Matemáticas I – Matrices de Jordan FORMA CÁNONICA DE JORDAN DE UNA MATRIZ Comenzaremos esta lección intentando diagonalizar por semejanza una matriz A que no es diagonalizable y veremos como obtener una matriz J semejante a A lo más parecida posible a una matriz diagonal. Ejemplo: Consideremos la siguiente matriz 33 3 1 0 A 2 1 1 2 1 1 Autovalores de A: el polinomio característico de A es Autoespacio asociado a 1 2 : V1 1 Ker A 1 I Autoespacio asociado a 2 2 : V1 2 Ker A 2 I Segundo autoespacio asociado a 2 2 : V2 2 Ker A 2 I det A t I t 3 2t 2 4t 8 entonces los autovalores son 1 2 con multiplicidad m(1 ) 1 y 2 2 con multiplicidad m(2 ) 2 . V1 2 x ( x, y, z) R 3 : ( A 2I ) x 0 ( x, y, z) R 3 : 2x 3 y z 0, 2x y 3z 0 Como d (1 ) dimV1 2 1 m(1 ) , basta encontrar un vector en este autoespacio para tener una base, por ejemplo u1 1,1,1 . Así, V1 2 L1,1,1. V1 2 x ( x, y, z) R 3 : ( A 2I ) x 0 ( x, y, z) R 3 : 2x 3 y z 0, 2x y z 0 Así d (2 ) dimV1 2 1 m(2 ) , luego la matriz A no es diagonalizable. 2 V2 2 x ( x, y, z) R 3 : ( A 2I ) 2 x 0 ( x, y, z) R 3 : x y 0 Obsérvese que V1 2 Ker A 2 I V2 2 Ker A 2 I y 2 que dimV2 (2) 2 m(2) . Entonces vamos a buscar una base de este segundo espacio que contenga un vector del primero, como sigue: ► Elegimos un vector cualquiera u3 V2 (2) V1 (2) , por ejemplo u3 (0,0,1) . ► Sea ahora u 2 ( A 2I )u3 , luego u 2 (1,1,1) Entonces, u 2 ,u3 es una base de V2 2 , y además u 2 V1 2 . Matriz asociada en la base B’= u1 , u 2 , u 3 : sea f la aplicación lineal asociada a la matriz A. Por el modo en que hemos elegido los vectores u1 , u 2 , u 3 tenemos que: f (u1 ) 2 u1 , f (u 2 ) 2 u 2 , f (u3 ) u 2 2 u3 Luego la matriz asociada a f en la base B’ es: 0 2 0 J 0 2 1 0 0 2 1er Curso – 1er Cuatrimestre 1/2 Matemáticas I – Matrices de Jordan A la matriz J la llamamos forma canónica de Jordan de A y a la matriz 1 0 1 P 1 1 0 1 1 1 formada por los vectores de B’ la llamaremos matriz del cambio de base. Ejercicio: Comprobar que A y J son efectivamente semejantes vía P; es decir, J P 1 AP . Obsérvese que la matriz J se diferencia de una matriz diagonal en que contiene algún 1 en la línea por encima de la diagonal. Pasemos ahora a describir formalmente las matrices de este tipo conocidas conmo matrices de Jordan. Matrices de Jordan: Caja elemental de Jordan de orden k correspondiente al autovalor ℂ): J k es una matriz k k que contiene el valor en todas las posiciones de la diagonal y el valor 1 en todas las posiciones encima de la diagonal; es decir, inductivamente estas matrices se construyen como sigue: 1 0 0 1 0 1 0 1 0 ; J 3 ( ) 0 1 ; J 4 ( ) J 1 ( ) ; J 2 ( ) ; 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Matriz de Jordan: una matriz de Jordan es cualquier matriz cuadrada formada por yuxtaposición de cajas elementales de Jordan a lo largo de la diagonal y el resto ceros; es decir, es cualquier matriz cuadrada formada por ceros en todas las posiciones, excepto en la diagonal donde puede contener otros valores y las posiciones encima de la diagonal que pueden ser ceros o unos. Ejemplos: Las siguientes son matrices de Jordan: 0 2 0 0 2 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 2 2 1 0 0 2 1 ç 0 0 2 Teorema de clasificación de Jordan: Toda matriz cuadrada (real o compleja) es semejante a una matriz de Jordan (compleja), y ésta es única salvo permutación de las cajas elementales de Jordan que la componen. 1er Curso – 1er Cuatrimestre 2/2