T960.pdf

ESCUELA P O L I T É C N I C A N A C I O N A L
FACULTAD DE I N G E N I E R Í A E L É C T R I C A
" C A L C U L O D I G I T A L DE LOS VOLTAJES T R A N S I T O R I O S AL E N E R G I Z A R
LINEAS DE T R A N S M I S I Ó N T R I F Á S I C A S SIN C A R G A "
Por
M A U R I C I O D A G O B E R T O LESER D A V I L A
TESIS P R E V I A A LA O B T E N C I Ó N DEL TITULO DE I N G E N I E R O ELECTR^
CO EN LA E S P E C I A L I Z A C I O N DE POTENCIA
^
V
áS
-
Q u i t o , A b r i l 1982
C e r t i f i c o que el presente traba_
jo fue r e a l i z a d o por el Sr. Ma_u_
ricio D. Leser D. bajo mi dire£
ci ón .
Dr.
Ramiro Rodas
DIRECTOR DE TESIS
A G R A D E C I M I E N T O
Mi mayor g r a t i t u d al Sr. Dr. Ramiro Ro_
das, director y mental i zador de esta te_
sis, por su constante d i s p o s i c i ó n y a_
yuda en la te rtn i n a c i ó n de este trabajo,
al Ing. P a t r i c i o Orbe G. , por su i n v a l o r a b l e c o l a b o r a c i ó n y concejos, y a to_
das a q u e l l a s personas que s i e m p r e e s t u_
v i e r o n prestas a dar su aporte.
A mi tío José, que sin su ayu_
da, h u b i e r a sido I m p o s i b l e 1 1 e_
var a feliz término la carrera
Í N D I C E
SUMARIO
_
Pag
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN
1.1
E s t u d i o s r e a l i z a d o s sobre el tema
l
1.2
Objetivo y a l c a n c e de la Tesis
3
1.3
"Justificación
del p r o g r a m a d i g i t a l
3
C A P I T U L O II
M O D E L O M A T E M Á T I C O G E N E R A L DE U N A L I N E A D E T R A N S M I S I Ó N
T R I F Á S I C A , L A R G A ELÉCTRICAMENTE.'
2.1
Circuito e q u i v a l e n t e y modelo matemático
2.2
A p l i c a c i ó n , de las c o n d i c i o n e s de borde para la
d e t e r m i n a c i ó n de las constantes
2.3
5
;...
23
Método d e s a r r o l l a d o en la E s c u e l a P o l i t é c n i c a
N a c i o n a l para el c á l c u l o de los voltajes transi^
torios
30
2.3.1 U t i l i z a c i ó n del teorema del r e s i d u o para la det e r m i n a c i ó n de la transformada
i n v e r s a de Laplace
2.3.2 D e t e r m i n a c i ó n de los p o l o s
32
"34
2.3.3 E c u a c i o n e s para el c á l c u l o de los voltajes tran_
si torios
2.4
36
I n f l u e n c i a del c i e r r e no s i m u l t á n e o del d i s y u n tor
40
Pag
2.4.1' Cierre s i m u l t á n e o
41
2.4.2
C 1erre no s i m u l t á n e o
43
2.5
Método desarrollado por Uram y MI l l e r
44
2.6
Introducción
a la v a r i a c i ó n de los parámetros
con la f r e c u e n c i a
50
2.6.1 . Efecto Piel
50
2.7
55
Espectros de f r e c u e n c i a
CAPITULO
III
DESARROLLO DEL PROGRAMA DIGITAL
3.1
A l g o r i t m o de c á l c u l o
59
3.2
D e s c r i p c i ó n de las s u b r u t l n a s . . . . .
60
3.3
Ejemplos comparativos y a n á l i s i s de resultados
62
CAPITULO
IV
APLICACIONES
4.1 Efecto del cierre
'
no s i m u l t á n e o
65
4.2 Efecto del á n g u l o de cierre
66
4.3 Efecto del a c o p l a m i e n t o mutuo entre fases .-
66
4.4 C i e r r e s i n c r ó n i c o de las fases
66
CAPITULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
68
Pag
APÉNDICE A
D E S C R I P C I Ó N DEL TEOREMA DEL R E S I D U O ,.
A.l
•
Teoría de la v a r i a b l e compleja
70
70
A.1.1 Puntos singulares. (Polos)
70
A,1.2 R e s i d u o s
71
A.1.3 Teorema del r e s i d u o
72
A.2
73
F ó r m u l a de i n v e r s i ó n c o m p l e j a
A.2.1 U t i l i z a c i ó n
del teorema del residuo para
la
.détermi n a c i ó n de la transformada de L a p l a c e in_
• versa.....
A.3
74
Respuesta d e b i d a a las rafees c o m p l e j a s conjugadas-
.77
APÉNDICE B
TEORÍA DE D I A G O N A L I Z A C I O N .DE M A T R I C E S
81
B'. 1
E c u a c i ó n característica de una matriz
81
B.2
M a t r i c e s semejantes a .una matriz d i a g o n a l
....
82
APÉNDICE C
M A N U A L DE USO DEL P R O G R A M A
88
C.l
QQ
Generalidades
C . l . l Efecto del cierre
no s i m u l t á n e o .del disyuntor
'C.l.2 Efecto del á n g u l o del cierre
88
89
C.l.3 Efecto del a c o p l a m i e n t o m u t u o entre fases ....
89
C.l.4 C i e r r e s i n c r ó n i c o de las fases.
89
C.l.5 F a l l a del d i s y u n t o r
90
Pag
C.1.6 V a r i a b l e s de entrada
A l c a n c e y restrl ge iones
91
,
93
APÉNDICE D
D .1
D i a g r a m a s de Flujo
REFERENCIAS .
94
S U M A R I O
El o b j e t i v o del
p r e s e n t e t r a b a j o , es el
de d e t e r m i n a r
los
v o l t a j - e s t r a n s i t o r i o s al e n e r g i z a r l i n e a s de t r a n s m i s i ón tri_
fásicas
en v a c i o , con parámetros d i s t r i b u i d o s ; para e l l o
u t i l i z a un programa digital con el
ma del
c u a l , . m e d i a n t e el
se
teore-
r e s i d u o en l a v a r i a b l e c o m p l e j a , se d e t e r m i n e la trans_
f o r m a d a de L a p l a c e i n v e r s a .
.
En e s t a t e s i s se d e s a r r o l l a un método d i f e r e n t e , en el
s e e n t r e g a u n a mayor i n f o r m a c i ó n s o b r e l a
naturaleza
cual
"misma
del fenómeno y. además permitirá v i s l u m b r a r , q u i z á s , difere_n_
tes
s o l u c i o n e s que con los
métodos que están actualmente en
uso.
En- r e s u m e n , e s t a t e s i s i n c l u y e e l
modelo matemático general
de una Hnea de t r a n s m i s i ó n t r i f á s i c a con sus e c u a c i o n e s que
la
d e f i n e n , el
d e s a r r o l l o del programa d i g i t a l y su forma de
u t i l i z a c i ó n , dando r e s u l t a d o s y ejemplos de a p l i c a c i ó n .
C A P I T U L O
.I
I N T R O D U C C I Ó N .
1.1 ESTUDIOS
REALIZADOS S O B R E EL TEMA
El cálculo de los voltajes transitorios por e n e r g i z a c i ó n , e n
los últirnos años, ha ido en constante incremento en
su im-
p o r t a n c i a con el a d v e n i m i e n t o de l i n e a s de extra y u l t r a a]_
to v o l t a j e ; d e b i d o a la i m p o r t a n c i a que
a d q u i e r e n éstas en
l a d e t e r m i a n c i ó n del n i v e l de ai si amiento .
Se han desarrollado muchas técnicas de c á l c u l o de los trans i t o r i o s , desde la s i m u l a c i ó n en m o d é l o s a n a l ó g i c o s de 1 abo_
ratorio, hasta m o d e l o s matemáticos cada vez más
sofistica-
dos.
5-6
Uram y M i l l e r p l a n t e a n un m o d e l o m a t e m á t i c o de u n a ' l í n e a de
transmisión trifásica
e q u i l i b r a d a , con e c u a c i o n e s diferenci_a_
les p a r c i a l e s en f u n c i ó n de t i e m p o ,
A estas e c u a c i o n e s las
c o n v i e r t é n .en d i f e r e n c i a l e s totales con el uso de la transformada
de L a p l a c e , q u e d a n d o asi e c u a c i o n e s en
frecuencia.
función
de
Para resol ver d i c h a s e c u a c i o n e s , que son subo_r
di nadas entre s i , hacen un t r a n s f o r m a c i ó n m o d a l , o b t e n i e-ndo
e c u a c i o n e s d e p e n d i e n t e s de una sola v a r i a b l e .
De estas
e-
c u a c i o n e s , a p r o v e c h a n d o que dejan entrever una f u n c i ó n de La_
p l a c e de retardo de t i e m p o , que es justamente
la base de su
método "Los retrasos de t i e m p o " , c a l c u l a n los s o b r e v o l t a j e s
por m a n i o b r a de e n e r g i z a c i ó n en vacío.
Uram y M 1 1 1 e r s no I n c l u y e n como es por e j e m p l o , el
cierre
s i n c r ó n i c o de las fases, el cierre no uniforme del
disyun-
tor, etc.
Pero sin e m b a r g o , s e r v i r á como base de
compara-
ción de r e s u l t a d o s y como m o d e l o matemático de esta tesis.
García F., 1 1
a p l i c a la teoría de las ondas viajeras en lí-
neas de t r a n s m i s i ó n , u t i l i z a n d o el d i a g r a m a de Lattice
tendido a sistemas multi conducto res; calcula los
ex-
transí to-
rios de e n e r g i z a c i o n a d i s t i n t a s c o n d i c i o n e s (con c a r g a , r_e_
s i s t e n c i a s de a m o r t i g u a m i e n t o , etc.).
Hace un e s t u d i o de l_í_
neas en v a c í o , o b t e n i e n d o r e s u l t a d o s s i m i l a r e s a los de
ram y M i l l e r .
U-
Pero, no hace un a n á l i s i s referente a los cie-^
rres s i n c r ó n i c o s del d i s y u n t o r , por e j e m p l o .
B a t t i s s o n , 7 u t i l i z a la transformada i n v e r s a de F o u r i e r modj_
fi cada, que consiste en i n c l u i r en la f r e c u e n c i a un
tro de a m o r t i g u a m i e n t o .
La s o l u c i ó n se da c o n . l a
parám_e_
integra-
ción de e c u a c i o n e s matri c í a l e s en f u n c i ó n de f r e c u e n c i a , pa_
ra l u e g o dar una respuesta en t i e m p o .
El p r i n c i p a l p r o b l e -
ma e s t r i b a en el t i e m p o de e j e c u c i ó n del p r o g r a m a
(Ref.
digital.
"16, 17, y e x p e r i e n c i a p e r s o n a l )
Otros autores han d e s a r r o l l a d o d i s t i n t o s m é t o d o s , como es la
a p l i c a c i ó n d e l a teoría d e l a c o n v o l u c i ó n p a r a e n c o n t r a r l a
transformada
yen;^~ 2
3
Inversa de Fourier, como en el caso de A. Sen]_
el c u a l , introduce ya el el erre s i n c r ó n i c o d é l a s
fases y la v a r i a c i ó n d e . l o s parámetros con.la frecuencia, pe_
ro no hace n i n g ú n
de las fases del
estudio referente al cierre no uniforme
disyuntor.
1.2. O B J E T I V O Y A L C A N C E DE LA TESIS -
Lo's criterios de s o l u c i ó n
son diferentes a los u t i l i z a d o s
•actualmente y su p r i n c i p a l objetivo es p e r m i t i r f á c i l m e n t e ,
hacer un estudio del fenómeno de energi zación de l i n e a s
transmisión
de
en v a c i o , los efectos que se p r o d u c e n en el cie_
rre s i n c r ó n i c o de las fases, el cierre no s i m u l t á n e o del d i s_
yuntor, efecto en el á n g u l o de e n e r g i z a c i ó n y el a c o p l a m i e r i _
to mutuo entre fases.
El hacer una i n t r o d u c e ion de la
va-
r i a c i ó n de los parámetros con la frecuencia es t a m b i é n
uno
de los objetivos de esta te si s.
1.3.
J U S T I F I C A C I Ó N DEL P R O G R A M A DIGITAL
Debido a . q u e la
e v a l u a c i o n . d e la
transformada inversa de La-
p l a c e de e c u a c i o n e s c o m p l e j a s , como son de una 1ínea de trans_
m i s i ó n , e s p r á c t i c a m e n t e i m p o s i b l e con m é t o d o s a n a l í t i c o s ; e l
uso de un c o m p u t a d o r digital
para
resolver dichas ecuaciones
p o r m é t o d o s materna t i e o s , e s a b s o l u t a m e n t e n e c e s a r i o ,
el análisis involucra cálculos iterativos.
ya que
' 4
Entonces desde este punto de v i s t a , la s o l u c i ó n de estos "tj_
pos de p r o b l e m a s r e q u i e r e ' d e cierto t i e m p o y por l o tanto,
un programa d i g i t a l se justifica
y si el t i e m p o en r e s o l v e r
es r a z o n a b l e , se justifica aún más.
C A P I T U L O
. I I
M O D E L O MATEMÁTICO G E N E R A L D1E UNA L I N E A DE T R A N S M I S I Ó N
TRIFÁSICA, LARGA. ELÉCTRICAMENTE'
2.1 C I R C U I T O E Q U I V A L E N T E Y M O D E L O M A T E M Á T I C O
Considerando que una l í n e a de transmisión t r i f á s i c a ,
está
compuesta por tres conductores p a r a l e l o s a la s u p e r f i c i e de
•la tierra, como se muestra en la fig. 2.1, y para los propósitos de este trabajo, se tomará en cuenta que
el l a d o iz-
q u i e r d o , es el l a d o de g e n e r a c i ó n , y el d e r e c h o , es el l a d o
de la carga.
Además, el c r e c i m i e n t o de la l o n g i t u d será de
i z q u i e r d a a derecha.
La l í n e a de transporte se a s u m e perfectamente
transpuesta y
e q u i l i b r a d a , por lo que sus parámetros serán i g u a l e s para las tres fases.
A l ' h a b l a r de ' l i n e a s l a r g a s e l é c t r i c a m e n t e ,
con n i v e l e s de voltajes al tos, es por la razón de q u e , debi__
do a las altas frecuencias que en e l l a aparecerán al
en e r -
g i zar,'los v a l o r e s de los parámetros v a r i a r á n y consecuent_e
mente, las l í n e a s de t r a n s m i s i ó n tendrán las características de l í n e a s largas, sean o no físicamente .
Entonces, por ser l í n e a s l a r g a s y para que la s o l u c i ó n de las
e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s sea más o m e n o s a p e g a d a a la r e a 1 j_
dad y que p r o p o r c i o n e a l g u n a p r e c i s i ó n en el c a l c u l o , es el
c o n s i d e r a r que los p a r á m e t r o s no están
concentrados,
sino
3
d i s t r i b u i d o s uniformemente a todo lo largo de e l l a .
Al considerar que los parámetros son d i s t r i b u i d o s , entonces
se puede tomar una d i f e r e n c i a l de l o n g i t u d , t r a d i c i o n a l m e n te una sección "PT'.o "L" que comprenda los parámetros
por
u n i d a d de l o n g i t u d de i n d u c t a n c i a , c a p a c i t a n c i a , resistencia
y c o n d u c t a n c i a ; pero si se s u p o n e que la distancia entre con_
ductores es c o n s i d e r a b l e m e n t e grande, la c o n d u c t a n c i a por u
ni dad de l o n g i t u d se desprecia, por ser un v a l o r muy peque-
Para este caso, se torna una sección "L", y esta sección to
mada, se representa en el c i r c u i t o de la figura 2.2.
E:(0,t)
MXo.t)
Ii(0,t)+
Ii(X0,t)
E2(0,t)
E 2 (X 0 ,t)
I 2 (0 9 t)+
I 2 (X 0 ,t)
E 3 (0,t)
E3(X0,t}
I 3 (0,t)-*-
I3(X09t)
X = O
X = X0
Tierra
Fig. 2.1 Representación de una l i n e a de t r a n s m i s i ó n trifásj^
fásica, con los conductores p a r a l e l o s a la superfj_
ciedelatierra.
=UcLA:
Tierra
F l g . 2.2 R e p r e s e n t a c i ó n de una sección "L" de una l i n e a
t r a n s m i s i ó n trifásica.
de
En- el circuito de la f i gura 2 . -2 , uní f i cando las capacitancias entre l í n e a s , con las c a p a c i t a n c i a s a .t..i erra, y de
i-
g u a l m a n e r a para i n d u c t a n c i a s y r e s i s t e n c i a s , entonces,
se
transforma d i c h o c i r c u i t o al de la fi gura 2.3, del c u a l
se
puede denominar las siguientes i g u a l d a d e s :
(2.1)
LT JL
CT
JL
Co
CT
3c
j_
Ci
(2.2)
1 / d-C
? ^ Ur 1,\jr O„
O
(2.3)
S i g u i e n d o l a s o l u c i ó n de las e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s hechas
5-6
por Uram y M i l l e r ,
se t i e n e c o n s i g u i e n t e m e n t e ' que s i ,
en
el circuito de la figura 2.3, se a p l i c a las leyes de Kircho_
ff para v o l t a j e s , al lazo formado por cada conductor y ti erra, se obtiene las s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s par.
c i a 1 es :
Ii(X,t)+i (R
I 2 (X,t}+
I3(X9t)
3t
(2.4)
Ia(X,t)
13 ( X , t) ) - ( R! + L ! - ) (I i ( X , t) -M 2 ( X s t) + 1 3 ( X , t
(2.5)
(RO+L
8t'
(2.6)
-)Ax
'-m—3Tierra
I3(x,t)
Fig. 2.3. CirciMto transformado de la flg. 2.2
Tomando l a transformada de L a p l a c e con respecto al t i e m p o ,
las e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s p a r c i a l e s , se c o n v i e r t e n en e cuaciones diferenciales ordinarias.
A s u m i e n d o q u e l a s con-
d i c i o n e s i n i c i a l e s en la l í n e a son cero; por que se
supone,
la l í n e a ha estado por l a r g o tiempo d e s e n e r g i z a d a ,
por
que no se tendrá v o l t a j e s r e m a n e n t e s , e n t o n c e s :
lo
10
t (Ro+Lo-~I(X,t))
por tanto, e s c r i b i e n d o las e c u a c i o n e s (2.4), (2.5) y (2.6)
en forma m a t r i e i al, éstas se reducen a:
dEi(X,s)
dX
dE2(X,s)
dX
dE3(X,s)
dX
1
-4
3
(Zo-Zi).
o-Zi)
! (X,s)
(Zo-Zi)
(Zo-Zi)
(Zo+2Zi)
(Zo-Zi)
I 2 (X,s)
(Zo-Zi)
(Z 0 +2Zi>
I 3 (X,s)
(2.7)
De i g u a l m a n e r a » en.el mismo c i r c u i t o , a p l i c a n d o las
de Kirchoff para corrientes, formado por la u n i ó n
leyes
de
cada
c o n d u c t o r con la rama c a p a c i t i v a a tierra; y si se c o n s i d e ra que existe u n - v o l t a j e en el c o n d u c t o r de tierra
E0 ( x , t),
el c u a l , 'se usa para e s c r i b i r las e c u a c i o n e s y que será cero;
entonces, se tendrá las s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s
parci al es:
_r lililí!!= _LT (y i-} +
^1
n+
E o( X,
C -c
r\v *• I \ •> ^ f
~*~
3E, (X,t)_ 1 J_T /Y , x
^4-
r
-NVJ-1\'^/
(a)
11
(b)
at
sumando estas dos ecuaciones; se tendrá
-^Ii(X,t)+l ^¿
reordenando,
1 1
9 T (y t W— 1 ]
-E i ( X , t) —=-C2i C] o SX
J-iVAjLy^Q
LC O C i
9
9X
3X •I 3 (X,t)
(2.8)
De i g u a l m a n e r a para las otra's fases:
(X,t)+¿
C C
+I 3 (X,t)) s
1
C
2 _,_ 1 9
C i C 0 9X
1
C
41
l 3
r^ 1 9 X
1
C0
8
3X
r
rU
o
1
Ci
l2(X,t)+
I3(X,t)
j L
C0 Ci
(2.9)
9X I 2 (X,t)+
12
,1' 3 \
+ 1
GI
"
Co
9
3X
I3(X,t)
(2.10)
Tomando la transformada de L a p l a c e , con las mismas condicio_
n e s i rri c í a l e s q u e p a r a v o l t a j e s ; l a s
ecuaciones, igualmente,
se convertirán en ecuaciones diferenciales ordinarias, asi;
y
de esta m a n e r a , se tendrá q u e :
2
r
U
1
1
r
U Q
dMX ,s V 1 1 d I ? ( X , s )
3 C o G! u
dX
dX
l
1
dX
y d e s p e j a n d o E j(X , s ) , se o b t e n d r á ;
1
2 , 1 ^ dli ( X , s )
3 [sCi s C 0
dX
1
" 1
1 "" d I 2 ( X 3 s ) , l
sC0 sCi
dX
3 sC
1
d! 3 (X,s)
dX
de i g u a l m a n e r a para las otras e c u a c i o n e s de las otras
ses y l l a m a n d o a:
sC 0 - Y o
sd - Y i
fa
13
entonces "las e c u a c i o n e s (2.8), (2.9) _y (2.10) en forma matrj_
ci al se r e d u c e n a :
r ( 1 -i- 2 1 r ]
F 1 (( A
Y 3e s} ;
1
F 2 (( Y
1
A ,es} ;
F
c
V
1
3
V '
'0
V ^
U
i f ] -] )i
f Yo
] -] 1
Yi
f ]Y + 2Y }i
f
f
V
X , <;b1}
3 f^ A
]
*> V
\F
1
I - O l l
1
;
]
Y0
)
Y!J
]
U
1
0
;
] )
Y0 YiJ
}
V V
V
/
1 0 1 1
.
H -1T 1 1
f A
Y , S
c J^
a
dX
( ] Y-o] Y) /
dl2(X5s)
dX
(
dI3{X,s)
dX
] +2 )
1Y0 Y
/
(2.11)
E s c r i b i e n d o las e c u a c i o n e s (2.7) y (2.11) en forma c o m p a c t a
se e n c u e n t r a que son:
dX
Tl
IJ
(2.12)
= T [Y] A [I]
D e r i v a n d o l a p r i m e r a e c u a c i ó n de la (2.12) con respecto
a
X, se o b t i e n e q u e :
dX
(2.13)
Despejando la s e g u n d a e c u a c i ó n de la (2.12), se c o n s i g u e :
(2.14)
14
R e e m p l a z a n d o la (2.14) en la e c u a c i ó n (2.13), q u e d a una
e-
c u a c i ó n d i f e r e n c i a l o r d i n a r i a d e s e g u n d o orden d e p e n d i e n t e
de una vari a b l e , as í:
"dx"
si
[E] - [ Z ] [ Y ] - ' [ E ] = [0]
(2.15)
se 11 ama a:
-1
donde:
(Y.O+2YJ
(Yo-Yi) (Yo+2Yi)
(YO-YI) (YO-YI)
(Yo-Yi)
(2.16)
(y0+2Yi)
E n t o n c e s [a "] s e r á :
(2.17)
y l a e c u a c i ó n (2.15) q u e d a r í a de la s i g u i e n t e forma:
- e x ] [E] = [0]
(2.18)
15
La s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n (2.18) es muy c o m p l i c a d a , ya que
cada fase d e p e n d e de las otras, como se i n d i c a en la s i g u i e n _
te e c u a c i ó n más c l a r a m e n t e .
3v2
-aiiE1(x,s)-a}2E2(XJs)-ai3E3(X,s) = O
.
.-aziEi(X,s)-a a 2E 2 (X,s)-a a 3 E 3 (X,s) = O
(2.19)
-ot3iEi(X,s)-a32E2(X>s)-a33E3(Xas) = O
Esto se d e b e a que [a] no es di a g o n a l ; pero si se
transformación de v a r i a b l e s , entonces
hace
una
E se p u e d e r e l a c i o n a r
l i n e a l m e n t e c o n , un n u e v o juego de v a r i a b l e s F, por lo tanto,
la e c u a c i ó n (2.18) se p u e d e e s c r i b i r de la s i g u i e n t e
mane-
ra :
^[F]-M[F] = [0]
(2.20)
por lo que [y] d e b e ser d i a g o n a l y asT la e c u a c i ó n (2.20) ex
t e n d í da sería:
c^FjX.s) _
iFiíX.s) = O
d'F^*)S)
- Y 2 2 F 2 (X,s) = O
d 2 F JVÍ
3(X,s)
-
v-3 3Fr 3 t( X
n
Y
X , SO
J -- U
(2.21
16
L a s e c u a c i o n e s ( 2 . 2 1 ) p u e d e n r e s o l v e r s e como e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s o r d i n a r i a s de s e g u n d o o r d e n .
El p r o b l e m a es a -
hora, el de determinar el. v a l o r que t i e n e n los c o e f i c i e n t e s
de la m a t r i z [y].
Si se a s u m e las
s i g u i e n t e s r e l a c i o n e s 1 j_
n e a l e s entre el nuevo v o l t a j e F y el a n t i g u o E, con l a ayuda de la teoría de m a t r i c e s , se e n c o n t r a r á q u e :
[E] = [T]
[F]
(2.22)
[FJ = [ T ] " 1
En la que
cas.
[E]
[T] debe ser una matriz 3x3 de constantes numérj_
Si se sustituye la p r i m e r a e c u a c i ó n de la (2.22) d e n -
tro de la e c u a c i ó n (2.18), entonces se t i e n e :
= [0],.
(2.23)
= [o]
Con esta e c u a c i ó n . se' p u e d e d e d u c i r , c o m p a r a n d o con la
ecua-
ción ( 2 . 2 0 ) , que la matriz [y] es:
[Y] = [ T j - ' W m
B u s c a n d o los v a l o r e s y vectores
(2.24)
c a r a c t e r í s t i c o s de [a], se
tiene que las matrices [T] y [ T ] ~ 1 s o n :
17
1
i
0
1
0
i
r -i
-i
-
i
o
l"
1
1
2
-1
-1
-1
2
-1
(2.25)
(Ver a p é n d i c e B)
Por lo que se encuentra q u e , h a c i e n d o las s u s t i t u c i o n e s re_s_
pectivas en la e c u a c i ó n (2.24), se tendrá q u e :
ZoY0
o
[Y]
0
0
:
0
0
(2.26)
0
que es l o que se q u e r í a obtener, osea, los c o e f i c i e n t e s
de
[y] y c o n s i g u i e n t e m e n t e , los v a l o r e s propios de [a].
E s c r i b i e n d o el n u e v o juego de e c u a c i o n e s , con la sustitución
de [y] en la e c u a c i ó n (2.21), se tiene:
( X, s
~ n
U
d2F,.(X,s)
dX 2
- O
n
---
(2.27)
d2Fq(X,s) - 21Y1F3(X,s) - O
R e s o l v i e n d o las e c u a c i o n e s (2.27) como e c u a c i o n e s homogéneas
de segundo orden, cuya solución es clásica, entonces:
i
P 3C I
Y A ,
r
v
31
E s c r i b i e n d o la e c u a c i ó n
1 I
+K22e /ZlYlX
Y
1'
(2.28) en forma compacta;
[F] =
(2.28)
queda que:
[K iex
(2.29)
donde,
yNI iQe
(2.30)
- /Z i Y i X
F i n a l mente la s o l u c i ó n se p u e d e expresar, tomando la i g u a l dad de la primera e c u a c i ó n de. la (2.22), como s i g u e :
E] = [T] [F] =
(2-31)
E s c r i b i e n d o la e c u a c i ó n (2.31) en su forma extensa; da que
EÍS t a s s o n :
19
K?9 e
YlX
E 3 ( X , s ) = K 1 1 e-''' Z ^^K 2 1 + K 3 1 ) e - 1 / Z ^ X + K l z e ^ ^
(2.32)
De e s t a s e c u a c i o n e s , se puede notar c l a r a m e n t e que las
tantes- d e e
--/ZY~^X
°.°
y e
/2
Y 'X
° °
con_s_
son I g u a l e s para las tres
f a-
- v/Z Y^X
/"Z Y 'X
ses; m i e n t r a s que para e :: y e 1 :: 'son sus c o n s t a n tes distintas entre sí; asi se puede escribir las
sig.uien-
tes r e a l c i ones :
[v]-vector unitario
~ (
3 2/
(2.33)
Por lo que las e c u a c i o n e s (2.32) se p u e d e n c o m p a c t a r y
es-
cribir de la siguiente manera:
(2.34
Si para e s c r i b i r la e c u a c i ó n (2.34) en forma h i p e r b ó l i c a , s e
11 ama a :
20
S =
A +B
A'+B
(2.35)
R =
B-A
B'-A
ya que son c o n s t a n t e s y se puede l l a m a r como q u i e r a ; e n t o n ces s e t e n d r á p o r l o
tanto:
[E] =
-h
O 'O
(2.36)
"
+
(2.37)
Si X i = Z i Y i y
Cosx =
A o = Z Q Y Q y además Senhx = -—Z
e x+ e -x
[E] - [ A ] S e n h X i X + [ B ] C o s h X i X + [ o ] ( A 1 S e n h X 0 x + B ' C o s h X 0 x )
(2.38)
que es lo que se esperaba,tal como las e c u a c i o n e s desarrolladas por Calabrecce4.
21
A h o r a , muy b i e n se puede r e l a c i o n a r \ y X 0 con los parámetros de secuencia pos i ti va, negativa o cero.
Como los par|_
metros de s e c u e n c i a p o s i t i v a y n e g a t i v a son i g u a l e s
en l í -
neas de transporte, entonces se escoge a \ como parámetro
de
secuencia p o s i t i v a y a X D como parámetro de s e c u e n c i a cero.
A d e m á s , como el concepto de i m p e d a n c i a de s e c u e n c i a
cero,
es la suma de la' i m p e d a n c i a . d e l a l T ñ e a c o n l a i m p e d a n c i a de
tierra, se confirman más estas r e l a c i o n e s .
'La s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n de corriente es más s e n c i l l a ; p^
ra esto se parte de la primera ecuaci-ón de la (2,12); en la
cual, despejando se tendrá:
(2.39)
[I
D e r i v a n d o la e c u a c i ó n (2.31) con respecto a x, se obtiene:
K12e
T
dx
-m-
T K 2 1 e -/Z7Y7X
(2.40)
y
l
y
'i '^ 3 2 e
/Z ! Y:' X
De la e c u a c i ó n (2.7), se sabe que la matriz de i m p e d a n c i a s
es [Z], por lo tanto; su i n v e r s a será:
(2.41)
por lo que, la ecuación (2.39) con las respectivas sustituciones , será:
- /7 v~~*y
>/Z o Y o K i l e y i. i A
[I] = -
K12e
""V"1 v
Q~VL 1 ' 1
1 i 1 K-2 l e
7T7 K 2 2 e
/Z ! Y ! X
1 '1
y entonces :
I
r t -/Z
i Y i X ,/
/Vo^vZ0Y0X
Zi
I2(X,s) =
I9(X,s) -
K3l
? e-/2TYT
(2.42)
23
S i g u i e n d o el m i s m o r a z o n a m i e n t o , en el p r o c e d i m i e n t o h e c h o '
para encontrar, el voltaje en- las ecuaciones
(2.33), (2.34),
(2.35), (2,36) y (2.37), entonces, se t e n d r á por c o n s i g u i e-n_
te q u e ' l a e c u a c i ó n de c o r r i e n t e , como la e c u a c i ó n (2.38), es:
[I] =- /p-( [A]CoshXiX- + [B]SenhXix)- /ÍHv] ( A ' C o s h X 0 x +
+ B'SenhXox)
-
(2.43)
2.2 APLICACIÓN DE LAS CONDICIONES DE B O R D E PARA LA DETERMIN A C I Ó N DE LAS C O N S T A N T E S .
Para dar una s o l u c i ó n a la e c u a c i ó n (2.38), se a p l i c a
c o n d i c i o n e s de borde para una l í n e a sin carga y
d i r e c t a m e n t e a una barra i n f i n i t a .
las
conectada
Como ya se dijo a n t e s ;
se s u p o n e que en la l i n e a , las c o n d i c i o n e s i ni ci al es son ce_
ro .
Antes de a p l i c a r las c o n d i c i o n e s de b o r d e , se d e b e
las siguientes consideraciones:
De las e c u a c i o n e s de la (2.35), esto es de:
S - 1(A+B) ;
R =
hacer
24
d e s p e j a n d o A de a m b a s e c u a c i o n e s ,
A - 25 - B ;
A = B - 2R
(2.44)
i g u a l a n d o las dos e c u a c i o n e s de la (2.44), se tendrá:
25 - B - B - 2R,'
por lo q u e , B - S'+ R
(2.45)
r e e m p l a z a n d o e n c u a l q u i e r e c u a c i ó n d e l a (2.44), q u e d a q u e :
A = S-R
'
(2.46)
SI se suma los v a l o r e s de los vectores en las e c u a c i o n e s
de
la (2.33), osea de [R] y [S] , entonces:
(2.47)
por lo q u e ; r e l a c i o n a n d o los c o e f i c i e n t e s K de las
nes (2.47) con los c o e f i c i e n t e s
Ri+R2+R3 = O
y
ecuac1p_
de [R] y [S] , da q u e :
Si+ S 2 + S 3 - O
(2.48)
Como se t i e n e que las e c u a c i o n e s (2.45) y (2.46) s o n : .
A = S -R
y
B - S+R
25
y como la suma de los coeficientes de las ecuaciones (2.48)
son cero, entonces por l i n e a l i d a d , reemplazando estos valores, q u e d a que la suma de los v a l o r e s de los coeficientes de
A y B son :
A i + A 2 + A 3 - S! + $;, + S3-(Ri-!-R 2 +R3) = O
(2.49)
lo cual se puede demostrar s i m p l e m e n t e r e e m p l a z a n d o
cual-
q u i e r v a l o r a las e c u a c i o n e s (2.48), s i e m p r e y c u a n d o se cum_
p í a que sean cero las i g u a l d a d e s ; y l u e g o dar esos
valores
a las ecuaciones (2.45) y (2.46)
Pero como se verá, - n o s i g n i f i c a que cada uno de los e l e m e n tos de A y B sean cero o i g u a l e s entre sí, así:
A^A^As^O
y
Bl7íB23íB3?íO
(2:50)
2.2.2. Api 1 caci ón de 1 as condiciones de borde . r
Para este caso, las c o n d i c i o n e s d e t e r m i n a n q u e :
para
x = O,
t^O
E(0,s)=V(s)
para
x = x0>
t>O
I (x , s } = O
.
-'• n p -j QOQ
.•'••-
Entonces de l a s e c u a c i o n e s (2.38) y (2.43), esto es de":"
~ *"
26
E(X,s)=ASenhXlX+BCoshXiX+v(AlSenhX0X+BlCoshX0X) '
I(X9s)=-Yc1(ACoshXiX+BSenhXi-X)-Yc0v(AlCoshX0X+B1SenhX0X)
a p l i c a - n d o una c o n d i c i ó n de b o r d e para X = 0, t>0, que corresponde a:
E(0,s) = V(s)
'
(2.51)
se tiene que la e c u a c i ó n (2.38) será:
E(0,s) = B+vB'
o lo que es lo mi smo;
Ei(0,s) = B^B 1
E 2 (0 s s) = B 2 +B'
(2.52)
E 3 {0,s) = B 3 + B'
Si se suma los vol tajes de las e c u a c i o n e s (2.52), y si
se
r e e m p l a z a E(O a s } con V ( s ) , se o b t i e n e :
Vi(s)+V 2 (s)+V 3 (s) - V(s) - B i + B^Ba + S B 1
pero como B i + B a + B a ~ O, e n t o n c e s :
V('S )
.
f9
ro \
27
A p l i c a n d o la otra condición de b o r d e , - p a r a línea sin carga
y p a r a x = x o , t > 0 ; e n t o n c e s por ser c i r c u i t o a b i e r t o se ti eneque,laecuación(2.43)será:
I ( X , s ) = O, y d e s a r r o l l a n d o :
(2.54)
I 1 ( X í s ) - 0 - - Y c i ( A 1 C o s h X i X + B 1 S e n h X i X ) - Y c 0 ( A l C o s h X 0 X + B 1 SenhXoX)
I3(Xss)-0=-Yc1(A3CoshX1X+B3SenhX1X)-Yc0(A1CoshX0X+BlSenhXoX)
y por l o t a n t o :
- Yc1(A1CoshXiX+B1SenhXiX)=Yc0(A1CoshX0X+BlSenhX0X)
- Yc1(A2CoshX1X+R2SenhXiX)-Yc0(ArCoshX0X+Bl.SenhX0X)
(2.55)
S e n h X i X M c o U ' C o s h X o X +B 1 S e n h X 0 X )
Si se suman los términos de las e c u a c i o n e s (2.55), de ambos
l a d o s de la i g u a l d a d , se tiene:
- ( Y c 1 C o s h X 1 X ( A 1 + A 2 + A 3 ) + Y c 1 S e n h X i X ( B 1 + B2-i-B:) ) -3 Ye „ ( A ' Cos hX0 X +
B'SenhXoX)
Como por la
e c u a c i ó n ( 2 . 4 9 ) , se t i e n e que las
Bsonigualacero,porlotanto:
sumas de A
y
28
D , SenhX0X
A 1, =_ -B
CoshX 0 X
(2.56)
R e e m p l a z a n d o la e c u a c i ó n (2.53) en la e c u a c i ó n (2.56),
se
tendrá:
tghX0X
De la e c u a c i ó n (2.52), despejando B i , B2 , B3 ; se
(2.57)
obtiene
que :
,
Vl(s)
.l
_- 2V 1 (s)-V 2 (s)-V 3 (s)
de i g u a l manera p a r a B 2 y B3 ,
2
- 2V 2 (s)-V 1 (s)-.V 3 (s)
3
3
_ 2V 3 (s)-V 1 (s)-V 2 (s)
"
3
(2.58)
De las ecuaciones (2.55) se despeja A I , A 2 , A 3 ; por lo
se tendrá:
A
Al
- Yc° (A'CostUoX+B'SenhXoX)
~ T^T
CoshXiX
r e e m p l a z a n d o ' la e c u a c i ó n (2,56), se t i e n e :
que
-.0
A
1
- Yc°
~ YcTT
-B'SenhXj^<BJSen.hXoX
p^'r-hi . v
R
. . . v
- DitgnAiA
de i g u a l m a n e r a para las otras constantes, por lo que
tendrá
se
resumíendo:
A! - - B i t g h X i X
A2 = - B 2 t g h X i X
A
(2.59)
= -B
Escribiendo la s o l u c i ó n de la
plazo de los valores de las
ecuación
( 2 . 3 8 ) c o n el
reem
constantes» da:
E1(X>s)--B1tghXiXSenhXiX+B1CoshXiX-BItghX0XSenhX0X +
B 'CostUnX
E i ( X , s ) = B i ( C o s hX i X—/r--
F ( y s] - ' B / c ° s ^ 2 ^ i ^ - S e n h 2 X i X x + B , / C o s h 2 X o X - S e n h 2 X 0 X ^
^ ' '
• l
CoshXiX
^
-CoshXoX
(2.60)
como, C o s h 2 A - S e n h 2 A = 1, e n t o n c e s :
CoshXiX
CoshXoX
30
2 V 1 ( s ) - V 2 ( s } - V 3 ( s ) + .V I (s)+V ? (s)+V 3 (s)
3CoshXiX
3CoshX0X
F i n a l m e n t e , de la m i s m a m a n e r a , las otras fases serán:
F
t
fy ^ - 2V2(s)-V 1 (s)-V 3 (s) , Vi(s)+V 2 (s)+V 3 (s)
- *
- i
X00 X
-
2 V 3(s)-V 1 (s)-V 2 (s)
Vi(s)+V 2 (s)+V3(s
(2.61)
2.3. MÉTODO D E S A R R O L L A D O DE LA E S C U E L A P O L I T É C N I C A
NACIONAL
P A R A EL C A L C U L O DE LOS V O L T A J E S T R A N S I T O R I O S .
El d e s a r r o l l o del teorema del r e s i d u o en la v a r i a b l e compl£
ja se lo hace en el a p é n d i c e A, en el cual se da una e x p l i cación breve del mismo y su uso; en este capítulo se irá di_
rectamente a su útil i z a c i ó n .
Este método se basa justamente en encontrar las f r e c u e n c i a s
en las q u é el c i r c u i t o o s c i l a r á , las c u a l e s , serán i n f i n i tas en su n ú m e r o ; por ser el c i r c u i t o que se trata, de pará_
metros d i s t r i b u i d o s .
Toda e c u a c i ó n , de c u a l q u i e r c i r c u i t o , se l l a m a f u n c i ó n
de
red y tiene la forma de:
T(s) = £í|4-
.
(2.62)
31
d o n d e Q(s) y P(s) t i e n e n n y m raí ees- d e n o m i n a d a s p o l o s y c _ e _
ros de la f u n c i ó n r e s p e c t i v a m e n t e , ya que estos v a l o r e s hace a la f u n c i ó n de red I n f i n i t a y n u l a en su o r d e n , y estos
v a l o r e s son frecuencias
complejas.
Por esto, una fuñe Ion de
red v i e n e t o t a l m e n t e d e t e r m i n a d a en f u n c i ó n de sus p o l o s
y
ceros l °.
N o r m a l m e n t e en un c i r c u i t o e l é c t r i c o , las e c u a c i o n e s que d_e_
t e r m i n a n los voltajes son:
V s ( s ) = G(s).V e (s) '
Vs
= V o l t a j e de s a l i d a .
Ve
= V o l t a j e de entrada
G
= E c u a c i ó n de la red
SI a - l a e c u a c i ó n anterior
se e x p a n d e en fracciones p a r c i a -
les, el d e n o m i n a d o r de cada f r a c c i ó n está da.do por los
po-
los de G(s) y de Ve(s ) , así:
' G(s).Ve(s) =
n
z
d o n d e n es el número de p o l o s de G(s) y m el de Ve(s)
T o m a n d o la I n v e r s a , se t i e n e :
m"'
"
c í+
c t+
Vs(t)= E Kje SJi: + z K k e s k t
j=l
k=l
(2.65
32
De a q u í se tendrá
una respuesta
l i b r e y o-tra forzada corres_
p e n d i e n t e s en su orden a Kje51-1 y ' K¡<e
.
De modo, q u e , los p o l o s d e t e r m i n a n la forma de o n d a y los ceros de m a g n i t u d de cada parte de la r e s p u e s t a
Para f a c i l i t a r y s i m p l i f i c a r lo que -se verá mas a d e l a n t e , se
d i r á que si se apl.-ica el teorema del r e s i d u o , la
respuesta
a l v o ! -taje será:
n
E ( x ,t ) = S
1
t
r e s i d u o s de e
E ( x , s ) en los
p o l o s de la
función
(2.66)
lo cual es i d é n t i c o a l a teoría
de los p o l o s y ceros en cir.
cui tos .
2.3.1 . 'Ut'i'l'f za'c'i'orí 'del te o' rema 'del' r e s i d u o para 1 a d e t e r m i n a
'c'i'óri- 'de 1 a' transf o'r'mada i" n versa de L a p l ace .
En la sección 2.1.2 se toma la m i t a d de la p r i m e r a e c u a c i ó n
de la (2.61), para f a c i l i t a r l a s o l u c i ó n de lo que se p r o p o -
ne ; así ,
,
, .„ •2V 1 -(s)-V 2 (s)-V 3 (s)
--
T e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a s s i g u i e n t e s i g u a l d a d e s para
r a c i ó n s e n o i d a l son:
,
gene-
33
= V
s Sen (0-2^/3)^005(0-217/3)
S u s t i t u y e n d o las e c u a c i o n e s (2.68) en la e c u a c i ó n (2.67), y
para f a c i l i t a r , se l l a m a a X i X = X i ; e n t o n c e s ; la e c u a c i ó n
'(2.67) será:
E!(X,S)
llamando
=
(2^
a los
t é r m i n o s s e n o i d a l e s y c o s e n o ' i d a l e s como V A L Í
y V A L 2 r e s p e c t i v a m e n t e , se t e n d r á ; incl uyendo el 1/3:
r \
I Yy j cI
C.i
"1
=T
Z~T
S
Z ^7-
ÜTi
VVrvALM
I
*4- T.,
¿~,,_
.-^,-^
^\ _
_ ÍT~I
• MVi -A' - l
?
^ £. (« 9u ;?fi y Q
")
De i g u a l 'forma, las otras fases serán:
(2.70)
donde VAL3 a VAL6 s o n :
V A L 3 - ( 2 V 2 S e n ( f i + 27r/3) - V ^ e n t f - V 3 S e n (</> -2ir/3 ) )~
V A L 4 - (2V 2 Cos(0 + 2iT/3) - V ^o sgi-V 3 S e n (0-2^/3 ) )
V A L 5 = ~ ~ 2 V 3 S e n ( í i - 2 T T / 3 ) - V1 S e n 0 - V 2 S e n
VAL6 = (2V 3 Cos(0-27r/3) - . V i'Cosgí- V 2 C o s
De esta m a n e r a , sólo queda la d e t e r m i n a c i ó n de los p o l o s
(frecuencias en la que el c i r c u i t o oscilará) para c a l c u l a r
los residuos y por lo tanto, consecuentemente, los
volta-
jestransitorios.
2.3.2 D e t e r m l n a c i ó n de 1 os P o l o s . -
S e . v e q u e , de las e c u a c i o n e s (2.69), (2.70) y (2.71),
sus
d e n o m i n a d o r e s son i g u a l e s , y para d e t e r m i n a r los p o l o s , se
hace:
(s2+w2) - O
s e g ú n el teorema
del
y CoshX! = O
(2.72)
residuo.
Ahora, tomando la primera ecuación de la (2.72), se
tiene
que; el p r i m e r par de p o l o s o f r e c u e n c i a s en que el c i r c u í
to osci1 ara son:
s = + j(ü
(2.73)
35
y de l a s e g u n d a ecuación de la (2.72), se obtiene:
CoshXi- O =
- In
X:
=
/szCiL1+sR1CÍX
despejando s, y l l a m a n d o a s^s n> se tendrá f i n a l m e n t e q u e ;
los otros polos o frecuencias son:
Ri
(2.74)
n = 1 , 2, 3,
siendo
._ ~—
Ri constante de a m o r t i g u a m i e n t o del c i r c u i t o
a=
Estas frecuencias tienen la forma de:
s n = a+jbn
(2.75)
la cual se usará p o s t e r i o r m e n t e con propósitos de s i m p l i f i
c a c ió n.
36
2.3.3 C a l c u l o de 1 os v o l t a j e s transí torios .
Para el c á l c u l o de los voltajes trnsi t o r i o s , se u t i l i z a
el
teorema del r e s i d u o ( A p é n d i c e A sección A.3); con el
cual,
se hace n e c e s a r i o c a l c u l a r p r i m e r a m e n t e los r e s i d u o s
para
los diferentes p o l o s .
Asi, el s u m a t o r i o de los r e s i d u o s se_
rán los voltajes que se buscan.
Entonces, el primer
resi-
duo será el de los dos p r i m e r o s p o l o s (s =+jw) ; por lo
tanto,
a p l i c a n d o a la e c u a c i ó n (2.69), este r e s i d u o será:
RE1-VAL1
1
)+VAL2 Sen(wt+a)
ü) C o s h X i
CoshXi
(2.76)
Se p u e d e notar que los dos m ó d u l o s de la e c u a c i ó n (2.76) son
i g u a l e s , di.feriendo s o l a m e n t e en s.
La teoría de la trans-
formada de L a p l a c e d i c e que si:
Z(f(s))=F(t), e n t o n c e s ,
por lo tanto, en la e c u a c i ó n (2.76) al p r i m e r término se lo
d e r i v a con respecto a t, q u e d a n d o :
A 1L "1i —
M
. 0)
REÍ-
1
CoshXi
d
1
C o s h X i dt
(VALlCos(
)+VAL2
CoshA i
Sen (cot+a)
(2.77)
37
de i g u a l manera para las otras (ios fases, los r e s i d u o s
se-
rán :
RE2 =
1
CoshXi
1
CoshXi
(VAL3Cos(wt+a)+VAL4Sen(tüt+cc)
(2.78)
(VAL5Cos(ü)t+a) + VAL6Sen(wt+a))
(2.79)
Para los otros p o l o s se t i e n e q u e ; los residuos serán:
RRE1 - V A L Í
bn
VAL2 —
bn
1 im
sn-3-a+jbn
e at Sen(bnt+a[)+
^ "i™
N
sn->a+jbn ~(sn+wz) CoshX~i e a t S e n ( b n t + a x )
N =
d o n d e N es l a ' e x p r é s ion que hace cero a c o s h X i , por lo
que
se d i v i d e para sacarla de c o s h A i ; como se i n d i c a en el
teo-
rema del r e s i d u o (ver a p é n d i c e A sección A.3).'
A p l i c a n d o i g u a l m e n t e , como se hizo en la e c u a c i ó n (2.76);se
tendrá:
RRE1 - VALÍ
1
bn
lim
CoshXi
-pp( e
Sen(bnt-¡-a
38
VAL2
ü) l i m
bn s n ^a+jb n
N
e
( Sn + to*) C o s h X i
Sen(bnt+a
Dentro d e l m ó d u l o s e a p l i c a l a r e g l a d e L ' H o s p í t a l para l e ventar l a i n d e t e r m i n a c i ó n , e n t o n c e s ; d e r i v a n d o a r r i b a y aba_
jo queda:
-r C o s h X i = S e n h X i
ds •N - 2 ( s n - a ) ;
ds
2s n L
ds
y por lo tanto RRE1 será: "
RRE1 -
Ksn-a)
bn
[VAL>bn-Cas(bnt+ai)
+ (VALÍ .
(2.80)
De i g u a l m a n e r a para las otras fases, se tendrá que los resi dúos son:
at
RRE2 - e
bn
2(sn-a)
[VAL3.bn-Cos(bnt+ai
ds
(2-81)
at
RRE3 =
/ 2 ( sn - a
[ VAL5-bn-Cos(bntH-c¿i
ds
39
a+VAL6.oj)Sen(bnt+ái)]
(2.82)
La s e g u n d a parte de la e c u a c i ó n (2.61) se r e s u e l v e
de
la
m i s m a m a n e r a que las e c u a c i o n e s (2.80), (2.81) y (2.82), a sí; se hace X0 x = X0 por f a c i l i d a d ;
Eio(X,s)'=
(2.83)
L l a m a n d o a los términos s e n o i d a l e s y c o s e n o i d a l e s como V A L 7
y VALS respect i v a m e n t e , entonces, la e c u a c i ó n (2.83) se obtendrá de la s i g u i e n t e forma; incluyendo 1/3
VALS
VAL7 *
(2.84)
Pai"a los dos primeros polos, se tendrá, de la misma manera
que lo que se hizo, con l a (2.69), que el r e s i d u o es:
RE10 -
1
CoshX
VAL7Cos(wt+a.0)+VAL8Sen(wt+a0))
F i n a l m e n t e , para los otros polos:
RRE10 =
a ot
bn n
2 ( sn o - a o )
VAL7bn0Cos
ds
(2.85)
40
+VAL8-üi)Sen(bnot+a1D)]
(2.86)
Nota: Para los residuos R E 1 0 y RRE10, se debe c a l c u l a r
los
polos con los parámetros de s e c u e n c i a cero.
Como R E 1 0 y R R E 1 0 s o n i g u a l e s p a r a l a s
tres f a e s ; e n t o n c e s
la r e s p u e s t a total en v o l t a j e será:
n
E l T ( X , t ) - RE1+RE10+S(RRE1+RRE10)
1
n
E2j(X,t) = RE2+RE10+Z(RRE2+RRE10)
E3j(X,t)
(2.87)
. 1
n
=• R E 3 + R E 1 0 + £ ( R R E 3 + R R E 1 0 )
1
Nota: a, ai, aioson los ángulos formados en sus respectivos
m ó d u l o s y se d e s i g n a como:
a - tg~
(Imaginaria f(s)/Real f (s) ) en el módulo del re_
s iduo .
(ver a p é n d i c e A sección A.3)
2.4 I N F L U E N C I A DEL C I E R R E NO S I M U L T A N E O DEL D I S Y U N T O R
En esta parte se hará un e s t u d i o m a t e m á t i c o del efecto
de
cerrarse simultáneamente y no simultáneamente los polos del
41
d i s y u n t o r , y la a p l i c a c i ó n de la f u n c i ó n de retardo de tiem_
po en 'los voltajes de las fases.
En la teoría de la transformada de L a p l a c e , la f u n c i ó n
de
retardo de t i e m p o es:
"T°s f(s)
(2.88)
cuya" transformada en t i e m p o corresponde a:
F(t-To)
(2.89)
d o n d e F(t) = O c u a n d o t<0.
Esto q u i e r e d e c i r , a p l i c a n d o a este caso } que si una
fase
no ha cerrado a un t i e m p o T 0 , el v a l o r de v o l t a j e y corrí en_
te será n u l o en ese I n t e r v a l o , d e s p u é s del c u a l ,
aparecerá
el v a l o r de las ondas de v o l t a j e y c o r r i e n t e .
2.4.1 Cierre S i m u l t á n e o . -
El tener un cierre s i m u l t á n e o , q u i e r e d e c i r que n i n g u n a fase tendrá un retraso de tiempo; asT entonces de las e c u a c i o_
nes (2.85) y (2.86), los v a l o r e s V A L 7 y V A L S son n u l o s ,
que:
ya
42.
O
y
(2.90)
O
siempre y cuando que V i , V2) V 3 sean iguales, que para
este
caso, los voltajes de fuente serán en su m a g n i t u d uno por u_
n id a d.
Al ser VAL7 y VALS cero, R E T O y R R E 1 0 serán cero t a m b i é n ;
entonces las e c u a c i o n e s de la .(2.87) q u e d a r a n s i m p l e m e n t e :
n
(X,t) = 'REÍ + S R R E 1
n
E2j (X,t) = RE2 + Z R R E 2
(2191 )
1
n
E3j (X4t) - RE3 + L RRE3"
1
En este punto, se puede notar que los v a l o r e s de secuencia
cero, parámetros y c o r r i e n t e s , no i n t e r v i e n e n en el t r a n s i torio, y d e s d e el p u n t o de v i s t a físico, el c i e r r e es e q u i l i b r a d o , "por lo que no existen corrientes que retornen
ti erra.
por
Esto se ve c l a r a m e n t e en las ecuac iones (2.61), don_
de:
Vi(s)+V 2 (s)+V 3 (s) - O
ya que se nota que la e c u a c i ó n (2.92) es semejante
(2.90).
(2.92)
a
Si se hace las sustituciones respectivas, como
la
se
43
h i s o con la (2.67) con la s u s t i t u c i ó n - d e las ( 2 . 68 ) 5 se veráquesecumplelasemejanza.
2.4.2 Ci erre no simul táneo . -
Si a las ecuaciones
.
de voltajes, desde los valores VALÍ
a
V A L S , se. l e i n t r o d u c e la función de retardo de t i e m p o
en
c u a l q u i e r fase, una por una o en pares de fases, se tendrá
que las corrientes de s e c u e n c i a cero sí i nteresan , y 1 os va_
l o r e s de V A L Í a V A L S c a m b i a r á n ; así por e j e m p l o , si se dice que la fase A no cierra al mismo tiempo que
las
otras
dos, se tendrá entonces:
VAL7 - V i S e n 0 U ( t - T 0 ) + V 2 S e n ( 2 Í+27r/3)+V3SenC^~2TT/3) ?
O
VALS - V i C o s ¿ U ( t - T o ) + V 2 C o s { t f +2Tr/3)+V3Cos(jzS-2Tr/3) j
O
'
(2.93)
donde,
U(t -T 0 ) = función paso de retardo
para todos los t i e m p o s m e n o r e s a T 0 -
Por lo que R E 1 0 y R R E 1 0 son d i s t i n t o de cero, y la r e s p u e s ta al v o l t a j e será los de la e c u a c i ó n (2.87); o b v i a m e n t e , R E Í , RE2 S RES, R R E 1 , R R E 2 3 y R R E 3 t a m b i é n c a m b i a r á n .
44
Para t i e m p o s t>T 0 , n u e v a m e n t e los v a l o r e s V A L 7 y VALS serán .
n u l o s , ya que la o las fases que no cerraron, lo han hecho;
entonces se regresa a las e c u a c i o n e s (2.91).
F í s i c a m e n t e al no h a b e r un cierre s i m u l t á n e o , se tendrá vol_
tajes d e s e q u i l i b r a d o s q u e i n d u c i r á n corrientes q u e c i r c u l e n
por el. neutro y que aparezcan
voltajes i n d u c i d o s en las fa-
ses que estén abiertas; obv i amenté por esto se toman en cuen_
ta los parámetros de secuencia cero.
2.5 MÉTODO DESARROLLADO POR URAM Y MILLER.
Hasta la ecuación (2,31) se ha s e g u i d o el 'modelo m a t e m á t i c o
d e s a r r o l l a d o por Uram y Miller, 5 " 6 de ahí en a d e l a n t e , se o_p_
ta por tener las e c u a c i o n e s (2.38) y (2.43) como lo h a c e Ca._
1 ábrese.^ Pero, en todo casa, bien vale la pena dar una bre_
ve d e s c r i p c i ó n del método s e g u i d o por d i c h o s autores.
De las ecuaciones (2.30), se t i e n e que al d e s a r r o l l a r
los
exponenciales,éstosson:
p p_m //r"
_J'
V o1 v
e -/Z^X
=: e
2
Lo
_ /p j—i y
e
(2.94)
e
-/Z7T7X
1 í =
e
Ri /C l- X
Ll
e
45
en el c u a l e l - d e s a r r o l l o de los e x p o n e n t e s se o b t i e n e de:
G = conductancia
Para l í n e a s con c o n d u c t a n c i a d e s p r e c i a b l e , se tendrá
(2.95)
s i s e r e e m p l a z a l o s p a r á m e t r o s d e l a l í n e a e n l a ecuación
(2.95)
y t o m a n d o l o s d o s p r i m e r o s t é r m i . n o s , s e d e m u e s t r a q u e ; aproxj_
madamente,6 el exponencial de las ecuaciones (2.94) es:
' *- 1
r\T^1
.
n
/^
/o
,
r» ^ \
.5-6 //
c o n l o q u e - s e j u s t i f i c a l a s e c u a c i o n e s (2.94J
Los e x p o n e n c i a l e s de la e c u a c i ó n (2.94) t i e n e n dos
partes:
u n a e n v u e l v e constantes y l o n g i t u d d e l a l i n e a ; m i e n t r a s l a
otra e n v u e l v e la v a r i a b l e s de L a p l a c e .
El p r i m e r o
de los
t é r m i n o s ' d e c r e s e con la l o n g i t u d , r e p r e s e n t a n d o así l a amor,
tiguación.
El s e g u n d o representa un factor de retardo, pue_s_
to que es un t é r m i n o de la forma.
sX
= s
46
cuya transformada es:
- / LC sX
,, / , -r \
= U(t-T 0 )
que es en la teoría de l a transformada de L a p l a c e , un reta_r_
do de tiempo de i/OT X s e g u n d o s , como se e x p l i c ó ya
en la secció.n 2.4.
de esto
En form'a mas g e n e r a l , una f u n c i ó n envol_
v i e n d o un retardo de t i e m p o corresponde a:
¿ l fe /(s \J/e L C
Xs
= F(t-T 0 )U(t-T 0 )
(2.97)
A p l i c a n d o l a s ecuaciones (2.94) en las e c u a c i o n e s (2.30),se
tendrá, (tomando dos ejemplos que s e r v i r á para todos los casos) q u e , las constantes son:
- /C 0 L o s X
•X
Kn(s) - Kn
e
(2.98)
K 2 1 (s) = K 2 1 (s)e
efectuando la transformada' i n v e r s a como se hace en la ecuac i ó n (2.97), entonces; las constantes en f u n c i ó n de
tiempo
serán:
o /J±_o_v
" L°
(2.99)
47
^ i
K 2 1 (t) = e 2
(2.99)
Esto q u i e r e decir q u e , las constantes se deben c a l c u l a r con
/ÓT x s e g u n d o s de retraso.
A h o r a b i e n , U(t-yOT X) es
cero
para t i e m p o s menores a /LÜ1 x seg. y uno para t i e m p o s mayores
o i g u a l e s . ' Más c l a r a m e n t e ; si se desea c a l c u l a r el v o l t a j e
al extremo receptor, entonces se c a l c u l a n p r i m e r a m e n t e
las
constantes de l a s e c u a c i o n e s c u a n d o recién se e n e r g i z a , por
lo que las c o n d i c i o n e s de b o r d e al extremo receptor son cero (E(X 51)=0 y I(X,t)=0), ya que la o n d a se demora
en l l e -
gar a ese extremo- /TC1 x s e g u n d o s . . Así, el v o l t a j e al extre_
mo receptor es cero para el p r i m e r paso de. tiempo.
Cuando
el i n c r e m e n t o de t i e m p o sea /TU x seg., la c o n d i c i ó n de bor.
de en ese instante será E(X,t)=V y I(X,t)=0 (por ser
línea
sin carga) y - l a s constantes _de l a s e c u a c i o n e s s e c a l c u l a r á n
para esas c o n d i c i o n e s de borde, las c u a l e s se usarán para de_
terminar el voltaje /LÜ1 x seg. más
tarde.
E s c r i b i e n d o l a s e c u a c i o n e s de la (2.42) de la m i s m a
forma
que la (2.31); se tendrá por lo tanto que las ecuaciones
(2.31) y (2.42) r e u n i d a s son:
[E] = [T][Kie-] +[T][K2e+],
r T "i
r ^ n r ^ t — J. i- .,
— i
r~ i r - i — ~ r .,
~r
48
11 a m a n d o a :
[ A j = [k i e x "o]
(donde X
I n d i c a que es en el
extremo
[B 2 ] -
[k2ex+o]
[XJ =
[B 2 e x -o]
receptor.)
entonces; para el extremo g e n e r a d o r e 0 y e o son u n o . ya que
o
eo = 1
[Eo] =
[lo] =
[Exo]
=
[T] [ A 2 ] + [T] [ B 2 ]
[ I x o ] = [T] M " 1 [ A 2 ] - [ T ] [ f i ] " 1 [ B 2 ]
(el
s u b í n d i c e o i n d i c a el
. s e ti ene a d e m á s :
[ki] =
extremo generador)
49
[B 2 ]= [ A 2 ] - [n] [T]
[ ! X o ] ; como I x o = 0 , e n t o n c e s
[62]= [A 2]
[E] =
y
2[T][A2]
(2.101)
H a c i e n d o un p e q u e ñ o d e s a r r o l l o , con.fines i l u s t r a t i v o s , del
método hecho por U.ram y M i l l e r ; se tendrá por lo tanto:
A 2 ( t ) p a r a t = O es:
1
1
[A 2 ] i = 2"[T]~ [ E X o ] , c o m o p a r a t = 0 es
[A2]i = O
y
Exo=0
-+•
[Exo]i = O
A 2 n ( t ) p a r a t = / L C 1 x es;
[ A 2 ] n - = y[ T ]~ [ E x o ] > c o m o p a r a t = /LCT x es E X O = V !
{A2]n = f ( V i )
A2(t)
y
EX02 - f{A2)n
p a r a t>/LTT x e s :
[A] .n + 1 = ^[ T l" [ E x o ] , c o m o
= f(EX02)
EXo = f ( E X o 2 )
y EX03 = f(A2)n+l'
50
A ¿ ( t ) p a r a t>/TT x + At
es
n-i-2
[ E xo], como E x 0 = f(E x o a)
[Az]n+2 = f(E X 0 3 ) y E X O i f = f(A 2 )n+2
y así sucesivamente.
2.6 I N T R O D U C C I Ó N DE LA V A R I A C I Ó N DE LOS P A R Á M E T R O S
CON LA-
FRECUENCIA
2.6.1
Efecto Piel
"La d i s t r i b u c i ó n u n i f o r m e de la corriente
en la s e c c i ó n
del
conductor s o l a m e n t e se presenta en la corriente c o n t i n u a . A
m e d i d a que a u m e n t a l a f r e c u e n c i a de la c o r r i e n t e a l t e r n a , se
hace m á s p r o n u n c i a d a l a d i f e r e n c i a entre l a s d e n s i d a d e s
de
c o r r i e n t e . d e las d i s t i n t a s zonas de una s e c c i ó n t r a n s v e r s a l .
Este fenómeno se l l a m a "Efecto
Piel."
En un conductor
sección circular, generalmente, aumenta la. densidad de
rriente del i n t e r i o r al exterior.
de
co-
S i n e m b a r g o , en l o s con-
ductores de.radio s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e , se p u e d e p r e s e n t a r u_
na densidad de corriente oscilante a lo largo del radio.
C o n s i d e r a n d o diferentes f i l a m e n t o s l o n g i t u d i n a l e s
normales
a la sección del conductor, los filamentos situados en la su
51
perficie no son alcanzados
por el flujo interno'y el numero
de los e n l a c e s de flujo de los f i l a m e n t o s cercanos a la superficie es menor que los d e l i n t e r i o r .
Esta -falta de u n i -
f o r m i d a d de los e n l a c e s de flujo es la causa del Efecto Piel.
A a l t a s f r e c u e n c i a s y en conductores de gran r a d i o , el Ef e£
to P i e l a l t e r a c o m p l e t a m e n t e los v a l o r e s de r e s i s t e n c i a
reactancia.
y
I n c l u s o a las f r e c u e n c i a s n o r m a l e s de di stri bu_
c i ó n el Efecto P i e l es i m p o r t a n t e en los g r a n d e s
conducto-
res. " 9
Con este r a z o n a m i e n t o y a p l i c a n d o lo 'que se d i j o anteríormen_
te en este c a p í t u l o (ecuaciones 2.1, 2.2, 2.3
), la resis_
t e n c i a de s e c u e n c i a p o s i t i v a (la de la 1 í nea ). y l a resister^
cia de secuencia cero (la de la l i n e a y.tierra) varia
porcionalmente con la frecuencia.
A s i , la variación de las
dos, positiva y cero, será diferente ta.l como se i n d i c a
la fig.
pro-
en
2.4.
En la in.ductancia de la l í n e a , s i e n d o el conductor de
área
constante, la d e n s i d a d . d e c o r r i e n t e no p u e d e s a l i r de
esos
l í m i t e s de área; por lo tanto se p u e d e c o n s i d e r a r que la va_
r i a c i ó n del v a l o r de la i n d u c t a n c i a es casi n u l a , como
p u e d e ver en el gráfico de la fig. 2.4.
se
Consecuentemente,
la i n d u c t a n c i a d e s e c u e n c i a p o s i t i v a e s p r á c t i c a m e n t e constante.
No así con la i n d u c t a n c i a de s e c u e n c i a cero; ya que
en e l l a i n t e r v i e n e la i n d u c t a n c i a de tierra y como
el área
de tierra es i n d e f i n i d a , la v a r i a c i ó n de la i n d u c t a n c i a
de
52
tierra se p u e d e c o n s i d e r a r I n d e f i n i d a ; pero por
cálculos
e x p e r i m e n t a l e s h e c h o s por C a r r o l l 8 , se ha l l e g a d o a dar
lor a esta v a r i a c i ó n , la cual se representa
en la
va-
figura -
2.4, y que se puede considerar como m o d e l o .
La c a p a c i t a n c i a se d e f i n e como:
re
F/m
(2.102)
que es la c a p a c i t a n c i a entre- l í n e a s , s i e n d o :
h - d i s t a n c i a m e d i a ' d e centro a centro de l o s
r = r a d i o del
conductores
conductor
e = permi ti vi dad
y la c a p a c i t a n c i a e n t r e . u n conductor y tierra es:
F/m
(2.103)
h = d i s t a n c i a m e d i a del centro del conductor al centro
de
la i m a g e n del conductor.
N i n g u n o de estos v a l o r e s d e p e n d e de l a f r e c u e n c i a ;
así,
ni
la c a p a c i t a n c i a de s e c u e n c i a p o s i t i v a , ni la cero varía con
1 a frecuenci a.
•
53
10
Fi g . 2.4 V a r i a c i ó n de los parámetros con la f r e c u e n c i a
Así en este punto, se hará una Introducción de los
efectos
que se p r o d u c e n - e n l a s e c u a c i o n e s al v a r i a r los parámetros
con la f r e c u e n c i a , d e j a n d o para e s t u d i o s p o s t e r i o r e s
la a-
p l i c a c i ó n de d i c h o , efecto; que naturalmente demandará "un estudio
tan extenso-como el que se ha hecho hasta el m o m e n t o en las
ciones anteriores de este trabajo; por cuanto se
sec-
necesitará
h a c e r otro tipo de c o n s i d e r a c i o n e s en la a p l i c a c i ó n del tep^
rema del r e s i d u o .
I n d u d a b l e m e n t e , lo que se h a g a después se
debe partir de las ecuaciones planteadas.
Al a p l i c a r la v a r i a c i ó n - de los parámetros
con la frecuencia,
se t i e n e que de la e c u a c i ó n (2.74), que es:
+
2L-
-;
n = 1 , 2, 3,
Se d e d u c e que en esta e c u a c i ó n , el v a l o r de la raíz debe ser
mayor que cero s ya que de lo c o n t r a r i o , s n sería
solamente
amorti g u a r n i e n t e ; a s i , la e x p r e s i ó n que h a c e cero
a l a raíz
es :
X C
por lo q u e , esta e x p r e s i ó n debe ser mayor que cero y por lo
tanto:
__.
> __
( ¿ . I U bj
Pero resulta que R aumenta y L d i s m i n u y e
conforme
la frecuencia (fig. 2,4), entonces, l l e g a r á un
aumenta
momento
en
que la e c u a c i ó n (2.105) c a m b i a r á de s e n t i d o ,
2 / 9
~] \
D2.
7 T l í i n ~ I J , f \ o
T r\ \r
< -r-
(2.
de esta m a n e r a , no se podrá a p l i c a r el teorema del r e s i d u o
para raíces complejas c o n j u g a d a s , s i n o para raíces
dobles.
Los resultados serán funciones e x p o n e n c i a l e s en el tiempo;
lo que i n d i c a la p r e s e n c i a de c o m p o n e n t e s de c o r r i e n t e con_
55
t í n u a , que s u m a d a s a las c o m p o n e n t e s de c o r r i e n t e a l t e r n a ,
dará una respuesta muy a p r o x i m a d a a la real i dad.
2.7 ESPECTROS DE F R E C U E N C I A
La respuesta transitoria de un c i r c u i t o e l é c t r i c o es una on_
da deformada co.n respecto, a la respuesta forzada, que t i e n e
c o m p o n e n t e s de frecuencia de d i s t i n t a s características y que
d e p e n d e n de los parámetros y. 1 a c o n f i g u r a c i ó n del c i r c u i t o .
Estas componentes spe p u e d e n representar en un di a g r a m a ,
al
cual se lo d e n o m i n a . e s p e c t r o de frecuencia.
Las respuestas forzada y t r a n s i t o r i a , t i e n e n un a m o r t i g u a m i e n t o que es f u n c i ó n de los panametros del c i r c u i t o .
N a t u_
r a í m e n t e , la respuesta forzada tiene un a m o r t i g u a m i e n t o -cero d e b i d o a que la f r e c u e n c i a de ésta tiene s o l o parte i m a g i n a r i a (s=H\jti)} .
Si se hace un gráfico t r i d i m e n c i o n a l de .la o n d a en
función
de a m p l i t u d , t i e m p o y f r e c u e n c i a , - s e tendrá el g r á f i c o de la
fi gura 2.5.
56
Fig. 2.5 Gráfico tridimensional de una onda en función
a m p l i t u d , - tiempo y frecuencia.
de
SI se mira eí cuadrante de a m p l i t u d - t l e m p o , se tendrá el grá
fleo de la figura 2.6
Fig. 2.6 Gráfico I n d i v i d u a l de cada onda
57
en que la s u m a de esas ondas será l a respuesta total
del
transí torio.
M i r a n d o el cuadrante a m p l i t u d - f r e c u e n c i a , se o b t e n d r á el grá_
fico de la fig. 2,7 a t = 0; del cual se verá s o l a m e n t e 1 ineas
p a r a l e l a s , que es justamente el espectro de f r e c u e n c i a .
Fig. 2.7 Espectro de frecuencia generalizado
Este gráfico
se puede realizar para c u a l q u i e r tiempo t. Sus
a m p l i t u d e s son m ú l t i p l o s del amortiguamiento, de una
senoidal y.del tiempo; así, de las ecuaciones
función
(2.77), (2.78)
y (2.79) se o b t i e n e l a s .amplitudes para las tres fases de la
respuesta forzada y de las e c u a c i o n e s (2.80), (2.81) y (2.82)
se e n c u e n t r a n 'las a m p l i t u d e s de la r e s p u e s t a t r a n s i t o r i a p^
ra c u a l q u i e r t i e m p o t.
C u a n d o exista f r e c u e n c i a s de s e c u e n c i a cero, se d e b e incluir
las ecuaciones. (2.85) y (2,86).
Más el aráñente, las contri b u c i ones que hace cada c o m p o n e n t e
de frecuencia
en la respuesta total a un tiempo t determ1na_
do, es el espectro de f r e c u e n c i a para ese t i e m p o y se lo o b_
t i e n e d e l a s e c u a c i o n e s antes d i c h a s .
59
•
C A P I T U L -O
I I I
DESARROLLO DEL P R O G R A M A DIGITAL
3.1 A L O G A R I T M O DE C A L C U L O
El c á l c u l o de los v o l t a j e s - t r a n s i t o r i o s por e n e r g i z a c i ó n de
una l í n e a en v a c i o , requiere encontrar los valores
frecuencias en la que el c i r c u i t o o s c i l a r á .
de
las
Para esto
se
h a c e n e c e s a r i o saber, si el cierre del d i s y u n t o r es o no u ~
ni forme; con lo cual se determinará las componentes de
c u e n c i a para s e c u e n c i a
p o s i t i v a y cero.
fre-
Para cierre s i m u 1_
taneo., sólo se c a l c u l a r á . . l a s c o m p o n e n t e s de f r e c u e n c i a
para
s e c u e n c i a p o s i t i v a ; en c a m b i o , si el cierre no es si multáneo
se cal cu]ara ambas.
Cada f r e c u e n c i a c a l c u l a d a le corresponderá
una a m p l i t u d y fa_
se; l a a m p l i t u d y fase d e b i d a al m o d u l o del r e s i d u o cal cul a_
do para cada f r e c u e n c i a .
(Ver a p é n d i c e A)
El a l o g a r i t m o s e g u i d o en el p r o g r a m a d i g i t a l será
entonces:
a) C á l c u l o de las "componentes de f r e c u e n c i a para
secuencia
p o s i t i v a con sus cor respondí'entes v a l o r e s de a m p l i t u d
y
fase; el c á l c u l o i n c l u y e la parte e s t a c i o n a r i a y la tra_n_
sitoria, (ecuaciones 2.73 y 2.74)
60
SI c u a l q u i e r v a l o r de los t i e m p o s de retardo, para
cada
una de las fases, es distinto de cero; se c a l c u l a entonces las c o m p o n e n t e s de f r e c u e n c i a para s e c u e n c i a
cero,
c o ñ ' s u s c o r r e s p o n d i e n t e s v a l o r e s . d e a m p l i t u d y fase.
b) C á l c u l o de los v a l o r e s desde VALÍ a V A L S (capítulo II
sección 2.21)
c) C á l c u l o de la suma de l o s voltajes en estado e s t a b l e
y
transitorio.(ecuación 2.87)
d) Impresión de los -resultados.
3.2 D E S C R I P C I Ó N DE LAS S U B R U T I N A S .
Subr.utina C O M P F . - Dado, los v a l o r e s de los parámetros
y
la
l o n g i t u d de la l í n e a , se c a l c u l a n las com_
ponentes de f r e c u e n c i a para s e c u e n c i a p o s i t i v a y cero.
s n = - i-i_
i / i _ i ^ t _ / \_
(3.1)
n - 1 , 2, 3,
Solamente se c a l c u l a una raíz, ya que la otra es la c o n j u g <i_
da (ver a p é n d i c e A).
N o r m a l m e n t e n varía de 1 a 40
61
S u b r u t i n a VEST.- Con los v a l o r e s de los parámetros
g i t u d de la- l i n e a , se c a l c u l a la'
y fase de la c o m p o n e n t e de f r e c u e n c i a
y la l o n _
amplitud
a 60 Hz.
De la e c u a c i ó n (2.77), se t i e n e que el m ó d u l o es:
VABS2 =
1
coshA i
(3.2)
S u b r u t i n a V I R A N . - De los v a l o r e s de las c o m p o n e n t e s de frec u e n c i a ( p o s i t i v a y o cero), los parámetros
y l a l o n g i t u d de l a 1 1 n e a ,. s e c a l c u l a n l a s a m p l i t u d e s y
fa_
ses c o r r e s p o n d i e n t e s a cada c o m p o n e n t e de f r e c u e n c i a .
De l a e c u a c i ó n (2.80), se t i e n e que el m ó d u l o es:
VABS2Rn=
a n = tg
2(s n -a)
(Img(H(s))/Real
(3.3)
(3.4)
H(s) = La f u n c i ó n que está dentro del m ó d u l o de V A B S 2 R
S u b r u t i n a V A L O R . - Dado l o s v a l o r e s d e l o s v o l t a j e s e n l a g e n e r a c i ó n y el á n g u l o de energización,. . se
61
c a l c u l a n los valores de VALÍ a VALS, que son s i m p l e m e n t e la
suma de los voltajes con sus r e s p e c t i v a s f u n c i o n e s s e n o i d a les y coseno i d a l e s ; como se i n d i c a n en las e c u a c i o n e s (2.69)
(2.70), (2.71) y (2.85) en el c a p í t u l o II.
Subrutina PLOT.-
Con esta subrutina, se grafican los resul^
. tados obteni dos.
El p r o g r a m a d i g i t a l está d e s a r r o l l a d o en s i m p l e p r e c i s i ó n y
el v a l o r de n r e c o m e n d a d o es 20;
tan en el
• los d i a g r a m a s de flujo e_s^
a p é n d i ce D.
3.3 EJEMPLOS COMPARATIVOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS
En esta sección
se dan dos e j e m p l o s , los c u a l e s , indican que
el p r o c e d i m i e n t o m a t e m á t i c o ' e s val i do y correcto
con el mé-
todo d e s a r r o l l a d o en el programa d i g i t a l .
l . - L o s resultados
obtenidos
por Uram y M i l l e r ,
sirven co-
mo un e j e m p l o para c o m p r o b a r que los v a l o r e s e n c o n t r a dos son los m i s m o s que los h a l l a d o s en el p r o g r a m a d i g i _
t a l , con los m i s m o s parámetros de la l í n e a , como
en la tabl a 3.1.
se ve
63
TABLA 3.1
Uram y Mi ller
Secuencia
cero
Programa
Secuencia
positiva
0,043íVKm
Resistencia
0,2Wkm
Inductancia
3,24.10~ 3 h/Km 1.2.10" 3 h/Km
Capacitancia
5,4.10~ 9 F/Km
Longitud de
la línea.
0,043íVKm
3,24.10" 3 h/Km l,2.10" 3 h/km
9,23.10~ 9 F/Km 5.4.10" 9 F/Km
294447 Km/seg
9,23.10" 9 F/Km
251,37 Km
0°
0°
•
Secuencia
positiva
0,24a/ Km
251,37 Km
Ángulo de energización
Velocidad de
propagación.
Secuencia
cero
.
294447 Km/seg
Nota: V a l o r e s de los parámetros a 60 Hz .
Datos del sistema base: 345 K v , 1 0 0 M V A , 1190S2
Las r e s p u e s t a s a los vol.tajes se ve en el gráfico de la fig.
3.1 .
2.- El programa desarrollado por Francisco García, 1 1
se to-
ma t a m b i é n como e j e m p l o c o m p a r a t i v o , los p a r á m e t r o s
la l í n e a son los d a d o s en la T a b l a .3.1.
Como se
puede
ver, los r e s u l t a d o s son s i m i l a r e s a los del p r o g r a m a
( v e r f i g . 3.1)
de
64
Debe tomarse en cuenta q u e ; los t i e m p o s que se demoran
o n d a s en l l e g a r d e s d e el extremo
las
g e n e r a d o r al extremo recej^
tor, no aparecen en los r e s u l t a d o s , por c o n s i d e r a r s e que pa_
ra el efecto
de vi s u a l i z a c i ó n del transitorio, n.o. t i e n e
portancia.
im-
. '
Estos t i e m p o s se c a l c u l a n con los parámetros de la l i n e a , a_
sí :
T - /LC1 X
[mseg]
• ^-
____'-Jju:...
I
.!•• . .•, 1 - * < - |
.:••:-! ::;¡.i:•! ;•,.•'. ::;H:,
^Siljiii^íteiy
..••1...-'-....... '..
^•v:15"ü
'ñns.sí .':•:
irs^iQ^^is.£
'
-«^ -^..~-..n ..» <,»<,.».....*^
Resultado de García Francisco
Resultados de Uram y Miller
CALCULO' DE V O L T A J E S T» *.NS I TOR 1 D 5
POR M A N I Ü H H A
DE E I J E R G I Z A C I O N DE
LINEAS DE TWANSM1S 1CN JFiIFASIC*S
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1
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' •' '.':'.'• '• .- " • ; • ' / : . ' ; - ••''.' ' .-. : ;': / ••:!'•'.>.'. • ;"
-4
SECUENCIA
•
•
.„.
.. ' .
•'
- .- .-.'.. • •
'. / .
.
POSITIVA
. Ll= 0 . 12*tí2E— O2
Rl=
0 .4340.3E-0 1
Cl= 0 ,y23íj-Jl£-ÜB
- -
---.-—.--
'
HENR lOS/K^
OHMS/K^
'"
FARADIOS/KM
--
'•
SECUENCIA
" ' ' . / . ".'-• • ' ' .
CERQ
LOz o . 3 239 8E— O 2
P0=- O . 2 4 0 9 6 E OO
C0= 0 . 5 4 0 7 0 E - 0 8
. -
H6NRI G S / K M
Or-HS/KM
F«RAD IDSxKM
'
-
•
• - : - . . • ' . -
.
:
."
-
^
'
^ _-'"-.•.
* . . - • • •
-~
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- - - - -
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-
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LONGITUD
DE LA LINEA
• •
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-
=251.37
KM
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C A P I T U L O
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A P L I C A C I O N E S
El programa digital
puede u t i l i z a r s e para c a l c u l a r los
vol-
t a j e s t r a n s i t o r i o s p o r m a n i o b r a al e n e r g i z a r l í n e a s d e tran_s_
m i s i ó n en v a c i o .
•
El e f e c t o q u e s e p r o d u c e n e n l o s r e s u l t a d o s a l
c i e r r e no s i m u l t á n e o del d i s y u n t o r , el
incluir
c i e r r e s i n c r ó n i - c o de
las f a s e s , á n g u l o de c i e r r e y a c o p l a m i e n t o mutuo
ses;
4.1
entre fa-
s e c o n s i d e r a n como a p l i c a c i o n e s d e este p r o g r a m a .
EFECTO DEL CIERRE NO SIMULTANEO DEL DISYUNTOR
Un d i s y u n t o r n u n c a es p e r f e c t o
rrarán s i m u l t á n e a m e n t e ,
sufrirán d i s t u r b i o s , los
por
lo
que sus p o l o s no s'e" ce_
entonces, los voltajes transitorios
c u a l e s en r e a l i d a d , no son muy im-
portantes; pero bien v a l e la
Si
el
pena c o n s i d e r a r l o s .
se s u p o n e que c u a l q u i e r a de las
f a s e s ( u n ao d o s ) s e d e -
mora en c e r r a r s e a l r e d e d o r de unos 4 m s e g , e n t o n c e s ,
e f e c t o s se pueden ver en el
se comparan con los
gráfico de la
dichos
f i g . 4 . 1 , los que
v o l t a j e s de cierre simultáneo.
66
4.2 EFECTO DEL ÁNGULO DE CIERRE
D e p e n d i e n d o del á n g u l o de c i e r r e (con referencia a la fase
A), los sobrevoltajes serán mayores o menores en cada
de' las fases.
C o n s i d e r a n d o un cierre s i m u l t á n e o , los angu_
los más críticos son 30° y 90°;
y 60°,
una
mientras tanto que para 0°
e x i s t e una fase, en la c u a l el s o b r e v o l t a j e e s m á s 1 e_
ve, así en la fig. 4.2, se p u e d e a p r e c i a r d i c h o efecto y su
r e s p e c t i v a c o m p a r a c i ó n con el cierre a 0°., que e s t á - en l a
Fig. 4.1
4.3 EFECTO DEL A C O P L A M I E N T O MUTUO ENTRE FASES
Si a las fases C y B no se las hace cerrarse, y sólo la fase A a 0°, se notará que e f e c t i v a m e n t e , el a c o p l a m i e n t o mutuo hace aparecer voltajes p e q u e ñ o s r e í a t i v a m e n t e e i g u a l e s
en fase en las fases B y C, como se i n d i c a en el gráfico
la fig.
de
4.3.
4.4 C I E R R E S I N C R Ó N I C O DE LAS FASES
Un método para d i s m i n u i r los s o b r e v o l t a j e s , c o n s i s t e en cerrar las fases c u a n d o la onda de t e n s i ó n pasa por cero. Esto se c o n s i g u e cerrando s i n c r ó n i c a m e n t e las fases; es decir,
h a c i e n d o que la fase A se .cierre a 0°, la fase B en 150°
la fase C en 240?
y
Esto q u i e r e d e c i r que la fase B y C se de_
67
m o r a r á n e n c e r r a r s e n.o m s e g y 5 . 5
r e s p e c t o a la F a s e A.
de l a f i g . 4 . 4 , e l
en 1 a fi g . 4 . 1
m-seg r e s p e c t i v a m e n t e c o n
Esto se ve c l a r a m e n t e en el
gráfico-
c u a l s e c o m p a r a c o n el c i e r r e s i m u l t á n e o . ,
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C A P I T U L O V
C O N C L U S I O N E S Y. R E C O M E N D A C I O N E S
Con el programa di g i tal i mpl ementado en este trabajo, se pue_
den d e s a r r o l l a r a p l i c a c i o n e s en el estudio del fenómeno
de
e n e r g i z a c i ó n de líneas de t r a n s m i s i ó n en v a c i o ; los
cuales
p u e d e n s e r v i r y aprovecharse para el diseño de las
mismas,
en los campos de s e l e c c i ó n del a i s l a m i e n t o más' económico
y
la c o r d i n a c i o n de las protecciones entre otras c o s a s . • •
Como ya se dijo, los resultados están garantizados
con
,
la
5-6
c o m p r o b a c i ó n hecha con otros., resultados, (Urarn y M i l l e r , F.
García"), lo que dice del método
a q u í d e s a r r o l l a d o , 'sea
válido.
Las a p l i c a c i o n e s hechas son 'casos i l u s t r a t i v o s , pero, ".sirven de base para futuros estudios en m o d e l o s más complejos,
como son la i n c l u s i ó n de la resistencia del disyuntor,
re-
sistencia de a m o r t i g u a m i e n t o , carga, etc.
El tiempo de ejecución del programa, está dentro de los límites razonables, a l r e d e d o r de los 8 5 m s e g , p a r a. 2 O mseg
de
o b s e r v a c i ó n , c o n s i d e r a n d o l o s casos.más c o m p l i c a d o s .
El trabajo re al izado en r e a l i d a d , es una base para la i m p l e__
m e n t a c i ó n , c o m o ya se dijo antes, de la i n c l u s i ó n de la car
69
ga, etc. y e s p e c i a l m e n t e , la v a r i a c i ó n de los parámetros con
frecuencia.
La v a r i a c i ó n de los parámetros
con l a
frecuen-
cia es muy importante, puesto que los resultados serían
a p e g a d o s a la r e a l i d a d ; el a m o r t i g u a m i e n t o de la onda
más e n é r g i c a y l l e g a r á al estado e s t a b l e más
más
será
rápidamente.
El programa ha s i d o d e s a r r o l l a d o en un c o m p u t a d o r IBM•370/125,
por lo que el tiempo de ejecución
es b u e n o para este t i p o de
m á q u i n a , p u d i é n d o s e mejorar en otro más r á p i d o .
70
APÉNDICE A
DESCRIPCIÓN DEL TEOREMA DEL RESIDUO
A.1 TEORÍA DE LA V A R I A B L E
COMPLEJA
A. 1 .1 Puntos S i n g u l a r e s
Punto s i n g u l a r de una función f_(s) es un valor de s en
el
cual f(s) deja de ser analítica,, osea, deja de ser c o n t i n u a
y d e r l y a b l e en todos sus. puntos.
Si f(s) es a n a l í t i c a en 'to_
das las p a r t e s - d e a l g u n a región R, excepto' en un punto i nte_
rior s^a, entonces a es una singularidad aislada de f(s).14
Pol os.
si
f(s)
*
(A.l
siendo (¡(a^O» d ú n d e i(s) es a n a l í t i c a en una r e g i ó n que -con
tiene a s^a y si n es un entero p o s i t i v o , entonces f(s)
tie
ne una s i n g u l a r i d a d a i s l a d a en s=a, el cual se l l a m a p o l o de
o r d e n n. - S i n = l , el p o l o se l l a m a p o l o s i m p l e ; si n = 2 ' se
71
l l a m a p o l o d o b l e , etc.
Si f(s) t i e n e un p o l o de orden n en s-a y es a n a l í t i c a
en
cualqü'ier otro punto de a l g ú n c í r c u l o C de centro en a, en
tonces (s~a)n f(s) es a n a l í t i c a en todos puntos de C y tie
ne serie de Taylor a l r e d e d o r de s = a de manera q u e :
f(s.) =
+
-1
an + 1
3 "I
-1
s-a(A.2
Lo que se l l a m a serie de L a u r e n t para f(s)
A.l.2 Residuos
Los coeficientes
de la e c u a c i ó n (A.2) se p u e d e n o b t e n e r
de
la manera a c o s t u m b r a d a e s c r i b i e n d o l o s c o e f i c i e n t e s para l a
serie de Taylor c o r r e s p o n d í en tes a (s-a)nf(s ) .
s a r r o l l o el coeficiente
a-l,
En este de-
l l a m a d o r e s i d u o de f(s)
p o l o s=a, es de c o n s i d e r a b l e i m p o r t a n c i a .
en el
72
Puede h a l l a r s e con la fórmula:
a
a-i
- l1 iim
m
~ s->a
c^a
I .
/• r,_n U
d o n d e n es el orden del p o l o .
Q"
f /<. a ^ n ff.1
^c-n-fl\~a^
~(s/]
fA ^
\n-J)
Para p o l o s s i m p l e s , el cal cu_
lo del r e s i d u o es p a r t i c u l a r m e n t e s i m p l e , puesto que se reduce a :
(A.4)
1 ' 3 Teorema 'del' 'residuo
Si f(s)
es a n a l í t i c a en una. r e g i ó n 'R excepto en un p o l o
de
orden n en s=a y C es c u a l q u i e r c u r v a cerrada s i m p l e en 'R y
c o n t i e n e a. s = a, entonces f(s)
(A. 2).
t i e n e la forma de la e c u a c i ó n
I n t e g r a n d o (A. 2), y u s a n d o el h e c h o de que:
o si n
ds
(s~a
2irj- si n-1
(ver d e m o s t r a c i ó n en la Ref. 14 pp. 153)
Se d e d u c e que:
' f(s)ds c
(A.5)
73
es d e c i r , la i n t e g r a l de f(s) a l r e d e d o r de un c a m i n o cerrado que e n c i e r r a un s o l o p o l o de f(s) es 2 ir j
por el r e s i d u o
del polo.
Más
generalmente:
Teorema.-
Si f(s) es a n a l í t i c a dentro y en la frontera
de una r e g i ó n Tí, excepto en un n u m e r o f i n i t o
p o l o s a, b, c,....' dentro
vamente
a-i,
b-i,
c-i,
de TC cuyos r e s i d u o s son
C
de
respecti-
, entonces:
f(s)ds = 27TJ(a- 1 + b- 1 + c _ 1 +
)
(A.6)
c
es d e c i r , la i n t e g r a l de f(s) es 2irj por la suma de los
s i d u o s de f(s) en los p o l o s encerrados
re-
por C.
A. 2 F O R M U L A DE I N V E R S I Ó N C O M P L E J A
Si f(s) - í[F(t)]
F(t)
, entonces
= ¿y
^":[f(s}]
e s t f(s)ds,
está d a d a p o r :
t>0
y-joo
Este r e s u l t a d o ofrece un método
d i r e c t o para o b t e n e r
formada i n v e r s a de L a p l a c e de una f u n c i ó n d a d a f(s).
la trans_
74
Contorno de Bromwich
.-
En la práctica, la
integral
se c a l c u l a m e d i a n t e la
(A.7)
i n t e g r a l cur
v i H ne a :
27TJ y e s t f ( s ) d s
Donde C es el contorno
(A.8
de la fig. (A.l).
Este c o n t o r n o , se
compone del segmento AB y el arco B J K L A de una c i r c u n f e r e n _ c i a de radio R con centro en el o r i g e n 0.
Si se representa
el arco B J K L A por T, puesto que T=/R-2y ,'
por la e c u a c i ó n (A. 7) se d e d u c e q u e :
Y+JI
F(t)
-
lim ' 1
st
2-ITJ
Y-JT
1 im
st
estf(s)ds]
r
(A.9)
A. 2 .1 U ti 1 i zación del teorema del, r e s i d u o para h a l l a r 1 a
transformada de L a p l a c e i n v e r s a .
Si se s u p o n e que las ú n i c a s s i n g u l a r i d a d e s de f(s) son
po
l o s , todos e l l o s a la i z q u i e r d a de la recta s = y > para a l g u
na constante real y. Si se s u p o n e además que la
integral
75
(A.9) a lo l a r g o de 1 tiende a cero c u a n d o R—. Entonces,
por el' teorema del r e s i d u d o , la e c u a c i ó n (A.9) toma la forma :
F(t) =
res i dúos de est~f (s) en los p o l o s de f(s )
(A.10)
V-JT
Condi ción s u f i c i e n t e para que ti e n d a a_ cero 1 a i ntegral al rededor d_e_ _[__
Si es p o s i b l e h a l l a r constantes M>0 y K >0 t a l e s q u e :
(A.11)
en todo conjunto (donde s = Re J "), entonces la i n t e g r a l alr_e_
dedor de f de e st f(s) t i e n d e a cero c u a n d o R-»•«>.
La
cond_i_
ción (A.11) se satisface s i e m p r e si f (s ) = D-TTT d o n d e A (s)
y
B (s) son p o l i n o m i o s en los c u a l e s el grado de A(s) es menor
76
al de B(s).
Así por e j e m p l o , para demostrar lo que se ha d i c h o hasta a
hora, se hace un ejemplo:
f(s) = Ar
h a l l a r ' l a transformada i n v e r s a d e L a p l a c e .
par S = RQ^ Q, se tiene q u e :
R e Jb
= R CosG+jSen©
= R
/Cos 2 e-i-Sen 2 0'
Ly
Coso
Para R s u f i c i e n t e m e n t e grande (por e j e m p l o R > 4 ) .
c o n d i c i ó n se s a t i s f a c e a ( A . 1 1 ) c u a n d o k = 1 , M ^ 2 .
El r e s i d u o en el p o l o ' s i m p l e
(s.2)
por l o q u e ,
s = 2
es:
= e 2
t
- R
AST,
la
77
-
i ~ es " iduos de
Ver referencia 14
De este ejemplo se p u e d e d e d u c i r claramente que el res i dúo'
para raíces o polos d i s t i n t o s de f(s) es:
R =
(s-a) f(s)est
(A.12)
donde:
K = (s-a)f(s)
- (s-a) A(s)
s-a
A.3 RESPUESTA D E B I D A A R A I C E S C O M P L E J A S C O N J U G A D A S
Si una f u n c i ó n f(s) está d e f i n i d a por
7
y cuando B ( s ) contiene un par de raíces complejas conjugadas (a+jb) y (a-jb), la respuesta d e b i d a a cada una de estas raíces c o m b i n a d a s t i e n e la forma de un t é r m i n o
senoi-
dal.
Así, el residuo en el p o l o a+jb es:
pero; B(s)
c o n t i e n e un 1 factor c u a d r á t i c o que es
(s-a-jb)(s~a+jb)=s 2 -2as+a 2 +b 2
ya que los dos polos conjugados son:
entonces, el r e s i d u o ^a + jb se p u e d e expresar
en la forma de:
st
en la que se ha m u l t i p l i c a d o y d i v i d i d o en el d e n o m i n a d o r el
término (s -2as+a +b ); la e v a l u a c i ó n de la expresión
ante_
rior en s-a+.jb da como r e s u l t a d o que la e c u a c i ó n (A.13) que_
da de l a forma de:
79
(A.14)
La notación A ( a + j b ) / B ( a + j b ) , s i g n i f i c a que el t é r m i n o
cua-
d r á t i c o s 2 - 2 a s+a 2 + b 2 , ha s i d o r e t i r a d o de B ( s ) a n t e s de
e-
v a l u a r A ( s ) / B ( s ) a l p o l o s = a + j b ; esto e s :
A(s)
ACa-HJb),
BU +j b f
E l r e s i d u o a l p o l o s = a - j b en l a e c u a c i ó n ( A . 1 3 ) e s
R
"
A(s)est
.
s = a -j b
y l a e v a l u a c i ó n en s^a-jb da:
A(.a-jb)
Ra-jb =-^4
2jb B(a-jb'
fa-jb)t
(A.15)
D e b i d o a que A(a-jb)/B{a-jb) es la c o n j u g a d a de A(á+jb)/B(a+jb)
e n t o n c e s » cada u n a t i e n e l a m i s m a m a g n i t u d , pero s u s á n g u l o s
son opuestos.
Si se l l a m a a a al á n g u l o formado por
A(a+jb )/B(a+jb), entonces:
A(a+jb)
=
A(a+jb
B(a+jb
y
80
A(a-jb)
B(a-jb)
-ja
A(a+jb)
A s í , el r e s i d u o d e b i d o a cada raíz compleja c o n j u g a d a p u e d e
e x p r e s a r s e d e l a s i g u i e n t e manera:
:at
Ra+jb" -
e at
A(a+jb)
~
2j
A(a+jb)
e-jbte-Ja
2j
S u m a n d o estas dos e c u a c i o n e s , se da que la respuesta total
es :
A(a+jb
B(a+jb
R =
Tñ
e
j{bt+a)_e-j(bt+a)
2j
—1 O
corno e -e
¿3
=
s e n e , e n t o n c e s ; el
•
r e s i d u o d e b i d o a r a í c e s com
~
jugadases:
R =
(ver referencia 18)
:at
A(a+jb)
Sen(bt+a)
(A.16)
APÉNDICE B
TEORÍA DE DIAGONALIZACION DE MATRICES
B,l E C U A C I Ó N C A R A C T E R Í S T I C A
D E U N A MATRIZ} 1 *
Sea Y = A X , s i e n d o A= [ai j] , una t r a n s o r m a c i ó n l i n e a l d e f i n i d a
sobre un cuerp.o en la que el vector X.~ [Xi » X 2 ,.... X n ]'
se
c o n v i e r t a en otro Y- [ Y l s Y 2 í ....,Y n l r e l a c i o n a n d o
el
con
primero por d i c h a t r a n s f o r m a c i ó n .
Todo vector X se c o n v i e r t e m e d í ante d i c h a t r a n s f o r m a c i ó n en
el vector XX, es decir, todo vector tal que:
AX -XX
(B.l)
X se l l a m a vector p r o p i o .
De l a e c u a c i ó n (B.l) se o b t i e n e q u e :
Xi'
1 2'
- o
~an i
~an
X-a nn
(B.2)
82
La c o n d i c i ó n s u f i c i e n t e y n e c e s a r i a para que este sistema de
e c u a c i o n e s (B.2) tenga s o l u c i ó n , d i s t i n t a a la t r i v i a l ,
es
que :
-a 1 1
AI-A
-azi
-a i 2 • •-a i
A-a 2 2 • • • -a
= O
(B.3)
-a n i
El d e s a r r o l l o del d e t e r m i n a n t e de la m a t r i z (B.3), da
como
r e s u l t a d o una e c u a c i ó n característica de la matriz A.
Si
X=Ai
es una raíz característica, e n t o n c e s la matriz
(B.2)
a d m i t e s o l u c i o n e s d i s t i n t a a la t r i v i a l , que son las c o m p o nentes de los vectores
c a r a c t e r í s t i c o s a s o c i a d o s a dicha raíz
Las raíces características
se l l a m a n v a l o r e s p r o p i o s ; los vecto_
res característicos cor respondí'entes son l o s vectores
pro-
pios.
B.2 M A T R I C E S S E M E J A N T E S A UNA M A T R I Z D I A G O N A L 1 4
Teorema_s_. - Si A es una m a t r i z c u a d r a d a s i m é t r i c a y real
de
orden n cuyos valores propios son A i , A 2 >A - - A n .
existe una m a t r i z o r t o g o n a l . T tal que T"1 A T ^ d i a g o n a l (Ai A 2 ,
A 3 > A i» j
^ n' •
83
Toda matriz s i m é t r i c a real A es semejante o r t o g o n a l mente
una matriz d i a g o n a l cuyos elementos
a
de la d i a g o n a l principal
son los v a l o r e s p r o p i o s de A.
Para el caso que se ocupa, se tiene que - d i ago nal i zar
la
ma-
triz [a] d a d a en el c a p í t u l o II s e c c i ó n 2.1, e c u a c i ó n (2.17)
Si se l l a m a a :
y
a p l i c a n d o las c o n d i c i o n e s h e c h a s con l a e c u a c i ó n ( B . 3 ) ,
encuentra la ecuación característica de
A-A
-B
-B
-B
A-A
-B
-B
-B
A-A
se
a
3:
- O
(B.4)
Para encontrar las raíces, se hace el s i g u i e n t e reemplazo:
A = X+A
lo que da la e c u a c i ó n :
- O
84
que es más s e n c i l l a de r e s o l v e r .
SI se l l a m a a;
X = Y+Z
Se t e n d r á p o r l o . t a n t o :
Y3+Z3+3X(YZ-B2)+2B3 = O
13
S e g ú n la referencia ( H a l l y K n 1 g h t ) s se t i e n e que u s a n d o el
método de Cardano:
- 2B
YZ = B 2
3
3
Y Z
; Y3Z
son las r a T c e s . d e la e c u a c i ó n cuadrática
ir = -2B
t2+rt - ÍL. = o
¿!
•
[q = -3B
reemplazando:
t 2 -2B 2 t+B 6 = O
p o r lo que:
Y 3 - B 3 +/"
85
- /B 6 - B B" = B3
Y - B
2 - B
Y + 2 - 2B
Si
oí =
_=
LO
2 '
entonces :
= -B
La s o l u c i ó n será
j = Y+ 2
entonces:
;
X 2 = ü)Y+üJ2Z
s
AS
asi ,
i = 2B
pero como:
.;
X
X, = -B
X = X+A
AI
r e e m p l a z a n d o A i en la matriz de la e c u a c i ó n (B.4) y h a c i e n do como se i n d i c a en la e c u a c i ó n (B.2), e n t o n c e s q u e d a r í a :
86
2(ZoYo-ZiYi)
(Z lY i-Z oY o)
(ZiYi-ZoYo)
( Z iY i-Z 0 Y „)
2(Z 0 Yo-Z iY i)
.(ZiYi-ZoYo
(ZiY i-Z 0 Y 0
(ZiYi-ZoYo)
X
= 0
2 ( Z 0 Y 0 -Z iY l _
(B.5)
de estas e c u a c i o n e s se podrían d e c i r que una s o l u c i ó n
ría :
se-
' •
(B.6)
lo que corresponde a u n - vector pro p i ó [1,1,1]
Reemplazando
X2, de la misma
manera:
ZiYi-Z0Y
= O
(B.7)
ZiYi-Z0Y
Xi+X2+X3 = O
las soluciones posibles podrían
[1, O, -1]
Con estos vectores
y
ser l o s vectores p r o p i o s :
[ 0 , 1 , -1
se p u e d e formar l a m a t r i z [T] o r t o g o n a l
[T] =
1
1
O
1
O
1
1
-1
-1
(B.9)
que es lo que se b u s c a b a ; osea, "la matriz o r t o g o n a l
que
[T] tal
[T]'1 [A] [T] - d i a g o n a l (Xi, X 2 ____ X n )
Como se notará, la matriz d i a g o n a l es la formada por las
ees c a r a c t e r í s t i c a s o v a l o r e s p r o p i o s de [a], así:
Z0Yo
=3
O
-
O
O
ZiYi
O
O
(B.10)
O' - Z i
p e r o c o m o [ex] e s t a b a m u l t i p l i c a d a p o r - ; e n t o n c e s ,
" ZiYi
[y] -
0
0
0
. zlYl
0
0
0
ZiYi
(B.ll)
APÉNDICE C
'MANUAL DE USO DEL P R O G R A M A
TITULO.- C A L C U L O DE LOS V O L T A J E S T R A N S I T O R I O S POR E N E R G I Z A CION DE UNA LINEA DE TRANSMISIÓN EN VACIO.
C . 1 General Ida'des . -
En este p u n t o , se darán la m a n e r a de usar el programa pa
ra l a s a p l i c a c i o n e s del c a p í t u l o 4; el s i g n i f i c a d o de ca_
da v a r i a b l e de entrada y la forma con la que se d e b e in_
t r o d u c l r los datos para cada una de d i c h a s a p l i c a c i o n e s
Todas las v a r i a b l e s se dan más a d e l a n t e , con sus
f orm_a_
tos de entrada y d e s c r i p c i o n e s c o r r e s p o n d í entes.
C.l.l Efecto del cierre no s i m u l t á n e o del disyuntor:
Si c u a l q u i e r a d é l a s fases del d i s y u n t o r se demora en
cerrarse x seg, los v a l o r e s de T 0 , T L y'T2 serán di f e_
rentes de cero ( c u a l q u i e r a de e l l o s ) .
Asi por
ejem-
p l o , si la fase A no cierra por 4 m s e g , entonces el va_
l o r de T 0 = 4 m s e g y Ti y T 2 serán cero
(correspondiera
tes a l a s fases B y C r e s p e c t i v a m e n t e ) .
Si el c i e r r e
es s i m u l t á n e o , T 0 ) TI y Ta serán cero.
89
C.1.2 Efecto del á n g u l o de cierre:
.El v a l o r de PHI deberá., ser en r a d l a ñ e s , el cual
co-
r r e s p o n d e r á al á n g u l o de la fase A como referencia.
Por
ejemplo PHI^O.Orad
• .• .
C . 1 . 3 Efecto del a c o p l a m i e n t o m u t u o entre fases:
• Para este caso, se d e b e s i m u l a r que una o dos fases no
se c i e r r a n , para poder a p r e c i a r d i c h o f e n ó m e n o .
por e j e m p l o , los v a l o r e s de Ti y T 2
Asi"
correspondientes
a las fases B y C, d e p e n d i e n d o del t i e m p o de o b s e r v a ción" del t r a n s i t o r i o , v a l d r á n T i = T 2 = t i e m p o de observ a c i o n del transí" torio; el v a l o r , de T 0 será cero.
C.1.4 C i e r r e s i n c r ó n i c o de l.as fases:
Si se desea cerrar el d i s y u n t o r s i n c r ó n i c a m e n t e ,
con
el objeto de d i s m i n u i r los sobre v o l t a j e s , se d e b e r á s ^
m u l a r que los tiempos T 0 , Ti y T 2 ( d e p e n d i e n d o del án_
t u l o de e n e r g i z a c i ' o n ) v a l g a n x mseg para c u a n d o
o n d a s de las tres fases p a s e n por cero.
Asi por ejern_
p í o , c u a n d o se t i e n e un á n g u l o de e n e r g i z a c i ó n
ro rad., T 0 =0.0, T i = 1 1 . 0 y T 2 -5.5
las
de ce_
90
C.1.5 F a l 1 a • d e l disyuntor:
•SI al dar la orden de ci erre del disyuntor, un p o l o o
dos p o l o s no se c i e r r a n , a p a r e c e r á n voltajes que
d r í a n o c a s i o n a r daños en los e q u i p o s .
plo,
po-
Así por ejem-
si la fase A del d i s y u n t o r f a l l a , se d e b e s i m u -
.lar d a n d o el v a l o r a T 0 = tiempo de o b s e r v a c i ó n del tra_n_
si torio, y las fases B y C, c o r r e s p o n d e r á n
' Ti=0.0 y ta^O.O inseg.
a
91
NOMENCLATURA
C.l.6 V a r i a b l e s de Entrada
SÍMBOLO
FORMATO
RR
F5.2
PHI
Ll
•DESCRIPCIÓN
V a l o r de At del Incremento de t i e m p o
(recomendado 0,5)
14
V a l o r del t i e m p o de o b s e r v a c i ó n
t r a n s i t o r i o en mseg.
13
V a l o r del número de f r e c u e n c i a s a
.cularse (recomendado 20)
F14.8
Á n g u l o de energización
F14.8
L o n g i t u d de l a l í n e a .
E14.5
Inductancia de s e c u e n c i a p o s i t i v a
del
en
-H/km
Cl
E14.5
C a p a c i t a n c i a de secuencia p o s i t i v a en
F/km
Rl
E14.5
R e s i s t e n c i a de s e c u e n c i a p o s i t i v a
en
íí/km.
LO
E14.5
I n d u c t a n c i a de s e c u e n c i a cero en F/km
92
SÍMBOLO
FORMATO
DESCRIPCIO
CO
E14.5
C a p a c i t a n c i a de secuencia cero en
• F/km.
RO
E14.5
Resistencia
de secuencia cero en
VI
V2
V.3
F4.2
Voltajes de generación en p.u.
TO
TI
T2
F5.2
Tiempos de retardo en los p o l o s a la
energización de las fases A » B , C r e _ s _
p e c t i v a m e n t e , en mseg.
V A R I A B L E S DE SALIDA
V A L O R E S DE S E C U E N C I A POSI
T I V A Y CERO.
V O L T A J E S EN LAS FASES
A, B, C
Son los v a l o r e s de las componentes de frecuencia
con
sus a m p l i t u d e s y fases.
Los v a l o r e s de l a s sobret e n s i o n e s en cada fase en
p.u.
93
F O R M A DE P R O P O R C I O N A R LOS DATOS AL P R O G R A M A
Para todos los casos que se q u i e r a n someter a es tudi o , se de_
be s i e m p r e u t i l i z a r todas las v a r i a b l e s descritas
con sus r e s p e c t i v o s formatos.
en C . 1 . 6
A s i , la forma de i n t r o d u c i r
el p r o g r a m a d i c h o s datos, se d e s c r i b i r á n más a d e l a n t e en ho_
jas c o d i f i c a d a s .
ALCANCE Y RESTRICCIONES
El p r o g r a m a ha s i d o desarro l i a d o para el c o m p u t a d o r
IBM
370/125 de la E s c u e l a P o l i t é c n i c a N a c i o n a l en s i m p l e
precj_
s i ó n y tiene los s i g u i e n t e s a l c a n c e s y r e s t r i c c i o n e s :
El p r o g r a m a opera para c u a l q u i e r c i r c u i t o trifásico
c u a l q u i e r d i s p o s i c i ó n geométrica
con
de las líneas.
El p r o g r a m a no opera para c i r c u i t o s t r i f á s i c o s no transpuestos .
El p r o g r a m a no opera para c i r c u i t o s m o n o f á s i c o s .
3
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G 7
VOLT AJ E 3
HOJA DEí ,OOIFIWCKy*
FACULTAD C£ It.GENlERIA ELÉCTRICA
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
APÉNDICE D
94
D.l D I A G R A M A S
DE F L U J O
í
P R O G R A M A
INICIO
J
P R I N C I P A L . -
/ R R , MM,N. 0 . X .
L1,C1,R1, L O . C O . R O ,
V1 . V 2 , V 3 , T O . T l , T 2
RR, MM, N . 0", X,
L1. C1, R 1 , LO CO,
RO,TO,T1,Tg-
C A LL
C OM P F
.(R1.C1.L1.S,
Jt
C A LL
A
V EST
ALFA2)
\ C1, L1 .VABS2, /
/
C A LL
V I R A N
k {s,R1,C1,L1,VABS2R. j
iALFAR2. VA.VB.NV
C OM P F
I RO , C O . L O . s . N ) ,
95
o
C A. L L
\E S T
VABS1.ALFA1) /
C A LL
VTRAN
(s,RO,CO,LO.VABS!R.
ALFAR1.VAO.VBO,
N)
H a g a los v o l t a —
; e s de secuen —
c ! a • c e ro i g u a l a
cero
E01- O
• ElRO-0
I n I el a l i c e * el t iem
Po
\,
/
96
C a l c u l e la s
c o nst a n t e s de
secuencia
po
s i t i va
CONST1,COMST2
C a l c u l e l a s cons_
(antes y voltaje
para s e c u e n c i a
cero en e s t a d o
est ab l e - CONO).
CON02.E01
C a l c u le el v o l l a j e
en e s t a d o estable ,
de secuencia positiva
E1.E2. E3
Calcule las constantes de secuencia pos i t i v a para estado
transitorio
EXPO.MULT1.MULT2
Calcule las constantes y v o l t a j e de secuencia cero en esta_
do 1 ransitorioi EXPQ.
E1RO.MULT01.MULT02
97
Calcule los voltajes
transitorios y sume
los de estado estable
ElT
E2T
E3T
I n c r e m e n t e el
tiempo
y repita
T= T + R R
I m p r t m a y graf i que r e s u l t a d o s
E1T,
E2T , E3T
PARE
98
S U B R U T I N A
V A L O R
(
INICIO
)
-¿*
Calcule
los
valores
de s-
d e VAL1 a VALS
RETORNE
99
S U B R U T I N A
COMPF-—
N I C IO
R . C , L-, N , X
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102
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103
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104
160
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\
JA •
V (Í , N.) -I-
101.49999 — X N S
105
106
R E F E R E N C I A S
1.
Adam Semlyen, Man C. Kwok, " C a l c u l a t i o n of s w i t c h i n g
transíents on o v e r h e a d t r a n s m i s s i o n T i n e s wlth frecuency d e p e n d e n t parameters.
Part I-Theory", Conference pa_
per, J u l y 1.972.
2.
Adam Semlyen, Man C. Kwok, "Calcula tion of switching
translents on overhead t r a n s m i s s i o n l i n e s with frecuency d e p e n d e n t parameters.
Part II-Effect of termi nal e~
q u i pment," IEEE, Conference p a p e r , O u l y 1972.
3.
Adam Semlyen» A. D a b u l e a n u » "Fast and accurate switching
t r a n s i e n t . c a l c u l a t i o n on transmission- l i n e s wi th g r o u n d
return using recursive c o n v o l u t i o n s , " IEEE, Transactions
on .Power Apparatus and Systems 4 vol . PAS-94, No.2, March
April 1.975, pp. 561 -571 .
4.
G. Calabrese,- C. Booyubol 3 - J . R . Tudor, "A m a t h e m a t i c a l
analysis o f t r a n s m i s s l o n l i n e transients related to fou l t surges/' IEEE, Transacti o.ns on Power A p p a r a t u s
. Systems, v o l . PAS-89, No.8, July/Aug 1970,
5.
and
p p . 1207-1214.
R. Uram, R.W. M i l l e r , " M a t h e m a t i c a l analysis and
solu-
tion of t r a n s m i s s i o n l i n e t r a n s i e n t s , I-Theory", I E E E ,
transactions on Power Apparatus and Systems, v o l . PAS-83
Nov. 1964,
6.
pp. 1116-1123.
R U r a ni, R . W . M i l l e r , " M a t h e m a t i c a l a n a l y s i s and
so 1u-
ti'on of t r a n s m i s s i o n l l n e transients, I I - A p l i c a t i o n s , "
I E E E , T r a n s a c t l o n s on Power A p p a r a t u s and systems, v o l .
PAS-83, N o v . 1964,
7.
pp. 1 1 2 3 - 1 1 3 7 .
M . J . B a t t i s s o n , S.J. Day, N. M u l l i n e u x , K.C. Parton,
J . R . Reed, " C a l c u l a t i o n of s w i t c h i n g p h e n o m e n a i n
wer systems", P R O C . , IEE, v o l . 114, No.4, A p r i l
po1967,
pp. 478-486.
8.
D.P. Carrol!, F. Nozari , ."An efficient computer method
for s l m u l a t - l n g translents o.n transml ssion 'llnes
with
frecuency d e p e n d e n t pa.rameters", I E E E , Transactions on
' Power A p p a r a t u s and . Systems , vol .• .PAS-94 , No . 4 , July/Aug
1975, pp. 1167-1174.
9.
Stevenson, W.D., " A n á l i s i s de sistemas eléctricos de po_
t e n c i a " , M c G r a w - H i l l s B o g o t á , 1979.
10. Vass H e l e n a ^ "Apuntes de c i r c u i t o s e l é c t r i c o s 1 1 " ,
cuela Politécnica. N a c i o n a l , Quito,
Es-
1977.
1 1 . García F., " C á l c u l o d i g i t a l de volta jes y corrientes
t r a n s i t o r i o s " , Tesis d e G r a d o , E s c u e l a P o l i t é c n i c a
c i o n a l , Q u i t o , 1978.
Na-
12. Ayres F., " M a t r i c e s " , M c G r a w - H i l l - , B o g o t á , 1969,
cuar-
ta edi c l o n .
13. H a l l y K n i g t h , " A l g e b r a S u p e r i o r " , U n i ó n Ti p o g r á f i ca His_
paño Americana, México, 1972.-
14. S p i e g e l M., "Transformadas de L a p l a c e " , M c G r a w - H i l l , Bo_
gota,
1970.
1 5 . O r g a n i c k E . I . , "Fortran
I V " , Fondo E d u c a t i v o
r i c a n o , S.A. , E.E.IKU. , 1972.
Latinoame-
- '
16. N. M u l l i n e u x , J.R. Reed, "Revi ew of M a t h e m a t i c a l Method s", D e p a r t a m e n t of M a t h e m a t i c s , The U n i v e r s i t y of
As-
ton, B i r m i g h a n B4.7ET, E n g l a n d , PP 16-18
17. W. Scott Meyer, .Hermann W. Don niel , " N u m é r i c a ! model.i ng
of Frecuency
Dependent
T r a n s m i s s i o n - L i n e Parameters i n
an E l e c t r o m a g n e t i c T r a n s i e n t s p r o g r a m " , I E E E , Transactions
on Pov/er A p p a r a t u s and Systems, M a n u s c r i t s u b m i t t e d Sep_
tembe'r 4/1973, pp 1401-1409.
•18. R a v e n , F r a n c i s H., " M a t h e m a t i c s of E n g e e n i e r i n g Systens",
I'lcbraw-Hill Book Company,
1966.
19. Reyes L.A., " C á l c u l o d i g i t a l de l o s p a r á m e t r o s
de
lí-
neas e l é c t r i c a m e n t e L a r g a s " , Tesis de Grado, E s c u e l a Pp_
1 i t é c n i c a N a c i o n a l , Q u i t o , 1980.