Caída de una esfera inmersa en un fluido viscoso

Caída de una esfera inmersa en un fluido viscoso
1.-
Conceptos básicos:
1.1
Viscosidad: La viscosidad es una propiedad macroscópica del fluido, de carácter
intensivo (no depende de la cantidad de materia). Es aquella propiedad del fluido por la
cual éste ofrece resistencia al corte o cizalle. Las unidades en que se mide la viscosidad
surgen de manera natural al aplicar la llamada Ley de Newton: al aplicar un esfuerzo de
dv
corte  sobre un fluido, el gradiente de velocidad
es proporcional al esfuerzo
dy
dv
aplicado:   
dy

Es decir:

dv/ dy
Usando las dimensiones F, L, T para fuerza, longitud y tiempo:
 : FL-2
v: LT-1
y:L
se muestra que  tiene las dimensiones FL-2T. En el sistema MKS, las unidades de la
viscosidad son por lo tanto Ns/m2.
Observación: siempre es posible plantear la Ley de Newton de la forma aquí expuesta, sin
embargo, la viscosidad sólo será una constante para los llamados “fluidos newtonianos” (el
agua es uno de ellos). En el caso más general, la viscosidad dependerá de alguna potencia
de la rapidez de deformación. La ciencia que estudia dichas relaciones se denomina
“Reología”.
1.2
Tensión superficial: En la interfase entre un líquido y otra sustancia (líquido o gas)
se forma una película especial, debido a la atracción de las moléculas que están en el seno
del fluido. El efecto observado es que dicha película presenta una resistencia a la
deformación, similar a una membrana elástica. La tensión que opone esta película es la
llamada “tensión superficial”. Alternativamente, la tensión superficial puede entenderse
como una “energía por unidad de área interfacial”.
Las unidades de la tensión superficial son: F/L o bien E/L2. En el sistema MKS,
corresponden N/m.
1.3
Fuerza de Flotación: La fuerza resultante ejercida sobre un cuerpo por un fluido
estático, en el cual está sumergido total o parcialmente, se denomina fuerza de flotación.
Esta siempre actúa verticalmente hacia arriba. Se demuestra a continuación, de manera muy
simple, que dicha fuerza corresponde al peso de fluido desplazado por el cuerpo, la llamada
“Ley de Arquímedes”.
Considere la siguiente figura:
p1dA
h
dA
p2dA
La fuerza vertical ejercida sobre un elemento del cuerpo de sección dA es:
dFB  ( p2  p1)dA    hdA    dV
donde  es el peso específico del cuerpo. Integrando las contribuciones de todos los
elementos:
FB   dV    dV  V
V
1.4.- Número de Reynolds: En mecánica de fluidos, la aplicación del análisis
dimensional lleva a la definición de un número adimensional, llamado número de
Reynolds, que se define como:
Lv
Re 

donde ,, son la velocidad, densidad del fluido y viscosidad de éste respectivamente.
“L” en cambio, representa una longitud característica del fenómeno. En el caso de una
esfera, dicha longitud es el diámetro “D”:
Re Esfera 
Dv

Físicamente, el número de Reynolds es un cuociente entre las fuerzas inerciales
(asociadas a la velocidad) y las fuerzas de resistencia viscosa (asociadas a la viscosidad).
1.5.- Fuerza de arrastre: Un cuerpo inmerso en un fluido, que se desplaza con velocidad
relativa no nula respecto de éste, sufre una fuerza de resistencia al movimiento, debida al
efecto neto de la presión ejercida por el fluido y del esfuerzo de corte producido por la
viscosidad del fluido. La fuerza resultante de ambas contribuciones se denomina “arrastre”.
La expresión más general para el arrastre sobre cuerpos sumergidos es:
Arrastre  C D A
U2
2
donde A es el área normal proyectada en la dirección del flujo, U la velocidad,  la
densidad y CD es el “coeficiente de arrastre”. Este último es un número adimensional, que
es función de la forma del cuerpo y del número de Reynolds. En el caso particular de
esferas en régimen laminar, es decir para números de Reynolds<1, se aplica la ley de
Stokes:
24
CD 
Re
Esto es equivalente a:
Arrastre 
2.-
24
U2
A
 3DU
DU / 
2
Ecuación de movimiento para una esfera inmersa en un fluido
Considere el siguiente diagrama de cuerpo libre para la esfera:
FA=3DU
FB=V
W=mg
De acuerdo a lo expuesto en la sección precedente, resulta claro que las fuerzas que
actúan sobre la esfera cuando esta “cae” a través del fluido son el peso, la flotación y el
arrastre, según se aprecia en la figura. Aplicando entonces la segunda ley de Newton, se
tiene:
m
dU
 mg  V  3DU
dt
(1)
Notar que la fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad, por lo que esta
componente va aumentando a medida que el cuerpo se desplaza. De este modo, si
transcurre el tiempo suficiente, la esfera alcanzará una velocidad constante, llamada
“velocidad terminal”, cuya expresión puede obtenerse directamente de la ecuación (1) al
anular el término de la aceleración:
0  mg  V  3DU
(2)
Luego de un despeje directo, se obtiene de (2):
gD2
Uf 
18
Donde  = peso específico de la esfera – peso específico del fluido.
Por otro lado, también es posible resolver la ecuación (1) si se conoce la velocidad
inicial de la esfera, digamos U(t=0) = U0. Para ello, resulta conveniente reescribir la
ecuación (1) en la forma:
dU 3D
g

U
dt
m

Notar que el factor que multiplica a la velocidad U tiene unidades de tiempo -1. Se
define entonces:
m

3D
La ecuación diferencial para la velocidad toma entonces la forma:
dU 1
g
 U 
dt 

La solución de esta ecuación puede obtenerse separando variables e integrando, de la
siguiente manera:
dU g 1

 U
dt


U (t )

U0
t
dU
g

  dt
1
 U
0

 g 1

    U (t ) 
t
   Ln 
 g  1 U 
0
 


Despejando U(t) de la expresión anterior, se obtiene:
U (t )  U 0et /  
g

 (1  et /  )
Notar además que la constante en el segundo término de la derecha es precisamente
la velocidad terminal Uf, por lo tanto:
U (t )  U0et /   U f (1  et /  )
(3)
La constante  definida anteriormente constituye un tiempo característico de este
sistema, en otras palabras, para t> la velocidad será prácticamente igual a la velocidad
terminal. Una manera simple de ver esto es desarrollar las exponenciales en (2) en serie de
Taylor hasta el término lineal:
et /   1 
t

Reemplazando en (3), se tiene:
t
t
U (t )  U 0 (1  )  U f


Evaluando esta expresión aproximada en t=, se tiene U(t=)Uf .
Considere a continuación el siguiente ejemplo:
y
ho
H
Líquido:
µ,
Una esfera de diámetro D y masa m, es soltada desde una altura ho sobre la superficie de un
líquido estático, de altura total H, densidad , viscosidad  y tensión superficial .
Suponiendo despreciable la fricción del aire sobre la esfera, se desea conocer la velocidad
de ésta en función del tiempo, a través de toda la trayectoria recorrida. Se quiere estimar
también la distancia recorrida por la esfera dentro del fluido antes de alcanzar la velocidad
terminal.
Solución:
Para el tramo a través del aire, si despreciamos la fricción, la esfera realiza
un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, es decir:
U (t )  gt
0<y<ho
La distancia recorrida por la esfera está dada entonces por la expresión:
y (t ) 
g 2
t
2
La segunda expresión puede reemplazarse en la primera, para obtener la velocidad
en función de la posición:
U ( y)  2gy
Por lo tanto, “justo antes” de tocar la superficie del líquido, la esfera alcanza una
velocidad:
U1  2g(ho  D / 2)
Por lo discutido en la primera parte respecto de la tensión superficial, sabemos que
al “chocar” la esfera con la superficie del fluido, esta última ofrecerá una resistencia sobre
la esfera de manera similar a una membrana elástica que se rompe debido al impacto. La
situación dinámica detallada es bastante compleja, por lo que no se utilizará ese enfoque en
este caso. Una manera alternativa para estimar el efecto de la tensión superficial sobre la
esfera es la interpretación de aquella como una energía por unidad de área interfacial. Para
ello, considere la figura a continuación, que representa la situación justo antes del choque, y
en el instante en que la esfera está casi completamente sumergida :
U=U1
Esup = Aire/LíqA
U=U2
EsupAire/LíqA+Acero/LíqD2
Puede aplicarse el principio de conservación de la energía entre ambos eventos,
tomando en cuenta como sistema a la esfera junto con la superficie del líquido (supeesto
estático). Para ello, es necesario considerar la disipación de energía en forma de calor,
como también la energía cinética transferida al fluido (que se manifestará en una agitación
turbulenta alrededor del punto de impacto). Si E1 y E2 son las energías del sistema
esfera/superficie en los instantes 1 y 2 representados en la figura, se tiene:
E1  E2  EPérdidas
Por otro lado, E1 y E2 involucran las siguientes componentes:
E = (ECinética + EPotencial)esfera + ESuperficie Fluido
En el primer caso, tomando como altura de referencia la superficie del líquido, se
tiene:
E1 = mU12/2 + mgD/2 + Aire/LíqA
(A: superficie total interfase líquido/aire)
En el segundo caso, en cambio:
E2 = mU22/2 -mgD/2+ Aire/LíqA+Acero/LíqD2
Aplicando el balance de energía, se tiene:
U12
D
U 22
D
m
 m g   Aire / Líq A  m
 m g   Aire / Líq A   Acero / LíqD 2  EPérdidas
2
2
2
2
Luego de un poco de álgebra, se obtiene una expresión para la energía disipada
como consecuencia del impacto de la esfera sobre la superficie, en función de las
velocidades medidas “justo antes” y “justo después” de la inmersión:
EPérdidas 


m
U 12  U 22  mgD   Acero / LíqD 2
2
Una vez inmersa la esfera en el líquido, la expresión para la velocidad es (3), con
U0 =U2. Para saber la distancia recorrida por la esfera, dentro del líquido, antes de alcanzar
la velocidad terminal, se integra la ecuación para la velocidad entre t=0 y el tiempo
característico t= :
U (t ) 


0
0
dy
dt


y ( )   U (t )dt   U 2et /   U f (1  et /  ) dt

y ( )  U 2  (U f  U 2)
e