Tema 9: ÁTOMOS MULTIELECTRÓNICOS SOLUCIONES Ejercicio 1 Se define el operador permutación o intercambio como el operador que intercambia todas las coordenadas de las partículas 1 y 2. , , , , ,…, , ,…, , , ,…, , ,…, 1 1, se dice que la función es SIMÉTRICA respecto al intercambio Cuando de las partículas 1 y 2. 1, se dice que la función es ANTISIMÉTRICA respecto al Cuando intercambio de dichas partículas. a.* 1 2 2 1 2 1 1 2 1 ⇒ La función es SIMÉTRICA. √ √ 1 2 2 1 2 1 1 2 √ √ 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ⇒ La función es SIMÉTRICA. √ √ 1 2 2 1 2 1 1 2 √ √ 1 ⇒ La función es ANTISIMÉTRICA. 1 * β1 β2 β1 β2 β2β1 β1β2 1 ⇒ La función es SIMÉTRICA. b.√ √ 1 2 2 1 2 1 1 2 √ √ 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ⇒ La función es SIMÉTRICA. √ √ 1 2 2 1 2 1 1 2 √ √ 1 ⇒ La función es ANTISIMÉTRICA. c.- RECORDAR: antisimétrica x simétrica = antisimétrica. 1 Ψ 1,2 Ψ 1,2 1 √2 1 Ψ 1,2 Ψ 1,2 1 √2 1 √2 2 ψ 1 1 2 2 2 2 2 2 1 . 1 √2 ψ 2 1 . 1 . 1 1 2 2 2 1 2 1 1 . β 1 β 2 1 √2 1 2 Por el principio de exclusión de Pauli (la función de onda completa del estado, incluyendo función espacial y función de espín, debe ser antisimétrica). 2 Ejercicio 2 Estado fundamental del He_ (Z = 2): configuración electrónica 1s2. Ψ 1,2 1 . 1 . 2 . 2 2 . 2 . 1 . 1 1 . 1 a.Ψ 1,2 1 . 1 . 2 . 2 2 . 1 . 2 . 2 . 1 . Ψ 1,2 1 . 1 2 . 1 . 1 . 2 . 1 . 2 1 . 2 . 2 . 2 . 2 . 1 . 1 2 . 2 . 1 . 1 2 2 1 ⇒ La función es ANTISIMÉTRICA. b.-. La función Ψ 1,2 1 . 1 . 2 . 2 Ψ 1,2 1 . 1 . 2 . 2 2 . 2 . 1 . 1 . 1 2 . 1 . 1 . 1 . 2 . 1 . 1 1 . 1 Ψ 1,2 2 . 1 . 2 . 2 . 2 1 . 2 . 2 . 2 2 . 2 . 1 . 1 2 . 2 . 1 . 1 2 1 ⇒ La función es SIMÉTRICA. ⇒ Esta función NO puede representar un sistema de dos electrones, ya que no cumple el principio de exclusión de Pauli. 3 c.Ψ 1,2 . Ψ 1,2 . Ψ 1,2 ψ . ψ . dr . 1 1,2 . ψ 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 . 1 1 (por letra) 1 . 2 2 1 . ψ . ψ . dr ⇒ 1 2 2 1 2 2 1 . 2 1 2 1 1 1 . 1 2 1 2 2 2 1 1 1 Por ortonormalidad: 1 0 Así: 1 1 1 1 2 2 2 = 2 2 2 2 ⇒ 1 ⇒ ⇒ 1 2 0 0 2 1 1 1 1 1 0 1 1 2 4 Ejercicio 3 He (Z = 2) _ configuración electrónica 1s12s1. a.I) Ψ I 1,2 1 √ ΨI 1,2 1 √ II) Ψ II 1,2 2 2 III) Ψ III 1,2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 IV) ΨIV 1,2 1 1 √ 2 2 √ Ψ III 1,2 1 1 √ Ψ II 1,2 2 2 2 1 . 2 1 1 2 2 1 1 √ 1 2 2 1 2 2 2 2 1 . 2 1 . 1 2 2 2 2 1 √ 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 ψ ΨIV 1,2 1 ψ 1 √2 2 ψ ψ 2 ψ 1 β 1 ψ 1 . β 1 β 2 2 β 2 ψ 2 β 2 ψ 1 β 1 b.Determinantes de Slater posibles: 1 √2 1 √2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 √2 1 √2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 5 1 √2 1 √2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 √2 1 √2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 Así: Ψ I 1,2 y Ψ IV 1,2 Para las otras dos funciones de onda, es necesario hacer combinaciones lineales de determinantes: Ψ II 1,2 2 Ψ III 1,2 2 y c.- * Ψ I 1,2 Dos orbitales s ⇒ l = 0 0 ⇒ ∑ 0 0 1 2 1 2 1 Como el valor de 1 ⇒ 1 0 1 1 6 Ψ II 1,2 Dos orbitales s ⇒ l = 0 0 ⇒ ∑ 0 0 1 1 2 2 0 Como el valor de 0 ⇒ ó 0 0 1 0 0 Ψ III 1,2 Dos orbitales s ⇒ l = 0 0 ⇒ ∑ 0 0 1 1 2 2 0 Como el valor de 0 ⇒ 0 ó 0 1 0 0 7 * Ψ IV 1,2 Dos orbitales s ⇒ l = 0 0 ⇒ ∑ 0 0 1 2 1 2 1 Como el valor de 1 ⇒ 1 0 d.- Como en todos los casos 1 1 0, siempre se trata de estados . * Ψ I 1,2 1 2 3 y 1 3 * Ψ II 1,2 1, Si consideramos que en este caso 1 2 3 y 0 3 8 * Ψ III 1,2 Como consideramos en el caso anterior que 1, en este caso consideramos 0 (es intercambiable cuál de las dos consideramos como como 1 y cuál 0, pero sólo una en cada caso – no puede haber dos funciones con todos los números cuánticos iguales). 1 2 1 y 0 1 * Ψ IV 1,2 1 2 3 y 1 3 9 Ejercicio 4 a.- p2 m1 ms1 m2 ms2 ML MS 1 1/2 1 -1/2 2 0 1 1/2 0 1/2 1 1 1 1/2 0 -1/2 1 0 1 -1/2 0 1/2 1 0 1 -1/2 0 -1/2 1 -1 1 1/2 -1 1/2 0 1 1 1/2 -1 -1/2 0 0 1 -1/2 -1 1/2 0 0 1 -1/2 -1 -1/2 0 -1 0 1/2 0 -1/2 0 0 0 1/2 -1 1/2 -1 1 0 1/2 -1 -1/2 -1 0 0 -1/2 -1 1/2 -1 0 0 -1/2 -1 -1/2 -1 -1 -1 1/2 -1 -1/2 -2 0 Entonces: * el valor más alto de El término 2, lo que corresponde con un término . 2 2 aparece con 0 0 Eso incluye los estados: 2 1 0 -1 -2 0 0 0 0 0 Término atómico: 1 10 * el valor más alto de 1 1 1 aparece en conjunción con 1 0 1 1 lo que corresponde con un término . 1 1 1 0 0 0 -1 -1 -1 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 1 2 3 3 0 y * queda un único estado, con 0, lo que corresponde a un término 1 ⇒ Considerando la ley de Hund, de los 3 términos posibles, el más estable es 3 , ya que es el que presenta mayor valor de . b.- p3 Se determinan todas las posibles combinaciones, y se asignan los estados (teniendo en cuenta los mayores valores de ML y MS que se encuentran, y a qué están asociados –seguir el ejemplo de la parte a.-). Términos: 4 2 2 ⇒ El término más estable es 4 (presenta el mayor valor de ). 11 c.- d9 (Tener en cuenta que en este caso l = 2 ⇒ 2 1 0 1 2) Término: 2 NOTA: Los términos que provienen de una subcapa que contiene electrones son los mismos que los términos de una subcapa a la que le faltan electrones. Se pueden dividir los términos de una subcapa cerrada en dos grupos y obtener los términos para cada grupo; puesto que una subcapa cerrada da lugar solamente a un término 1 , los términos para cada uno de estos dos grupos deben ser los mismos. 12