Por que el Hombre mide

SIMELA
DESTREZA Y HABILIDADES DEL PENSAMIENTO
NOCIONES DE GEOMETRÍA
ARQ. MARÍA DE LAS NIEVES RIZZO
Por qué el Hombre mide?
Para comunicar a otra persona distante en el espacio o tiempo, de cuantas cosas tenemos o de
cuáles son sus dimensiones. Por la imposibilidad de trasladar el objeto en cuestión, debido a su
tamaño o constitución. Debido a la búsqueda de relación entre dos o más magnitudes. ejemplo:
si 1 kg de papas cuenta $0,85 , cuánto costará una bolsa que contiene 10 kg de papas?.
¿Qué significa medir?.
Medir significa cuantificar un todo homogéneo a través de una unidad relativa al objeto a medir.
En forma amplia comparar.
¿Qué quiere decir esto?
Si queremos medir la longitud de un objeto debemos emplear una unidad de longitud.
Comparamos ésta con el objeto a medir, el resultado de la comparación es la medida, es decir
el número de veces que la unidad está contenida en el objeto a medir. La humanidad,
históricamente, ha acompañado la necesidad de cuantificación de lo continuo a través de ir
estableciendo unidades de medida según los problemas que se le presentaron. Un nuevo
problema se presenta. Cómo construir instrumentos de medición que resulten eficaces, sobre
todo, teniendo en cuenta los objetos cada vez más pequeños que ofrece la tecnología actual.
La Matemática apoyó estas construcciones dotando a la tecnología de números que permiten
medir: los números racionales.
Los números para medir
Los números naturales se emplean para contar. Los números que empleamos para medir son
los Números racionales.
Es evidente que la medida de una cantidad depende de la unidad elegida, pero que la cantidad
es invariante e independiente. Siguiente con el ejemplo anterior: cuando expresamos 8m = 80
dm estamos diciendo: la longitud es la misma, la medida es diferente, si medimos con el metro
(unidad ) éste está contenido 8 veces; si elegimos el decímetro (unidad ), éste está contenido
80. La razón de esto es la siguiente: el decímetro es la décima parte del metro, al reducirse la
unidad elegida a la décima parte, la medida se verá aumentada diez veces.
Patrones no convencionales
Si medimos la longitud del segmento con la unidad A, vemos que ésta está contenida 4 veces.
Si empleamos la unidad B que es equivalente a 2 veces A; vemos que está contenida 8 veces
en el segmento. Luego
4A=8B
El uso social de las unidades de medida.
Escuchamos hablar del metro, decímetro. Mamá compra 1 kilogramo de manzanas o de papas.
La gaseosa se vende en botellas de 1 litro o 1itro y medio, etc. Incluso empleamos expresiones
como: “ está muy alto, para alcanzarlo”, “ está cerca” , “mi hermano es más alto que yo?, etc.
Se compara directamente con otro niño para saber cuál es más alto, compra dos objetos para
reconocer cuál es más largo. Los niños deben aprender la importancia de la medición en la
vida cotidiana. Comprender la importancia de medir con precisión una madera para construir un
objeto determinado, para comprar una determinada cantidad de pan, para leer un reloj, etc. Y
también las consecuencias de medir incorrectamente.
Unidades de longitud
La longitud es la propiedad común a todo conjunto de segmentos congruentes.(Se dice que
dos segmentos son congruentes cuando pueden superponerse exactamente por medio de un
movimiento).

Comparación directa.
Comparar alturas colocándose uno amigo frente al otro. Determinarán quien es más alto y
podrán ordenase según su altura. Con dos o más varillas ordenarlas de mayor a menor
longitud o de menor a mayor longitud.
SIMELA
Para facilitar la comunicación y el intercambio comercial entre las personas y/o los países con culturas
diferentes se creó un sistema de medición SIMELA – Sistema Métrico Legal Argentino- que permita
que todos nos comprendamos.
La intención original fue encontrar un sistema lo más universal posible, capaz de aplicarse por igual a la
mayor cantidad de países posible.
Con estos objetivos fue creado en 1960 el Sistema Internacional de Medidas, que establece las unidades
que deberán utilizarse para medir cualquier magnitud, así como sus múltiplos y submúltiplos. Podría
decirse que la misión original fue cumplida en su mayoría: este sistema es actualmente el de uso más
extendido en todo el mundo.
El SIMELA adopta estas unidades, múltiplos y submúltiplos del SISTEMA INTERNACIONAL (SI) para el
contexto legal argentino.
Está conformado por:
Medidas de longitud
Medidas de capacidad
Medidas de peso
Medidas de superficie
Medidas de volumen
MEDIDAS DE CAPACIDAD
La unidad de capacidad principal del SIMELA es el Litro.
El litro y sus múltiplos y sus submúltiplos.
MÚLTIPLOS
Si tenemos diez litros se dice que es un decalitro.
Cien litros es un hectolitro.
Mil litros es un kilolitro.
SUBMÚLTIPLOS
El decilitro es la décima parte del litro.
El centilitro es la centésima parte.
El mililitro es la milésima parte.
Lo importante para esta cuestión de las medidas es comparar y utilizar los elementos adecuados
para cada situación.
Por ejemplo, si para servir gaseosa se contara con un gotero sería mucho más compleja la
medición, así como también en el caso de que pusiéramos en un vaso el remedio para los ojos.
Todos estos objetos pueden ser utilizados como unidades, por ejemplo, de una botella de gaseosa
salen 5 ó 6 vasos. Sin embargo, no son unidades consensuadamente universales legalmente.
MEDIDAS DE PESO
La unidad principal es el gramo; para las cosas muy pesadas, se usa la tonelada, pero para las prácticas
de todos los días, se utiliza el kilogramo, al que llamamos, simplemente, kilo.
La particularidad de esta magnitud es que si bien la unidad oficial es el gramo, en la práctica, usamos el
kilogramo como referencia.
Los múltiplos del gramo son:
El decagramo, diez gramos.
El hectogramo, cien gramos.
El kilogramo, mil gramos.
Para medir cuerpos muy pesados, se utiliza la tonelada métrica que es igual a mil kilogramos.
Para medir cuerpos muy livianos, se usan los SUBMÚLTIPLOS. Decigramo, centigramo y miligramo.
MEDIDAS DE LONGITUD
La unidad principal es el metro patrón, sus múltiplos y sus submúltiplos.
Por ejemplo, el kilómetro, que es igual a mil metros, es un múltiplo del metro.
MEDIDAS DE LONGITUD
MULTIPLOS
km (Kilómetros)
1000 metros
hm (Hectómetros)
100 metros
dam (Decámetros
10
metros
UNIDAD
m (metro)
1
metro
SUBMÚLTIPLOS
dm (decímetro)
0,1 metros
cm(centímetro)
0,01 metros
mml (milílmetro)
0,001 metros
MEDIDAS DE CAPACIDAD
MULTIPLOS
kl (Kilolitros)
1000 litros
hl (Hectolitros)
100 litros
dl (Decalitros)
10
UNIDAD
l (Litro)
1
SUBMÚLTIPLOS
dl (decílitro)
0,1 litros
cl (centílitro)
0,01 litros
ml (milílitro)
0,001 litros
litros
litro
MEDIDAS DE PESO
MULTIPLOS
kg.(Kilogramo)
1000 gramos
hg (Hectogramo)
100 gramos
dg (Decagramo)
10
gramos
UNIDAD
g (Gramo)
1
gramo
SUBMÚLTIPLOS
dg. (decígramo)
0,1 gramos
cg.(centígramo)
0,01 gramos
Mg (milígramo)
0,001 gramos
MEDIDAS DE SUPERFICIE
MULTIPLOS
km².
1000 000 m²
hm²
10 000
m²
dm²
100
m²
UNIDAD
m² (metro cuadrado)
1
m²
SUBMÚLTIPLOS
dm²
0,01
m²
cm²
0,0001
m²
mml²
0,000001 m²
MEDIDAS DE VOLUMEN
MULTIPLOS
km³.
1000 000 000 m³
hm³
1 000 000
m³
dm³
1000
m³
UNIDAD
m³ (metro cúbico)
1
m³
SUBMÚLTIPLOS
dm³
0,001
m³
cm³
0,000001
m³
mml³
0,000000001 m³
RELACIONES ENTRE VOLUMEN, CAPACIDAD Y PESO
1 dm³ = 1 l
1m³ = 1kl
1cm³ = 1ml
1 litro de agua a 4º C. pesa 1kg.
1 m³ de agua pesa 1000 kg. = 1 tonelada métrica
1 cm³ de agua pesa 1 g.
1.-INDICÁ SI CADA UNA DE ESTAS AFIRMACIONES ES VERDADERA (V) O FALSA (F)
a)
b)
c)
d)
Para envasar 1 hl se necesitan 100 botellas de 1 l.
½ m² es el área de un cuadrado con lado de ½ m.
20ml equivalen a 200 cm³
A 4ºC de temperatura, el agua contenida en un balde de 12 l pesa 12 kg.
2.- RESOLVÉ ESTOS PROBLEMAS
a) Para confeccionar un moño se necesitan 75 cm de cinta. ¿Cúantos de esos moños se
pueden hacer con un rollo de 10 m de cinta?
b) Cada cuadra tiene aproximadamente 100 m.
Juan vive a 8 cuadras de la escuela. Va mañana y tarde, pero al mediodía regresa a su
casa a almorzar. Aproximadamente, ¿cuántos kilómetros recorre cada día en sus viajes
de ida y vuelta a la escuela?
3.- PARA ENTRETENERNOS UN POCO - RESOLVÉ ESTOS JUEGOS DE INGENIO
(las soluciones están al finalizar el tema)
a) Hay tres enunciados falsos. ¿cuáles son?
1) 2 + 4 = 6
2) 3,2 x 6 = 19
3) 8/4,3 = 1,9
4) 13 – 6 =7
5) 5 + 4 = 9
b) Merienda
Andrés y Marcela estaban merendando... Los dos estaban tomando pasteles de frambuesa con
té. Andrés tenía el triple de pasteles que Marcela, y Marcela no estaba conforme con esto.
Andrés, a regañadientes, dio uno de sus pasteles a Marcela. "¡Eso no es suficiente!", gritó
Marcela enfadada. "¡Todavía tienes el doble que yo!"
¿Cuántos pasteles más tiene que darle Andrés a Marcela para que cada uno tenga los
mismos?
c) Ecuación
¿Cómo puede verse correcta esta operación? (Sin modificarla)
X+V+VI=XIX
d) Otra Ecuación
Poniendo una rayita se cumple la siguiente ecuación:
5 + 5 + 5 = 550
Existen dos soluciones posibles
¿Cuáles son?
e) Preguntas
1.- ¿Se puede casar un hombre con la hermana de su viuda?
2.- ¿Cuántas veces puede restarse 10 de 100?
3.- ¿Por qué una persona que vive en París no puede ser enterrada en Texas?
f) Triángulos con palillos
Forma 4 triángulos equiláteros con 6 palillos de igual tamaño, de forma que cada lado sea
igual a la longitud del palillo.
g) Triángulo con monedas
Forma un triangulo con 10 monedas iguales como el de la figura. Moviendo sólo 3 de ellas
forma otro triángulo equilátero en diferente posición.
h) Un cazador sigue durante 200 m las huellas de un oso en dirección Sur, después el rastro
cambia de orientación y lo sigue durante otros 200 m en dirección Este, desde aquí las huellas
se dirigen al Norte y el cazador las sigue durante otros 200 m, dándose cuente en este
momento de que se encuentra en el punto de partida.¿De que color es el oso que persigue?
SOLUCIONES
a) Los tres enunciados falsos serían:
1) "3,2 x 6 = 19 "
2) "8/4,3 = 1,9"
3) "Hay TRES enunciados falsos" >
b) Marcela empieza con 3 pasteles, y Andrés con 9. Andrés tiene el triple que Marcela. Andrés le da 1 pastel a Marcela, ahora tienen 4 y
8 respectivamente, es decir que Andrés tiene el doble que Marcela. Si le da 2 más, ambos tendrán la misma cantidad: 6 pasteles.
c) Leyéndola de atrás para adelante: el VI se convertiría en IV haciendo algebraicamente correcta la expresión.
X+V+VI = XIX => 10+5+6 = 21 es Incorrecto pero...
XIX = IV+V+X => 19 = 4+5+10 es Correcto
d) 1) Tachar el =, de manera que quede un "distinto a"
2) Agregar una rayita a cualquiera de los dos signos "más" y formar un 4, entonces
545 + 5 = 550
e) 1- No puede casarse, ya que si existe "su viuda" es porque está muerto.
2- 1 sola vez, la siguiente vez ya lo estarías restando de 90.
3- No puede ser enterrada porque aún está viva. >
f) La solución consiste en formar una pirámide triangular. Es decir, usando las 3 dimensiones
g)
Hay otras soluciones
h)
Recorrer esta trayectoria para volver al mismo sitio solo es posible en el polo Norte, por tanto el oso ha de ser de color blanco.
NOCIONES DE GEOMETRÍA
La Geometría trata sobre las formas y sus propiedades.
Los dos temas más comunes son:
Geometría Plana (sobre formas planas como líneas rectas,
círculos y triángulos... formas que se pueden dibujar en un
trozo de papel)
Geometría Sólida (sobre objetos tridimensionales como
cubos y pirámides).
Sólidos!
La Geometría Sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde
vivimos...
Poliedros:
(deben tener caras
planas)
Sólidos
Prismas
Pirámides
No Poliedros:
(si alguna
superficie no es
plana)
Esfera
Toro
Cilindro
Cono
Geometría Plana
La Geometría Plana trata las formas en una superficie plana (como una hoja de papel sin
fin).
Plano: Un plano es una superficie lisa sin grosor.
Nuestro mundo tiene tres dimensiones,
pero un plano sólo tiene dos
dimensiones.
Ejemplos:


longitud y altura, o
xey
Y así sin final.
Ejemplos ¡Es difícil dar ejemplos reales!
Cuando dibujas algo en un trozo plano de papel estás dibujando en
un plano...
... ¡aunque el papel no es un plano él mismo, porque tiene un poco
de grosor! Y tampoco se extiende indefinidamente .
Símbolos en geometría
Símbolos que se usan con frecuencia en geometría. Los símbolos nos ayudan a ahorrar tiempo y
espacio cuando escribimos. Aquí tienes los símbolos geométricos más comunes:
Símbolo
Significado
Ejemplo
En palabras
Triángulo
ABC tiene 3 lados
iguales
El triángulo ABC tiene tres lados iguales
Ángulo
ABC mide 45°
El ángulo formado por ABC mide 45 grados.
Perpendicular
AB
CD
La línea AB es perpendicular a la línea CD
Paralela
EF
GH
La línea EF is paralela a la línea GH
Grados
Ángulo recto (90°)
360° es un círculo
completo
mide 90°
Segmento de línea "AB"
AB
Un ángulo recto mide 90 grados
La línea entre A y B
Línea "AB"
La línea infinita que pasa por A y B
Rayo "AB"
La línea que empieza en A, pasa por B y
continúa
Congruente (mismo tamaño y
forma)
ABC
DEF
El triángulo ABC es congruente con el
triángulo DEF
Similar (misma forma, distinto
tamaño)
DEF
MNO
El triángulo DEF es similar al triángulo MNO
Por tanto
a=b
b=a
a es igual que b, por tanto b es igual que a
Nombrar ángulos
En los ángulos la letra del medio dice dónde está el ángulo. Por ejemplo cuando veas "
mide 45°", el punto "B" es donde está el ángulo.
ABC
Ejemplo breve
Así que si alguien escribe:
En ABC, BAC es
"En el triángulo ABC, el ángulo BAC es un ángulo
recto"
Ya sabes que quiere decir:
Áreas de formas planas
Triángulo
Área = ½b×h
b = base
h = altura vertical
Cuadrado
Área = a2
a = longitud del lado
Rectángulo
Área = b×h
b = anchura
h = altura
Paralelogramo
Área = b×h
b = anchura
h = altura
Trapecio
Área = ½(a+b)h
h = altura vertical
Círculo
Área = πr2
Circunferencia=2πr
r = radio
Elipse
Área = πab
Sector
Área = ½r2θ
r = radio
θ = ángulo en radianes
Congruencia
Si se puede convertir una forma en otra usando giros, volteos y deslizamientos, las
dos formas son congruentes:
Rotación
¡Gira!
Reflexión
¡Voltea!
Traslación
¡Desliza!
Después de estas transformaciones (girar, voltear, deslizar) la forma sigue
teniendo el mismo tamaño,área, ángulos y longitudes de líneas.
Ejemplos
Todas estas formas son congruentes:
Girada
Reflejada y desplazada
Reflejada y girada
¿Congruente o similar?
Las dos figuras deben tener el mismo tamaño para ser congruentes. (Si has tenido que
reescalar una figura para llegar a la otra, entonces son similares)
Cuadriláteros
Cuadrilátero significa "cuatro lados"
(cuad significa cuatro, látero
significa lado).
Las figuras de cuatro lados se
llaman cuadriláteros.
Pero los lados tienen que ser
rectos, y la figura tiene que ser
bidimensional.
Triángulos rectángulos
Un triángulo rectángulo es, seguro que lo has adivinado, un triángulo que tiene un ángulo recto.
El cuadradito de la esquina nos indica que el triángulo es rectángulo.
Hay dos tipos de triángulo rectángulo:


Triángulos rectángulos isósceles
Triángulos rectángulos escalenos
Triángulo rectángulo isósceles
Un ángulo recto
Otros dos ángulos iguales de 45°
Dos lados iguales
Triángulo rectángulo escaleno
Un ángulo recto
Otros dos ángulos distintos
No hay lados iguales
Figuras planas regulares - Polígonos
Pon el cursor sobre las figuras para descubrir sus propiedades.
Triángulo
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Nonágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
Estas figuras se llaman polígonos regulares. Un polígono es una figura con varios lados, todos
ellos rectos. Para que sea regular los lados y los ángulos deben ser iguales
TRIANGULO
Los triángulos son polígonos de tres lados; una señal de tráfico de ceda el paso, una vela de
windsurf o de un velero, y algunos sandwiches tienen forma de triángulos. Pero no todos son
iguales, hay distintas clases de triángulos.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Según sea la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:
Equiláteros: tienen los tres lados iguales.
Isósceles: tienen dos lados iguales.
Escalenos: tienen los tres lados desiguales.
El que ves a continuación de color rojo es un triángulo equilátero, el de color azul es isósceles y
el de color verde, escaleno:
También se pueden clasificar los triángulos según sean sus ángulos:
Acutángulos: si sus tres ángulos son agudos (< 90°).
Rectángulos: si uno de sus ángulos es recto (= 90°).
Obtusángulos: si uno de sus ángulos es obtuso (> 90°).
El de color rojo es un triángulo acutángulo, el de color azul es rectángulo y el de color verde,
obtusángulo:
SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
Los ángulos de cualquier triángulo suman entre los tres 180º. Si conocemos dos de ellos
podemos calcular cuánto medirá el tercero. Por ejemplo:
En el primer triángulo:
60° + 70° +
130° +
= 180°
= 180°
= 180° – 130° = 50°
En el segundo triángulo:
90° +
+ 50° = 180°
+ 140° = 180°
= 180° - 140° = 40°
En el tercer triángulo:
+ 80° + 30° = 180°
+ 110° = 180°
= 180° - 110° = 70°
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
En un triángulo, la base es uno cualquiera de sus lados y la altura es el segmento
perpendicular a la base o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto al lado de la
base.
Para calcular la fórmula del área de un triángulo cualquiera, nos fijamos en la siguiente figura:
Vamos a calcular el área del triángulo rojo. Si trazamos desde el vértice C un segmento
paralelo al lado AB, y de su misma longitud, y desde el vértice B otro segmento paralelo al lado
AC, y de su misma longitud, obtenemos un romboide, que tiene la misma base y la misma
altura que el triángulo. Como el área del romboide es:
Área del romboide = base × altura
Y el triángulo ocupa la mitad de la superficie del romboide, resulta que:
El área de un triángulo es igual a su base por su altura partido por dos.
Si quieres, puedes practicar hallando el área de estos triángulos:
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO CON REGLA Y COMPÁS
Si queremos dibujar un triángulo cuyos lados midan, por ejemplo, 6 cm, 5 cm y 4 cm, hemos de
seguir estos pasos:
1. Escogemos el lado mayor de los tres, el de 6 cm, y trazamos con la regla un segmento de
esa longitud. En sus extremos rotulamos los puntos A y B:
2. Ayudándonos de la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta y la otra haya 5
cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el extremo izquierdo del segmento y trazamos
un arco de circunferencia:
3. Usando de nuevo la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta y la otra haya 4
cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el otro extremo, el derecho del segmento, y
trazamos otro arco de circunferencia que cortará al anterior en un punto, que rotulamos como
C:
4. Unimos los dos extremos del segmento con el punto de corte, C, y el triángulo queda
dibujado:
Si intentas construir un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 3 cm y 2 cm comprobarás que los
arcos trazados desde los dos extremos del segmento no se cortan: es imposible situar el punto
C y por tanto no se puede dibujar el triángulo.
En cualquier triángulo debe cumplirse que cualquiera de sus lados ha de ser menor que la
suma de los otros dos. En este último caso, 6 cm no es menor que 3 + 2 = 5 cm y, por tanto, el
triángulo no se puede construir.
Creación de dibujos con figuras geométricas
Esta actividad consiste en diseñar dibujos sobre una hoja de papel milimétrico usando cuadros,
rectángulos y triángulos equiláteros de cartulina de diferentes colores y tamaños.
Ejemplo: