Universidad Nacional de Quilmes Algebra y geometría analítica Aplicación de los números complejos: Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma: f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas. Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente. El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ). En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espaciotiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma: Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano. La ingeniería no existiría sin las matemáticas. A la inversa, la sentencia podría ser falsa, las matemáticas existen, independientemente de la ingeniería. Sin embargo, para los ingenieros, lo importante es convencerse, no de las matemáticas en sí mismas, sino de la aplicación de ellas. Las matemáticas aplicadas son las que han permitido lograr el desarrollo que ha alcanzado la ingeniería. El objeto formal de la ingeniería es la mejora de la calidad de vida de la humanidad, su objeto material es la naturaleza. El término naturaleza es muy amplio, un primer acercamiento a su significado lo encontramos en el orden semántico que los diccionarios que la explica como un conjunto de seres y cosas que forman el universo y en los que no ha intervenido el hombre. La realidad del universo no esta en duda, ni es motivo de nuestra atención en este ensayo, las caídas de agua “naturales” que existen en nuestro planeta, como por ejemplo, la bella cascada de la Tzaráracua en el estado de Michoacán, las infinidad de pequeños saltos de agua con los que cuenta el estado de Veracruz, o las impresionantes cataratas del Niágara, más allá de nuestras Nahuel Ruiz -1- Universidad Nacional de Quilmes Algebra y geometría analítica fronteras, han sido diferentes objetos materiales de estudio por parte de la ingeniería, en todas ellas su objeto formal prevalece, el cual es buscar una forma de utilizarlas para lograr una mejora en la calidad de vida de la humanidad. Referente a este ejemplo, surge una palabra muy comúnmente utilizada en Ingeniería Eléctrica, la de “traductor” que significa un instrumento capaz de modificar la energía potencial del agua, en la parte superior de la caída, en energía eléctrica, la cual no solo es de gran utilidad, sino necesaria para vivir en nuestros tiempos modernos. Un enfoque más pragmático sería entender a la naturaleza Simplemente como la física, desde el punto de vista de dinámica, o la física, desde el punto de vista de electricidad o desde cualquier otro punto de vista, pero lo fundamental en todos ellos es que son simplemente física o bien, entendido desde un punto de vista más profundo, todos éstos enfoques se refieren a diferentes formas de estudiar las partes de un mismo todo llamado naturaleza. Las matemáticas son el medio más poderoso que tiene el hombre para comprender al mundo que le rodea, pero no es la única, la simple observación de la naturaleza es también un medio para conocerla, ejemplo de lo anterior fueron las aportaciones realizadas por Benjamín Franklin o por Tomás Alva Edison. Sin embargo, es indiscutible que la aplicación de las matemáticas es lo que ha colocado a la ingeniería en el lugar que ocupa actualmente, este medio, las matemáticas, tiene principios muy antiguos, como el cálculo del número p, que data de civilizaciones previas a la griega o con el triángulo que cuenta con un ángulo recto, ya que hasta la fecha el número de veces que cabe el radio en la circunferencia sigue siendo el mismo que en las circunferencias del pasado, y de la misma forma, el teorema de Pitágoras se sigue cumpliendo con los triángulos rectángulos de nuestra época. Los logros de la ingeniería a los que nos hemos referido en más de una ocasión son palpables y objetivos, a través de los aparatos tecnológicos, que día con día se amalgaman a nuestra vida cotidiana, el vehículo que nos traslada a nuestro centro de trabajo, el teléfono que nos comunica a distancia, el horno de microondas y el refrigerador que nos ayudan a proporcionarnos los alimentos adecuados que requerimos así como todos los demás equipos que en mayor o menor medida utilizamos en nuestra vida diaria han sido producto, todos ellos, de la aplicación de las matemáticas, para conocer las leyes de la termodinámica y de la mecánica y así construir el motor de combustión interna, del modelo propuesto por Maxwell para representar con sus ecuaciones a las ondas electromagnéticas que desde siempre han existido en la naturaleza o de las ecuaciones de la temperatura y la electricidad para aumentar y disminuir la primera a voluntad, en el horno y en el refrigerador respectivamente. Pero las matemáticas solo están en la naturaleza en la medida que el hombre piense acorde a la realidad, acorde a la verdad, cuando así lo hace, las matemáticas se reflejan en toda ella. Nahuel Ruiz -2- Universidad Nacional de Quilmes Algebra y geometría analítica 1 - La relación que existe entre la parte real e imaginaria de un número complejo con su opuesto, es que son completamente simétricos, tanto su parte real como imaginaria, en cambio cuando se trata de su conjugado solo la parte imaginaria lo es, su parte real se mantiene igual ósea es simétrico con respecto al eje x. El modulo del conjugado y el opuesto se mantiene igual ya que su distancia al origen es la misma. Por ultimo la relación que existe entre los argumentos de un número complejo y su opuesto es que hay que sumar 180º al argumento del número complejo para obtener el del opuesto, con el conjugado sucede lo mismo solo que hay que restárselo a 360º 21. Z 5 2. Z 3 2i 7 3. Z 3 2i 5 4. 5 Z 3 2i 7 3 - Para obtener el resultado de una multiplicación de números complejos de manera grafica lo primero que hay que hacer, es medir la distancia del punto al origen, o para ser mas específicos, calcular el modulo del vector que representa a dicho punto, una vez obtenido el modulo de ambos vectores se mide el ángulo que forman ambos con el eje x. Una vez recopilada toda la información se suman los ángulos, se multiplican los módulos y se obtiene un vector en forma polar, si lo pasamos a la forma vectorial obtendremos el numero complejo. (Para representar el vector de un numero complejo es necesario interpretar a la parte imaginaria como si fuera “Y”). Por ejemplo si tenemos el numero complejo (4+2i), el vector que lo representa seria (4,2). Es importante mencionar que no es correcto multiplicar los vectores, para obtener el resultado del producto de complejos, ya que arrojarían un resultado diferente. Si queremos obtener de manera grafica el resultado de la división de complejos el proceso es muy parecido, solo que en vez de multiplicar los módulos se dividen y en vez de sumar los ángulos se restan. Las similitudes que pude encontrar entre números complejos y vectores es que, obviamente los números complejos se pueden interpretar como vectores, otra cosa similar es la suma y resta la cual se realiza de la misma manera y se mantienen la mismas propiedades. La diferencia radica en la multiplicación, ya que en un punto se tendrán que multiplicar las partes imaginarias quedando i 2 que es (-1) arrojando distintos resultados. Nahuel Ruiz -3- Universidad Nacional de Quilmes Algebra y geometría analítica 4 - La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que: cos x i sin x cos(nx) i.sin(nx) Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x. Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1. Un dato curiosos es que Moivre era amigo de Newton y este ultimo dijo conocer la formula desde 1676, antes de que la formula sea conocida. Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar. Z r (cosx isenx) Para obtener las n raíces de un número complejo, se aplica: x 2k x 2k Z r (cosx i sin x) r cos i sin n n 1 n 1 n 1 n Donde k es un número entero que va desde 0 hasta n-1, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las n raíces diferentes de z. Para poder obtener las raíces cuartas de un número complejo de manera grafica, lo primero que hay que hacer es crear una circunferencia que tenga como radio el vector del numero complejo en cuestión, en el caso de (1=1cis 0º) es 1. Al ser una raíz par, la segunda raíz se puede obtener gráficamente, ya que es opuesta a la primera, si la primera raíz es 1, la segunda es (-1). La tercera y cuarta raíz también se pueden obtener gráficamente ya que la circunferencia debe ser dividida en 4 partes iguales, solo hay que trazar un segmento de recta que sea perpendicular a la primera y Nahuel Ruiz -4- Universidad Nacional de Quilmes Algebra y geometría analítica pase por el origen, de esta manera se obtiene que las otras raíces en este caso son “i” y “-i” 5 - En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreductibilidad de Gauss, afirma que si es un dominio de factorización única (DFU) y es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados con coeficientes en es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo es irreducible en si y sólo si lo es en . El Criterio de irreductibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreductibilidad de un polinomio primitivo en y la irreductibilidad del mismo polinomio en , puede demostrarse que al ser un DFU también lo es . Así, se tiene como corolario que si es un DFU entonces también lo es , sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, no es un DIP pero sí es un DFU. También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales. a) T(x)=X³-(2/5)X²+(1/2)X+1 P (+-10,+-5,+ - 2, + - 1) Q (+-10,+-5,+ - 2, + - 1) P/q= (-+1,-+2,-+5,-+10,-+0.5,-+2.5,-+0.2,-+0.4,-+0.1) b) a) No se puede reducir b) x ( x 5 1) Nahuel Ruiz -5-