4.3 Datos - Fuente 7

En programación es frecuente acudir a diferentes sistemas de numeración según las
circunstancias.
Hay que tener en cuenta que el hombre usa el sistema decimal, (según una opinión bastante
general debido a una circunstancia más o menos afortunada: por la simple razón de que
tiene diez dedos entre las dos manos. A menudo se usa el cinco como base de numeración
auxiliar). La palabra dígito y dedo tienen la misma raiz latina, por eso usamos una
numeración con 10 dígitos o dedos.
Hubiera sido mucho más práctico usar un sistema de numeración basado en un número con
más factores, como el 12 (3*2*2) o mejor todavía el 8 (2*2*2) o el 16 (2*2*2*2). Pero por
suerte o por desgracia:
1. Los humanos tenemos diez dedos y
2. Los humanos contamos con los dedos (al menos al principio), porque están muy a
mano.
Para contar de 1 a 10 es fácil, pero ¿qué pasa cuando hay que contar más de diez cosas?.
Pues usamos las manos de un "amigo" para contar cuantas veces hemos usado los dedos de
las nuestras, así "12", sería dos más una vez diez.
Otra circunstancia curiosa es que en el sistema de numeración que usamos los números se
leen y escriben de derecha a izquierda, al revés del modo en que escribimos las palabras.
Cuando interpretamos números de varias cifras, hay que empezar por la derecha, el primer
dígito son unidades, el siguiente decenas, es decir cuantos grupos de 10 elementos estamos
contando. El siguiente centenas, es decir el número de grupos de 10 elementos de grupos de
10 elementos, o sea el número de grupos de 100 elementos. Y así sucesivamente.
Si quieres saber más detalles sobre la historia de los sistemas de numeración, consulta este
enlace.
Sistemas de numeración en la
programación
En C y C++ se usan básicamente cuatro sistemas de numeración:
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Binario (base 2)
Octal (base 8)
Decimal (base 10)
Hexadecimal (base 16)
Sistema binario, numeración en base 2
El sistema binario es el que usan los ordenadores, que es como si sólo tuvieran un dedo, su
unidad básica de memoria, el bit, sólo puede tomar dos valores, inactivo o activo, y se
codifican como 0 y 1, respectivamente.
Los ordenadores se quedan sin dedos enseguida, en cuanto tienen que contar más de uno,
así que añaden más dígitos.
Por ejemplo, veamos el número binario 10110.
Estamos en base 2, así que el número se calcula así:
0 * 2^0 + 1 * 2^1 + 1 * 2^2 + 0 * 2^3 + 1 * 2^4 = 2 + 4 + 16 = 22 (decimal)
Este tipo de numeración resulta muy útil cuando cada bit puede significar cosas diferentes
para un ordenador.
Sistema octal, numeración en base 8
El sistema octal usa ocho dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Este es el sistema de numeración
que usaríamos si tuviéramos manos de cuatro dedos, como los Simpsons :-)
Por ejemplo, un número en octal sería 125. Estamos en base 8,así que el número se traduce
a decimal así:
5 * 8^0 + 2 * 8^1 + 1 * 8^2 = 5 + 2 * 8 + 64 = 85 (decimal)
Desconozco el origen histórico de por qué de usa este sistema de numeración en
ordenadores. Pero la explicación práctica es que la conversión entre binario y octal es casi
directa.
Por ejemplo tenemos el número binario 10010010001000101101001.
Para convertirlo a octal agrupamos los dígitos de tres en tres empezando por la derecha, y
rellenamos con ceros a la izquierda hasta tener sólo grupos de tres bits o dígitos:
010 | 010 | 010 | 001 | 000 | 101 | 101 | 001
A cada grupo de tres bits le podemos hacer corresponder un dígito octal, al 000 el 0, al 001
el 1, al 010 el 2, ... al 111 el 7.
Así que podemos traducir directamente el número anterior a octal:
22210551 (octal)
La conversión inversa, de octal a binario es igual de simple. Por ejemplo el número octal:
125
Cambiamos cada dígito octal por su equivalente binario:
001 | 010 | 101
Y después eliminamos los separadores y los ceros iniciales:
1010101 (binario)
Sistema decimal, numeración en base 10
En programación se usa el decimal porque es el que usamos los humanos, y al fin y al cabo,
el ordenador está a su servicio.
Es sistema decimal usa diez dígitos para expresar los números, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Por ejemplo para el número decimal 42335:
5 * 10^0 + 3 * 10^1 + 3 * 10^2 + 2 * 10^3 + 4 * 10^4 = 5 + 30 + 300 + 2000 + 40000
Sistema hexadecimal, numeración en base 16
El sistema hexadecimal, que es el rey de los sistemas de numeración, al menos en lo que
respecta a los ordenadores.
Usa 16 dígitos, los archiconocidos 0 a 9 y para los otros seis se usan las letras A, B, C, D, E
y F, que tienen valores 10, 11, 12, 13, 14 y 15, respectivamente. Se usan indistintamente
mayúsculas y minúsculas.
Por ejemplo, un número hexadecimal 4F3D:
13 * 16^0 + 3 * 16^1 + 15 * 16^2 + 4 * 16^3 = 13 + 3 * 16+ 15 * 256 + 4 * 4096 = 20285
Este sistema de numeración tiene muchas ventajas:
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La conversión entre binario y hexadecimal es tan simple como en octal, la única
diferencia es que los bits se agrupan de cuatro en cuatro. 0000 es 0, 0001 es 1, 0010
es 2 ... 1111 es F.
El byte, es la unidad de memoria más usada por los ordenadores y agrupa ocho bits.
Para codificar un número de 8 bits sólo se necesitan dos dígitos hexadecimales. El
mayor número expresable por un byte, 11111111(binario), equivale a 255(decimal)
y a FF(hexadecimal).
Y para palabras de dos bytes (16 bits), se usan sólo cuatro dígitos hexadecimales.
(El número 16 aparece mucho cuando se habla de ordenadores.)
Para 32 bits: 8 dígitos hexadecimales, y sucesivamente.
Con la práctica podrás hacer conversiones de hexadecimal a binario de memoria:
3E equivale a 00111110
AA equivale a 10101010
Generalizando
Un número en base n sólo puede estar formado por dígitos entre 0 y n-1, por ejemplo, en
base 2 sólo se admiten los dígitos 0 y 1; en base 8, los dígitos 0 a 7; en base 10, los dígitos
0 a 9.
Así, por ejemplo, en base 2 el número 2 se expresa como 10, en base 8 u octal, el número 8
se expresa como 10,en base 10 o decimal el número 10 se expresa como 10 y en base 16 o
hexadecimal, el número 16 se expresa como 10..
Así que en general, el valor de un número expresado en base n será:
Número en base 'n': "abcde"
Valor: e*n^0 + d*n^1 + c*n^2 + b * n^3 + a*n^4
Donde "n^x" se lee como n elevado a la x potencia.
Fuente: http://articulos.conclase.net/numeracion/numeracion.html