Criterio de Áreas Iguales

ELC-30524
Sistemas de Potencia II
Capítulo 2
Ecuación de Oscilación y
Consideraciones Mecánicas
Prof. Francisco M. González-Longatt
fglongatt@ieee.org
http://www.giaelec.org/fglongatt/SP2.htm
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
Francisco M. González-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2007
Sistemas de Potencia II
Ecuación de Oscilación
Consideraciones Mecánicas
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
Francisco M. González-Longatt, fglongatt@ieee.org
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Introducción
• El estudio de estabilidad en régimen transitorio de un
sistema de potencia, acarrea consigo una serie de
consideraciones sobre algunas propiedades de
carácter mecánico de las máquinas del sistema;
• Debido a que después de un reajuste de potencia, los
rotores han de ajustar sus ángulos relativos para
satisfacer las condiciones de carga impuestas.
• Los fenómenos originados son de naturaleza
eléctrica y mecánica, y es necesario tener presente
ambos en el estudio de estabilidad.
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
Francisco M. González-Longatt, fglongatt@ieee.org
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Introducción
• Debido a la necesidad de comprender los transitorios
mecánicos en las máquinas, se hace necesario
establecer una serie de consideraciones mecánicas.
jX
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Estabilidad
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Consideraciones Mecánicas
• El estudio de un sistema de potencia para establecer
su estabilidad en régimen transitorio, acarrea consigo
una serie de consideraciones sobre algunas
propiedades de carácter mecánico de las máquinas del
sistema
•
Los fenómenos originados son de naturaleza
eléctrica y mecánica, y es necesario tener presente
ambos en el estudio de estabilidad
jX
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Estabilidad
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Consideraciones Mecánicas
Movimiento lineal
Rotación
Cantidad
Símbolo/Ec
uación
Unidades MKS
Cantidad
Longitud
s
Metro (m)
Desplazamiento
angular
θ
Masa
M
Kilogramo (Kg)
Momento de Inercia
J = r 2 dm
Símbolo/
Ecuación
Unidades
MKS
Radianes
(rad)
∫
Kg.m2
Velocidad
v=
ds
dt
Metro/segundo
(m/s)
Velocidad angular
ω=
dθ
dt
Rad/s
Aceleración
a=
dv
dt
m/s2
Aceleración angular
α=
dω
dt
Rad/s2
Fuerza
F = Ma
Newton (N)
Torque
T = Jα
N-m o J/rad
Trabajo
W = Fds
∫
Joule (J)
Trabajo
W = Tdθ
∫
J o W.s
dW
dt
Watt (W)
Potencia
Potencia
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p=
p=
dW
dt
W
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Consideraciones Mecánicas
• En esencia un cuerpo movimiento posee asociado una
cierta energía cinética (Ec), que puede ser expresada
para el caso del movimiento lineal:
v
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M
1
2
Ec = Mv
2
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Consideraciones Mecánicas
• En esencia un cuerpo en rotación posee asociado una
cierta energía cinética (Ec), que puede ser expresada
por:
1 2
Ec = Iω
2
• Siendo I el momento total de inercia del cuerpo
rotante [Joule-sec2/rad2], y la velocidad angular con
que rota el cuerpo [rad/sec].
ω
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Consideraciones Mecánicas
• La cantidad de movimiento (P), en el caso del
movimiento lineal viene dado por:
P = Mv
v
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M
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Consideraciones Mecánicas
• El dual giratorio de la cantidad de movimiento, es el
momento angular [Mega-Joule-sec/rad].
M = Iω
• Generalmente se expresa como el producto del
momento de inercia I y la velocidad angular ω.
ω
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I
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Consideraciones Mecánicas
• El momento angular M, se suele confundir con otro
cierto término, denominado constante de inercia, H,
esta se define como la energía almacenada por una
máquina a la velocidad sincrónica por la potencia en
régimen de la máquina.
Energia almacenada a velocidad sincronica
H=
regimen de la maquina en MVA
y se denota:
G = régimen de la máquina en MVA
GH = Energía almacenada en MegaJoulio
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ω
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Consideraciones Mecánicas
• Si la energía almacenada en una parte giratoria, se
encuentra en forma de energía cinética, se puede
decir:
Ec = GH
1 2
Ec = Iω
2
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Ec = M
ω
2
ω
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Ecuación de Oscilación
ω
1 2
Ec = GH = Iω = M
2
2
• Si se considera en estos instantes, que la parte
giratoria, corresponde al rotor de una máquina que
gira a una velocidad ω en grados eléctricos por
segundo, entonces, se puede estimar la velocidad en
función de la frecuencia ω=2πf, siendo f la frecuencia
en ciclos por segundo (Hz)
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Consideraciones Mecánicas
• Se puede realizar la observación que el momento
angular M, depende del tamaño y tipo de máquina,
mientras que H, no varía mucho con el tamaño
360 f
GH = M
2
GH ⎡ Mega - Joule ⎤
M=
180 f ⎢⎣ Grados Electricos ⎥⎦
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Consideraciones Mecánicas
Energia almacenada a velocidad sincronica
H=
regimen de la maquina en MVA
• y se denota :
G = régimen de la máquina en MVA
• Utilizando la notación antes establecida se reduce:
GH = Energía almacenada en MegaJoulio
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Consideraciones Mecánicas
Valores típicos de H
Rotor Liso
Rotor de polos Salientes
4a6
3a5
Construcción de tipos de rotores (a) rotor cilíndrico (b) rotor de polos salientes
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Consideraciones Mecánicas
Unidad
Srated (MVA)
MWsec
Hmach=MWS/Srate
Hsys=MWsec/100
d
H1
9
23.5
2.61
0.235
H9
86
233
2.71
2.38
H18
615
3166
5.15
31.7
F1
25
125.4
5.02
1.25
F11
270
1115
4.13
11.15
F21
911
2265
2.49
22.65
CF1-HP
128
305
2.38
3.05
CF1-LP
128
787
6.15
7.87
N1
76.8
281.7
3.67
2.82
N8
1340
4698
3.51
47.0
SC1
25
30
1.2
0.3
SC2
75
89.98
1.2
0.9
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Sistemas de Potencia II
Ecuación de Oscilación
Ecuacion de Oscilacion
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jX s
Ra
Ef
+
+
It
Vt
−
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Ecuación de Oscilación
• Suponga ahora, una máquina sincrónica conectada a
una barra de potencia infinita:
Xd
G
XT
X LT
T
LT
∞
Barra
Barrade
depotencia
potencia
infinita
infinita
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Ecuación de Oscilación
• Suponga ahora, una máquina sincrónica conectada a
una barra de potencia infinita:
∞
Xd
XT
X LT
G
T
X s = X d + X T + X LT
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LT
Se
Seobtiene
obtieneuna
una
reactancia
reactanciaequivalente
equivalente
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Ecuación de Oscilación
• Suponga ahora, una máquina sincrónica conectada a
una barra de potencia infinita, que durante su
operación esta puede entregar una potencia que viene
dada por:
jX LT
jX d
jX
T
+
+
E
X s = X d + X T + X LT
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I
V∞
EV
senδ
P=
Xs
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Ecuación de Oscilación
• Si no se considera:
– el par originado por el rozamiento
mecánico,
– el rozamiento del aire,
– pérdidas en el núcleo,
– pérdidas por corrientes de Focault en los
arrollados amortiguadores,
• entonces cualquier
entre la
Pacel = Pmecdiferencia
− Pelec
potencia mecánica (Pmec) y la eléctrica
(Pelec) debe actuar sobre la máquina como
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Ecuación de Oscilación
• Esta potencia acelerante es causada por una diferencia
entre el torque mecánico y el electromagnético.
• En función de la energía cinética del rotor, la potencia
acelerante queda expresada por:
Pacel = Tacelω
• Incluyendo la relación entre el torque de aceleración
y el momento de inercia :
Tacel = Iα
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Ecuación de Oscilación
• Si se aplica la segunda Ley de Newton
aplicada a los torques, resulta:
ω
+
Tmec
Telec
-
d θ mec
∑ T = I dt 2 = Tmec − Telec = Tacel
2
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Ecuación de Oscilación
• En donde , es la aceleración angular. En el
rotor de la máquina, se hacen presentes dos
torques, Telec el torque electromagnético y Tmec
el torque mecánico.
• Si se aplica la segunda Ley de Newton
aplicada a los torques, resulta:
d θ mec
∑ T = I dt 2 = Tmec − Telec = Tacel
2
ω
Tmec
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Telec
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Ecuación de Oscilación
• El torque acelerante, será positivo, si el torque
mecánico supera al electromagnético, con lo que la
máquina se acelera; caso contrario pierde aceleración
T acel > 0
• Sea θmec el ángulo de rotor medido respecto a una
referencia ωs, la velocidad sincrónica de la máquina y
δ el desplazamiento angular del rotor respecto a un
eje que gira a velocidad sincrónica.
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Ecuación de Oscilación
• Sea θmec el ángulo de rotor medido respecto a
una referencia ωs, la velocidad sincrónica de la
máquina y δ el desplazamiento angular del
rotor respecto a un eje que gira a velocidad
ω
sincrónica. Refererencia
θ mec = δ + ωs t
ω
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Ecuación de Oscilación
ω
Refererencia
θ mec = δ + ωs t
θ mec = δ + ω s t
dθ mec dδ
dt
ω
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=
d θ mec
dt 2
2
+ ωs
dt
d 2δ
= 2
dt
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Ecuación de Oscilación
• Se deduce que la aceleración absoluta es igual a la
relativa
d δ
I 2 = ∑ T = Tmec − Telec = Tacel
dt
2
• multiplicando por la velocidad angular rotorica en
ambos lados de la ecuación anterior se reduce :
d δ
ωI 2 = ωTmec − ωTelec = ωTacel
dt
2
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Ecuación de Oscilación
• por la definición de momento angular resulta :
d δ
M ' 2 = Pmec − Pelec = Pacel
dt
2
• donde M' es por:
ωIωs
M ' = Iω =
ωs
ωM
M '=
ωs
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Ecuación de Oscilación
La cantidad es conocido como el momento angular a
velocidad sincrónica de la máquina.
Rescribiendo la ecuación resulta:
d δ
ω
M 2 = Pmec − Pelec = Pacel
dt
ωs
2
se puede realizar la aproximación que
ω
=1
ωs
ya que la variación de velocidad es menor al 3%, con
lo que resulta
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• El momento angular de M de una máquina, no es
constante, puesto que varía la velocidad angular, pero
puede considerarse constante,
• Ya que la velocidad de la máquina no varía
considerablemente de la velocidad sincrónica,
siempre que no se sobrepase el límite de estabilidad.
ω
M '=
M
ωs
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ω
≈1
ωs
M '≈ M
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Ecuación de Oscilación
d δ
M 2 = Pmec − Pelec = Pacel
dt
2
• La ecuación anterior recibe el nombre de ecuación de
oscilación y caracteriza la reposición del rotor de la
máquina sincrónica durante la perturbación.
• La ecuación de oscilación es una ecuación diferencial
trascendental de segundo orden y su solución da
origen a una integral elíptica
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Ecuación de Oscilación
• La ecuación de oscilación puede ser tratada en
cantidades por unidad :
M =J=
2GH
ωs
2GH d δ
= Pmec − Pelec = Pacel
2
ωs dt
2
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Ecuación de Oscilación
2GH d δ
= Pmec − Pelec = Pacel
2
ωs dt
2
supóngase que se divide en ambos miembros de la
expresión por la potencia base Sbase
2 H b d δ Pmec − Pelec Pacel
=
=
2
Sbase
Sbase
ωs dt
2
2 H b d 2δ
ωs dt 2
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= Pacel [p.u ]
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Ecuación de Oscilación
2H b d δ
2
ωs dt
2
= Pacel [p.u ]
• donde Hb : es la constante de inercia de la máquina en
la nueva base (GH = SbaseHb).
• Se realiza el cambio se obtiene:
Hb d δ
= Pacel
2
πf dt
2
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Ecuación de Oscilación
• En forma de radianes eléctricos:
Hb d δ
P
=
acel
2
πf dt
2
δ: Radianes eléctricos.
fs : Hertz.
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Ecuación de Oscilación
• En la forma de grados eléctricos:
Hb d δ
=
P
acel
2
180 f dt
2
δ: Grados eléctricos.
fs : Hertz.
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Constantes de Inercia y Aceleración
• Existe una variedad de métodos, con los cuales es
posible deducir la entrada eléctrica y la salida de
cada máquina como una curva simple potencia
ángulo, o una extensión trigonométrica simple con el
ángulo entre la Fuerza Electro Motriz (FEM) interna
como la variable.
• La potencia acelerante (Pacel) depende de la condición
de operación inicial y de la diferencia entre la entrada
y la salida, incluyendo el efecto de las pérdidas.
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Constantes de Inercia y Aceleración
• Entonces para un generador la potencia acelerante es
la variable, ΔP es:
ΔP = Pi − (P0 + L )
• donde: Pi es la entrada mecánica, P0 es la salida
eléctrica y L es la pérdida total.
• En un motor sincrónico la ecuación anterior es similar
en significado, pero el signo numérico de las fuerzas
acelerantes es negativo cuando la entrada es menor
que la salida más las pérdidas.
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Constantes de Inercia y Aceleración
• La inercia de una máquina sincrónica varía a través
de un ancho rango dependiendo principalmente de la
capacidad y velocidad y en que inercia adicional ha
sido intencionalmente agregada.
• Las constantes varían a través de un relativamente
estrecho margen si ellas son expresadas en términos
de la energía almacenada por KVA de capacidad.
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Constantes de Inercia y Aceleración
• La relación entre la energía almacenada H y WR2 es
dado por la siguiente expresión:
KWatt − seg
WR 2ω 2 ×10 −6
= 0.231
H=
KVA
S
• donde WR2 es el momento de inercia en libras-pies al
cuadrado y ω es la velocidad en revoluciones por
minuto (rpm).
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Constantes de Inercia y Aceleración
• Las constates de inercia varía a través de un rango
desde menor a uno hasta alrededor de diez kilowattsegundos por KVA, dependiendo del tipo de aparato y
la velocidad.
• Además el control de la inercia es uno de los
métodos posibles de aumentar la estabilidad del
sistema.
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Constantes de Inercia y Aceleración
• Frecuentemente es conveniente cuando se desprecia
las pérdidas reemplazar un sistema de dos máquinas,
cada una con inercia finita, por otro sistema
consistente de una máquina con una inercia
equivalente y una segunda máquina con una inercia
infinita.
• Por estos medios, el problema es reducido a un
sistema de una sola máquina.
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Constantes de Inercia y Aceleración
• Si las energías almacenadas de las máquinas son
HaKVAa y HbKVAb, entonces la constante de inercia
equivalente de uno de ellos es Heq(a) es dada por:
H eq ( a )
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Estabilidad
Ha
=
H a KVAa
1+
H b KVAb
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Constantes de Inercia y Aceleración
• En este método, la aceleración, velocidad, y fase que
relaciona la máquina seleccionada son obtenidas con
relación a la otra máquina como referencia.
• Cuando pérdidas, cargas intermedias, o más de dos
máquinas están consideradas, es necesario usar el
método más general donde la relación de aceleración
absoluta, velocidad y ángulo de cada máquina son
separadamente determinada.
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Constantes de Inercia y Aceleración
• Con la constante de tiempo, H, y la potencia
acelerante o desaceleante, ΔP, es posible calcular la
aceleración por medio de la siguiente ecuación:
180 fΔP
α=
HS
• Donde α es la aceleración o desaceleración de
ángulos eléctricos por segundo por segundo, f es la
frecuencia del sistema en ciclos por segundo, ΔP , es
la potencia de aceleración (o desaceleración) en
KiloWatt, H es la constante de inercia de inercia en
KiloWatt-Segundos/KVA.
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Calculo de H
• Se tiene que la energía almacenado en movimiento
giratorio del un cuerpo viene dado por:
Energía almacenada = Energía cinética
1
2
Ec = Jω [W .s ]
2
1
Ec = Jω 2 × 10 − 6 [MW .s ]
2
• Donde J: Momento de inercia en Kg-m2, ω: velocidad
nominal en rad/seg.
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Calculo de H
• De tal modo que resulta:
1 Jω 2 × 10 −6
H=
2 MVAno min al
2
RPM ⎞
⎛
−6
J ⎜ 2π
⎟ × 10
1 ⎝
60 ⎠
H=
MVAno min al
2
H = 5.48 × 10
SISTEMAS DE POTENCIA II
Estabilidad
−9
J (RPM ) × 10
MVAno min al
2
−6
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Calculo de H
• Algunas veces el momento de inercia del rotor es
dado en términos de WR2, lo cual es igual al pero de
las partes giratorias multiplicado por el cuadrado de
los radianes de giro en lb.ft2.
1m = 3.281 ft
1kg = 2.205lb = 0.0685slug
1slug − ft 2 = 1.356kg − m 2
• Entonces
el
momento
slug.ft2=WR2/32.2.
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Estabilidad
de
inercia
en
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Calculo de H
• Las siguientes relaciones entre las unidades MKS y
las unidades inglesas es útil para convertir de WR2 a
J:
1m = 3.281 ft
1kg = 2.205lb = 0.0685slug
1slug − ft 2 = 1.356kg − m 2
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Estabilidad
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Calculo de H
• El momento de inercia J en kg-m2 a WR2 es:
WR 2
J=
× 1.356
32.2
• De modo que resulta:
2.31 × 10 (WR ) (RPM )
[MW − s / MVA]
H=
MVAno min al
−10
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Estabilidad
2
2
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Amortiguamiento
• El principal factor de amortiguamiento cuando el
rotor de una máquina tiende a separarse de la
velocidad sincrónica, se debe a los devanados
amortiguadores.
• En general el amortiguamiento esta fuertemente
relacionado con la velocidad relativa de la máquina.
Si la potencia del amortiguamiento es proporcional a
la velocidad resulta:
Pamortig
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Estabilidad
dδ
= K0
dt
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