Circuitos de primer y segundo orden: RC, RL y RLC

TRANSITORIO EN CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN:
RC , RL, Y RLC
1.−OBJETIVOS
El propósito de esta práctica es estudiar la respuesta natural de circuitos pasivos lineales de primer orden y
segundo orden. Estos circuitos contienen uno (primer orden) o dos (segundo orden)componentes reactivos
(condensadores y bobinas). Estudiaremos en concreto :
1. La curva de carga y descarga de un circuito RC. Un circuito de este tipo consiste en un condensador
conectado en serie con una resistencia a través de la cual pasa la corriente de carga/descarga.
2. La evolución temporal de la intensidad que fluye por una autoinducción conectada a una resistencia
(circuito RL) a la que se aplica o retira bruscamente una tensión de continua.
3. La respuesta transitoria a una excitación de tipo escalón ( conexión a una fuente de tensión continua ) de un
circuito de segundo orden RLC.
La respuesta de cualquier de estos circuitos se describe a través de una ecuación diferencial ordinaria de
coeficientes constantes de primer y segundo orden, lo que justifica el nombre que reciben los circuitos de cada
uno de estos tipos.
2.−FUNDAMENTO TEÓRICO
Circuito RC
Vamos a estudiar las curvas de carga y descarga del circuito RC se muestra en la siguiente figura:
Para el proceso de carga tenemos, aplicando conceptos elementales de la teoría de circuitos, que:
(t
0)
La ecuación anterior tiene como solución particular vc(t)=V ( solución que corresponde al estado estacionario,
cuando ya no varía en el tiempo la tensión en el condensador debido a que éste está cargado completamente).
Teniendo en cuenta que el condensador en el instante inicial está completamente descargado ( vc(t=0)=0 ), la
curva de carga viene dada por :
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donde
=RC es la constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito RC. De forma similar, una vez cargado el
condensador hasta alcanzar la tensión vc(t>>
)=V, podemos cortocircuitar el generador de tensión, iniciándose un proceso de descarga descrito por la ley:
vc(t)=Vexp(−t/
)
Para tiempos pequeños, como empleamos en esta práctica, es más apropiado usar un osciloscopio. No
obstante, en un osciloscopio sólo podemos visualizar procesos periódicos. La solución a este inconveniente
estriba entonces en excitar el circuito RC con una señal de tensión de forma cuadrada, lo que equivale a cargar
y descargar el condensador de forma alternativa y periódica . Si el periodo de la onda cuadrada es
significativamente mayor que la constante de tiempo del circuito RC , podremos visualizar en la pantalla del
osciloscopio procesos de carga y descarga completos alternantes .
Circuito RL
Consideramos un circuito de primer orden en el que el elemento reactivo es una autoinducción, como se
muestra en la siguiente figura:
Consideramos como función respuesta a una excitación brusca en tensión, del tipo ¨ función escalón ¨, a la
intensidad que pasa por la bobina.
Aplicando la ecuación de malla y teniendo en cuenta la forma de vi(t), llegaremos como solución de la
ecuación de primer orden (condición inicial vR(t=0)=0) a que:
vR(t)=(R/Rt)V[1−exp(−t/
)]
siendo
=L/Rt
Al eliminar la excitación es evidente, por comparación con el caso del condensador y la resistencia , que:
vR(t)=(R/Rt)Vexp(−t/
)
Circuito RLC
Consideramos la asociación en serie de los componentes R, L y C, como se muestra en la siguiente figura:
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Estudiamos cómo evoluciona la tensión en el condensador, vc(t), cuando se excita el sistema con una tensión
escalón.
La ecuación diferencial que debe cumplir es :
donde hemos llamado :
LC=1/w0 ;
Resolvemos la ecuación anterior:
La solución particular corresponde al estado estacionario: vc(t
)=V
Para resolver la ecuación homogénea hemos de encontrar las raíces del polinomio característico:
m2+2*m+wo2=0
Esta situación es análoga a la que se nos presenta en el estudio del oscilador lineal amortiguado. Debemos
distinguir tres casos:
Caso A) Régimen subamortiguado:
Se caracteriza porque :
w02**2 ; R*2(L/C)1/2
En este caso aparecen las típicas oscilaciones amortiguadas de un oscilador con fricción.
La solución general para las condiciones de contorno siguientes es:
vc(t=0)=0
ic(t=0)=0
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;
Caso B) Régimen sobreamortiguado:
Se caracteriza porque
w02**2 ; R*2(L/C)1/2
Aplicando las condiciones iniciales ya mencionadas la solución general será:
vc(t)=V[1+(*1−*2)−1(*2exp(−*1t)− *1exp(−*2t)))
El aspecto de la curva se parece a las exponenciales de los circuitos de primer orden, pero en este caso la
pendiente de salida en t=0 es nula ( la intensidad inicial ha de ser cero a causa de la presencia de la bobina,
cosa que no ocurría en el circuito RC).
Caso C)Amortiguamiento crítico:
Se da en el caso en que
w02=*2 ; R=2(L/C)1/2
Ahora la solución es
vc(t)=V[1−(1+*t)exp(−*t)]
Para el valor crítico de la resistencia se alcanza el estado estacionario en el menor tiempo posible.
3.−INSTRUMENTAL
Disponemos para realizar esta práctica del siguiente instrumental:
*Generador de señales.
*Osciloscopio de rayos catódicos.
*Regleta universal para interconexión de componentes.
*Cables de interconexión(incluyendo un cable coaxial con conectores BNC y otro para excitar los circuitos
montados en la regleta) .
*Resistencias, condensadores y autoinducciones de diversos valores.
REALIZACION DE LA PRÁCTICA.
4.−CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR.
Montamos el circuito con el condensador de 27nF y una resistencia de 1k
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.Comprobamos el ajuste de las sondas del osciloscopio .
Para estudiar el proceso de carga y descarga del condensador a través de la resistencia R aplicamos una
tensión de forma de onda cuadrada con un periodo adecuado para permitir visualizar correctamente todo el
proceso de carga y descarga(es importante que el condensador se cargue y descargue completamente en cada
semiperiodo.)
Medimos el tiempo de relajación de la exponencial de descarga(para ello medimos el tiempo que tarda en caer
a la mitad la tensión medida en un instante arbitrario y, a partir de tal dato obtendremos:
V(c)=Vex(−t/*)
*=25.936*s
Comparamos este valor con el producto RC para
R=(1k+50) *
donde 50 * es la resistencia del generador.
C=20nF
*(teórico)=RC=28.4*s
Registramos los siguientes valores de tensión de carga y descarga
tiempo(*s)
10*10
20*10
35*10
50*10
70*10
tensión(v)
12*0.4
8*0.4
4*0.4
2*0.4
1*0.4
Descarga del condensador
Carga del condensador
tiempo(*s)
5*10
10*10
20*10
25*10
110*10
tensión(v)
0.2*0.2
0.4*0.2
0.8*0.2
1.0*0.2
1.6*0.2
Representamos gráficamente ambas tablas
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DESCARGA DEL CONDENSADOR CARGA DEL CONDENSADOR
A partir de los valores tomados sobre la curva de descarga ajustamos mediante el método de mínimos
cuadrados la curva:
ln vc(t)=lnV−t/RC
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A partir de ella obtenemos el valor RC
!/RC=0.041*0.004
Midiendo R con el polímetro resulta
R=986 *
Que junto con lo anterior obtenemos un valor de C
C=(25*2)nF
Obtenemos un error que nos da un valor de la capacidad parecida a la teórica.
− A continuación vamos a idear un procedimiento para medir la resistencia del generador a partir de la medida
de un tiempo de relajación. Para ello quitamos la resistencia y cargamos el condensador con únicamente la
resistencia del generador y conociendo :
C=(25*2)nF
*=0.721*s (éste ha sido determinado en el laboratorio por de forma rápida)
Como *=1/RC resulta R=Rg=50 *
5.−TRANSITORIO EN CIRCUITO RL
Vamos a estudiar ahora la evolución temporal de la intensidad que fluye por una autoinducción conectada en
serie con una resistencia al aplicarle de forma brusca una tensión de continua. Para ello procederemos como
sigue:
− Una bobina real viene caracterizada por el valor de su autoinducción L, pero el efecto de su resistencia RL
suele no ser despreciable. Además, en condiciones de corriente continua ( y por extensión a frecuencias bajas
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) la autoinducción no tiene efecto alguno sobre la caída de tensión a se través ( no hay dependencia temporal
de la intensidad ), de modo que la bobina queda en este caso determinada exclusivamente por su resistencia.
Vamos a determinar la resistencia de nuestra bobina aplicando el principio del divisor de tensiones:
(La bobina además de su L esta caracterizada por su RL .Ahora estudiamos ésta anulando el efecto de L y
considerando la bobina como una resistencia ordinaria gracias a la corriente continua que imponemos)
RL=(VLRG)/(VG−VL) VL=0.6v VG=2.0v RG=50 *
Sustituyendo al final estos datos obtenemos
RL=21.42 *
Rteórica=20.01 *
Nota: para el condensador nunca se habla de su resistencia interna pues podemos considerarla como infinita
debido a que los dielectricos no conducen bien.
Montamos ahora el circuito RL. La caída de tensión en le resistencia R (R=100 * ) es proporcional al
intensidad que fluye por la bobina. Aplicamos al circuito una forma de onda cuadrada.
Visualizando en el osciloscopio el VR(t) determinamos mediante el procedimiento rápido el tiempo de
relajación.
*=47*s
Obtenemos un resultado del mismo orden del *teórico que calculamos como:
*=L/(RG+RL+R) *=59*s
Tomamos medidas de VR(t):
tiempo (*s)
0*10
15*10
40*10
80*10
150*10
250*10
VR(v)
8.0*0.2
6.0*0.2
4.0*0.2
2.0*0.2
0.7*0.2
0.2*0.2
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Con estos datos representamos la función I(t)=VR(t)/R :
Utilizando escala logarítmica obtenemos el valor de
*=(67*2) *s
6.−OSCILACIONES AMORTIGUADAS EN UN CIRCUITO RLC
Estudiamos ahora el comportamiento de un circuito RLC , cuando le excitamos con una tensión de tipo
escalón, que corresponde a la conexión brusca del circuito a una fuente de continua.
Montamos el circuito . La resistencia R será la propia resistencia interna del generador ( no conectaremos
físicamente ninguna resistencia mas) en serie con la resistencia en la propia bobina. Para el condensador
tendremos
C=1.5nF
Excitamos el circuito con una forma de onda cuadrada a una frecuencia apropiada. Tomamos los siguientes
datos acerca de los máximos observados ( exponencial moduladora ) .
tiempo(*s)
12*2
35*2
57*2
80*2
104*2
127*2
150*2
173*2
196*2
219*2
amplitud(v)
18*1
16*1
14*1
13*1
11*1
10*1
9*1
8*1
7*1
6*1
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La amplitud de los máximos esta referida a la línea equidistante a los máximos y como observamos las
distancias entre éstos es constante .
Calculemos el factor de atenuación alfa.
*(experimental )=5121Hz
Factor de atenuación teórico:
*(teórico)=3571Hz
Obtenemos valores claramente diferentes pero coherentes orden.
Calculamos la pseudofrecuencia (la separación temporal entre dos máximos)
f=54kHz
Comparamos este valor con la predicción teórica
f=41kHz
Representamos gráficamente los distintos casos.
Caso A) RÉGIMEN SUBAMORTIGUADO
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Caso B) RÉGIMEN SOBREAMORTIGUADO
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Nota: debemos observar que en este caso la pendiente de la salida en t=0 es cero ( la intensidad inicial ha de
ser cero a causa de la presencia de la bobina)
Caso C)AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO
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