¿Por qué no nos gusta enseñar probabilidad y

¿Por qué no nos gusta enseñar estadística y probabilidad?
Pilar Azcárate Goded
CEU del Didáctica de la Matemática
Universidad de Cádiz
pilar.azcarate@uca.es
RESUMEN
La observación de la realidad de nuestras aulas tanto de primaria como de secundaria nos informa
sobre lo poco habitual que es la presencia de una enseñanza sistemática de le estadística y de la
probabilidad, más allá de una mera introducción de los procedimientos básicos de cálculo. La
formación obligatoria de nuestros alumnos adolece aún de una presencia significativa de estos
conocimientos. Sin embargo, tanto las instituciones, investigadores y especialistas, indican la
imperiosa necesidad de esta formación para una adecuada integración en la sociedad actual. Si hace
ya más de 30 años, que estas ideas están presentes en los currícula ofíciales y en las indicaciones de
los expertos ¿por qué sigue estando ausente de nuestras aulas? En estas líneas intentamos hacer una
breve reflexión sobre algunas de las causas que creemos están subyacentes en dicha ausencia y
algunas estrategia en la búsqueda de soluciones.
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN
Hace ya muchos años que la necesidad de la enseñanza y la estadística es reconocida en las
diferentes propuestas curriculares; de hecho ya en los comienzos de los 60 fue introducida de
forma opcional el currículo de Inglaterra para los alumnos de secundaria (Holmes, 2002).
Este reconocimiento institucional es reflejo de las características propias de nuestra sociedad.
Sociedad que se caracteriza como un entorno sujeto a unos altos niveles de incertidumbre y
dónde la capacidad de analizar, interpretar y comunicar la información adecuadamente son
competencias necesarias para la vida diaria y para una actuación ciudadana eficaz que implica
la toma de decisiones en gran número de situaciones afectadas por incertidumbre.
Esta realidad incide directamente en el importante papel que adquieren la estadística y la
probabilidad para el desarrollo de dicha sociedad; dichos conocimientos nos proporcionan
herramientas metodológicas para analizar la variabilidad, las relaciones entre variables,
diseñar estudios y experimentos adecuados, mejorar las predicciones y la toma de decisiones
en situaciones de incertidumbre.
La integración de la estocástica en nuestras escuelas e instituto, como parte significativa de la
educación obligatoria de los futuros ciudadanos, se puede argumentar desde múltiples
razones, así la estocástica:
• Ayuda a adquirir la capacidad de lectura e interpretación de tablas y gráficos
estadísticos que con frecuencia aparecen en los medios de comunicación.
• Ayuda a la toma de decisiones con criterios, conociendo las opciones y sus riesgos.
• Incide en desarrollo personal, fomentando un razonamiento crítico, basado en la
valoración de la evidencia y en el análisis del contexto.
• Ayuda a comprender otros ámbitos del conocimiento, donde con frecuencia aparecen
tablas, gráficos o valores de naturaleza estadística.
• Es útil para la futura vida profesional, donde en muchas ocasiones se precisan
conocimientos básicos del tema (Batanero, 2002).
En otras palabras, el desarrollo de una sociedad instruida y crítica necesita de una ciudadanía
formada adecuadamente y ello implica la necesidad de introducir la formación estocástica en
la enseñanza obligatoria de los futuros ciudadanos.
Estas ideas apoyan las actuales tendencias curriculares en las que los conceptos estadísticos y
probabilísticos están ocupando, progresivamente, un importante papel, estableciéndose como
una parte vital de los planes de estudio de la mayoría de los países.
En el currículo español están recogidos tanto en primaria como en secundaria. Por ejemplo, de
los cinco bloques de contenido que se proponen para la Enseñanza Secundaria Obligatoria,
dos están relacionados con la Estadística: “Interpretación. representación y tratamiento de la
información”; “Tratamiento del azar”.
Aspectos también recogidas en el currículo de Primaria, aunque en algunos casos dispersos
entre los diferentes bloques de contenidos (Cardeñoso y Azcárate, 1995).
Como indica Gal (2002: 2), el objetivo principal de esta integración no es proporcionar a los
futuros ciudadanos el dominio de unos algoritmos de cálculo sino una cultura estadística:
“que se refiere a dos componentes interrelacionados:
a) capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información estadística, los
argumentos apoyados en datos o los fenómenos estocásticos que las personas pueden
encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicación, pero no limitándose
a ellos, y
b) capacidad para discutir o comunicar sus opiniones respecto a tales informaciones
estadísticas cuando sea relevante”.
Sin embargo, la realidad nos dice que dicha tendencia no tiene un reflejo similar en las aulas,
el hecho de que la estadística y la probabilidad se incluyan de una forma oficial en el currículo
no significa que necesariamente se enseñen; es más, los datos nos dicen que sigue siendo un
tema ausente de la mayoría de las aulas de la educación obligatoria de gran parte de los
países.
En España, por ejemplo, el hecho es que muchos profesores no se sienten cómodos con estas
materias, la dejan como último tema y cuando es posible la omiten.
Lo cual no deja de ser un indicador significativo, pues son campos del conocimiento
matemáticos, especialmente versátiles y potentes para introducir en el aula. Así, su
tratamiento nos permite:
 Generar situaciones de aprendizaje referidas a temas de interés para el alumno.
 Utilizar como apoyo las representaciones gráficas
 No necesitar una teoría matemática compleja,
Entonces, ¿Por qué los profesores somos tan reacios a integrar de forma sistemática su
estudio en nuestras aulas?
Evidentemente es una compleja red de razones las que provocan esta situación, muchas de las
cuales no controlables. En las siguientes líneas apuntamos algunas de las que desde, tanto
desde los estudios teóricos, históricos, epistemológicos y didácticos, como desde la
investigación hemos podido ir caracterizando y sobre las que creemos que sí se puede actuar.
ALGUNAS POSIBLES RAZONES
Uno de los problemas que afectan claramente a su enseñanza, es la propia naturaleza del
conocimiento estocástica y la existencia de temas controvertidos sobre los que no hay un
consenso general entre los estadísticos.
“Los conceptos estadísticos se mezclan a veces con cuestiones filosóficas sobre la naturaleza
del conocimiento y sobre cómo un nuevo hallazgo se apoya en los datos. Los conceptos
estadísticos se combinan con frecuencia con cuestiones sobre la causalidad o la inducción
que han sido tema de debates durante siglos” (Batanero, 2002).
Para su adecuada presentación y tratamiento en el aula, es necesario analizar los aspectos más
significativos de la peculiar naturaleza del conocimiento estocástico pues ellos inciden
directamente en las condiciones de su aprendizaje y su enseñanza.
Sobre la naturaleza del conocimiento estocástico
El estudio realizado sobre las condiciones y formas de su evolución a lo largo de la historia y
las características epistemológicas reconocidas en cada momento, nos permite observar como
se presentan controversias en sus definiciones e interpretaciones incluso en las nociones más
básicas. Por ejemplo, el propio objeto de estudio del conocimiento estocástico, los fenómenos
aleatorios, está sometido a controversia (Azcárate, 1995).
Desde las explicaciones encontradas en los distintos momentos históricos, podemos suponer
que para unas personas el azar y lo aleatorio será, por ejemplo, todo aquello que tiene que ver
con la "suerte" o el "destino" y por tanto incontrolable; para otros simplemente el producto de
nuestra ignorancia sobre ciertos fenómenos, sobre las causas que los originan o sobre su
funcionamiento, lo que conlleva su imposible control; en algunos casos, la explicación
considerada puede estar más en función de la complejidad intrínseca de los fenómenos y por
tanto, de la imposibilidad de una predicción exacta de su resultado; etc. Todas ellas son
susceptibles de ser consideradas pero no todas son idóneas para una adecuada comprensión
probabilística de la realidad.
En el análisis de su progresiva configuración se percibe la aleatoriedad, como una noción
que sólo puede ser definida en función de los instrumentos de los que se disponga para
probar el carácter aleatorio del fenómeno ante el que nos enfrentemos, del cuerpo de
conocimiento y de la clase de referencia que consideremos; es decir, no existe una forma
única, precisa y universalmente válida para definir la aleatoriedad (Kyburg, 1974; Cardeñoso,
2001).
Este breve análisis, que no deja de ser un mero boceto de la complejidad de la temática, nos
da una idea de su dificultad y de la ambigüedad implícita en el reconocimiento de un suceso
como aleatorio, sin determinar claramente las condiciones y los criterios o argumentos para
tal adscripción. Un grave error educativo es considerar la caracterización de la aleatoriedad
como algo obvio y no dependiente de determinados criterios y reconocimientos de los
elementos implicados, cuando vienen referidos a sistemas de ideas implícitos.
Cómo se conciben y se explican los sucesos aleatorios constituye un elemento clave en la
elaboración del conocimiento estocástico y en el reconocimiento de sus posibilidades de
estudio. Una inadecuada comprensión del concepto de suceso aleatorio y de aleatoriedad
puede ser un obstáculo epistemológico en la comprensión de este conocimiento. Idea
considerada por muchos autores, como Hietele (1975), Konold y otros (1991), Steinbring
(1991), etc.
Otro de sus nociones básicas, la probabilidad es también un concepto de difícil comprensión,
pues, en general, entra en clara contradicción con el pensamiento determinista y causal
dominante en nuestra educación.
"La probabilidad es un concepto particularmente resbaladizo. A través de la probabilidad
intentamos demarcar un estado amorfo situado entre dos extremos imaginarios: la total
ignorancia y el conocimiento perfecto" (Konold, 1991; p.139).
En este caso su significado es de compleja elaboración desde una lógica causal, ni el estudio
de la situación empírica por sí misma: el objeto de estudio; ni la representación matemática
por sí mismo: el modelo, pueden expresar el significado de la probabilidad.
La modelización matemática; es decir el dato probabilístico, puede estar a su vez
caracterizada por diferentes posibilidades de interpretación; por un lado, la probabilidad como
caracterización experimental a través de las frecuencias relativas observadas, lo que le
confiere un valor más objetivo; por otro, la probabilidad clásica, considerada como un "a
priori", con un carácter más teórico basada en las propias condiciones del fenómeno; o bien,
la probabilidad considerada como resultado de hipótesis establecidas, unas veces a partir de
las creencias subjetivas de las personas y otras de las estimaciones realizadas a priori, en
función de datos empíricos, relacionadas en ciertos aspectos con la aproximación bayesiana.
Los problemas filosóficos que presenta la probabilidad en su posible significado, es un
elemento sobre el que es necesario reflexionar para conocer su particular naturaleza y la
idiosincrasia de este conocimiento. La comprensión integral de la noción de probabilidad
necesita de la interacción de las diferentes posibles interpretaciones, aspectos que habrán de
ser tenidos en cuenta a la hora de su tratamiento en el aula, siempre que el objetivo sea
facilitar el desarrollo de un pensamiento probabilístico idóneo (Azcárate, 1996).
Desde la revisión de las claves de la evolución tanto del conocimiento estadístico como el
probabilística, otra de las principales ideas que pueden extraerse y que los caracteriza, es la
constante relación interactiva entre las situaciones empíricas y la modelización
matemática a lo largo de todo su desarrollo. El modelo matemático y la situación empírica
no pueden ser totalmente congruentes, se construyen modelos adaptados a las distintas
situaciones que luego han de ser generalizados, pero sin olvidar la necesidad de dicho
referente real para la construcción del modelo.
Las afirmaciones estocásticas siempre reflejan una vinculación con situaciones reales y, por
tanto, el pensamiento estocástico, a diferencia de otros campos del pensamiento matemático
como el aritmético, el geométrico o el algebraico, ha de tener siempre un referente real,
siendo imprescindible tener en cuenta, desde el principio, la diferencia entre el modelo
matemático y la situación real.
Es decir, como ya señalaban Anderson y Loynes (1987) hace casi 20 años, el aprendizaje de
este conocimiento es inseparable del estudio de sus aplicaciones; su historia muestra también
como recibe ideas y aportes desde áreas muy diversas, donde, al tratar de resolver problemas
diversos (transmisión de caracteres hereditarios, medida de la inteligencia, etc.) se han creado
conceptos y métodos estadísticos de uso general (correlación, análisis factorial).
Como sugieren Murray y Gal (2002) la comprensión, interpretación y reacción frente a la
información estadística no sólo requiere conocimiento estadístico o matemático, sino también
habilidades lingüísticas, conocimiento del contexto, capacidad para plantear preguntas y una
postura crítica que se apoya en un conjunto de creencias y actitudes, que influye directamente
en la interpretación de dicha información.
Estas ideas, nos informan sobre las peculiaridades propias del conocimiento estocástico que,
como ya indicábamos, inciden tanto en su aprendizaje como en su enseñanza.
El razonamiento estocástico no es algo inmediato y dependiente exclusivamente del
desarrollo de los individuos, sino que se construye progresivamente en interacción con el
entorno. Dicho razonamiento parte de unas intuiciones iniciales que aparecen desde edades
muy tempranas y que no evolucionan paralelamente al desarrollo lógico del sujeto.
Las investigaciones nos muestran que el razonamiento de los individuos en situaciones
aleatorias, tanto niños como adultos, es muy frágil; sin alcanzar un nivel formal de
conceptualización. Se detectan numerosos sesgos y obstáculos en sus razonamientos. Se
detectan claramente concepciones intuitivas y el uso de esquemas heurísticos en sus
funcionamientos. El sujeto sólo adquirirá una verdadera comprensión estocástica, a través de
la interacción, en situaciones concretas, de sus nociones subjetivas con los conceptos y
modelos estocásticos. (Azcárate, 1995).
La idea de que su desarrollo conceptual es un proceso en espiral, dependiente de la necesaria
complementariedad entre lo teórico y lo empírico, no solamente es útil para explicar la
evolución del conocimiento, sino también para comprender y planificar los procesos de
interacción en el aula.
Los procesos de enseñanza han de reflejar, por tanto, esta necesaria interacción entre el
modelo matemático y la situación empírica, en los distintos niveles de complejidad. Este
complicado "feedback" como vehículo de la instrucción supone un serio cambio para el
profesor, pues ello implica una aproximación al conocimiento estocástico por distintos
caminos que permitan la interrelación continua entre lo empírico, lo intuitivo y lo formal
(Falk y Konold, 1992).
En otras palabras, supone un diseño de actividades con una configuración en espiral,
alternativo al diseño usual que refleja una estructura lineal y jerarquizada; es decir, será
necesario un diseño que permita un itinerario cíclico entre distintas actividades
interrelacionadas entre sí, con avances progresivos en complejidad, a través de la resolución
de los problemas que se presenten en las distintas situaciones. Situaciones que han de guardar
un grado suficiente de similitud con las situaciones reales. Uno de los aspecto claves es la
selección de situaciones potentes y ricas por su variedad de elementos y, a la vez cercanas a la
realidad del niño
En dichas situaciones surgen dos elementos que son básicos para el desarrollo del
pensamiento estocástico: los medios de representación de los datos obtenidos en dichas
situaciones y la actividad que con ellos se realice. En el caso del conocimiento estocástico un
elemento que refleja las posibles interacciones entre el modelo matemático y el caso
individual es su modelización mediante los diferentes medios de representación, como tablas
o gráficos (Steinbring, 1991). Todas estas capacidades se incentivan en el trabajo con
propuestas globales de actuación, proyectos, casos, escenarios, etc.
El trabajo con propuestas de esta naturaleza supone problemas de gestión en el aula. Las
condiciones que configuran el conocimiento estadístico y probabilístico implica la
consideración de un proceso de enseñanza contextualizada y participativa, lo cual provoca
controversias cos las formas tradicionales de trabajo en las aulas de matemáticas. Por otro
lado este tipo de trabajo promueve también el trabajo en grupos y la perspectiva socio cultural
en el aula (Cobb y Hodge, 2002), parte importante también de su aprendizaje. Supone, por
tanto la interacción entre el trabajo individual del alumno y el cooperativo, orientado hacia el
aprendizaje comprensivo de conceptos, procedimientos de búsqueda y recogida de
información, representaciones y gráficos, la necesaria ejercitación de técnicas de cálculo y la
mejora en las capacidades de análisis, argumentación, formulación de conjeturas y creatividad
de sus alumnos y la adecuada organización de la información para su comunicación (Lipson y
Kokonis, 2005). La organización de la información obtenida y la elaboración de informes
favorece el desarrollo de la capacidad discursiva de los estudiantes, como medio de ampliar
sus habilidades de pensamiento crítico. En la producción de su informe el estudiante debe
situar el análisis de sus datos dentro de un argumento coherente y convincente que apoye sus
hipótesis; la comunicación de ideas a partir de tablas y gráficos es especialmente importante
en el razonamiento estadístico (Nolan y Speed, 1999).
Como podemos percibir, el conocimiento estocástico es un conocimiento complejo, y su
tratamiento en el aula reclama formas diferentes de actuación de las tradicionales en las aulas
de matemáticas.
Su significado no puede ser agotado en el conocimiento de la propia estructura matemática,
pero tampoco adquiere su sentido completo a través del estudio de experiencias empíricas
inmediatas sin más, pues transformaríamos al conocimiento estocástico en una colección de
recetas o técnicas concretas. Respetar esas condiciones nos lleva a evitar los caminos
unilaterales y lineales en los procesos de enseñanza.
Ideas que pueden dar pistas sobre la dificultad del profesorado para tratarlos en sus aulas.
Podríamos pensar que ante la falta de dominio de este conocimiento, los profesores podrían
acudir a los libros de textos, pero tampoco parece una solución acertada.
Sobre su tratamiento en los libros de texto
Aunque pueda parecer un aspecto más pragmático el análisis de los libros de texto, no por ello
deja de ser importante. Gran parte del profesorado, utiliza como referente fundamental para
preparar su intervención, los libros de texto.
Evidentemente, en respuesta a estas reformas institucionales, numerosas editoriales han
elaborado nuevas versiones de sus libros de texto en las que presentan nuevas unidades
relacionadas con el conocimiento estocástico. Sin embargo, el énfasis se mantiene en otros
bloques de conocimiento clásicos como la aritmética, álgebra, la geometría o el análisis
otorgando un papel secundario a estas nuevas unidades. Por ejemplo, habitualmente son las
últimas unidades, las que tiene menor presencia en número y las que ocupan menos número
de pagina, aspectos formales pero significativos.
Además, como indica Martínez Bonafé (2002) las nuevas propuestas se quedan en un cambio
más de “formas” que de fondo, pues, gran parte de ellas mantienen un carácter de continuidad
con los principios tradicionales, en los el objetivo preferente es la actividad matemática y no
la actividad estadística (Holmes, 2002).
Así, analizando las formas de presentación del conocimiento probabilístico en los libros de
texto de la ESO (Serrado, 2000), se detecta como la estructura de dichas unidades responde
fundamentalmente a dos formas diferenciadas de razonamiento (Figura.1).
Estructura unidades
Tendencia tradicional
Tendencia tecnológica
Hipotético-deductivo
Empírico-inductivista
Conocimiento
externo
Determinado
en partes
Causa
efecto
Observación
Verdad
determinada
Figura 1.- Clasificación de la estructura de las Unidades
En unos casos se pone el énfasis en el razonamiento deductivo, partiendo de la explicación
con las posteriores aplicaciones y, en otros casos se parte de la observación y de métodos
inductivos. En ningún caso se interrelacionan y se establece conexiones entre ellos.
Los problemas y ejercicios de los libros de texto sólo suelen concentrarse en los
conocimientos técnicos.
Sobre los profesores y su formación
Por último, otra de las posibles razones que, desde nuestra perspectiva mayor influencia
puede tener es que, si bien la necesidad de su integración ha sido reconocida
institucionalmente y se ha promovido su introducción progresiva en los planes de estudios, sin
embargo, paralelamente no se ha dedicado la necesaria atención al desarrollo de los
profesionales responsables de su integración real en las aulas, lo que ha provocado una
preparación insuficiente para enseñar estos conceptos.
La mayoría de los maestros nunca han estudiado formalmente estos conocimientos y los
profesores de secundaria pueden haber recibido algún curso introductorio en la universidad,
generalmente desde perspectiva formales, situaciones que en ningún caso prepara a los
profesores para enseñarlos.
Como resultado, la mayoría de los maestros y profesores tiene conocimiento débil de estos
conceptos y, en el caso de tratarla en su aula tienden a enfocar su instrucción en los aspectos
más procedimentales vinculados al cálculo y no en la comprensión conceptual (Nicholson &
Darnton, 2003; Watson, 2001).
Los docentes se encuentran ante grandes dificultades para otorgar en sus aulas el peso
indicado a estas ideas ya que, por un lado, se enfrentan ante una propuesta externa para la
incorporación de este nuevo conocimiento que en la mayoría de los casos no conocen y, por
otro, dicho conocimiento se presenta de forma dispersa en los libros de texto y materiales
curriculares.
Todos estos aspectos inciden en las decisiones de los profesores que explican la baja
presencia de estos conocimientos tanto en las aulas de primaria como de secundaria. El
tiempo y las formas de la formación estadística y probabilística está aún muy lejos de ser la
adecuada y los alumnos llegan al final de su etapa formativa o a la universidad sin los
conocimientos básicos de estadística descriptiva y cálculo de probabilidades.
Creemos que realmente y como Lajoie y Romberg (1998) apuntan, la estadística y la
probabilidad pueden ser temas novedosos tanto para los alumnos como para los docentes y la
integración de su enseñanza y aprendizaje en las aulas un reto para la educación del siglo
XXI.
UNA
PIEZA
CLAVE DEL PROCESO: LAS IDEAS DE LOS
PROFESORES
La investigación desarrollada en los últimos años indica que hay una relación clara entre las
concepciones de los profesores y sus experiencias durante el desarrollo del proceso de
enseñanza y aprendizaje.
Idea que en el campo de la educación estadística se ve determinada por las características del
conocimiento que los profesores tienen sobre el tema. De hecho, hay un fuerte evidencia de
investigación de la pobre comprensión de estos conocimientos que disponen tanto los
profesores en formación, como en activo (Azcárate, 1996; Carnel, 1997; Begg y Edward,
1999; Cardeñoso, 2001; Serradó, Azcárate y Cardeñoso, 2006).
Como hemos visto en el apartado anterior, una de las nociones básicas del razonamiento
estocástico es la aleatoriedad. En principio, las personas se desconciertan ante lo inesperado o
fortuito, pero luego, progresivamente, busca causas que justifiquen "más o menos" las
fluctuaciones encontradas, lo que les lleva a buscar razones ocultas para los hechos de un
cierto orden oculto; argumentando y explicando la existencia de ese suceso inesperado. En sus
trabajos, Ayton, Hunt y Wright (1989) describen la variedad de criterios que utilizan los
individuos para determinar si una cierta secuencia es aleatoria o no, reflejo de la propia
complejidad de la noción de Aleatoriedad.
Investigaciones con profesores en activo y con futuros profesores nos dan algunas pistas sobre
las dificultades en la caracterización de la Aleatoriedad (Azcárate, 1995; Cardeñoso, 2001).
En las siguientes afirmaciones, podemos ver la diversidad de argumentaciones
S258:. Predecir la cantidad de caras que se obtienen en 100 lanzamientos de una moneda es un
fenómeno.. No Aleatorio, porque se pueden calcular las probabilidades...
S45: Un Fenómeno Aleatorio es aquel.. Que no sea algo material, que no tenga reglas, que no
tenga estructura
S24: Un Fenómeno Aleatorio es aquel…Que tenga las mismas posibilidades de que se llegue a
dar, que de que no se llegue a dar;
Podemos ver como clasifican como no aleatorios aquellos fenómenos que están originados
por factores conocidos que determinan si el suceso va a ocurrir o no, independientemente del
azar; Cuando aparece cualquier factor que pueda contrarrestar la acción del azar y por tanto
tener información sobre su funcionamiento, el suceso ya no es aleatorio.
En contraposición, asocian lo aleatorio a las opciones no controladas cuyo resultado habitualmente
consideran como equiposible, hay tantas posibilidades de que ocurra como de que no ocurra pues no
hay nada que determine su ocurrencia.
S270: Encontrar un trabajo que tenga que ver con mi formación es un fenómeno... No Aleatorio,
porque depende de la ley de la oferta y de la demanda.
S312:.Predecir el color de una bola que se extrae de un bombo con bolas de distintos colores es un
Fenómeno Aleatorio..., porque depende de la suerte
Reafirman que solo se reconoce como suceso aleatorio sólo aquel que depende del azar, en cuanto
existe alguna otra causa que el sujeto pueda conocer o controlar ya no se considera aleatorio, aunque
exista un margen de imprecisión en su ocurrencia.
En las tendencias de pensamiento caracterizadas en dichas investigaciones, es significativa la
presencia de aproximadamente del 20% de sujetos, tanto entre los futuros docentes como los
profesores en activo, integrados en la tendencia caracterizada como Determinista; caracterizada por
utilizar argumentaciones causales tanto para reconocer como para negar la aleatoriedad, generalmente
sólo reconocen como suceso aleatorio el vinculado con el contexto del juego y, en consecuencia, el
procedimiento básico que utilizan para asignar probabilidades es el Laplaciano.
Al objeto de
Reconocer
ALEA
Negar
ALEA
Asignar
PRO
Causalidad
•
•
•
Causalidad
•
Laplaciana
•
Argumentación
20% muestra
Tendencia a negar aleatoriedad
No admiten mundo indeterminista, salvo asociado
al juego
Estimación Laplaciana como lectura usual de la
fórmula matemática
Nivel determinista de la realidad
Los datos globales nos dicen que más del 50% de los criterios de análisis de las situaciones
presentadas se apoyaban en presupuestos deterministas y causal, en muy pocas ocasiones, se
analizaba la existencia de una interacción de causas vinculada a la incertidumbre
Evidentemente esto tiene sus consecuencias en las aulas, Batanero y Serrano (1999) indican
que la introducción de la idea de aleatoriedad se hace preferentemente de un modo
descriptivo, cobrando un papel primordial los matices de lenguaje. La descripción de las
características atribuidas a los resultados de los experimentos se realiza mediante palabras
como imprevisibles, incierto, etc., con las que se pretende que se evoquen las propiedades de
tales fenómenos, pero cuyo significado no suele clarificarse.
Estas dificultades se ven agravadas cuando al acudir a los libros de textos nos encontramos
con una realidad similar. En primer lugar, los textos presentan básicamente el azar
modelizado a partir de argumentaciones asociadas con la suerte y la aleatoriedad con la
incertidumbre del suceso, caracterizaciones que son insuficientes para poder comprender
adecuadamente el significado de las nociones probabilísticas.
Es difícil encontrar en los libros de texto, alguna sección dedicada a presentar el significado
de la incertidumbre y de la aleatoriedad como ideas previas a su estudio mediante los
procedimientos estadísticos y probabilísticos. En sus unidades suelen incluir una breve
explicación breve y actividades relacionadas con experimentos del azar, fundamentalmente
juegos. En general presentan a los experimentos, que no fenómenos o situaciones,
deterministas y azarosos en la misma sección.
Por ejemplo una caracterización del experimento del determinista presente en muchos libros
de texto sería:
"Un experimento es determinista si es posible predecir el resultado".
Y por contraposición, un experimento aleatorio se define como:
"Un experimento es aleatorio cuando es imposible de predecir el resultado."
Realmente estas dos definiciones son antagónicas. El experimento aleatorio no se define por
sus características sino por lo que no es; es decir, se define como negación del determinista, es
como si establecieran un isomorfismo entre los experimentos aleatorios y los nodeterministas.
La contraposición a la noción de fenómeno determinista enfatiza las relaciones de causa y
efecto que, a su vez, pueden producir sesgos en la interpretación correcta del significado de
sucesos dependientes e independientes y constituirse como un obstáculo para la posterior
comprensión de la noción de probabilidad (Serrado, 2003).
Cuando en la caracterización de las situaciones aleatorias no hay referencia alguna a las
condiciones iniciales o a la presencia del azar, la comprensión del significado de estas
situaciones y experimentos aleatorios se reduce a saber que no es determinado. En esta
contingencia en donde el Azar está presente, que condiciona la ignorancia del individuo. Esta
ignorancia puede relacionarse con la imposibilidad para saber las condiciones iniciales del
fenómeno (Wagensberg, 1998).El experimento aleatorio se define como negación del
determinista en el que se asocia la existencia del azar a la ignorancia; de hecho esta es una
acepción típica del siglo XVII (Azcárate, 1995).
No se analiza en ningún momento, el experimento o fenómeno aleatorio como aquel cuyo
resultado depende de una compleja interacción de causas y su resultado no puede ser
calculado previamente, ya que son fenómenos que realizados en las mismas condiciones
pueden tener diferentes resultados.
Todas estas ideas son reforzadas, cuando la mayoría de los ejemplos de experimentos
deterministas se refieren a experimentos físicos y químicos, que se rigen por las leyes de la
ciencia. Sin embargo, la mayoría de los ejemplos de experimentos aleatorios son juegos
obtenidos con generadores aleatorios, como dados o monedas. Los estudiantes determinan
que estos experimentos son aleatorios porque las causas son desconocidas y un producto de
fortuna. Bajo esta caracterización como la imposibilidad de predecir las causas subyace un
principio del determinismo, opción que entra en clara controversia con la idea de
incertidumbre.
La falta de clarificación de la noción de aleatoriedad deja abierta la posibilidad de
interpretación ambigua, y se puede configurar como un obstáculo en la comprensión de la
noción de aleatoriedad por parte de los alumnos.
A este respeto, Bennett (2000: 13) indica que:
"las ideas intuitivas sobre el azar pueden preceder a las ideas formales y, si son correctas, pueden ser
de gran ayuda en le aprendizaje; pero en caso contrario, pueden llegar a dificultar la correcta
comprensión de los conceptos".
Otra gran dificultad que se detecta en el conocimiento de los profesores es el significado de
los términos. Cuando iniciamos el estudio de la estadística y la probabilidad, habitualmente
ya hemos usado muchos de sus términos en la vida cotidiana, en juegos e informaciones del
contexto; expresiones que usamos para referirnos a fenómenos y sucesos aleatorios, a sucesos
ciertos, posibles o imposibles, que, con frecuencia, no tienen el mismo sentido preciso que
adquieren en el “Tratamiento del Azar” (Cardeñoso y Azcárate, 1995). Estas diferencias
existentes entre el lenguaje cotidiano y el lenguaje estocástico ocasionan obstáculos en la
elaboración comprensiva de estos conocimientos. Lo que resulta problemático no son los
términos imposible, seguro, suceso o experimento en sí mismos, sino los conceptos y
procesos subyacentes que se están comunicando y el significado que transmiten.
De nuevo si nos vamos a los textos, encontramos que tampoco ayudan especialmente a los
profesores. Los textos tampoco suelen clarificar el significado de términos como imprevisible,
colección, conjunto, seguro, imposible, etc., dificultando la elaboración de las nociones
probabilísticas que los sustentan , como fenómeno y experimento, suceso y proceso, espacio
muestral o secuencia aleatoria.
En la misma línea, las investigaciones realizadas con futuros maestros nos permite mostrar
que, a pesar de la simplicidad aparente de algunos de las ideas estadísticas, como la idea de
promedio, su comprensión presenta dificultades similares a las encontradas en sus futuros
alumnos. Los datos muestran la falta de comprensión del algoritmo de cálculo de la media, el
desconocimiento de los alumnos de la relación entre media, mediana y moda en distribuciones
no simétricas o la creencia en que todas las distribuciones son simétricas (Batanero, Godino y
Navas, 1997).
En una reciente investigación realizada con profesores de secundaria en activo, en relación
al tratamiento de estos conocimientos en sus aulas, presentan diferentes argumentaciones
sobre sus dificultades a la hora de su enseñanza (Serrado, 2003; Serrado, Cardeñoso y
Azcárate, 2005).
En ella, aunque reconocen su papel en la formación del alumno por su transferencia a la vida
real:
“Yo creo que sí les puede servir a ellos... porque quizás es algo que ellos sí lo vean más en la vida
diaria que, por ejemplo, la unidad de polinomio (S5).
No termina de ver claro su introducción en la su aula, por lo distante del trabajoactual de
alumno en clase de matemáticas:
“Supongo que también dependerá de cómo tu plantees el tema, pero al menos tal y como los alumnos
están acostumbrados hasta el momento de cómo se les presentan las matemáticas en el aula, para
ellos sería aprender nuevas reglas del juego... (S1).
Los datos de la investigación nos dicen que, estos profesores consideran que:
* Hay una falta tradición en su enseñanza
* El desarrollo de este bloque de contenidos tiene menos importancia que los otros
* Carecen de conocimientos didácticos suficientes para explicarlo adecuadamente.
En definitiva, estamos ante un proceso de innovación en el aula que involucra el tratamiento
de un nuevo conocimiento, ajeno a gran parte del profesorado y que además demanda de
nuevas formas de hacer en el aula con estrategias metodológicas que permitan una mayor
participación del alumno, como el trabajo con proyectos, con escenarios, con aspectos del
entorno. Estamos realmente ante una situación especialmente desafiante para el
profesoradoLa educación estadística sólo será una realidad en nuestras aulas cuando los
profesores entiendan y valoren su aportación a la formación de sus alumnos. Y ello sólo
será posible si disponemos de una adecuada formación conceptual y didáctica en este
ámbito del conocimiento.
ASPECTOS FORMATIVOS DEL PROFESORADO
Como podemos intuir de las diferentes informaciones disponibles desde las investigaciones y
reflexiones presentadas, es realmente una compleja red de razones las que nos llevan a la
actual situación de ausencia en las aulas del tratamiento del conocimiento estocástico.
Razones que reflejan las dificultades que deben afrontar los profesores y que podríamos
sintetizar en tres categorías:
-
Dificultades de orden epistemológico, debidas a los problemas de comprensión
conceptual de las nociones y de los procedimientos básicos del conocimiento estocástico,
debido al tipo de formación recibida,
centrada más en los aspectos formales y en los
procedimientos de cálculo que en los problemas de su significado.
-
Dificultades cognitivas, provocadas por la naturaleza del conocimiento adulto no
formal configurado desde la experiencia y que en muchos casos lleva a elaborar significados
alternativos y procedimientos heurísticos para dar respuesta a las situaciones afectadas por
incertidumbre en el contexto cotidiano.
-
Dificultades didácticas, tanto por al falta de referentes y materiales curriculares
adecuados, como la integración en el aula de nuevas formas de relación y de estrategias
metodológicas que demandan la educación estadística.
Todos estamos de acuerdo que la naturaleza progresivamente creciente de una sociedad de la
información hace muy importante formar profesores componentes para le enseñanza del
conocimiento estocástico. Ello implica que cada vez es más prioritario establecer formas
efectivas de preparar a los profesores en formación y en ejercicio, pero ¿Cómo podemos
lograrlo?.
El conocimiento profesional se configura como un sistema de ideas, con diferentes niveles de
especificidad y articulación, que están sujeto a evolución constante y reorganización apoyada
en la reflexión y en la resolución de los problemas que emanan de la práctica (Azcárate,
1999).
En los estudios desarrollados desde la perspectiva de desarrollo profesional, se incide en la
necesidad de que los profesores integren diferentes aspectos en su conocimiento práctico
profesional (Porlán y Rivero, 1998; Azcárate, 2001), aspectos que puede favorecer abordar las
dificultades indicadas en el caso de la educación estocástica, como:

La reflexión epistemológica sobre el significado de los conceptos, procedimientos (en
general objetos) particulares que se pretende enseñar, es decir, en este caso, la reflexión
epistemológica sobre la naturaleza del conocimiento estocástico, su desarrollo y evolución. El
conocimiento profundo de la materia y de sus relaciones es el que permite al profesor buscar
las mejoras formas de presentación y adaptación del conocimiento estocástico al nivel de sus
alumnos.

El estudio de los proceso cognitivos, las dificultades, errores y obstáculos de los
alumnos en el aprendizaje del conocimiento estocástico, sus nociones, procedimientos y
estrategias que le permiten orientar e interpretar las producciones de sus alumnos y guiar su
aprendizaje.

El análisis didáctico del currículo, diseño de situaciones y entornos adecuados, recursos
para la enseñanza de temas específicos, estrategias metodológicas adecuadas para su
enseñanza.
Las perspectivas epistemológica, ontológica y didácticas desde la que actúan los profesores
tienen claras implicaciones en sus decisiones sobre qué y cómo ellos enseñan. Configuran tres
referentes o dimensiones básicas del conocimiento práctico profesional que el profesor ha de
elaborar y ha de poner en práctica durante el proceso de enseñar el conocimiento estadístico.
Desde nuestra perspectiva como investigadores centrados en el estudio del desarrollo
profesional del docente, subscribimos que todo cambio en las ideas del profesorado está
ligado a la reflexión del docente en su propio campo de actuación, el aula.
Partir de sus propias ideas, conceptuales y didácticas, analizarlas, cuestionarlas y elaborar
nuevos conocimientos en contextos reflexivos, es una condición imprescindible. Las grandes
dificultades de comprensión provienen de los obstáculos intuitivos y estos sólo salen a la luz,
al ponerlos en acción en situaciones empíricas concretas, al intentar explicar y ser conscientes
de los razonamientos seguidos y al contrastarlos con la aplicación de un conocimiento
normativo.
Los profesores, como ciudadanos estadísticamente cultos deben ser capaz de controlar sus
intuiciones sobre el azar, diferenciar las que son correctas e incorrectas y aplicar el
razonamiento estadístico para controlar sus intuiciones en las situaciones de riesgo y toma de
decisión. Condición necesaria para ayudar a sus alumnos a elaborar un razonamiento
adecuado y superar la situación actual, donde los alumnos llegan a la universidad con
conocimientos casi nulos y numerosas intuiciones incorrectas sobre la estadística y la
probabilidad, que les dificultarán la comprensión posterior de conceptos fundamentales como
los de de inferencia (Carrera, 2002).
En este sentido es necesario que el profesor reflexione sobre la naturaleza del conocimiento
estocástico, pero también han de reflexionar sobre los aspectos relacionados con el
aprendizaje y la enseñanza. En la misma línea que en cuando analiza el campo conceptual,
el trabajo sobre los aspectos didácticos han de estar vinculados con sus intereses ideas y con
sus prácticas.
Para que sean significativos los contextos formativos han de estar ligados a la práctica
profesional o su futura práctica como forma de poner en cuestión y contrastar las diferentes
decisiones que se toman en un proceso de intervención. Situaciones que le han de permitirles
pensar en el "qué" enseñar en relación al conocimiento estocástico y el "cómo" enseñarlo.
Integrarse en estos contextos reflexivos favorece el estudio sobre las estrategias
metodológicas más adecuadas para su presentación y tratamiento en el aula.
Los profesores formados desde la perspectiva determinista, imperante en nuestro contexto
educativo, piensan que hay un único y verdadero conocimiento que debe transmitirse de
manera organizada, jerárquica y coherente con el método hipotético-deductivo. Desde esta
perspectiva los objetivos de la enseñanza se limitan a las estrategias para calcular los primeros
estadísticos y la probabilidad en contextos de experimentos aleatorios, presentados como una
herramienta para calcular la probabilidad y la estabilidad de las frecuencias (Azcárate,
Cardeñoso y Serradó, 2003).
Sin embargo, ya indicábamos que el conocimiento estocástico no puede ser comprendido
separado de su contexto de aplicación. Ello implica que a los conceptos y técnicas estadísticas
no han de ser presentadas descontextualizadas, o aplicadas únicamente a problemas abstractos
que no se encuentran en la vida real, se trata de presentar escenarios o situaciones más
globales que permitan el desarrollo de la las diferentes fases de un estudio estadístico
planteamiento de un problema, decisión sobre los datos a recoger, recogida y análisis de
datos, obtención de conclusiones sobre el problema planteado, previsiones, toma de
decisiones, etc.(Connor, Davies y Payne, 2002).
Este tipo de trabajo supone un reto para los alumnos, acostumbrados a que en la clase de
matemáticas cada problema y ejercicio tiene una única solución y suele estar concentrado
cada vez en un sólo concepto. Sin embargo, el trabajo con escenarios, proyectos o situaciones
más globales, implica la existencia de diferentes procedimientos y soluciones adecuadas que
suelen trabajar bastantes más de un solo contenido (Cardeñoso y Serrado, 2006; Batanero y
Díaz, 2004). Pero no sólo es un reto para los alumnos, también lo es para el profesor que debe
aprender a moverse en el método y razonamiento estadístico
Las propuestas deben ser realistas, abiertas y apropiadas al nivel del alumno. Se debe
comenzar proponiendo un problema práctico y abarcable que necesita de la estadística para
resolverlo. Nolan y Speed (1999) sugieren que en el comienzo el profesor no debe centrarse
en la terminología estadística, sino proporcionar estrategias generales que puedan
generalizarse a otros datos y contextos. El razonamiento estadístico es una herramienta de
resolución de problemas y no un fin en sí mismo. La fase de planteamiento de preguntas es
una de las más difíciles.
Los profesores tienen grandes dificultades a la hora de diseñar escenarios o proyectos que
configuren entornos de aprendizaje adecuados del conocimiento estocástico. Muchas veces,
ellos mismos tienen dificultades para afrontar la realización de proyectos.
Una situación análoga, como docentes investigadores, la podemos encontrar en el momento
de formulación de un problema de investigación que nos permita configurar un proyecto.
Habitualmente comenzamos con la formulación de problemas muy generales, difíciles de
abordar, y poco a poco vamos cerrando el problema hasta llegar a un problema claramente
formulado, que puede ser estudiado y sobre el que podemos realmente obtener información
tras su estudio, estadístico en este caso.
Una lista de puntos a tener en cuenta al plantear las preguntas del estudio podría ser:
¿Qué quieres probar?; ¿Qué tienes que medir /observar /preguntar?; ¿Qué datos necesitas?
¿Cómo encontrarás tus datos? ¿Qué harás con ellos?; ¿Crees que puedes hacerlo?
¿Encontrarás problemas? ¿Cuáles?; ¿Podrás contestar tu pregunta? ¿Para qué te servirán los
resultados?
Una posibilidad para promover procesos formativos de esta naturaleza es incorporar a los
profesores en equipos de investigación y diseño curricular que den sentido a su propio
proceso formativo (Espasandín y López, 2002). Un intento de constituir un equipo de esta
naturaleza se recoge en el proyecto “Earlystatistics” .
UNA PROPUESTAS: EL PROYECTO “EARLYSTATISTICS”
La constatación de que está realidad no sólo corresponde al ámbito español, sino que en
muchos países europeo están en condiciones similares ha provocado la necesidad de buscar
soluciones y alternativas que nos permitan avanzar en el camino de integrar este conocimiento
a las aulas.
Siendo conscientes de que la llave de la puesta la tiene en gran parte el profesorado, este
proyecto intenta elaborar y evaluar una propuesta formativa que dé respuesta a alguna de estas
problemáticas y aporte información relevante para lo formación de los docentes en este campo
del conocimiento matemático.
Dicha propuesta configurará un programa formativo (“Earlystatistics course”), elaborado
desde unos determinados principios comunes y configurado desde la propuesta de un conjunto
de escenarios para su desarrollo en las aulas.
Será implementado en cuatro países europeos (Chipre, Grecia, Noruega y España), desde
procesos colaborativos apoyados en recursos tecnológicos y sometido a un proceso riguroso
de investigación que nos permita valorar su adecuación y eficacia.
El curso será llevado sobre la base de un "aprendizaje-combinado”, con apoyo tecnológico:
- Reuniones y discusiones presenciales con los tutores y profesores locales en cada país.
- Al empezar y terminar las sesiones se ha de realizar un análisis de los aspectos sociales y de
intercambio, la comunicación visual, el trabajo colaborativo y del entorno tecnológico.
- Sesiones prácticas con los ordenadores y sistema E_Learning
- E_Learning: LMS
- Sesiones de videoconferencia, para el intercambio entre profesores de diferentes países
- Sistema de comunicación continuo (audio y video): la presentación de simulaciones sobre
el tratamiento de temas de estadísticas específicos
- Página Web: Http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/data/, en la que será
presentada la propuesta formativa, con la plataforma Moodle promoviendo el intercambio de
opiniones y experiencias en su desarrollo entre los profesores del mismo país.
En definitiva es una propuesta que intenta vincular la práctica real de los profesores
implicados con procesos de experimentación y reflexión sobre el tratamiento en el aula de
algunas de las ideas básicas del conocimiento estadísitico (Figura 2).
Población
F/E Aleatorio
Muestra
I. Producción
de datos
Datos
III. Inferencia
II. Análisis
exploratorio
de datos
Probabilidad
Figura 2.- Ideas Básicas
El proceso de elaboración de dicho conocimiento se aproxima teóricamente desde la
consideración de tres referentes o dimensiones básicas que configuran el conocimiento
práctico profesional que el profesor ha de elaborar y ha de poner en práctica durante el
proceso de enseñar el conocimiento estadístico:
(a) Conceptual:
el dominio y comprensión conceptual y didáctica del contenido;
(b) Cognitiva: la comprensión del aprendizaje estadístico y las formas de promoverlo;
-
(c) Práctica: el desarrollo de las competencias y estrategias de intervención en las
aulas.
El desarrollo del programa formativo se configura en cuatro ciclos (Figura 3). Los dos
primeros momentos, centrados en el proceso de diseño previa a la experimentación en el aula,
están dirigidos a analizar el conocimiento seleccionado y su aprendizaje y adaptar a su nivel
educativo y contexto la presentación de los escenarios integrados en la propuesta.
1
Contenido
2
Cognición
3
Práctica
4
Reflexión
evaluación
Conocimiento de y sobre
Estadística y probabilidad
Conocimiento sobre
Aprendizaje/enseñanza
Conocimiento práctico
Figura 3.- Ciclos de desarrollo del programa formativo
En el tercer momento es la puesta en práctica del escenario en cada aula, con un seguimiento
del proceso mediante las herramientas que facilita el entorno tecnológico.
El cuarto momento está más orientado a retomar todo el proceso y analizar éxitos, dificultades
y posibles modificaciones
La idea es hacer un seguimiento del proceso que nos permita analizar y contrastar entre el
equipo de profesores y formadores implicados la experiencia formativa y el desarrollo de los
escenarios puestos en juego en el aula. La evaluación será llevada a cabo desde procesos de
reflexión y de colaboración que permitan no sólo “experimentar” con la enseñanza del
conocimiento estocástico, sino elaborar un conocimiento profesional que de respuesta a
algunos de los problemas planteados y favorezca la progresiva integración de su enseñanza en
nuestras escuelas.
CONCLUSIONES
La reforma curricular promovida por la LOGSE, así como en otros currículos recientes de los
países de nuestro entorno supone un importante reto al sistema educativo, no sólo en los
niveles de enseñanza primaria y secundaria, sino también para la formación inicial y
permanente de los profesores de las distintas áreas curriculares. En el caso de la formación de
los profesores de primaria y secundaria es preciso contemplar la preparación matemática y
didáctica en los nuevos contenidos cuya enseñanza se propone o potencia en la reforma, como
es el razonamiento estadístico y el tratamiento de la información.
Nuestros alumnos, no sólo aprenden en el contexto escolar, su interacción con el medio es una
parte vital de su desarrollo. En él encuentran información estadística en la prensa y medios de
comunicación, en Internet, realidad que está empezando a modificar las relaciones docentes –
con o sin participación voluntaria de los profesores. Es evidente que los profesores de todos
los niveles educativos hemos de aceptar que la rapidez del cambio social e implicarnos en él,
si queremos guiar de algún modo la educación estadística y crear una verdadera cultura
estadística en la sociedad.
Como en cualquier campo profesional los profesores necesitan de una formación específica
que habilite para el ejercicio de esta importante profesión. La formación debe proporcionar
los conocimientos iniciales necesarios, ayudar en el logro y desarrollo de competencias
específicas de la profesión docente, actualizar respecto a los cambios metodológicos,
conceptuales y técnicos que periódicamente se producen y atender demandas formativas
específicas, en este caso las necesarias para promover una educación estocástica adecuada.
Pero si bien esta idea es válida, su incidencia en las aulas no será un hecho hasta que los
profesores, responsables de esas aulas no las incorporemos a nuestro sistema de ideas.
El cambio en nuestras formas de enseñar, sólo es posible somos capaces de revisar nuestras
ideas, ello implica mirarnos a nosotros mismos, analizar y poner en cuestión nuestras ideas y
esquemas de acción que guían nuestras prácticas (Azcárate, 2005). Debemos pensar qué
podemos hacer, desde nuestras posibilidades y en nuestro contexto, para apoyar y promover la
presencia de la Educación Estocástica en nuestras aulas.
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