MIGUEL CALVO RAMON

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE
TELECOMUNICACIÓN
GRUPO DE ELECTROMAGNETISMO
TESIS DOCTORAL
NUEVA ANTENA DE RANURAS AXIALES SOBRE
SUPERFICIE CILÍNDRICA ALIMENTADAS DESDE GUIAS
SECTORIALES
Miguel Calvo Ramón
Proyecto de Investigación coordinado con la E.T.S.I.N.
“Desarrollo de un sistema radioeléctrico doppler para la medida de movimientos de buques
en pruebas de mar”
Subvencionada con cargo al Fondo Nacional para el desarrollo de la Investigación
Científica.
N.° UPM/ ET SI T/GE/20/78
FECHA Diciembre 1978
Universidad Politécnica de Madrid
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
Tesis Doctoral
NUEVA ANTENA DE RANURAS AXIALES SOBRE SUPERFICIE
CILÍNDRICA ALIMENTADAS DESDE GUIAS SECTORIALES
Director de Tesis:
Jesús Sánchez Miñana
Catedrático de la ETSIT de Madrid
Autor:
Miguel Calvo Ramón
Ingeniero de Telecomunicación
[01-12-78]
La presente Tesis Doctoral fue defendida en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de
Telecomunicación de Madrid, el día de de 1979 ante el Tribunal formado por:
Presidente
Vocal Primero
Vocal Segundo
Vocal Secretario
Director de Tesis
y aceptada con la Calificación de:
AGRADECIMIENTOS
Deseo expresar mi agradecimiento a mi Director de Tesis Jesús Sánchez Miñana por su
decidido apoyo en la culminación y conclusión de este trabajo.
Asimismo agradezco a todos mis compañeros del Departamento de
Electromagnetismo sus ayudas, críticas y sugerencias durante la realización de esta Tesis.
A los Maestros del Taller Mecánico, Armando, Ignacio y Antolín, el cuidado y esmero
que pusieron en la realización de los elementos necesarios para la verificación experimental de la Tesis.
A Pilar Díaz su paciencia en el mecanografiado del manuscrito y a Luis F. Balbuena el
dibujo de las figuras y organigramas.
A la Comisión Asesora para el Desarrollo de la Investigación Científica y Técnica que
subvencionó e hizo así cosible este trabajo.
Finalmente deseo dedicar este trabajo a mis padres y a mi esposa a quienes tantos
esfuerzos y comprensión ha costado.
ÍNDICE
Página
INTRODUCCIÓN
1
CAPÍTULO 1
4
1.1.
INTRODUCCIÓN
5
1.2.
ELECCIÓN DEL SISTEMA DE ANTENAS
6
1.3.
CAMPO DE RADIACIÓN DE RANURAS AXIALES
SOBRE SUPERFICIES CILINDRICAS
1.4.
1.5.
11
MÉTODOS CONVENCIONALES DE EXCITACIÓN
DE LAS RANURAS
22
NUEVO MÉTODO DE EXCITACIÓN
24
BIBLIOGRAFÍA
26
CAPÍTULO 2
28
2.1.
INTRODUCCIÓN
29
2.2.
CONDUCTANCIA EN RESONANCIA
30
2.3.
CÁLCULO DE LA CONDUCTANCIA DE RADIACIÓN
36
2.4.
TRASLACIÓN DE LA CONDUCTANCIA DE RADIACIÓN
A LA UNIÓN GUÍA SECTORIAL-GUÍA STUB
2.5.
40
COMPARACIÓN ENTRE LOS RESULTADOS TEÓRICOS
Y EXPERIMENTAIES OBTENIDOS
42
BIBLIOGRAFÍA
49
CAPÍTULO 3
50
3.1.
INTRODUCCIÓN
51
3.2.
EXPRESIÓN VARIACIONAL DE LA ADMITANCIA
52
3.3.
CALCULO DE N32
57
3.4.
CÁLCULO DE LA ADMITANCIA DE RADIACIÓN
3.5.
CÁLCULO DE LA POTENCIA REACTIVA EN LA
GUÍA SECTORIAL
60
66
3.5.1. Cálculo del potencial vector eléctrico
66
3.5.2. Cálculo del campo magnético en la guía
72
3.5.3. Cálculo de la potencia reactiva
3.6.
72
COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS TEÓRICOS
CON LOS EXPERIMENTALES
74
BIBLIOGRAFÍA
85
CAPÍTULO 4. TRANSICIÓN COAXIAL-GUÍA SECTORIAL
87
4.1.
INTRODUCCIÓN
88
4.2.
ANÁLISIS DE LA TRANSICIÓN
89
4.3.
DISTRIBUCIÓN DE CORRIENTE
92
4.4.
EXPRESIONES DE LA IMPEDANCIACIA DE ENTRADA
94
4.5.
GUÍA SEMICIRCULAR
98
BIBLIOGRAFÍA
102
CAPÍTULO 5. MÉTODOS EXPERIMENTALES
103
5.1.
INTRODUCCIÓN
104
5.2.
ELECCIÓN DEL MÉTODO DE MEDIDA
105
5.2.1. Medidas con el analizador de redes
105
5.2.2. Medidas con línea ranurada y cortocircuito móvil
107
5.2.3.Medidas con línea ranurada y carga adaptada
5.3.
ESTUDIO DE LOS ERRORES EN LAS HEDIDAS
5.4.
MEDIDA DE LA CONDUCTANCIA NORMALIZADA
EN RESONANCIA
5.5.
108
.
111
124
DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE LOS DIVERSOS
ELEMENTOS NECESARIOS PARA LA MEDIDA
125
5.5.1. Diseño le la Transición coaxial-guía semicircular
127
5.5.2. Diseño de la sección de línea ranurada
129
5.5.3. Diseño de una carga adaptada
134
5 . 5 . 4 . Secciones de guía semicircular con ranura radiante
137
BIBLIOGRAFÍA
139
EPÍLOGO
140
APÉNDICE I. CÁLCULO DEL DIAGRAMA DE RADIACIÓN DE UNA RANURA AXIAL
Y DE UN ARRAY CIRCUNFEROCIAL DE RANURAS
143
A-I.l. INTRODUCCIÓN
144
A-I.2. CÁLCULO Y PROGRAMACIÓN
145
A-I.2.a. Subrutina para el cálculo de las derivadas de
las funciones de Hankel
145
A-I.2.b. Subrutina para el cálculo del diagrama de radiación
de una ranura axial
149
A-I.2.c. Programa principal para el cálculo del diagrama de
radiación de un piso de N ranuras
153
BIBLIOGRAFÍA
158
APÉNDICE II. MODOS ORTOGONALIZADOS EN GUÍAS SECTORIALES
159
A-II.l. INTRODUCCIÓN
160
A-II.2. EXPRESIONES DE LOS CAMPOS Y CÁLCULO DE LAS
CONSTANTES DE ORTONORMALIZACION DE LOS
MODOS TM
161
A-II.3. EXPRESIONES DE LOS CAMPOS Y CÁLCULO DE LAS
CONSTANTES DE ORTONORMALIZACION DE LOS
MODOS TE
166
A-II.4. CONSTANTES DE PROPAGACIÓN E IMPEDANSCIAS
CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS
170
A-II.5. FRECUENCIAS DE CORTE RELATIVAS EN LAS GUÍAS
SECTORIALES
BIBLIOGRAFÍA
172
179
APÉNDICE III. PROGRAMACIÓN DE LA CONDUCTANCIA DE RADIACIÓN
180
A-III.l. INTRODUCCIÓN
181
A-III.2. MÉTODO DE PROGRAMACIÓN
182
A-III.3. SUBRUTINA DE CÁLCULO DE LA FUNCIÓN SUBINTEGRAL
183
A-III.4. SUBRUTINA DE INTEGRACIÓN
187
A-III.5. PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE IA CONDUCTANCIA
DE RADIACIÓN Y DE LA CONDUCTANCIA NORMALIZADA
DE IA RANURA AXIAL
BIBLIOGRAFÍA
192
197
APÉNDICE IV. PROGRAMACIÓN DEL CÁLCULO DE LA ADMITANCIA DE UNA
RANURA AXIAL
198
A-IV.l. INTRODUCCIÓN
199
A-IV.2. CÁLCULO DE LA ADMITANCIA DE RADIACIÓN
200
A-IV.2.1. Estudio de kc en el plano complejo de kz
200
A-IV.2.2. Estudio de los polos de la función subintegral en el eje real del plano kz
202
A-IV.2.3. Valor de la función subintegral en los puntos de ramificación
203
A-IV.3. PROGRAMACIÓN DEL CÁLCULO DE LAS FUNCIONES
SUBINTEGRALES
206
A-IV.3.1. Cálculo de F(kz )
206
A-IV.3.2. Calculo De K(kz)
214
A-IV.4. CÁLCULO Y PROGRAMACIÓN DE LAS FU NCIONES
MODIFICADAS DE BESSEL Im(x) y Km(x)
217
A-IV.5. CÁLCULO DE LAS RAÍCES DE LAS DERIVADAS DE LAS
FUNCIONES DE BESSEL
225
A-IV.6. PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE LA ADMITANCIA
CON EL MÉTODO VARIACIONAL DE OLINER
BIBLIOGRAFÍA
231
239
INTRODUCCIÓN
1
INTRODUCCIÓN
La presente Tesis trata del análisis de un nuevo tipo de alimentador para los arrays
de ranuras axiales sobre cilindros conductores. Este tipo de antenas es muy adecuado para su
utilización en radioboyas, repetidores de TV, FM y en general en todas aquellas
aplicaciones que requieran una cobertura omnidireccional o selectiva en el plano acimutal
y muy directiva en el vertical, con polarización horizontal.
Este trabajo ha sido desarrollado en el seno del autodenominado Grupo de
Electromagnetismo de la E.T.S.I.T. que proporciona la infraestructura de las tareas de
investigación de las Cátedras de Antenas y Propagación de Ondas, Campos
Electromagnéticos y Microondas. En dicho Grupo vienen realizándose trabajos de
investigación para la puesta a punto de un sistema de medida de la maniobrabilidad de
buques en pruebas de mar. La financiación de los mismos la ha realizado la Comisión
Asesora de Investigación Científica y Técnica de Presidencia del Gobierno con cargo al
Proyecto de Investigación denominado "Desarrollo de un sistema radioeléctrico Doppler para
la medida de movimientos de buques en pruebas de mar".
El sistema que se está desarrollando consta de un radar Doppler situado a bordo del
barco en pruebas, y de un repetidor activo, situado en una boya dejada en el mar por el propio
buque. Las antenas utilizadas en la boya son arrays de ranuras axiales sobre el mástil
cilíndrico que emerge de la boya. Su diseño ha dado lugar a la presente Tesis, cuyo
contenido se describe a continuación.
En el capítulo 1 se estudian las características de radiación que deben poseer las
antenas a utilizar en el sistema radioeléctrico mencionado. En función de estas
características se justifica la elección del sistema de antenas adoptado. Se describen, a
continuación, los métodos existentes para la alimentación de los arrays de ranuras axiales sobre cilindros.
Los inconvenientes que presentan estos métodos de excitación, para el diseño de estas antenas, han llevado
al desarrollo de un nuevo método de alimentación que se describe cualitativamente al final de este capítulo
y que se basa en dividir el espacio interior del cilindro en guías sectoriales. Su análisis teórico y
experimental es el objeto del resto del trabajo.
En el Capítulo 2 se presenta un método simple de análisis de este nuevo sistema de
alimentación. El modelo que se obtiene de las propiedades circuitales de una ranura longitudinal en guía
2
sectorial es simple y aunque los resultados que predice se comparan bien con los experimentales no
son suficientes para el diseño.
En el Capítulo 3 se utiliza un método de análisis mas potente que conduce a un modelo más
refinado de la ranura en guía sectorial. Los resultados obtenidos de este modelo se combaran con los
obtenidos experimentalmente. Esta comparación permite concluir que el modelo desarrollado representa
un compromiso adecuado entre complejidad, analítica y de cálculo, y precisión en la predicción del
comportamiento cir cuital de la ranura en fines de diseño.
En el Capítulo 4 se analiza teóricamente el comportamiento de las transiciones cable coaxial-guía
sectorial que son necesarias para el sistema de alimentación de la antena.
En el Capítulo 5 se estudian los diversos métodos de medida que podrían utilizarse para la
caracterización experimental de las ranuras en guía sectorial. Se hace un análisis detallado de la Precisión y
errores del método adoptado y se describen los diversos elementos que se han diseñado para su
realización práctica.
Tras este último capítulo se incluye un resumen dedicado a sintetizar los resultados obtenidos
así como a plantear las líneas de investigación que este trabajo deja abiertas.
Para permitir una exposición lo más continua y clara posible de los diversos temas se ha
decidido desarrollar en Apéndices todo cuanto pudiera entorpecer este objetivo. Así, en el Apéndice I,
se presenta la programación de las expresiones obtenidas en el Capítulo 1 para el cálculo del diagrama de
radiación de las ranuras axiales. En el Apéndice II se obtienen las expresiones normalizadas de los campos
de los modos de las guías sectoriales así como sus características más importantes (frecuencia de corte,
constante de propagación, impedancia característica, etc.). En el Apéndice III se estudia la programación
del cálculo de la conductancia presentada por la ranura a la guía sectorial de alimentación de acuerdo con
sus expresiones obtenidas en el Capítulo 2. Finalmente el Apéndice IV contiene el método de
programación utilizado para el cálculo de la admitancia presentada por la ranura a la guía sectorial.
Se ha procurado que cada capítulo sea lo más autocontenido posible por lo que la numeración
tanto de las ecuaciones y figuras como de las referencias bibliográficas es propia de cada uno de ellos.
3
CAPÍTULO 1
PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA
4
1.1. INTRODUCCIÓN.
En este capítulo comenzaremos comentando las condiciones de propagación que tienen
lugar en el sistema radioeléctrico Doppler ya mencionado. De este estudio se obtienen las
especificaciones que debe requerirse al sistema de antenas a utilizar.
Obtenidas las especificaciones de las antenas de la boya que se utiliza en el sistema,
sobre las que se centra la atención de la presente Tesis, procederemos a la elección de la
estructura más adecuada para satisfacerlas. Realizaremos además un estudio de la radiación
producida por la antena al objeto de justificar su elección.
Presentaremos a continuación los métodos de alimentación de la estructura elegida
existentes hasta la realización del presente trabajo. Asimismo las razones que han obligado a la
búsqueda de un nuevo sistema de alimentación cuya caracterización teórica y experimental es el
objeto de la presente Tesis.
5
1.2. ELECCIÓN DEL SISTEMA DE ANTENAS.
El sistema de medida de maniobrabilidad que se está realizando está pensado para su
utilización en las pruebas de mar de grandes buques.
Estos, por su gran calado, no pueden navegar muy próximos a la costa. Por ello los
sistemas clásicos utilizados p.e. para la prueba de “correr la milla” introducen excesivos errores
y dejan de ser útiles.
Actualmente se utilizan sistemas radioeléctricos Doppler en los que se coloca un
repetidor activo fijo en la costa. Una limitación de este sistema es la de requerir un paraje costero
de suficiente calado que no siempre es posible encontrar en las proximidades de los astilleros.
Además los efectos de las corrientes marinas deben ser cuidadosamente analizados para evitar
errores en la medida.
Nuestro sistema pretende ser portátil de forma que el repetidor activo vaya montado en
una boya que se lanza al mar a la hora de la realización de las pruebas. Esto evita al barco el
tener que navegar en las proximidades de la costa y, por otra parte, el efecto de las corrientes
marinas afecta tanto al barco como a la boya. Al medir la velocidad relativa entre barco y boya
esta no estará afectada por la presencia de la corriente.
El sistema consta fundamentalmente de:
a) Un transmisor a 1,3 GHz a bordo del buque a probar.
b) Una boya, previamente abandonada por el propio buque, que recoge la señal de 1,3
GHz enviada por aquel. Esta señal es doblada a una frecuencia de 2,6 GHz, amplificada y
radiada por la boya.
c) Un receptor, situado nuevamente a bordo del buque, recoge la señal de 2,6 GHz y
realiza el tratamiento de la información doppler contenida en dicha señal.
El autor de la presente Tesis realizó, en primer lugar, un estudio de la propagación de
las señales entre el barco y la boya (l). En dicho estudio se utilizaron los modelos clásicos de
propagación ((2) (3) y (4)) generalmente utilizados a las frecuencias y en las condiciones de
alturas y separación entre las antenas que se preveían. Concretamente el análisis se realizó con
una separación entre barco y boya variable hasta un máximo de 13 km. Las antenas en el barco
6
se supusieron a una altura de 25 m sobre el nivel del mar y las de la boya entre 2 y 3 m.
Un programa de ordenador permitió obtener gran cantidad de resultados que
comentamos resumidamente a continuación.
Las figuras 1-1 y 1-2 muestran la variación del factor de ganancia con la separación
entre antenas tanto para polarización horizontal como vertical y con alturas de 25 m para la
transmisora y 3 m para la receptora. Este factor de ganancia tiene en cuenta el suplemento de
intensidad de campo producido por la reflexión sobre la superficie del mar. Las pérdidas de
señal se obtienen sumando a las pérdidas de espacio libre el factor de ganancia (que deberá
expresarse en potencia).
Como se ve en la figura1-l hasta los 2 km de separación se tiene una región de fuerte
interferencia en la que el factor de ganancia (y en consecuencia la señal recibida) varía
rápidamente con la separación entre antenas.
A partir de los 2 km el factor de ganancia decrece paulatinamente. Además es muy
similar para ambas polarizaciones lo que implica que las pérdidas totales van a ser prácticamente
las mismas para ambas.
7
8
9
Este efecto es debido fundamentalmente a que el ángulo de incidencia del rayo reflejado
es tan pequeño que el coeficiente de reflexión es prácticamente el mismo para ambas
polarizaciones. Este resultado es muy importante porque nos permite usar tanto polarización
horizontal como vertical.
Para el diseño de las antenas es necesario también tener en cuenta los movimientos de
cabeceo, balanceo y giro tanto del barco como de la boya. Para absorber el cabeceo el diagrama
de radiación debe tener un ancho de lóbulo grande en elevación (típicamente alrededor de 20º).
El movimiento de giro que pueda tener la boya obliga a que la cobertura acimutal de las antenas
instaladas sobre ella sea omnidireccional. Finalmente el balanceo tanto del barco como de la
boya introduce pérdidas por desacoplo de polarización que pueden mantenerse constantes a 3
dB utilizando polarización circular en una de las antenas de cada camino (ida y vuelta) de la
señal.
Aun cuando pueden realizarse antenas circularmente polarizadas con cobertura
omnidireccional (existe p.e. una antena bicónica especialmente alimentada con ranuras inclinadas
sobre una superficie cilíndrica referenciada por Jasik (5)) es más sencillo obtener polarización
circular en antenas directivas. Las antenas de hélice son una solución obvia para obtener
ganancias moderadas con polarización circular (6). Por ello esta estructura ha sido analizada y se
han realizado varios prototipos que han funcionado satisfactoriamente (7).
Para la obtención de cobertura omnidireccional con polarización lineal el tipo de
antenas más utilizado ha sido el formado por arrays de ranuras sobre cilindros circulares (8) (que
en nuestro caso es el mástil que emerge de la boya). La polarización vertical, supuesto vertical el
eje del cilindro, se consigue cortando las ranuras en sentido circunferencial en la superficie del
cilindro. La polarización horizontal se consigue con ranuras axiales cortadas paralelamente a una
generatriz del cilindro. Desde el punto de vista de la rigidez mecánica de la antena es preferible
la solución de las ranuras axiales porque las circunferenciales debilitan la resistencia mecánica
del mástil.
En resumen las antenas del barco son de polarización circular y moderadamente
directivas (la anchura de haz en elevación debe ser relativamente grande). La solución adoptada
son las antenas de hélice. Las antenas de la boya tienen polarización lineal horizontal y cobertura
omnidireccional. La solución adoptada es el array de ranuras axiales sobre superficie cilíndrica
circular.
10
1.3. CAMPO DE RADIACIÓN DE RANURAS AXIALES SOBRE SUPERFICIES CILÍNDRICAS.
Vamos a estudiar ahora la radiación de una ranura axial sobre cilindro, y posteriormente
de un array circular de ellas, para verificar que, efectivamente, con este tipo de estructura se
consigue un diagrama omnidireccional en el plano acimutal y polarización horizontal. Si esto es
así el diagrama en elevación se puede sintetizar por medio de un array vertical cuyos elementos
sean los arrays circulares mencionados.
El problema general de la radiación de una abertura arbitraria, y arbitrariamente
excitada, sobre la superficie de un cilindro circular (que se supone indefinido en la dirección de
su eje) fue resuelto por Silver y Saunders (9). Su trabajo permite obtener el campo de radiación
en función de los campos en la apertura. Su tratamiento matemático es farragoso por lo que
vamos a seguir aquí un método más sencillo de resolver el problema, basado en la utilización
de las transformadas cilíndricas de los campos tal como se definen p.e. en Harrington (10).
Se definen las transformadas cilíndricas de las componentes tangenciales de E sobre
cilindro como
∈z (m, k z ) =
∈ϕ (m, k z ) =
1
2π
1
2π
2π
∞
0
−∞
2π
∞
0
−∞
− jmϕ − jk z
∫ dϕ ∫ E z (re ,ϕ , z )e e z dz
− jmϕ − jk z
∫ dϕ ∫ Eϕ (re , ϕ , z)e e z dz
(1.1.a )
(1.1.b)
donde re es el radio del cilindro (ver figura 1.3).
Por otra parte las transformadas inversas se definen como
E z ( re , ϕ , z ) =
Eϕ ( re , ϕ , z ) =
1
2π
1
2π
∞
∑
m = −∞
∞
∑
m = −∞
∞
e jmϕ ∫ ∈z (m, k z )e jk z z dk z
(1.2.a )
−∞
∞
e jmϕ ∫ ∈ϕ (m, k z )e jk z z dk z
(1.2.b )
−∞
El campo eléctrico en la región exterior al cilindro puede expresarse en general (11)
como suma de una componente TE y otra TM a z. Podemos pues escribir
11
E = −∇ × F − jωμ A +
H = ∇ × A − jω ∈ F +
1
jω ∈
1
jωμ
∇∇ ⋅ A
(1.3.a )
∇∇ ⋅ F
(1.3.b )
donde A y F son el potencial vector magnético y eléctrico respectivamente que deben ser de
la forma
A = Az a z
(1.4.a )
F = Fz a z
(1.4.b )
donde Az y Fz son funciones de onda pues deben satisfacer la ecuación de Helmholtz. Dichas
funciones de onda en coordenadas cilíndricas se construyen en general como (12)
ψ = ∑ ∫ f m (k z ) Bm (k r r )h(mϕ )h(k z z )dk z
(1.5)
m kz
donde Bm(krr) es una solución, o combinación lineal de soluciones, de la ecuación de Bessel;
h(mφ) y h(kzz) son funciones armónicas; fm(kz) son funciones a determinar para que se
satisfagan las condiciones de contorno; kz , kr y m son constantes de separación; y la integral se
extiende a algún contorno en el plano complejo kz.
En nuestro caso elegimos las componentes de los potenciales vectores como
Az =
Fz =
1
2π
1
2π
∞
∑
e jmϕ
m = −∞
∞
∑
m = −∞
∞
∫f
(k z ) H m
( 2)
2
m
( k 2 − k z r )e jk z z dk z
(1.6.a )
(k z ) H m
( 2)
m
( k 2 − k z r )e jk z z dk z
(1.6.b )
−∞
e jmϕ
∞
∫g
2
−∞
Es decir que las funciones h(mφ) y h(kzZ) se eligen como e jmϕ y e jk z z porque de esta
forma los campos que se obtienen de las ecuaciones (l.3) utilizando (l.6) tienen la misma
forma que (l.2). Las funciones Bm se toman como funciones de Hankel se segunda especie,
B
Hm(2),
para que los campos representen ondas propagándose en sentido radial creciente como
corresponde a la realidad física del fenómeno de radiación de la apertura.
12
Las funciones incógnita fm y gm pueden obtenerse calculando las componentes Ez y
Eφ de los campos de la apertura a partir de las ecuaciones (l.3) utilizando (l.4) y (l.6). La
igualación de estas componentes con las de las ecuaciones (l.2) nos permite encontrar las
incógnitas buscadas.
Así pues tenemos
E = −∇ × (Fz a z ) − jωμ ( Az a z ) +
1
jω ∈
∇∇ ⋅ ( Az a z ) = −
∂F
1 ∂Fz
a r + z aϕ
r ∂ϕ
∂r
∂ Az
∂ 2 Az
1 ∂ 2 Az
ar +
aϕ +
az
jω ∈ ∂r∂z
r ∂ϕ∂z
∂z 2
2
1
− jωμAz a z +
(1.7 )
por lo que
∂Fz 1 1 ∂ 2 Az
+
∂r r jω ∈ ∂ϕ∂z
Eϕ =
(1.8.a )
∂ 2 Az
E z = − jωϖAz +
jω ∈ ∂z 2
1
(1.8.b )
y por tanto, utilizando (1.6), resulta:
Eϕ =
1
2π
∞
∑
e jmϕ
m = −∞
∞
mk
∫ j rω ∈ f (k )H
m
2
1
2π
∞
∑
m = −∞
e jmϕ
∞
∫
(k
−∞
z
m
−∞
+ g m (k z ) k 2 − k z H ' m
Ez =
( 2)
z
− kz
jω ∈
2
2
( 2)
)f
m
⎛⎜ k 2 − k 2 r ⎞⎟ +
z
⎝
⎠
⎛⎜ k 2 − k 2 r ⎞⎟e jk z z dk
z
z
⎝
⎠
(k z )H m ( 2) ⎛⎜
(1.9.a )
k 2 − k z r ⎞⎟ × e jk z z dk z
⎝
⎠
2
(1.9.b )
Si particularizamos (1.9) en r=re y comparamos con (1.2) tenemos:
∈ϕ (m, k z ) = j
mk z
( 2)
2
f m (k z )H m ⎛⎜ k 2 − k z re ⎞⎟ +
⎠
⎝
reω ∈
+ g m (k z ) k 2 − k z H ' m
2
( 2)
⎛⎜ k 2 − k 2 r ⎞⎟
z
e
⎠
⎝
(1.10.a )
13
∈z
(k
(m, k ) =
− kz
jω ∈
2
z
2
)f
m
(k z )H m ( 2) ⎛⎜
k 2 − k z re ⎞⎟
⎝
⎠
(1.10.b )
2
Finalmente de estas ecuaciones obtenemos:
f m (k z ) =
g m (k z ) =
(k
2
− kz
2
jω ∈∈z (m, k z )
2
( 2)
2
k 2 − k z H m ⎛⎜ k 2 − k z re ⎞⎟
⎝
⎠
(
(1.11.a )
)
⎡
mk ∈ (m, k z ) ⎤
∈ϕ (m, k z ) + 2z 2z
⎢
⎥
2
( 2)
2
re k − k z ⎥⎦
H ' m ⎛⎜ k 2 − k z re ⎞⎟ ⎢⎣
⎝
⎠
)
1
(
)
(1.11.b )
que completan la solución.
Así pues el procedimiento de cálculo del campo en cualquier punto exterior del cilindro producido
por un campo en la apertura consiste en:
a) Obtener las transformadas cilíndricas de sus componentes tangenciales ∈z y ∈ϕ utilizando
las ecuaciones (1.1).
b) Calcular fm(kz) y gm(kz) utilizando el resultado anterior en las ecuaciones (l.3) con los
potenciales vectores obtenidos con (l..6) utilizando las fm y gm anteriormente obtenidas.
La solución analítica general es imposible por lo que el cálculo se realiza mediante técnicas de
integración numérica. Para ello se utilizan las expresiones (1.9) para las componentes E z y Eϕ
pudiéndose obtener fácilmente la expresión correspondiente a la componente E r .
En nuestro caso buscamos el campo de radiación. En esta región pueden obtenerse expresiones
analíticas para las componentes haciendo uso del siguiente resultado de la evaluación asintótica de integrales
(13).
∞
− jkR
e
( 2)
2
jk z
2
∫−∞ f (k z ) H m ⎛⎜⎝ k − k z r ⎞⎟⎠e z dk z ⎯R⎯→⎯∞ →2 R
j m +1 f (− k cos θ )
(1.12)
donde R y θ corresponden a coordenadas esféricas.
Utilizando este resultado podemos expresar los potenciales vectores en la zona de radiación
como
14
Az ⎯R⎯
⎯→
→∞
e − jkR
πR
Fz ⎯R⎯
⎯→
→∞
e − jkR
πR
∞
∑e
jmϕ
j m +1 f m (−k cos θ )
(1.13.a )
jmϕ
j m +1 g m (−k cos θ )
(1.13.b )
m = −∞
∞
∑e
m = −∞
Una vez establecido el procedimiento de obtención de los campos de radiación de
una apertura arbitraria con campos arbitrarios en la apertura veamos como aplicarlo a
nuestro caso de ranura axial.
Es evidente que lo primero que se necesita conocer es el campo en la apertura. Para
poder tener una idea razonablemente aproximada de como es el campo se recurre, siempre
que ello es posible, a excitar la ranura desde una guiaonda rectangular. De esta forma puede
suponerse que, en primera aproximación, el campo en la apertura será el del modo
fundamental de la guía.
De acuerdo con la notación utilizada en la figura 1-3 el campo eficaz en la apertura
considerado como el del modo fundamental de la guía rectangular de alimentación es
E ap = V
2
⎛ πz ⎞
cos⎜ ⎟aϕ
ab
⎝b⎠
(1.15)
siendo V la tensión eficaz del modo fundamental en la guía de alimentación. Evidentemente
esta aproximación será tanto mas válida cuanto más estrecha sea la ranura es decir cuanto
más se parezcan el arco y la secante subtendidos por la ranura.
En la bibliografía manejada por el autor no ha sido utilizada una expresión de
campo como la (l.15). Así Silver (14) y Harrington (15) utilizan como expresión
E ap =
V
⎛ πz ⎞
cos⎜ ⎟aϕ
a
⎝b⎠
(1.16)
Mientras que Waits (16) utiliza
15
E ap =
V
⎛π
⎞
sin ⎜ − k z ⎟
a ⎝2
⎠
(1.17 )
Nuestra notación permite una relación directa entre la amplitud del campo de
radiación con el campo del modo dominante de la guía de alimentación. Y como veremos
mas adelante esto presenta ventajas respecto a las notaciones clásicas en el cálculo de la
conductancia de radiación.
16
Utilizando corno expresión de campo en la apertura la (l.15) en las ecuaciones (l.l)
tendremos
∈z (m, k z ) = 0
ϕe
∈ϕ (m, k z ) =
=
1
2π
V
π 2 re
2
∫ϕe
ϕ =−
− jmϕ
dϕ
b
2
∫
z =−
e
2
V
b
2
(1.18.a )
2
⎛ πz ⎞
cos⎜ ⎟e − jk z z dz =
ab
⎝b⎠
⎛k b⎞
cos⎜ z ⎟
⎛ mϕ e ⎞
⎝ 2 ⎠
2ab sin c⎜
⎟
2
⎝ 2 ⎠ ⎛ k zb ⎞
1− ⎜
⎟
⎝ π ⎠
(1.18.b )
En la obtención de estos resultados se admite que el cilindro es conductor perfecto por
lo que solo existen campos tangenciales en la apertura. También se ha hecho uso de la relación
geométrica ϕ e =
a
, así como de los resultados siguientes
re
ϕe
2
∫ϕe
ϕ =−
e
− jmϕ
⎛ mϕ e ⎞
dϕ = sin c⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
(1.19.a )
2
⎛k b⎞
2b cos⎜ z ⎟
⎛ πz ⎞ − jk z
⎝ 2 ⎠
∫ b cos⎜⎝ b ⎟⎠e z dz = ⎡ k b 2 ⎤
⎛
⎞
z =−
π ⎢1 − ⎜ z ⎟ ⎥
2
⎣⎢ ⎝ π ⎠ ⎦⎥
b
2
(1.19.b )
Utilizando (1.18) en (1.11) se obtienen
f m (k z ) = 0
(1.20.a )
⎛k b⎞
cos⎜ z ⎟
V 2ab
1
⎛ mϕ e ⎞
⎝ 2 ⎠
g m (k z ) =
sin c⎜
⎟
2
π re
⎝ 2 ⎠ ⎛ k z b ⎞ k 2 − k z 2 H ' m ( 2 ) ⎛⎜ k 2 − k z 2 re ⎞⎟
⎟⎟2
1 − ⎜⎜
⎝
⎠
π
⎠
⎝
(1.20.b )
17
Los potenciales vectores en la región de radiación resultan:
(1.21.a )
Az ⎯R⎯
⎯→ 0
→∞
⎯→
Fz ⎯R⎯
→∞
e − jkR V 2ab
R π 3 re
∞
∑e
jmϕ
m = −∞
⎛ mϕ e ⎞
j m +1 sin c⎜
⎟×
⎝ 2 ⎠
⎛ kb
⎞
cos⎜ cos θ ⎟
1
⎝ 2
⎠
×
2
( 2)
⎛ kb
⎞ k sin θ H ' m (kre sin θ )
1 − ⎜ cos θ ⎟
⎝π
⎠
(1.21.b )
Es sencillo demostrar que (17):
Eθ = − jωμAθ − jkFϕ
(1.22.a )
Eϕ = − jωμAϕ + jkFθ
(1.22.b )
por lo que, al ser en nuestro caso Aθ = 0, Aϕ = 0, Fϕ = 0 y Fθ = − Fz sin θ (por ser
a z = a r cos θ − aθ sin θ , tendremos:
Eθ = 0
(1.23.a )
⎛ mϕ e ⎞
⎛ kb
⎞
e jmϕ ( j ) m +1 sin c⎜
cos⎜ cos θ ⎟
⎟
∞
2 ⎠
e
V 2ab
1
2
⎝
⎠
⎝
Eϕ = − jk sin θ
× ∑
=
2
( 2)
θ
R π 3 re
k
sin
θ
H
'
(
kr
sin
)
kb
m
=
−∞
⎛
⎞
m
e
1 − ⎜ cos θ ⎟
⎝π
⎠
⎛ mϕ e ⎞
⎛ kb
⎞
∈m ( j ) m cos mϕ sin c⎜
cos⎜ cos θ ⎟
⎟
− jkR
2 ⎠
V 2ab e
2
⎝
⎠
⎝
(1.23.b )
= 3
×∑
2
( 2)
π re R
H ' m (kre sin θ )
⎛ kb
⎞ m =0
1 − ⎜ cos θ ⎟
⎝π
⎠
− jkR
donde ∈m es el número de Neumann cuyo valor es
⎧⎪1 para m = 0
∈m = ⎨
⎪⎩2 para m ≠ 0
18
Se ha insertado la anterior expresión del campo de radiación en un programa de
ordenador que se detalla en el Apéndice I. Los resultados obtenidos se sintetizan en la figura
1-4 en la que se representan los diagramas acimutales obtenidos para tres valores del parámetro
k r. Diagramas de radiación para otros valores de dicho parámetro e pueden obtenerse con
facilidad y también pueden encontrarse en la literatura (l8), (19) y (20).
Estos diagramas muestran que no pueden conseguirse un grado aceptable de
omnidireccionalidad con una sola ranura. Por ello se recurre a colocar un numero suficiente de
ranuras equiespaciadas en torno al cilindro. Alimentando todas las ranuras con la misma
amplitud y fase se obtienen diagramas como los de la figura 1-5. Estos diagramas se han
obtenido con el programa desarrollado en el Apéndice I. Vemos que efectivamente colocando
un número adecuado de ranuras puede conseguirse la omnidireccionalidad buscada. Este
resultado fue obtenido por primera vez en forma experimental por Silver (2l).
19
20
21
1.4. MÉTODOS CONVENCIONALES DE EXCITACIÓN DE LAS RANURAS.
Por razones evidentes de simplicidad y manejabilidad de la boya el diámetro del mástil
que emerja de la misma debe ser tan reducido como sea posible. Este condicionamiento hace
inviable la alimentación de cada ranura desde una guía rectangular que es el procedimiento utilizado en satélites, misiles, etc.
Existe un procedimiento alternativo de alimentación reportado por Silver (22). Dicho
procedimiento consiste en utilizar el interior del mástil cilíndrico como guía (circular o
coaxial) de alimentación de todas las ranuras. Esta guía debe soportar un modo circularmente si
métrico para excitar con la misma amplitud y fase a todas las ranuras de un "piso". El modo
adecuado es el TM01 en la guía circular o el TEM en el coaxial.
Estos modos no excitan a las ranuras axiales porque producen corrientes longitudinales
en las paredes de las guías de forma que no son cortadas por las ranuras. En consecuencia la
presencia de estas no distorsiona apreciablemente la distribución de campo en la guía de
alimentación. Para provocar dicha excitación se distorsiona el campo a base de colocar sondas,
en sentido radial, en las proximidades de las ranuras (figura 1-6).
Sin embargo el procedimiento descrito presenta dos inconvenientes. Por una parte el
modo TM01 no es el fundamental de la guía circular por lo que la presencia de las sondas hace
que se genere dicho modo (el TE11) que, al no ser circularmente simétrico, altera la excitación
uniforme de las ranuras de cada piso. Por otra parte el estudio teórico de la configuración ranura
más sonda resulta difícil mientras que una caracterización experimental es excesivamente
tediosa por la gran cantidad de parámetros que intervienen simultáneamente en el problema
como son la longitud y ancho de las ranuras, el número de éstas por piso, el radio de la guía circular
(o los radios de la coaxial), la longitud y forma de las sondas, su posición respecto de las ranuras (centradas,
desplazadas longitudinalmente, con mayor o menor proximidad a las ranuras,…), etc.
A pesar de ello el sistema ha sido utilizado porque su caracterización exhaustiva no siempre es
imprescindible. Concretamente para la realización de un array uniforme resonante bastará un poco de trabajo
experimental para conseguir la excitación uniforme y la adaptación de impedancias a base de introducir más
o menos, todas por igual, las sondas excitadoras. Silver (23) presenta diagramas de radiación de antenas de
este tipo.
Sin embargo la realización de cualquier otro tipo de array, resonante o no resonante, requerirá la
22
caracterización completa del sistema de alimentación. Por ello surgió la necesidad de encontrar otro sistema
de alimentación más manejable tanto desde el punto de vista teórico como del experimental.
23
1.5. NUEVO MÉTODO DE EXCITACIÓN.
El nuevo procedimiento de alimentación de las ranuras estudiado en esta Tesis es una aplicación a
nuestra geometría del método utilizado en guías rectangulares para las que el estudio teórico de la excitación de
una ranura axial en su pared ancha ha sido completado en los últimos años (24), (25). La excitación de la
ranura se varía desplazándola más o menos respecto del plano central de la guía (el desplazamiento es D
en la figura 1-7).
Conformando la guía rectangular a nuestro mástil cilíndrico podría pensarse en dos estructuras de
alimentación como las que se indican en la figura 1-8 que podríamos llamar guía coaxial con pared radial y
guía circular con pared radial. Intuitivamente cabe pensar que la excitación de la ranura varíe en función del
ángulo entre el plano de la ranura y el plano central de la guía (αen las figuras). Variando pues solamente este
parámetro tendremos un acoplamiento entre la guía de alimentación y la ranura controlable.
Como en nuestro caso necesitamos más de una ranura por piso la extensión obvia del procedimiento
anterior consiste en subdividir el interior del mástil en tantas guías como ranuras se vayan a utilizar. En la
24
figura 1-9 se muestra la sección transversal en el caso de 3 ranuras por piso.
De los dos tipos de excitación que se sugieren en la figura 1-8 el que se ha desarrollado tanto teórica
como experimentalmente es el b. Y ello, porque, por una parte, es más simple de manejar teóricamente por
necesitar sólo las funciones de Bessel, en lugar de las de Bessel y Neumann necesarias en el caso a, y porque
conduce a modelos experimentales más sencillos. En cualquier caso el estudio teórico del caso a (en el que se
utilizan guías sectoriales coaxiales) puede obtenerse directamente con el método utilizado en esta Tesis para
las guías sectoriales circulares.
En adelante nos ceñimos al objeto de esta Tesis: el estudio y caracterización de la excitación de una
ranura axial sobre cilindro alimentada desde una guía sectorial circular.
25
BIBLIOGRAFÍA
(1)
Miguel Calvo. “Estudio Preliminar de Propagación” . Proyecto de Investigación “Desarrollo de un sistema
radioeléctrico Doppler para la medida de movimientos de buques en pruebas de mar”. Publicación del
Departamento de Electromagnetismo de la E.T.S.I.T. de Madrid. Julio 1975.
(2) D.E. Kerr: "Propagation of Short Radio Waves". M.I.T. Radiation Laboratory Series. Boston Technical
Publishers. Inc. 1964.
(3) P. David, J. Voge: “Propagation of Waves”. Pergamon Press 1969.
(4) W. G. Duff, D.R.J. White: “Electromagnetic Interference and Compatibility”. Don White Consultants
Inc., 1972. Vol. 5.,Sec. 6.4.
(5) H. Jasik: “Antenna Engineering Handbook”. Mc Graw Hill 1961. Chap. 17, Sec. 3, fig 17-20.
(6) J.D. Kraus: “Antenas”. Mc Graw Hill 1950. Chap. 7.
(7)
Ramón Várela, Miguel Calvo: “Antenas Helicoidales en banda S”. Proyecto de Investigación
“Desarrollo de un sistema radioeléctrico Doppler para la medida de movimientos de buques en pruebas
de mar”. Publicación del Departamento de Electromagnetismo de la E.T.S.I.T. de Madrid.
Agosto 1978.
(8)
H. Jasik: Op. Cit. Chap. 26.
(9)
S. Silver, W. K. Saunderst “The External Field Produced by a Slot in an Infinite Circular Cylinder”.
Journal of Applied Physics. Vol. 21. Feb. 1950, pp.153-158.
(10) R.F. Harrington: “Time Harmonic Electromagnetic Fields”. Mc Graw Hill 1961. Sec. 5-12.
(11) R.F. Harrington: Op. Cit. Sec. 3-12.
(12) R.F. Harrington: Op. Cit. Sec. 5-l.
(13) R.F. Harrington: Op. Cit. Ec. 5-143, pág. 245.
(14) S. Silver. W. K. Saunders: “The Radiation from a Transverse Rectangular Slot in a Circular
Cylinder”. Journal of Applied Physics. Vol. 21. August 1950. pp. 745-749.
26
(15)
R.F. Harrington: Op. Cit. Sec. 5-12.
(16) J.R. Wait: “Radiation Characteristics of Axial Slots on a Conducting Cylinder”. Wireless Engineer.
Dec. 1955. pp. 316-323.
(17) R.F. Harrington: Op. Cit. Sec. 3-13.
(18) S. Silver, W. K. Saunders: Referencia (14)
(19) H. Jasik: Op. Cit. Chap. 8.
(20) A.Z. Fradin: “Microwave antenas”. Pergamon Press 1961. Chap. 8.
(21) S. Silver: “Microwave Antenna Theory and Besign”. Mc Graw Hill 1949. pp. 305-309.
(22) S. Silver: Op. Cit. pp. 305-309.
(23) S. Silver: Op. Cit. pág. 326.
(24) S.M. Prassad, B.N. Das: “Studies on Waveguide-fed Slot Antenna”. Proc. I.E.E. Vol. 120. Nº 5, May
1973, pp. 539-540.
(25)
H. Y. Yee: “Impedance of a Narrow Longitudinal Shnut Slot in a Slotted Waveguide Array".
Transactions on Antennas and Propagation, July 1974. pp. 589-592.
27
CAPÍTULO 2
CONDUCTANCIA EN RESONANCIA DE RANURAS
AXIALES SOBRE GUÍAS DE ONDA SECTORIALES.
TEORÍA DE STEVENSON.
28
2.1. INTRODUCCIÓN.
En este capítulo se desarrolla una teoría simplificada que permite la determinación de la
conductancia que presentan las ranuras en resonancia. Aún cuando esta teoría proporciona datos escasos
para un diseño cuidadoso es una primera aproximación al problema que nos planteamos y permite una
primera descripción cuantitativa del comportamiento del sistema de alimentación descrito cualitativamente
en el capítulo anterior.
El método utilizado en este capítulo para atacar el problema se conoce con el nombre de teoría de
Stevenson por haber sido desarrollada por dicho autor (l) para el estudio de ranuras sobre guías
rectangulares. Consiste en establecer una ecuación de balance de energía en la situación de resonancia de
la ranura. De esta ecuación se obtiene el valor de la conductancia en resonancia que presenta la ranura a
la guía de alimentación.
Los resultados obtenidos con este modelo teórico se comparan con los resultados experimentales.
El procedimiento experimental utilizado para la obtención de estos resultados es objeto de un capítulo
posterior.
29
2.2. CONDUCTANCIA EN RESONANCIA.
En la figura 2-1 puede verse la geometría de nuestro problema. La ranura, de longitud
b y ancho a, está mecanizada sobre la pared curva de la guía sectorial circular (de ángulo de
sector α) cuyo espesor es re − ri . La ranura se excita por medio del modo fundamental de
la guía sectorial incidente desde z < − b 2 . El estudio de las expresiones y características
de los modos en las guías sectoriales se desarrolla en el Apéndice II de la presente Tesis.
Para analizar el campo en la ranura es habitual considerar a ésta como una sección
corta de guía rectangular stub que acopla la guía de alimentación con el espacio exterior. El
modo dominante de esta guía es el TE10 cuyo campo eléctrico puede escribirse como
E =V
2
⎛ πx ⎞
cos⎜ ⎟a y
ab
⎝b ⎠
(2.1)
por lo que el campo en la apertura podrá aproximarse por la expresión (l..15) con lo que el campo de
radiación será el dado por las expresiones (1.23).
Sin embargo, como resalta Collin (2) además del modo fundamental también se excitan los
modos superiores» Como la longitud de la guía stub es muy corta (solamente el espesor de la pared del
cilindro) estos modos no se atenúan suficientemente y acoplan también energía al exterior.
30
Afortunadamente la amplitud con que se excitan es menor que la del fundamental. Por ello parece que la
hipótesis de solo excitación del modo fundamental puede ser una primera aproximación suficientemente
buena.
Admitida como válida la hipótesis anterior conocemos, salvo su amplitud, el campo tanto en la
apertura de radiación (apertura exterior) como en la unión con la guía sectorial de alimentación (apertura
interior). Estos campos solo diferirán en fase si admitimos despreciables las perdidas del modo
fundamental en la guía stub.
Se entiende por resonancia de la ranura aquella situación en la que se cancela la
energía reactiva total de los campos en el conjunto del entorno de la ranura. En definitiva los
campos reactivos en el exterior de la ranura y en la guía sectorial, ya que admitimos que en
la guía stub solo está presente el modo fundamental.
En esta situación de resonancia, que se produce a una frecuencia no predecible con
este modelo, puede establecerse una ecuación de balance de energía que permite el cálculo
de la conductancia de la ranura en resonancia. Debe hacerse notar que el circuito
equivalente de las ranuras axiales en resonancia es una conductancia en paralelo con la
línea de transmisión equivalente del modo fundamental de la guía de alimentación. Este
circuito equivalente para la ranura y que mostramos en la figura 2-2, ha sido referenciado
repetidamente por Stevenson (3), Silver (4), Kaminov y Stegen (5), etc.
Admitimos que la ranura está centrada en z = 0 , se excita por el modo fundamental
de la guía sectorial incidente desde z = −∞ con amplitud eficaz unidad y la guía sectorial
está adaptada en z = ∞ .
31
En resonancia la potencia incidente sobre la ranura es igual a la suma de la
reflejada, la transmitida más allá de la ranura y la radiada por ésta (6).
2
La potencia incidente será V0 Y0 donde V0 es la tensión eficaz del modo
fundamental incidente (que suponemos la unidad V0 = 1 ) e Y0 es la admitancia
característica de dicho modo.
La amplitud eficaz de la onda reflejada por la ranura será V0 R (siendo V0 = 1 )
donde R es el coeficiente de reflexión producido por la ranura. Por tanto la potencia
reflejada será R 2Y0 .
La amplitud eficaz de la onda transmitida es V0T = V0 (1 + R ) de nuevo con
V0 = 1 . La potencia transmitida será pues (1 + R ) Y0 .
2
La potencia radiada por la ranura será V 2 Grj donde V es la tensión eficaz del modo
fundamental en la ranura cuya expresión es la (2.l) y Grj es la conductancia de radiación "vista" por la
ranura a la frecuencia de resonancia en la unión con la guía sectorial. Su cálculo se discute en un apartado
posterior en este capítulo.
La ecuación de balance de energía podrá escribirse como
Y0 = R 2Y0 + (1 + R) 2 Y0 + V 2 Grj
(2.2)
Por otra parte, pensando en el circuito equivalente, la conductancia normalizada de la ranura en
resonancia g estará en paralelo con la admitancia normalizada de la carga adaptada Y = 1. La admitancia
normalizada en z = 0 será 1 + g con lo que el coeficiente de reflexión será
R=
1 − (1 + g )
g
=−
1 + (1 + g )
g+2
(2.3)
De la ecuación (2.3) es fácil obtener
32
g=
−2
1
1+
R
(2.4)
mientras que de (2.2)
2
1
1 V Grj
1+ = −
2 R 2Y0
R
(2.5)
y con (2.4) y (2.5) se obtiene para g el valor
g=
4 R 2Y0
V 2 Grj
(2.6)
El valor del coeficiente de reflexión R provocado por la ranura, en la que se supone un campo
tangencial dado por (2.l), puede obtenerse utilizando el teorema de reciprocidad de Lorentz (7). La
expresión para el mismo es
R=
1
2
⎛ πz ⎞
V
cos⎜ ⎟h zl e − jk zl z dS
∫∫
2 Ap. int . ab
⎝b⎠
(2.7 )
donde hzl es la componente z del campo magnético del modo fundamental
ortonormalizado de
la guía sectorial de alimentación,
kzl es
la constante de
propagación de dicho modo y la integral se extiende a la unión entre la guía sectorial y la
ranura que hemos llamado apertura interior. Las expresiones para hzl y kzl se deducen en
el Apéndice II de esta Tesis y son
2
hzl =
⎛ x'
J π α ⎜⎜ 11
⎝ ri
⎞ ⎛π ⎞
r ⎟⎟ cos⎜ ϕ ⎟
⎠ ⎝α ⎠
k cl 4
2 12
jk zl α ⎡
⎛π ⎞ ⎤
2
⎢(x'11 ) − ⎜ ⎟ ⎥ J π α ( x'11 )
⎝ α ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
⎡⎛ 2π ⎞ 2 ⎛ x' ⎞ 2 ⎤
k zl = ⎢⎜
⎟ − ⎜⎜ 11 ⎟⎟ ⎥
⎢⎣⎝ λ ⎠ ⎝ ri ⎠ ⎥⎦
(2.8)
12
33
donde x'11 es la primera raíz de la derivada de la función de Bessel de orden
π α , J 'π α ( x).
Las anteriores expresiones corresponden al modo TE11 de una guía sectorial de
ángulo α. Este es el modo dominante de la guía sectorial para ángulos del sector
α>
π
3
. Para ángulos iguales o menores que
π
3
el modo dominante de la guía es el TE01. Por
tanto la teoría que aquí presentamos es válida hasta un máximo de cinco ranuras por piso.
Si sustituimos (2.8) y (2.9) en (2.7) se obtiene
1
1
ab k cl 4
⎛ πΦ ⎞
⎛ πα ' ⎞
× sin⎜
R=−j V
⎟ sin c⎜ 1 ⎟ S (k zl b)
1
2
2
2
2 k zl α ⎡
⎝ α ⎠
⎝ 2α ⎠
⎤
2 ⎛π ⎞
⎢ x'11 −⎜ ⎟ ⎥
⎝ α ⎠ ⎦⎥
⎣⎢
2
(2.10)
donde (ver figura 2-l) α' es el ángulo entre el centro de la ranura y el centro de la guía
sectorial, Φ1 es el arco subtendido por la apertura interior de la ranura, es decir, Φ 1 =
a
,y
ri
S ( k zl b) es la siguiente función
⎛k b π ⎞
⎛k b π ⎞
S (k zl b) = sin c⎜ zl + ⎟ + sin c⎜ zl − ⎟
2⎠
2⎠
⎝ 2
⎝ 2
(2.11)
Es evidente que el coeficiente de reflexión provocado por la ranura en resonancia
debe ser real pues su circuito equivalente es una conductancia. Por ello el factor -j de la
ecuación (2.10) debe interpretarse, como indican Collin (8) y Silver (9), como un desfasaje
de 90º existente entre la tensión eficaz en la ranura V y la tensión de la onda reflejada R.
Teniendo esto en cuenta y utilizando (2.10) en (2.6) se obtiene la expresión de la
conductancia normalizada en resonancia
Y
g = 2ab 0
Grj
⎛ k cl 2
⎜
⎜k
⎝ zl
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⎛ πΦ i ⎞ 2
⎛ πα ' ⎞
sin 2 ⎜
⎟ S (k zl b)
⎟ sin c⎜
⎡ 2 ⎛π ⎞ ⎤
⎝ α ⎠
⎝ 2α ⎠
α ⎢ x'11 −⎜ ⎟ ⎥
⎝ α ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
1
2
(2.12)
34
Como vemos en la expresión teórica anterior la conductancia de la ranura puede
variarse cambiando el ángulo α', es decir, el desplazamiento angular de la ranura respecto al
centro de la guía, tal y como se había intuido cualitativamente.
Para poder manejar la expresión (2.12) se necesita calcular Grj, que, recordemos, es
la conductancia presentada por la guía stub en la apertura interior a la frecuencia de
resonancia. Y ésta es la conductancia vista en la abertura exterior (conductancia de
radiación) trasladada a la apertura interior a lo largo de la guía stub para tener en cuenta el
espesor de la pared de la guía en la que está cortada la ranura.
35
2.3. CÁLCULO DE LA CONDUCTANCIA DE RADIACIÓN.
El cálculo de la conductancia de radiación de ranuras sobre superficies cilíndricas fue
realizado por primera vez por Wait (10) y (ll). El método que utiliza se basa en el cálculo de la
potencia total radiada. De esta forma la conductancia de radiación se obtendrá dividiendo esta
potencia por la tensión eficaz al cuadrado. Dado que aquí se utiliza una expresión distinta del campo
en la apertura veamos el procedimiento a seguir con esta expresión.
El campo que suponemos en la apertura es el de la ecuación (2.l) que puede aproximarse
por la (l.15). Como se vio en el Capítulo 1 el campo de radiación vendrá dado por las expresiones
(l.23).
La densidad de potencia en la zona de radiación vendrá dada por el valor medio del vector
de Poynting que si suponemos amplitudes eficaces será
(
)
S med = Re E × H *
(2.13)
En la zona de radiación solo tiene componente r cuya amplitud eficaz vendrá dada por
S rmed =
1
η0
Eϕ Eϕ*
(2.14)
siendo η 0 = 120π la impedancia característica del vacío.
La potencia total radiada se obtendrá calculando el flujo del vector de Poynting sobre una
superficie esférica de radio infinito. Su expresión será
2
Prad =
π
2π
V 2 2ab e − jk0 r e jk0 r
η 0 θ ∫=0 ϕ∫=0 π 6 re 2
r2
1
⎛k b
⎞
cos⎜ 0 cos θ ⎟
⎝ 2
⎠ ×
2
⎛ k0b
⎞
1− ⎜
cos θ ⎟
⎝ 2
⎠
⎛ nΦ e ⎞
⎛ mΦ e
∈n ∈m ( j ) n (− j ) m cos nϕ cos mϕ sin c⎜
⎟ sin c⎜
⎝ 2 ⎠
⎝ 2
× ∑∑
( 2)
( 2)
H ' n (k 0 re sin θ ) H ' m (k 0 re sin θ ) *
m =0 n =0
∞
∞
[
× r 2 sin θdθdϕ
]
⎞
⎟
⎠×
(2.15)
36
Puede realizarse analíticamente la integración respecto de la variable φ sin mas que
tener en cuenta la ortogonalidad de cos(nϕ ) dada por
⎧0 m ≠ n
⎪
∫0 cos mϕ cos nϕdϕ = ⎨π m = n ≠ 0
⎪
⎩2π m = n = 0
2π
(2.16)
Con ello podemos expresar la conductancia de radiación como
Gr =
Prad
4ab
=
2
V
η 0π 5 re 2
π
∫
0
⎞
⎛k b
cos⎜ 0 cos θ ⎟
⎠
⎝ 2
2
⎞
⎛k b
1 − ⎜ 0 cos θ ⎟
⎠
⎝ 2
2
∞
×∑
m =0
⎛ mΦ e ⎞
∈m sin c⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ sin θdθ
( 2)
H ' m (k 0 re sin θ ) 2
(2.17 )
Una comparación entre esta expresión y la obtenida por Wait (10) muestra que la
diferencia entre ambas se debe a las distintas tensiones a las que están referidas. Vamos a
aclarar esta idea que es muy importante a la hora de manejar los resultados del cálculo de Gr
y de poner en consonancia los obtenidos por medio de las diferentes expresiones.
Como indica Harrington (ll) el circuito equivalente visto desde la guía de
alimentación de la ranura (en nuestro caso la guía rectangular stub equivalente a la misma)
es el de la figura 2-3. Si se supone que la forma del campo en la apertura es la misma que la
del modo fundamental de la guía, tal como se hace generalmente, la susceptancia B es nula.
La admitancia de radiación se calcula suponiendo una tensión V en la ranura. Si esta es
distinta que la del modo fundamental de la V0 la relación de transformación del
transformador ideal del circuito equivalente será
V2
n = 2
V0
2
(2.18)
37
Mientras que en el caso de que sea igual que la del modo fundamental será n = 1 y
se puede prescindir del transformador. Y esto es justamente lo que se ha hecho en esta
Tesis mientras que en el trabajo de Wait debe mantenerse el transformador con una relación
de transformación que debe ser
n2 =
(V a )2
⎛ 2 ⎞
V⎜ ⎟
⎝ ab ⎠
2
=
b
2a
(2.19)
De esta manera la admitancia vista desde la guía stub es la misma con ambos
métodos.
Debe añadirse que la expresión (2.17) proporciona más información que la obtenida
por Wait por cuanto que incluye la variación con la frecuencia, mientras que en la
expresión obtenida por el citado autor b =
λ
2
y el cálculo se realiza a una sola frecuencia.
Y además permite contemplar la influencia del ancho a de la ranura mientras que en el
mencionado trabajo a = 0 .
Por todo ello se decidió programar la expresión (2.17). El proceso seguido así como
organigramas y programas se recogen en el Apéndice III.
Presentamos aquí, en la figura 2-4 la variación de la conductancia de radiación en función de la
frecuencia y del ancho de las ranuras axiales que se han realizado para la comprobación experimental de
la teoría desarrollada. Estas ranuras fueron cortadas sobre un tubo conductor cilíndrico de 1,5 cm de radio
exterior, con una longitud de 1,5 cm y un ancho de 0,15 cm. Según la idea clásica la frecuencia de
resonancia de estas ranuras sería de 10 GHz por lo que se representa la conductancia de radiación
38
entre 8 y 11 GHz.
39
2.4. TRASLACIÓN DE LA CONDUCTANCIA DE RADIACIÓN A LA UNION GUÍA
SECTORIAL-GUÍA STUB.
El valor de la conductancia de radiación obtenido con la expresión (2.17) no debe utilizarse
directamente en (2.12) para obtener la conductancia normalizada de la ranura. Debemos trasladar el valor
obtenido en la apertura exterior a la apertura interior de la guía stub rectangular equivalente de la
ranura.
Sean Yrj la admitancia vista en la unión guía sectorial guía stub, Y0 a la admitancia del modo
dominante de la guía stub, γ la constante de propagación de dicho modo y t la longitud de la guía stub.
Con ello será
Yrj = Y0
Gr chγt + Y0 shγt
Y0 chγt + Gr shγt
(2.20)
y el valor de Grj a utilizar en (2.17) será la parte real de Yrj .
De acuerdo con las definiciones de γ e Y0 sus valores se calcularán con las expresiones (12)
2
⎧
π⎞
λ
⎛
2
⎪ j k − ⎜ ⎟ si b >
2
⎪⎪
⎝b⎠
γ =⎨
2
⎪ ⎛π ⎞
λ
2
⎪ ⎜ b ⎟ − k si b < 2
⎪⎩ ⎝ ⎠
(2.21)
2
⎧1
λ ⎞
λ
⎛
⎪
1 − ⎜ ⎟ si b >
2
⎝ 2b ⎠
γ
⎪⎪η 0
Y0 =
=⎨
2
jωμ ⎪ 1
λ
⎛λ ⎞
⎜ ⎟ − 1 si b <
⎪
2
⎪⎩ jη 0 ⎝ 2b ⎠
Evidentemente a la frecuencia de corte de la guía stub ( b =
(2.22)
λ
2
) será γ = 0 y Por tanto (2.20)
nos indica que Yrj =Gr.
En cuanto al valor de t hemos tomado t = re − ri . Esta es la distancia radial entre las
superficies cilíndricas de apertura (interior y exterior). En realidad (2.20) nos relaciona las
40
admitancias no entre estas dos superficies cilíndricas sino entre los dos planos secantes a las
mismas comprendidos por la ranura. Cuanto más estrecha sea la ranura mejor será la
aproximación obtenida con (2.20).
Por otra parte el valor de la admitancia de radiación Yr = Gr + jBr no será Gr
más que a la frecuencia que podríamos llamar de resonancia exterior en la que Br = 0 .
Esta frecuencia no es la de resonancia global de la ranura para la que es aplicable (2.12).
Por tanto el valor de G rj obtenido estará afectado de error por cuanto en (2.20) no
consideramos la parte reactiva de la admitancia de radiación cuyo cálculo, aún no hemos
planteado.
41
2.5. COMPARACIÓN ENTRE LOS RESULTADOS TEÓRICOS Y EXPERIMENTALES
OBTE NIDOS.
En el Apéndice III puede verse el programa de ordenador que se ha desarrollado para
obtener los valores normalizados de la conductancia de la ranura utilizando la expresión
(2.12).
Como valores de los parámetros geométricos que intervienen en (2.12) se han
utilizado los mismos con los que se han construido los modelos experimentales. Estos
valores son: b = 1,5 cm; a = 0,15 cm; re = 1,5 cm; ri = 1,4 cm. Los dos últimos se han
tomado así por corresponder a las dimensiones de tubo de latón comercial. La longitud b se
ha tomado para que la frecuencia de resonancia clásica de la ranura de 10 GHz.
En las figuras 2-5 a 2-9 se representan los valores de g en función del
desplazamiento angular α' para ángulos de la guía sectorial α =
2π
con N = 1 hasta N = 5.
N
En ellas se ha admitido que la -frecuencia de resonancia es la de 10 GHz.
En la figura 2-10 se representa la conductancia normalizada que se obtendría
suponiendo que la frecuencia de resonancia variase de 8,5 a 11 GHz tomando como
parámetro el desplazamiento angular α ' para una guía sectorial de α = π ( N = 2). Los
valores dados de α ' (30º, 45º, 60º y 75°) son los que se han utilizado en los modelos
experimentales. En la misma figura se muestran los correspondientes valores experimentales de g. Puede observarse una buena coincidencia de los mismos con los que se
obtienen teóricamente para la frecuencia de resonancia clásica de 10 GHz.
Sin embargo la frecuencia de resonancia experimental no concuerda con el valor de
10 GHz observándose que varía entre 9 y 10 GHz en función de α'.
En resumen la teoría de Stevenson aplicada a nuestro nuevo me todo de excitación
de ranuras axiales sobre cilindro circular proporciona un modelo en resonancia de la misma
que predice muy aproximadamente el valor de la conductancia si se admite que la
frecuencia de resonancia es la clásica ( b =
λ
2
). Sin embargo experimentalmente se en-
cuentra que la frecuencia de resonancia es diferente y que incluso varía con la posición
angular α' de la ranura. En el caso de ser necesario un diseño cuidadoso es preciso encontrar
un modelo que permita determinar con precisión la frecuencia de resonancia de la ranura en
42
función de todos los parámetros geométricos del problema. A ello dedicamos el próximo
capítulo de esta Tesis.
43
44
45
46
47
48
BIBLIOGRAFÍA
(1)
A.F. Stevenson: “Theory of Slots in Rectangular Kaveguides”. Journal of Applied
Physics. Vol. 19, Jan. 1948, pp. 24-38.
(2)
R.E. Collin, P. J. Zuckeri: “Antenna Theory”. Part I, Mc Graw Hil 1969, pág. 603.
(3)
A.P. Stevenson: Op. Cit.
(4)
S. Silvert “Microwave Antenna Theory and Design”. Mc Graw Hill, 1949, Sec. 9-10,
pp. 287-291.
(5)
I.P. Kaminov, R. J. Stegen: “Waveguide Slot Array Design”. Hughes Aircraft Corp.
Technical Memorándum No. 348. 1954, Sec. 2.2.1. pp. 11-14.
(6)
S. Silver: Op. Cit., Sec. 9-11, pág. 294.
(7)
R.E. Collin, F. J. Zucker: Op. Cit., pp. 605-610.
(8)
R.E. Collin, P.J. Zucker: Op. Cit, pp. 609-610.
(9)
S. Silver: Op. Cit. pág. 294.
(10)
J.R. Waitt: “On the Conductance of Slots”. I..R..E. Transactions on Antenna and
Propagation, April 1956, pp. 124-127.
(11)
R.F. Harrington: “Time Harmonic Eleotromagnetic Fields”. Mc Graw Hill 1961, Sec. 812, pp. 428-431.
(12)
R.F. Harrington: Op. Cit., Sec. 4-3, pp. 148-152.
49
CAPÍTULO 3
ADMITANCIA DE UNA RANURA AXIAL EN GUÍA
SECTORIAL. MÉTODO VARIACIONAL DE OLINER.
50
3.1. INTRODUCCIÓN.
En el capítulo anterior se ha obtenido la conductancia de una ranura axial en
resonancia utilizando la teoría de Stevenson. Como se ha visto los resultados obtenidos son
muy limitados, en cuanto a sus posibilidades de aplicación al diseño de arrays, por cuanto
sólo se puede calcular la conductancia a la frecuencia de resonancia con la dificultad
adicional de que dicha frecuencia sólo puede obtenerse experimentalmente.
En consecuencia se ve la necesidad de poder predecir teóricamente la admitancia de
la ranura, al menos en una banda próxima a la resonancia, y ser capaces de predecir
teóricamente la frecuencia de resonancia. Estos datos son imprescindibles sobre todo para el
diseño de arrays resonantes de pocos elementos.
El método variacional desarrollado por Oliner (l) para las ranuras en guías
rectangulares nos permitirá obtener una expresión variacional de la admitancia de la ranura
axial. Utilizando la interpretación de que dicha expresión hace Yee (2) y calculando la
potencia reactiva en la guía en la forma indicada por Markov (3) obtendremos la expresión
variacional adecuada para nuestras guías sectoriales.
Dicha expresión ha sido programada en ordenador de forma que podrán compararse
los resultados teóricos con otros experimentales obtenidos por el autor en la forma que se
explica en el Capítulo 5. Como se vera el comportamiento de la teoría desarrollada se
compara favorablemente con los resultados experimentales.
51
3.2. EXPRESIÓN VARIACIONAL DE IA ADMITANCIA.
Oliner (l) obtiene la expresión variacional aplicando la condición de continuidad del
campo magnético a través de la apertura de la ranura, que se considera de momento de
espesor despreciable.
El campo eléctrico E que se supone en la apertura se hace equivalente a una
densidad superficial de corriente magnética en función de la cual, y utilizando la función
diádica de Green Ye para la región exterior, puede obtenerse el campo magnético en dicha
región como
He =
∫∫ (n × E )⋅ Y
e
dS
(3.1)
ranura
donde n n es la normal en la ranura hacia la región exterior.
Para el campo magnético en el interior de la guía Oliner utiliza la siguiente
expresión obtenida por Marcuvitz y Schwinger (4)
H i (r ) =
(
)
(1)
( 2)
1
1
( I 1 + I 2 ) K (r ) − j Y1 (V1 + V2 ) K (r ) − j ∫∫ n × E ⋅ BdS
2
2
ranura
(1)
donde K ( r ) y K
( 2)
(r ) son unas funciones vectoriales definidas por:
(1)
K (r ) = h1 ( ρ ) cos k zl z − j h zl ( ρ ) sin k zl z
K
( 2)
(3.2)
( r ) = h1 ( ρ ) sin k zl z + j h zl ( ρ ) cos k zl z
(3.3.a )
(3.3.b )
siendo h 1 ( ρ ) y h zl ( ρ ) las componentes transversal y axial del modo fundamental de la
guía de alimentación que para la guía sectorial valen, de acuerdo con el Apéndice II,
52
h1 ( ρ ) =
4
1
α ⎡
⎢(x'11 )
⎣⎢
⎡ ⎛ x' ⎞
⎛ x'
× ⎢− ⎜⎜ 11 ⎟⎟ J π α ⎜⎜ 11
⎝ ri
⎣ ⎝ ri ⎠
h zl ( ρ ) =
4
⎛π ⎞ ⎤
−⎜ ⎟ ⎥
⎝ α ⎠ ⎦⎥
2
2
⎢(x'11 )
⎢⎣
2 12
2
J π α ( x'11 )
⎞ ⎛π ⎞
⎛ x'
mπ 1
r ⎟⎟ cos⎜ ϕ ⎟a r +
J π α ⎜⎜ 11
α r
⎠ ⎝α ⎠
⎝ ri
1
α⎡
×
12
⎛π ⎞ ⎤
− ⎜ ⎟ ⎥ J π α ( x'11 )
⎝ α ⎠ ⎥⎦
⎞ ⎛π ⎞ ⎤
r ⎟⎟ sin ⎜ ϕ ⎟aϕ ⎥
⎠ ⎝α ⎠ ⎦
(3.4.a )
⎡⎛ x' ⎞ 2 1
⎛ x' ⎞ ⎛ π ⎞ ⎤
J π α ⎜⎜ 11 r ⎟⎟ cos⎜ ϕ ⎟a z ⎥
× ⎢⎜⎜ 11 ⎟⎟
⎢⎣⎝ ri ⎠ jk zl
⎝ ri ⎠ ⎝ α ⎠ ⎥⎦
(3.4.b)
2
⎛ x' ⎞
siendo: k = k − ⎜⎜ 11 ⎟⎟ .
⎝ ri ⎠
2
zl
2
Por otra parte I1, I2, V1 y V2 son las corrientes y tensiones del modo fundamental en dos
planos terminales arbitrarios situados lejos, y a la izquierda y derecha, de la ranura (z<<0 y z>>0).
Además Y1 es la admitancia característica del modo fundamental de la guía sectorial.
Finalmente B representa la parte imaginaria de la función diádica de Green en la guía de
alimentación. La función diádica que se utiliza es, evidentemente, la que permite obtener el
campo magnético en función de la densidad de corriente magnética.
La ecuación de continuidad del campo magnético puede pues escribirse como
(
)(
)
(1)
( 2)
1
1
( I 1 + I 2 ) K (r ) − j Y1 (V1 + V2 ) K (r ) − j ∫∫ n × E ⋅ Y e + j B dS
2
2
ranura
(3.5)
En nuestro caso, en que la ranura se comporta como un elemento en paralelo, la
aplicación de una excitación de tensión simétrica permite una bisección en circuito abierto
de la red como se indica en la figura 3-1.
53
En estas condiciones V = V1 = V2 ; I = I 1 = I 2 por lo que la ecuación (3.5) se
reduce a
− jY1V K
( 2)
(r ) =
∫∫ (n × E )⋅ K
( 2)
(3.6)
(r )dS
ranura
Por otra parte Marcuvitz y Schwinger (5) obtuvieron la siguiente expresión para la
discontinuidad de la corriente del modo fundamental de la guía producida por una apertura
en una de sus paredes
I 1 − I 2 = jY1
∫∫ (n × E )⋅ K
( 2)
(3.7 )
(r )dS
ranura
Esta expresión con nuestra excitación simétrica en tensión puede escribirse como
2 I = jY1
∫∫ (n × E )⋅ K
( 2)
(r )dS
(3.8)
ranura
Multiplicando (3.6) escalarmente por n × E e integrando a la ranura se obtiene
− 2VI =
∫∫ ∫∫ (n × E (r ))⋅ (Y
e
)(
)
+ j B ⋅ n × E (r ' ) dSdS '
(3.9)
ranura ranura
y dividiendo por el cuadrado de (3.8) se tiene
54
1
V
= = R + jX =
2I Y
∫∫ ∫∫ (n × E )⋅ (Y
e
)(
)
+ j B ⋅ n × E (r ' ) dSdS '
ranura ranura
⎡
⎤
( 2)
Y12 ⎢ ∫∫ n × E ⋅ K (r )dS ⎥
⎣ ranura
⎦
(
)
2
(3.10)
De esta expresión de la impedancia en paralelo presentada por la ranura se
obtiene su valor normalizado a la impedancia del modo fundamental en la guía de
alimentación dividiendo por dicha impedancia, es decir, por Z 1 =
Y1
R + jX
=
=
Z1
G + jB
∫∫ ∫∫ (n × E )⋅ (Y
e
)(
1
. Se obtiene
Y1
)
+ j B ⋅ n × E (r ' ) dSdS '
ranura ranura
⎡
⎤
( 2)
Y1 ⎢ ∫∫ n × E ⋅ K dS ⎥
⎣ ranura
⎦
(
)
2
∫∫ ∫∫ (n × E )⋅ Y ⋅ (n × E )dSdS '+ ∫∫ ∫∫ (n × E )⋅ B ⋅ (n × E )dSdS '
e
=
=
ranura ranura
Y1 N
ranura ranura
2
S
(3.11)
Los dos términos del numerador de la anterior expresión pueden interpretarse como
la suma de la potencia radiada más la potencia reactiva almacenada en la región exterior a
la ranura mas la potencia reactiva almacenada en la guía sectorial en las proximidades de la
ranura. Esta interpretación física, contenida ya en el trabajo de Oliner (6), permite diversas
posibilidades para el cálculo de cada uno de los términos.
Para tener en cuenta el espesor no nulo de la ranura es útil el método utilizado por
Yee (7). En definitiva la potencia radiada más la almacenada en la región exterior debe ser
igual a la amplitud eficaz al cuadrado de la tensión en la apertura multiplicada por la
admitancia vista en la misma. Trasladando esta admitancia desde la apertura exterior a la
interior, a lo largo de la línea de transmisión equivalente del modo fundamental en la ranura,
se tiene en cuenta el efecto del espesor de la misma. (Véase figura 3-2).
55
La expresión (3.ll) es una expresión variacional para la impedancia paralelo
presentada por la ranura como se demuestra en el trabajo de Das y Sanyal (8). En dicho
trabajo se obtiene la expresión (3.11) a partir del concepto de reacción que tal como indica
Harrington (9) es el procedimiento visual para obtener expresiones variacionales para la
impedancia. También Collin (10) propone un método para verificar el carácter variacional
de 3.11. Este carácter variacional permite asegurar la obtención de valores de la impedancia
con un orden de aproximación mejor que el que se utilice en la descripción del campo en la
apertura.
56
3.3. CÁLCULO DE N S2 .
Aún cuando Das y Sanyal (11) han mostrado que la elección de un campo en la
⎛b
⎞
apertura con una variación del tipo sin k ⎜ − z ⎟ conduce a resultados de mejor
⎝2
⎠
aproximación a los experimentales que los obtenidos con una variación del tipo cos
πz
b
seguiremos tomando como expresión del campo en la apertura el dado por la expresión
(l.15) aunque con tensión unidad. Esta elección la hacemos por ser de manejo más sencillo
el segundo tipo de función que el primero y porque los resultados obtenidos son
suficientemente aproximados a los experimentales.
Repetimos por comodidad la expresión del campo de apertura que vamos a utilizar
2
⎛ πz ⎞
cos⎜ ⎟aϕ
ab
⎝b⎠
E=
(3.12)
Por tanto será
n × E = a r × aϕ
2
2
⎛ πz ⎞
⎛ πz ⎞
cos⎜ ⎟ = a z
cos⎜ ⎟
ab
ab
⎝b⎠
⎝b⎠
(3.13)
y teniendo en cuenta (3.3.b) se tiene
K
( 2)
(
)
2
⎛ πz ⎞
⋅ n × E = jhzl cos(k zl z ) cos⎜ ⎟ ⋅
⎝ b ⎠ ab
(3.14)
por lo cual teniendo en cuenta el valor de hzl dado por (3.4.b), particularizado en la
apertura será
K
( 2)
(
⋅ n×E
)
ranura
⎛π ⎞
⎛ πz ⎞
= C cos⎜ ϕ ⎟ cos( k zl z ) cos⎜ ⎟
⎝α ⎠
⎝b⎠
(3.15)
donde hemos llamado
57
⎛ k c2
⎜⎜
⎝ k zl
⎞
⎟⎟
⎠
2 4
2 12
ab α ⎡
⎛π ⎞ ⎤
2
⎢(x'11 ) − ⎜ ⎟ ⎥
⎝ α ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
C=
(3.16)
En consecuencia, teniendo en cuenta (3.11) será:
⎛π ⎞
⎛ πz ⎞
N S = K ∫ ∫ cos⎜ ϕ ⎟ cos( k zl z ) cos⎜ ⎟ri dϕdz
⎝α ⎠
⎝b⎠
ϕ z
(3.17 )
y teniendo en cuenta los resultados
Φ
α
− −α ' + i
2
2
∫
α
Φ
−α ' − i
2
2
b
2
∫
b
−
2
α ' ⎞ ⎛ nΦ i ⎞
2α
⎛π
⎛π ⎞
cos⎜ ϕ ⎟dϕ =
cos⎜ − π ⎟ sin ⎜
⎟
π
α ⎠ ⎝ 2α ⎠
⎝2
⎝α ⎠
b
⎛ πz ⎞
cos⎜ ⎟ cos(k zl z )dz = S (k zl b)
2
⎝b⎠
(3.18)
(3.19)
donde hemos llamado
⎛ kzlb π ⎞
⎛ kzlb π ⎞
+ ⎟ + sin c⎜
− ⎟
S (k zl b) = sin c⎜
2⎠
2⎠
⎝ 2
⎝ 2
(3.20)
Se obtiene finalmente:
⎛ k cl2
N = 2⎜⎜
⎝ k zl
2
S
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎛ πΦ i ⎞
⎛ πα ' ⎞
sin c 2 ⎜
⎟ × S 2 (k zl b) sin 2 ⎜
⎟
⎝ α ⎠
⎝ 2α ⎠
⎛π ⎞ ⎤
−⎜ ⎟ ⎥
⎝ α ⎠ ⎦⎥
ba
⎡
α ⎢(x'11 )2
⎣⎢
2
(3.21)
En la situación de resonancia, en la que se cancela la energía reactiva en todo el
entorno de la ranura, la potencia radiada, con tensión eficaz unidad del campo en la apertura,
será Grj y de la expresión (3.11) con (3.2l) se obtiene
58
G Y1 N S2
2ab
=
= Y1
Y1
Grj
Grj
⎛ k cl2
⎜⎜
⎝ k zl
⎡
α ⎢(x'11 )2
⎢⎣
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎛ πΦ i ⎞
⎛ πα ' ⎞
sin c 2 ⎜
⎟ × S 2 (k zl b) sin 2 ⎜
⎟
⎝ α ⎠
⎝ 2α ⎠
⎛π ⎞ ⎤
−⎜ ⎟ ⎥
⎝ α ⎠ ⎥⎦
2
(3.22)
que coincide con el resultado obtenido por el método de Stevenson dado
por la ecuación (2.12).
59
3.4. CÁLCULO DE LA ADMITANCIA DE RADIACIÓN.
Para el cálculo de la potencia radiada y de la potencia reactiva almacenada en el
exterior de la ranura basta calcular la admitancia de radiación y multiplicarla por la tensión
eficaz al cuadrado del campo de apertura.
Debe recordarse que de acuerdo con la expresión (3.12) suponemos tensión eficaz
unidad en el campo de apertura.
Aún cuando ya se ha calculado la conductancia de radiación en el Capítulo 2 vamos
a utilizar ahora un procedimiento alternativo que permite la obtención también de la
componente reactiva de la admitancia de radiación.
Tal como indica Harrington (12) la conservación del flujo de la reacción permite
establecer una ecuación que puede interpretarse a la luz del circuito equivalente para la
apertura de la figura 3-2.
En él Y0 es la admitancia característica del modo fundamental de la guía-stub
equivalente de la ranura, B es la susceptancia debida a la energía reactiva de los posibles
modos superiores generados en la apertura, el transformador ideal permite tener en cuenta las
posibles diferencias de referencias de impedancias en la guía y la región exterior e Yr es la
admitancia de radiación definida como
Yr =
1
V2
∫∫ E × H ⋅ d S
(3.23)
ranura
en donde V es la tensión del campo que suponemos en la apertura E y H es el campo
magnético radiado particularizado en la apertura.
.
En nuestro caso, en que suponemos el campo en la apertura como el del modo
fundamental de la guía stub con tensión eficaz unidad, resultan B = 0 y n = 1 por lo que se
puede prescindir del transformador.
Admitiendo el campo en la apertura como el de la expresión (3.12), que podemos
60
reescribir como
E = Eϕ aϕ
con Eϕ =
2
⎛ πz ⎞
cos⎜ ⎟ , la admitancia de radiación será:
ab
⎝b⎠
Yr =
∫∫
Eϕ H z re dϕdz = re
Ap .ex .
∫∫ Eϕ H
z
dϕdz
(3.24)
Ap .ex .
Dado que en la superficie cilíndrica r = re es Eϕ = 0 salvo en la ranura, se puede
extender la integral anterior a todo el cilindro (que se considera indefinido en z). Utilizando
las definiciones de las transformadas cilíndricas directa e inversa de los campos (ecuaciones
1.1 y 1.2 del Capítulo l) se obtiene
2π
Yr = re ∫ dϕ
0
⎡ 1
∫ ⎢ 2π
z = −∞ ⎢
⎣
⎤
jk z z
∈
e
dk
z ⎥ H z dz =
∫ ϕ
m = −∞
⎥⎦
z = −∞
k z = −∞
0
∞
∞
∞
⎡ 1 2π
⎤
jmϕ k z z
= re ∑ ∫ ∈ϕ ⎢
ϕ
d
H
e
e
dz
⎥dk z =
z
∫ ∫
m = −∞ k z = −∞
⎣ 2π 0 z = −∞
⎦
2π
∞
∫ Eϕ H z dz = re ∫ dϕ
= re
∞
∞
∞
∑ e jmϕ
∞
∞
∑ ∫ ∈ϕ (m, k
m = −∞ k z = −∞
z
) X z (−m,−k z )dk z
(3.25)
donde Xz es la transformada de Hz.
Pero el campo Hz puede expresarse en función de las componentes tangenciales del campo
eléctrico en la apertura, es decir, de Eϕ . Como quiera que:
H = ∇ × A − jω ∈ F +
1
jωμ
∇⋅F =
∂Az
∂ 2 Fz
1 ∂Az
1 ∂ 2 Fz
1 ∂ 2 Fz
=−
ar +
a r − jω ∈ Fz a z +
ar +
aϕ +
az
∂γ
jωμ ∂r∂z
r ∂ϕ∂z
γ ∂ϕ
∂z 2
(3.26)
será
61
1 ∂ 2 Fz
1 1
H z = − jω ∈ Fz +
=
2
jωμ ∂z
jωμ 2π
×H
( 2)
m
(k
2
)
−k r e
2
z
jk z z
∞
∑e
jmϕ
m = −∞
∞
∫g
m
(k z )(k 2 − k z2 ) ×
−∞
(3.27 )
dk z
sin más que tener en cuenta (1.6):
Por otra parte, análogamente a (1.2), tendremos:
H z ( re , ϕ , z ) =
1
2π
∞
∑
m = −∞
e jmϕ
∞
∫X
z
(3.28)
(m, k z )e jk z z dk z
−∞
por lo que comparando (3.27) (con r = re ) con (3.28) será:
k 2 − k z2
X z (m, k z ) =
g m (k z ) H m( 2 )
jωμ
(k
2
− k z2 re
)
(3.29)
Dividiendo (3.29) por (1.10), teniendo en cuenta que f m (k z ) = 0 al no haber componente z
del campo eléctrico en la apertura, se puede definir una admitancia en el dominio de la transformada
cilíndrica de los campos como:
(
(
k 2 − k z2 H m( 2) k 2 − k z2 re
X z (m, k z )
Y (m, k z ) =
=−j
∈ϕ (m, k z )
kη 0
H ' (m2 ) k 2 − k z2 re
)
)
(3.30)
Como por otra parte es sencillo demostrar que X z (−m,−k z ) = X z (m, k z ) , se podrá
reescribir (3.25) en la forma:
Yr = re
∞
∞
m = −∞
−∞
∑ ∫ ∈ϕ (m, k
z
)Y (m, k z ) dk z
(3.31)
Teniendo en cuenta el valor de ∈ϕ ( m, k z ) obtenido en (1.18.b) que puede
reescribirse como
62
∈ϕ (m, k z ) =
1
4πre
⎛ mΦ e
2ab sin c⎜
⎝ 2
⎞
⎟ S (k z b )
⎠
(3.32)
por ser
⎛k b⎞
2b cos⎜ z ⎟
b
⎝ 2 ⎠
S (k z b ) =
2
⎡ ⎛ kzb ⎞2 ⎤
π ⎢1 − ⎜
⎟ ⎥
⎣⎢ ⎝ π ⎠ ⎦⎥
se obtiene finalmente:
ba
Yr =
8π 2 re
ba
=−j 2
8π re kη 0
∞
∫
−∞
∞
∞
∫ ∑ sin c
− ∞m = −∞
2
⎛ mΦ e ⎞ 2
⎜
⎟ S (k z b)Y (m, k z )dk z =
⎝ 2 ⎠
(
)
H m( 2) k 2 − k z2 re dk z
⎛ mΦ e ⎞ 2
2
2
∑ sin c ⎜⎝ 2 ⎟⎠S (k z b) k − k z × ( 2) 2 2
m = −∞
H 'm
k − k z re
∞
2
(
)
(3.33)
La expresión (3.33) ha sido referenciada por Stewart (13) y Fante (14). Su obtención
se presenta aquí por razones de complitud.
La integración de la expresión (3.33) no puede realizarse analíticamente en general.
Stewart (13) obtuvo una aproximación analítica de la expresión de la admitancia mutua entre
dos ranuras que sólo es valida para valores del radio del cilindro grandes comparados con la
longitud de onda. Sin embargo la expresión si puede integrarse numéricamente eligiendo
adecuadamente la trayectoria de integración en el plano complejo kz que se verifique la
condición de radiación.
En el Apéndice IV se describe con detalle todo el proceso de integración así como el
programa de ordenador utilizado.
Una vez obtenida la admitancia de radiación vista desde la apertura exterior de la
ranura hay que trasladarla, a lo largo de la guía stub equivalente de la ranura, a la apertura
interior de la misma para utilizarla en la expresión (3.11). El procedimiento a utilizar es
exactamente el mismo que se describe en el Capítulo 2 sin más que sustituir Gr por Yr en
63
la expresión (2.20).
En la figura 3-3 se representa la admitancia de radiación en función de la frecuencia
para las dimensiones de las ranuras que se han utilizado en las medidas experimentales.
Como se ve la conductancia concuerda bien con la obtenida en el Capítulo 2. También se
representa la admitancia vista en la apertura interior. Como se puede apreciar el efecto del
espesor de la ranura afecta poco a la conductancia de radiación pero altera la frecuencia de
resonancia exterior.
64
65
3.5. CÁLCULO DE IA POTENCIA REACTIVA EN LA GUIA SECTORIAL.
Aún cuando el procedimiento general de cálculo pasaría por el cálculo de la
función diádica de Green B , tal como hace Yee (15) para la guía rectangular, aquí vamos a
seguir el procedimiento de Markov (16) tal como lo utilizan Prassad y Das (l7).
La razón fundamental de dicha elección es que, con este último método, el
cálculo se concreta a la ranura axial mientras que con el primero la función diádica permite
el cálculo para cualquier tipo de ranura. Lógicamente el trabajo de cálculo es mayor en este
último caso.
En líneas generales el procedimiento consiste en obtener el potencial vector
eléctrico F en la guía en función de la densidad superficial de corriente magnética M
equivalente del campo eléctrico en la apertura. Una vez obtenido el potencial vector puede
calcularse el campo magnético y conocido este calcular la energía reactiva.
3.5.1. Cálculo del potencial vector eléctrico.
El potencial vector eléctrico creado por una densidad de corriente M debe
satisfacer la ecuación
(3.34 )
∇ 2 F + k 2 F = −M
En efecto supuesta la existencia iónica de fuentes magnéticas del campo las
ecuaciones de Maxwell son (18)
(3.35.a )
∇ × E = − jωμ H − M
(3.35.b )
∇ × H = jω e E
y está definido el potencial vector eléctrico por
(3.36.a )
E = −∇ × F
H = − jω ∈ F +
1
jωμ
(
∇ ∇⋅F
)
(3.36.b )
66
Utilizando (3.35) y (3.36) y eligiendo F de forma que ∇ ⋅ F = 0 se obtiene (3.34).
En nuestra ranura social la densidad de corriente es superficial y tiene solamente
componente z por lo que reducimos la ecuación (3.34) a
(3.37 )
∇ 2 Fz + k 2 Fz = − M z
que debemos resolver en la geometría de nuestras guías sectoriales con las condiciones de
contorno apropiadas para el potencial vector eléctrico. Estas condiciones de contorno se
obtienen fácilmente a partir de las condiciones de contorno del campo eléctrico en la guía.
En efecto, desarrollando (3.36) podremos escribir, utilizando coordenadas cilíndricas
a r raϕ a z
E=−
∂F
1 ∂ ∂ ∂
1 ∂Fz
=−
a r + z aϕ
∂r
r ∂r ∂ϕ ∂z
r ∂ϕ
0
0
(3.38)
FZ
de la que tendremos
Er = −
Eϕ =
1 ∂Fz
r ∂ϕ
∂Fz
∂r
(3.39.a )
(3.39.b )
Como sabemos, E r debe ser cero en ϕ = 0 y ϕ = α , por lo que
∂Fz
=0
∂ϕ
para
⎧ϕ = 0
⎨
⎩ϕ = α
(3.40)
y además Eϕ debe ser cero r = 0 y r = ri , por lo que
∂Fz
=0
∂r
para
⎧r = 0
⎨
⎩r = ri
(3.41)
Por tanto, (3.40) y (3.41) son las condiciones de contorno que debe satisfacer
nuestro potencial vector eléctrico.
Utilizando el método de separación de variables puede escribirse la solución de
67
(3.37) como
Fz = R(r ) ⋅ F (ϕ ) ⋅ Z ( z )
(3.42)
y, teniendo en cuenta (3.40) y (3.41) se obtienen:
⎛ mπ ⎞
F (ϕ ) = ∑ bm cos⎜
ϕ⎟
⎝ α ⎠
m
(3.43.a )
⎞
r ⎟⎟
⎠
(3.43.b )
⎛ x' mp
R(r ) = ∑ Amp J mπ ⎜⎜
ri
m, p
α ⎝
pudiéndose escribir Z(z) en la forma:
∞
Z ( z) =
∫ g (ζ )e
− jζ z
dζ
(3.43.c )
−∞
por lo que (3.42) podrá ponerse como
Fz = ∑
m
∞
∑∫
p −∞
⎛ x' mp
Amp (ζ ) J mπ ⎜⎜
ri
α ⎝
⎞ ⎛ mπ ⎞ − jζz
r ⎟⎟ cos⎜
ϕ ⎟e dζ
⎠ ⎝ α ⎠
(3.44)
Ahora bien, sustituyendo (3.44) en (3.37) se obtiene:
∞
∑ ∑∫
m
p −∞
⎛ x' mp
Amp (ζ ) J mπ ⎜⎜
ri
α ⎝
2
⎤
⎞ ⎛ mπ ⎞ − jζz ⎡ 2 ⎛ x mp ⎞
⎟⎟ − ζ 2 ⎥ dζ = − M z
r ⎟⎟ cos⎜
ϕ ⎟e × ⎢k − ⎜⎜
⎢⎣
⎥⎦
⎝ ri ⎠
⎠ ⎝ α ⎠
(3.45)
ecuación que expresa la excitación de corriente en función de las autofunciones
adecuadas del problema, que son aquellas en función de las cuales expresamos el
potencial vector eléctrico en la ecuación (3.44).
Para obtener los coeficientes Amp (ζ ) desconocidos basta con obtener la
transformada de Fourier inversa de (3.45). Para ello se multiplican los dos miembros de
(3.45) por los complejos conjugados de las autofunciones y se integra a todo el volumen
de la guía. Tendremos:
68
∞
∫ ∑ ∑∫
V
m
p −∞
⎛ x' mp
⎛ mπ ⎞ ⎛ m' π ⎞
Amp (ζ ) cos⎜
ϕ ⎟ cos⎜
ϕ ⎟ J mπ ⎜⎜
⎝ α ⎠ ⎝ α
⎠ α ⎝ ri
⎞
⎛ x' m ' p '
r ⎟⎟ × J m 'π ⎜⎜
ri
⎠
α ⎝
2
⎡
⎤
⎛ x mp ⎞
⎛ x' m ' p '
m' π ⎞
2
⎟⎟ − ζ 2 ⎥ rdϕdzdr = − ∫ M z cos⎛⎜
⎢k − ⎜⎜
ϕ ⎟ J m 'π ⎜⎜
⎝ α
⎠ α ⎝ ri
⎢⎣
⎥⎦
⎝ ri ⎠
V
⎞
r ⎟⎟e − jζze e jζz dζ
⎠
⎞
r ⎟⎟e jζz rdϕdzdr
⎠
(3.46)
Teniendo en cuenta ahora que:
α
∫
ϕ =0
ri
∫
r =0
⎛ x' mp
J mπ ⎜⎜
ri
α ⎝
⎧0 m' ≠ m
⎪
⎛ mπ ⎞ ⎛ m' π ⎞
ϕ ⎟ cos⎜
ϕ ⎟dϕ = ⎨ α
cos⎜
⎝ α ⎠ ⎝ α ⎠
⎪∈ m' = m
⎩ m
⎛ x' m ' p '
⎞
r ⎟⎟ J m 'π ⎜⎜
⎠ α ⎝ ri
(3.47 )
⎧0 m' ≠ m
⎪⎪
⎞
2
2
r ⎟⎟rdr = ⎨ 1 ⎛ r ⎞ ⎡
⎛ mπ ⎞ ⎤ 2
2
i
⎟
⎜
(
)
x
'
−
⎜
⎟ ⎥ J mπ (x' mp )
⎢ mp
⎠
⎪ ⎜
⎝ α ⎠ ⎥⎦ α
⎪⎩ 2 ⎝ x' mp ⎟⎠ ⎢⎣
∞
∫
e − jz (ζ −ζ ' ) dz = 2πδ (ζ − ζ ')
m' = m
(3.48)
(3.49)
z = −∞
tendremos que (3.46) podrá escribirse como:
∞
∫
−∞
2
⎡
α 1 ⎛⎜ ri ⎞⎟ ⎡
⎛ m' π ⎞ ⎤
2
(
× J m2 'π (x' m ' p ' )⎢k 2
Am ' p ' (ζ )
x' m ' p ' ) − ⎜
⎟
⎢
⎥
∈m ' 2 ⎜⎝ x' m ' p ' ⎟⎠ ⎣⎢
⎝ α ⎠ ⎦⎥
⎢
α
2
⎣
2
α 1 ⎛⎜ ri ⎞⎟ ⎡
⎛ m' π ⎞
2
(
= Am ' p ' (ζ ' )
x' m ' p ' ) − ⎜
⎟
⎢
∈m ' 2 ⎜⎝ x' m ' p ' ⎟⎠ ⎢⎣
⎝ α ⎠
2
⎛ x mp
− ⎜⎜
⎝ ri
2
⎤
⎞
⎟⎟ − ζ 2 ⎥ ⋅ 2πδ (ζ − ζ ')dζ =
⎥⎦
⎠
2
⎡
⎤
⎤
⎛ x mp ⎞
2
2
⎟⎟ − ζ 2 ⎥ ⋅ 2π =
⎥ × J m 'π (x' m ' p ' )⎢k − ⎜⎜
⎢⎣
⎥⎦
⎥⎦
⎝ ri ⎠
α
⎛ x' m ' p '
⎛ m' π ⎞
= ∫ M z cos⎜
ϕ ⎟ × J m 'π ⎜⎜
ri
⎝ α
⎠
V
α ⎝
⎞
r ⎟⎟e jζz rdϕdzdr
⎠
(3.50)
de la que obtenemos el valor de Amp (ζ ) buscado, que resulta:
Amp (ζ ) =
1
2π
⎛ x' mp
⎛ mπ ⎞
ϕ ⎟ × J mπ ⎜⎜
M z cos⎜
ri
⎝ α ⎠
α ⎝
α ⎛⎜ ri
2 ∈m ⎜⎝ x' mp
2
⎞
r ⎟⎟e jζz dV
⎠
2
⎤
⎞ ⎡
2
⎟ ⎢(x' mp )2 − ⎛⎜ mπ ⎞⎟ ⎥ × J m2 π (x' mp ) ζ 2 + γ mp
⎟ ⎢
⎝ α ⎠ ⎥⎦
α
⎠ ⎣
[
]
(3.51)
69
donde hemos llamado γ
2
mp
⎛ x mp
= ⎜⎜
⎝ ri
2
⎞
⎟⎟ − k 2 .
⎠
Finalmente, sustituyendo (3.51) en (3.44) tendremos:
Fz = ∑
m
×
1
2π
∞
∑∫
p −∞
⎛ x' mp
J mπ ⎜⎜
ri
α ⎝
⎞ ⎛ mπ ⎞ − jζz
r ⎟⎟ cos⎜
ϕ ⎟e dζ ×
⎠ ⎝ α ⎠
⎛ x' mp ⎞ jζz '
⎛ mπ ⎞
M z cos⎜
ϕ ' ⎟ × J mπ ⎜⎜
r ' ⎟⎟e dV '
r
⎝ α
⎠
i
⎠
α ⎝
2
2
α ⎛⎜ ri ⎞⎟ ⎡
⎛ mπ ⎞ ⎤ 2
2
2
2
(
x' mp ) − ⎜
⎟ ⎥ J mπ (x' mp ) ζ + γ mp
⎢
⎜
⎟
2 ∈m ⎝ x' mp ⎠ ⎢⎣
⎝ α ⎠ ⎥⎦ α
∫
[
V'
]
(3.52)
y, teniendo en cuenta que:
π −γ mp z − z '
e − jζ ( z − z ' )
∫−∞ζ 2 + γ mp2 dζ = γ mp e
∞
será:
Fz = ∑
m
1 ∈m ⎛ x' mp
⎜
γ mp α ⎜⎝ ri
2
⎛ x' mp
J mπ ⎜⎜
ri
α ⎝
⎞
⎟⎟
⎠ ⎡
2
⎢(x' mp )
⎣⎢
⎞ ⎛ mπ ⎞
ϕ⎟
r ⎟⎟ cos⎜
⎠ ⎝ α ⎠ ×
2
⎛ mπ ⎞ ⎤ 2
−⎜
⎟ ⎥ J mπ (x' mp )
⎝ α ⎠ ⎦⎥ α
⎛ x' mp ⎞ −γ mp z − z '
⎛ mπ ⎞
ϕ ' ⎟ J mπ ⎜⎜
r ' ⎟⎟e
r ' dr ' dϕ ' dz '
× ∫ M z cos⎜
⎝ α
⎠ α ⎝ ri
⎠
V'
(3.54)
La contribución al potencial vector eléctrico del modo mp se calculará como:
α
Fzmp
+α ' +
ϕi
z
⎡ −γ mp z z
⎤
⎛ mπ ⎞
−γ z '
γ mp z '
γ mp z
ϕ ' ⎟ri dϕ ' ⎢e
M z e dz '+ e
M z e mp dz '⎥
= K 1 ∫ cos⎜
∫
∫
⎝ α
⎠
ϕ
α
−∞
−∞
⎣
⎦
+α ' − i
2
2
2
(3.55)
2
Donde se ha llamado
70
K1 =
1 ⎛ x' mp
⎜
γ mp ⎜⎝ ri
2
⎞ ∈m
⎟⎟
⎠ α ⎡
2
⎢(x' mp )
⎢⎣
⎛ x' mp
⎛ mπ ⎞
ϕ ⎟ J mπ ⎜⎜
cos⎜
⎝ α ⎠ α ⎝ ri
1
2
J mπ (x' mp )
⎛ mπ ⎞ ⎤
−⎜
⎟ ⎥
α
⎝ α ⎠ ⎥⎦
⎞
r ⎟⎟
⎠
(3.56)
y se ha tenido en cuenta el hecho de que la densidad de corriente magnética es
superficial.
Al ser:
Mz =
2
⎛ πz ⎞
cos⎜ ⎟
ab
⎝b⎠
z <
b
2
(3.57 )
y teniendo en cuenta que:
e
−γ mp z
b
2
2
⎛ πz ' ⎞ γ z '
γ z
cos⎜ ⎟e mp dz '+e mp ∫
ab
⎝ b ⎠
z
z
∫
b
2
−
2
ab
=
γ
2
mp
2
⎛ πz ' ⎞ −γ z '
cos⎜ ⎟e mp dz ' =
ab
⎝ b ⎠
b
⎡
⎤
⎛ πz ⎞ 2π −γ mp 2
2γ mp cos⎜ ⎟ +
e
chγ mp z ⎥
2 ⎢
⎝b⎠ b
⎛π ⎞
⎦
+⎜ ⎟ ⎣
⎝b⎠
(3.58)
y que:
α
2
α
2
+α ' +
ϕi
2
⎛ mπ
∫ ϕ cos⎜⎝
+α ' −
i
α
⎞
⎠
⎡ mπ ⎛ α
⎛ mπ ϕ i ⎞
⎞⎤
⎟
⎜ + α ' ⎟⎥ sin c⎜
⎠⎦
⎝ α 2⎠
⎣ α ⎝2
ϕ ' ⎟ri dϕ ' = a cos ⎢
(3.59)
2
donde riϕ i = a , se obtiene
Fzmp
⎡ mπ ⎛ α
⎛ mπ ϕi ⎞
⎞⎤
= K1a cos⎢ ⎜ + α ' ⎟⎥ sinc⎜
⎟
⎠⎦
⎝ α 2⎠
⎣ α ⎝2
2
ab
b
⎡
⎤
⎛ πz ⎞ 2π −γ mp 2
+
2
γ
cos
e
ch
γ
z
⎜
⎟
⎢
⎥
mp
mp
2
⎝b⎠ b
⎛π ⎞ ⎣
⎦
2
γ mp + ⎜ ⎟
⎝b⎠
(3.60)
71
3.5.2. Cálculo del campo magnético en la guía.
La obtención del campo magnético es sencilla una vez obtenido el potencial vector
eléctrico. Basta utilizar (3.60) en (3.36.b) obteniéndose:
H zmp = − jω ∈ Fzmp +
⎡ mπ ⎛ α
∂2
⎛ mπ ϕ i ⎞
⎞⎤
=
+
cos
'
sin
F
K
a
α
c
⎜
⎟×
⎜
⎟
z
1
⎢
⎥
jωμ ∂z 2 mp
⎠⎦
⎝ α 2⎠
⎣ α ⎝2
1
2
ab
×
γ
2
mp
2
b
⎛ γ mp
1 π −γ mp 2
⎛ πz ⎞⎛⎜ 2 ⎛ π ⎞ ⎞⎟
2
⎜
cos⎜ ⎟ k − ⎜ ⎟ +
e
chγ mp z k 2 + γ mp
2 ⎜
⎜
⎟
⎝ b ⎠⎝
⎝ b ⎠ ⎠ jωμ b
⎛ π ⎞ jωμ
+⎜ ⎟ ⎝
⎝b⎠
(
⎞
)⎟⎟
⎠
(3.61)
3.5.3. Cálculo de la potencia reactiva.
Para cada modo mp esta será, por definición,
Pmp = − ∫ H mp ⋅ M dV
(3.62)
V
y al solo tener corrientes magnéticas superficiales en la ranura
Pmp = −
∫∫
H mp ⋅ M dS
(3.63)
apertura
inf erior
Por tanto basta sustituir (3.6l) y (3.57) en (3.63) para obtener
Pmp
⎛ x' mp
= ⎜⎜
⎝ ri
⎞
⎟⎟
⎠
2
∈m a
2
⎡
⎛ mπ ⎞ ⎤
α ⎢(x' mp )2 − ⎜
⎟ ⎥
⎝ α ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
cos 2
mπ ⎛ α
⎞
2 ⎛ mπ ϕ i ⎞
⎟W
⎜ + α ' ⎟ sin c ⎜
α ⎝2
⎠
⎝ α 2⎠
(3.64)
donde se ha llamado
72
⎡
⎤
2
2
⎛ π ⎞ ⎛⎜ x' mp ⎞⎟
⎢ k2 −⎛π ⎞
⎥
2
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟
−γ mp b
⎟
⎢
⎥
⎝ b ⎠ + ⎝ b ⎠ ⎝ ri ⎠ 1 + e
W = j⎢
⎥
2
2 2
γ
b
mp
⎞
⎛
⎢ 2 ⎛π ⎞
⎥
⎜ γ mp + ⎛⎜ π ⎞⎟ ⎟
⎢ γ mp + ⎜⎝ b ⎟⎠
⎥
⎜
⎝ b ⎠ ⎟⎠
⎝
⎣⎢
⎦⎥
(3.65)
Naturalmente en todos los modos superiores la constante de propagación es real,
por lo que W es imaginario puro y toda la energía es reactiva. No ocurre lo mismo con el
fundamental para el que, al ser la constante de propagación imaginaria, W será complejo.
Por tanto la energía reactiva total provocada por la presencia de la ranura en la guía será
P=
∑I
m
todos
los mod os
( Pmp )
(3.66)
73
3.6.
COMPARACIÓN
DE
LOS
RESULTADOS
TEÓRICOS
CON
LOS
EXPERIMENTALES.
Como se ha visto en los apartados anteriores la expresión variacional de la
admitancia presentada por la ranura a la guía sectorial viene dada por la expresión (3.11).
Los diversos términos de dicha expresión se calculan de acuerdo con las expresiones
(3.2l), (3.33) y (3.66).
Estas expresiones se han implementado en un programa de ordenador que
permite calcular la admitancia en función de la frecuencia y del ángulo α' de las ranuras
para guías sectoriales semicirculares de alimentación. Este programa junto con las
subrutinas que necesita se presentan en el Apéndice IV.
Al objeto de verificar experimentalmente la teoría se han realizado ranuras
axiales sobre guía circular en banda X. En el Capítulo 5 se estudia el método de medida
utilizado para la determinación experimental de la admitancia de dichas ranuras.
El programa se ejecutó con las dimensiones geométricas de las ranuras que se
habían medido experimentalmente. Los resultados obtenidos se representan gráficamente
en las figuras 3-4, 3-5, 3-6 y 3-7 que pasamos a comentar.
En la figura 3-4 se representan la parte real y la imaginaria de la admitancia de
una ranura de longitud 1,5 cm, ancho 1,5 mm y α' = 30º sobre una guía semicircular de radio
1,4 cm, con un espesor de la pared curva 1 mm. La admitancia se representa en el margen
de frecuencias entre 9,1 y 10,0 GHz. Junto con los valores teóricos obtenidos se representan
los resultados experimentales. Como puede observarse la concordancia de la parte
imaginaria es muy buena siendo aceptable la concordancia de la parte real.
74
75
76
La figura 3-5 muestra los resultados obtenidos para la ranura de α' = 45° y las
mismas dimensiones que la anterior. La concordancia de la parte imaginaria resulta menor que
en la ranura de 30º siendo similar la concordancia de la parte real.
Para la ranura de α ' = 60º los resultados se representan en la figura 3-6. Al igual que
para la ranura anterior se observa que la frecuencia de resonancia teórica es un poco inferior a
la experimental y que el valor de pico de la parte real también resulta superior al
experimental.
Finalmente puede decirse otro tanto respecto a los resultados obtenidos, para la ranura
con α ' = 75º que se representan en la figura 3-7.
77
78
79
De los resultados obtenidos se deduce que en realidad las ranuras se comportan
como si fuesen mas cortas puesto que la frecuencia de resonancia es superior a la teórica.
Esta discrepancia proviene del hecho de que, debido al proceso de mecanización de las
mismas, las ranuras no son perfectamente rectangulares ya que tienen sus extremos
redondeados. Como indica Yee (19) esto puede tenerse en cuenta utilizando una de las
siguientes dos hipótesis: a) nuestra ranura resuena a la misma frecuencia que otra
rectangular del mismo ancho e igual área, b) de igual ancho e igual perímetro.
Con la hipótesis a) las ranuras equivalentes tendrían una longitud b = 1,4678 cm y
con la hipótesis b) serían de b = 1,4356 cm.
Se ha ejecutado el programa con los nuevos valores de b correspondientes a las
hipótesis a) y b).
Los resultados obtenidos se muestran en las figuras 3-8, 3-9, 3-10 y 3-11.
Estos resultados muestran que la hipótesis a conduce a una buena correlación en los
valores de la parte real y también, salvo en el caso de α '= 30º, de la parte imaginaria. La
hipótesis b conduce auna ranura equivalente excesivamente corta.
Con esta hipótesis la teoría predice la frecuencia de resonancia con una precisión del
2,15% para α' = 30º, y menor del 0,4% para los restantes valores de α. La precisión en la
determinación del valor de la conductancia en resonancia es del orden del 10%.
Estos resultados son aceptables si tenemos en cuenta que el ancho de las ranuras que
se miden es excesivamente grande (5,7°). La teoría desarrollada es más exacta cuanto menor
sea dicho ángulo. Puede afirmarse que utilizando un método de medida de mayor precisión
con ranuras más estrechas la concordancia entre teoría y experimento aumentaría.
La teoría es aún susceptible de mejora pues en realidad la hipótesis de campo que se
ha hecho en la apertura es muy simple. Además del modo fundamental de la guía stub
equivalente de la ranura debería tomarse en cuenta la contribución al campo de apertura
de los primeros modos superiores. Sus amplitudes relativas al fundamental podrían
calcularse utilizando el método de Rayleigh-Ritz (20). Sin embargo la labor de cálculo se
incrementa notablemente por lo que la teoría que hemos desarrollado representa un
compromiso entre sencillez y precisión.
80
81
82
83
84
BIBLIOGRAFÍA.
(1)
A. Oliner: “The Inmedance Properties of Narrow Radiating slots in the Broad Face of
Rectangular Waveguide. Part I - Theory. - Part II - Comparison with Measurement”.
I.R.E. Transactions on Antennas and Propagation, Jan. 1957, pp. 4-20.
(2)
H. Y. Yee: “Impedance of a Narrow Longitudinal Shnut Slot in a Slotted
Waveguide Array”. I.E.E.E. Transactions on Antennas and Propagation, Ju]y 1974,
pp. 589-592.
(3)
G. Harkov: “Antenas”. Progress Publishers, Moscú 1965, Chap. 7, pp 190-228.
(4)
N. Marouvitz, J. Schwinger: “0n the Representation of the Electric and Magnetic Fields Produced
by Currents and Discontinuities”. Journal of Applied Physics, Vol. 22, Nº. 6, June 1951, pp. 806819.
(5)
N. Marcuvitz, J. Schwinger: Op. Cit., Expresión 3.42b.
(6)
A.A. Oliner: Op. Cit.
(7)
H. Y. Yee: Op. Cit.
(8)
B. N. Das, G. S. Sanyal: “Network Parameters of a Waveguide Broad Wall Slot Radiador”.
Proc. I..E..E., Vol. 117, N1º 1, Jan 1970, pp. 41-44.
(9)
R.F. Harrington: “Time Harmonio Electromagnetic Fields”. Mc Graw Hill 1961, Chap 7.
(10)
R.E. Collin, P. J. Zucker: “Antenna Theory”. Mc Graw Hill 1969, Problem 14.7., Pag. 617.
(11)
B. N. Das, G.S. Sanyal: Op. Cit.
(12)
R. F. Harrington: Op. Cit., Sec. 8-12.
(13)
G.E. Stewart: “Mutual Admittance for Axial Slots on Large Cylinder”. I.E.E. Transactions on
Antennas and Propagation, Jan. 1971, pp. 120-122.
85
(14)
R.L. Fante: “Calculation of the Admittance Isolation and Radiation Pattern of Slots on an Infinite
Cylinder Covered by an Inhomogeneons Lossy Plasma”. Radio Science, Vol. 6, Nº. 3, pp.
421-428, March 1971.
(15)
H. Y. Yee: Op. Cit.
(16)
G. Markov: Op. Cit., Sec. 7-2, pp. 192-206.
(17)
S.M. Prassad, B.IJ. Das: “Studies on Waveguide-Fed Slot Antenna”. Proc. I.E.E.,
Vol. 120, Nº. 5, May 1973, pp. 539-540.
(18)
(19)
R.F. Harrington: Op. Cit., Tabla 3-1, pág. 98.
H. Y. Yee: Op. Cit.
86
CAPÍTULO 4
TRANSICIÓN COAXIAL-GUÍA SECTORIAL
87
4.1. INTRODUCCIÓN.
En este capítulo se presenta el análisis de la transición cable coaxial-guía sectorial
necesaria para la alimentación del tipo de antenas que hemos analizado en los capítulos
precedentes.
El problema de la sonda coaxial alimentadora de la guía rectangular fue analizado
rigurosamente por Collin (l). Harrington (2) obtuvo un método para determinar el circuito
equivalente de la transición entre un coaxial y una guía de sección arbitraria así como una
expresión variacional para la impedancia vista por el coaxial. Recientemente Deshpande y
Das (3) han utilizado el método de Harrington para el estudio de la transición entre un cable
coaxial y una guía circular.
En primer lugar vamos a aplicar el método a una guía sectorial arbitraria alimentada
en el plano central de su pared curva. El análisis puede extenderse fácilmente a una
configuración en la que la sonda se coloque en cualquier otro plano de la pared curva. Este
procedimiento se utiliza en las guías rectangulares para incrementar el ancho de banda (4)
y podría conducir a resultados similares en las guías sectoriales.
Al final del capítulo se analiza el caso especial de la guía semicircular en la que la
sonda se introduce radialmente en el plano central de la pared plana. Esta ha sido la
configuración que, por razones de simplicidad de ejecución mecánica, se ha utilizado para
realizar la transición.
Sin embargo las expresiones teóricas obtenidas no han sido verificadas
experimentalmente. Ello ha sido debido a que puede ajustarse experimentalmente la
transición variando la profundidad de la sonda y la posición del cortocircuito de la guía.
Los resultados así obtenidos son totalmente satisfactorios. Por tanto la verificación
experimental de la teoría desarrollada para estas transiciones se ha pospuesto a una fase
posterior del trabajo.
88
4.2. ANÁLISIS DE LA TRANSICIÓN.
Para poder realizar el análisis se idealiza la sonda de manera que se admite que es una
hoja metálica en lugar de un conductor cilíndrico. Además esta hoja tiene la forma de un
sector de corona circular.
En la figura 4-1 se muestra claramente la idealización geométrica que se hace de la
sonda. Si la sonda se considera conductora perfecta será equivalente a una densidad
superficial de corriente I que consideramos situada en la sección transversal z = 0 de la guía
sectorial. Si solo se propaga el modo fundamental de la guía sectorial el circuito equivalente
de la transición es el de la figura 4-2 en el que, de acuerdo con Harrington (2).
89
1
n = 2
I in
2
1
jX = 2
2 I in
⎛
⎞
⎜ ∫ J S ⋅ e0 dS ⎟
⎜
⎟
⎝ st
⎠
2
⎛
⎞
Z i ⎜⎜ ∫ J S ⋅ ei dS ⎟⎟
∑
i ≠0
⎝ st
⎠
(4.1)
2
(4.2)
donde Iin es la corriente de la sonda en el plano de referencia T (véase figura 4-l), e0 es el
campo eléctrico normalizado del modo fundamental de la guía sectorial, ei el campo
eléctrico normalizado de los modos superiores, Zi la impedancia de los modos y las
integrales se extienden a la sección transversal z = 0 de la guía sectorial.
La impedancia vista desde el coaxial se obtiene de la expresión
Zi = n2
Z +Z −
+ jX
Z+ +Z−
(4.3)
siendo Z+ y Z- las impedancias vistas a derecha e izquierda de z = 0 en la guía sectorial.
Normalmente a uno de los lados se coloca un cortocircuito a una cierta distancia L de
z = 0, mientras que el otro lado es el de alimentación a la guía sectorial que contiene la
antena. En condiciones de adaptación serán
90
Z + = Z0
Z − = jZ 0 tg (β 0 L )
(4.4)
siendo Z 0 la impedancia característica del modo fundamental de la guía sectorial y β 0 su
constante de propagación.
Sustituyendo (4.4) en (4.3) y normalizando respecto a la impedancia característica
del coaxial Z la impedancia normalizada de entrada será
Z in = rin + jxin =
n 2 Z 0 tg 2 β 0 L
n 2 Z 0 tgβ 0 L ⎞
1 ⎛
⎟
⎜
+
j
X
+
Z oc ⎜⎝
1 + tg 2 β 0 L ⎟⎠
Z oc 1 + tg 2 β 0 L
(
)
(4.5)
Todo el cálculo queda pues reducido a obtener n2 y X de las expresiones (4.l) y
(4.2).
91
4.3. DISTRIBUCIÓN DE CORRIENTE.
Para el cálculo de las expresiones variacionales (4.1) y (412) es necesario suponer la distribución
de corriente en la sonda. De acuerdo con la figura 4-3 la sonda se extiende desde r = ri hasta
r = ri − l teniendo un ancho d en r = ri y d' en r = ri − l .
Admitimos que la corriente tiene una distribución sinusoidal en r y uniforme en φ. Por
tanto será
I (r ) = I 0 sin k (r − ri + l )
r1 − l < r < ri
(4.6)
siendo I in = I 0 sin kl el valor de la corriente en el plano T .
La densidad superficial de corriente se obtendrá dividiendo la corriente total por el ancho, es
decir:
JS =
donde φi =
I 0 sin k (r − ri + l )
ar
rφ i
(4.7 )
d
.
ri
92
93
4.4. EXPRESIONES DE LA IMPEDANCIA DE ENTRADA.
Las expresiones normalizadas de las componentes transversales de los modos se
han deducido en el Apéndice II y pueden reescribirse como
2 ∈m
e
=
emp
⎡ mπ 1
⎛ x' mp
× ⎢a r
J mπ ⎜⎜
⎢⎣ α r α ⎝ ri
α
2
⎡
⎛ mπ ⎞ ⎤
2
⎟ ⎥
⎢(x' mp ) − ⎜
⎝ α ⎠ ⎦⎥
⎣⎢
1
J mπ (x' mp )
α
x' mp
⎞ ⎛ mπ ⎞
⎛ x' mp
r ⎟⎟ sin ⎜
ϕ ⎟ + aϕ
J mπ ⎜⎜
ri
ri
⎠ ⎝ α ⎠
α ⎝
m
emp
=
−
⎞ ⎛ mπ ⎞⎤
r ⎟⎟ cos⎜
ϕ ⎟⎥
⎠ ⎝ α ⎠⎥⎦
(4.8.a )
⎞ ⎛ mπ ⎞⎤
r ⎟⎟ cos⎜
ϕ ⎟⎥
⎠ ⎝ α ⎠⎦⎥
(4.8.b )
2 ∈m
α
x' mp J ⎛ mπ
⎞
+1 ⎟
⎜
⎝ α
⎠
⎡ x' mp
⎛ x' mp
J mπ ⎜⎜
× ⎢a r
ri
ri
α ⎝
⎣⎢
×
2
(x' ) ×
mp
⎞ ⎛ mπ ⎞
⎛ x' mp
mπ 1
r ⎟⎟ sin ⎜
ϕ ⎟ + aϕ
J mπ ⎜⎜
α r α ⎝ ri
⎠ ⎝ α ⎠
donde los superíndices e y m hacen referencia a modos TE y TM respectivamente.
El modo fundamental para las guías sectoriales de ángulo α =
2π
con N < 6 es el
N
TE11 por lo que el campo eléctrico normalizado de este modo será
4
e0 =
⎡ π 1 ⎛ x'11
J π ⎜⎜
× ⎢a r
⎣ α r α ⎝ ri
α
⎡
⎛π ⎞
2
⎢( x'11 ) − ⎜ ⎟
⎝α ⎠
⎢⎣
2
⎤
⎥
⎥⎦
1
×
2
J π (x'11 )
α
⎞ ⎛π ⎞
⎛ x'
x'
r ⎟⎟ sin ⎜ ϕ ⎟ + aϕ 11 J π ⎜⎜ 11
ri α ⎝ ri
⎠ ⎝α ⎠
⎞ ⎛ π ⎞⎤
r ⎟⎟ cos⎜ ϕ ⎟⎥
⎠ ⎝ α ⎠⎦
(4.9)
Por tanto, para el cálculo de n2, tendremos:
94
4
J S ⋅ e0 =
I 0 sin k (r − ri + e )
π 1 ⎛ x'11
α
J π ⎜⎜
1
rφi
r
α
r
2
2
α⎝ i
⎡
⎛π ⎞ ⎤
2
⎢( x'11 ) − ⎜ ⎟ ⎥ J π ( x'11 )
⎝ α ⎠ ⎦⎥
α
⎣⎢
=K
sin k (r − ri + e ) ⎛ x'11
J π ⎜⎜
r
r2
1
α⎝ i
⎞ ⎛π ⎞
r ⎟⎟ sin ⎜ ϕ ⎟
⎠ ⎝α ⎠
⎞ ⎛π ⎞
r ⎟⎟ sin ⎜ ϕ ⎟ =
⎠ ⎝α ⎠
(4.10)
donde hemos llamado
K1 =
I0
4
α
π
⎡
⎛π ⎞
φiα ⎢(x'11 )2 − ⎜ ⎟
⎝α ⎠
⎢⎣
2
⎤
⎥
⎥⎦
1
(4.11)
2
J π ( x'11 )
α
y con ello será:
α φi
∫∫
J S ⋅ e0 dS = K 1
st
+
ri
2
r =l
ϕ= −
2
∫ α∫ φ
2
i
sin k (r − ri + l ) ⎛ x'11
J π ⎜⎜
r
r2
α⎝ i
⎞ ⎛π ⎞
r ⎟⎟ sin ⎜ ϕ ⎟rdrdϕ
⎠ ⎝α ⎠
(4.12)
2
La integral en φ resulta:
α φi
2
+
⎛π
2
⎞
∫ sin⎜⎝ α ϕ ⎟⎠dϕ =
α φ
ϕ= −
2
i
⎛ πφ ⎞
⎛ πφ ⎞
sin⎜ i ⎟ = φi sin c⎜ i ⎟
π
⎝ 2α ⎠
⎝ 2α ⎠
2α
(4.13)
2
mientras que la integral en r es:
ri
∫
r =l
sin k (r − ri + l ) ⎛ x'11
J π ⎜⎜
r
r
α ⎝ i
⎞
r ⎟⎟dr
⎠
(4.14)
que no es integrable analíticamente, por lo que su valor debe obtenerse numéricamente.
Sustituyendo (4.14), (4.13) y (4.11) en (4.1) se obtiene:
n2 =
⎛ πφ ⎞
4π 2 sin c 2 ⎜ i ⎟
⎝ 2α ⎠
⎡
⎛π ⎞
α 3 sin 2 (4kl )⎢(x'11 )2 − ⎜ ⎟
⎝α ⎠
⎢⎣
2
⎤
⎥
⎥⎦
1
I r20
2
(4.15)
J π ( x'11 )
α
95
Para el cálculo de la reactancia X se tienen como funciones subintegrales J S ⋅ ei ,
cuyas expresiones son distintas para modos TE y TM.
Para los modos TE será:
2 ∈m mπ
⎛ x ' mp
I 0 sin k (r − ri + l )
1
α α
J S ⋅ ei =
J mπ ⎜⎜
1
rφ i
r α ⎝ ri
2
2
⎡
⎛ mπ ⎞ ⎤
2
⎟ ⎥ J mπ (x ' mp )
⎢(x' mp ) − ⎜
⎝ α ⎠ ⎦⎥
α
⎣⎢
⎞ ⎛ mπ ⎞
r ⎟⎟ sin ⎜
ϕ⎟
⎠ ⎝ α ⎠
(4.16)
mientras que para los TM:
2 ∈m
J S ⋅ ei = −
⎛ x' mp
I 0 sin k (r − ri + l )
α
J mπ ⎜⎜
rφ i
ri J ⎛ mπ ⎞ (x' mp ) α ⎝ ri
+1 ⎟
⎜
⎝ α
⎠
⎞ ⎛ mπ ⎞
r ⎟⎟ sin ⎜
ϕ⎟
⎠ ⎝ α ⎠
(4.17 )
Al realizar la integración en la sección transversal, las integrales resultantes en φ
son iguales para ambos tipos de modos, siendo:
α φi
2
+
2
⎛ mπ
∫ sin⎜⎝
α φ
2
−
α
i
⎞
⎠
ϕ ⎟dϕ =
2α
⎛ mπφi ⎞
⎛ mπφi ⎞
sin ⎜
⎟
⎟ = φi sin c⎜
mπ
⎝ 2α ⎠
⎝ 2α ⎠
(4.18)
2
Las integrales en r son:
I
e
rmp
=
ri
∫
r =l
I
m
rmp
=
ri
∫
r =l
⎛ x' mp
sin k (r − ri + l )
J mπ ⎜⎜
r
ri
α ⎝
⎞
r ⎟⎟dr
⎠
(4.19)
⎛ x' mp
sin k (r − ri + l )J mπ ⎜⎜
ri
α ⎝
⎞
r ⎟⎟dr
⎠
(4.20)
cuyo cálculo debe hacerse utilizando técnicas de integración numérica.
Sustituyendo (4.18), (4.19) y (4.20) en (4,2), se obtiene:
jX =
[ (
1
⎛ mπφi ⎞ e
e
sin c 2 ⎜
I remp
⎟ Z mp K mp
∑∑
2
2 sin kl m p
⎝ 2α ⎠
)
2
(
m
m m
+ Z mp
K mp
I rmp
)]
2
(4.21)
donde se ha llamado
96
2 ∈m mπ
e
K mp
=
α
α
2
⎡
⎛ mπ ⎞ ⎤
2
⎟ ⎥
⎢(x' mp ) − ⎜
⎝ α ⎠ ⎦⎥
⎣⎢
1
(4.22)
2
J mπ (x' mp )
α
2 ∈m
m
K mp
=
α
ri J ⎛ mπ
⎞
+1 ⎟
⎜
⎝ α
⎠
(x' )
(4.23)
mp
Sustituyendo (4.21) y (4.15) en (4.5) se obtiene la impedancia normalizada vista
por el coaxial de alimentación en el plano terminal de entrada a la guía sectorial.
97
4.5. GUÍA SEMICIRCULAR.
Para la realización de los modelos experimentales de la presente Tesis se ha elegido como guía
sectorial la semicircular (α = π ). Por facilidad de construcción mecánica se ha alterado la forma de
realizar la transición respecto a la estudiada en los apartados anteriores. En lugar de introducir la sonda
excitadora desde la pared curva de la guía se ha introducido desde la pared plana como se indica en la
figura 4-4. Esta configuración es razonable en la guía semicircular pero no en el resto de guías sectoriales.
Veamos como caracterizar teóricamente este tipo de transición.
Al igual que hemos hecho anteriormente idealizamos la sonda suponiéndola plana en lugar de
cilíndrica y con la forma que se indica en la figura 4-5. Si admitimos que la corriente tiene una
distribución sinusoidal en r y uniforme en φ será
I (r ) = I 0 sin k (l − r )
0 < r <1
(4.24)
donde I in = I 0 sin kl es la corriente a la entrada de la sonda. La densidad superficial de corriente en
la sonda vale pues
JS =
I 0 sin k (l − r )
ar
rφ1
(4.25)
98
siendo φ1 =
d
. Naturalmente la densidad superficial de corriente se hace infinita en r = 0 porque allí el
l
ancho de la sonda es nulo.
Desafortunadamente ello conduce a una serie para X en la que los términos correspondientes a
los modos TE01, TE02, etc., son integrales singulares en r = 0. Debemos hacer pues otra hipótesis acerca
de la distribución de la densidad superficial de corriente.
Siguiendo a Desphande y Das (3) tomaremos
JS =
siendo I in =
I 0 sin k (l − r )
ar
d
(4.26)
I 0 sin kl
.
d
Las expresiones normalizadas del campo eléctrico de los modos serán las (4.8)
con α = π . Por tanto, para el cálculo de n2, tendremos:
4
I 0 sin k (l − r )
1 ⎛ x'11
π
J 1 ⎜⎜
J S ⋅ e0 =
1
2
d
r
2
(x'11 ) − 1 J 1 (x'11 ) ⎝ ri
[
]
⎞
r ⎟⎟ sin ϕ
⎠
(4.27 )
99
Al integrar en la sección transversal tendremos una integral en φ:
α φi
2
+
⎛ φi ⎞
2
(4.28)
∫ sin ϕdϕ = 2 sin⎜⎝ 2 ⎟⎠
α φ
2
−
i
2
y otra integral en r:
l
I r0 =
∫
r =0
⎛ x'
sin k (l − r ) J 1 ⎜⎜ 11
⎝ ri
⎞
r ⎟⎟dr
⎠
(4.29)
Se obtiene pues:
n2 =
⎛φ ⎞
16 sin 2 ⎜ i ⎟
⎝2⎠
[
]
π ( x'11 ) − 1
2
1
2
J 1 ( x'11 )sin (kl )
2
(4.30)
I r20
En el cálculo de X tendremos para los modos TE:
2 ∈m
I sin k (l − r )
π
J S ⋅ el = 0
d
(x' mp )2 − m
[
m
1 ⎛ x' mp
J m ⎜⎜
1
r
2
⎝ ri
J m (x' mp )
]
⎞
r ⎟⎟ sin mϕ
⎠
(4.31)
mientras que para los TM:
2 ∈m
J S ⋅ ei =
⎛ x' mp
I 0 sin k (l − r )
π
J m ⎜⎜
d
ri J (m +1) (x' mp ) ⎝ ri
⎞
r ⎟⎟ sin mϕ
⎠
(4.32)
Al realizar la integración en la sección transversal las integrales en φ son iguales
para ambos tipos de modos, siendo:
α φi
2
+
2
⎛ mφi ⎞
⎛ mφ ⎞
⎟ = φi sin c⎜ i ⎟
2 ⎠
⎝ 2 ⎠
∫ sin (mϕ )dϕ = m sin⎜⎝
α φ
2
−
z
i
(4.33)
2
Las integrales en r son:
l
I
e
rmp
=
∫
r =0
⎛ x' mp
sin k (l − r )J m ⎜⎜
⎝ ri
⎞
r ⎟⎟dr
⎠
(4.34)
100
l
I
m
rmp
=
∫
r =0
⎛ x' mp
sin k (l − r )J m ⎜⎜
⎝ ri
⎞
r ⎟⎟rdr
⎠
(4.35)
cuyo cálculo debe hacerse utilizando técnicas de integración numérica.
Se obtiene para X:
⎛ mφ ⎞
sin 2 ⎜ i ⎟
2
⎝ 2 ⎠ Ze Ke Ie
jX =
∑∑
mp
mp rmp
2
sin kl m p
m2
[ (
)
2
(
m
m m
+ Z mp
K mp
I rmp
)]
2
(4.36)
donde hemos llamado
2 ∈m
e
=
K mp
[(x' )
2
mp
m
K mp
=
π
−m
−
2
m
]
1
2
J m (x' mp )
(4.37 )
2 ∈m
π
ri J (m +1) (x' mp )
(4.38)
Sustituyendo (4.36) y (4.30) en (4.5) se obtiene la impedancia normalizada vista
por el coaxial de alimentación en el plano terminal de entrada a la guía sectorial.
101
BIBLIOGRAFÍA.
(1)
R.E. Collin: “Field Theory of Guided Waves”. Mc Graw Hill 1960, Chap. 7, pp. 258-307.
(2)
R.F. Harrington: “Time Harmonic Electromagnetic Field”. Mc Graw Hill 1961, Chap.
8, pp. 381-440.
(3)
M.D. Deshpande, B.N. Das: “Input Impedance of Coaxial Line to Circular Waveguide
Feed”.
I.E.E.E. Trans. Microwave Theory and Techniques, Vol. MTT-25, Nº.11, Nov. 1977, pp.
954-957.
(4)
W.W. Mumford: “The Optimun Piston Position for Wide-Band Coaxial to Waveguide
Transducers”. Proc. I.R.E., Feb. 1953, pp. 256-261.
102
CAPÍTULO 5
MÉTODOS EXPERIMENTALES
103
5.1. INTRODUCCIÓN.
Este capítulo se dedica a la elección, valoración y diseño de un método experimental para la
verificación de las teorías desarrolladas en los capítulos 2 y 3 de la presente Tesis.
Comenzaremos estudiando algunos de los métodos de medida que pueden utilizarse haciendo
una crítica y valoración de los mismos. Se verán las razones que han llevado a la elección del método que
se ha adoptado. Se estudia a continuación la influencia de los diversos errores en los resultados obtenidos
de las medidas para pasar finalmente al diseño de los diversos elementos necesarios para la
instrumentalización del método.
Para realizar las medidas se ha elegido la banda X porque permite un tamaño razonable de los
diversos elementos a construir para el banco de medida y se dispone de instrumentación adecuada en esta
banda en el laboratorio. Como tipo de guía sectorial se ha elegido la semicircular por evidentes razones de
simplicidad mecánica en la construcción de los diversos elementos.
104
5.2. ELECCIÓN DEL MÉTODO DE MEDIDAS.
Se desea verificar experimentalmente los valores de la admitancia presentada por las ranuras axiales
a las guías sectoriales de alimentación. Por tanto las medidas a realizar son medidas de impedancia en
dichas guías sectoriales. Veamos algunas posibilidades.
5.2.1. Medidas con el analizador de redes.
Un primer procedimiento de medida se basaría en la utilización del analizador de redes de que
se dispone en el laboratorio. Las puertas de dicho medidor son coaxiales por lo que seria necesario realizar
dos transiciones coaxial-guía sectorial para poder hacer las medidas de las secciones de guía sectorial con
las ranuras axiales. Un diagrama de bloques de este banco de medida sería el de la figura 5-1.
El fundamento de la medida es el siguiente. Admítase que las transiciones son ideales en el
sentido de que presentan muy poca reflexión en la banda de frecuencias en la que se desea hacer la
medida. Si, como supone la teoría, la ranura se comporta como una admitancia paralelo
Y = G + jB sus parámetros S serán:
105
S11 = S 22
Y
2
=
Y
1+
2
−
S12 = S 21 =
1
Y
1+
2
(5.1)
(5.2)
Estas expresiones pueden obtenerse a partir de la tabla 11-11, con las ecuaciones 11.09-12 del
Ramo (1). En estas condiciones ideales es suficiente medir uno solo de los parámetros S siendo preferible
el de transmisión S12 ó S21. Dado que el módulo de S12 se obtiene en dB en el indicador del analizador de
redes se obtiene de (5.2) que
⎛ cos θ
⎞
G = 2⎜ S '12 − 1⎟
⎜
⎟
⎝ 10 20
⎠
B=
− 2 sin θ
10
S '12
(5.3)
(5.4)
20
donde S’12 es el módulo de S12 en dB y θ es su fase, es decir, que S12 = 10
S '12
20
e jθ .
Este procedimiento de medida fue utilizado en el laboratorio en un estudio no publicado sobre la
caracterización de ranuras axiales sobre coaxial excitadas por medio de sondas. Más recientemente ha sido
utilizado por Rao y Das (2) para la medida de la impedancia presentada por una ranura transversal en el
plano de masa de una línea strip.
En ambos casos pueden conseguirse transiciones muy buenas porque el cambio de
geometría no es muy drástico. Sin embargo en el caso de la guía sectorial la situación es radicalmente
diferente. Aunque el análisis teórico de la transición se ha realizado en el capítulo 4 las expresiones que se
obtienen son complicadas de manejar. Cuando se hayan programado se estará en condiciones de explorar
la posibilidad de diseño de una transición con un ancho de banda suficiente.
La experiencia existente en las transiciones coaxial-guía rectangular indica que la realización de
106
una transición en banda ancha puede conseguirse a costa de permitir una reflexión relativamente alta que
haría inviable este método de medida salvo que se caractericen cuidadosamente las transiciones y se
tengan en cuenta. Una buena transición se consigue solo en una banda relativamente estrecha. Cabe
esperar que estas conclusiones respecto a la guía rectangular sean extensibles a la guía semicircular.
Así pues las dificultades para el diseño de las transiciones adecuadas nos han obligado a
desechar este método de medida.
5.2.2. Medidas con línea ranurada y cortocircuito móvil.
Otro método alternativo de medir impedancias es utilizando una sección de guía ranurada para
medir la onda estacionaria. El banco generalmente utilizado para la realización de medidas de ranuras
radiantes es el descrito por Kaminov y Stegen (3) que puede verse en la figura 5-2. El procedimiento se
basa en posicionar el cortocircuito terminal de forma que presente un circuito abierto paralelo con la
ranura, si esta se comporta como un elemento paralelo, o un cortocircuito, si esta se comporta como un
elemento serie. De esta forma la impedancia medida con la línea ranurada es directamente la de la ranura
radiante.
107
La forma de proceder en la medida de nuestras ranuras axiales, que se comportan como un
elemento paralelo sería la siguiente. Se mueve el cortocircuito hasta que se detecta un nulo de radiación
en la bocina detectora que se sitúa frente a la ranura. En esta posición el cortocircuito móvil actúa
eléctricamente como un cortocircuito sobre la ranura impidiendo su radiación. Se mueve ahora el
cortocircuito hasta encontrar un nuevo nulo de radiación. La separación entre las dos posiciones debe ser
λg. En estas posiciones la onda estacionaria en la guía ranurada debe ser la correspondiente a un
cortocircuito y debe anotarse la posición de un mínimo de onda estacionaria. Se mueve de nuevo el
cortocircuito hasta situarle exactamente a la mitad entre las dos posiciones anteriores. Así actuara como un
circuito abierto en paralelo con la ranura. Se mide ahora la relación de onda estacionaria en la guía
ranurada así como la posición del mínimo. Con estos datos se calcula la admitancia que presenta la ranura
a la guía.
Este método es bastante preciso y se puede tener en cuenta la influencia sobre la medida de las
pérdidas en la guía y en el corto. Sin embargo no le hemos utilizado porque deseábamos tener una
información quizás no tan precisa y sí más sencilla de instrumentar. Y ello se ha conseguido con el método
de medida que describimos a continuación en el que nos evitamos la realización del cortocircuito móvil
así como del sistema de detección del nulo de radiación.
5.2.3. Medidas con línea ranurada y carga adaptada.
Con este método la sección de línea con la ranura radiante se termina con una carga adaptada. De
esta forma el circuito equivalente de la ranura axial en su plano central será la admitancia paralelo de la
misma en paralelo con la admitancia característica de la guía como se indica en la figura 5-3. Si Zm es la
impedancia normalizada que medimos, referida al plano central de la ranura, la admitancia normaliza, da de
la misma será
⎛ 1
⎞
− 1⎟⎟
Y = ⎜⎜
⎝ Zm
⎠
(5.5)
108
El banco de medida utilizado en banda X es el de la figura 5-4. El generador utilizado es el HP
620 A con salida coaxial tipo N, modulación interna de onda cuadrada de frecuencia variable y salida
variable con un atenuador calibrado. Para una determinación más precisa de la frecuencia se utiliza el
frecuencímetro de cavidad HP X532 B. La transición coaxial-guía sectorial ha sido realizada en el
laboratorio y tiene un cortocircuito móvil que permite ajustaría en el margen de frecuencias de medida.
Ahora, y a diferencia de lo que ocurría con el primer banco de medida descrito, la transición coaxial-guía
semicircular no tiene influencia en la medida. Simplemente debe ajustarse para que la transferencia de
potencia a la guía semicircular sea suficiente para el correcto funcionamiento de la sonda detectora. La
sección de guía sectorial ranurada también ha sido realizada en el laboratorio de forma que pueda
montarse en el carro deslizante HP 809B que permite la inserción y desplazamiento adecuados de la sonda
detectora. Como sonda detectora se ha utilizado la HP 444A cuya salida se lee en el medidor de onda
estacionaria HP 415E. Las secciones de guía sectorial con ranura, la carga adaptada y el cortocircuito
utilizado para establecer el plano de referencia en la sección central de la ranura han sido construidos en el
laboratorio en la forma que se explica en un apartado posterior en este capítulo.
109
110
5.3. ESTUDIO DE LOS ERRORES EN LAS MEDIDAS.
El procedimiento de medida con nuestra línea ranurada es totalmente convencional y deben
seguirse las precauciones habituales para obtener medidas fiables. Conviene destacar la necesidad de que
en las uniones de secciones sucesivas se procure la mejor alineación posible para que las discontinuidades
sean lo más pequeñas posible y evitar así reflexiones extrañas. Otro aspecto muy importante a tener en
cuenta es que la ranura radia. Por tanto debe procurársele un entorno de espacio libre a base de rodearla de
paneles de material absorbente. Para ver el procedimiento de medida se recomienda la lectura cuidadosa
de las instrucciones de manejo de carro 809-B (4) y del medidor de onda estacionaria HP 415 E
(5).
La medida de impedancia normalizada se realiza a través de la determinación del coeficiente de
onda estacionaria S y del cambio en la posición de un mínimo de onda estacionaria, al sustituir la carga a
medir por un cortocircuito en el plano de referencia de la medida.
La impedancia normalizada viene dada por la expresión
Zm =
donde X =
180Δd
λg
1 − jStgX
S − jtgX
(5.6)
.
2
siendo Δd el cambio en cm de la posición del mínimo, λg la longitud de onda en la guía a la
frecuencia de medida y S el coeficiente de onda estacionaria.
La admitancia de nuestra ranura será la indicada por la expresión 5.5.
(
)
(5.7 )
)
(5.8)
G=
S 1 + tg 2 X
−1
1 + S 2 tg 2 X
B=
tgX S 2 − 1
−1
1 + S 2 tg 2 X
(
111
Las fuentes de error en la medida son pues los errores en la determinación de S y los errores en la
determinación de X. Vamos a analizar la magnitud de estos errores en función de sus causas principales y
su influencia en la precisión de G y B.
Como S proviene de una medida directa en el indicador la precisión en su determinación
proviene de la precisión de la escala indicadora del apartado. Los valores de S que se han medido con las
diversas ranuras realizadas varían entre 1,1 y 2,2.
Estos valores pequeños de S se miden con mayor precisión utilizando la escala EXPAND del
medidor obteniéndose los valores en dB de 0,83 y 6,85 respectivamente. Admitiendo como error
absoluto una división de la escala del aparato su valor es de 0,05 dB.
La medida de X es indirecta y proviene de la determinación de Δd y de
determinación experimental de
λg
2
λg
2
. La
se lleva a cabo cortocircuitando la sección de guía ranurada y
determinando la distancia entre dos mínimos consecutivos del diagrama de onda estacionaria. La
precisión en la determinación de este parámetro viene afectada por la precisión en la determinación de la
frecuencia y por la precisión en la medida de longitudes.
La medida de la frecuencia se hace utilizando una cavidad en absorción porque no es posible
utilizar el contador de frecuencia de que se dispone en el laboratorio con la señal modulada en onda
cuadrada que se utiliza en las medidas. El error de escala del indicador de la cavidad alrededor de los
9 GHz es de ,005 GHz. Por lo tanto un estimativo del error relativo cometido será
δf =
0,005
× 100 ≈ 0,05%
9
Las medidas de las posiciones de los mínimos se han realizado con la ayuda de un
micrórnetro cuyo error de escala es de una centésima de milímetro. Por tanto el error absoluto en la
determinación de
λg
2
será de 2 x 10-2 mm por proceder de la diferencia de dos lecturas. En el margen
de frecuencias en que se realizaron las medidas las distancias entre mínimos variaron entre 1,95 y 2,3 cm.
Por tanto el error relativo mayor es de
112
2 × 10 −3
δ1 =
× 100 ≈ 0,1%
1,95
El error relativo en la determinación de
δλ
λg
2
será pues de
= δ f + δ 1 = (0,1 + 0,05)% = 0,15%
g
2
Esta estimación del error relativo anterior ha sido verifica da de la siguiente forma
alternativa. La longitud de onda en la guía varía teóricamente con la frecuencia de acuerdo con la
expresión
30
f
λg =
⎛f ⎞
1 − ⎜⎜ C ⎟⎟
⎝ f ⎠
(5.9)
2
en la que f y fC se expresan en GHz y λ g viene dada en centímetros. Si se realizan medidas de λ g a
diversas frecuencias puede utilizarse la expresión anterior para encontrar el valor de fC que mejor se
ajuste a los valores experimentales. El ajuste se obtendrá minimizando el error cuadrático entre los valores
experimentales y los teóricos.
Haciendo medidas a una serie de frecuencias fi se obtienen los valores λ gm ( f i ). Con la
expresión 5.9 puede obtenerse el correspondiente valor de fC. Una primera estimación del valor
óptimo de fC será el promedio de los anteriores. Un programa de ordenador puede encargarse de
explorar en un entorno de este valor inicial para encontrar el valor que minimice la función de error que se
toma como la suma de los errores cuadráticos. Es decir
[
F (error ) = ∑ λ gm ( f i ) − λ gc ( f i )
]
2
(5.10)
i
donde λ gc ( f i ) es la longitud de onda teórica correspondiente al valor de fC que se supone, es decir:
λ gc ( f i ) =
30
fi
⎛f ⎞
1 − ⎜⎜ C ⎟⎟
⎝ fi ⎠
2
(5.11)
113
Se incluye el organigrama y correspondiente programa FORTRAN que se han hecho para la
realización del calculo anterior.
Este programa se ejecutó utilizando 10 medidas realizadas a las frecuencias 9,l; 9,2; ….. 10,0
GHz encontrándose un valor mínimo de la función de error de ,308 x 10-3. Por tanto el error cuadrático
medio será ,308 x 10-4 y el error absoluto medio del ajuste de (0,308 x 10-4)1/2 = 5,55 x 10-3. El valor
más pequeño de λ g , correspondiente a la frecuencia de 10 GHz, es de 3,88925 por lo que el error
relativo en la determinación de λ g será de
δλ
g
5,55 × 10 −3
=
≈ 1,4 × 10 −3 = 0,14%
3,89
valor muy próximo al obtenido previamente de 0,15%.
En la figura 5-5 se muestran los valores de λ g medidos y los correspondientes a la curva de
ajuste teórica.
En cuanto a los errores de Δd tendrán un error absoluto de escala de 2 x 10-2 rnm.
114
115
116
PROGRAMA DE OPTIMIZACIÓN DE LAS MEDIDAS DE LA LONGITUD
DE ONDA EN LA GUÍA
20
10
30
50
70
40
80
5
DIMENSION RF (50),RL(50),RC(50 )
CALL FOPEN(4,”CTO:0”)
S=0.
NM=0
ER1=1.0E30
DO 20 I=1,50
READ(4,5,END=10) RF(I), RL(I)
IF(RF(I).EQ.0)GO TO 20
RC(I)=SQRT(RF(I)**2-(30./RL(I))**2)
S=S+RC(I)
NM=NM+1
CONTINUE
CONTINUE
FC0=S/NM
TYPE “VALOR FREC. CORTE=”, FCO
TYPE “NM=”, NM
ACCEPT “FACTOR DE MARGEN=”, A
ACCEPT 2NO.PUNTOS EXPL.=”, NP
S0=FCO/A
S1=FCO*A
S2=(S1-S0)/NP
DO 40 I=1, NP
FCU=SO+S2*(I-1)
ER=0.
DO 50 J=1, NM
RLFC=(30./RF(J))/SQRT(1.-(FCU/RF(J))**2)
ER=ER+(RLFC-RL(J))**2
CONTINUE
IF(ER1.LT.ER) GO TO 70
ER1=ER
FCO=FCU
CONTINUE
CONTINUE
TYPE “ERROR MIN.=”, ER1
TYPE “FREC. CORTE OPT.=”, FCO, “GHZ.”
ACCEPT “CONTINUAR?”, NZ
IF (NZ.EQ.1) GO TO 30
DO 80 I=1, NM
RLANG=(30./RF(I))/SQRT(1.(FCO/RF(I))**2)
TYPE “FREC.=”, RF(I),”; LANDA G=”, RLANG
CONTINUE
FORMAT (F5.2, 1X, F5.3)
STOP
END
117
118
Para tener una idea de como afectan estos errores en la determinación de G y B lo que se ha
hecho es simularlos. Para ello el calculo de G y B en función de S, λ g 2 y Δd se ha programado en el
calculador de mesa HP 9810 A. El programa resultante es el que se incluye junto con sus
instrucciones de manejo.
De todo el conjunto de datos medidos vamos a fijarnos en dos situaciones extremas
correspondientes a un valor bajo de S y alto de Δd y a un valor alto de S y bajo de d.
La primera situación corresponde a una medida a 10 GHz de la ranura de α’=30º en la que
se obtienen
S = 1.10
Δd = −.3180cm
λg
2
= 1.94463
Con estos datos se obtienen los valores de
G = .04690
B = −.08554
Si alteramos los valores de S, λ g 2 y Δd tenemos las siguientes 8 posibilidades:
S
Δd
λg 2
G
B
1
1.107
-.320
1.9477
0,04937
-.09173
2
1.107
-.320
1.94165
.04906
-.09188
3
1.107
-.3160
1.9477
.05061
-.09113
4
1.107
-.3160
1.94165
.05031
-.09128
5
1.094
-.320
1.9477
.4395
-.08062
6
1.094
-.320
1.94165
.04368
-.08076
7
1.094
-.3160
1.9477
.04503
-.08008
8
1.094
-.3160
1.94165
.04476
-.08022
119
120
121
Como vemos el error relativo máximo cometido en G es del 7,9% y en B del 7,4%.
En la zona correspondiente a valores altos de S y en las proximidades de la resonancia una
medida ha sido
S = 2.20
Δd = −.01317cm
λg
2
= 2.12666
de la que se obtiene
G = 1.19681
B = .07458
Alterando los valores de S, λ g 2 y Δd obtenemos las siguientes posibilidades:
S
Δd
λg 2
G
B
1
2.213
.01517
2.1281
1.20868
.08708
2
2.213
.01517
2.1251
1.20867
.08720
3
2.213
.0117
2.1281
1.21043
.06722
4
2.213
.0117
2.1251
1.21042
.06732
5
2.188
.01517
2.1281
1.18385
.8463
6
2.188
.01517
2.1251
1.18384
.08475
7
2.188
.0117
2.1281
1.18553
.06533
8
2.188
.0117
2.1251
1.18552
.06542
El error relativo máximo cometido en G es del 1,1% y en B del 16,9%. Sin embargo en el caso
de B este valor no es significativo porque el valor de B en las proximidades de la resonancia es muy
pequeño. Dado lo pequeños que son los coeficientes de onda estacionaria a medir la cosible falta de linealidad
del detector no va a introducir un error apreciable en la medida. Por supuesto la sonda se introduce lo menos
posible en la ranura para evitar la distorsión en la onda estacionaria que produce.
Vamos a ver finalmente el error que se produce por el hecho de que la carga terminal no es
perfecta y presenta una cierta reflexión. El coeficiente de onda estacionaria máximo medido con la
carga ha sido de 1,02 que corresponde a un coeficiente de reflexión de
122
ρC =
1,02 − 1
=,0099
1,02 + 1
Desde luego la influencia de esta pequeña reflexión de la carga será mayor cuando se midan
coeficientes de reflexión de la ranura ρ r pequeños. El coeficiente de reflexión medido estará entre los
valores
ρ máx =
ρr + ρC
− ρ r + ρC
1 + ρC ρ r
(5.12)
ρ mín =
ρ r − ρC
− ρ r − ρC
1 − ρC ρ r
(5.13)
Como el valor más pequeño de onda estacionaria que se ha medido es de S = 1.1 que
corresponde a un valor de
ρr =
1,1 − 1
= 0,04762
1,1 + 1
los valores máximo y mínimo que podrían obtenerse variando la posición de la carga serían
ρ máx = 0,04762 + 0,0099 = 0,05752
ρ mín = 0,04762 − 0,0099 = 0,03772
con S máx = 1,122 y S mín = 1,0784 . E1 error relativo cometido sería del 2%. Este error
debe añadirse al cometido en la lectura de la escala del abarato incrementando el error
en las medidas de valores bajos de S.
Si se desea evitar este error y mejorar la precisión de las medidas puede
procederse haciendo deslizable la carga adaptada. El método a seguir puede verse en
Ginzton (6).
123
5.4. MEDIDA DE LA CONDUCTANCIA NORMALIZADA EN RESONANCIA.
A la frecuencia de resonancia X = 0 por lo que el valor la conductancia normalizada
se obtendrá particularizando (5.7) obteniéndose
g resonancia = S − 1
(5.14)
Para poder determinar el valor de S en resonancia la forma de proceder seria la
siguiente. Se va midiendo, a una serie de frecuencias próximas a la resonancia, el coeficiente
de onda estacionaria Si y el cambio en la posición del mínimo Δdi. Debe procurarse obtener
valores por encima y por debajo de la resonancia. Una vez obtenido un conjunto suficiente de
valores puede interpolarse el valor de S correspondiente a Δd = 0 que será el valor en
resonancia buscado. Para hacer la interpolación puede usarse el método de Lagrange (7),
(8). En el Math Pack de la calculadora HP 9810 A (9) puede encontrarse un programa para
realizar esta interpolación.
124
5.5. DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE LOS DIVERSOS ELEMENTOS NECESARIOS PARA
LA MEDIDA.
Lo primero que se decidió fue el radio que debería tener la guía semicircular. Para esta elección
es útil la representación de la frecuencia de corte del modo fundamental y del primer modo superior en
función del radio de la guía. Si expresamos el radio r en cm, las frecuencias de corte en GHz serán:
f c11 (GHz ) =
8,79099
ri
f c 21 (GHz ) =
14,58292
ri
que se representan en la figura 5-6.
Vemos que en banda X el radio de la guía puede variar entre aproximadamente 1 y 1,5 cm. La
elección viene además impuesta por el tipo de tubo comercial que pueda comprarse. La existencia de
tubo de latón de precisión de dimensiones ri = 1,4cm y re = 1,5cm nos ha inclinado por estas
dimensiones. En la figura 5-6 vemos que el margen de utilización de la guía es aproximadamente de 6 a
10,5 GHz que satisface nuestras necesidades.
125
126
5.5.1. Diseño de la transición coaxial-guía semicircular.
Como ya se ha mencionado en el Capítulo 4 por razones de facilidad mecánica de construcción
se introduce la sonda excitadora desde la pared plana de la guía semicircular. Los dos parámetros geométricos que intervienen en las características de la transición son la profundidad de la sonda y la posición del
cortocircuito de la guía. Por ello se ha pensado en una estructura que permita variar ambos que es la de la
figura 5-7.
127
El cortocircuito móvil se ha construido con un pistón semicircular que se desliza en el
interior de la guía movido por un émbolo. Este émbolo está roscado a la tapa de la guía y es
solidario de una rueda. Al girar esta manualmente se produce el movimiento de avance o
retroceso del cortocircuito de forma continua.
La sonda excitadora está constituida por el conductor interior de un conector tipo
OSM 204 de 0MNI SPECTRA. El conector no se sujeta directamente a la pared plana de la
guía sino a una pieza que hace de pedestal la cual a su vez se fija a la pared plana de la guía.
Se construyeron pedestales de diferentes espesores y de esta manera puede variarse la
profundidad de la sonda en forma discreta sin más que cambiar el pedestal. Estos se
construyeron de 0.5, 1, 2, 3, 4.5, 6, 7 y 8 mm con lo que dado que el espesor de la pared plana
de la guía es de 5 mm y la longitud disponible del conductor interior del conector es de 18 mm
podemos variar la profundidad de la sonda desde 0 mm hasta 13 mm, es decir prácticamente
todo su margen de variación.
Para encontrar experimentalmente la profundidad óptima de la sonda se procedió
cargando la sección de línea ranurada con la carga adaptada y midiendo valores relativos de
potencia con el indicador de SWR. Para la frecuencia de 9 GHz el valor máximo obtenido en
cada profundidad al variar la posición del cortocircuito se representa en la figura 5-8. Estas
medidas son solo relativas pero muestran que con una profundidad de 7 mm se consigue el
máximo de transferencia de potencia en la transición. Se ha visto también que en la banda de
8 a 11 GHz basta ajustar la posición del cortocircuito para obtener suficiente transmisión de
potencia para la realización de las medidas.
128
5.5.2. Diseño de la sección de línea ranurada.
Para medir la onda estacionaria en el interior de la guía semicircular puede utilizarse
una sección de guía con una ranura a través de la cual se introduce una sonda detectora. Es
necesario que la ranura se haga de forma que no corte líneas de corriente para que no se
distorsione la distribución de campo en la guía por la presencia de la ranura. Para poder
determinar donde colocar la ranura es necesario encontrar la distribución de corriente en las
paredes de la guía. Por la condición de contorno del campo magnético será
JS
pared de la guía
=n×H
pared de la guía
(5.15)
En la pared curva de la guía n = −a r por lo que solo contribuirán las componentes
z y φ del campo magnético del modo fundamental que es el único que suponemos que se
propaga. Por tanto
129
JS
r = ri
(
= −a r × H ϕ
r = ri
aϕ + H z
r = ri
)
az =
= −Cϕr sin (ϕ )e − jk z z a z + jC zr cos(ϕ )e − jk z z aϕ
(5.16)
donde Cϕr y C zr son constantes cuyo valor no es importante para poder obtener una idea de
la distribución de corrientes. Esta se obtendrá de
Re⎛⎜ J S
⎝
r = ri
⎞⎟ = −C sin (ϕ ) cos k za + jC cos(ϕ )sin k za
ϕr
z
z
zr
z
ϕ
⎠
(5.17 )
La representación de esta distribución de corriente es la de la figura 5-9.a.
En la pared plana la normal será aϕ o − aϕ defendiendo si consideramos el plano
ϕ = 0 o el ϕ = π .
JS
ϕ =0
(
= aϕ × H r
⎛ x'
= C rϕ J 1 ⎜⎜ 11
⎝ ri
ϕ =0i
ar + H z
ϕ =0
)
az =
⎞
⎛ x'
r ⎟⎟e − jk z z a z − jC zϕ J 1 ⎜⎜ 11
⎠
⎝ ri
⎞
r ⎟⎟e − jk z z aϕ
⎠
(5.18)
y tomando la parte real:
Re⎛⎜ J S
⎝
⎞⎟ = C J ⎛⎜ x'11
rϕ 1 ⎜
ϕ =0 ⎠
⎝ ri
⎞
⎛ x' ⎞
r ⎟⎟ cos k z za z − C zϕ J 1 ⎜⎜ 11 r ⎟⎟k z za r
⎠
⎝ ri ⎠
(5.19)
Donde vemos que para r = 0 sólo tenemos componente z, mientras que para r = ri , sólo
componente r. La distribución de corrientes se representa en la figura 5-9.b.
130
131
Como conclusión de este pequeño estudio vemos que para explorar longitudinalmente la onda
estacionaria podemos hacer nuestra ranura en el centro de la pared curva o en el centro de la pared plana.
Hacerla en la pared plana presenta ventajas de realización mecánica sobre todo a la hora de montar el
dispositivo de desplazamiento de la sonda.
Se ha hecho el diseño de forma que pueda utilizarse la sección de línea ranurada con el carro de
desplazamiento de sonda de H.P. de que se dispone en el laboratorio para banda X que es el modelo
809 B.
Desde luego la presencia de la ranura en la guía altera la impedancia característica de ésta. Esta
variación de la impedancia característica hace que las discontinuidades de los extremos de la ranura
produzcan pequeñas reflexiones.
Para evitarlas en lo posible los extremos de la ranura se acaban estrechando en forma progresiva a lo
largo de una longitud comparable a la longitud de onda.
En cualquier caso los campos en los extremos de la ranura contienen los modos superiores
localmente generados por la discontinuidad producida por ésta. Estos se atenúan rápidamente pero
conviene hacer las medidas en la región central de la ranura evitando en lo posible la proximidad a
los extremos.
En la figura 5-10 se muestra el croquis de la sección de guía semicircular ranurada que se ha
construido. Como ya se ha dicho está preparada para su utilización con el carro HP-8O9-B. Con ello
tenemos un sistema de medida totalmente estándar.
Se ha medido la onda estacionaria del conjunto formado por la guía ranurada y la carga adaptada
que se ha realizado resultando menor de 1.02 que es suficiente para nuestras medidas.
A la hora de la colocación en el carro de la línea ranurada debe prestarse atención a que quede
bien nivelada para que la sonda se introduzca por igual a lo largo de todo su recorrido.
132
133
5.5.3. Diseño de una carga adaptada.
Para el tipo de medida que deseamos hacer así como para la puesta en posición de la línea
ranurada es necesario disponer de una carga adaptada.
Dado que disponíamos de lámina resistiva, del tipo Filmcard de la casa Filmohm de 100
Ω/cuadro, se decidió su utilización para la realización de la carga. Para absorber el campo conviene situar
la lámina en la zona de la guía en que el campo eléctrico sea máximo. Para que la carga presente una
reflexión lo más débil posible conviene darle forma de tapering lo más suave posible.
Utilizando las expresiones del campo eléctrico del modo fundamental de la guía semicircular
se obtiene una distribución de campo como la que se indica en la figura 5-11. En el plano central de la
guía el campo eléctrico es máximo y además solo tiene componente r cuya intensidad es máxima en
r = 0.
134
Es evidente pues que debe colocarse la lámina resistiva en este plano.
La figura 5-12 muestra la carga adaptada que se realizó en la que se ve que la longitud
total del tapering es del orden de dos longitudes de onda a la frecuencia mas baja en la que se
realizaron medidas con ella. Como se indicó en el apartado anterior su comportamiento es
satisfactorio porque el coeficiente de onda estacionaria del conjunto guía ranurada más
carga adaptada es menor de 1,02.
135
136
5.5.4. Secciones de guía semicircular con ranura radiante.
Se han construido cuatro secciones de guía semicircular con una ranura axial radiante
en su centro. Los ángulos a de estas ranuras se han elegido de 30º, 45°, 60º y 75º al objeto de
verificar la teoría desarrollada en un margen amplio de valores de α'. No se ha medido
ningún valor de α' menor de 30º porque los valores de conductancia que se obtendrían serían
ya pequeños y difíciles de medir con nuestro sistema de medida. En la figura 5-13 se muestra
un dibujo de una de estas secciones con los detalles de su construcción.
La longitud de la ranura es de 1,5 cm de forma que su frecuencia de resonancia debe
estar alrededor de los 10 GHz. Ésta se ha mecanizado con la fresa utilizando una bailarina
de 1,5 mm y sus extremos son redondeados. Este hecho debe tenerse en cuenta a la hora
de comparar los resultados obtenidos experimentalmente con los calculados teóricamente.
Además y al objeto de establecer el plano de referencia de las medidas en el plano
central de la ranura se ha construido una sección de guía semicircular acabada en un
cortocircuito de la longitud adecuada.
137
138
BIBLIOGRAFÍA.
(1) S. Ramo, J.R. Whinnery, T. Van Duzert “Fields and waves in Commication Electronics”. John
Wiley and Sons.
(2) J.S. Rao, B.N. Das: “Impedance Characteristics of Transverse Slots in the Ground Plane of a
Stripline”. Proc. I.E.E. Vol. 125, Nº. 1, Januaiy 1978, pp.29-32.
(3) I.P. Karninov, R.J. Stegen: “Waveguide Slot Array Design”. Technical Memorandum Nº. 348,
Hughes Aircraft, July 1, 1954.
(4) Hewlet-Packard Co.: “Operating and Service Manual 8O9 B Universal Probe Carriage”.
(5) Hewlet-Packard Co.: “Operating and Service Manual 415E Standing Wave Indicador”.
(6)
F.L. Ginzton: “Microwave Measurements”, Mc Graw Hill 1957, pp. 286-287.
(7) P. Henrici: “Elements of Numerical Análisis”. John Wiley I964, pp. 183-185.
(8) F. Sched: “Análisis Numérico”. Schaum Mc Graw Hill 1972. Capítulo 8, pp. 53-57.
(9) Hewlet Packard: “Calculator 9810A Math Pack”. pp. 85-89.
139
EPÍLOGO
140
A lo largo de este trabajo se han presentado dos modelos para la descripción de una ranura axial en
la superficie de un cilindro conductor alimentada desde la pared curva de una guía sectorial interior al
cilindro.
El modelo obtenido con la aplicación de la teoría variacional de Oliner parece adecuado sobre
todo cuando se trata de ranuras muy estrechas. En cualquier caso representa un compromiso entre un
modelo no excesivamente complicado de manejo y de suficiente precisión en la predicción de
resultados.
Sin embargo el análisis de una ranura aislada es solo el primer paso en el proceso del diseño de un
array de ranuras. El siguiente estudio a realizar es evidentemente la influencia o acoplamiento mutuo entre
las diversas ranuras que deben formar el array. Este acoplamiento se produce tanto interiormente, a través
de las guías sectoriales de alimentación, como exteriormente. Existen diversos trabajos referentes al
acoplamiento mutuo exterior entre ranuras en una superficie cilíndrica (l) y (2).
Por ello parece que la inclusión del acoplamiento mutuo en el diseño de arrays de ranuras
excitadas con guías sectoriales podría realizarse con poca dificultad. El último paso en el proceso es el de la
elección del tipo de array a realizar. Nos referimos a las posibilidades de arrays resonantes y no resonantes y a
las diversas distribuciones de abertura que podrían elegirse en función del diagrama de radiación que se
desee.
Es de destacar finalmente que los métodos de análisis que se han utilizado en esta Tesis son
una herramienta fundamental y de uso continuo en el estudio de ciertos tiraos de antenas. El autor
actualmente trabaja en el desarrollo de una antena de radar de navegación marítima en
banda X, realizada sobre guía rectangular, y en su posible implementación con un
sistema de alimentación strip-line. En ambas fases del trabajo encuentra de inestimable
ayuda los conocimientos adquiridos y aplicados en la realización de la presente Tesis.
141
REFERENCIAS
(1)
G.E.
Stewart: “Mutual Admitance for Axial Slots in a Large Cylinder”.
Transactions on Antennas and Propagation. Jan. 1871, pp. 120-122.
(2)
R.L. Faute: “Calculation of the Admittance Esolation and Radiation Pattern of
Slots on an Infinite Cylinder Covered by an Inhomogeneons Lossy Plasma”.
Radio Science. Vol. 6. N° 3, pp. 421-428. March 1971.
142
APÉNDICE I
CÁLCULO DEL DIAGRAMA DE RADIACIÓN DE UNA
RANURA AXIAL Y DE UN ARRAY CIRCUNFERENCIAL
DE RANURAS
143
A-I.l. INTRODUCCIÓN.
El objeto de este apéndice es la programación de las expresiones obtenidas en el Capítulo 1 para
el cálculo del diagrama de radiación de las ranuras axiales. Asimismo se desarrolla un programa para el
cálculo del diagrama de un conjunto de N ranuras iguales, situadas a la misma altura en el cilindro y
alimentadas con la misma amplitud y fase, es decir, lo que se ha denominado un piso de ranuras.
Se presentan los métodos de programación utilizados, en forma de organigramas, así como los
listados de los mismos.
144
A-I.2. CÁLCULO Y PROGRAMACIÓN DEL DIAGRAMA DE RADIACIÓN DE UNA
RANURA.
El diagrama de radiación en potencia será una representación 2 de Eϕ
2
en función
de θ y φ. Eϕ viene dado por la expresión (l.23.b) en la que prescindimos de los primeros
factores, que son comunes para todos los valores de θ y φ, quedándonos con
⎛ kb
⎞
cos⎜ cos θ ⎟
⎝ 2
⎠
f (θ , ϕ ) =
2
⎛ kb
⎞
1 − ⎜ cos θ ⎟
⎝ 2
⎠
⎛ mϕ e ⎞
m
(
)
∈
ϕ
j
m
c
cos
sin
⎜
⎟
m
∞
⎝ 2 ⎠
∑
H ' (m2 ) (kre sin θ )
m =0
( A − I .1)
El diagrama de radiación en potencia será pues una representación de
R=
f (θ , ϕ )
2
f (θ , ϕ )máx
2
donde f (θ , ϕ ) máx es el valor máximo de f (θ , ϕ ) . La relación anterior se
representa en dB, es decir se representa 10 log10 R.
Debemos sumar en primer lugar la serie para lo cual conviene tener presente los
problemas que pueda presentar la convergencia de la misma. Hay que calcular previamente
las derivadas de la función de Hankel de segunda especie. Para cada argumento
x = kre sin θ deben calcularse órdenes sucesivos crecientes m = 0,1,2,.....
A-I.2-a. Subrutina para el cálculo de las derivadas de las funciones de Hankel.
Se ha desarrollado una subrutina FORTRAN que calcula órdenes sucesivos
crecientes de las derivadas de las funciones de Hankel para cada argumento.
Para ello y dado que
H m( 2 ) ( x) = J m ( x) − jYm ( x)
( A − I .2 )
y que
145
J m' ( x) =
m
J m ( x) − J m ( x)
x
( A − I .3 )
Ym' ( x) =
m
Ym ( x) − J m ( x)
x
( A − I .4 )
resulta
H ' (m2 ) ( x) = J ' m ( x) − jY ' m ( x) =
m ( 2)
H m ( x) − H m( 2 ) ( x)
x
( A − I .5 )
y por tanto H ' (m2 ) ( x ) es expresable en función de las funciones de Bessel y Neumann.
Para calcular las funciones J(x) e Y(x) se utiliza la subrutina FORTRAN llamada BESY (1).
Esta subrutina tiene los siguientes argumentos:
Z
argumento de las funciones Y y J. Variable real adimensional. 0,0 < Z < 10,0.
N
orden mas alto de las funciones calculadas para el que la precisión es aceptable. Variable entera
adimensional. N > 0.
NMAX nº máximo de valores calculados de las funciones Y y J. Su valor deberá ser el máximo
entero de (N + 15) y (Z + 21). Variable entera adimensional.
BJ
array unidimensional que contiene, a la salida de la subrutina, los valores de JN(Z). Su
dimensión es NMAX y se define real.
BY
análogo a BJ y contiene los valores de YN(Z).
La forma de llamarla es
CALL BESY (Z, N, NMAX, BJ, BY)
A su vez esta subrutina utiliza otra subrutina, llamada BESJ, que permite obtener los valores de
BJ. Esta última utiliza a su vez otra subrutina, llamada SBFG, necesaria para calcular la función Г(x).
146
Los detalles de todas estas subrutinas, así como sus listados y organigramas, pueden verse
en la referencia (1).
La forma de almacenar los valores de JN (Z) e YN (Z) en los arrays BJ y BY es
BJ (1) = J 0 ( Z ), BJ (2) = J 1 ( Z ).....BJ ( NMAX ) = J NMAX −1 ( Z )
teniéndose la misma disposición para BY.
Un organigrama sencillo para una subrutina que calcule las derivadas de la función de Hankel de 2ª
especie y permita también transferir los valores de las funciones de Bessel y Neumann necesarias sería el
que se incluye.
El listado correspondiente a este organigrama es el que se adjunta.
Los argumentos de la subrutina son los mismos de BESY ya mencionados con la inclusión
de
DHNZ: array unidimensional que contiene a la salida las derivadas de las funciones de Hankel de 2ª
especie y orden hasta N-1. Se de fine como complejo.
El almacenamiento de valores de este array es de la forma
DNHZ (1) = H ' (02 ) ( Z ), DNHZ ( 2) = H '1( 2 ) ( Z ).....DNHZ ( N ) = H ' (N2−) 1 ( Z )
La forma de llamarla es
CALL DERH (Z, N, NMAX, DHNZ, BJ, BY)
147
@
COMPILER D0UBLE PRECISION
SUBRUTINE DERH (Z, N, NMAX, DHNZ, BJ, BY)
C************************************************************
C
ESTA SUBRUTINA CALCULA LAS DERIVADAS DE LAS
C
FUNCIONES DE HANKEL DE SEGUNDA ESPECIE Y
C
ORDEN HASTA N.
C************************************************************
INTEGER NMAX
COMPLEX DHNZ(N)
REAL BJ(NMAX), BY(NMAX)
C
CALL BESY (Z, N, NMAX, BJ, BY)
C
10
DO 10 I=1, N
RDH=(FL0AT(I-1) / Z )*BJ(I)-BJ(I+1)
AIDH=(FL0AT(I-1)/Z)*BY(I)-BY(I+1)
DHNZ(I)=CMPLX(RDH,-AIDH)
CONTINUE
RETURN
END
148
A-I.2-b. Subrutina para el cálculo del diagrama de radiación de una ranura axial.
Podemos abordar ahora la programación de una subrutina para el cálculo del diagrama de
radiación de una ranura axial. El motivo de hacer este cálculo en forma de subrutina es al objeto de
permitir que el mismo programa principal analice una sola ranura o un array circunferencial de ellas.
El organigrama usado para el calculo de la expresión A.l-1 es el que se adjunta y que pasamos
a comentar. Corno se ve se averigua en primer lugar el valor de θ, que se transferirá como argumento de
la subrutina, pues en el caso de ser θ = 0 o θ = π el val or que se obtiene de f (θ , ϕ ) es cero. En
efecto el argumento de las derivadas de las funciones de Hankel de la serie será cero y por tanto éstas
tomaran el valor infinito con lo que la serie será nula y por tanto también el valor de f (θ , ϕ ) .
Para el resto de valores de θ se calcula el argumento x = kre sin θ de las derivadas de las
funciones de Hankel. Se admite en principio que con la suma de 20 términos de la serie ésta ya habrá
convergido por lo que se llama a la subrutina DERH con N=20.
Una vez realizado este cálculo se inicializa una variable, llamada CSUM destinada a almacenar
la suma de la serie. El primer valor que toma esta variable es el del primer término de la serie. También se
inicializa una variable llamada CJ al valor j. Esta variable debe contener el factor ( j) m necesario para
obtener cada término sucesivo de la serie. La manera en la que obtenemos este factor no es canónica y
ello se debe únicamente a una de las deficiencias del compilador FORTRAN que posee la máquina (un
NOVA 3 de DATA GENERAL) de que disponemos en el Departamento.
El lazo DO que se inicia a continuación es el encargado de sumar la serie. Los términos de ésta
son diferentes si φe es cero o no lo es. Una variable CSUMI contiene el valor obtenido del término de la
serie que se ha obtenido. Otra variable CSUMA contiene el nuevo valor de la serie obtenido por la suma
de este nuevo término a los ya anteriormente sumados cuyo resultado está en CSUM. De esta manera la
comparación entre CSUMA y CSUM permite testear la convergencia de la serie. Se ha pensado que si
el error relativo en la suma producido por un término es menor que 10-6 esta puede terminarse. Este
procedimiento solo es válido si los términos sucesivos de la serie son decrecientes en valor absoluto.
En el caso de que se hayan sumado los veinte primeros términos de la serie sin haberse
alcanzado la convergencia deseada, el ordenador escribirá un mensaje de alerta indicándolo.
149
Naturalmente que los resultados que se obtengan en este caso no serán fiables. Pero debe decirse que
esto no se ha producido en ninguno de los casos de manejo del programa que se ha desarrollado.
Los restantes pasos del organigrama se encaminan al cálculo final de f (θ , ϕ ) y no requieren
mayor explicación.
Con este organigrama se ha construido una subrutina llamada DIAG cuyo listado se adjunta.
Los argumentos de esta subrutina son
THETA
valor en radianes de la coordenada θ de esféricas en cuya dirección se calcula f (θ , ϕ ) .
Variable real adimensional.
FI
valor en radianes de la coordenada φ de esféricas en cuya dirección se calcula f (θ , ϕ ) .
Variable real adimensional.
CF
valor de f obtenido para la dirección (θ , ϕ ) . Variable compleja adimensional.
Además de estos argumentos la subrutina necesita de los siguientes valores transferidos por
medio de la sentencia
COMMON/Y/KØA, KØB, FIE
KØA
valor del producto kre donde k =
2π
λ
siendo λ la longitud de onda y re el radio del
cilindro. Variable real adimensional.
KØB
valor del producto kb siendo b la longitud de la ranura. Variable real adimensional.
FIE
valor de φ e =
a
donde a es el ancho de la ranura. Variable real adimensional.
re
Finalmente, la forma de llamar a esta subrutina es por medio de la sentencia:
CALL DIAG (THETA, FI, CF)
150
151
COMPILER DOUBLE PRECISION
SUBROUTINE DIAG (THETA, FI, CF)
REAL KØA, KØb
COMPLEX CF, DH, CJ, CSUM, CSUM1, CSUMA, CDH
COMMON/Y/KØA, KØB, FIE
DIMENSION BJ (40), BY(40), DHC(20)
CJ=CMPLX (0.0, 1.0)
PI=4.*ATAN (l.)
IF(ABS(THETA-0.).LT.1.0E-10) GOTO 30
IF(ABS(THETA-PI).LT-1.0E-10) GO TO 30
X=KØA*SIN(THETA)
N=20
NMAX=MAX1 (X + 21., N+15. )
C
CALL DERH (X, N, NMAX, DH, BJ, BY)
C
14
15
16
20
30
35
CSUM=1.0/DH(1)
DO 20 I =1,N
IF(FIE) 14,15,14
S U M l = S I N ( F L O A T ( I )*FIE/2.) / ( FL OA T ( I )*FIE/2.)
GOTO 16
SUM1=1.
CONTINUE
SUM1=SUM1*C0S(FL0AT(I)*FI)
CSUM1=SUM1*CJ
CSUM1=2.0*CSUM1/DH(I+1 )
CSUMA=CSUM+CSUM1
IF((CABS(CSUMA-CSUM)/CABS(CSUM)).LT.1.0E-6) GOTO 35
CSUM=CSUMA
CJ=CJ*(CMPLX (0.0*1.0) )
CONTINUE
TYPE “ERROR SUMA SERIE.X=”, X
GOTO 35
CF=CMPLX (0.0,0.0)
RETURN
CONTINUE
F=C0S(KØB*C0S(THETA)/2.)/(1.-(KØB*C0S(THETA)/PI)**2)
CF=F*CSUMA
RETURN
152
A-I.2-C. Programa principal para el calculo del diagrama de radiación de un piso de N ranuras.
El conjunto de N ranuras equiespaciadas angularmente alrededor del cilindro no forma un
array en sentido estricto porque cada elemento se orienta de forma diferente al resto. No podemos pues
utilizar el concepto de factor de array por lo que el campo en cada punto se obtendrá como suma de los
producidos en él por todas y cada una de las ranuras. Supondremos que estas están alimentadas con la
misma amplitud y fase.
El campo creado por cada ranura se obtiene por medio de la subrutina DIAG desarrollada en
el apartado anterior. El programa principal sólo tiene pues que sumar estos campos.
Si se tienen N ranuras su espaciamiento angular será α =
2π
. Tomamos como origen de φ para
N
el conjunto de ranuras el correspondiente a la primera como se indica en la figura A-I.1. El campo de la
primera ranura en la dirección (θ , ϕ ) es el de su dirección (θ1 = 0, ϕ1 = ϕ ). En la misma
dirección el de la segunda será el correspondiente a su dirección (θ 2 = θ , ϕ 2 = α − ϕ ). Y para la
ranura i-ésima será el de la dirección (θ i = θ , ϕ i = (i − 1)α − ϕ ).
153
Teniendo en cuenta que el campo de radiación de cada ranura es simétrico, es decir
Eϕi (θ i , ϕ i ) = Eϕi (θ i ,ϕ i ) , el campo total en la dirección (θ , ϕ ) será expresable como
N
Eϕ (θ , ϕ ) = ∑ Eϕi (θ , (i − 1)α − ϕ )
( A − I .6 )
i =1
Además la simetría geométrica del conjunto permite asegurar que el diagrama de radiación se
repetirá cada 2π N grados. Por tanto basta calcular el diagrama entre ϕ = 0 y ϕ = α . Un muestreo
de 20 puntos en este intervalo angular es suficiente para hacerse una idea del diagrama de radiación.
Con las ideas anteriores se ha desarrollado el organigrama de cálculo que se adjunta y que
comentamos.
En primer lugar se toman los valores del radio del cilindro, de la frecuencia, de la longitud de la
ranura y de su ancho, del número de ranuras y del valor de θ para el que se quiere el diagrama. Con estos
valores el programa pasa a calcular la longitud de onda, el número de onda y otra serie de parámetros
necesarios para los cálculos posteriores. En el primer lazo que se inicia a continuación se va variando el
valor de φ en el intervalo 0 < ϕ < α . El segundo lazo indexado en el anterior es el que suma los campos
de las diversas ranuras. Viene a continuación otro DO en el que se averigua para qué valor de φ se obtiene
el campo máximo. Finalmente el último lazo permite el cálculo del diagrama normalizado al valor máximo
obtenido y su expresión en dB.
El listado correspondiente es el que se adjunta.
154
155
156
C
C
C
20
30
PROGRAMA CÁLCULO DIAGRAMA RADIACIÓN N RANURAS
REAL KØA, KØB, KØ, LANDA
COMPLEX EØ, E, E1
DIMENSION E (10)
COMMON/Y/ KØA, KØB, FIE
PI=4.*ATAN (1.)
ACCEPT “RADIO CILINDRO (CM.)=”, RE
ACCEPT “LONG. RANURA (CM.)=”, B
ACCEPT “ANCHO RANURA (CM.)=”, A
ACCEPT “FRECUENCIA (GHZ)=”, F
ACCEPT “THETA (GRAD)=”, THETA
ACCEPT “NO. RANURAS=”, N
THETA=THETA*PI/180.
LANDA=30./F
KØ=2.*PI/LANDA
KØA=KØ*RE
KØB=KØ*B
FIE=A/RE
ALFA=2.*PI/FLOAT(N)
WRITE (10, 20) N
FORMAT (1X, //, 1X, “DIAGRAMA RADIACION DE”, I3,”RANURAS”,/)
WRITE (10, 30)
FORMAT (1X, “FI (GRAD.)
CAMPO (DB.)”)
DO 40 J=1, 10
J1=J-1
FI1= FLOAT (J1)*ALFA/10.
E1=CMPLX (0.0,0.0)
DO 50 I=1, N
I1=I-1
FI=FLOAT (I1)*ALFA-FI1
C
CALL DIAG (THETA, FI, EØ)
C
50
40
60
80
70
E1=E1+EØ
CONTINUE
E(J)=E1
CONTINUE
EMAX=0.0
DO 60 J=1, 10
AE=CABS (E(J))
EMAX=AMAX1 (EMAX, AE)
CONTINUE
DO 70 J=1, 10
AE=CABS(E(J))
D=20.ALOG10(AE/EMAX)
J1=J-1
FIG= FLOAT (J1)*ALFA*18/PI
WRITE (10, 80) FIG, D
FORMAT (1X, F5.2, 19X, F7.2)
CONTINUE
STOP
END
157
BIBLIOGRAFÍA
(1)
M. Calvo, J. Alemany: "Subrutinas Fortran para el cálculo de las funciones JN+V (Z) de
Bessel e YN (Z) de Neumann”.
Publicación del Departamento de Electromagnetismo UPM/ETSIT/GE/ 06/77. Julio
1977.
158
APÉNDICE II
MODOS ORTONORMALIZADOS EN GUÍAS
SECTORIALES
159
A-II.1. INTRODUCCIÓN.
En este Apéndice se calculan las expresiones de les modos ortonormalizados en guías
sectoriales utilizando para ello las definiciones establecidas por Marcuvitz y Schwinger (l).
Para la obtención de las expresiones de los campos sin normalizar existen otros
procedimientos alternativos tal como, por ejemplo, el utilizado por Harrington (2). Sin
embargo el mencionado trabajo de Marcuvitz y Schwinger es el punto de arranque del
método variacional de Oliner (3), en el que nos basamos en la presente Tesis, lo que justifica
nuestra elección.
160
A-II.2. EXPRESIONES DE LOS CAMPOS Y CÁLCULO DE IAS CONSTANTES DE
ORTONORMALIZACIÓN DE LOS MODOS TM.
Los campos de los modos TM se obtienen a partir de las funciones escalares φi que deben
satisfacer la ecuación
( A − II .1)
Δ t φ i + k ' ci2 φ i = 0
con la condición de contorno φi = 0 sobre el contorno.
Una vez obtenidas las funciones φi se obtienen las funciones de modo con las
expresiones
ei ' = −
∇ t φi
k ' ci
( A − II .2 − a )
hi ' = a z × ei '
( A − II .2 − b )
k ' ci
φi a z
jk ' zi
( A − II .2 − c )
e zi ' =
Siendo nuestra geometría la de la figura A-II.1, la solución de la ecuación
(A-II.1) será de la forma:
φ i = C i J k 'ϕ ( k ' ci r ) sin( k 'ϕ iϕ )
i
( A − II .3)
161
Vemos que para ϕ = 0 es φi = 0 . También para que φ i = 0 en ϕ = 0 será
sin( k 'ϕ iα ) = 0 ⇒ k 'ϕ iα = mπ ⇒ k 'ϕ i =
mπ
α
con m = 1,2,...
La solución m = 0 no vale porque anula el campo en toda la guía y conduce
pues a una solución trivial.
X mp
La ultima condición φi = 0 para r = ri nos lleva a que k ' ci =
p-ésima de J
mπ
α
ri
donde Xmp es la raíz
( X ). En consecuencia
TM
TM
φ i = φ mp
= C mp
J mπ (
α
X mp
ri
r ) sin(
mπ
α
ϕ)
( A − II .4)
TM
donde la constante C mp
se calcula para satisfacer la condición de ortonormalización que se expresa
con la siguiente ecuación
∫∫ e ' ⋅ e '
i
j
dS = δ ij
( A − II .5)
st
Como ei ' = −
∇ t φi
será:
k ' ci
∫∫ ⋅∇ φ
t
i
⋅ ∇ t φ j dS = k ' ci k ' cj δ ij
( A − II .6)
st
que para i=j es:
∫∫ ⋅∇ φ
t
i
⋅ ∇ t φ j dS = k ' ci2
( A − II .7 )
st
Recordando la expresión del teorema de la divergencia en dos dimensiones, aplicado a la
superficie transversal S encerrada por el contorno C de la figura A-II.2, será
162
∫∫ ⋅(∇ F )dS = ∫ F ⋅ n dl
( A − II .8)
t
st
Si F = φ∇ t φ será:
F ⋅ n = φ∇ t φ ⋅ n = φ
∂φ
∂n
y además:
∇ t ⋅ (φ∇ t φ ) = φ∇ t ⋅ ∇ t φ + ∇ t φ ⋅ ∇ t φ = φΔ t φ + ∇ t φ ⋅ ∇ t φ
( A − II .9 )
En consecuencia:
∂φ
∫∫ (φΔ φ + ∇ φ ⋅ ∇ φ )dS = ∫ φ ∂n dl
t
t
( A − II .10 )
t
S
C
Pero, al ser φ = 0 sobre c, será la integral de contorno cero y, por tanto,
∫∫ (∇ φ ⋅ ∇ φ )dS = − ∫∫ φΔ φdS
t
t
( A − II .11)
t
S
S
y, teniendo en cuenta (A-II.1), será:
∫∫ (∇ φ ⋅ ∇ φ )dS = − ∫∫ φ (− k ' φ )dS = k ' ∫∫ φ
t
2
C
t
S
2
C
S
2
dS
( A − II .12 )
S
Sustituyendo (A-II.12) en (A-II.7), tendremos:
k ' ci2 ∫∫ φi2 dS =k ' ci2 ⇒ ∫∫ φ i2 dS =1
st
( A − II .13)
st
TM
que es la ecuación que nos permite calcular las constantes C mp
. Su aplicación nos lleva
163
a que:
(C )
TM 2
mp
( A − II .14)
1
=
∫∫ J α
2
mπ
(
X mp
2
r ) sin (
ri
st
mπ
α
ϕ )rdrdϕ
Teniendo en cuenta que:
α
∫ sin
α
⎛ mπ ⎞
ϕ ⎟dϕ =
para m entero ≠ 0
⎜
2
⎝ α ⎠
2
0
y que:
ri
∫ J απ (
ri 2 2
r )rdr = J ⎛ mπ ⎞ ( X mp )
2 ⎜⎝ α +1 ⎟⎠
X mp
m
0
ri
sustituyendo en (A-II.14), tendremos:
(C )
TM 2
mp
=
1
α ri
2
⋅
2
2
J ⎛2mπ
⎞
+1 ⎟
⎜
⎝ α
⎠
( X mp )
por lo que será:
TM
C mp
=
∈m
α
2
1
ri J ⎛ mπ
( X mp )
⎞
( A − II .15)
+1 ⎟
⎜
⎝ α
⎠
donde:
⎧⎪2
∈m = ⎨
⎪⎩1
si m ≠ 0
si m = 0
Teniendo en cuenta la expresión del gradiente transversal en cilíndricas será:
∇ t φi = a r
X mp
X mp
∂φi
1 ∂φi
⎛ mπ ⎞
TM
+ aϕ
= a r C mp
J mπ (
r ) sin⎜
ϕ⎟+
∂r
r ∂ϕ
ri
ri
⎝ α ⎠
α
+ aϕ
X mp
1 TM mπ
⎛ mπ ⎞
C mp
J mπ (
r ) cos⎜
ϕ⎟
r
α α ri
⎝ α ⎠
( A − II .16)
164
Por tanto, según (A-II.2), se obtienen las siguientes expresiones de las funciones
de modo:
(e'i )r
=−
⎛ X mp
1 X mp TM
C mp J mπ ⎜⎜
k ' ci ri
ri
α ⎝
⎞ ⎛ mπ ⎞
r ⎟⎟ sin ⎜
ϕ⎟ =
⎠ ⎝ α ⎠
⎛ X mp ⎞
J mπ ⎜⎜
r⎟
ri ⎟⎠
∈m
⎛ mπ ⎞
α ⎝
sin ⎜
ϕ⎟
=
α ri J ⎛ mπ ⎞ ( X mp ) ⎝ α ⎠
2
+1 ⎟
⎜
α
⎠
⎝
(e'i )ϕ
=−
=−
⎛ X mp
1 1 TM mπ
C mp
J mπ ⎜⎜
α α ⎝ ri
k ' ci r
mπ ri
α X mp
⎞ ⎛ mπ ⎞
ϕ⎟ =
r ⎟⎟ cos⎜
⎠ ⎝ α ⎠
⎛ X mp ⎞
r⎟
J mπ ⎜⎜
∈m 1 α ⎝ ri ⎟⎠
⎛ mπ ⎞
cos⎜
ϕ⎟ =
α r ri J ⎛ mπ ⎞ ( X mp ) ⎝ α ⎠
2
+1 ⎟
⎜
α
⎝
⎠
⎛ X mp ⎞
r⎟
J mπ ⎜⎜
∈m mπ 1 α ⎝ ri ⎟⎠
⎛ mπ ⎞
=−
cos⎜
ϕ⎟
α αX mp r J ⎛ mπ ⎞ ( X mp ) ⎝ α ⎠
2
+1 ⎟
⎜
α
⎝
(e'i )z
=
⎛ X mp
k ' ci ∈m
1
J mπ ⎜⎜
jk zi α ri J ⎛ mπ ⎞ ( X mp ) α ⎝ ri
2
+1 ⎟
⎜
∈m X mp
α ri 2
2
( A − II .17 − b )
⎠
⎝ α
=
( A − II .17 − a )
⎞ ⎛ mπ ⎞
ϕ⎟ =
r ⎟⎟ sin ⎜
⎠ ⎝ α ⎠
⎠
⎛ X mp ⎞
J mπ ⎜⎜
r ⎟⎟
r
1
i
⎝
⎠ sin ⎛ mπ ϕ ⎞
α
⎜
⎟
jk zi J ⎛ mπ ⎞ ( X mp ) ⎝ α ⎠
( A − II .17 − c )
+1 ⎟
⎜
⎝ α
⎠
165
A-II.3. EXPRESIONES DE LOS CAMPOS Y CÁLCULO DE LAS CONSTANTES DE
ORTONORMALIZACIÓN DE LOS MODOS TE.
Los campos de los nodos TE se obtienen de las funciones escalares ψ i que deben satisfacer
la ecuación
( A − II .18)
Δ tψ i + k ' ' ci2 ψ i = 0
con la condición de contorno
∂ψ i
= 0 sobre c.
∂n
Una vez obtenidas las funciones Y. las funciones de modo se calculan con las expresiones:
∇ tψ i
k ' ' ci2
( A − II .19 − a )
e ' 'i = h ' 'i × a z
( A − II .19 − b )
h ' 'i = −
k ' ' ci
ψ i az
jk ' ' zi
h ' ' zi =
( A − II .19 − c )
La solución de la ecuación (A-II.18) para nuestra geometría de la figura A-II.1 es de la
forma
ψ i = Ci J k ''ϕ (k ' ' ci r ) cos(k ' 'ϕi ϕ )
i
( A − II .20)
por lo tanto tendremos que
∂ψ i ∂ψ i
=
= −C i k ' 'ϕi J k ''ϕi (k ' ' ci r )sin (k ' 'ϕi ϕ )
∂n
∂ϕ
y al ser cero para ϕ = α se obtiene que
k ' 'ϕi α = mπ ⇒ k ' 'ϕi =
mπ
α
, con M = 0,1,2,.....
donde ahora está permitido el valor m = 0.
166
x' mp
∂ψ i
, siendo x' mp el
= 0 ⇒ k ' ' ci ri = x' mp ⇒ k ' ' ci =
ri
∂r
Como para r = ri debe ser
p-ésimo cero de J ' mπ ( X ) = 0.
α
Por lo tanto, será:
⎛ X ' mp
⎝ ri
⎞ ⎛ mπ ⎞
r ⎟⎟ cos⎜
ϕ⎟
⎠ ⎝ α ⎠
TE
TE
J mπ ⎜⎜
ψ i = ψ mp
= C mp
α
( A − II .21)
TE
donde la constante C mp
se ajusta para satisfacer la condición de ortonormalización
∫∫ h ' '
i
( A − II .22)
⋅ h ' j dS = δ ij
st
que en este caso puede reescribirse como
∫∫ ∇ ψ
t
⋅ ∇ tψ i dS = k ' ' ci2
i
( A − II .23)
st
Utilizando el teorema de Gauss en dos dimensiones con F = ψ i ∇ tψ i tendremos:
∫∫ ∇ ψ
t
i
st
⋅ ∇ tψ i dS = k ' ' ci2 ∫∫ψ i2 dS =k ' ' ci2
( A − II .24)
st
y, por lo tanto:
∫∫ψ
2
i
( A − II .25)
dS =1
st
De esta ecuación se obtiene:
(C )
TE 2
mp
( A − II .26 )
1
=
∫∫ J απ (
m
st
X ' mp
ri
2
r ) cos (
mπ
α
ϕ )rdrdϕ
Al ser:
α
∫ cos
0
a
∫J α
2
mπ
0
⎛ X ' mp
⎜⎜
⎝ ri
2
α
⎛ mπ ⎞
ϕ ⎟dϕ =
⎜
∈m
⎝ α ⎠
⎞
1⎛ r
r ⎟⎟rdr = ⎜ i
2 ⎜⎝ X ' mp
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
2
2
⎡
⎛ mπ ⎞ ⎤ 2
2
⎟ ⎥J mπ ( X ' mp )
⎢(X ' mp ) − ⎜
⎝ α ⎠ ⎥⎦ α
⎢⎣
167
tendremos:
(C )
TE 2
mp
=
1
1⎛ r
⋅ ⎜ i
∈m 2 ⎜⎝ X ' mp
α
2
2
⎤
⎞ ⎡
⎟ ⎢(X ' mp )2 − ⎛⎜ mπ ⎞⎟ ⎥ J m2 π ( X ' mp )
⎟ ⎢
⎝ α ⎠ ⎦⎥ α
⎠ ⎣
siendo finalmente:
TE
=
C mp
∈m ⎛ X ' mp
⎜
α ⎜⎝ ri
2
⎞
1
1
⎟⎟
2
⎤ J (X ' )
⎠⎡
(⎢ X 'mp )2 − ⎛⎜ mπ ⎞⎟ ⎥ mαπ mp
⎝ α ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
( A − II .27 )
De nuevo, calculando el gradiente transversal en cilíndricas será:
∇ tψ i = a r
(h' 'i )r
=−
=−
⎛ X ' mp
⎜⎜
⎝ ri
∈m
α
=
1 ∈m ⎛ X ' mp
⎜
k ' ' ci α ⎜⎝ ri
2
∈m
α
⎞
⎟⎟
⎠
2⎡
⎛ mπ
2
⎢(X ' mp ) − ⎜
⎝ α
⎣⎢
(h' 'i )ϕ
=
1 ∈m ⎛ X ' mp
⎜
k ' ci α ⎜⎝ ri
2
2⎡
2
⎢(X ' mp )
⎢⎣
∂ψ i
1 ∂ψ i
+ aϕ
∂r
r ∂ϕ
⎛ X ' mp ⎞
r ⎟⎟
J mπ ⎜⎜
r
i
⎝
⎠ cos⎛ mπ ϕ ⎞ =
α
⎜
⎟
J mπ ( X ' mp )
⎝ α ⎠
2
⎞
1
⎟⎟
1
2
2
⎠ ⎡
⎛ mπ ⎞ ⎤
2
α
⎟ ⎥
⎢(X ' mp ) − ⎜
⎝ α ⎠ ⎥⎦
⎣⎢
⎛ X ' mp ⎞
r ⎟⎟
J mπ ⎜⎜
ri
⎠ cos⎛ mπ ϕ ⎞
α ⎝
⎜
⎟
1
2
J mπ ( X ' mp )
2
⎝ α ⎠
⎤
⎞
α
⎟ ⎥
⎠ ⎦⎥
mπ
( A − II .28 − a )
⎛ X ' mp ⎞
r ⎟⎟
J mπ ⎜⎜
1 α ⎝ ri
⎠ sin ⎛ mπ ϕ ⎞ =
⎜
⎟
r J mπ ( X ' mp )
⎝ α ⎠
⎞
α
⎟⎟
1
2
2
⎠⎡
⎤
π
m
α
(⎢ X ' mp )2 − ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥
⎝ α ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
⎛ X ' mp ⎞
mπ
r ⎟⎟
J mπ ⎜⎜
r
1
i
⎠ sin ⎛ mπ ϕ ⎞
α ⎝
α
⎜
⎟
1
2
α
2 r J mπ ( X ' mp )
⎝
⎠
⎛ mπ ⎞ ⎤
α
−⎜
⎟ ⎥
⎝ α ⎠ ⎥⎦
( A − II .28 − b )
168
(h' 'i )z
k ' ' ci ∈m ⎛ X ' mp
⎜
jk ' ' zi α ⎜⎝ ri
2
=
⎞
1
⎟⎟
1
2
2
⎠⎡
⎤
m
π
(⎢ X 'mp )2 − ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥
⎝ α ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
⎛ X ' mp ⎞
J mπ ⎜⎜
r ⎟⎟
ri
⎠ cos⎛ mπ ϕ ⎞ =
α ⎝
⎟
⎜
J mπ ( X ' mp )
⎝ α ⎠
α
2
⎛ X ' mp ⎞
⎛ X ' mp ⎞
⎜⎜
⎟⎟
J mπ ⎜⎜
r ⎟⎟
ri ⎠ ∈m
ri
⎛ mπ ⎞
⎝
⎠
α ⎝
cos⎜
=
ϕ⎟
1
jk ' ' zi α ⎡
α ⎠
2
2
⎝
⎤
2
⎛ mπ ⎞
2
⎟ ⎥ J mπ ( X ' mp )
⎢(X ' mp ) − ⎜
⎝ α ⎠ ⎥⎦
α
⎣⎢
(e' 'i )r
(e' 'i )ϕ
=
mπ
∈m
α
=
α
2⎡
⎛ mπ ⎞ ⎤
2
⎟ ⎥
⎢(X ' mp ) − ⎜
⎝ α ⎠ ⎥⎦
⎣⎢
2
∈m
α
⎛ X ' mp
⎜⎜
⎝ ri
1
2
⎛ X ' mp ⎞
J mπ ⎜⎜
r ⎟⎟
1 α ⎝ ri
⎠ sin ⎛ mπ ϕ ⎞
⎜
⎟
r J mπ ( X ' mp )
⎝ α ⎠
( A − II .28 − d )
α
⎞
⎟⎟
⎠
2
2⎡
⎛ mπ ⎞ ⎤
2
⎟ ⎥
⎢(X ' mp ) − ⎜
⎝ α ⎠ ⎦⎥
⎣⎢
( A − II .28 − c )
1
2
⎛ X ' mp ⎞
J mπ ⎜⎜
r ⎟⎟
ri
⎠ cos⎛ mπ ϕ ⎞
α ⎝
⎜
⎟
J mπ ( X ' mp )
⎝ α ⎠
( A − II .28 − e )
α
169
A-II.4. CONSTANTES DE PROPAGACIÓN E IMPEDANCIAS CARACTERÍSTICAS DE
LOS MODOS
Conocidos
k ' c mp =
los autovalores
X mp
para los modos TM, las
ri
correspondientes constantes de propagación se determinan de acuerdo con la ecuación
k ' c2 mp + k ' 2z mp = k 2
o lo que es lo mismo
⎛ X mp
⎜⎜
⎝ ri
2
⎞
⎟⎟ + k ' 2z mp = k 2
⎠
Para valores reales de k, siendo k = ω μ ∈ =
( A − II .29)
2π
λ
y el medio dieléctrico sin pérdidas, vemos
que jk' z mp se anula para un valor de k igual a k' c mp , que vale
k cTMmp =
X mp
( A − II .30)
ri
A este valor se le llama número de onda de corte del modo TMmp.
Para valores de k mayores que k' c mp será k '
2
z mp
⎛ X mp
= k − ⎜⎜
⎝ R
2
2
⎞
⎟⎟ > 0 y por tanto
⎠
k' z mp será real y la constante de propagación será
⎛ X mp
jk ' z mp = j k − ⎜⎜
⎝ R
2
⎞
⎟⎟
⎠
2
que es imaginaria de forma que el modo se propagará.
Por el contrario para valoras k menores que k c mp , k z mp resultará imaginaria y por tanto la
constante de propagación será real y el modo será evanescente.
170
Análogamente para los modos TE tendremos
k cTEmp =
X ' mp
ri
( A − II .31)
de forma que si k > k ' ' c mp el modo se propaga, si k < k ' ' c mp se atenúa.
Como k = 2πf μ ∈ tendremos las frecuencias de corte de los modos dadas por
( f c )TM
mp
( f c )TEmp
=
=
X mp
2πri
μ∈
=
3 × 10 8
X mp
2πri
3 × 10 8
=
X ' mp
2πri
μ∈
X mp
2πri
( A − II .32)
en función de ri y de α a través de Xmp y de X’mp.
Por ser k =
2π
λ
⇒λ=
2π
y podemos obtener las longitudes de onda de corte de las
k
expresiones
(λc )TM
mp
=
2πri
X mp
(λc )TEmp
=
2πri
X ' mp
( A − II .33)
La impedancia de los modos en la guía puede calcularse por las relaciones entre las
componentes ortogonales entre sí de los campos eléctrico y magnético
(Z )TM
mp
⎛ E
=⎜ r
⎜ H ϕ mp
⎝
⎞ jk z mp
γ mp
⎟=
=
⎟
jω ∈
jω ∈
⎠
( A − II .34)
(Z )TEmp
⎛ E r mp
=⎜
⎜ H ϕ mp
⎝
⎞
⎟ = jωμ = jωμ
⎟ jk z mp
γ mp
⎠
( A − II .35)
y para los modos TE
171
A-II.5. FRECUENCIAS DE CORTE RELATIVAS EN LAS GUÍAS SECTORIALES.
Para poder hacerse una idea de los posibles modos que puedan propagarse a una frecuencia en la
guía es útil el manejo de un diagrama de frecuencias de corte relativas. Como estamos interesados en la
subdivisión de la guía circular en un número entero de guías sectoriales obtendremos un diagrama para cada
guía sectorial con α = 2π , π ,
2π π 2π
π
y
. Las frecuencias de corte relativas a la del modo
, ,
3 2 5
3
fundamental se obtienen de las ecuaciones (A-II.32) y de los valores de los ceros de las funciones de
Bessel y de sus derivadas. Los primeros ceros de las funciones de órdenes más bajos pueden obtenerse
por ejemplo del Abramovitz (4) con el que se han confeccionado las siguientes tablas de valores.
TABLA A.II – 1
Valores de Xmp para α = 2π
m\p
1
2
3
0
-
-
-
1
3.141593
6.283185
9.424778
2
3.83171
7.01559
10.17347
3
4.493409
7.725252
10.904122
4
5.13562
8.41724
1.161.984
5
5.763.454
9.095011
12.322941
TABLA A.II – 2
Valores de X’mp para α = 2π
m\p
1
2
3
0
3,8317
7,01558
10,17346
1
1,165561
4,604217
7,789834
2
1,84118
5,33144
8,53632
3
2,460536
6,029292
9,261402
4
3,05424
6,70613
9,96947
5
3,632797
7,367009
10,663561
172
TABLA A.II – 3
Valores de Xmp para α = π
m\p
1
2
3
0
-
-
-
1
3,833171
7,015590
10,173470
2
5,135620
8,417240
11,619840
3
6,380863
9,761019
13,01
4
7,588341
11,064712
14,37
5
8,771483
12,33
TABLA A.II – 4
Valores de X’mp para α = π
m\p
1
2
3
0
3,83170
7,01558
10,17346
1
1,84118
5,33144
8,53632
2
3,05424
6,70613
9,96947
3
4,20119
8,01524
11,34592
4
5,31755
9,28240
12,68191
5
6,41562
10,51986
13,98719
TABLA A.II – 5
Valores de Xmp para α = 2π
3
m\p
1
2
3
0
-
-
-
1
4,493409
7,725252
10,904122
2
6,380160
9,761021
13,01520
3
8,182561
11,704907
15,032513
4
9,93611
13,58929
17,0
173
TABLA A.II – 6
Valores de X’mp para α = 2π
3
m\p
1
2
3
0
3,83170
7,01558
10,17346
1
2,460536
6,029292
9,261402
2
4,20119
8,01524
11,34592
3
5,88420
9,904306
13,33
4
7,50127
11,73494
15,2
TABLA A.II – 7
Valores de Xmp para α = π
2
m\p
1
2
3
0
-
-
-
1
5,13562
8,41724
11,61984
2
7,58834
11,06471
14,3
TABLA A.II – 8
Valores de X’mp para α = π
2
m\p
1
2
3
0
3,83170
7,01558
10,17346
1
3,05424
6,70613
9,96947
2
5,31755
9,28240
12,68
7,50127
11,73494
15,26
3
174
TABLA A.II – 9
Valores de Xmp para α = 2π
5
m\p
1
2
3
0
-
-
-
1
5,763459
9,0950
12,32941
2
8,77148
12,33407
15,7
TABLA A.II – 10
Valores de X’mp para α = 2π
5
m\p
1
2
3
0
3,83170
7,01558
10,17346
1
3,632797
7,367009
10,663561
2
6,41562
10,51986
13,98
9,113402
13,52
17,15
3
TABLA A.II – 11
Valores de Xmp para α = π
3
m\p
1
2
3
0
-
-
-
1
6,38016
9,76102
13,01520
2
9,93611
13,5892
17,0
175
TABLA A.II – 12
Valores de X’mp para α = π
3
m\p
1
2
3
0
3,83170
7,015508
10,17346
1
4,20119
8,01524
11,34592
2
7,50127
11,73494
15,26
Con los anteriores valores de las raíces, se obtienen los diagramas relativos de las figuras A.II-3 y
A.II-4.
176
177
178
BIBLIOGRAFÍA
(1)
N. Marcuvitz, J. Schvinger: “0n the Representation of the Electric and Magnetic Fields
Produced by Currents and Discontinuities in Waveguides”. Journal of Applied Physics, Vol. 22, No.
6, June 1951, pp. 806-819.
(2)
R.F. Harrington: “Time Harmonic Electromagnetic Fields”. Mc Graw Hill 1961. Sec. 3-12 y Prob. 5-7.
(3)
A.A. Oliner: “The Impedance Properties of Narrow Radiating, Slots in the Broad Face of
Rectangular Waveguide. Part I -Theory".
I.R.E. Tran. Antennas and Prop., Jan. 1957, pp. 4-11.
(4)
M. Abramowitz: “Hanbook of Mathematical Functions”. Dover Publications Inc.1965.
Tablas 10.6 y 10.7, pp. 467-468.
179
APÉNDICE IV
PROGRAMACIÓN DELCÁLCULO DE LA ADMITANCIA
DE UNA RANURA AXIAL
198
A-IV.1. INTRODUCCIÓN.
Este Apéndice se dedica a la programación de la admitancia que presenta una ranura
axial sobre guía semicircular usando la teoría desarrollada en el Capítulo 3 y particularizada
para α = π . Comenzaremos viendo la programación del cálcalo de la admitancia de radiación de la ranura axial. Después nos dedicaremos a la programación de la potencia reactiva
almacenada por los modos superiores generados por la presencia de la ranura en la guía
sectorial semicircular. Finalmente veremos el programa completo que se ha realizado para el
cálculo de la admitancia.
199
A-IV.2. CÁLCULO DE LA ADMITANCIA DE RADIACIÓN.
Como se ve en el Capítulo 3 si se supone un campo en la apertura como el dado por la expresión
(3-12) la admitancia de radiación viene dada por (3.33). Para la realización de dicha integración debe
elegirse en primer lugar el contorno a utilizar en el plano complejo kz. Por razones obvias de simplicidad
sería deseable utilizar como contorno el eje real pero esta elección no puede hacerse sin un estudio
cuidadoso de la función subintegral. Un factor de dicha función es la función raíz cuadrada que es
necesario estudiar.
A-IV.2.1. Estudio de k c = k 2 − k z2 en el plano complejo kz.
El estudio de esta función puede encontrarse en Collin (l) y también en Felsen (2). Como vemos
esta función torna dos valores para cada valor del argumento kz. Para asegurar la unicidad en la
determinación de kc y realizar la elección adecuada es necesario discutir sus propiedades.
Para tener una definición única de esta función se necesita un plano complejo de dos hojas con
ramas de corte que proporcionan el medio de pasar de una hoja de Riemann a la otra. Los puntos de
ramificación son por supuesto k z = k y k z = −k siendo k real si el medio es sin perdidas. La
selección de las ramas de corte es arbitraria pero determina la disposición de las diversas regiones del plano
complejo en las que I m [k c ] < 0 ó I m [k c ] > 0 . Como indica Silver (3) para tener propagación radial hacia el
exterior y satisfacer las condiciones de radiación en el infinito se requiere que Re [k c ] > 0 y que
I m [k c ] < 0 .
Por tanto la elección adecuada de les ramas de corte es la de la figura A-IV.1. Para mayor claridad
en la figura se muestran las ranas corte admitiendo que el medio tiene pequeñas perdidas de forma que
∈=∈r − jσ / ω siendo σ la conductividad del medio. En esta situación k = ω μ ∈ tiene una
parte imaginaria negativa.
Como vemos en la hoja superior podemos recorrer el eje real de forma que se
satisfacen las condiciones de radiación.
200
201
A-IV.2.2. Estudio de los polos de la función subintegral en el eje real del plano kz.
Para poder realizar la integral se verá la posible existencia de polos en la trayectoria de
integración. Si se observa la ecuación (3.33) se ve que los posibles polos de la función subintegral se
corresponden con los ceros de H ' (m2 )
(k
2
)
− k z2 re .
Ahora bien se puede escribir
m ( 2)
H m ( z ) − H m( 2+)1 ( z ) =
z
m
⎛m
⎞
= J m ( z ) − J m +1 ( z ) − j ⎜ Ym ( z ) − Ym +1 ( z ) ⎟
z
⎝z
⎠
H m( 2) ' ( z ) =
( A − IV .1)
por lo que los ceros deben satisfacer simultáneamente
m
J m ( x) = J m +1 ( z )
z
( A − IV .2)
m
Ym ( x) = J m +1 ( z )
z
( A − IV .3)
Dividiendo miembro a miembro ambas igualdades se obtiene como condición para los
ceros
J m +1 ( z )Ym ( x) − J m ( z )Ym +1 ( z ) = 0
( A − IV .4)
Ahora bien se puede encontrar la siguiente relación en Abramowitz (4).
J m +1 ( z )Ym ( z ) − J m ( z )Ym +1 ( z ) =
z
πz
( A − IV .5)
Como se ve de (A-IV.5) y (A-IV.4) solo pueden existir polos en el infinito para valores reales
del argumento. Pero el argumento sólo es real para k z < k y por lo tanto en esta región del eje real
no hay polos.
202
Cuando k z < k el argumento se hace imaginario. Para valoras imaginarios del argumento las
funciones de Hankel de segunda especie se convierten en funciones modificadas de Bessel de segunda
)
(
especie por lo que los ceros de H ' (m2 ) − j k z2 − k 2 re son los ceros de K ' m
(k
2
z
)
− k 2 re .
Como quiera que
K 'm
(k
2
z
) 12 (K ( k
− k 2 re =
m −1
2
z
)
− k 2 re + K m +1
(k
2
z
− k 2 re
))
( A − IV .6)
Vemos que solo tiene ceros en el infinito. Por tanto en la trayectoria de integración no existen polos
de la función subintegral salvo en el infinito.
A-IV.2.3. Valor de la función subintegral en los puntos de ramificación.
Los únicos puntos singulares de la función subintegral en la trayectoria de integración son los
puntos de ramificación k z = ± k . Dado que la función es par en kz el comportamiento de cada uno de los
términos de la serie en k la obtendremos como
lim k
H m( 2 )
z →k
−
H
( 2)
m
(k
'( k
)
−k r )
2
− k z2 re
2
2
z e
k 2 − k z2
( A − IV .7 )
que es igual al siguiente límite
lim x →0
= lim x→0
1 H m( 2) ( x)
x J m ( x) − jYm ( x)
× ( 2)
= lim x →0
=
re H m ' ( x)
re J ' m ( x) − jY ' m ( x)
J ( x)Y ' m ( x) − J ' m ( x)Ym ( x) ⎤
x ⎡ J m ( x) J ' m ( x) + Ym ( x)Y ' m ( x)
+ j m
⎢
⎥
2
2
re ⎣
J ' m ( x) + Y ' m ( x)
J ' 2m ( x) + Y ' 2m ( x)
⎦
( A − IV .8)
Ahora bien, el límite de la parte real de (A-IV.8) es igual al límite
203
lim x→0
x Ym ( x)Y ' m ( x)
x
= lim x→0
2
2
re J ' m ( x) + Y ' m ( x)
re
1
2
m
J ' ( x)
m Y ( x)
+ − m +1
Ym ( x)Y ' m ( x) x Ym ( x)
( A − IV .9)
Pero como
lim x →0
Ym +1 ( x)
= lim x →0
Ym ( x)
− ( m +1)
⎛1 ⎞
Γ(m + 1)⎜ x ⎟
π
⎝2 ⎠
−m
1
⎛1 ⎞
Γ(m)⎜ x ⎟
π
⎝2 ⎠
1
= lim x→0
2m
=∞
x
( A − IV .10)
será cero el límite de (A-IV.9). En (A-IV.10) se han sustituido Ym+1 ( x) e Ym (x) por sus
valores asintóticos para argumentos pequeños (5).
En cuanto al límite de la parte imaginaria de (A-IV.8) será:
lim x→0
⎞
⎛
⎟
⎜
x⎜
1
1
⎟
−
2
2
⎜
re
J ' m ( x)
Y ' m ( x) J ' m ( x)
Y ' m ( x) ⎟
⎟
⎜
+
+
⎟
⎜ J ( x)Y ' ( x) J ( x)
Y
(
x
)
J
'
(
x
)
Y
(
x
)
m
m
m
m
m
⎠
⎝ m
( A − IV .11)
en la que el límite del primer término es cero. Como además
lim x →0
Y ' 2m ( x)
=∞
J ' m ( x)Ym ( x)
( A − IV .12)
que se obtiene sin más que tener en cuenta el comportamiento asintótico de las funciones para valores
pequeños del argumentos será también cero el límite del segundo término.
En consecuencia el límite de todos los términos de la función subintegral y por tanto de ella misma,
es cero cuando k z → k − .
Si se desea obtener el límite cuando k z → k + hay que tener en cuenta que cuando k z > k el
argumento de las funciones de Hankel y de sus derivadas es imaginario puro. En consecuencia
204
(
)
(
)
H m( 2) − j k z2 − k 2 re =
H ' (m2) − j k z2 − k 2 re =
2
1
Km
π (− j )m+1
2
1
π (− j )m
K 'm
(k
2
z
− k 2 re
)
( A − IV .13)
(k
2
z
− k 2 re
)
( A − IV .14)
De nuevo teniendo en cuenta las expresiones de K m (x) y K ' m ( x) para valores pequeños del
argumento puede encontrarse con facilidad que el límite de todos los términos de la serie que forma la
función subintegral son cero y por tanto confirma el límite nulo de dicha función en los puntos de
ramificación.
205
A-IV.3.PROGRAMACIÓN DEL CÁLCULO DE LAS FUNCIONES SUBINTEGRALES
Visto que la función subintegral es par en kz es claro que la expresión (3.33) puede
escribirse en la forma
∞
⎞
⎛ k
⎜
Yr = − j 2
2 ∫ F (k z )dk z + 2 ∫ K (k z )dk z ⎟⎟
⎜
8π η 0 kre ⎝ 0
k
⎠
ab
( A − IV .5)
siendo
∞
F (k z ) = S 2 (k z b )∑∈m
m =0
∞
H m( 2 ) (k c re )
⎛ mφ ⎞
k c ( 2)
sin c 2 ⎜ e ⎟
H ' m (k c re )
⎝ 2 ⎠
( A − IV .16)
K m (k c re )
⎛ mφ ⎞
sin c 2 ⎜ e ⎟
K ' m (k c re )
⎝ 2 ⎠
( A − IV .17 )
K (k z ) = jS 2 (k z b )∑∈m k c
m =0
donde hemos llamado k c =
k z2 − k 2 .
Para realizar las integrales (A-IV.15) es necesario calcular previamente las funciones (A-IV.16)
y (A-IV.17) que se programarán como subrutinas adecuadas para ser llamadas por la subrutina de
integración de funciones complejas desarrollada en el Apéndice III.
A-IV.3.1. Cálculo de F (k z ) .
Comenzaremos con el cálculo de F (k z ) . El cálculo de las funciones de Hankel y de sus
derivadas se reduce al cálculo de las funciones de Bessel y Neuman que puede realizarse con las
subrutinas BESJ y BESY que ya se han utilizado.
Un primer intento de cálculo de (A-IV.16) se basa en llamar a las subrutinas anteriores para
calcular Jm(x) e Ym(x) hasta un cierto valor de ranura cada argumento x. Con estos valores calcular
H ' (m2 ) ( x ) y H m( 2 ) ( x ) utilizando las expresiones.
206
H m( 2 ) ( x ) = J m ( x ) − jYm ( x )
H ' (m2 ) ( x) =
m ( 2)
H m ( x) − H m( 2+)1 ( x)
x
( A − IV .18)
( A − IV .19)
Con estos valores obtenidos ir sumando la serie.
Siguiendo esta manera de proceder se encontró que la convergencia de la parte imaginaria de la serie
es muy rápida bastando sumar pocos términos. Sin embargo la convergencia de la parte real de la serie es
lenta por lo que necesitan sumarse muchos términos de la serie. Por ejemplo con un valor del argumento de 3
el error relativo de la serie sumando 23 y 24 términos es tan grande como el 1.5% siendo además la
convergencia tanto más lenta cuanto mayor es el argumento. Por tanto para obtener suficiente precisión se
requiere calcular funciones de orden alto lo que produce overflows en el cálculo de las Ym. Para evitar este
inconveniente se ha expresado el cociente de la función de Hankel por su derivada de la siguiente
forma
H m( 2 ) ( x) J m ( x) J ' m ( x) + Ym ( x)Y ' m ( x)
J ( x)Y ' m ( x) − J ' m ( x)Ym ( x)
=
+ j m
( 2)
2
2
H ' m ( x)
J ' m ( x) + Y ' m ( x)
J ' 2m ( x) + Y ' 2m ( x)
( A − IV .20)
Un estudio de la parte real muestra que para un argumento de x = 3 cuando m > 10,
Ym ( x ) ⋅ Y ' m ( x ) > 10 8 mientras que J m ( x ) ⋅ J ' m ( x ) < 10 −8 siendo pues despreciable frente al
anterior. Además J ' 2m ( x ) << Y ' 2m ( x ) siempre que el argumento no sea muy grande y m > 10.
Podremos pues aproximar
J m ( x) J ' m ( x) + Ym ( x)Y ' m ( x) Ym ( x)
1
≈
=
2
2
Y ' m ( x) Ym −1 ( x) m
J ' m ( x) + Y ' m ( x)
−
Ym ( x)
x
( A − IV .21)
En estas condiciones no se necesita calcular Jm(x) e Ym(x) para valores muy altos de m
porque la expresión permite un cálculo recurrente de los términos de la serie. En
efecto
Ym +1 ( x) =
2m
Ym ( x) − Ym −1 ( x)
x
207
1=
2m Ym ( x) Ym−1 ( x)
−
x Ym +1 ( x) Ym +1 ( x)
Y ( x)
Ym −1 ( x)
2m Ym ( x)
= 1 + m −1
= 1+
2m
x Ym +1 ( x)
Ym +1 ( x)
Ym ( x) − Ym −1 ( x)
x
y por tanto
Ym ( x)
x
=
1+
Ym +1 ( x) 2m
1
m
1
−1
2
x Ym −1 ( x)
Ym ( x)
( A − IV .22)
que nos expresa Ym ( x) Ym +1 ( x) en función de Ym−1 ( x) Ym ( x) .
Con estas ideas se ha desarrollado el organigrama de cálculo que se adjunta a partir del cual se ha
escrito la subrutina Fortran cu yo listado incluimos.
La subrutina comienza protegiéndose del cálculo en k z = k que lleva a valores cero del
argumento y a un valor nulo de la función que se asigna sin cálculo.
A continuación se calcula el valor del argumento de las funciones y se llama a la subrutina BESY
para calcular los 11 primeros órdenes de las funciones de Bessel y Neumann del argumento calculado. Con
estos valores se calculan los 10 primeros órdenes de la función de Hankel y de su derivada.
A continuación se van sumando los10 primeros términos de la serie al tiempo que se
calcula el error relativo producido por la adición de cada nuevo término a la seria (tanto la parte real como
la imaginaria de dicho error).
Al acabar la suma de estos 10 primeros términos se comprueba si el error relativo de la parte
imaginaria es menor de 10-6. Normalmente así ocurre y en caso contrario se escribe un mensaje de error
y se para el programa. Si se produce esta situación hay que cambiar el programa. Esto solo se produce
si el radio del cilindro es muy grande frente a la longitud de onda pero no en las situaciones que hemos
manejado.
208
Si la parte real presenta un error relativo suficientemente pequeño se acaba la suma. En caso
contrario se van añadiendo términos a la parte real hasta que se obtiene un error relativo menor que 10-6.
Para ello se utiliza la expresión aproximada (A-IV.22). Si hay que sumar más de cien términos el
programa escribe un mensaje indicativo.
Una vez obtenida la suma con la convergencia deseada para la parte real e imaginaria tendremos
en la variable SUM el valor de la serie. Para obtener la función subintegral basta multiplicar por
k z2 − k 2 y por S 2 (k z b) el resultado anterior.
La forma de llamar a la subrutina es
CALL FUNSU (KZ, F)
siendo
KZ:
valor de kz para el que se desea calcular la función F (k z ) . Variable real adimensional.
F:
valor obtenido de la función F (k z ) . Variable compleja adimensional.
Además deben traspasarse argumentos a la subrutina a través de la zona COMMON
COMMON/Y/KØ, FIØ, B, RØ
siendo
KØ
valor del producto k = 2π λ siendo λ la longitud de onda. Variable real adimensional .
FIØ
valor del ángulo φ e =
a
re
siendo a el ancho de la ranura y re el radio exterior del
cilindro.Variable real adimensional.
B
longitud de la ranura. Variable real adimensional
RØ
radio exterior del cilindro. Variable real adimensional.
Para utilizar esta subrutina se necesitan además las subrutinas: BESY, BESJ y SBFG.
209
210
211
10
20
14
15
16
30
35
49
50
51
52
SUBROUTINE FUNSU (KZ, F)
REAL K0, KZ
COMPLEX F, HANK, DHANK, SUM, SUMIN, SUMA
COMMON / Y / K0, FI0, B, R0
DIMENSION BJ (30), BY (30), HANK (120), DHANK (12)
PI = 4·*ATAN (1.)
IF (ABS (K0-KZ).GT.1.0E-20) GOTO 10
F = CMPLX (0.0, 0.0)
RETURN
X = SQRT (ABS (K0*K0 – KZ*KZ))*R0
N = 12
NMAX = MAX1 (X+21., N+15.)
CALL BESY (X, N, NMAX, BJ, BY)
N1 = N-1
N2 = N-2
DO 20 I =1,N1
RDH = (FLOAT(I-1)/X)*BJ (I) – BJ(I+1)
AIDH = (FLOAT(I-1)/X)*BY (I) – BY(I+1)
DHANK (I) = CMPLX (RDH, -AIDH)
RH = BJ (I)
AIH = BY (I)
HANK (I) = CMPLX (RH, -AIH)
CONTINUE
SUM = HANK (1)/DHANK (1)
DO 30 I =1,N2
IF (FI0) 14, 15, 14
SUM1 = (SIN (FLOAT (1)*FI0) / (FLOAT (I)*FI0))**2
GOTO 16
SUM1 = 1.
SUMIN = 2.*SUM1*HANK (I+1)/DHANK (I+1)
SUMA = SUM + SUMIN
AIMER = (AIMAG (SUMA) – AIMAG (SUM))/AIMAG (SUM)
RELER = (REAL (SUMA) – REAL (SUM))/REAL (SUM)
SUM = SUMA
CONTINUE
SJMR = REAL (SUM)
SUMI = AIMAG (SUM)
M = N1
TM = BY (N1)/BY (N)
IF (ABS (AIMER).LT.1.0E-6) GOTO 35
TYPE “SIN CONVERGENCIA IMAGINARIA”
IF (ABS (RELER).LT.1.0E-6) GOTO 40
CONTINUE
IF (FI0) 50, 51, 50
SUM1 = (SIN (FLOAT (M)*FI0) / (FLOAT (M)*FI0))**2
GOTO 52
SUM1 = 1.
SUMIR = 2.*SUM1/(TM-FLOAT (M)/X)
SUMAR = SUMR + SUMIR
IF (ABS (RELER).LT.1.0E-6) GOTO 40
X2M = X/(2.*FLOAT (M))
TM = X2M*(1.+1./(1./(X2M*TM)-1.))
M =M+1
IF (M.GT.100) TYPE “M>100”
SUMR =SUMAR
212
40
GOTO 49
CONTINUE
SUM = CMPLX (SUMR, SUMI)
F = SUM*SQRT (ABS (K0*K0 – KZ*KZ))
Y1 = KZ*B/2. + PI/2.
Y2 = KZ*B/2. - PI/2.
SINC2 = (SIN (Y1)/Y1 + SIN (Y2)/Y2)**2
F = F*SINC2
RETURN
END
213
A-IV.3.2. Cálculo de K (k z ) .
De acuerdo con (A-IV.15) en el intervalo de integración k z > k la función subintegral viene
dada por (A-IV.17). La experiencia obtenida anteriormente para el cálculo de F (k z ) nos lleva a buscar
una relación de recurrencia entre los términos de la serie.
Los términos de la serie tienen el factor K m ( x) K ' m ( x) que puede expresarse como
K m ( x)
K m ( x)
1
=
=
K ( x) m
K ' m ( x) − K ( x) − m K ( x)
− m −1
−
m −1
m
x
K m ( x)
x
( A − IV .23)
La relación de recurrencia entre K m ( x) K m +1 ( x) y K m−1 ( x) K m ( x) se obtiene con el
mismo procedimiento usado en el apartado anterior con las funciones de Neumann resultando
⎞
⎛
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
K m ( x)
x ⎜
1
=
⎟
⎜1 −
1
K m +1 ( x) 2m ⎜
+1⎟
x K m −1 ( x)
⎟
⎜
⎟
⎜
2m K m ( x )
⎠
⎝
( A − IV .24)
El cálculo de las funciones K m (x) se obtiene utilizando una subrutina llamada BESK. Esta
subrutina necesita a su vez de otra subrutina llamada BESI que calcula las funciones I m (x) . Un
apartado posterior de este Apéndice se dedica a estas subrutinas.
La subrutina BESK proporciona los valores de K m (x) hasta el orden m que se desee para
argumentos 0 < x < 8 . Sin embargo para obtener con buena aproximación la segunda integral de (AIV.15) se extiende el límite superior hasta 15 k ó incluso 20 k lo que lleva a argumentos de K m (x) mayores
que los que permite la subrutina anterior.
El problema anterior se soluciona utilizando aproximaciones polinómicas adecuadas de K 0 ( x ) y
K1 ( x) obteniéndose el resto de términos utilizando la relación de recurrencia (A-IV.24). Las
214
aproximaciones polinómicas utilizadas son las dadas en Abramowitz (6).
2
3
⎛2⎞
⎛2⎞
⎛2⎞
x e K 0 ( x) = 1.25331414 − .07832358⎜ ⎟ + .02189568⎜ ⎟ − .01062446⎜ ⎟ +
⎝ x⎠
⎝ x⎠
⎝ x⎠
1
2
x
4
5
6
⎛2⎞
⎛2⎞
⎛2⎞
+ .00587872⎜ ⎟ − .00251540⎜ ⎟ + .00053208⎜ ⎟ + ∈
⎝ x⎠
⎝ x⎠
⎝ x⎠
( A − IV .25)
con ∈ < 1.9 × 10 −7 en el margen 2 < x < ∞.
2
3
⎛2⎞
⎛2⎞
⎛2⎞
x e K 1 ( x) = 1.25331414 + .23498619⎜ ⎟ − .03655620⎜ ⎟ + .01504268⎜ ⎟ −
⎝ x⎠
⎝ x⎠
⎝ x⎠
1
2
x
4
5
6
⎛2⎞
⎛2⎞
⎛2⎞
− .00780353⎜ ⎟ + .00325614⎜ ⎟ − .00068245⎜ ⎟ + ∈
⎝ x⎠
⎝ x⎠
⎝ x⎠
( A − IV .26)
con ∈ < 2.2 × 10 −7 en el margen 2 < x < ∞.
Con estas ideas se ha construido una subrutina de cálculo de K (k z ) cuyo listado incluimos. El
diagrama de flujo es similar al utilizado para calcular F (k z ) por lo que no se incluye aquí.
La forma de llamar a la subrutina es
CALL FUNKA. (KZ, F)
donde
KZ:
valor de k z para el que se desea obtener la función. Variable real adimensional
P:
valor obtenido de la función K (k z ) . Variable compleja adimensional
Deben transvasarse más argumentos a la subrutina de la misma zona COMMON definida
en el apartado anterior.
Para utilizar esta subrutina se necesitan además las subrutinas BESK, BESI y SBFG.
215
SUBROUTINE FUNKA (KZ, F)
10
13
14
15
16
40
REAL K0, KZ
COMPLEX F
COMMON / Y / K0, FI0, B, R0
DIMENSION BI (30), BK (30)
PI = 4·*ATAN (1.)
IF (ABS (K0-KZ).GT.1.0E-20) GOTO 10
F = CMPLX (0.0, 0.0)
RETURN
X = SQRT (ABS (K0*K0 – KZ*KZ))*R0
IF (ABS (X).GE.8.) GOTO 50
N=5
NMAX = MAX1 (X+21., N+15.)
FNU = 0.
CALL BESK (X, FNU, N, NMAX, BI, BK)
TM = BK (1)/BK (2)
SUM = TM
M=1
IF (FI0) 14, 15, 14
SUM1 = (SIN (FLOAT (M)*FI0) / (FLOAT (M)*FI0))**2
GOTO 16
SUM1 = 1.
SUMIN = 2.*SUM1/(-TM-FLOAT (M)/X)
SUMA = SUM + SUMIN
RELER = (SUMA – SUM)/SUM
IF (ABS (RELER).LT.1.0E-6) GOTO 40
X2M = X/(2.*FLOAT (M))
TM = X2M*(1.-1./(1./(X2M*TM)+1.))
M =M+1
IF (M.GT.1000) TYPE “M>1000”
SUM = SUMA
GOTO 13
FR = SUMA*SQRT (ABS (K0*K0 – KZ*KZ))
Y1 = KZ*B/2. + PI/2.
Y2 = KZ*B/2. - PI/2.
SINC2 = (SIN (Y1)/Y1 + SIN (Y2)/Y2)**2
FR = FR*SINC2
F = CMPLX (FR, 0.0)
RETURN
X2 = 2./X
ANUM = 1.25331414 - .07832358*X2 + .02189568*(X2**2)
ANUM = ANUM - .01062446*(X2**3) + .00587872*(X2**4)
ANUM = ANUM - .00251540*(X2**5) + .00053208*(X2**6)
ADEN = 1.25331414 + .23498619*X2 - .03655620*(X2**2)
ADEN = ADEN + .01504268*(X2**3) - .00780353*(X2**4)
ADEN = ADEN + .00325614*(X2**5) - .00068245*(X2**6)
TM = ANUM/ADEN
SUM = TM
M=1
GOTO 13
END
216
A-IV.4. CÁLCULO Y PROGRAMACIÓN DE LAS FUNCIONES MODIFICADAS DE
BESSEL I m (x) Y K m (x) .
Comenzaremos
en primer lugar con las funciones I m (x) . Dado que estas
funciones tienen un comportamiento exponencial creciente es práctica habitual calcular e − x I m (x) ya que
este producto no varía tan rápidamente.
Las funciones I m (x) satisfacen la relación de recurrencia.
I m −1 ( x) − I m +1 ( x) =
2m
I m ( x)
x
( A − IV .27 )
Definimos la función Gm (x) como
Gm ( x) = aI m ( x)
( A − IV .28)
donde a es una constante real arbitraria. Esta función también satisface la relación de recurrencia (A-IV.27).
Su comportamiento es similar al de I m (x) . Por tanto para un valor del argumento x suficientemente
pequeño se puede encontrar un valor del orden m = M suficientemente grande tal que pueden aproximarse
con pequeño error
G M +1 ( x) ≈ 0
G M ( x) = c
siendo c una nueva constante.
Con
estos
valores
de
GM +1 ( x) y
GM (x)
podemos
obtener
G M −1 ( x)....G n ( x ).....G0 ( x ) utilizando la relación de recurrencia (A-IV.27).
Los valores obtenidos serán
( )(
G n ( x ) = ae x e − x I n ( x )
)
217
de forma que si se obtiene ae x puede calcularse e − x I n (x ) a partir de G n (x) .
Para ello se utiliza el siguiente teorema de adición (7)
⎛ 2 ⎞ (1 + ν ) ∞ m + ν
2⎜ ⎟
Γ(2ν + m ) e − x I m +ν ( x) = 1
∑
⎝ x ⎠ (1 + 2ν ) m =0 m!
ν
(
)
( A − IV .29)
del que puede obtenerse la expresión
∞
M
m =0
m =0
ae x = ∑ Pm G m +ν ( x ) ≈ ∑ Pm G m +ν ( x)
( A − IV .30)
siendo Pm coeficientes de la serie. Estos coeficientes pueden calcularse en forma recurrente siendo
ν
⎛2⎞
Po = ⎜ ⎟ Γ(1 + ν )
⎝ x⎠
P1 = P0 × (1 + ν )
Pm = Pm −1 ×
(m + ν )(2ν + m − 1)
m(ν + m − 1)
Con base en este método matemático se ha realizado una subrutina llamada BESI que calcula
los valores de e − x I n +ν (x ) con 0 < ν < 1 y hasta el valor de n deseado. El listado de la subrutina es el
que se incluye.
La forma de llamar a la subrutina es
CALL BESI (Z, FNU, N, NMAX, BI)
siendo
Z:
argumento de las funciones que se desean calcular. Su valor debe estar comprendido entre 0
y 10. Variable real adimensional.
FNU:
parte fraccionaria ν del orden de las funciones a calcular. Su valor debe estar comprendido
entre 0 y 1. Variable real adimensional.
218
N:
valor de la parte entera del orden más alto que desea calcularse con precisión. Variable entera
adimensional.
NMAX: valor máximo de los N + 15 y parte entera de z +21. Variable entera adimensional
BI:
matriz unidimensional que contiene los valores de las funciones calculadas. Es
decir, los valores de e x I N +ν (z ). Su dimensión es NMAX. Matriz real.
Esta subrutina requiere para su utilización la subrutina SBFG que calcula la función
Gamma.
219
39
59
79
90
109
160
170
180
SUBROUTINE BESI (Z, FNU, N, NMAX, BI)
DIMENSION BI (NMAX)
IF (N.LT. 0) GO TO 160
IF (Z.EQ. 0.) GO TO 90
IF (Z.GT. 10.) GO TO 170
BI (NMAX) = 0.
BI (NMAX-1) = 1.
ZM2 = Z/2.
NM2 = NMAX -2
DO 39 I = 1, NM2
J = NMAX -1 – I
BI (J) = ((J+FNU)/ZM2)*BI (J+1) + BI (J+2)
CONTINUE
P = 1. + FNU
CALL SBFG (P, FG)
P0 = ((1./ZM2)**FNU)*FG
ST = P0*BI(1)
P0 = P0*(1.+FNU)*2.
ST = ST + P0*BI (2)
DO 59 I = 3, NMAX
P1 = P0* (I-1 +FNU)*(2.*FNU + I -2)
P1 = P1/((I-1)*(FNU + I -2))
S1 = P1*BI (I)
ST = ST + S1
P0 = P1
CONTINUE
DO 79 I = 1, NMAX
BI (I) = BI (I)/ST
CONTINUE
GO TO 180
BI (1) = 1.
DO 109 I = 2, NMAX
BI (I) = 0.
CONTINUE
GO TO 180
TYPE “ORDEN MENOR QUE CERO”
GO TO 180
TYPE “ARGUMENTO MAYOR QUE 10”
CONTINUE
RETURN
END
220
Veamos ahora el método matemático de cálculo de las funciones K m (x). Dado el
carácter exponencial decreciente de estas funciones calcularemos e x K m (x ). Estas
funciones modificadas de Bessel satisfacen la relación de recurrencia.
K m −1 ( x ) − K m +1 ( x) = −
2m
K m ( x)
x
( A − IV .31)
Además entre las funciones I y K existe la siguiente relación de tipo Wranskiano(8).
Kν ( x ) Iν +1 + Kν +1 ( x) Iν ( x) =
1
x
( A − IV .32)
donde 0 < ν < 1.
Por tanto para calcular el conjunto de valores e e x K n +ν (x) sólo es necesario
calcular e x Kν (x ) y los valores e − x Iν (x ) y e − x Iν +1 (x ) . Al aplicar (A-IV.32)
obtendremos Kν +1 (x) y el resto de valores se obtienen utilizando la relación de recurrencia
(A-IV.3l).
Para calcular e x Kν (x ) se utiliza la representación integral (9)
∞
Kν ( x) = ∫ e − xCh (t )Ch(νt )dt
( A − IV .33)
0
de forma que será
∞
e Kν ( x) = ∫ e − x[1−Ch (t )]Ch(νt )dt
x
( A − IV .34)
0
Esta expresión se integra numéricamente en el intervalo 0 < t < 7 utilizando la
regla del trapecio y subdivisión sucesiva del intervalo hasta obtener un error menor de
10 −5. El resultado es bueno para valores de x < 8.0.
Con estas ideas se ha realizado la subrutina cuyo listado incluimos. La forma de
221
llamar a la subrutina es
CALL BESK (Z, FNU, N, NM AX, BI, BK)
donde los argumentos son los mismos que los utilizados con la subrutina BESI con la
inclusión de
BK:
matriz unidimensional que contiene los valores de e z K N +ν (z ) . Su dimensión es
NMAX y es una matriz real.
Para su utilización necesita de las subrutinas BESI y SBFG.
Con estas subrutinas se han obtenido tablas de valores que presentan una perfecta
correspondencia con los presentados por Abramovitz.
222
10
20
21
22
30
31
32
50
40
80
60
70
SUBROUTINE BESK (Z, FNU, N, NMAX, BI, BK)
DIMENSION BI (NMAX), BK (NMAX)
CH (X) = (EXP (X) + EXP (-X))/2
CHS (FNU, X) = ( EXP (FNU*X) + EXP (FNU*(-X)))/2
ZM2 = Z/2.
IF (N.LT. 0) GO TO 100
IF (Z.EQ. 0.) GO TO 105
IF (Z.LT. 0.) GO TO 110
IF (Z.GT. 8.) GO TO 115
CALL BESI (Z, FNU, N, NMAX, BI)
A = 0.
B = 7.
NC0 = 0
NC1 = 0
H = (B – A)/3.
S = 0.
C6 = H + FLOAT (NC0)*H
X=A+H
CONTINUE
IF (ABS (Z*(1.- CH(X))).LE.174.) GO TO 21
F = 0.
GOTO 22
F = EXP (Z* (1.- CH(X)))*CHS (FNU, X)
CONTINUE
S=S+F
IF (X.GT.(B-H)/2.)) GOTO 30
X = X +C6
GOTO 20
CONTINUE
IF (NC0.EQ.1) GOTO 40
F = 1.
S = 2.*S + F
IF (ABS (Z*(1.- CH(B))).LE.174.) GO TO 31
F = 0.
GOTO 32
F = EXP (Z* (1.- CH(B)))*CHS (FNU, B)
CONTINUE
S=S+F
P = S*H/2.
NC0 = 1
H = H/2.
GOTO 10
Q = P/2. + S *H
IF (ABS (Q).LE.1.E-30) GOTO 60
ABSCO = ABS (Q – P)
IF (ABSCO.LT.1.E-5) GOTO 70
P=Q
GOTO 50
IF (NC1.EQ.1) GOTO 70
NC1 = 1
GOTO 80
CONTINUE
223
75
100
105
110
115
120
BK (1) = Q
BK (2) = (1./Z – BK(1)*BI(2))/BI(1)
NM2 = NMAX -2
DO 75 I = 1, NM2
J = I +2
BK (J) = BK(J-2) + (J-2 +FNU)*BK(J-1)/ZM2
CONTINUE
GOTO 120
TYPE “ORDEN NEGATIVO EN K(Z)”
GO TO 120
TYPE “ARGUMENTO CERO EN K(Z)”
GOTO 120
TYPE “ARGUMENTO NEGATIVO EN K(Z)”
GOTO 120
TYPE “ARGUMENTO MAYOR QUE 8 EN K(Z)”
CONTINUE
RETURN
END
224
A-IV.5. CÁLCULO DE LAS RAÍCES DE LAS DERIVADAS DE LAS FUNCIONES
DE BESSEL.
Para completar los elementos del cálculo de la admitancia presentada por una ranura
axial en una guía sectorial semicircular falta la obtención de la potencia reactiva almacenada
en el interior de la guía. Dicha energía se calcula con la expresión (3.66) utilizando (3.64) y
(3.65). De la observación de estas expresiones se concluye que para su manejo se precisa del
cálculo de las raices x' mp de las derivadas de las funciones de Bessel J ' mπ ( x).
x
Como ya se ha mencionado remetidas veces los ángulos α en que estamos
interesados son α =
2π
siendo N el número de guías sectoriales a utilizar. Además se va a
N
verificar experimentalmente la teoría con guías semicirculares para las que α = π . Por tanto las
raíces a manejar son las de la función J ' m ( x) con m = 0,1,2,.....
Si se desea obtener una gran precisión en el cálculo de estos ceros el problema se
hace tremendamente complicado. Así Olver (10) utiliza cinco procedimientos de cálculo en
función de los valores de m y p.
Aquí se ha simplificado el problema permitiendo un error relativamente importante
para unos pocos valores de m y p. Utilizando el desarrollo asintótico de Mc Mahon (11)
dado por
∞
A2 r −1
3r
2 r −1
r =1 (2 r − 1)! 2 B
x' mp ≈ B − ∑
( A − IV .35)
siendo
B=
1
(2m + 4 p − 3)π
4
A1 = μ + 3
A3 = 7 μ 2 + 82 μ − 9
225
(
A5 = 4 83μ 3 + 2075 μ 2 − 3039 μ + 3537
)
(
A7 = 6 6949 μ 4 + 296492 μ 3 − 1248002 μ 2 + 7414380 μ − 5853627
)
(
A9 = 144 70197 μ 5 + 4535387 μ 4 − 38051230μ 3 + 527973862μ 2 − 2491515495μ + 2014126479
A11 = 720(5592657μ + 507585210μ − 7121376977μ + 177311093036μ −
6
5
4
3
− 2079338304417 μ 2 + 9969910286202μ − 8057531232063)
con μ = 4m 2 se obtiene una precisión aceptable salvo para los primeros ceros de los órdenes altos. Pero
estos valores pueden obtenerse utilizando las expresiones
x' m1 ≈ m + .8086165m
1
x' m 2 ≈ m + 2.5780961m
1
x' m 2 ≈ m + 3.8257153m
1
−1
3
+ .07249m
3
+ 1.955186m
3
+ 4.36469m
− .05097m −1 + .0094m
3
−1
−1
3
3
−5
− .08925m −1 − .2941m
3
−5
− .20007m −1 − 1.5669m
+ .....
3
−5
3
+ .....
+ .....
Naturalmente las expresiones anteriores son válidas para m ≠ 0. Como J ' 0 ( x) = J 1 ( x)
serán x' 0 p = x1 p . Estos valores pueden obtenerse utilizando el siguiente desarrollo de Mc Mahon
∞
A2 r −1
3r
2 r −1
r =1 (2 r − 1)! 2 B
x mp ≈ B − ∑
donde ahora
B=
1
(2m + 4 p − 1)π
4
A1 = μ − 1
A3 = (μ − 1)(7 μ − 31)
(
A5 = 4(μ − 1) 83μ 2 − 982 μ + 3779
(
)
A7 = 6(μ − 1) 6949 μ 3 − 153855 μ 2 + 1585743 μ − 6277237
)
(
A9 = 144(μ − 1) 70197 μ 4 − 2479316 μ 3 + 48010494 μ 2 − 512062548 μ + 2092163573
)
A11 = 720( μ − 1)(5592657 μ 5 − 287149133μ 4 + 8903961290μ 3 − 179289628602 μ 2 +
+ 1982611456181μ − 8249725736393)
226
)
A13 = 576( μ − 1)(4148944183μ 6 − 291245357370μ 5 + 13172003634537 μ 4 −
− 426353946885548μ 3 + 8929489333108377 μ 2 − 100847472093088506μ +
+ 423748443625564327)
con μ = 4m 2 .Evidentemente en nuestro caso m = 1.
Un estudio comparativo de los resultados obtenidos de la programación de las anteriores
expresiones con los valores tabulados en Abramovitz nos lleva a las siguientes conclusiones
¾ Para m = 0 el desarrollo de Mc Mahon da una precisión de al menos cinco cifras significativas
salvo para el primer cero.
¾ Para m ≠ 0 y p = 1 la expresión de Olver es mejor que la de Mc Mahon para todos los
valores de m siendo el error absoluto máximo cometido de 1.6 x 10-3 correspondiente al valor de
x'11 .
¾ Para m ≠ 0 y p = 2 la expresión de Mc Mahon es mejor que la de Olver para m < 5 ,
siendo esta última mejor a partir de este valor de m. El error absoluto máximo cometido es de 8 x
10-3.
¾ Para m ≠ 0 y p = 3 1a expresión de Mc Mahon es mejor que la de Olver para m < 13.
En consecuencia se ha programado el cálculo de las raíces de acuerdo con el organigrama que se
adjunta. Se incluye asimismo el listado de dicha subrutina.
La forma de llamar a la subrutina es
CALL MIZ (X, M, P)
siendo
X:
valor obtenido de la raíz xmp. Variable real adimensional.
M:
valor del orden de la función cuya raíz se desea calcular. Variable entera adimensional.
P:
orden del cero que se desea calcular. Variable entera adimensional.
227
228
40
20
30
10
11
12
100
SUBROUTINE RAIZ (X, M, N)
INTEGER P
P=N
PI = 4.*ATAN (1.)
IF (M.EQ. 0) GOTO 100
IF (P.EQ. 1) GOTO 10
IF (P.EQ. 2) GOTO 20
IF (P.EQ. 3) GOTO 30
XM = FLOAT (M)
XP = FLOAT (N)
XN = 4.*(XM**2)
A1 = XN + 3
A3 = 7.*(XN**2) + 82.*XN-9.
A5 = 4.*(83.*(XN**3)+2075.*(XN**2)-3039.*XN+3537.)
A7 = 6.E3*(6.949*(XN**4)+296.492*(XN**3)-1248.002*(XN**2))
A7 = A7+6.E3*(7414.380*XN-5853.627)
A9 = .70197*(XN**5)+45.35387*(XN**4)-380.5123*(XN**3)
A9 = A9+5279.73862*(XN**2)-24915.15495*XN+20141.26479
A9 = A9*144.E5
B = .25*(2.*XM+4.*XP-3.)*PI
X = B-A1/(8.*B)-A3/(6.*(2.**6)*(B**3))
X = X-A5/(120.*(2**9)*(B**5)) – A7/(42.*120.*(2.**12)*(B**7))
X = X-A9/(72.*42.*120.*(2.**15)*(B**9))
RETURN
IF (M.GE.5) GOTO 11
GOTO 40
IF (M.GE.13) GOTO 12
GOTO 40
XM = FLOAT (M)
XP = FLOAT (P)
X = XM+.8086165*(XM**(1./3.))+.07249*(XM**(-1./3.))
X = X - .05097*(1./XM)+.0094*(XM**(-5./3.))
RETURN
XM = FLOAT (M)
XP = FLOAT (P)
X = XM+2.5780961*(XM**(1./3.))+1.955186*(XM**(-1./3.))
X = X - .08925*(1./XM)-.2941*(XM**(-5./3.))
RETURN
XM = FLOAT (M)
XP = FLOAT (P)
X = XM+3.8257153*(XM**(1./3.))+4.36469*(XM**(-1./3.))
X = X - .20007*(1./XM)-1.5669*(XM**(-5./3.))
RETURN
IF (P.EQ.1) GO TO 110
XM = 1.
XP = FLOAT (P)
XN = 4.*(XM**2)
A1 = XN -1.
A3 = A1*(7.*XN-31.)
A5 = 4.*A1*(83.*(XN**2)-982.*XN+3779.)
A7 = 6.949*(XN**3)-153.855*(XN**2)+1585.743*XN-6277.237
A7 = A7*A1*6.E3
B = (2.*XM+4.*XP-1.)*PI/4.
X = B-A1/(8.*B)-A3/(6.*(2.**6)*(B**3))
X = X-A5/(120.*(2**9)*(B**5)) – A7/(42.*120.*(2.**12)*(B**7))
229
110
RETURN
X = 3.83171
RETURN
END
230
A-IV.6. PROGRAMA PARA EL CÁLCULO DE LA ADMITANCIA CON EL
MÉTODO VARIACIONAL DE OLINER.
Dada la relativa complejidad del cálculo el programa se ha desarrollado y probado
por partes. En primer lugar se programó el cálculo de la admitancia de radiación integrando
con la subrutina CTRAP las funciones FUNSU y FUNKA. Con el resultado obtenido de estas
integraciones se calculó la admitancia de radiación para las ranuras que se hablan construido
en un margen de frecuencias alrededor de la resonancia. Los resultados obtenidos
concordaron aceptablemente, en su parte real, con la conductancia de radiación calculada
con el método de Wait descrito en el Capítulo 2. Además la resonancia estaba desplazada
del valor clásico de λ
2
en el sentido que indicaban las medidas experimentales.
El paso siguiente fue tener en cuenta el espesor de la pared de la guía y trasladar la
admitancia de radiación a la apertura interior de la guía en la misma forma que se había
hecho en la teoría de Stevenson.
El cálculo de N S2 para los valores de α’ que se han utilizado en las medidas
experimentales permitió de acuerdo con lo visto en el apartado 3.3., comparar los resultados
teóricos obtenidos con este programa con los experimentales y los obtenidos con el
programa de la teoría de Stevenson. Ello ha sido muy importante para poder corregir los
errores de programación.
El paso final fue la programación de la potencia reactiva en la guía sectorial con las
expresiones obtenidas en la sección 3.5.3. y la ayuda de la subrutina RAIZ. Para comprobar la
convergencia de la serie se programó su suma variando m desde 0 hasta 90 y p desde 1 hasta
20.
Los resultados obtenidos muestran que el error relativo cometido entre sumar los 50 primeros valores de
m, y todos los de p considerados, a sumar los 90 es del orden de 2 × 10 −3. Así pues, sumando los 90 x 20
modos indicados la convergencia es adecuada.
231
Con la experiencia adquirida en estos pasos intermedios de programación se organizó el
programa conjunto de acuerdo con el organigrama que se incluye.
El
programa
permite
calcular
la
admitancia
en
los
ángulos
α ' = 30º ,45º ,60º y 75º en función de la frecuencia para unas determinadas dimensiones de
la ranura y de la guía. El margen de frecuencias que se explora es de 2 GHz en torno a la
frecuencia central que se introduce como dato. El intervalo entre los valores calculados es
de 100 MHz. Aunque estos valores son adecuados para la banda X, en la que se han hecho
los modelos experimentales, deberán cambiarse si se hace el estudio en otra banda de
frecuencias.
232
233
234
235
EXTERNAL FUNSU, FUNKA
REAL K0, KZ, KR, LANDA
COMPLEX GAMMA, YMP, KRMP, XIZ, Q, Y11EX, Y11IN, CHC, SHC
COMMON Y / K0, FI0, B, R0
C
ACCEPT “RADIO EXT (M)=”, R0
ACCEPT “RADIO INT (M)=”, RIN
ACCEPT “LONG. RANURA (M)=”, B
ACCEPT “ANCHO RANURA (M)=”, A
ACCEPT “FREC. (GHZ)=”, FREC
ACCEPT “ERROR INTEGR=”, E
ACCEPT “LIM. SUP. INT. (VECES K0)=”, T
ACCEPT “ESCR. INT. SUCES. ? ”, IESCR
C
100
C
210
220
230
PI = 4.*ATAN (1.)
FI0 = A / (2.*R0)
FIA = A / RIN
F = FREC
DO 20 K = 1, 20
FREC = F – 1. + FLOAT (K)/10.
FREC = FREC*1.E9
K0 = (PI*FREC)/1.5E8
FAC = K0*120.*PI
TYPE “FRECUENCIA=”, FREC
DOSB = 2.*B
LANDA = 3.E8/FREC
BETA = SQRT (ABS (K0*K0 – (PI/B)**2))
FACT = (B*A)/(960.*K0*R0*(PI**3))
X11 = 1.84118
KR = X11/RIN
KZ = SQRT ( ABS (K0*K0 – KR*KR))
ANS = KR*KR*B*A/(2.*PI*(X11**2-1.)*KZ*KZ)
ANS = ANS* (SIN (FIA/2.)/(FIA/2.))**2
ANS = ANS*4.*KR*KR
B1 = KZ*B/2. + PI/2.
B2 = KZ*B/2. – PI/2.
ANS = ANS* (SIN (B1)/B1 + SIN (B2)/B2)**2
ANS = ANS*KZ/FAC
BINF = 0.
BSUP = K0
CALL CTRAP (FUNSU, BINF, BSUP, E, Q, IESCR)
Y11EX = 2.*Q
BINF = K0
BSUP = T*K0
CALL CTRAP (FUNKA, BINF, BSUP, E, Q, IESCR)
Y11EX = (Y11EX-2.*Q)*CMPLX (0., -FACT)
WRITE (10, 100) Y11EX
FORMAT (5X, “ADM EXT=”, 2 (E14.6, 5X))
IF (LANDA – DOSB) 210, 240, 220
GAMMA = CMPLX (0., BETA)
GO TO 230
GAMMA = CMPLX (BETA, 0.)
YMP = GAMMA / CMPLX (0., FAC)
GAMMA = GAMMA*(R0 – RIN)
236
240
250
200
C
Y11IN = YMP* (Y11EX*CHC (GAMMA) + YMP*SHC (GAMMA))
Y11IN = Y11IN/ (YMP* CHC (GAMMA) + Y11EX*SHC (GAMMA))
GO TO 250
Y11IN = Y11EX
CONTINUE
WRITE (10, 200) Y11IN
FORMAT (5X, “ADM. INT=”, 2(E14.6, 5X))
DO 10 JJ = 2, 5
ALFAP1 = 15.*FLOAT (JJ)
ALFAP = ALFAP1*PI/180.
C
310
320
345
355
360
365
340
330
300
BJ = 0.
DO 300 II = 1, 91
I = II -1
IF (I.EQ.0) GOTO 310
EPSIM = 2.
XI = FLOAT (I)
XIFI = COS (XI*(PI/2.-ALFAP))*SIN(XI*FIA/2.)/(XI*FIA/2.)
XIFI = XIFI*XIFI
GOTO 320
EPSIM = 1.
XIFI = 1.
CONTINUE
DO 330 J = 1, 20
CALL RAIZ (XMP, I, J)
KR = XMP / RIN
KZ = SQRT (ABS (K0*K0 – KR*KR))
IF (I.EQ.1) GOTO 340
GAMMA = CMPLX (KZ, 0.)
CONTINUE
FINT1 = ((KR*KR)*A*EPSIM)/(PI*(XMP*XMP – XI*XI)*FAC)
PIB = (PI/B)**2
XIZ = GAMMA*GAMMA + CMPLX (PIB., 0.)
K2MP =K0*K0 – PIB)/XIZ
GAMMA = GAMMA*CMPLX (B., 0.)
IF (CABS (GAMMA).GT.50.) GOTO 360
YMP = CMPLX (2.*PIB*KR*KR, 0.)*(CMPLX (1., 0.) + CEXP (-GAMMA))
YMP = YMP/(XIZ*XIZ*GAMMA)
YMP = YMP + K2MP
YMP = YMP*CMPLX (0., 1.)
GOTO 365
YMP = CMPLX (2.*PIB*KR*KR, 0.)
YMP = YMP/(XIZ*XIZ*GAMMA)
YMP = YMP + K2MP
YMP = YMP*CMPLX (0., 1.)
YMP = YMP*FINT1*XIFI
BMP = AIMAG (YMP)
BJ = BJ + BMP
GOTO 330
IF (J.NE.1) GOTO 345
GAMMA = CMPLX (0., KZ)
GOTO 355
CONTINUE
CONTINUE
237
TYPE “ALFA=”, ALFAP1, “** BJ=”, BJ
C
YMP = Y11IN + CMPLX (0., BJ)
DEN = ANS * (SIN (ALFAP)**2)
YMP = YMP/CMPLX(DEN, 0.)
TYPE “DENOMINADOR=”, DEN
GS = REAL(YMP)/(CABS(YMP)**2)
BS = AIMAG(YMP)/(CABS(YMP)**2)
YMP = CMPLX (GS, BS)
TYPE “ADMITANCIA RANURA=”, YMP
C
10
20
CONTINUE
CONTINUE
STOP
END
238
BIBLIOGRAFÍA.
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R.E. Collin, F.J. Zucker: “Antenna Theory. Part II”. Mc Graw Hill 1969. Chap. 19, App. B, pp. 238 241.
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and Associated Values”. Cambridge Univ. Press, 1960.
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239