Actividades resueltas

BACH GD | 2 Columnas
PROBLEMAS PAU.
EJERCICIOS.
1.-Una máquina de envasado automático de
refrescos vierte en cada lata una cantidad
de refresco que puede suponerse que sigue
una distribución normal de media   32,5
No son muchos los problemas de este tema
que son propuestos en las pruebas PAU. Sin
embargo el conocimiento de sus contenidos
es muy importante para el estudio de las
distribuciones
muestrales
de
los
estadísticos usados en inferencia , así
como en los contrastes de hipótesis.
Con todo se pueden identificar tres tipos
básicos de problemas relacionados con la
distribución normal y con la aproximación
de
la
binomial
bajo
determinadas
condiciones a ella.
cl y desviación típica
  0,5 cl. El
llenado
de
la
lata
se
considera
“incorrecto” si la cantidad de refresco
vertido es inferior a 31,5 cl ó superior a
34 cl.
a)
¿Cuál es el porcentaje de llenados
incorrectos para esta máquina?.
b)
¿Cuál es la probabilidad de que en
el llenado de 3 latas con esa
máquina alguno de los llenados NO
sea correctos?
En este problema la probabilidad obtenida
se utiliza en el apartado b) para resolver
un problema de probabilidad compuesta como
los definidos en el tema anterior. Para la
contestación a la cuestión planteada se
debería
usar
el
paso
al
suceso
complementario (los tres llenados son
correctos) pues en este caso se simplifica
notablemente el cálculo.
PROBLEMAS DIRECTOS EN DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD QUE SIGUEN EL MODELO NORMAL.
Se dan como datos valores que toma
la
variable aleatoria y parámetros de la misma
(media y desviación típica o bien su
cuadrado
,
la
varianza).
Se
piden
probabilidades relacionadas: probabilidad de
que los valores de la v.a sean inferiores o
superiores a uno dado ,probabilidad de que
estén comprendidos entre dos, etc.
Las
tablas
de
la
distribución
normal
habitualmente usadas están adaptados a este
tipo de problemas.
2.-La duración (en años) de la placa base
de los ordenadores sigue una distribución
normal de parámetros   10,  2 . Calcula
la probabilidad de que una placa base dure
más de 12 años.
El proceso para resolverlos es el siguiente:
a)Tipificación la variable a partir de los
valores
de
la
v.a
aportados
y
los
parámetros de la distribución.
b)Consulta de la tabla de la función de
distribución o, en su caso, uso de las
propiedades
de
la
curva
normal
para
determinar la probabilidad solicitada en el
caso de que la aportada por la tabla no sea
la solicitada.
Recuerda
que
en
las
tablas
sólo
se
recogenlas
probabilidades
acumuladas
a
valores de la variable aleatoria mayores que
la media, es decir valores cuya tipificación
conduce a valores de z superiores o iguales
a 0.
3.- Una fábrica de coches lanza al mercado el modelo “Mathe”
del que se sabe que sus pesos siguen una distribución normal de
media 3.100 kilos y una desviación típica de 130 kilos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al comprar un coche Mathe,
pese más de 3.130 kilos?
b) ¿Qué distribución seguirá la media de las muestras de tamaño
100 de coches Mathe?
c) ¿Cuál será la probabilidad de que al comprar un coche pese más
de 2900 kilos y menos de 3500?
4.- La empresa informática DEPALE, S.A. lanza al mercado un
nuevo productocuya vida útil se estima en 4.6 años, en
promedio, con una desviación típica de 1.6 años. La empresa
decide realizar una promoción inicial con objetode estimular las
ventas. La promoción consiste en ofertar una garantíade
sustitución del producto, sin coste adicional, si se detectase
algún defectodurante el primer año de vida. Suponiendo que la
duración de este
producto sigue una distribución normal, determine la
probabilidad de tener que reclamar su sustitución después de
adquirirlo.
PROBLEMAS INVERSOS EN DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD QUE SIGUEN EL MODELO NORMAL.
Combinan cuestiones que se podrían encuadrar en el
tipo anterior con otras que se ajusta a lo que se conocen
problemas inversos.
En estos problemas se dan como datos probabilidades
de que la variable aleatoria tome determinados valores y
se trata de determinar bien esos valores o bien
parámetros suyos.
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Un ejemplo:
Los salarios mensuales de una empresa
siguen una distribución normal de media
7.000 € y desviación típica 2.000 €.
a) ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan
entre 6.000 y 9.000 €?
b) Sabiendo que un 10% de las personas
ganan más que el trabajador X ¿Cuánto
gana el trabajador X?
a)Problema directo. Se tipifican los
valores de la v.a aportados usando los
parámetros de la distribución normal que
son conocidos:x=9000 se corresponde con
z=1 y x=6000 con z=-0’5.Para el cálculo
de la probabilidad solicitada se debe
restar al valor de que la tabla da a z=1
el correspondiente al complementario que
la tabla da a z=0’5.
b)Se busca en la tabla de la normal
estándar el valor de z para el que su
función
de
distribución
vale
0,9
(complementario de 0,1).Para ello se
mira en los valores del cuerpo de la
misma, resultando ser el más próximo
1’28.Como conocemos los valores de los
parámetros no resulta difícil despejar
de la fórmula usada para la tipificación
enl valor de la variable solicitado
(9560€)
OTRO EJEMPLO RESUELTO
El tiempo en minutos en que una persona es
atendida en la sucursal A de un banco
sigue
una
distribución
normal
N(9,1)
(medidas en minutos).El tiempo que tarda
en ser atendido en la sucursal B se ajusta
a otra normal de media 8’5 y varianza 4.
a)Un cliente dispone de sólo 10 minutos y
tiene que hacer una gestión bancaria,¿En
cuálla de las dos sucursales será más
fácil que le hayan atendido considerando
el tiempo del que dispone?
b)¿Cuánto debe valer x si sabemos que el
80% de los clientes que van a la sucursal
B debe esperar más de x minutos?
c)Un cliente elige ir a la sucursal A con
una probabilidad igual a 0’ en función de
la
proximidad
de
esta
última
a
su
domicilio.3
y
a
la
sucursal
B
con
probabilidad 0’7.¿Cuál es la probabilidad
de que tenga que esperar más de 10
minutos?
a)Sucursal A
Por lo tanto es más probables que le
atiendan en la sucursal A. La forma lógica
de resolver este problema consistiría en
tipificar el valor 10 minutos para la
distribución
N(9,1)
y
la
N(8’5,2).A
aquella que le corresponda el mayor valor
de z le corresponderá una probabilidad
mayor de atención inferior al tiempo
límite establecido.No es preciso calcular
la
probabilidad para contestar a la
cuestión demandada.
b)
De acuerdo al gráfico, el tiempo de espera
es de 6,8 minutos. Para hacer este problema
inverso (se da una probabilidad y se pide un
valor de la v.a.) con la ayuda de la tabla se
debe mirar en el cuerpo de la misma el valor z
que corresponde al centil 80. Posteriormente a
partir de los parámetros y de ese valor z se
puede calcular el valor solicitado.
c)
P(menos de 10 mn|A)=0’84 según a)
P(menos de 10 mn|B)=0’77 según a)
Por el Teorema de la probabilidad Total
P(ser atendido en menos de 10 mn)=
P(ser atendido en A en menos de 10mn)+
P(ser atendido en B en menos de 10 mn)=
=P(A).P(menos de 10 mn|A)+
P(B).P(menos de 10 mn|B)=0’3.0’84+0’7.0’77
EJERCICIOS
1.-Los salarios de los trabajadores de un
país
puede
suponerse
que
siguen
una
distribución normal de media 2000 euros y
desviación típica desconocida.
a)Si la probabilidad de ganar más de 2100
euros es de 0.33, ¿cuál es la desviación
típica?
b)Los
salarios
en
euros
de
los
trabajadores en un segundo país también
puede
suponerse
que
siguen
una
Sucursal B
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distribución normal con la misma media y
con varianza de 40000 euros2. ¿Es más fácil
ganar más de 2100 euros en este segundo
país que en el país del apartado anterior?
OTRO EJEMPLO
El 15% de los habitantes de una determinada región son
diabéticos. Se toma una muestra de 600 de esos habitantes y se
pide:
a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos.
b) Probabilidad de que el número de diabéticos sea mayor que 80.
c) Probabilidad de que el número de diabéticos esté entre 80 y 110.
2.-Una
variable
aleatoria
X
sigue
una
distribución normal de media 4 y varianza 9:
a) Calcula p(3,4  X  4,6)
b) Encuentra
un
valor
a tal que
La variable aleatoria {número de personas
diabéticas en un grupo de 600} sigue el
modelo binomial puesto que 1.cada una de las
pruebas son independientes, 2.-cada una de
las pruebas tiene dos resultados, 3.- la
probabilidad
de ser diabético (0,15)no
varía de prueba en prueba.
Por otra parte se cumplen las condiciones
para proceder a una aproximación a la
distribución normal (n>30,n*p>5,n*q>5). La
normal utilizada debe tener como parámetros
la esperanza y la desviación típica de la
binomial.Esperanza
=n*p
(600*0,15)
desviación
típica
=raiz(n*p*q)=raíz(600*0,15*0,85)
p(4  6a  X  4  6a)  0,75
APROXIMANDO LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL POR LA
NORMAL
En estos prtoblemas:
-Se debe detectar que la situación descrita se adapta a las
características propias del modelo binomial.
-Se precisa determinar los parámetros de esa distribución binomial
:probabilidad de éxito en cada prueba y número de pruebas.
-A partir de esos datos se calculan la esperanza y la desviación
típica de la distribución binomial.
-Se comprueba la verificación de las condiciones para aproximar
la distribución binomial localizada por la normal de parámetros
iguales a la esperanza y desviación típicas previamente calculadas.
-Se reemplaza en cálculo con la binomial por los propios de la
normal haciendo la oportuna corrección de continuidad.
UN EJEMPLO
El 60% de los jóvenes de secundaria y
bachillerato tienen consola de videojuegos.
Si en un instituto hay 800 alumnos
a) ¿Cuántos se espera que tengan consola de
videojuegos?
La variable X = ”nº de jovenes, de 800, que
tienen
viedeoconsola”,
sigue
una
distribuciónbinomial de parámetros n = 800 y
p = 0.6
b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de
500 tengan consola de videojuegos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el nº de
jóvenes con consola de videojuegos este
entre 470 y 500 (ambos inclusive)?
EJERCICIOS
1.- El 15% de los habitantes de una determinada región son
diabéticos. Se toma una muestra de 600 de esos habitantes y se
pide:
a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos.
b) Probabilidad de que el número de diabéticos sea mayor que 80.
c) Probabilidad de que el número de diabéticos esté entre 80 y 110.
2.-Se sabe que el 40% de las mujeres
embarazadas dan a luz antes de la fecha
prevista. En unhospital, han dado a luz 125
mujeres en una semana.
a) ¿Cuál es el número esperado de mujeres a
las que se les retrasó el parto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 45
y 60 mujeres se les haya adelantado el
parto?
c) Si hubiese habido 61 partos adelantados y
si el nivel de significación fuera igual a
0.02, ¿estoharía rechazar la hipótesis de
que el 40% de las mujeres dan a luz antes de
la fecha prevista?
3.-Una de las pruebas de acceso a la universidad para personas
mayores de 25 años consiste en un test con100 preguntas, cada una
de las cuales dos posibles respuestas, siendo sólo una de ellas
correcta. Para superar esta prueba debe obtenerse, al menos, 60
respuestas correctas.
Si una persona contesta al azar, es decir, elige de forma aleatoria
una de los dos respuestas posibles de
cada una de las 100 preguntas:
a) ¿Cuál será el numero esperado de respuestas correctas?
b)¿Qué probabilidad tendrá de superar la prueba?
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