FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDAD TIPOS DE SUCESOS

FUNDAMENTOS DE LA PROBABILIDAD
UNIDAD I
UNIDAD I. FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDAD
OBJETIVO DE LA UNIDAD: APLICAR LOS FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE
PROBABILIDAD EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE DIFERENTES
TIPOS DE SUCESOS
1.1. CONCEPTOS BÁSICOS
1.2. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
1.3. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
1.4. ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS
1.5. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
1.6. TEOREMA DE BAYES
1.1. CONCEPTOS BÁSICOS
Las probabilidades son muy útiles, ya que pueden servir para desarrollar
estrategias. Por ejemplo, los inversionistas estarán más interesados en invertirse
dinero si las posibilidades de ganar son buenas. El punto central en todos estos
casos es la capacidad de cuantificar cuan probable es determinado evento. En
concreto decimos que las probabilidades se utilizan para expresar cuan probable
es un determinado evento.
La probabilidad clásica: el enfoque clásico o a priori de la probabilidad se basa en
la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente
posibles.
Empleando el punto de vista clásico, la probabilidad de que suceda un evento se
calcula dividiendo el número de resultados favorables, entre el número de
resultados posibles.
La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define
como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el
número de eventos elementales que componen el espacio muestral:
Probabilidad. Es el estudio de los fenómenos de los que no estamos seguros de
su ocurrencia.
Fenómeno. Es la ocurrencia de un hecho o suceso.
Experimento. Es un fenómeno observable perfectamente definido.
Ing. Cintia del Carmen Hernández Crisóstomo
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Los fenómenos observables se pueden clasificar en:
Deterministicos. Se puede predecir el resultado.
Aleatorios. No se puede predecir el resultado.
La probabilidad subjetiva de un evento: se la asigna la persona que hace el
estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema.
Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez
científica, aunque en la vida diaria es de las más comunes que se utilizan al no
apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en
resultados estadísticos.
La probabilidad de que un evento ocurra esta dada mediante un numero que va
desde de 0 a 1.00.
1.2. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
Conjuntos
Conjunto Es un grupo, una colección o una lista de objetos, a esos elementos se
les llama miembros o elementos del conjunto. Un conjunto se puede formar con:
Los libros de una biblioteca
Los alumnos de una escuela
Los colores del arco iris
Las vocales del alfabeto
Los días de la semana.
Un conjunto debe estar bien definido, es decir, podrá determinarse si un elemento
dado pertenece o no al conjunto. De esta manera, si el conjunto está formado por
las estaciones del año, entonces primavera es un elemento del conjunto, pero
junio no lo es.
Se ha convenido representar a los conjuntos con letras mayúsculas y a los
miembros con las letras minúsculas.
Un conjunto vacío, es el conjunto sin elementos que se denota por  ó { }, por
ejemplo supóngase que en un grupo escolar la lista de los alumnos , ordenada
alfabéticamente por apellidos, inician con la letra P y terminan con la letra Z, si
queremos formar el conjunto A con los alumnos del grupo cuyo apellido empiecen
con la letra A, no tiene elementos =  = { }
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Un conjunto unitario es un conjunto que tiene un solo elemento. Por ejemplo, el
conjunto del satélite natural de la tierra = {luna}
Diagramas de Venn
La unión de dos eventos es el evento que esta formado por todos los resultados
contenidos en cualquiera de los dos eventos. La unión se denota por E 1 U E2
La intersección de dos eventos es el evento que esta formado por los resultados
contenidos en ambos eventos. La intersección se denota E1 ∩ E2
El complemento de un evento en un espacio muestral es el conjunto de los
resultados en el espacio muestral que no están en el evento. Este componente del
evento E se denota por E’.
Los diagramas se utilizan con frecuencia para representar las relaciones entre
conjuntos, y también son muy útiles para describir relaciones entre eventos. Los
diagramas de Venn pueden emplearse para representar un espacio muestral y los
eventos contenidos en éste
Dos eventos E1 y E2 que no tienen resultados en común tienen una relación
importante. Dos eventos E1 y E2, tales que E1 ∩ E2 = , se dice que son
mutuamente excluyentes. Un evento E y su complemento E’, siempre son
mutuamente excluyentes.
Ejemplos
1. El espacio muestral de un experimento aleatorio es
S = AA, AN, NA, NN  . Si E1= {AA, AN, NA} y E2 = {AN, NA, NN}.
Calcular y representar mediante los diagramas de Venn:
E1 U E2 =
E1 ∩ E2 =
E1’ =
E2’ =
2. Sea el conjunto universal U  a ,b,c , d ,e, f , g
A  a ,c ,e, g B  d , f , gy C  b,e, f , g.
Calcular y representar mediante los diagramas de Venn:
a) A  C =
b) B  A =
c) B  C =
d) B  A
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y los
subconjuntos,
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Ejemplo 2.9 (libro: Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería.
Montgomery y C. Runger pág. 53) Se analizan muestras de policarbonato plástico
para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuación se
presenta el resumen de los resultados obtenidos con 49 muestras:
Resistencia a las rayaduras
Resistencia a los golpes
alta
baja
Alta
40
4
Baja
2
3
Sean A: el evento “la muestra tiene una alta resistencia a los golpes”, y B: el
evento “la muestra tiene una alta resistencia a las rayaduras”. Determine el
número de muestras en A∩B, A’, B’, AUB, A’∩B, A’UB, dibujando el diagrama de
venn para cada uno.
Ejemplo 2-22. Se analizan los discos de policarbonato plástico de un proveedor
para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuación se
resumen los resultados obtenidos al analizar 100 muestras.
Resistencia a las rayaduras
Resistencia a los golpes
alta
baja
Alta
80
9
Baja
6
5
Sean A: el evento donde el disco tiene una alta resistencia a los golpes, y B el
evento donde el disco tiene una alta resistencia a las rayaduras. Determine el
número de discos en A B, A’, y AUB. Dibuje un diagrama de Venn para estos
datos.
Tarea: resuelve del libro: Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería.
Montgomery y C. Runger pág. 60 y 61, los ejercicios: 2-23 y 2-24
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Técnicas de conteo
Diagrama de árbol
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta
de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser
llevado a cabo.
Ejemplos:
1.- Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes
opciones con que cuenta: auto convertible, auto de dos puertas, y auto de 4
puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar ¿Cuántos diferentes
arreglos de autos y rines puede ofrece el vendedor?
2. Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o
femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea
(Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas
clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico.
2. En la prueba de tarjetas de circuito impreso. Cada tarjeta pasa o no pasa la
prueba. En una tarjeta que no pasa la prueba se hace una verificación adicional. Si
se representan cinco pruebas. Representa mediante un diagrama de árbol espacio
muestral de este experimento.
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3. Un sistema de comunicación digital, cada mensaje se clasifica según llega o no
dentro del tiempo establecido por el diseño del sistema. Si se clasifican tres
mensajes, utilice un diagrama de árbol para representar el espacio muestral de los
posibles resultados.
Notación factorial
Notación factorial: es el producto de n entero positivo hasta 1
n! =n (n-1)*(n-2)*(n-3)*….*3*2*1
En algunos problemas de matemáticas se nos presentan multiplicaciones de
números naturales sucesivos tal como: 4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3 x 2 x 1 = 6; 2 x 1 = 2.
Para abreviar estas expresiones, se usa una notación especial llamada notación
factorial y nos denota las multiplicaciones sucesivas de n hasta 1 y se define
como:
4 x 3 x 2 x 1 = 4!
Se lee “cuatro factorial”
3 x 2 x 1 = 3! Se lee “tres factorial”
En términos generales:
n(n-1)(n-2)…x 2 x 1 = n! Se lee “n factorial”
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1.5. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
INDEPENDENCIA
Si se tienen 2 eventos A y B, se dice que son independientes si la probabilidad de
que uno de ellos suceda no depende de que el otro suceso ocurra o no ocurra.
Si los eventos son independientes se tiene:
p(AB) = p(A) . p(B)
p(ABC) = p(A). p (B). p(C)
P(A/B) = P(A), se lee “la probabilidad de A dado B, es igual a la probabilidad de A”
P(B/A) = P(B), se lee “la probabilidad de B dado A, es igual a la probabilidad de B”
Ejemplo:
1. En una caja se tienen 5 globos verdes, 3 blancos y 2 rojos. Hallar la
probabilidad de que al extraer 2 globos, éstos sean: (Muestreo con reposición)
a)
rojos
b)
verdes
c)
blancos
Solución:
a)
p(RR) = 2/10 . 2/10 = 4/100 = .04 = 4%
b)
p(VV) = 5/10 . 5/10 = 25/100 = .25 = 25%
c)
p(BB) = 3/10 . 3/10 = 9/100 = .09 = 9%
2. En una caja se tienen 5 globos verdes, 3 blancos y 2 rojos. Si se extraen dos
globos al azar,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el segundo, este sea rojo dado
que el primero lo fue? (Muestreo con reposición).
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el primero sea verde? (con
reposición)
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el segundo sea blanco, dado que
el primero no lo fue? (con reposición)
3. La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no satisfacen los
requerimientos del cliente. Del lote se eligen dos partes, con reemplazo.
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda parte sea defectuosa dado que
la primera lo es?
4. La probabilidad de que una muestra de laboratorio contenga altos niveles
de contaminación es 0.10. Se analizan cinco muestras, esta son
independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna contenga altos niveles de
contaminación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una contenga altos niveles
de contaminación?
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TAREA DE INDEPENDENCIA:
1. Al lanzar una moneda, los tiros son independientes, ¿Cuál es la
probabilidad de obtener la secuencia: [cara, cara, cara, cruz, cruz]?
2. Un lote de 500 contenedores para jugo de naranja congelado contiene 5
que están defectuosos. Se escogen dos al azar, con reemplazo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean defectuosos?
(5/500)(5/500)= 0.0001 = 0.01%
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea defectuoso dado que el
primero lo fue? 5/500= 0.01
3. La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no satisfacen los
requerimientos del cliente. Del lote se eligen dos partes, con reemplazo.
¿Cuál es la probabilidad de que las dos partes sean defectuosas?
50/850(50/850)=0.0034602
Si los sucesos son dependientes, esto es que lo que ocurra después depende de
lo que haya ocurrido antes se obtiene:
p(AB) = p(A).p(B/A)
Se lee “probabilidad de que ocurran A y B (sucesivas o simultáneas) es igual a la
probabilidad de que ocurra A por la probabilidad de que ocurra B dado que ya
ocurrió antes A.”
Ejemplos:
1. En una caja se tienen 5 globos verdes, 3 blancos y 2 rojos. Hallar la
probabilidad de que al extraer 2 globos, éstos sean: (muestreo sin reposición)
a)
rojos
b)
verdes
c)
blancos
Solución:
a)
p(RR) = 2/10 . 1/9 = 2/90 =
b)
p(VV) = 5/10 . 4/9 = 20/90 =
c)
p(BB) = 3/10 . 2/9 = 6/90 = 2/30
2. En una caja se tienen 5 globos verdes, 3 blancos y 2 rojos. Si se extraen dos
globos al azar,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el segundo, este sea rojo
dado que el primero lo fue? (Muestreo sin reposición).1/9
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el primero sea verde? (sin
reposición) 5/10
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el segundo sea blanco, dado
que el primero no lo fue? (sin reposición) 3/9
3. La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no satisfacen los
requerimientos del cliente. Del lote se eligen dos partes, sin reemplazo.
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¿Cuál es la probabilidad de que la segunda parte sea defectuosa dado
que la primera lo es? 49/849
Probabilidad Condicional
La probabilidad del evento A dado que el evento B se ha presentado se llama
probabilidad condicional, se denota por p(A/B) y se define como:
Ejemplos:
1. Los resultados obtenidos de 226 muestras de aire se clasifican de acuerdo
con la presencia de dos moléculas raras. sean A: el evento formado por
todas las muestra en las que se encuentra presente la molécula rara 1, y B:
el evento formado por todas las muestras de aire donde está presente la
molécula 2. al utilizar los resultados que aparecen en la siguiente tabla, se
tiene que:
Molécula 2 presente
Molécula 1 presente
No
si
No
212
24
si
18
12
Calcule las siguientes probabilidades:
a) P(A)=
b) P(B)=
c) P(A/B)=
d) P(B/A)=
2. Se analizan los discos de policarbonato plástico de un proveedor para
determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuación se
resumen los resultados obtenidos al analizar 100 muestras.
Resistencia a los golpes
alta
baja
Resistencia a las rayaduras
Alta
80
9
Baja
6
5
Sean A: el evento donde el disco tiene una alta resistencia a los golpes, y B el
evento donde el disco tiene una alta resistencia a las rayaduras. Determine las
siguientes probabilidades:
a) P(A)
b) P(B)
c) P(A/B)
d) P(B/A)
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UNIDAD I
TAREA
Del ejercicio 2-23 y 2-24 calcular las siguientes probabilidades:
a) P(A)
b) P(B)
c) P(A/B)
d) P(B/A)
La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es
0.83, la de que llegue a tiempo es 0.82, y la de que despegue y llegue a tiempo es
0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión:
a) Llegue a tiempo dado que despegó a tiempo.
b) Despegue a tiempo dado que llegó a tiempo.
c) Llegue a tiempo dado que despegó a tiempo.
d) No llegue a tiempo dado que no despegó a tiempo.
Sean D: el evento donde el avión despegue a tiempo
A: El avión que llegue a tiempo.
(Sugerencia: arroja los datos en una tabla para apreciar mejor las probabilidades)
Ing. Cintia del Carmen Hernández Crisóstomo
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