística 2 Dominio y recorrido de funciones Se llama dominio al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. A cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente. Se llama recorrido al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. Ejemplo 1: Ejemplo 2: Y y = x Dominio: R Recorrido: R 3 2 Recorrido 1 1 2 3 4 5 6 X Dominio -1 -2 4 ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función correspondiente al ejercicio 1? 5 ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función y = + x? 6 Indica el dominio y el recorrido de la función representada por la siguiente gráfica. Y 3 2 1 1 2 3 X 7 Indica el dominio y el recorrido de la función, dada por la fórmula y = x + 1. 8 Representa los valores de la variable independiente 1, 2, 3, 4 y 5 de la función y = x - 1. SM3 - Funciones y Estadística 3 Representación gráfica de funciones Los ejes de coordenadas cartesianas son el eje horizontal de abscisas (X) y el eje vertical de ordenadas (Y). Al punto donde se cortan ambos ejes se le llama origen de coordenadas, O. Un punto del plano está definido por un par de valores (x, y). Ejemplo 1: Y D(-2,3) A(3,1) X C(-1,-1) B(1,-2) Las funciones se representan mediante sus gráficas cartesianas. Los valores de la variable independiente se representan en el eje X y los valores de la variable dependiente o función en el eje Y. Los pares de valores (x, y) se ordenan en una tabla y los puntos obtenidos son la gráfica de la función. Ejemplo 2: y = x + 1 x y 3 4 0 1 1 2 2 3 ... ... Y 1 X 1 9 Representa en unos ejes de coordenadas los siguientes puntos: A(1, 2) B(-1, 2) C(2, -3) D(-2, -3) E(0, 0) F(1/2, -1) G(-3/2,-2) H(-1, -3) I(-3, 1,5) 10 Representa gráficamente la función y = x teniendo en cuenta que el dominio de la variable independiente es R. 11 Representa gráficamente la función y = x siendo el dominio: a) Z b) N 12 Representa la función y = x2. ¿Cuál es el recorrido? 13 Representa la función y = x . ¿Cuáles son el dominio y el recorrido? 14 Consideremos todos los rectángulos de área 10 m2. Escribe y representa la función que nos relaciona cuánto vale la altura de esos rectángulos según el valor que tome la base. 15 Consideremos los rectángulos cuyo perímetro es 200 m. Escribe y representa la función que nos relaciona cuánto vale la altura de esos rectángulos según el valor que tome la base. SM3 - Funciones y Estadística 4 Propiedades globales de las funciones (I): Continuidad Una función se dice que es continua cuando su gráfica puede efectuarse de una sola vez, sin necesidad de levantar el lápiz del papel donde la estamos dibujando. En caso contrario se dice que es discontinua. Ejemplo 1: Ejemplo 2: Y Y 2 1 -3 -2 -1 1 2 X 3 -3 -2 -1 1 2 3 X -1 Función continua en [-2, 3] Función discontinua en x = 0 16 A la vista de la gráfica indica dónde es continua esta función. Y X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 17 A la vista de la gráfica indica dónde es continua esta función: Y 2 1 X -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 18 Representa gráficamente la función f(x) = |x|. Indica si es continua o no. 19 Representa la función f(x) = 1 si x 1 2 si 1 < x 2 3 si x > 2 y estudia su continuidad. SM3 - Funciones y Estadística 5 Propiedades globales de las funciones (II): Crecimiento, máximos y mínimos Una función es creciente cuando al aumentar el valor de x, aumenta y. Una función es decreciente cuando al aumentar el valor de x, disminuye y. Ejemplo 1: Función creciente Función decreciente Una función presenta un máximo relativo en un punto si crece a la izquierda de ese punto y decrece a la derecha. Si la función decrece a la izquierda y crece a la derecha presenta un mínimo relativo. Ejemplo 2: Y Máximo Mínimo X crece x1 x2 decrece crece 20 Indica dónde es creciente la función cuya gráfica está representada en la figura, así como sus máximos y sus mínimos: Y 2 1 X -4 -3 -2 -1 1 2 21 Indica dónde es creciente la función cuya gráfica está representada en la figura, así como sus máximos y sus mínimos: 3 4 Y X 22 Dibuja gráficas para unas funciones que posean las siguientes características: a) Dominio: todo R; recorrido: todos los números menores que 3; único máximo para x = 3. b) Dominio: desde -3 hasta 4; recorrido: los números reales negativos; siempre creciente. c) Dominio: R; recorrido: R+. un máximo para x = -1 y un mínimo para x = 3. SM3 - Funciones y Estadística 6 Rectas Y La representación gráfica de una función del tipo y = ax + b siempre es una recta. El número a es la pendiente de la recta y b, la ordenada de corte con el eje Y. A(0,1) X Ejemplo 1: y = 2x + 1 x y 0 1 B(-1,-1) -1 -1 La recta que pasa por dos puntos de coordenadas, (x 1, y1) y (x2, y2), tiene por y y1 x x1 Y ecuación: y 2 y 1 x 2 x1 Ejemplo 2: y 1 x 1 y = -x + 2 0 1 21 A(1,1) B(0,2) X Si las dos rectas se cortan, el punto de corte de ambas es la solución del sistema que forman sus dos ecuaciones. 23 Representa la recta que tiene por ecuación y = 2x + 3. ¿Cuál es su pendiente y su ordenada en el origen? 24 Representa la recta que tiene por pendiente y su ordenada en el origen? ecuación y = -3x - 1. ¿Cuál es su 25 Representa en los mismos ejes las rectas: a) y = x + 2 d) y = 4x + 2 b) y = 2x + 2 1 e) y = x + 2 2 c) y = 3x + 2 26 Representa en los mismos ejes: a) y = -2x + 1 d) y = -5x + 1 b) y = -3x + 1 1 e) y = - x + 1 2 c) y = -4x + 1 27 Representa en los mismos ejes: a) y = 2x b) y = 2x + 2 c) y = 2x + 1 d) y = 2x + 3 28 Representa en los mismos ejes: a) x = 3 b) x = 1 c) x = 0 d) x = -2 29 Halla analítica y gráficamente el punto de corte de las rectas y = 2x - 4 e y = -x - 1. 30 Halla el punto de corte de las rectas y = 2x + 3 e y = 2x + 1. ¿Cómo son estas rectas? 31 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (2, 3). SM3 - Funciones y Estadística 7 Paralelismo y perpendicularidad de rectas Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Así, las rectas y = ax + b e y = ax + c son paralelas. Ejemplo 1: y = 2x + 1 e y = 2x + 5 son paralelas porque tienen la misma pendiente a = 2. Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a 1. Así, las rectas y = ax + b e y = cx + d son perpendiculares si se cumple que a·c = -1. Ejemplo 2: y = -5x + 3 e y = 1/5·x + 6 son perpendiculares porque (-5)·1/5 = -1. 32 Dadas las siguientes rectas decir cuáles de ellas son paralelas entre sí. a) y = 2x - 5 b) y = - 1 x + 4 3 c) y = 3 e) x = 1 g) y = -2x - 3 d) y = -2x - 1 f) y = 2x + 4 h) y = 6 i) x = -1 j) y = - 3 1 x + 9 3 33 Dada la recta y = 2x + 1 escribe tres rectas cualesquiera que sean paralelas a ella. 34 Dada la recta y = -4x + 2 halla la ecuación de la recta paralela a ella que pase por el punto (1, 2). 35 Dadas las siguientes rectas, decir cuáles son perpendiculares entre sí. a) y = 3x - 1 b) y = 2 x 3 c) y = 4 e) x = -6 d) y = -4x + 3 f) y = - 36 Dada la recta y = perpendiculares a ella. 3x - 3, escribe las 1 x - 1 4 3 h) y = - x + 5 2 g) y = 2 x + 4 6 ecuaciones de cinco rectas SM3 - Funciones y Estadística 8 Ecuación general de la recta La ecuación de una recta se puede expresar de la forma ax + by + c = 0. Esta forma se conoce como ecuación general de una recta. Ejemplo 1: Escribe la ecuación general de la recta y = Pasando todo al primer miembro: - 3 x - 5. 2 3 x + y + 5 = 0 2 Quitando denominadores: -3x + 2y + 10 = 0 3x - 2y - 10 = 0 Otra caracterización del paralelismo: Las rectas ax + by + c = 0 y a’x + b’y + c’ = 0 son paralelas Ejemplo 2: 2x + 3y + 1 = 0 y 4x + 6y + 5 = 0 cumplen que a b a b 2 3 , luego son 4 6 paralelas. Otra caracterización de perpendicularidad: Las rectas ax + by + c = 0 y a’x + b’y + c’ = 0 son perpendiculares a·a’ = b·b’ Ejemplo 3: x - 3y + 1 = 0 y 3x - y + 5 ¿ 0 son perpendiculares porque 1·3 = (3)·(-1) 37 Escribe en forma de ecuación general la recta y = - 1 1 x + . 2 3 38 Las rectas 2x - 3y + 4 = 0 y 4x – 6y + 3 = 0 ¿son paralelas? ¿Por qué? 39 Dada la recta x - 4y + 3 = 0. a) Escribe la ecuación de una paralela cualquiera. b) Escribe la ecuación de la paralela que pasa por (3, -4). 40 ¿Son perpendiculares x + 3y - 1 = 0 y - 3x + y - 4 = 0? ¿Por qué? 41 Dada la recta 2x + y - 1 = 0: a) Escribe la ecuación de una perpendicular a ella. b) Escribe la ecuación de la perpendicular que pasa por (0, 2). SM3 - Funciones y Estadística 9 Proporcionalidad inversa Dos magnitudes x e y son inversamente proporcionales si se verifica que su producto es constante. La función que relaciona estas magnitudes es del tipo: x·y = k y = k x Ejemplo: El tiempo t que tarda en llenarse un recipiente es inversamente proporcional al caudal c (l/s) que arroja un grifo, pues, a más caudal, menos tiempo tarda en llenarse: Y k t·c = k t = c El dominio de las funciones inversamente proporcionales es R – {0}, ya que el cociente k/0 no está definido. X k ) x Su representación gráfica es una hipérbola (y = 42 Construye la tabla de valores correspondiente a la función y = represéntala posteriormente. (Indicación: da valores muy próximos positivos y negativos, así como muy grandes en valor absoluto.) a 1 y x cero 43 Representa en los mismos ejes las funciones: a) y = 1 x b) y = 2 x c) y = - 2 x d) y = 3 x 44 La presión p y el volumen V de una misma masa de gas son magnitudes inversamente proporcionales cuando la temperatura del gas permanece constante. Representa la gráfica correspondiente a un gas que se mantiene a temperatura constante: p (atmósferas) V (litros) 1 20 2 10 4 5 6 2,5 SM3 - Funciones y Estadística 10 Funciones racionales Las funciones racionales son del tipo y = p( x) q( x) donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x) 0. El dominio de una función racional está formado por todo R salvo los valores que anulan el denominador (raíces de q(x)). 2 1 1 2x 1 3 Ejemplo: y = tiene como dominio R - {1} pues = no está definido. 1 1 x 1 0 Y Las funciones racionales de la forma ax b k y = son hipérbolas del tipo y = cx d x que posteriormente han sufrido un desplazamiento horizontal y vertical. X 45 Representa en los mismos ejes las funciones: a) y = 1 3x b) y = 1 3x 1 c) y = 1 3x 2 c) y = 1 - 2 2x 46 Representa en los mismos ejes las funciones: a) y = 1 2x b) y = 1 + 1 2x 47 Representa en los mismos ejes las funciones: a) y = 1 + 1 2x 1 b) y = 48 Representa la función y = (Indicación: D r = c + d d 1 + 2 2x 1 3x 1 . x 2 3x 1 5 = 3 + ) x 2 x 2 SM3 - Funciones y Estadística Poblaciones, estadísticas 11 muestras, caracteres y variables Una población es un conjunto de elementos que cumplen una determinada característica. Una muestra es una parte o subconjunto de esa población. Ejemplo 1: Los españoles son una población compuesta de personas que tienen nacionalidad española. Los andaluces son una muestra de esa población, los varones son otra, las personas menores de 25 años otra, los que tienen un mismo color de pelo, etc. Cualquier rasgo de una población que permita obtener muestras se denomina carácter estadístico o característica. En el ejemplo anterior, ser andaluz, varón, menor de 25 años, son caracteres estadísticos. Los valores que toma un carácter estadístico se denominan variable estadística. Ejemplo 2: El carácter estadístico «peso» aplicado a los 17 alumnos de una clase proporciona los valores: {35, 35, 34, 33, 33, 21, 33, 45, 50, 42, 42, 43, 46, 47, 38, 39}. Estos valores son la variable estadística que proporciona la característica «peso» en la población estudiada. 49 Indica dos caracteres estadísticos que proporcionen valores numéricos de la variable estadística asociada, para la población de libros de una biblioteca. 50 Indica dos caracteres estadísticos que proporcionen valores numéricos de la variable estadística asociada, para la población de coches de una ciudad. 51 Se desea estudiar la característica <<estatura>> de la población de una ciudad. a) ¿Sería válida una muestra constituida sólo por varones? b) ¿Sería válida una muestra constituida sólo por personas menores de 5 años? c) ¿Cómo podrías elegir la muestra? 52 Inventa una población, una muestra y una característica que proporcione una variable estadística {2, 2, 4, 5, 3, 1, 1, 3}. SM3 - Funciones y Estadística 12 Organización de datos estadísticos. Tablas La frecuencia absoluta (fi) de un valor xi es el número de veces que aparece ese valor. La frecuencia absoluta acumulada (Fi) de un valor xi es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a xi: Fi = f1 + f2 + ... + fn La frecuencia relativa (hi) de un valor xi es el cociente entre su frecuencia f absoluta y el número total de datos con los que estemos trabajando, N: hi = i N La frecuencia relativa acumulada (Hi) de un valor xi es igual a la suma de las frecuencias relativas de los valores menores o iguales a xi: Hi =h1 + h2 +...+ hn Si una variable estadística consta de muchos datos, éstos se agrupan en intervalos o clases para su mejor manejo. Conviene que sean de igual longitud, y a su punto medio se le denomina marca de la clase. Los datos estadísticos se disponen en tablas. Ejemplo: Dada la variable estadística {2, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 4, 3, 5}, organizar sus datos estadísticos en una tabla. xi fi Fi 1 3 3 3/10 3/10 2 2 5 2/10 5/10 3 3 8 3/10 8/10 4 1 9 1/10 9/10 5 1 10 1/10 10/10 =1 N = 10 hi Hi hi = 1 53 Realiza la tabla correspondiente al siguiente enunciado: las notas de una clase de matemáticas han sido: {6, 4, 6, 7, 5, 2, 7, 6, 5, 2, 6, 1, 5, 8, 7, 6, 4, 9, 5, 5, 1, 6, 9, 8, 4} 54 Los resultados en el salto de altura de un conjunto de atletas han sido: {2,20; 2,21; 2,21; 2,23; 2,24; 2,25; 2,25; 2,26; 2,27; 2,27; 2,28; 2,28; 2,28; 2,21; 2,30} Agrupa estos resultados en intervalos o clases de 2 cm de amplitud e indica la marca de la clase. 55 Los goles que se han marcado en la última jornada de primera división han sido en los siguientes minutos de juego: {31, 32, 70, 5, 80, 24, 72, 43, 50, 17, 81, 79, 40, 83, 69, 56, 61, 46, 90, 23, 84, 43, 67, 3, 51, 31, 59, 78, 14, 66, 45, 29}. Realiza la tabla correspondiente agrupándolos en clases por cuartos de hora. 56 Los pesos en kilogramos de un grupo de personas son los siguientes: {62, 76, 57, 74, 68, 83, 61, 87, 71, 81, 68, 77, 62, 74, 68, 68, 74, 66, 73, 84, 54, 72, 78, 69, 88, 63, 76, 59, 71, 66}. Realiza una tabla agrupándolos por pesos de 5 kg en 5 kg. 57 El número de hijos en una serie de familias es el siguiente: con 0 hijos, 9. con 1 hijo, 18; con 2 hijos, 34; con 3 hijos, 19; con 4 o más, 20. Realiza la tabla correspondiente a estos datos. Suponiendo que estos datos fueran una muestra representativa de una ciudad con 8 500 familias, ¿cuántas tendrían 2 hijos?; ¿cuántas 3 hijos?; ¿cuántas menos de 2? SM3 - Funciones y Estadística 13 Gráficos estadísticos Frec. Los datos estadísticos no agrupados en clases se representan mediante diagramas de barras. 2 Ejemplo 1: El diagrama de barras de la variable estadística {5, 5, 5, 4, 4, 6, 6, 3, 7} es: 1 1 2 3 4 5 6 7 Valor Los datos estadísticos agrupados en clases se representan mediante histogramas Frec. de frecuencias. Ejemplo 2: Dibuja el histograma de 4 frecuencias de la variable estadística, agrupada en clases con sus respectivas 3 frecuencias: Clases fi [20-30) [30-40) [40-50) 2 4 5 [40-50) 3 20 En ambos casos, si unimos los puntos medios de rectángulos se obtiene el polígono de frecuencias. Los diagramas de sectores dividen un círculo en sectores cuyo ángulo central es proporcional a la frecuencia absoluta de los datos. la 1 - 30% 108º Ejemplo 3: Realiza un diagrama de sectores para la variable estadística: {1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. 30 40 parte 50 60 superior Clase de los 2 - 20% 72º 10 – 360º x = 180º 5 - x 3 - 50% 180º 58 Realiza el diagrama de barras y el polígono de frecuencias correspondientes a los datos del ejercicio 53. Asimismo, si las notas las consideramos agrupadas en los siguientes intervalos: {(0, 2); (2, 4); (4, 6); (6, 8) y (8, 10)}, realiza el histograma correspondiente y su polígono de frecuencias. 59 Realiza el ejercicio 55. histograma y el polígono de frecuencias correspondientes al 60 Realiza el histograma correspondiente a la tabla de datos del ejercicio 56. 61 Realiza un diagrama de sectores para los datos del ejercicio 57. 62 Los porcentajes de alumnos que han aprobado la selectividad en los últimos 10 años en dos colegios A y B han sido los siguientes: A B 1989 84 81 1990 86 83 1991 90 86 1992 91 90 1993 87 92 1994 83 91 1995 81 87 Realiza un diagrama de barras para cada uno de ellos. 1996 79 88 1997 84 87 1998 76 84 SM3 - Funciones y Estadística 14 Medidas de centralización: Moda y mediana La moda es el valor de una variable estadística que tiene mayor frecuencia. Si la distribución se agrupa en clases, aquella que tenga mayor frecuencia se denomina clase modal. En este caso, la moda será la marca de clase correspondiente. Ejemplo 1: La moda de los valores {1, 1, 1, 2, 2, 3} es M o = 1, pues su frecuencia es 3. Ejemplo 2: La clase (60-70) es la clase modal de la distribución: Clases fi (40-50) 4 (50-60) 5 (60-70) 6 (70-80) 3 - Si todos los datos tienen la misma frecuencia, no existe moda. Ejemplo 3: {1, 1, 5, 5, 6, 6} no tiene moda. - Una distribución puede ser bimodal, trimodal... cuando haya dos, tres... valores con frecuencia iguales entre sí y mayores que las demás. Ejemplo 4: {10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14} es bimodal, pues 12 y 13 son modas por tener 3 de frecuencia. La mediana es el valor de la variable tal que la cantidad de datos que hay por debajo de él es la misma que la cantidad de datos que hay por encima. Para calcular la mediana lo primero que hay que hacer es ordenar los datos de menor a mayor. Ejemplo 5: Como el número de datos de la variable estadística {1, 1, 2, 3, 4, 6, 8} es impar, la mediana es M = 3, por haber tres datos (1, 1, 2) por debajo y tres datos (4, 6, 8) por encima. Ejemplo 6: Como el número de datos de la variable estadística {4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9} es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales: M = (5 + 6)/2 = 5,5 63 Calcula la moda y la mediana para el siguiente conjunto de datos: {3, 6, 1, 3, 1, 1, 5, 4, 3, 4, 1} 64 Calcula la moda y la mediana para los datos de la tabla. xi fi 0 1 2 3 4 5 6 8 4 4 65 Calcula la moda y la mediana para los datos correspondientes al ejercicio 53 66 Calcula la moda y la mediana para los datos correspondientes al ejercicio 54 67 Calcula la moda y la mediana para los datos correspondientes al ejercicio 55 68 Calcula la moda y la mediana para los datos correspondientes al ejercicio 57 SM3 - Funciones y Estadística 15 Medidas de centralización: media aritmética La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma de todos los valores que toma la variable dividido por el número total de datos. Así, si x1 se presenta f1 veces; x2 se presenta f2 veces; ...; xn se presenta fn veces, y siendo f1 + f2 + ... + fn = N, entonces la media es: x x1 f1 x2 f2 ..... xn f n N Ejemplo 1: La media aritmética del conjunto de datos {4, 4, 5, 6, 6, 6, 7} es x La media aritmética estadística. a 4 2 51 6 3 71 veces 7 dista mucho = 5,4 de Ejemplo 2: La media aritmética de {1, 10} es x los valores de la variable 1 10 = 5,5 y se aleja de los 2 datos. Si la variable está agrupada en clases, se toma como valor para xi la marca de clase. Clases Marcas de Frec. (fi) xi · f i clase (xi) [0, 2) 1 3 3 [2, 4) 3 8 24 [4, 6) 5 4 20 N = 15 Por tanto, la media es: x 47 47 = 3,13 15 69 Calcula la media para el siguiente conjunto de datos: {3, 6, 1, 3, 1, 1, 5, 4, 3, 4, 1} 70 En un examen un tanto peculiar 10 alumnos han sacado un 10 y otros 10 alumnos han sacado un 0. ¿Cuál es la media de ese examen? ¿Representa esa media de forma adecuada lo que ha ocurrido? 71 Calcula la media para los datos correspondientes al ejercicio 53. 72 Calcula la media para los datos correspondientes al ejercicio 54. 73 Calcula la media para los datos correspondientes al ejercicio 55. 74 Calcula la media para los datos correspondientes al ejercicio 56. SM3 - Funciones y Estadística 16 Medidas de dispersión: Rango y desviación típica La media aritmética no da información sobre la agrupación de los valores de una variable estadística. Observa que los siguientes valores tienen la misma media aritmética x = 6; sin embargo, su distribución en torno a la media es muy diferente: 1 2 3 9 10 11 x = 6 | | | | | | | 4 | 4,5 | 5 | x = 6 | 7 | 7,5 | 8 | Para evaluar si los valores están distribuidos de forma uniforme en todo el rango o agrupados entre sí, se utilizan las medidas de dispersión: - El rango es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de una variable estadística. Ejemplo 1: El rango para los valores {1, 1, 2, 3, 5} es: 5 - 1 = 4 - La varianza de una distribución estadística de valores x 1, x2, ..., xn con frecuencias absolutas respectivas f1, f2,... , fn es: s2 f 1 x1 x 2 f 2 x2 x 2 ..... f n x n x 2 , f 1 f 2 ..... f n siendo x la media aritmética. - La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza: s = + s 2 . Cuanto menor es la desviación típica, más agrupados están los valores en torno a la media. Para valores iguales, s = 0. Ejemplo 2: Calcula la desviación típica de los valores: {2, 2, 4, 6, 6}. La media es: x = La varianza: s2 = 2 2 14 26 2 1 2 = 4 2 2 42 1 4 42 2 6 42 5 Y la desviación típica: s = = 24 0 24 5 = 3,2 3,2 1,79 Es útil organizar los cálculos en tablas. Si la variable está agrupada en clases, se utilizan como valores las marcas de clase. 75 Calcula el rango y la desviación típica valores: {1, 2, 3, 3, 1, 4, 2, 3} para el siguiente conjunto de 76 En tres exámenes de matemáticas, un alumno A ha obtenido las siguientes notas: 4, 6 y 8. En esos mismos exámenes, otro alumno B ha sacado: 2, 10 y 6. ¿Cuáles son las respectivas medias y desviaciones típicas? 77 Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 53. 78 Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 54. 79 Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 55. 80 Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 56. SM3 - Funciones y Estadística 17 Sucesos Un experimento se denomina aleatorio cuando no se sabe de antemano qué resultado se va a obtener. El ejemplo típico es tirar un dado y mirar el resultado (todos los ejemplos que figuran a continuación se refieren a él). - Se llama espacio muestral experimento aleatorio. E al conjunto de los resultados posibles del Ejemplo 1: En el experimento aleatorio «tirar un dado y mirar el resultado», el espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - Se llama suceso a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral. Ejemplo 2: {1} = «sacar uno»; {1, 2} = «sacar menor que 3»; {2, 4, 6} = «sacar par» - Se llaman sucesos elementales a los formados por un único resultado. Ejemplo 3: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6} - Se llaman sucesos compuestos a los formados por dos o más resultados. Ejemplo 4: {1, 2}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5, 6}, ... - Se llama suceso seguro al formado por todos los elementos del espacio muestral. Se verifica siempre. En todo experimento aleatorio existe un suceso seguro. Ejemplo 5: Dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, es seguro que al lanzar un dado va a salir un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 o un 6. - Se llama suceso imposible () a aquel que nunca experimento aleatorio existe un suceso imposible. se va a dar. En todo Ejemplo 6: Al lanzar un dado es imposible que salga el rey de oros. - Se llaman sucesos incompatibles los que no se pueden dar simultáneamente. Ejemplo 7: Los sucesos {1, 3, 5} y {2, 4, 6} son incompatibles: si sacamos un número impar no podemos sacar un número par. - Se llama suceso contrario A de un suceso A al suceso que se produce cuando no se da A. Ejemplo 8: El suceso contrario de A = {1, 3, 5} es A = {2, 4, 6}. 81 Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda y mirar el resultado. Escribe: a) El espacio muestral. b) Todos los sucesos que pueden darse. c) Los sucesos elementales. d) El suceso seguro. e) El suceso contrario a <<sacar cara>>. SM3 - Funciones y Estadística 18 82 Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda dos veces y mirar el resultado. Escribe: a) El espacio muestral. b) Todos los sucesos que pueden darse. c) Los sucesos elementales. d) El suceso <<sacar al menos una cara>>. e) El suceso contrario a <<sacar dos caras>>. f) Un suceso incompatible con este Último. 83 Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado dos veces y sumar los puntos obtenidos en cada tirada. Escribe: a) El espacio muestral. b) ¿Cuántos resultados distintos pueden darse? c) Escribe el suceso <<sacar suma igual a 7>>. d) ¿Son incompatibles los sucesos <<sacar más de siete>> y <<sacar dos números pares>>? 84 De una baraja española se coge una carta. ¿Cuál es el espacio muestral? Sean los siguientes sucesos: A = {sacar espadas} y B = {sacar figura}, escribe: a) ¿Cuál sería el suceso contrario de A? b) ¿Y el contrario de B? c) ¿Cuántos resultados favorables hay para que se verifique A? d) ¿Cuántos para que se verifique B? e) ¿Son A y B incompatibles? 85 En una bolsa hay dos bolas blancas y dos bolas negras. Consideremos el experimento aleatorio consistente en sacar una bola, ver su color, volver a meter la bola en la bolsa y repetir el proceso. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse? Sea A el suceso <<sacar al menos una bola negra>>. c) ¿Cuántos casos favorables hay en la realización de este suceso? d) Escribe un suceso incompatible con él. SM3 - Funciones y Estadística 19 Probabilidad. Regla de Laplace La probabilidad de que se verifique un suceso A al realizar un experimento aleatorio viene dada por la regla de Laplace: n.º de casos favorables a A p(A) = n.º de casos posibles La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible es 0. Cualquier probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1. Ejemplo 1: Calcula la probabilidad de sacar un oro al extraer una carta de la baraja española. El número de casos posibles es 40 y el número de casos favorables es 10. 10 p(A) = = 0,25 40 La probabilidad del suceso contrario de A es p( A ) = 1 - p(A). Ejemplo 2: La probabilidad de extraer de una baraja española una carta que no sea oros es 1 - 0,25 = 0,75. Un suceso intersección de los sucesos A y B, A n B, es el que se verifica cuando se verifican simultáneamente A y B. Si A B = se trata de sucesos incompatibles. Ejemplo 3: {1, 3, 4} {1, 4, 5} = {1, 4} Un suceso unión de sucesos A y B, A B, es el suceso que se verifica cuando se verifica A o se verifica B. Ejemplo 4: {1, 3, 4} {1, 4, 5} = {1, 3, 4, 5} La probabilidad de la unión es: p(A B) = p(A) + p(B) - p(A B). Si A y B son incompatibles, p(A B) = p(A) + p(B). 86 Halla la probabilidad de que, al lanzar un dado, salga par. 87 Halla la probabilidad de que, al lanzar un dado, salga un número mayor que 4 88 Halla la probabilidad de que, al lanzar un dado, salga un número primo. 89 Se lanza una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la misma cara en ambos lanzamientos? 90 Se lanza una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos una cara? 91 Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las dos tiradas sea 7? ¿Y de que sea 8? 92 Sacamos una carta de una baraja española. Consideremos los siguientes sucesos: A = {sacar espadas}, B = {sacar figura} y C = {sacar as}. Halla las probabilidades de los siguientes sucesos: A, B, C, A B, A C, B C, A B, A C, B C y A B C 93 Una urna contiene 5 bolas rojas, 4 amarillas y 3 verdes. Se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Sea roja o amarilla. b) No sea amarilla. c) Sea amarilla o verde.