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FUNDAMENTOS DE LA MECÀNICA CUÀNTICA DESDE LA TEORÌA DE LA
RELATIVIDAD ESPECIAL
Douglas Moya
Departamento de Física
Escuela Politécnica Nacional
RESUMEN
Se construyen los postulados de la Mecánica
Cuántica desde la teoría de la relatividad.
1. INTRODUCCIÓN
Muchos miembros de la Comunidad
Científica consideran que entre la Teoría de
la Relatividad y la Mecánica Cuántica no
existe conexión posible. Sin embargo esto no
es así si estudiamos el desarrollo histórico de
la Teoría Cuántica.
2. TEORÍA
DE
ESPECIAL
LA
RELATIVIDAD
Puede resumirse en los siguientes
postulados.
• No existe el éter
• La velocidad máxima en la que se
transmite la información es la de la
luz
• Las leyes de la física son las mismas
para los observadores inerciales
Los sucesos físicos en el espacio-tiempo
están dados por el cuadrivector:
X u = { Ct , x, y, z
}
g uv
⎛1 0 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜0 −1 0 0 ⎟
=⎜
0 0 −1 0 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 0 − 1⎟
⎠
⎝
El primer término del cuadrivector posición
se llama temporal y los otros espaciales.
Cuando bajamos o subimos el súper índice
lo único que cambia es el signo de las
componentes espaciales.
Se llama intervalo a la distancia entre dos
sucesos. Para simplificar consideremos
desplazamiento en la dirección x y las otras
coordenadas espaciales paralelas.
Para ese caso el intervalo es:
ds 2 = c 2 dt 2 − dx 2
x=
donde:
x'−vt '
v2
1− 2
c
(6)
(1)
}
t=
(2)
1 y 2 se conectan mediante el tensor métrico:
X u = g uv * X v
(5)
que es invariante entre sistemas inerciales.
Es por ello que las transformaciones de
coordenadas entre ellas son:
o por su adjunto:
X u = { Ct ,− x,− y,− z
(4)
(3)
v
x'
c2
v2
1− 2
c
t' −
y = y'
z = z'
o en la notación de cuadrivectores:
(7)
(8)
(9)
o que es lo mismo:
v
x '1 − x ' 0
c
x1 =
v2
1− 2
c
v
x'0 − x'1
c
x0 =
v2
1− 2
c
A Au = Au A = A − A
u
02
12
(12)
p=
mo v
E=
v2
1− 2
c
moc 2
v2
1− 2
c
2
(13)
(20)
(21)
para una partícula de masa nula (fotón):
E = p.c E ' = p ' c
(22)
Que reemplazado en (18) nos da:
(14)
E'
v
1−
c = E'
c
E=
2
v
v
1+
1− 2
c
c
E '−v
En la dinámica relativista se demuestra que
la energía y el impulso forman un
cuadrivector:
⎧E
⎫
p u = ⎨ , p,0,0⎬
⎭
⎩c
(19)
E 2 = mo c 4 + p 2 c 2
1
v
A'0 − A'1
c
A0 =
v2
1− 2
c
(18)
y se demuestra además:
cumple con:
v
A' − A' 0
c
A1 =
v2
1− 2
c
E '− vp '
v2
1− 2
c
v
p '− 2 E '
c
p=
v2
1− 2
c
(11)
En general cualquier cuadrivector cuya
norma sea invariante.
u
E=
(10)
(23)
y para la luz:
C=
(15)
w
K
(24)
que nos lleva a :
para el caso especial de un desplazamiento
en la dirección x.
Las transformaciones para sistemas
inerciales son:
v 1
p'
c
p0 =
v2
1− 2
c
v
p '1 − p '0
c
p1 =
v2
1− 2
c
p '0 −
w2
. 2 −K2 = 0
c
(25)
y al cuadrivector:
(16)
(17)
⎧w
⎫
K u = ⎨ , k ,0,0⎬
⎭
⎩c
v
K ' − 2 w'
c
K=
v2
1− 2
c
(26)
(27)
Y
w=
w'−vk '
1−
(28)
2
v
c2
De (24) y (28) obtenemos:
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
∂ ⎜ ∂L ⎟ ∂ ⎜ ∂L ⎟
+
=0
∂x ⎜ ⎛ ∂s ⎞ ⎟ ∂t ⎜ ⎛ ∂s ⎞ ⎟
⎜ ∂⎜ ⎟ ⎟
⎜ ∂⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎝ ∂x ⎠ ⎠
⎝ ⎝ ∂t ⎠ ⎠
(36)
finalmente:
v
1−
c
w = w'
v
1+
c
∂2s 1 ∂2s
−
=0
dx 2 c 2 dt 2
(29)
cuya solución es:
De (23) y (29) al dividirlas
s = s0 e i ( kx − wt )
E E'
=
=h
w w'
(38)
(30)
que al reemplazarla en (37) nos da:
Donde h es un invariante relativista
w2
−K + 2 =0
c
2
De (30)
E = h.w
(31)
⎧w
⎫
k u = ⎨ , k ,0,0⎬
⎭
⎩c
De (21) la escribimos
E = mo c 4 + p 2c2 = c mo c 2 + p 2 = Pc (32)
(39)
y al cuadrivector :
Que es la relación o postulado de Planck.
2
(37)
(40)
donde necesariamente :
2
v
c
w = w'
v
1+
c
1−
Que tiene exactamente la misma forma que
un fotón o corpúsculo de luz. Concluimos
que las partículas masivas deben poseer
características ondulatorias.
(41)
y por (32) al igual que el fotón
En efecto:
E=
− ∂s
∂t
P=
∂s
∂x
E2
1 ⎛ ∂s ⎞
⎛ ∂s ⎞
= P2; ⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎟
2
c
c ⎝ ∂t ⎠
⎝ ∂x ⎠
2
v
c
E = E'
v
1+
c
1−
(33)
2
(34)
(42)
de (42) y (41) :
definiendo el Lagrangiano
1 ⎛ ∂s ⎞
⎛ ∂s ⎞
L=⎜ ⎟ − 2 ⎜ ⎟
⎝ ∂ x ⎠ c ⎝ ∂t ⎠
2
2
(35)
y el campo adjunto cumple con la ecuación:
E E'
=
=h
w w'
(43)
E = h.w
(44)
también:
también para la partícula masiva.
Para esta onda se cumplirá:
V f .Vg = c 2
(45)
Es la velocidad de fase y Vg la de grupo
para la onda. Al multiplicar (45) por la masa
m.
V f .m.V g = mc 2 = hw
(46)
p = mV g
(47)
h
2πf = hf
2π
λ . f . p = h. f ⇒ λ =
2
usando p = h.k de De Broglie
V f = λf
hw =
vv
vv
2
−k
i (k r −wt) 3
i (k r −wt) 3
dk = ∫
A.e
dk (53)
∫ A.e
2m
2m
∇
(48)
h
p
(49)
−
vv
vv
h2∇2
p2
i.(k r −wt)
3
i ( k r −wt)
A
e
dk
=
A
.
e
dk3 (54)
∫
∫
2m
2m
Recordando (52)
i.h
∂Ψ − h 2 2
=
∇ Ψ + UΨ
2m
∂t
(55)
Que es el principio dinámico de la mecánica
quántica llamado ecuación de Shrödinger
que es uno de los postulados de la
mecánica quántica.
Multiplicando la ecuación de Shrödinger por
Ψ*
Que es la relación de Broglie.
OBSERVACIÓN:
Hemos
deducido
o
construido las relaciones o postulados de
Planck y de Broglie desde la Teoría de la
Relatividad.
ihΨ *
∂Ψ − h 2 * 2
=
Ψ ∇ Ψ + U Ψ * Ψ (56)
2m
∂t
Tomando el complejo conjugado
3. MECÁNICA CUÁNTICA
− i h Ψ*
De lo visto anteriormente la partícula actúa
como un paquete de onda, que en la
representación de Fourier es.
+∞
Ψ=
→
∫ A( k ).e
→
v
i ( k rv − w ( k ) t )
dk 3
(49)
∂Ψ − h 2
=
Ψ ∇2 Ψ* + U ΨΨ* (57)
∂t
2m
Restando (56) de (57)
⎛ ∂Ψ ∂Ψ* ⎞ h2
−ih⎜⎜Ψ* + Ψ ⎟⎟ = Ψ∇2Ψ* − Ψ*∇2Ψ (58)
∂t ⎠ 2m
⎝ ∂t
(
)
−∞
que se puede escribe como:
Tomando la derivada parcial respecto al
tiempo:
(
d *
h
Ψ Ψ=
∇. Ψ ∇Ψ * − Ψ *∇Ψ
dt
2mi
+∞
vv
∂Ψ
= ∫ − i.w. A.e i ( k r − wt ) dk 3
∂t − ∞
(50)
⎞1
E ⎛ p
w = = ⎜⎜
+ U ⎟⎟
h ⎝ 2m
⎠h
2
i.h
vv
vv
2
∂Ψ +∞ p
i(k r −wt) 3
v ∞ i(k.r −wt) 3
= ∫
A.e
dk +U(r ) ∫ A.e
dk
−∞
∂t −∞ 2m
y como:
(51)
(59)
Tomando una integral de volumen:
(
Como
)
)
d
h
Ψ* Ψdx3 =
∇. Ψ∇Ψ * − Ψ *∇Ψ (60)
∫
∫
2mi v
dt v
Aplicando el teorema integral de Gauss la
derecha:
(52)
(
)
v
* 3 h
* *
∫ Ψ Ψdx =
∫ Ψ∇Ψ − Ψ ∇Ψ .n.dA
2mi A
dt v
d
(61)
Extendiendo V a todo el espacio U, A se
extiende al infinito y la integral de superficie
se hace cero. Así:
d
Ψ * Ψ dx 3 = 0
∫
dt U
∫ Ψ Ψdx
*
3
(62)
= const = 1
(63)
funciones propias y forman un espacio de
Hilbert.
Cualquier otra función Ψ diferente de los
Ψ p se escribirá en ese espacio como la
superposición de las bases del espacio
Hilbert.
Ψ = ∑ C p Ψp
(69)
p
U
Hemos escogido el valor de 1 para que
Ψ * Ψ sea una densidad de probabilidad.
Hemos llegado a otro postulado de la
mecánica quántica.
que se llama el postulado
superposición de los estados.
v
i (k rv−wt)
∇Ψ = ∇ ∫ Ae
−∞
+∞
r
dk3 = ∫ ikAe
v
i (k rv−wt)
dk3 (64)
_
f = ∑ Pi f i
(70)
i
llamemos:
−∞
Pi = ∑ CiC j δ ij
*
O lo que es lo mismo, trabajando bajo el
signo de la integración:
∫ (A i ∇ e
∫(i ∇ e
∞
v v
i .k .r
v v
i .k .r
Como
)
δ ij = ∫ Ψi Ψ j *dx 3
)
v i.kv .rv
+ k .e
. A.e −i.w.t dk 3 = 0 (65)
_
*
i
donde necesariamente:
j
∧
(66)
f Ψi = f i Ψi
)
∑ Ci C * j Ψ * j f Ψi dx 3
_
v
v
como : p = hk
→
f =∫
− ih∇e
*
como
v vv
+ k .e i .k .r = 0
pv .rv
i
h
(72)
f = ∑∑ CiC j ∫ Ψi Ψ j fi dx3
−∞
i∇e
(71)
j
v v
v
+ k . A.e i.k .r .e − i.w.t dk 3 = 0
v v
i .k .r
la
Por último, el valor medio de una variable
física es:
Regresamos a (49) y tenemos el gradiente:
+∞
de
= pv.e
_
f =∫
pv .rv
i
h
(67)
i, j
∧
∑C* jΨ* j f
j
_
∑C Ψ
i
v
− ih ∇ Ψ p = p Ψ p
(68)
dx 3
i
∧
f = ∫ Ψ * f Ψ dx 3
o lo que es los mismo:
i
(73)
que es el último postulado llamado del valor
esperado.
que es otro postulado más de la mecánica
→
v
quántica: al observable físico
p le
corresponde el operador hermítico − ih∇ , y
→
los valores que se mide de
valores propios del operador.
pv son los
Ψ p son las
4. CONCLUSIONES
•
La teoría de la relatividad exige que
las partículas deben poseer una
naturaleza ondulatoria.
•
La energía de todas las partículas
puede escribirse como E = h w , y la
cantidad de movimiento p = h k , etc.
•
Se han construido todos los
postulados de la Mecánica Quántica.
La Física tiene una base de unidad
teórica y así debería ser enseñada.
•
5. BIBLIOGRAFÍA
GOLDSTEN, Mecánica Clásica, edit. Aguilar
LANDAU Y LIFSHITZ, Curso de Física
Teórica, tomo III, Mecánica Cuántica no
relativista. Edit REVERTÉ, 1976.