Examen de zona nivel cadete 2007

Estimados profesores:
El presente examen es una sugerencia, un ejemplo, de lo que en el Comité de la Olimpiada
Mexicana de Matemáticas en Yucatán creemos que es un instrumento que puede detectar
estudiantes con talento natural para las Matemáticas, especialmente para las Matemáticas
como juego y competencia. Pueden utilizarlo libremente, es decir, usar todo o las partes que
les parezcan más bonitas.
Desde hace más de 21 años que comenzó la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, y en ese
tiempo hemos visto muchos estudiantes que se descubren a sí mismos gracias a una
oportunidad, a que un buen día se atrevieron a resolver un examen que no era obligatorio; y
también hemos visto que no necesariamente son jóvenes con un promedio destacado. Es por
esto que les solicitamos de la manera más atenta, que en estas primeras etapas intenten llegar a
tantos de sus estudiantes como les sea posible, que hagan una convocatoria amplia.
Con esta idea en mente, el examen que proponemos ahora puede ser considerado fácil y sin
duda así lo expresarán los más experimentados en este tipo de retos, pero lo que queremos en
este momento es una prueba que sea de invitación y de descubrimiento, sin que por ello deje
de ser interesante.
La mayoría de los problemas se ubican en temáticas clásicas y algunos son versiones de ideas
que son parte de la cultura general y todos se pueden resolver con una combinación de
ingenio, observación cuidadosa y lo que se aprende en los cursos de Matemáticas de nivel
secundaria o incluso a nivel primaria.
Esperamos que cada zona determine la calificación de corte, sin embargo, para este examen, o
para uno de dificultad similar, recomendamos que dicha calificación sea de 6 o más puntos.
Nos gustaría mucho conocer su opinión acerca del examen y nos gustaría todavía más que nos
propusieran problemas, preferentemente en el formato de la prueba adjunta.
Apreciamos mucho su apoyo y les agradecemos el esfuerzo que brindan por sus alumnos todos
los días.
Saludos,
Comité (Preselectivo) de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Yucatán.
22 ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Examen de Zona, Secundarias, nivel Cadete (tercero de secundaria)
Yucatán 2007.
Instrucciones: En la hoja de respuestas llena el círculo que consideres que corresponde a la
respuesta correcta. Todos los celulares se deberán apagar al inicio del examen. No se permite
usar calculadora ni escritos de apoyo. La duración del examen es de 1 hora.
Problema 1.- Un virus atacó el disco duro de una computadora; el primer día destruyó dos
terceras partes, el segundo día destruyó la quinta parte de lo que quedaba. ¿Qué fracción del
disco duro quedó sin dañar?
a)
1
30
b)
13
60
c)
7
60
d)
3
5
e)
4
15
Problema 2.- Yo rompí un papel en 10 pedazos. Mi hermanito tomó algunos de ellos y los
rompió a su vez en 10 pedazos, cada uno de los que tomó. Si al final quedaron 46 pedazos,
¿cuántos pedazos rompió mi hermanito?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Problema 3.- El área del cuadrado ABCD es 1. ¿Cuánto mide el área sombreada?
a) 1
b) 2
c) 4
d)
e)
Problema 4.- ¿Cuál es el mínimo número de piezas de rompecabezas, como la que se muestra,
necesarias para formar un cuadrado?
a) 3
b) 15
c) 9
d) 27
e) 12
Problema 5.- Sean x, y enteros positivos, cuya suma termina en 5 y x – y termina en 3,
¿cuál es el ultimo digito de x2 – y2?
a) 0
b) 3
c) 5
d) 8
e) no se puede
saber
Problema 6.- Un acertijo consiste en adivinar la forma y el color que tiene un objeto a partir
de las 5 afirmaciones siguientes:
a.-Si es azul, entonces es redondo.
b.- Si es cuadrado, entonces es rojo.
c.- Es azul o amarillo.
d.- Si es amarillo, entonces es cuadrado.
e.- Es cuadrado o redondo.
¿Cómo es el objeto?
a) azul y redondo
b) azul y
cuadrado
c) amarillo y
redondo
d) rojo y redondo
e) ninguno de las
anteriores
Problema 7.- Se tienen menos de 200 canicas. Si se reparten entre 3, sobran dos; si se
reparten entre 5, sobran dos y si se repartieran entre 7 no sobraría ninguna. ¿cuántas canicas
hay?
a) 100
b) 182
c) 125
d) 130
e) 140
Problema 8.- Tres cuadrados con lados de longitudes: 10 cm, 8 cm y 6 cm, respectivamente,
se colocan uno al lado del otro como se muestra en la siguiente figura.
¿Cuál es el área sombreada?
a) 100 cm2
b) 90 cm2
c) 120 cm2
d) 80 cm2
e) 70 cm2
d) 10
e) 5
Problema 9.- ¿Cuál es la suma de los dígitos del número
(5  5  5  5  5  5  5)  (2  2  2  2  2  2) ?
a) 2007
b) 2008
c) 2
Problema 10.- Una entrevista de 2007 estudiantes de una preparatoria reveló que 1500 de
ellos participaron en la olimpiada de Matemáticas y 1200 de ellos en la olimpiada de Química.
¿Cuántos de los jóvenes entrevistados participaron en ambas competencias si sabemos que
exactamente 7 de ellos no participaron en ninguna?
a) 600
b) 700
c) 800
d) 900
e) 1000
Problema 11.- Cris se encuentra sentado en esta mesa circular y cada segundo se mueve
cuatro lugares a su derecha. ¿Donde terminará Cris después de 2007 segundos si originalmente
estaba en la casilla A?, por ejemplo en el primer segundo Cris se movió de la casilla A a la E.
A
T
I
H
C
G
D
F
a) A
b) C
B
c) E
E
d) G
e) I
Problema 12.- El número de triángulos con sus tres vértices en los puntos de la figura es:
a) 20
b) 28
c) 24
d) 32
e) 22
Mucho éxito y ojalá que el examen te parezca interesante.
Hoja de Respuestas
Nombre: ___________________________________________________________________
1.
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11.
12.
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(a)
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Respuestas