La parte común (todos los alumnos) - Primera clase

La parte común (todos los alumnos)
- Primera clase (V, 10-07-2009, 16:00-18:30)
Las diferencias entre las funciones holomorfas de la variable compleja y las funciones
diferenciables reales (los "milagros de análisis complejo"). Algunas relaciones de la variable
compleja con otras áreas de matemáticas (geometría no euclídea, desigualdad
isoperimétrica,...). Algunos problemas básicos (existencia de funciones holomorfas cuyos ceros
se acumulan en ciertos conjuntos, las propiedades cualitativas de la función de Riemann en
función de la frontera del dominio simplemente conexo, etc.). ¿Qué es lo que se necesita para
probar el teorema de representación conforme de Riemann? Los automorfismos del disco.
Lema de Schwarz-Pick (forma invariante del lema de Schwarz). Métrica pseudo-hiperbólica en
el disco. Los discos pseudo-hiperbólicos son euclídeos.
- Segunda clase (L, 13-07-2009, 16:00-18:30)
Más acerca de los automorfismos conformes del disco. Un problema extremal sencillo,
resuelto por el lema de Schwarz, como motivación del principio general para la prueba del
teorema de Riemann (la función extremal para evaluar la derivada dentro de una familia de
funciones analíticas, suele ser univalente y tener la imagen máximal). Más sobre la métrica
psuedo-hiperbólica. Métricas Riemannianas en el disco. La métrica hiperbólica: definición como
ínfimo de ciertas integrales, deducción de la fórmula logarítmica para la distancia, geodésicas,
completitud. Los discos en la métrica hiperbólica también son euclídeos. Un modelo de
geometría no euclídea. Funciones analíticas del disco en un disco más pequeño, vistas como
aplicaciones contractivas en la métrica hiperbólica: existencia y unicidad del punto fijo.
- Tercera clase (M, 21-07-2009, 16:00-18:30)
El álgebra de las funciones holomorfas en un dominio. Las nociones de convergencia y
compacidad en ella: convergencia uniforme en los subconjuntos compactos. Ejemplos y
criterios para la convergencia uniforme. La convergencia de las iteraciones de autoaplicaciones del disco al punto fijo interior. Familias normales, acotación uniforme local y
teorema de Montel. Ejemplos de familias normales y no normales.
- Cuarta clase (J, 23-07-2009, 16:00-18:30)
Las funciones univalentes y localmente univalentes y su derivada. Teorema de Hurwitz y sus
consecuencias. Más ejemplos de familias normales. Una demostración del teorema de
Riemann. La clase S de funciones univalentes normalizadas en el disco y algunas
transformaciones que la preservan. La función de Koebe y sus propiedades. Los teoremas de
Bieberbach y de 1/4 de Koebe. Estimaciones para los coeficientes; teoremas de distorsión y de
crecimiento. La compacidad de la clase S. Acerca de la conjetura de Bieberbach.
La parte especial, para los alumnos cuyo tutor es D. V.
- Reunión adicional: Viernes, 31-07-2009, 11:30-13:30.
Los productos de Blaschke finitos y sus propiedades. Productos infinitos, la condición de
Blaschke, productos de Blaschke infinitos y sus propiedades. Repaso: espacios de Banach,
functonales lineales continuos, espacio dual, dual de Lp. Espacio de Bergman de funciones
analíticas p-integrables. El funcional de evaluación puntual y su acotación. La normalidad de la
bola unidad en el espacio de Bergman.
- Próxima reunión: Miércoles, 09-09-2009, 16:00-17:30.
También se atenderán las dudas individuales a finales de agosto, petición previa por correo
electrónico y con un par de días de antelación.
Tareas individuales a desarrollar (lectura y presentación en septiembre):
- José M. Conde: crecimiento de las funciones en los espacios de Bergman, estimaciones
puntuales precisas a través de las isometrías, la proyección de Bergman y su acotación. El
espacio dual de un espacio de Bergman.
- Carlos González: productos de Blaschke infinitos, prolongación analítica a través de los arcos
libres de ceros, funciones internas, teorema de Frostman.
- María Hernández: algunas estimaciones clásicas para la clase S de funciones univalentes,
previas a la demostración de la conjetura de Bieberbach (el teorema de Littlewood, funciones
con los coeficientes reales).
- Carlos Riquelme: derivada invariante, relación con la distancia a la frontera para las
aplicaciones conformes, el espacio de Bloch, completitud y no separabilidad, dualidad entre
Bloch y Bergman con exponente uno.
- Susana Rojas: algunas transformaciones que preservan la clase S, teoremas de distorsión, de
crecimiento y 1/4 de Koebe para las funciones en S.