5.Vectores  60

Problemas de Mecánica: Vectores
5.Vectores
1. Encontrar la componente horizontal y vertical de las siguientes fuerzas:
F = 260 lb
  600
F = 310 lb
  2100
En problemas de vectores, cuando se proporciona la magnitud del vector y su orientación, se
recomienda:
i. Hacer una representación gráfica en el plano para visualizarlo. Si el tratamiento que le
vamos a dar es por medio del método analítico, utilizar una regla u objeto recto (no es
necesario usar el juego geométrico). Se pueden representar utilizando aproximaciones
tanto para la magnitud como para el ángulo, guardando las proporciones cuando son más
de dos vectores. Lo anterior es para darnos una idea global de lo que esperaríamos
encontrar (Así por ejemplo, al observar la figura vemos que la componente horizontal de F1
es menor que la de F2).
ii. Trazar líneas punteadas paralelas a los ejes coordenados a partir de la punta del vector.
iii. Escribir sobre los ejes las componentes de los vectores utilizando subíndices para
identificarlas.
iv. Si el vector se encuentra en el I cuadrante, aplicar los conocimientos de funciones
trigonométricas a los triángulos rectángulos que se forman. Cuando el ángulo es mayor de
900, existen dos opciones:
a) La primera es aplicar las funciones trigonométricas (como si el vector estuviese en
el primer cuadrante) siempre y cuando el ángulo sea medido en sentido contrario a
las manecillas del reloj.
b) La segunda es trazar el triángulo rectángulo que se forma identificando el cateto
opuesto y el adyacente y aplicar las funciones trigonométricas al triángulo formado.
Adicionalmente, observar hacia dónde apunta el vector para darle los signos (+ , - )
a nuestros resultados, Así por ejemplo, la componente horizontal del vector F2
apunta hacia la izquierda en sentido del eje x- por lo que a tal componente le
habremos de agregar el signo negativo. Lo mismo ocurre para la componente
vertical, ya que el vector apunta en sentido del eje y-.
Componente rectangular horizontal del vector F1.
Del triángulo rectángulo formado y señalado con sombra, aplicamos la función trigonométrica:
Problemas de Mecánica: Vectores
cos1 
cat. ady. F1x

hip
F1
Despejando a la componente horizontal:
F1x  F1 cos1  260 lb (cos600 )  260 lb (0.5)  130 lb
Componente rectangular vertical del vector F1.
De la función trigonométrica:
sen1 
cat. op. F1 y

hip
F1
despejamos la componente vertical
F1y  F1 sen1  260 lb (sen600 )  260 lb (0.8660)  225.16 lb
Componente rectangular horizontal del vector F2.
De la función trigonométrica
cos 2 
cat. ady. F2 x

hip
F2
despejando a la componente horizontal:
F2 x  F2 cos 2  310 lb (cos2100 )  310 lb (0.8660)  268.47 lb
Componente rectangular vertical del vector F2.
De la función trigonométrica
sen 2 
cat. op. F2 y

hip
F2
despejando a la componente vertical:
F2 y  F2 sen 2  310 lb (sen2100 )  310 lb (0.5)  155lb .
Para éste mismo vector F2, encontraremos las componentes basándonos en el triángulo rectángulo
que se forma:
Componente rectangular horizontal de F2 con
  300
.
Problemas de Mecánica: Vectores
De la función trigonométrica
cos 2 
cat. ady. F2 x

hip
F2
despejando a la componente horizontal:
F2 x  F2 cos 2  310lb (cos300 )  310lb (0.8660)  268.47 lb .
Como el vector apunta en sentido de x-, le agregamos el signo negativo
F2x = - 268.47 lb.
Componente rectangular vertical de F2 con
  300
.
De la función trigonométrica:
sen 2 
cat. op. F2 y

hip
F2
despejando a la componente vertical:
F2 y  F2 sen 2  310 lb (sen300 )  310 lb (0.5)  155lb .
Como el vector apunta en sentido de y-, le agregamos el signo negativo
F2y = - 155 lb.
2. Encontrar las componentes rectangulares de una fuerza de 50 N, cuya dirección forma un
ángulo de 500 por encima de la horizontal.
Como el ángulo se mide en sentido contrario a las manecillas
del reloj, aplicamos las relaciones:
Fx  F cos
Fy  F sen
Fx = 50 N (cos 500)= 50 N (0.6428) = 32.14 N
Fy = 50 N (sen 500) = 50 N (0.766) = 38.30 N
3. Encontrar la magnitud y dirección de los vectores cuyas componentes son:
Ax = 10
Bx = -10
Ay = 30
By = 30
En este problema, se nos proporcionan las componentes rectangulares y se nos pide encontrar al
vector.
Para encontrar la magnitud, aplicamos el teorema de Pitágoras
A  A  ( Ax ) 2  ( Ay ) 2
Para encontrar la dirección y sentido, aplicamos la función trigonométrica tangente del ángulo. El
ángulo viene dado por la tangente inversa del cociente de la componente vertical entre la
componente horizontal.
Problemas de Mecánica: Vectores
 Ay 

 Ax 
  tan1 
Para el vector A
A  A  (10 ) 2  (30) 2  1000  31 .62
 30 
1
0
  tan (3)  71.56
 10 
  tan1 
Para el vector B
B  B  (10) 2  (30) 2  1000  31.62
  30 
1
0
  tan (3)  71.56
10


  tan1
Antes de proceder a graficarlos, es pertinente hacer la siguiente aclaración:
Cuando se calcula el ángulo mediante la función tangente inversa, se presenta una complicación
debido a que hay dos ángulos menores de 3600 que tienen la misma tangente.
Estos dos ángulos difieren en 1800
Por ejemplo:
tan 250 = 0.466307
tan (250 +1800 )= tan 2050 = 0.466307
Para salvar dicha dificultad, se debe de seguir lo siguiente:
a) Si las dos componentes del vector son positivas, el vector se encuentra en el I cuadrante y
el ángulo se calcula directamente de la fórmula.
b) Si las dos componentes son negativas, el vector se encuentra en el III cuadrante y al
resultado obtenido se le suman 1800.
c) Si la componente horizontal es negativa y la vertical positiva, el vector se encuentra en el II
cuadrante y al resultado (que es negativo) se le suman 1800.
d) Si la componente vertical es negativa y la horizontal positiva, el vector se encuentra en el IV
cuadrante, obteniéndose un ángulo negativo, lo cual nos indica que se mide en sentido de
las manecillas del reloj. Para obtener el ángulo medido en sentido contrario a las
manecillas del reloj, hay que sumarle 3600.
Con las observaciones anteriores, el vector B se encuentra en el II cuadrante por lo que hay que
sumarle 1800 al resultado obtenido.
Problemas de Mecánica: Vectores
4. Encontrar la magnitud y dirección de los vectores, cuyas componentes son:
Cx = -1 0
Dx = 10
Cy = - 30
Dy = - 30
C  C  (C x ) 2  (C y ) 2  (10) 2  (30) 2  1000  31.62
  30 
1
0
  tan (3)  71.56
  10 
 C  tan1 
Como las dos componentes son negativas, el vector se
encuentra en el III cuadrante y al ángulo le sumamos 1800.
 C  71.560  1800  251.560
D  D  ( Dx ) 2  ( D y ) 2  (10) 2  (30) 2  1000
D  31.62
  30 
1
0
  tan (3)  71.56
 10 
 D  tan1 
 C  71.560  1800  251.560
Como la componente horizontal es positiva y la vertical negativa, el vector se encuentra en el IV
cuadrante, por lo que al ángulo hay que sumarle 3600.
 D  71.560  3600  288.440
5. Un cable arrastra un carro de mina con una fuerza de 120 Newton en una dirección de 1200
sobre la horizontal. Encontrar las componentes rectangulares de esta fuerza.
Fx = F cos  120 N( cos1200 )  120 N (0.5)
Fx =  60 N
Fy = F sen   120 N( sen1200 )  120 N (0.8660)
Fy = 103.92 N
6. Un aeroplano vuela 60 km en una dirección de 400 al
Oeste del Norte ¿Cuáles son las componentes rectangulares
de su desplazamiento del avión?
Dx = D cos  60 Km( cos1300 )  60 Km (0.6428)
D x = 38.57 Km
DY = D sen   60 Km(sen1300 )  60 Km (0.7660)
Dy = 45.96 Km
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7. Un barco navega hacia el noroeste con una rapidez de 40km/hr. Hallar la componente de su
rapidez en dirección del Oeste.
Considerando el ángulo de 1350
Vx = V cos   40
Vx = - 28.28
Km
Km
(cos135 0 )  40
(0.7071)
hr
hr
Km
hr
Considerando el ángulo de 450
Vx = V sen   40
Vx = 28.28
Km
Km
(sen45 0 )  40
(0.7071)
hr
hr
Km
hr
Vx = -28.28 km/hr (Se le agregó el signo negativo porque el vector V apunta en dirección del eje x-).
8. Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza resultante producida por una fuerza vertical hacia
arriba de 40 N y una fuerza horizontal hacia la derecha de 30 N.
a) Por el método analítico.
b) Por el método gráfico.
Analítico.
Como los vectores se encuentran sobre los ejes, sus componentes rectangulares son iguales a las
magnitudes, es decir:
F1y  F1  30N
F2 x  F2  40N
FR  FR  ( F2 x ) 2  ( F1 y ) 2
FR  FR  (40 N ) 2  (30 N ) 2
FR  FR  2500 N 2  50 N
Para determinar su orientación:
 R1 y
 R2 x
 D  tan1 

40N
  tan1 (
)  53.130
30N

9. Encontrar la magnitud y dirección de la resultante de tres fuerzas:
F1 = 5 N
 2  450
F2 = 3 N
Método Gráfico
2  1800
F3 = 7 N
 3  2250
Problemas de Mecánica: Vectores
Método Analítico:
FR  FR  ( FRx ) 2  ( FRy ) 2
donde:
FRx  F1x  F2 x  F3 x
FRy  F1y  F2 y  F3 y .
Para las componentes en el eje x
FRx  F1 cos1  F2 cos 2  F3 cos3
FRx  5 cos450  3 cos1800  7 cos2250
FRx  3.5355 8  39  8  4.9497)
FRx  4.4142N .
Para las componentes en el eje y
FRy  F1 sen1  F2 sen 2  F3 sen3
FRy  5sen450  3sen1800  7sen2250
FRy  5(0.7071)  3(0)  7(0.7071)
FRy  1.4142N
sustituyendo los valores encontrados
FR  FR  (4.4142 ) 2  (1.4142 ) 2
FR  FR  19.48  2  21.48
FR  FR  4.63 N .
Para encontrar el ángulo
Problemas de Mecánica: Vectores
 FRy 
 1.4142N 
1
  tan1 
  tan (0.3204)
  4.4142N 
 FRx 
 R  tan1 
 R  17.760 .
Como ambas componentes son negativas, el vector resultante se encuentra en el III cuadrante por
lo que tenemos que sumarle 1800.
 R  197.760
10. Un vector D tiene 2.5 m de magnitud y apunta hacia el Norte. ¿Cuáles son las magnitudes y
direcciones de los siguientes vectores?
a) - D
b) D / 2
c) -2.5 D
d) 4.0 D
a) magnitud de 2.5 y apunta hacia el sur
b) magnitud 1.25 y apunta hacia el norte.
c) magnitud 6.25 y apunta hacia el sur
d) magnitud 10 y apunta hacia el norte
11. Calcular el producto punto y la magnitud del producto cruz de los vectores:
a)
1  600
F1  260 lb
b) Cx = -10
Cy = -30
F2  310 lb
Dx = 10
1  2100
Dy = - 30
a) Producto punto:
F1  F2  F1 F2 cos12
Donde
12
es el menor ángulo que se forma entre F1 y F2
(  2100  600  1500 )
F1  F2  (260lb)(310lb)(cos1500 )  69801.64lb 2
a) Producto cruz:
F1  F2  F1 F2 sen12
F1 F2  (260lb)(310lb)(sen1500 )  40300lb 2
b) Para encontrar el producto punto y la magnitud del producto cruz, primero debemos de
encontrar las magnitudes y direcciones de los vectores, lo cual se hizo en el problema 4 de esta
misma serie, siendo éstos:
C  31.62
C  251.560
Problemas de Mecánica: Vectores
D  31.62
C  288.440
C  D  C D cosCD  (31.62)(31.62) cos(288.440  251.560 )
C  D  999.8244cos36.880  799.89
C  D  C D senCD
C  D  (31.62)(31.62)sen36.880  600.14
12. Dados los vectores A y B que tienen las siguientes componentes:
Ax = 3.2
Ay = 1.6
Bx = 0.5
By = 4.5
Encontrar el ángulo entre los dos vectores.
El ángulo entre los vectores viene dado por el producto punto:
A  B  A B cos AB
despejando el ángulo:
cos AB 
AB
.
A B
Por otro lado, el producto punto entre dos vectores, expresado en función de los vectores unitarios
es:
A  B  ( Ax iˆ  Ay ˆj)  (Bx iˆ  By ˆj) .
Efectuando las multiplicaciones como si fuese el producto de dos binomios del álgebra elemental,
pero conservando el producto punto:
A  B  Ax iˆ  Bx iˆ  Ax iˆ  By ˆj  Ay ˆj  Bx iˆ  Ay ˆj  By ˆj
A  B  Ax Bx (iˆ  i)  Ax By (iˆ  ˆj)  Ay Bx ( ˆj  iˆ)  Ay By ( ˆj  ˆj)
donde:
iˆ  i  i i cos  (1)(1) cos00  1
ˆj  ˆj  j j cos  (1)(1) cos00  1
iˆ  ˆj  i j cos  (1)(1) cos900  0
ˆj  iˆ  j i cos  (1)(1) cos900  0
teniendo que el producto punto entre los vectores A y B se reduce a:
A  B  Ax Bx  Ay By .
En nuestro problema:
Problemas de Mecánica: Vectores
A  B  3.2(0.5)  (1.6)(4.5)  1.6  7.2  8.8
Adicionalmente a lo anterior, tenemos que las magnitudes de los vectores son:
A  ( Ax ) 2  ( Ay ) 2  (3.2) 2  (1.6) 2  3.577
B  ( B x ) 2  ( B y ) 2  (0.5) 2  (4.5) 2  4.527
Sustituyendo los valores encontrados en la ecuación para el ángulo:


8.8
  cos1 (0.5434)  570
(
3
.
577
)(
4
.
527
)


 AB  cos1 
b) Encontrar las componentes x y y de un vector ( B ) que sea perpendicular al vector
A = 3.2i + 1.6j
y que tenga 5 unidades de longitud. Es decir:
Bx = ?
By = ?
B=5
El problema se puede resolver de una forma sencilla, sin embargo, lo resolveremos utilizando el
formulismo matemático, para ello aplicamos:
o
El producto cruz entre dos vectores y determinamos la magnitud del vector resultante C
C=AxB
C  A  B  A B sen AB
donde:
A  ( Ax ) 2  ( Ay ) 2  (3.2) 2  (1.6) 2  3.577
B=5
  900
por ser perpendiculares
Sustituyendo:
C = (3.577)(5) sen 900
C = 17.885
o
El producto punto entre los vectores
A  B  A B cos AB
A  B  (3.577)(5) cos900
AB  0
Por otro lado, en el inciso anterior de este mismo problema tenemos que el producto punto entre
los vectores A y B en función de sus componentes viene dado por:
A  B  Ax Bx  Ay By
Problemas de Mecánica: Vectores
Adicionalmente, determinaremos el producto cruz entre los vectores y lo expresaremos de igual
forma en función de sus componentes rectangulares:
A x B = (Ax i + Ay j ) x (Bx i + By j )
A x B = ( Ax i x Bx i ) + ( Ax i x By j )+( Ay j x Bx i )+ ( Ay j x By j )
A x B = Ax Bx ( i x i ) + Ax By ( i x j ) + Ay Bx ( j x i ) + Ay By ( j x j )
donde:
ixi=0
ix j=k
j x i = -k
jxj=0
Donde k se determina usando la regla de la mano derecha, siendo un vector unitario
perpendicular a i y a j, que se encuentra en dirección del eje de las z en el espacio
tridimensional.
Sustituyendo estos valores en el producto cruz entre los vectores A y B
A x B = Ax Bx ( i x i ) + Ax By ( i x j ) + Ay Bx ( j x i ) + Ay By ( j x j )
A x B = Ax Bx ( 0 ) + Ax By ( k ) + Ay Bx ( -k ) + Ay By ( 0 )
A x B = Ax By ( k ) + Ay Bx ( -k )
C = A x B = ( Ax By - Ay Bx )( k )
Donde C está en la dirección del vector unitario k, su magnitud viene expresada por:
C = Ax By - Ay Bx
Esta misma magnitud es la que encontramos anteriormente, es decir, C = 17.885
Resumiendo todo lo anterior, tenemos que:
C = Ax By - Ay Bx = 17.885
Resultando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Éstas son las componentes Bx y By,
las cuales determinaremos a continuación:
Ax By - Ay Bx = 17.885
Ax Bx + Ay By = 0
Sustituyendo los valores de las componentes del vector A:
3.2 By - 1.6 Bx = 17.885
3.2 Bx + 1.6 By = 0
Multiplicando la segunda ecuación por -2
3.2 By - 1.6 Bx = 17.885
(-2) (3.2 Bx + 1.6 By )= 0 (-2)
Efectuando el producto
3.2 By - 1.6 Bx = 17.885
-6.4 Bx - 3.2 By = 0
Reagrupando términos y sumando:
Problemas de Mecánica: Vectores
3.2 By - 1.6 Bx = 17.885 +
- 3.2 By - 6.4 Bx = 0
- 8 Bx = 17.885
Despejando a la componente:
Bx = 17.885 / -8
Tenemos que:
Bx = - 2.235
De igual forma se encuentra la componente By, multiplicando la primera ecuación por 2 (aunque
también se puede hacer sustituyendo el valor de Bs encontrado, en cualquiera de las dos
ecuaciones)
( 2 ) ( 3.2 By - 1.6 Bx ) = 17.885 ( 2 )
3.2 Bx + 1.6 By = 0
obteniendo:
6.4 By - 3.2 Bx = 35.77
+
1.6 By + 3.2 Bx = 0
8 By = 35.77
Despejando By
By = 35.77 / 8
By = 4.471
Para comprobar nuestros resultados, calcularemos la magnitud del vector B utilizando las
componentes:
B  B  ( Bx ) 2  ( By ) 2  (2.235) 2  (4.471) 2  4.99  19.99  24.98  5
y el ángulo:
 By 
4.471
  tan1 (
)  tan1 (2)  63.470
2.232
 Bx 
  tan1 
Como la componente horizontal es negativa, a este ángulo le sumamos 180 0, obteniendo el ángulo
medido con respecto al eje de las x+.
B  1800  63.470  116.520
y la diferencia entre
B
y
A
es
B   A  116.523 26.56  900 -  B
Ahora resolveremos el mismo problema, aunque de una manera no muy ortodoxa, es decir, sin el
formulismo vectorial.
a' ) Encontrar el ángulo entre A y B
Conociendo las componentes podemos determinar los ángulos que forman cada vector con
respecto al eje de las x+, posteriormente, calculamos la diferencia entre ambos ángulos y
obtenemos el ángulo entre ellos.
Problemas de Mecánica: Vectores
 Ay 
1.6 
1
0
  tan1 
  tan (0.5)  26.565
 3.2 
 Ax 
 A  tan1 
 By 
4.5 
1
0
  tan1 
  tan (9)  83.658
 0.5 
 Bx 
 B  tan1 
B   A  83.6580  26.5650  57.090
b' ) Encontrar las componentes x y y de un vector ( B ) que sea perpendicular al vector
A = 3.2i + 1.6j
y que tenga 5 unidades de longitud. Es decir:
Bx = ?
By = ?
B=5
Para que el vector B sea perpendicular a A, debemos de sumarle 900
B   A  90  26.5650  900  116.5650
Conociendo el ángulo y la magnitud, podemos encontrar las componentes
Bx  B cosB  5cos116.5650  5(0.4472)  2.236
By  B senB  5sen116.5650  5(0.8944)  4.472