INTEGRANTES: 2º HUMANIDADES TEORÍA COMBINATORIA Principio de Conteo

INTEGRANTES:
2º HUMANIDADES
TEORÍA COMBINATORIA
Principio de Conteo
A menudo se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o
puede ser realizado. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento
específico. En ambos casos se apela al sentido común, o se establecen métodos que permitan sistematizar tales
cálculos. Con frecuencia el sentido común ayuda a entender por qué se eligió un procedimiento dado, mientras
que la formalización del cálculo las vías para encontrar las soluciones apropiadas.
Iniciaremos nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principios aditivo y multiplicativo de
conteo.
Principio aditivo de conteo: Sean A y B dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si A ocurre de
a maneras distintas y B ocurre de b maneras distintas, el número de maneras en el cual puede ocurrir A o B es
A +B
Ejemplo: 12.1
Se tienen 6 banderas de señalización, dos rojas, dos verdes y dos azules. ¿Cuántas señales distintas pueden
hacerse con una o dos banderas a la vez?
* Solución:
Si denotamos las banderas rojas, verdes y azules por R, V y A, respectivamente, vemos que con una bandera a
la vez se pueden hacer 3 señales distintas:
R
V
A
Con dos banderas a la vez se puede hacer las siguientes señales (sacando, por ejemplo, una primera y después
la otra):
RR
RV
RA
VR
VV
1
VA
AR
AV
AA
PRIMERA SEGUNDA
BANDERA BANDERA
Entonces, si se utilizan dos banderas, se pueden hacer 9 señales distintas. Luego, con una o dos banderas se
podrán realizar 3+9= 12 señales diferentes. Observa que, como se establece en la definición, se trata de dos
sucesos A y B descritos como:
A: Se hacen señales con una sola bandera
B: Se hacen señales con dos banderas.
Y que ambos no pueden ocurrir simultáneamente, ya que si se decide hacer señales con una bandera se
descarta la segunda alternativa y viceversa.
Principio multiplicativo de conteo: Si un suceso puede ocurrir en a maneras e, independientemente, un
segundo suceso puede ocurrir en b maneras, entonces el número de maneras en que ambos, A y B, pueden
ocurrir ab.
A este principio también se le denomina principio fundamental de conteo.
Ejemplo 12.2
En la fig. 12.1 se demuestra distintas rutas para ir desde Cumaná hasta Caripe, desde Caripe hasta Maturín y
desde Maturín hasta Ciudad Bolívar. ¿De cuántas maneras distintas puede irse desde Cumaná hasta Ciudad
Bolívar?
La letra Rj ( j = 1,8) indica las distintas rutas.
Cumaná
Caripe Maturín Ciudad Bolívar
Fig. 12.1 ¿De cuántas maneras distintas se puede ir desde Cumaná hasta Ciudad Bolívar?
* Solución:
Analicemos el problema a partir del principio fundamental del conteo:
Suceso A: Ir desde Cumaná hasta Caripe. Hay 4 rutas distintas.
Suceso B: Ir desde Caripe hasta Maturín. Hay 2 rutas distintas.
Suceso C: Ir desde Maturín hasta Ciudad Bolívar. Hay 2 rutas distintas.
2
Los distintos sucesos, A,B,C, son independientes, ya que la selección de una ruta determinada de una ciudad a
otra no depende de la anterior.
Luego, para ir desde Cumaná hasta Ciudad Bolívar pueden seleccionarse 4. 2.2 =16 rutas diferentes. Estas
posibles rutas son:
RRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRR
Ejemplo: 12.3
Un agente gubernamental tiene que inspeccionar los ferrys que hacen la travesía entre la isla de Margarita y
tierra firme. Para ello se embarca en Punta de Piedras, en dicha isla, y debe abordar cualquier de las 9
unidades disponibles y luego regresarse en un ferry distinto. ¿De cuántas maneras puede el inspector ir desde
Margarita a tierra firme y luego regresar?
* Solución
Si llamamos U , U , U , U , U , U , U , U , y U a las unidades, el inspector tiene 9 maneras de venirse desde
Margarita a tierra firme seleccionando uno de los nueve ferrys. Una vez en tierra firme, como no puede
devolverse para Margarita en el mismo ferry en que se vino, tiene 8 posibilidades distintas. Entonces hay 9 x 8
=72 maneras distintas de que el agente puede cumplir su función. Estas distintas posibilidades son:
UUUUUUUUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUUUUUU
Ejemplo: 12.4
Tres profesores de Matemática del liceo Andrés Bello de Caracas van a ser asignados a cuatro secciones
distintas. ¿ De cuántas maneras distintas pueden asignarse los profesores si cada uno puede tomar sólo una
sección?
3
* Solución:
Designemos a tres profesores por P , P , y P y a las distintas secciones por S , S , S, y S . El primer profesor
seleccionado puede ser asignado a cualquiera de los 4 cursos. Quedan así 3 cursos que puede ser asignado el
primer y segundo profesor.
Por tanto, los tres profesores pueden ser asignados de 4x3x2= 24 maneras distintas a los cuatro cursos. Si
designamos Pj Sj ( i = 1,2,3,j =1,2.,3,4) a las distintas combinaciones profesor− curso, las posibilidades se
muestran a continuación:
Permutaciones
Estudiaremos a continuación una aplicación directa del principio fundamental del conteo. Supongamos
que tenemos los objetos distintos, a, b y c, y que queremos saber de cuantas maneras distintas se pueden
agrupar tomados tres a la vez. El primer elemento seleccionado puede ser a, b, o c y, por tanto, tenemos
3 maneras distintas de seleccionar el primer elemento.
Una vez seleccionado el primer elemento, tenemos dos elementos para escoger, es decir, dos maneras
distintas de seleccionar el segundo elemento, sólo queda uno y, por tanto, una sola manera de
seleccionar el tercer elemento. En definitiva, hay:
3.2.1=6 maneras distintas de agrupar los 3 elementos.
Veamos cuáles son esas agrupaciones distintas:
Primera Segunda Tercera
Selección Selección Selección
ab abc
ac ac
Primera Segunda Tercera
Selección Selección Selección
bc bca
ba bac
ca cab
cb cba
Observamos que las agrupaciones mostradas no incluyen elementos repetidos y descartan, por lo tanto,
selecciones de la forma aab, acc, etc. En este libro consideraremos sólo agrupaciones sin repetición. Si el
número de elementos es 4, las agrupaciones que puedan formarse son:
4.3.2.1= 24
En general, si hay n elementos, el número de agrupaciones distintas, designado por P y denominado
4
permutaciones de n elementos, es:
P = n ( n−1 ) (n−2)... 3.2.1 =n!
Ejemplo: 12.5
a) En una elección hay 8 candidatos. ¿Cuántos resultados distintos pueden tener lugar una vez efectuada la
votación?
b) ¿ De cuántas maneras distintas pueden colocarse 5 libros en una biblioteca? Escribe 4 de esas agrupaciones.
* Solución
a) Es posible obtener:
P = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320 resultados.
b) Los libros pueden colocarse de:
P = 5! = 5.4.3.2.1= 120 maneras distintas.
Si llamamos L , L , L ,L ,y L a los libros, 4 agrupaciones distintas son:
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
Observemos que las permutaciones se cumple lo siguiente:
a. En las agrupaciones intervienen todos los elementos.
b. Dos agrupaciones son distintas si el orden en que aparecen los elementos difieren.
Variaciones
Consideremos cuatro elementos, A,B,C y D, y veamos cuántas agrupaciones pueden formarse si se toman
dichos elementos uno, dos, tres y cuatro a la vez. Al número de elementos, en este caso 4, lo denotamos por la
letra m ( m= 4).
a. Si se toma un elemento a la vez, el número de agrupaciones que se puede formar es 4:
ABCD
Se dice que se han formado las variaciones de 4 elementos tomados de uno en uno, lo cual se representa como
V Observa que:
V=4
b. Si se toman dos elementos a la vez, se tienen las siguientes agrupaciones:
AB BA CA DA
AC BC CB DB
5
AD BD CD DC
Se han formado así las variaciones de 4 elementos tomando de dos en dos, entonces:
V = 12
Observa que:
V = V . ( 4 − 1)
V = 4. (4 −1) = 4.3 = 12
c.Si se toman 3 elementos de los 4, obtenemos las siguientes agrupaciones:
ABC BAC CAB DAB
ABD BAD CAD DAC
ACB BCA CBA DBA
ACB BCD CBD DBC
ABD BDA CDA DCA
ADC BDC CDB DCB
El número de agrupaciones es:
V = V . ( 4 − 2)
V = 4. ( 4 − 2) . ( 4 − 2 ) = 24
d. Si se toman 4 elementos de los 4, obtenemos las siguientes agrupaciones:
ABCD BACD CABD DABC
ABDC BADC CADB DACB
ACBD BCAD CBAD DBAC
ACDB BCDA CBDA DBCA
ADBC BDAC CDAB DCAB
ADCB BDCA CDBA DCBA
El total de agrupaciones resulta en este caso igual a:
V = 4. ( 4 −1 ) . ( 4 − 2) . ( 4 − 3) = 4.3.2.1 = 24
El ejemplo estudiado indica que :
6
V=4
V = 4.3 V = V . 3
V = 4.3.2 V = V . 2
V = 4.3.2.1 V = V . 1
En general, para m elementos podemos escribir:
V=m
V = m ( m −1 ) V = V . (m −1 )
V = m ( m −1 ) (m − 2 ) V = V. ( m −2)
.
.
.
V = m (m −1 ) ( m − 2 ) ... (m − n + 1 ) V =V . ( m − n + 1 )
De acuerdo a lo anterior, la relación :
V = m ( m − 1 ) ( m − 2 ) ... ( m − n + 1 )
Permite determinar las variaciones de m elementos tomados de n en n . Si en la relación (12.2) multiplicación
y dividimos el numerador y denominador por ( m− n)!, obtenemos :
m ( m − 1 ) ( m − 2 ) ... ( m − n + 1 ) (m − n ) !
V=
(m−n)!
Ahora bien, de acuerdo a ( 11.4 ) , ( m − n ) ! puede escribirse como:
( m − n ) ! = ( m − n ) ( m− n − 1 ) ( m− n − 2 ) ... 3.2.1
Sustituyendo en ( 12. 3)
m (m − 1 ) ( m −2 )... ( m − n + 1 ) (m − n) ( m− n −1 ) ( m − n − 2 ) ... 3.2.1
V=
(m − n ) !
El numerador de (12.5) es m ! y, por tanto,
V = m!
7
(m −n )
Es importante notar lo siguiente, que en el caso de variaciones de m elementos tomados de n en n :
a. De los m elementos, sólo n intervienen en las agrupaciones.
b. Las agrupaciones de n elementos son distintas si distintas si difieren en el orden de colocación.
Ejemplo 12.6
Determina:
a) V b) V c) V
* Solución
a) V 7! = 4! 5. 6. 7 = 210
( 7 − 3 ) ! 4!
b) V ( x + 1 ) ! x! ( x + 1 )
(x+1−1)!x!
c) V ( m − n ) ! ( m − n + 2 ) ! ( m − n )! ( m − n + 1 ) ( m − n + 2 )
V m! (m− n ) ( m− n )!
(m − n + 2 )!
= (m − n + 1) ( m − n +2 )
Ejemplo 12. 7
¿ De cuántas maneras se pueden agrupar 5 bolas de distintas colores?
* Solución
Si las bolas colores distintos, digamos amarillo (A), rojo , negro (N), verde (V) y marrón (M), se trata de
permutarlas para obtener agrupaciones diferentes. Así serían distintas las agrupaciones.
ARNVM MVARN NRAMV RAVNM
El número total de maneras distintas es:
P = 5 ! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120
Ejemplo 12. 8
10 personas se van sentar en 4 sillas. ¿ De cuántas maneras pueden hacerlo?
* Solución
8
De las 10 personas se van a seleccionar 4 y estas 4 personas pueden cambiarse entre si de asientos. Se trata
entonces de . Observa que agrupaciones como P P P P y P P P P son distintas. Luego, el número de
agrupaciones son:
10! = 6! 7. 8 . 9. 10 = 5.040
6! 6!
Ejemplo 12.9
¿ Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse con los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si ninguno de ellos
puede repetirse?
* Solución
Los números no pueden comenzar por cero, ya que se formarían números tales como 0358, que
correspondería al número de tres cifras 358. por tanto, el primer dígito puede ser seleccionado sólo de 9
maneras distintas ( se excluye al cero ). Una vez seleccionado el primer dígito, los tres pueden ser
seleccionados en V maneras diferentes. Por tanto, se pueden formar:
9. V = 9. 9! = 9 . 6! 7 . 8 . 9 = 7 . 8 . 9 . 9 = 4.536 números de cifras
6! 6!
Ejemplo 12.10
¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse con los números 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, y 9 si el último debe
ser cero y ninguno puede repetirse?
* Solución
En este caso, el cero se fija al final del número y quedan tres posiciones que llenar y 9 números para escoger.
Luego se puede formar:
V = 9! = 6! 7 . 8 . 9 = 504 números de 4 cifras.
6! 6!
Combinaciones
Consideremos cuatro elementos, A, B, C, y D, y veamos nuevamente las distintas agrupaciones que se pueden
formar si se forman grupos de 1, 2, 3 y 4 elementos:
Grupos de 1 : A B C D V = 4
Grupos de 2: AB AC AD BC V = 12
BA CA DA BD
CB CD DB DC
Grupos de 3: ABC ABD ACD BCD V = 24
9
ACB ADB ADC BDC
BAC BAD CAD CBD
BCA BDA CDA CDB
CAB DAB DAC DBC
CBA DBA DCA DCB
Grupos de 4: ABCD BACD CABD DABC V = 24
ABDC BADC CADB DACB
ABCD BACD CBAD DBAC
ACBD BCAD CBDA DBCA
ACDB BCAC CDAB DCAB
ADCB BDCA CDBA DCBA
En las agrupaciones estudiadas, permutaciones y variaciones, los grupos que contenían los mismos elementos
eran distintos cuando el orden no era el mismo.
Cuando hablamos de combinaciones, las agrupaciones que tengan el mismo número de elementos son iguales,
independientemente del orden que ocupan dichos elementos. A las combinaciones de m elementos tomados de
n en n se les denota como C .Así, en el caso anterior, se obtienen las siguientes combinaciones distintas :
Corresponde a:
Grupos de 1 : A B C D V = 4
Grupos de 2 : AB AC AD V = 6
BC BD CD
Grupos de 3 : ABC ABD ACD BCD V = 4
Grupos de 4 : ABCD V = 1
Si hacemos una comparación para amos casos, variaciones y combinaciones, obtenemos para las agrupaciones
de los elementos A, B, C y D la siguiente tabla:
Número de elementos (n) Variaciones ( v ) Combinaciones ( C )
144
2 12 6
3 24 4
10
4 24 1
Si analizamos la tabla anterior, nos damos cuenta que el número de variaciones se obtiene multiplicando el
número de combinaciones por n!, por lo que podemos obtener la tabla:
n n! C V
1144
2 2 6 12
3 6 4 24
4 24 1 24
En general, el número de variaciones de m elementos, tomando de n en n, está dado por:
V = n! . C
Como P = n!:
V=P.C
Despejando C : C V
P
Finalmente, se obtiene:
C = m!
n! (m − n )!
Ejemplo 12. 11
Se tienen 12 jugadores de béisbol y se van a seleccionar 9 para formar un equipo. ¿ Cuántos equipos distintos
pueden formarse?
* Solución
Este es un problema de combinaciones, ya que un equipo es distinto a otro se difiere al menos en un jugador.
Por tanto, el número de equipo es :
C = 12! 9! 10 . 11 . 12 = 220
9! ( 12 − 9 )! 9! 2. 3
Ejemplo 12.12
Se tienen 5 puntos en un plano ubicados de forma tal que no hay tres de ellos en línea recta. ¿ Cuántas líneas
pueden dibujarse entre dichos puntos? Dibuja las tres distintas líneas.
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* Solución
Se trata, en este caso, de seleccionar 2 puntos de los 5 posibles. Cada dos puntos dan origen a una línea
distinta. El número de líneas es:
C = 12! 9! 10. 11 . 12 = 220
9! (12 −9) 9! 2 . 3
En la figura 12.1 se muestra las diferentes alternativas.
Fig. 12.1 Entre 5 puntos se pueden
dibujar C = 10 líneas distintas.
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