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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE HUMANIDADES Y TECNOLOGÍAS DE LA COMUNICACIÓN SOCIAL ESCUELA DE CARTOGRAFÍA ANÁLISIS DE LA SIGNIFICANCIA DE MODELOS DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y MODELO DE SIMILARIDAD 3D PARA LA COMPATIBILIZACIÓN DE BASES CARTOGRÁFICAS A SIRGAS TESIS PARA OPTAR AL TÍTULO DE CARTÓGRAFO Y AL GRADO DE LICENCIADO EN CIENCIAS CARTOGRÁFICAS PROFESOR GUÍA: Eduardo Mera Garrido AUTOR: Sergio Rebolledo Calvil SANTIAGO-CHILE 2010 -1- NOTA OBTENIDA: _______________ _________________________________ (Firma y timbre de autoridad responsable) -2- A mis padres Sergio Rebolledo y Marisol Calvil Y en memoria de Gonzalo Olave (Q.E.P.D.) -3- Agradecimientos: A Dios; A mi familia, por estar siempre conmigo y apoyarme en mis estudios; A Pabla Aravena Cádiz, por todo su apoyo y amor durante la realización de esta investigación; A mi profesor guía Eduardo Mera Garrido, por su apoyo y guía en el proceso de investigación; Al profesor René Zepeda Godoy, por sus indispensables sugerencias e incentivo; Al profesor Miguel Valladares Quiroz, por su apoyo e incentivo en la realización de mis estudios; A Sebastián Fuentes Santibáñez, por su desinteresado apoyo desde Curitiba (Brasil); A Jorge León (Geoinformación) y Stefan Bagladi (Ministerio de Bienes Nacionales), por proporcionarme los datos indispensables para la realización de esta investigación. A los profesores que participaron en mi formación profesional; A mis compañeros de carrera que ayudaron en la realización de esta investigación; Y a todos los que colaboraron de una u otra forma en el desarrollo de esta tesis. -4- RESUMEN El establecimiento de Sistemas Geodésicos de Referencia (SGR) modernos y de aplicación global, materializados a través de la tecnología satelital, principalmente con el Sistema de Posicionamiento Global (GPS), ha permitido la generación de cartografía de precisión ostensiblemente mejor que la generada por métodos clásicos. La densificación (en distintas escalas) de los SGR modernos, permite el nacimiento del proyecto “Sistema de Referencia Geocéntrico Para las Américas” (SIRGAS), el cual es una realidad en Chile, a través de la “Red Geodésica Nacional SIRGAS-Chile”. A partir de estos cambios se desprende la problemática abordada en este estudio, la cual consiste en el análisis de las implicancias que conlleva la compatibilización de bases cartográficas pertenecientes a SGR heterogéneos, a través de los modelos de transformación bidimensional y de Similaridad 3-D. Los distintos modelos de transformación son ajustados estadísticamente, a través del método paramétrico de mínimos cuadrados, el cual permite la estimación de los parámetros de transformación, a partir de observaciones homólogas pertenecientes a distintos SGR. El comportamiento de las precisiones de los modelos de transformación, las coordenadas transformadas y los residuos, permite analizar el nivel de significancia y uso alternativo de cada modelo de transformación. En la presente investigación, se analiza un caso concreto en la VII región de Chile; contando con treinta vértices geodésicos pertenecientes a los SGR PSAD-56 y SIRGAS, que permiten determinar el nivel de significancia que poseen los distintos modelos de transformación abordados en este estudio. -5- ABSTRACT The establishment of the Geodetic Reference System (GRS) modern and global application, materialized through satellite technology, especially with the Global Positioning System (GPS), has permitted the generation of mapping precision significantly better than that generated by classics methods. Densification (in different scales) of modern GRS, enables the birth of the "Geocentric Reference System for the Americas" (SIRGAS), which is a reality in Chile, through the "National Geodetic Network SIRGAS-Chile". From these changes it is clear the problems addressed in this study, which is the analysis of the implications involved in reconciling the cartographic bases belonging to heterogeneous GRS, through processing bidimentional models and Similarity 3-D. The various transformation models are statistically adjusted through the least squares parametric method, which allows the estimation of transformation parameters, based on observations from different SGR counterparts. The behavior of the detailed transformation models, the transformed coordinates and waste, to analyze the significance level and alternative use of each transformation model. The different processing models are statistically adjusted through the least squares parametric method, which allows the estimation of transformation parameters, from observations from different GRS counterparts. The behavior of the detailed of transformation models, the transformed coordinates and waste, to analyze the significance level and alternative use of each transformation model. In this research, we analyze a particular case in the Seventh Region of Chile, had thirty geodetic vertices belonging to the SGR-56 and SIRGAS PSAD, which determine the level of significance that have different processing models addressed in this study. -6- ÍNDICE 1. ANTECEDENTES GENERALES....................................................................................... 15 1.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 15 1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA............................................................................. 17 1.3. OBJETIVOS…. ................................................................................................................... 18 1.3.1. Objetivo General ............................................................................................................... 18 1.3.2. Objetivos Específicos........................................................................................................ 18 1.4. HIPÓTESIS DE TRABAJO................................................................................................. 19 1.5. JUSTIFICACIÓN Y CONTRIBUCIÓN DE LA INVESTIGACIÓN ................................. 20 2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS ........................................................................................... 21 2.1. SISTEMA DE GEODÉSICO DE REFERENCIA ............................................................... 21 2.1.1. Sistema Geodésico de Referencia Local ........................................................................... 21 2.1.1.1. Sistemas Geodésicos de Referencia Locales utilizados en Chile................... 22 2.1.2. Sistema Geodésico de Referencia Global ......................................................................... 24 2.1.2.1. International Terrestrial Reference System (ITRS) ....................................... 25 2.1.2.2. International Terrestrial Reference Frame (ITRF)......................................... 25 2.1.2.3. World Geodetic System 1984 (WGS 84)....................................................... 26 2.1.2.4. Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas (SIRGAS) ................ 27 2.2. PROYECCIÓN TRANSVERSA MERCATOR .................................................................. 31 2.2.1. Fórmulas de conversión de coordenadas geodésicas a coordenadas planas TM............... 32 2.2.2. Fórmulas de conversión de coordenadas planas TM a coordenadas geodésicas............... 33 2.2.3. Factor de distorsión de escala (m) ..................................................................................... 34 2.2.4. Convergencia Meridiana (C)............................................................................................. 35 2.2.5. Proyección Universal Transversal de Mercator (UTM).................................................... 36 2.3. MODELOS DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y DE SIMILARIDAD 3D .. 38 2.3.1. Modelos de transformación bidimensional ...................................................................... 38 2.3.1.1. Modelo de transformación de Similaridad 2-D.............................................. 38 2.3.1.1.1. Traslación ................................................................................... 39 2.3.1.1.2. Rotación θ................................................................................... 39 2.3.1.1.3. Escalamiento............................................................................... 41 2.3.1.1.4. Expresión general ....................................................................... 42 2.3.1.2. Modelo de transformación Afín 2-D.............................................................. 42 2.3.1.3. Modelo de transformación Proyectiva 2-D .................................................... 45 2.3.1.3. Modelo de transformación Polinomial 2-D ................................................... 50 2.3.2. Modelo de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas ........................................................... 51 2.3.2.1. Traslación....................................................................................................... 52 2.3.2.2. Rotación ......................................................................................................... 53 2.3.2.2.1. Rotación ω .................................................................................. 53 2.3.2.2.2. Rotación ε ................................................................................... 55 2.3.2.2.3. Rotación ψ .................................................................................. 56 -7- 2.3.2.3. Escalamiento.................................................................................................. 58 2.3.2.4. Centroide........................................................................................................ 59 2.3.4.5. Integración de diez parámetros en modelo de transformación MolodenskyBadekas....................................................................................................................... 59 2.4. AJUSTE GEODÉSICO........................................................................................................ 61 2.4.1. Tipos de error... ................................................................................................................. 62 2.4.2. Linealización de ecuaciones por serie de Taylor............................................................... 63 2.4.3. Matriz de Varianza-Covarianza (MVC)............................................................................ 64 2.4.4. Ley de propagación de covarianzas................................................................................... 65 2.4.5. Ajuste por el Método Paramétrico de Mínimos Cuadrados .............................................. 66 2.4.5.1. Modelo matemático ....................................................................................... 66 2.4.5.2. Ecuaciones normales...................................................................................... 69 2.4.5.3. Pesos en las observaciones............................................................................. 70 2.4.5.4. Matriz de Varianza-Covarianza ..................................................................... 71 2.4.5.5. Iteraciones ...................................................................................................... 72 2.4.5.6. Test de Chi-Cuadrado ( χ 2 )........................................................................... 73 2.4.5.7. Eliminación de errores groseros..................................................................... 74 2.4.6. Elipse de Error................................................................................................................... 74 3. METODOLOGÍA ................................................................................................................. 78 3.1. DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO................................................................ 78 3.2. DETERMINACIÓN DE TOLERANCIA RESIDUAL ....................................................... 80 3.3. CONVERSIÓN DE COORDENADAS............................................................................... 81 3.4. DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS DE PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA.......... 83 3.4.1. Universal Transversal de Mercator (UTM)....................................................................... 83 3.5. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN EN MODELOS DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y DE SIMILARIDAD 3-D .................................. 84 3.5.1. Modelos Matemáticos de Ajuste ....................................................................................... 84 3.5.1.1. Modelo matemático de ajuste de transformación de Similaridad 2-D ........... 84 3.5.1.2. Modelo matemático de ajuste de transformación Afín 2-D ........................... 86 3.5.1.3. Modelo matemático de ajuste de transformación Proyectiva 2-D ................. 87 3.5.1.4. Modelo matemático de ajuste de transformación Polinomial 2-D................. 89 3.5.1.5. Modelo matemático de ajuste de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas.................................................................................................. 90 3.5.2. Matriz de Pesos ................................................................................................................. 92 3.5.3. Ecuaciones Normales ........................................................................................................ 92 3.5.4. Iteraciones….. ................................................................................................................... 92 3.6. DETERMINACIÓN DE MATRICES DE VARIANZA-COVARIANZA ......................... 93 3.6.1. MVC en Modelo de transformación de Similaridad 2-D .................................................. 93 3.6.2. MVC en Modelo de transformación Afín 2-D .................................................................. 94 3.6.3. MVC en Modelo de transformación Proyectiva 2-D ........................................................ 94 3.6.4. MVC en Modelo de transformación Polinomial 2-D ........................................................ 95 -8- 3.6.5. MVC en Modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas .............. 95 3.7. TEST DE CHI-CUADRADO ( χ 2 )..................................................................................... 97 3.8. ELIMINACIÓN DE ERRORES GROSEROS .................................................................... 98 3.9. PROPAGACIÓN DE COVARIANZAS ............................................................................. 99 3.9.1. Propagación de Covarianzas a las Coordenadas Geodésicas ............................................ 99 3.9.2. Propagación de Covarianzas a las Coordenadas Planas UTM ........................................ 101 3.10. ESTIMACIÓN DE ELIPSES DE ERROR ..................................................................... 103 3.10.1. Estimación de Elipses de Error en Coordenadas Planas UTM...................................... 103 3.11. DETERMINACIÓN DE LOS RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES .................... 104 3.12. DETERMINACIÓN DE LA VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA MERIDIANA ........................................................................................... 104 3.13. DETERMINACIÓN DE LOS RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL............ 105 4. RESULTADOS.................................................................................................................... 106 4.1. PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN..................................................................... 106 4.2. ELIPSES DE ERROR........................................................................................................ 113 4.3. RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES ....................................................................... 120 4.4. ESTADÍSTICA ( χ 2 )......................................................................................................... 127 4.5. ELIMINACIÓN DE OBSERVACIONES......................................................................... 129 4.6. VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA MERIDIANA .. 131 4.7. RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL............................................................... 133 5. ANÁLISIS DE RESULTADOS ........................................................................................ 136 5.1. ANÁLISIS DE LOS PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN................................... 136 5.2. ANÁLISIS DE LAS ELIPSES DE ERROR...................................................................... 138 5.3. ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES ..................................... 142 5.4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO ( χ 2 ) ..................................................................................... 146 5.5. ANÁLISIS DE LAS OBSERVACIONES ELIMINADAS ............................................... 148 -9- 5.6. ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA MERIDIANA ........................................................................................... 149 5.5. ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL............................. 151 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................ 152 6.1. CONCLUSIONES ............................................................................................................. 152 6.2. RECOMENDACIONES .................................................................................................... 155 7. BIBLIOGRAFÍA................................................................................................................. 156 8. ANEXOS.............. ................................................................................................................ 159 I. REFERENCIALES GEODÉSICOS ...................................................................................... 160 Elipsoide de revolución............................................................................................................. 161 Radios de curvatura de secciones normales.............................................................. 162 Radio de curvatura de la elipse meridiana................................................ 163 Radio de curvatura del primer vertical ..................................................... 163 Arcos en el elipsoide................................................................................................. 164 Longitud de arco de paralelo .................................................................... 165 Longitud de arco de meridiano................................................................. 166 Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio .................................................................... 168 Sistema de coordenadas geodésicas curvilíneas........................................................................ 168 Latitud geodésica ...................................................................................................... 169 Longitud geodésica ................................................................................................... 169 Altura elipsoidal........................................................................................................ 170 Relación matemática entre coordenadas cartesianas y geodésicas curvilíneas ......................... 170 Sistema de referencia vertical ................................................................................................... 172 Superficies de referencia para la definición de alturas ............................................. 172 Geoide....................................................................................................... 173 Cuasi – Geoide.......................................................................................... 173 Elipsoide .................................................................................................. 173 Alturas de tipo geométrico........................................................................................ 173 Alturas niveladas ...................................................................................... 173 Alturas elipsoidales................................................................................... 174 Alturas de tipo físico................................................................................................. 175 Alturas dinámicas ..................................................................................... 175 Alturas normales....................................................................................... 175 Alturas ortométricas ................................................................................. 176 II. COORDENADAS DE VÉRTICES GEODÉSICOS............................................................ 177 III. COORDENADAS DE PUNTOS DE CONTROL.............................................................. 180 - 10 - Índice de tablas Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 Tabla 5 Tabla 6 Tabla 7 Tabla 8 Tabla 9 Tabla 10 Tabla 11 Tabla 12 Tabla 13 Tabla 14 Tabla 15 Tabla 16 Tabla 17 Tabla 18 Tabla 19 Tabla 20 Tabla 21 Tabla 22 Tabla 23 Parámetros elipsoidales SGR PSAD-56............................................................. 23 Parámetros elipsoidales SGR SAD-69............................................................... 23 Parámetros elipsoidales SGR WGS-84 .............................................................. 27 Parámetros elipsoidales SGR SIRGAS .............................................................. 30 Precisiones residuales......................................................................................... 80 Parámetros de transformación modelo de Similaridad 2-D ............................. 107 Parámetros de transformación modelo Afín 2-D.............................................. 107 Parámetros de transformación modelo de Proyectivo 2-D............................... 108 Parámetros de transformación modelo de Polinomial 2-D .............................. 109 Parámetros de transformación modelo Molodensky-Badekas 3-D .................. 110 Parámetros de transformación modelo de Similaridad 2-D (recalculado) ....... 111 Parámetros de transformación modelo Afín 2-D (recalculado)........................ 111 Parámetros de transformación modelo Molodensky-Badekas 3-D (recalculado) .................................................................................................... 112 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1-2 .................................................... 127 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1........................................................ 127 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z2........................................................ 128 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1-2 (Modelos de transformación recalculados).................................................................................................... 128 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1 (Modelos de transformación recalculados)..................................................................................................... 128 Observaciones eliminadas en modelo de Similaridad 2-D (Z1-2) ................... 129 Observaciones eliminadas en modelo Molodensky-Badekas (Z1-2) ............... 129 Observaciones eliminadas en modelo Afín 2-D (Z1-2).................................... 129 Observaciones eliminadas en modelo de Similaridad 2-D (Z1)....................... 130 Observaciones eliminadas en modelo Molodensky-Badekas (Z1) .................. 130 - 11 - Índice de figuras Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7 Figura 8 Figura 9 Figura 10 Figura 11 Figura 12 Figura 13 Figura 14 Figura 15 Figura 16 Figura 17 Figura 18 Figura 19 Figura 20 Figura 21 Figura 22 Figura 23 Figura 24 Figura 25 Figura 26 Figura 27 Figura 28 Definición del sistema de coordenadas WGS 84 ............................................... 26 Red de densificación de marcos de referencia................................................... 28 Estaciones GPS campaña SIRGAS 1995........................................................... 29 Estaciones GPS campaña SIRGAS 2000........................................................... 30 Convergencia meridiana .................................................................................... 35 Traslaciones en modelo de transformación de similaridad 2-D......................... 39 Rotación θ en modelo de transformación de similaridad 2-D.......................... 40 Factor de escala k en modelo de transformación de similaridad 2-D ................ 41 Sistemas no ortogonales en modelo de transformación Afín 2-D...................... 43 Sistemas de coordenadas en modelo de transformación Proyectiva 2-D........... 45 Rotaciones en modelo de transformación Proyectiva 2-D................................. 46 Sistemas paralelos en modelo de transformación Proyectiva 2-D ..................... 47 Traslaciones tridimensionales expresadas en los incrementos ∆x , ∆y , ∆z ..... 52 Rotación ω ........................................................................................................ 53 Vista de ejes cartesianos bidimensionales, a partir de una rotación ω ............. 53 Rotación ε ........................................................................................................ 55 Rotación ψ ........................................................................................................ 56 Factor de escala k............................................................................................... 58 Modelo de transformación Molodensky-Badekas ............................................. 58 Elipse de error.................................................................................................... 77 Distribución de vértices geodésicos, VII Región del Maule.............................. 78 Magnitud de variación de distorsión de escala ................................................ 131 Magnitud de variación de convergencia meridiana ......................................... 132 Radio de curvatura de la elipse meridiana ....................................................... 163 Radio de curvatura del primer vertical............................................................. 164 Longitud de arco de paralelo (Sp) y longitud de arco de meridiano (Sm)....... 165 Sistema de coordenadas cartesianas y geodésicas ........................................... 170 Alturas niveladas ............................................................................................. 174 - 12 - Índice de gráficos Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3 Gráfico 4 Gráfico 5 Gráfico 6 Gráfico 7 Gráfico 8 Gráfico 9 Gráfico 10 Gráfico 11 Gráfico 12 Gráfico 13 Gráfico 14 Gráfico 15 Gráfico 16 Gráfico 17 Gráfico 18 Gráfico 19 Gráfico 20 Gráfico 21 Gráfico 22 Gráfico 23 Gráfico 24 Gráfico 25 Gráfico 26 Gráfico 27 Gráfico 28 Gráfico 29 Gráfico 30 Gráfico 31 Gráfico 32 Gráfico 33 Gráfico 34 Gráfico 35 Gráfico 36 Gráfico 37 Gráfico 38 2σ máximo y mínimo, zona Z1-2..................................................................... 113 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1-2 ......................................................................................................... 114 Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1-2......................................................................................................... 114 2σ máximo y mínimo, zona Z1 ........................................................................ 115 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1 ... 115 Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1 .. 116 2σ máximo y mínimo, zona Z2 ........................................................................ 116 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z2 ... 117 Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z2 .. 117 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Afín 2-D, zona Z1-2 (2).... 118 2σ máximo y mínimo, modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas , zona Z1-2 (2).......................................................... 118 2σ máximo y mínimo, modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas , zona Z1 (2) ............................................................ 119 Residuos coordenada este, zona Z1-2 .............................................................. 120 Residuos coordenada norte, zona Z1-2 ............................................................ 121 Residuos coordenada este, zona Z1 ................................................................. 121 Residuos coordenada norte, zona Z1 ............................................................... 122 Residuos coordenada este, zona Z2 ................................................................. 122 Residuos coordenada norte, zona Z2 ............................................................... 123 Residuos coordenada este, zona Z1-2 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas ......................................................... 123 Residuos de coordenada norte, zona Z1-2 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas ......................................................... 124 Residuos coordenada este, zona Z1-2 (2), modelo de transformación Afín 2-D .......................................................................................................... 124 Residuos coordenada norte, zona Z1-2 (2), modelo de transformación Afín 2-D .......................................................................................................... 125 Residuos coordenada este, zona Z1 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas ........................................................ 125 Residuos coordenada norte, zona Z1 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas ........................................................ 126 Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z1-2............................ 133 Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z1-2.......................... 133 Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z1 ............................... 134 Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z1 ............................. 134 Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z2 ............................... 134 Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z2 ............................. 135 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z1-2................................................................ 139 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z1 ................................................................... 140 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z2 ................................................................... 140 Residuos máximos y mínimos, zona Z1-2 ....................................................... 142 Residuos máximos y mínimos, zona Z1 .......................................................... 143 Residuos máximos y mínimos, zona Z2 .......................................................... 144 Residuos máximos y mínimos, zona Z1-2 (2).................................................. 145 Residuos máximos y mínimos, zona Z1 (2)..................................................... 145 - 13 - Abreviaturas 2-D 3-D BIH C CTP DORIS GLONASS GPS GRS-80 IAG IERS IGAC IGS ILRS IPGH ITRF ITRS IVS LLR m MMC MUTM MVC NGA NIMA ppm PSAD-56 SAD-69 SGR SI SIRGAS SLR TGC TM UIGG UTM WGS-84 VLBI Dos dimensiones Tres dimensiones Bureau Internacional de L’Heure Convergencia meridiana Conventional Terrestrial Pole Doppler Orbitography by Radio-Positioning Integrated on Satellite Global Navigation Satellite System Global Positioning System Geodetic Reference System 1980 International Association of Geodesy International Earth Rotation and Reference System Instituto Geográfico Agustín Codazzi International GPS Service International Laser Ranging Service Instituto Panamericano de Geografía e Historia International Terrestrial Reference Frame International Terrestrial Reference System International VLBI Service for Geodesy and Astrometry Lunar Laser Ranking Factor de distorsión de escala Método de Mínimos Cuadrados Modificación de proyección Universal Transversal de Mercator Matriz de Varianza-Covarianza Nacional Geoespatial – Intelligency Agency National Imagery and Mapping Agency partes por millón Provisional South American Datum 1956 South American Datum 1969 Sistema Geodésico de Referencia Sistema Internacional Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas Satellite Laser Ranking Tiempo Geocéntrico Coordinado Transversa Mercator International Union of Geodesy and Geophisics Universal Transversal de Mercator World Geodetic System 1984 Very Long Baseline Interferometry - 14 - CAPÍTULO 1 ANTECEDENTES GENERALES 1.1. INTRODUCCIÓN Actualmente, las técnicas modernas de posicionamiento han generado un cambio significativo en la precisión lograda en los distintos productos cartográficos, debido a esta razón, la implementación del proyecto SIRGAS y sus distintas densificaciones, significa una migración desde SGR clásicos a modernos. Por consecuencia de lo anterior, se hace necesario el estudio de modelos de transformación, que permitan compatibilizar bases cartográficas pertenecientes a distintos SGR. El presente estudio corresponde a un análisis de las precisiones que entregan los modelos de transformación bidimensional y de Similaridad 3-D, aplicando el método paramétrico de mínimos cuadrados, con el propósito de determinar los modelos de transformación que tengan una aplicación óptima en el proceso de cambio de referencial en las bases cartográficas de escala grande. A continuación, se describe brevemente el contenido fundamental de cada capítulo de este estudio. En el capítulo N°1, se exponen antecedentes generales acerca de la temática de estudio, tales como: el planteamiento de la problemática, los objetivos, la hipótesis de trabajo, la justificación y contribución de la investigación. En el capítulo N°2, se establecen los fundamentos teóricos de la investigación, revisando temáticas como: los SGR locales y globales, el sistema de proyección cartográfica TM, los modelos de transformación bidimensional y de Similaridad 3-D; y por último, el ajuste geodésico a través del método paramétrico de mínimos cuadrados. - 15 - En el capítulo N°3, se expone la metodología utilizada principalmente para la determinación de los parámetros de transformación, residuos, precisiones, estadística, variaciones de distorsión de escala y convergencia meridiana, correspondiente a los distintos modelos de transformación en las distintas zonas. El capítulo N°4, presenta los resultados obtenidos a través de la metodología planteada. El capítulo N°5, corresponde al análisis de los resultados obtenidos. En el capítulo N°6, se exponen las conclusiones y recomendaciones alcanzadas tras el análisis de resultados. Finalmente, en el capítulo N°7, se incluye en el anexo una revisión de los referenciales geodésicos, el elipsoide de revolución, los sistemas de coordenadas tridimensionales y geodésicas, el sistema de referencia vertical, y las coordenadas de los vértices geodésicos utilizados en esta investigación. - 16 - 1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. El desarrollo e implementación de SGR globales ha llevado a establecer distintas redes de densificación terrestre, una de estas densificaciones corresponde al “Sistema de Referencia Geocéntrico Para las Américas” (SIRGAS). Por otra parte, existieron algunos SGR locales como: PSAD-56 y SAD-69, con los cuales se levantó gran parte de la cartografía nacional en sus distintas escalas. Debido a que la vigencia de un SGR está determinada por su uso, la introducción de SGR modernos, implica una migración desde SGR locales a SGR globales. En este proceso existen diversos problemas que afectan la homologación de bases cartográficas pertenecientes a distintos SGR. Para poder establecer una compatibilización de bases cartográficas se deben considerar algunos factores como: el nivel de precisión requerido, número de vértices geodésicos comunes a ambos sistemas, área de ajuste, entre otros. Estos factores se pueden desarrollar en los modelos de transformación, los cuales permiten compatibilizar sistemas de referencia heterogéneos, a través de parámetros de transformación. Los modelos de transformación abordados en este estudio corresponden al modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas y los modelos de transformación bidimensional: Afín 2-D, Similaridad 2-D, Proyectiva 2-D y Polinomial 2-D. Cada uno de estos modelos entrega distintos niveles de precisión, los cuales deben ser analizados con el propósito de establecer las distintas aplicaciones en el proceso de compatibilización de bases cartográficas, entre los SGR PSAD-56 y SIRGAS; considerando como referencia las precisiones asociadas a escalas grandes de representación cartográfica. Por lo tanto, el análisis de los modelos de transformación, permite conocer sus funcionalidades relacionadas con los distintos niveles de precisión asociados a cada modelo, para así evaluar su calidad y significancia. - 17 - 1.3. OBJETIVOS. 1.3.1. Objetivo General: - Analizar los modelos de transformación bidimensional y modelo de Similaridad 3-D, con el propósito de determinar el nivel de significancia del ajuste de vértices geodésicos asociados a bases cartográficas de escala grande, pertenecientes a los SGR PSAD-56 y SIRGAS, a través del análisis de los residuos y las precisiones, generadas en el proceso de ajuste por el MMC, en los vértices geodésicos y la propagación de error a las coordenadas planas. 1.3.2. Objetivos Específicos: - Definir la tolerancia residual en el ajuste de vértices geodésicos asociados a bases cartográficas en escalas grandes. - Definir los parámetros de la proyección cartográfica a utilizar en el proceso de ajuste. - Determinar los parámetros de ajuste correspondientes a cada modelo de transformación, a partir de la aplicación del MMC en el ajuste de observaciones. - Determinar la MVC de los parámetros de transformación, observaciones y residuos, correspondientes a cada modelo de ajuste. - Determinar la propagación de error desde las coordenadas tridimensionales a las coordenadas planas, con el propósito de hacer comparables los modelos de transformación bidimensional y el modelo de Similaridad 3-D. - Analizar comparativamente las precisiones entregadas por cada modelo de transformación en las coordenadas planas, a través de la MVC, las elipses de error y residuos de las observaciones. - Determinar y analizar la variación de distorsión de escala y convergencia meridiana, generada en el proceso de transformación de bases cartográficas. - 18 - 1.4. HIPÓTESIS DE TRABAJO. Los modelos de transformación bidimensional (Similaridad 2-D, Afín 2-D, Proyectiva 2-D, Polinomial 2-D) y modelo de Similaridad 3-D (Molodensky-Badekas), entregan distintos niveles de precisión en los ajustes, los cuales pueden resultar insuficientes en la compatibilización de bases cartográficas entre sistemas clásicos y modernos a escalas grandes. - 19 - 1.5. JUSTIFICACIÓN Y CONSTRIBUCIÓN DE LA INVESTIGACIÓN Con el propósito de cumplir con los objetivos de esta investigación, se acude al empleo de técnicas de ajuste de observaciones, a través del método paramétrico de mínimos cuadrados en el ajuste de vértices geodésicos, asociados a bases cartográficas de escalas grandes; con el propósito de determinar la significancia que poseen algunos modelos de transformación bidimensional y un modelo de transformación tridimensional de similaridad. De esta manera, los resultados de esta investigación se apoyan en la aplicación de métodos teóricos de ajuste aplicados al plano cartográfico, que permitirán dar un apoyo en los procesos de ajuste, a través de modelos de transformación que puedan cumplir con los requerimientos de precisión en trabajos de tipo cartográfico, relacionados con un cambio de referencial. La contribución que se espera de este trabajo es poder entregar: • Definiciones analíticas acerca de los modelos de transformación estudiados. • Una metodología para el análisis de las precisiones del ajuste de bases cartográficas de escala grande. • Un análisis comparativo entre modelos de transformación bidimensional y un modelo tridimensional de similaridad, a través de la propagación de error a las coordenadas planas. • La determinación de un(os) modelo(s) de transformación idóneos para la compatibilización de bases cartográficas que poseen SGR heterogéneos y escala grande. - 20 - CAPÍTULO 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 2.1. SISTEMA GEODÉSICO DE REFERENCIA. Según DREWES y SÁNCHEZ (2004, p. 3), un Sistema Geodésico de Referencia (SGR) está compuesto por un: • Sistema de referencia: corresponde al conjunto de convenciones y conceptos teóricos que definen en cualquier momento modelos, parámetros, constantes, etc.; los cuales sirven de base para describir el estado geométrico o los procesos físicos de la Tierra o de la superficie terrestre. • Marco de referencia: corresponde a la realización o materialización de un sistema de referencia por distintas entidades físicas y matemáticas. Un sistema de referencia no tiene aplicación práctica si no se utiliza un marco de referencia, el cual proporcione puntos de control que mantengan actualizado el sistema de referencia (IGAC, 2004, P. 3). Los diversos sistemas de referencia se clasifican según su dimensionalidad (Zepeda et al., 2002, p. 4): • 1 dimensión = Altimetría: Elipsoídica, Ortométrica, Científica. • 2 dimensiones = Planimetría: Curvilíneo (redes clásicas), plano topográfico. • 3 dimensiones = Espacial: GPS, GLONASS. • 4 dimensiones = Tetradimensional: Operaciones de control, ITRF, SIRGAS. 2.1.1. Sistema Geodésico de Referencia Local Un SGR de tipo local está determinado por un datum geodésico local, el cual se define como los parámetros que conectan las mediciones con el sistema de referencia, además se define un - 21 - punto fundamental o punto datum, donde se determinan parámetros como la orientación (dirección) y el origen de las coordenadas (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 7). Los SGR locales son sistemas cuasi-geocéntricos, es decir, poseen una considerable desviación del geocentro y están asociados a un elipsoide de referencia, cuyo objetivo es ajustar el geoide a una zona determinada del globo (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 24). Un punto fundamental o punto datum debe contar con: coordenadas astronómicas (Φ, Λ), coordenadas geodésicas (φ, λ), altura Ortométrica ( H ortom ), azimut hacia otro vértice (astronómico y geodésico), componente meridiana ( ξ ), primer vertical ( η ) y ondulación geoidal (N) nula (MIRANDA, p. 2). Los SGR locales están relacionados a coordenadas bidimensionales, ya sean estas geodésicas curvilíneas (φ, λ) o planas (norte y este). La altura (H) se determina mediante un sistema de referencia vertical, el cual es independiente del sistema bidimensional (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 7). Según Zepeda (2004, p. 49), las precisiones entregadas por una materialización de un sistema local de primer orden corresponden a 10 ppm. Sin embargo, la zona de efectividad de este nivel de precisión estará limitada por la relación geométrica que exista entre el elipsoide y el geoide, pudiendo alcanzar errores relativos a decenas de metros en áreas bastante lejanas del punto datum (FUENTES, 2006, p. 55). 2.1.1.1. Sistemas Geodésicos de Referencia Locales utilizados en Chile. Los principales SGR locales utilizados en Chile corresponden a: • PSAD-56 (Datum Provisorio Sudamericano de 1956): Alrededor de la década de 1940 y parte de 1950, diversos países de Latinoamérica y el Ejercito de Estados Unidos, construyeron una red geodésica desde México hasta el sur de Chile (FUENTES, 2006, p. 56). En el año 1948, en la IV reunión de consulta de la Comisión de Cartografía del Instituto Panamericano de Geografía e Historia (IPGH), se propuso que el punto fundamental o punto datum debía quedar entre los paralelos 18º y 27º de latitud sur, y entre - 22 - los meridianos 55º a 63º de longitud oeste. Posteriormente, en el año 1956, se estableció como punto datum La Canoa en Venezuela; utilizando como elipsoide de referencia el Internacional de Hayford de 1924 (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 26). Este elipsoide de referencia posee los siguientes parámetros (ver tabla 1): Elipsoide a f Internacional de Hayford 1924 6378388 1:297 Tabla 1: Parámetros elipsoidales SGR PSAD-56. Fuente: IGM, RGN SIRGAS-Chile, Nuevo Marco de Referencia Geodésico 2008. Este SGR se utilizó para la elaboración de cartografía regular de escala 1:50.000, entre los 17º 30’ a 43º 30’ de latitud sur (RGN SIRGAS – Chile, 2008, p. 6). • SAD-69 (Datum Sudamericano de 1969): En el año 1958, en la VIII Reunión de Consulta realizada por el IPGH, mediante la resolución Nº 26, se establece la necesidad de un punto datum para la zona central de Sudamérica. La ubicación de este nuevo punto datum está comprendida entre los paralelos 15º y 27º de latitud sur, y entre los meridianos 45º a 63º de longitud oeste (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 27). El establecimiento de este nuevo SGR nació de la inseguridad que provocaba el datum PSAD-56, en las zonas más cercanas al sur del continente, ya que, la precisión del transporte de coordenadas no es mejor que 10 ppm, llegando a deformaciones cercanas a los 50 m en el valor de una coordenada de primer orden respecto del origen del datum (FUENTES, 2006, p. 57). En la adopción de este SGR se utilizó el elipsoide Sudamericano de 1969, el cual posee los siguientes parámetros elipsoidales (ver tabla 2): Elipsoide a f Sudamericano de 1969 6378160 1:298,25 Tabla 2: Parámetros elipsoidales SGR SAD-69. Fuente: IGM, RGN SIRGAS-Chile, Nuevo Marco de Referencia Geodésico 2008. - 23 - Este SGR se utilizó para la elaboración de cartografía regular de escala 1:50.000, entre los 43º 30’ a 56º de latitud sur (RGN SIRGAS – Chile, 2008, p. 6). 2.1.2. Sistema Geodésico de Referencia Global. Este tipo de sistemas de referencia fue desarrollado por distintas organizaciones internacionales, con el propósito de poder establecer controles geodésicos tridimensionales en cualquier parte de la Tierra (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 27). El Departamento de Defensa de los Estados Unidos implementó distintos Sistemas Geodésicos Mundiales (WGS), dentro de los cuales se encuentran: WGS-60, WGS-66, WGS-72 y WGS-84. La principal característica de estos sistemas es el origen geocéntrico de las coordenadas cartesianas tridimensionales asociadas. Debido al origen militar de estos sistemas, la Asociación Internacional de Geodesia (IAG), desarrolla algunos sistemas de referencia global de tipo civil, los cuales son conocidos como GRS y corresponden a: GRS-67 y GRS-80 (IGAC, 2004, p. 7). Según DREWES y SÁNCHEZ (2004, p. 7), la definición de un SGR moderno (global) posee las siguientes características: • El origen del sistema es el centro de masa terrestre (geocentro). • La orientación del sistema se establece por el eje de rotación de la Tierra. • La escala del sistema se genera por la constante gravitacional geocéntrica GM. • Las coordenadas del sistema son tridimensionales (x, y, z o norte, este, altura (h)). Según DREWES y SÁNCHEZ (2004, p. 9), los SGR globales, son instalados y mantenidos por distintos servicios científicos que utilizan distintas técnicas de medición, estos corresponden a: • Servicio Internacional de GPS (IGS) • Servicio Internacional de Rastreo Laser (ILRS) - 24 - • Servicio Internacional de Interferometría sobre Líneas de Bases muy Largas (International VLBI Service for Geodesy and Astrometry, IVS) 2.1.2.1. International Terrestrial Reference System (ITRS). El Servicio Internacional de Rotación Terrestre y Sistemas de Referencia (IERS), es el organismo encargado de la determinación y entrega de información científica, relacionada con los parámetros de orientación terrestre y realización de sistemas de referencia de tipo internacional (IERS, 2004, p. 24). Según el IERS (2004, p. 25), la definición del ITRS cumple con las siguientes condiciones: • Es geocéntrico, coincide con el centro de masa de la Tierra (incluyendo océanos y atmósfera). • La unidad de longitud corresponde al metro (SI), la escala del sistema es consistente con el Tiempo Geocéntrico Coordinado (TGC); de acuerdo con las resoluciones determinadas por la IAG y UIGG en 1991, las que se obtienen apropiadamente de un modelo relativista. • La orientación del sistema fue dada inicialmente por la BIH, orientación en 1984.0 • La evolución temporal de la orientación se garantiza mediante el uso de una red sin rotación (no-net-rotation), condición respecto a los movimientos tectónicos horizontales en toda la Tierra. 2.1.2.2. International Terrestrial Reference Frame (ITRF). El ITRF corresponde a la materialización de un sistema de referencia, basado en técnicas espaciales de posicionamiento de alta precisión. Históricamente, han existido distintas versiones de ITRF, partiendo con el ITRF correspondiente al año 1988, conocido como ITRF-0 (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 29); hasta la publicación de la IERS Conventions (2003), la última versión corresponde al ITRF2000 (IERS, 2004, p. 27). Este marco de referencia está basado en técnicas - 25 - espaciales, dentro de las cuales se encuentra: VLBI, LLR, SLR, DORIS y GPS. La principal utilidad que presenta un ITRF, corresponde al cálculo de las efemérides precisas de los satélites GPS, las cuales garantizan que cualquier punto en la Tierra que esté ligado al ITRF vigente, está en el mismo sistema de referencia utilizado por los satélites (IGAC, 2004, p. 12). 2.1.2.3. World Geodetic System 1984 (WGS-84). Este sistema de referencia fue creado por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos, y tiene por objetivo servir de base a las técnicas modernas de posicionamiento (FUENTES, 2006, p. 60). Según el NIMA (1997, p. 24), la definición de este sistema corresponde a los criterios establecidos por el IERS (ver 2.1.2.1.). Este sistema es compatible con un ITRF (ZEPEDA, 2004, p. 53), debido a los siguientes aspectos (NIMA, 1997, p. 25) (ver figura 1): • Origen geocéntrico del sistema, ya que, coincide con el centro de masas de la Tierra incluyendo atmósfera y océanos. • Eje z se encuentra en la dirección del polo de referencia IERS, esta dirección corresponde a la del Polo Terrestre Convencional (CTP). • Eje x corresponde a la intersección del meridiano de referencia IERS y el plano ecuatorial. • Eje y completa el sistema ortogonal dextrógiro (hacia la derecha). Figura 1: Definición del sistema de coordenadas WGS-84. Fuente: NIMA Tecnical Reports – 3º edición. - 26 - Este SGR posee un elipsoide de referencia asociado al sistema cartesiano, el cual corresponde a WGS-84. Posee diversos refinamientos que corresponden a: WGS-84 (G730), WGS84 (G873) y WGS-84 (G1150); este último es compatible con el ITRF2000 (ZEPEDA, 2004, p. 53). Los parámetros que lo definen son los siguientes (ver tabla 3): Elipsoide a f Velocidad angular ω WGS - 84 6378137 1 : 298,257223563 Constante gravitacional GM 7292115* 1011 rad/s 3986005* 10 8 m³/s² Tabla 3: Parámetros Elipsoidales SGR WGS-84. Fuente: IGM, RGN SIRGAS-Chile, Nuevo Marco de Referencia Geodésico 2008. 2.1.2.4. Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas (SIRGAS). El proyecto SIRGAS fue creado en la Conferencia Internacional para la Definición de un Referencial Geocéntrico para América del Sur, la cual se realizó en Asunción (Paraguay), en octubre de 1993. Dentro de las instituciones participante se encuentran el ex NIMA (actualmente NGA), IPGH, IAG y cada uno de los institutos de los países comprometidos (IGM, 2008, p. 8). El objetivo principal del proyecto SIRGAS es definir, materializar y mantener el sistema de referencia geocéntrico tridimensional para las américas (SIRGAS, 2002, p. 101), este objetivo principal se establece mediante los siguientes conceptos establecidos en el estatuto del proyecto SIRGAS, aprobado por el comité respectivo el 22 de octubre de 2002: • Definición de un sistema de referencia geocéntrico tridimensional. • Establecimiento y mantenimiento de un marco de referencia geocéntrico (conjunto de estaciones con coordenadas geocéntricas [x, y, z], de alta precisión y su variación con el tiempo [Vx, Vy, Vz]). • Definición y establecimiento de un datum geocéntrico. • Definición y materialización de un sistema de referencia vertical único, con alturas físicas y geométricas consistentes, y la determinación de los cambios del marco de referencia con respecto al tiempo. - 27 - La necesidad de creación del proyecto SIRGAS, se debe a que las estaciones ITRF ofrecen un cubrimiento de carácter mundial, por lo tanto, resultan insuficientes en la utilización práctica por parte de consumidores y generadores de información georreferenciada. Debido a esta razón, se hace necesario el establecimiento de densificaciones continentales, nacionales y regionales, que tengan acceso directo a un marco de referencia global (IGAC, 2004, p. 12). Estas densificaciones son expresadas en distintas escalas (ver figura 2). Figura 2: Red de densificación de marcos de referencia. Fuente: IGM, RGN SIRGAS-Chile, Nuevo Marco de Referencia Geodésico 2008. Existen dos marcos de referencia SIRGAS realizados continentalmente. El primer marco de referencia corresponde a SIRGAS 1995. Para su realización se llevó a cabo una campaña compuesta por 58 estaciones GPS, distribuidas en Sudamérica, en el periodo comprendido entre el 26 de mayo y el 4 de junio de 1995 (ver figura 3). Los resultados obtenidos por esta campaña fueron divulgados por la asamblea de la Asociación Internacional de Geodesia (IAG), la cual se realizó en Río de Janeiro en septiembre de 1997. Las coordenadas del marco de referencia SIRGAS 1995 están asociadas al ITRF94, época 1995.4 (IGM, 2008, p. 10). - 28 - Figura 3: Estaciones GPS campaña SIRGAS 1995 Fuente: SIRGAS – Relatorio Final, Grupos de Trabajo I y II, 1997. El segundo marco de referencia corresponde a SIRGAS 2000. Para su realización se llevó a cabo una campaña compuesta por un total de 184 estaciones GPS (ver figura 4), en el periodo comprendido entre el 10 y 19 de mayo de 2000 (SIRGAS, 2002, P. 11 y 12). Esta campaña incluyó las estaciones del proyecto SIRGAS 1995 y estaciones mareográficas, las cuales definen el referencial altimétrico (IGM, 2008, p. 11). Con el propósito de establecer un sistema de referencia vertical único, se estableció un nuevo grupo de trabajo denominado “Datum Vertical Grupo de Trabajo III” (GTIII). Este grupo de trabajo busca dar solución al sistema de referencia vertical, a través de dos tipos de alturas: elipsoidales y físicas (IGAC, 2004, p. 16). - 29 - Figura 4: Estaciones GPS campaña SIRGAS 2000. Fuente: SIRGAS – Boletín Informativo Nº6. Este SGR posee un elipsoide de referencia asociado al sistema cartesiano, el cual corresponde al GRS-80, además posee los siguientes parámetros elipsoidales (ver tabla 4): Elipsoide a f Velocidad angular ω GRS - 80 6378137 1 : 298,257222101 Constante gravitacional GM 7292115* 1011 rad/s 3986005* 10 8 m³/s² Tabla 4: Parámetros Elipsoidales SGR SIRGAS. Fuente: IGM, RGN SIRGAS-Chile, Nuevo Marco de Referencia Geodésico 2008. - 30 - 2.2. PROYECCIÓN TRANSVERSA MERCATOR. Una proyección Transversa Mercator (TM), corresponde a una representación plana conforme del elipsoide, la cual predomina sobre otros sistemas proyectivos de representación conforme utilizados en Geodesia (BLACHUT et al., 1979, p. 43). Esta proyección fue desarrollada por Johann Heinrich Lambert, en el año 1772 (HERNÁNDEZ, 2000, p. 83), resolviendo el problema de pérdida de escala y estimando colocar el cilindro de manera perpendicular (transversal) al eje del mundo. Posteriormente, en el año 1822, Carl Friedrich Gauss desarrolla matemáticamente la proyección considerando el elipsoide de revolución como superficie de referencia (ZEPEDA, 2004, p. 74). Entre los años 1912 y 1919, L. Krugger completa el desarrollo de la proyección TM y publica las fórmulas que permiten su cálculo numérico (HERNÁNDEZ, 2000, p. 83). Para que la proyección cartográfica TM corresponda a una representación conforme debe cumplirse una condición de conformidad, la cual establece que los incrementos diferenciales de arcos de meridiano sean iguales a los incrementos diferenciales de arcos de paralelo (FUENTES, 2006, p. 84). Según MOLINA (2007, p. 24 y 25), si se considera la distorsión de escala (m) como la razón entre un segmento infinitesimal en la superficie de proyección y su homólogo en la superficie de referencia. La condición de conformidad también puede establecerse tomando en cuenta un valor único de distorsión de escala (m) por punto evaluado en la proyección, es decir, considerar que la distorsión de escala alrededor de los meridianos ( mφ ) sea igual a la distorsión de escala alrededor de los paralelos ( mλ ), estableciendo la relación: mφ = mλ = m . Según HERNÁNDEZ (2000, p. 83), los requerimientos de la proyección TM son: • La escala es verdadera a lo largo del meridiano central. • El origen de la ordenada y es el ecuador. • El origen de la abscisa x es el meridiano central. - 31 - La representación del ecuador corresponde a una línea recta perpendicular al meridiano central, el cual también corresponde a una línea recta; los demás paralelos y meridianos proyectados corresponden a curvas complejas. Por otra parte, al este y oeste del meridiano central, el factor de escala (m) siempre es mayor que 1, esto implica que todas las distancias en la proyección TM serán de mayor magnitud que en el elipsoide de referencia (BLACHUT et al., 1979, p. 43). Las funciones matemáticas de la proyección TM, presentadas en este trabajo, corresponden al desarrollo expuesto por BLACHUT et al. (1979). El desarrollo de otras funciones matemáticas de la proyección TM pueden ser consultadas en HERNÁNDEZ (2000) y en ZEPEDA (2004). 2.2.1. Fórmulas de conversión de coordenadas geodésicas a coordenadas planas TM. Las fórmulas de conversión coordenadas de proyección (x, y), a partir de coordenadas geodésicas ( φ , λ), corresponden a las siguientes: x = a1∆λ + a3 ∆λ3 + a5 ∆λ5 (1) y = B + a2 ∆λ2 + a4 ∆λ4 + a6 ∆λ6 La expresión ∆λ = (λ − λ0 ) , corresponde a la diferencia de longitud desde un punto de interés ( λ ) hasta el meridiano central ( λ0 ), expresada en radianes. B es la longitud de arco de meridiano desde el ecuador hasta la latitud φ , la cual está determinada por la expresión: ( B = A0cφ − A1c senoφ cos φ 1 + A2 seno 2φ + A4 seno 4φ + A6 seno 6φ + A8 seno 8φ Los coeficientes están determinados por: 3 15 35 63 99 2 A0 = 1 − e'2 1 − e'2 1 − e'2 1 − e'2 1 − e' 4 16 36 64 100 A1 = 3 2 25 2 77 2 837 2 2113 2 e' 1 − e' 1 − e' 1 − e' 1 − e' 4 16 60 704 1860 - 32 - ) (2) 5 139 2 1087 2 513427 2 A2 = e'2 1 − e' 1 − e' 1 − e' 8 144 1112 521760 A4 = 35 4 125 2 221069 2 e' 1 − e' 1 − e' 72 64 150000 (3) 105 6 1179 2 A6 = e ' 1 − e' 256 400 231 8 A8 = e' 640 Los coeficientes de la expresión (1) están determinados por: a1 = N cos φ a2 = 1 a1 senoφ 2 a3 = 1 a1 − 1 + 2 cos 2 φ + e'2 cos 4 φ 6 a4 = 1 a2 − 1 + 6 cos 2 φ + 9e'2 cos 4 φ + 4e'4 cos 6 φ 12 a5 = 1 a1 1 − 20 cos 2 φ + 24 − 58e'2 cos 4 φ + 72e'4 cos 6 φ 120 a6 = 1 a2 1 − 60 cos 2 φ + 120 cos 4 φ 360 ( ) (4) ( [ ( ( ) ) ] ) 2.2.2. Fórmulas de conversión de coordenadas planas TM a coordenadas geodésicas. Las fórmulas de conversión de coordenadas geodésicas ( φ , λ ), a partir de las coordenadas de proyección (x, y), corresponden a las siguientes: φrad = φ1 + b2 y 2 + b4 y 4 + b6 y 6 λrad = λ0 + b1 y + b3 y 3 + b5 y 5 - 33 - (5) φ1 es la latitud correspondiente al punto del meridiano central, cuya longitud rectificada desde el ecuador es B=x, los coeficientes corresponden a: 1 2 −1 + e'2 b1 = c cos φ1 1/ 2 ( 1 b2 = − b12 senoφ1cosφ1 1 + e'2 cos 2 φ1 2 ( 1 b3 = − b13 2 − cos 2 φ1 + e'2 cos 4 φ1 6 b4 = − [ ( ) ) (6) ) 1 2 b1 b2 3 − 2 − 9e'2 cos 2 φ1 + 10e'2 cos 4 φ1 − 4e'2 cos 6 φ1 12 [ ( ) b5 = 1 5 b1 24 − 20 cos 2 φ1 + 1 + 8e'2 cos 4 φ1 − 2e'2 cos 6 φ1 120 b6 = 1 4 b1 b2 45 + 16 cos 4 φ1 360 ( ] ] ) El calculo de la latitud φ1 está basado en aproximaciones sucesivas: φ(1) , φ( 2 ), ..., φ( n ) φ(1) = x A0 c φ( 2) = φ(1) + x − B(1) (7) A0 c φ1 = φn , cuando Bn = x 2.2.3. Factor de distorsión de escala (m). El factor distorsión de escala de la proyección TM se define por la expresión: m = ds , dS donde dS es la longitud de un elemento lineal sobre el elipsoide y ds su transformada en el plano - 34 - conforme (BLACHUT et al., 1979, p. 41). Según BLACHUT et al. (1979, p. 61), el factor de escala en función de las coordenadas de proyección ( φ , λ ) se calcula utilizando la expresión: m = 1 + a8 ∆λ2 + a10 ∆λ4 (8) Donde: a8 = ( 1 cos 2 φ 1 + e'2 cos 2 φ 2 [ ( ) ) 1 a10 = cos 2 φ − 4 + 9 − 28e'2 cos 2 φ + 42e'2 cos 4 φ 24 ] (9) 2.2.4. Convergencia Meridiana (C) La convergencia meridiana C (ver figura 5) corresponde a la diferencia angular entre el norte geodésico (referido al elipsoide) y el norte cartográfico (referido al norte de la cuadrícula o plano TM). Existe un caso particular para el meridiano central, ya que, este se proyecta como una línea recta en la proyección TM, la cual coincide con su homólogo en el elipsoide. Figura 5: Convergencia meridiana. Fuente: Adaptado de BORRE (2003). - 35 - El valor de C se calcula a partir de las coordenadas ( φ , λ ), aplicando la siguiente expresión: C = a7 ∆λ + a9 ∆λ3 + a11∆λ5 (10) Donde: a7 = senoφ ( 1 a9 = senoφ cos 2 φ 1 + 3e'2 cos 2 φ + 2e'4 cos 4 φ 3 a11 = ( 1 senoφ cos 2 φ − 1 + 3 cos 2 φ 15 ) (11) ) 2.2.5. Proyección Universal Transversal de Mercator (UTM) La proyección Universal Transversal de Mercator nace de un grupo de ingenieros pertenecientes al ejército de los Estados Unidos (durante la década de los 40). Su creación se justifica en la homogenización de la representación cartográfica de países vinculados a los esfuerzos militares de esos países (FUENTES, 2007, p.104). La proyección UTM corresponde a una estandarización de la proyección TM, y el área de uso está comprendida entre los 80º norte y 80º sur (ZEPEDA, 2004, p. 74). Según RICHARDUS y ADLER (1972), la proyección UTM posee los siguientes parámetros: • El globo se divide en 60 husos y casa huso posee una extensión de 6º de longitud, los husos se enumeran consecutivamente del 1 al 60, a partir del meridiano de Greenwich en sentido este. • La distorsión de escala a lo largo del meridiano central corresponde a: m0 = 0,9996 • (12) Las coordenadas de proyección UTM son denominadas Norte ( N UTM ) y Este ( E UTM ) y son determinadas en función de las coordenadas TM de la siguiente manera: - 36 - E UTM = xTM ⋅ m0 + 500.000m N UTM = yTM ⋅ m0 + 10.000.000m (Hemisferio sur) N UTM = yTM ⋅ m0 (Hemisferio norte) • (14) (15) La distorsión de escala para cualquier punto se resuelve mediante la expresión: mUTM = mTM ⋅ m0 • (13) (16) La convergencia meridiana para cualquier punto no presenta ninguna diferencia respecto de la convergencia meridiana de la proyección TM. CUTM = CTM - 37 - (17) 2.3. MODELOS DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y DE SIMILARIDAD 3-D. 2.3.1. Modelos de transformación bidimensional. Las transformaciones bidimensionales no consideran el factor de la altura y los modelos son definidos por las coordenadas planas x e y, además existen distintos modelos de transformación, desde modelos simples de similaridad hasta otros de mayor complejidad (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 60). Estos modelos de transformación utilizan estimaciones de parámetros de transformación para ajustar distintos planos de proyección. Los modelos bidimensionales de transformación presentados en este estudio, corresponden a la clasificación para transformaciones geométricas presentada por LUGNANI (1987) (MOLINA, 2007, p. 45). Todos estos modelos de transformación adoptan un centroide de coordenadas ( xm , ym ), el cual actúa como origen de ambos sistemas en el proceso de ajuste. Este centroide permite disminuir la fuerte correlación entre los parámetros estimados, permitiendo de esta forma tener una interpretación más realista de las precisiones de los parámetros de transformación y sus residuos (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 94). 2.3.1.1. Modelo de transformación de Similaridad 2-D. El modelo de transformación bidimensional de Similaridad 2-D, corresponde a una transformación conforme que preserva todos los ángulos y cambia todas las distancias en la misma medida (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 55). Este tipo de transformaciones considera factores como: rotación, traslación y escala del sistema. Por otra parte, la precisión en el modelo de ajuste puede ser mejorada si se cuenta con puntos lo más alejado posible (PÉREZ, 2001, p.8). - 38 - 2.3.1.1.1. Traslación. Considerando los ejes de ambos sistemas bidimensionales como paralelos, pero con diferente origen, se deduce a partir de la figura 6 las siguientes expresiones: x1 = x + Tx y1 = y + Ty (18) Figura 6: Traslaciones en modelo de transformación de Similaridad 2-D. Fuente: Elaboración propia. Expresado matricialmente: x1 x Tx y = y + Ty 1 (19) 2.3.1.1.2. Rotación θ . Una rotación θ positiva, corresponde al ángulo de rotación del sistema planimétrico inicial, de coordenadas (x, y), alrededor del origen con sentido levógiro (giro hacia la izquierda). La definición de la matriz de rotación R ( θ ) se deduce a partir de la figura 7. - 39 - Figura 7: Rotación θ en modelo de transformación de Similaridad 2-D. Fuente: Elaboración propia. Considerando: x1 = d + a y1 = b − c (20) Se tiene: a y b cos θ = y sen θ = ; ; c x d cos θ = x sen θ = (21) Despejando (21), reemplazando en (20) y expresando matricialmente, se tiene: x1 cosθ senθ x y = - senθ cosθ ⋅ y 1 Donde la rotación θ está definida matricialmente por: - 40 - (22) cosθ senθ R (θ ) = - senθ cosθ (23) Finalmente la rotación puede expresarse como: x1 x y = R(θ ) ⋅ y 1 (24) 2.3.1.1.3. Escalamiento. Suponiendo que ambos sistemas bidimensionales poseen coordenadas de origen coincidentes, pero diferentes unidades de medida (ver figura 8). Figura 8: Factor de escala k en modelo de transformación de Similaridad 2-D. Fuente: Elaboración propia. Existe un factor de escala k que permite homogenizar las unidades de ambos sistemas, teniéndose: x1 x y = k ⋅ y 1 - 41 - (25) 2.3.1.1.4. Expresión general. Considerando un sistema rotado, trasladado y con diferente escala, se integran las expresiones (19), (22) y (25). Teniéndose: x1 cosθ senθ x Tx = k ⋅ y - senθ cosθ ⋅ y + Ty 1 (26) Desarrollando el modelo para incluir un centroide de coordenadas ( xm , ym ), finalmente se obtienen las expresiones: x1 = k ( x − xm ) cos θ + k ( y − ym ) seno θ + Tx + xm y1 = − k (x − xm ) senoθ + k ( y − y m ) cos θ + Ty + ym (27) Donde: x, y : Coordenadas de un punto correspondiente al plano inicial. x1 , y1 : Coordenadas ajustadas de un punto correspondiente al plano transformado. k : Factor de escala. θ : Ángulo de rotación. Tx,Ty : Traslación de los ejes x e y. xm , y m : Coordenadas del centroide. 2.3.1.2. Modelo de transformación Afín 2-D. El modelo de transformación bidimensional Afín 2-D, corresponde a una transformación que considera la falta de ortogonalidad en los ejes transformados, y establece distintos factores de escala para cada dirección del eje correspondiente (dirección eje de abscisas y ordenadas) (PÉREZ, 2001, p.16). - 42 - Dos sistemas ortogonales rotados y trasladados están determinados por la integración de las expresiones (19) y (22): x1 cosθ senθ x Tx y = - senθ cosθ ⋅ y + Ty 1 (28) Considerando una falta de ortogonalidad entre los sistemas ( x0 , y0 ) y ( x, y ), expresada por el ángulo de falta de perpendicularidad de los ejes ( x0 , y0 ), denominado β (ver figura 14). Figura 9: Sistemas no ortogonales en modelo de transformación Afín 2-D. Fuente: Elaboración propia. Se puede deducir de la figura 9 la siguiente relación: AB = y0 senoβ (29) PB = y0 cosβ Las coordenadas están determinadas por las expresiones: x = x0 − AB = x0 − y0 senoβ y = y0 cosβ Aplicando los correspondientes factores de escala: - 43 - (30) x = k x0 x0 − k y0 y0 senoβ y = k y0 y0 cosβ (31) Expresando matricialmente: x 1 - senβ k x0 x0 y = 0 cosβ ⋅ k y y0 0 (32) Sustituyendo (32) en (28) se obtiene: x1 cosθ senθ 1 - senβ k x0 x0 Tx y = - senθ cosθ ⋅ 0 cosβ ⋅ k y Ty y0 0 1 (33) Desarrollando y agrupando términos el modelo de transformación bidimensional Afín 2-D queda expresado por: x1 = a1 x + b1 y + c1 y1 = a2 x + b2 y + c2 Donde: a1 = k x0 cos θ b1 = − k y0 seno(θ + β ) a 2 = k x0 senoθ b2 = k y0 cos(θ + β ) c1 = Tx c2 = Ty - 44 - (34) Desarrollando el modelo para incluir un centroide de coordenadas ( xm , ym ), finalmente se obtienen las expresiones: x1 = a1 ( x − xm ) + b1 ( y − y m ) + c1 + xm y1 = a 2 ( x − xm ) + b2 ( y − y m ) + c2 + y m (35) Donde: x, y : Coordenadas de un punto correspondiente al plano inicial. x1 , y1 : Coordenadas ajustadas de un punto correspondiente al plano transformado. a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 : Parámetros de transformación. xm , ym : Coordenadas del centroide. 2.3.1.3. Modelo de transformación Proyectiva 2-D. El modelo de transformación bidimensional Proyectiva 2-D, corresponde a una transformación que preserva los puntos, líneas rectas e intersecciones; entre otras propiedades geométricas (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 55). Las ecuaciones de este tipo de transformación permiten el cálculo de coordenadas de puntos pertenecientes a un sistema de referencia sobre un plano ( x1 , y1 ), respecto de las coordenadas de sus puntos homólogos pertenecientes al sistema arbitrario ( x, y ), correspondiente a otro plano inclinado (PÉREZ, 2001, p. 22). La deducción de las ecuaciones de este modelo de transformación, parten considerando dos sistemas tridimensionales con coordenadas z constantes (ver figura 10). - 45 - Figura 10: Sistemas de coordenadas en modelo de transformación Proyectiva 2-D. Fuente: Adaptado de PÉREZ (2001). Donde: (x1 , y1 , z1 ) : Sistema de referencia. (x, y, z ) : Sistema arbitrario (sistema de referencia inicial), con ejes inclinados respecto al sistema de referencia. Considerando un plano inicial inclinado, su orientación angular queda definida por tres ángulos (δ , γ ,η ) . Se deduce de la figura 11, que la aplicación de las rotaciones (δ , γ ,η ) , al sistema arbitrario genera las coordenadas ( x, y, c ) . - 46 - Figura 11: Rotaciones en modelo de transformación Proyectiva 2-D. Fuente: Adaptado de PÉREZ (2001). Donde: (x , y , z ) : Sistema arbitrario ideal, con ejes paralelos al sistema de referencia. La expresión matricial de la transformación por rotación está determinada por: x1 a11 a12 a13 x x y = a a a ⋅ y = R ⋅ y 1 21 22 23 z1 a31 a32 a33 c c Donde los coeficientes de la matriz de rotación R están determinados por: a11 = cos γ cosη a12 = − cos γ senoη a13 = senoγ a21 = cos δ senoη + senoδ senoγ cosη a22 = cos δ cosη − senoδ senoγ senoη a23 = −senoδ cos γ - 47 - (36) a31 = senoδ senoη − cosδ senoγ cosη a32 = senoδ cosη + cosδ senoγ senoη a33 = cos δ cos γ Considerando el sistema arbitrario como paralelo al sistema de referencia (ver figura 12). Figura 12: Sistemas paralelos en modelo de transformación Proyectiva 2-D. Fuente: Adaptado de PÉREZ (2001). Por semejanza es posible deducir: ρ= P ' P ' ' ' PP ' OP ' ' ' = = p ' p ' ' ' pp ' Op ' ' ' (37) Sustituyendo los segmentos por las coordenadas correspondientes: ρ= x1 − x0 y1 − y0 z1 − z 0 = = x y z - 48 - (38) Expresando de manera matricial las anteriores ecuaciones: x1 − x0 a11 a12 a13 x x y − y = ρ ⋅ a a a ⋅ y = ρ ⋅ R ⋅ y 0 1 21 22 23 z1 − z 0 a31 a32 a33 c c (39) Separando algebraicamente la expresión (39): x1 = x0 + ρ (a11 x + a12 y + a13c ) y1 = y0 + ρ (a21 x + a22 y + a23c ) (40) z1 = z0 + ρ (a31 x + a32 y + a33c ) Dividiendo x1 e y1 por z1 , se tiene: x1 = x0 + ( z1 − z 0 ) y1 = y 0 + ( z1 − z 0 ) a11 x + a12 y + a13c a31 x + a32 y + a33c a 21 x + a 22 y + a 23 c a31 x + a32 y + a33c (41) Despejando a33c de (41), se obtiene: x1 = x0 + ( z1 − z 0 ) x1 = x0 + ( z1 − z 0 ) a11 x + a12 y + a13c a a a33c 31 x + 32 y + 1 a33c a33c a11 x + a12 y + a13c a a a33c 31 x + 32 y + 1 a33c a33c - 49 - (42) Debido a que c, x0 , y0 , z0 , δ , γ ,η son constantes y no se considera la altura, todos los puntos tienen igual valor de z . Debido a esto, las ecuaciones pueden reescribirse de la siguiente manera: x1 = a1 x + a 2 y + a3 a 4 x + a5 y + 1 a x + a7 y + a8 y1 = 6 a 4 x + a5 y + 1 (43) Desarrollando el modelo para incluir un centroide de coordenadas ( xm , ym ), finalmente se obtienen las expresiones: x1 = y1 = a1 ( x − xm ) + a 2 ( y − y m ) + a3 + xm a 4 ( x − x m ) + a5 ( y − y m ) + 1 a 6 ( x − x m ) + a 7 ( y − y m ) + a8 + ym a 4 ( x − x m ) + a5 ( y − y m ) + 1 (44) Donde: x, y : Coordenadas de un punto correspondiente al plano inicial. x1 , y1 : Coordenadas ajustadas de un punto correspondiente al plano transformado. a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a6 , a7 , a8 : Parámetros de transformación. xm , y m : Coordenadas del centroide. 2.3.1.4. Modelo de transformación Polinomial 2-D. El modelo de transformación bidimensional Polinomial 2-D, corresponde a una transformación considerada de alta precisión, que requiere de una cantidad elevada de puntos en común entre dos sistemas, además posee como desventaja la perdida de confiabilidad fuera del área común de ajuste entre los dos sistemas (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 56). Este tipo de modelos de transformación y sus variantes son comúnmente utilizados en fotogrametría (PÉREZ, 2001, p. 55). - 50 - El desarrollo de este modelo de transformación bidimensional corresponde a un polinomio de segundo grado. Desarrollando el modelo e incluyendo un centroide de coordenadas ( xm , ym ), se obtienen las expresiones: x1 = a0 + a1(x − xm ) + a2 (x − xm ) + a3( y − ym ) + a4 (x − xm )( y − ym ) + a5 (x − xm ) ( y − ym ) + 2 2 + a6 ( y − ym ) + a7 (x − xm )( y − ym ) + a8 (x − xm ) ( y − ym ) 2 2 2 2 y1 = b0 + b1(x − xm ) + b2 (x − xm ) + b3 ( y − ym ) + b4 (x − xm )( y − ym ) + b5 (x − xm ) ( y − ym ) + 2 (45) 2 + b6 ( y − ym ) + b7 (x − xm )( y − ym ) + b8 (x − xm ) ( y − ym ) 2 2 2 2 Donde: x, y : Coordenadas de un punto correspondiente al plano inicial. x1 , y1 : Coordenadas ajustadas de un punto correspondiente al plano transformado. a0 , a1 ,..., a8 , b0 , b1 ,..., b8 : Parámetros de transformación. xm , y m : Coordenadas del centroide. 2.3.2. Modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas. El modelo de transformación geodésica de Similaridad 3-D, originalmente se conoce como método de transformación de similitud de Helmert (IGAC, 2004, p. 21). Fue formulado por Fiedrich Robert Helmert, en el año 1880. Corresponde a un modelo de transformación que considera un sistema inicial de coordenadas cartesianas en el espacio, las cuales posteriormente son transformadas mediante la aplicación de siete parámetros a un nuevo sistema, donde las diferencias entre sistemas están determinadas por tres factores que corresponden a la traslación, rotación y escalamiento. El modelo de transformación de Helmert entrega una transformación exacta sólo en SGR matemáticos y perfectamente definidos; por ejemplo: dos sistemas de tipo satelital. Por otra parte, - 51 - los SGR locales fueron realizados por mediciones terrestres clásicas, sujetas a errores generados por la tecnología de la época, debido a esta razón, mientras mayor distorsión posea la red clásica peor será la transformación de Helmert. (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 74). El modelo de transformación Molodensky-Badekas fue discutido por Molodensky (1962) y Badekas (1969) (ZEPEDA et al.). Este modelo relaciona dos sistemas de coordenadas tridimensionales mediante los siete parámetros de transformación de Helmert, la diferencia radica en la inclusión de un centroide de coordenadas ( xm , ym , z m ) . Según Krakiwsky y Thomson (1974), el modelo de transformación de Molodensky-Badekas es recomendado para la transformación entre un SGR satelital y un SGR local (RAMIREZ y ORTIZ, 2003, p. 66). Debido a que el factor de escala es el mismo en todas las direcciones, conserva las formas y los ángulos, por lo cual se denomina modelo de transformación de Similaridad (IGAC, 2004, p. 21). 2.3.2.1. Traslación. Corresponde al desvío respecto del origen de cada sistema de coordenadas cartesianas en el espacio (x, y, z), y es representado por los incrementos [∆x, ∆y , ∆z ]T , en el vector tridimensional de translaciones, desde el origen del sistema inicial al origen del sistema nuevo (ver figura 13). Corresponde a: ∆x ∆y ∆z - 52 - (46) Figura 13: Traslaciones tridimensionales expresadas en los incrementos ∆x, ∆y, ∆z. Fuente: Elaboración propia. 2.3.2.2. Rotación. Cada eje cartesiano en el espacio (x, y, z) puede girarse o inclinarse respecto al nuevo sistema. Considerando los orígenes de ambos sistemas coincidentes, estas rotaciones son descritas a través de tres ángulos de Euler: ω, ε y ψ. 2.3.2.2.1. Rotación ω. Una rotación ω positiva, corresponde al ángulo de rotación del sistema cartesiano inicial de ejes ( x , y , z ) alrededor del eje z , viéndose desde el origen hacia el eje positivo en sentido dextrógiro (giro hacia la derecha), generando tres nuevos ejes ( x1 , y1 , z1 ) en un nuevo sistema, donde el eje z coincide con el eje z1 (ver figura 14). - 53 - Figura 14: Rotación ω Fuente: Elaboración propia. La rotación ω se expresa matricialmente por: x1 x y = R(ω ) ⋅ y 1 z1 z La definición de la matriz de rotación R (ω ) , se deduce de la figura 15: Figura 15: Vista de ejes cartesianos bidimensionales, a partir de una rotación ω Fuente: Elaboración propia. - 54 - (47) Considerando: x1 = d + a (48) y1 = b − c Se tiene: a y b cos ω = y sen ω = ; ; c x d cos ω = x sen ω = (49) Despejando (49), reemplazando en (48) y expresando matricialmente se obtiene: x1 cosω senω y = - senω cosω 1 z1 0 0 0 x 0 ⋅ y 1 z (50) Donde la rotación ω está definida matricialmente por: cosω senω R(ω ) = - senω cosω 0 0 0 0 1 (51) 2.3.2.2.2. Rotación ε Una rotación ε positiva, corresponde al ángulo de rotación del sistema de ejes cartesianos ( x 1 , y1 , z1 ) alrededor del eje x1 , viéndose desde el origen hacia el eje positivo en sentido dextrógiro, generando tres nuevos ejes ( x 2 , y 2 , z 2 ) en un nuevo sistema, donde el eje x1 coincide con el eje x 2 (ver figura 16). - 55 - Figura 16: Rotación ε Fuente: Elaboración propia. La rotación ε se expresa matricialmente por: x2 x1 x y = R(ε ) ⋅ y = R(ε ) ⋅ R(ω ) y 2 1 z2 z1 z (52) La definición de la matriz de rotación R (ε ) , se deduce realizando operaciones similares para la obtención de (51), teniéndose: 0 1 R(ε ) = 0 cosε 0 - senε 0 senε cosε (53) 2.3.2.2.3. Rotación ψ. Una rotación ψ positiva, corresponde al ángulo de rotación del sistema de ejes cartesianos ( x 2 , y 2 , z 2 ) alrededor del eje y 2 , viéndose desde el origen hacia el eje positivo en sentido - 56 - dextrógiro, generando tres nuevos ejes ( x3 , y 3 , z 3 ) en un nuevo sistema, donde el eje y 2 coincide con el eje y 3 (ver figura 17). Figura 17: Rotación ψ. Fuente: Elaboración propia. La rotación ψ se expresa matricialmente por: x3 x2 x y = R(ψ ) ⋅ y = R(ψ ) ⋅ R(ε ) ⋅ R(ω ) ⋅ y 3 2 z3 z 2 z (54) La definición de la matriz de rotación R1 (ε ) , se deduce realizando operaciones similares para la obtención de (51), teniéndose: cosψ R(ψ ) = 0 senψ 0 1 0 - 57 - - senψ 0 cosψ (55) Con el fin de obtener un modelo matricial que integre las tres rotaciones (ω, ε, ψ), se procede a la multiplicación de las matrices de rotación, teniéndose: cosω ⋅ cosψ - senω ⋅ senε ⋅ senψ R(ψ ) ⋅ R(ε ) ⋅ R(ω ) = - senω ⋅ cosε cosω ⋅ senψ + senω ⋅ senε ⋅ cosψ senω ⋅ cosψ - cosω ⋅ senε ⋅ senψ cosω ⋅ cosε senω ⋅ senψ - cosω ⋅ senε ⋅ cosψ - cosε ⋅ senψ (56) senε cosε ⋅ senψ Considerando rotaciones con valores pequeños, se asume: sen (α ) = α ; cos(α ) = 1 ; sen (α ) ⋅ sen (α ) = 0 Obteniendo: 1 ω - ψ ε R(ψ ) ⋅ R(ε ) ⋅ R(ω ) = − ω 1 ψ - ε 1 (57) 2.3.2.3. Escalamiento. La diferencia de escala entre dos sistemas está establecida por un valor k , de tal manera que una coordenada en el sistema inicial necesita multiplicarse por k , para determinar la coordenada correspondiente en la escala del sistema nuevo y así homogenizar las relaciones métricas entre sistemas (ver figura 18). k = Factor de escala que relaciona dos SGR Figura 18: factor de escala k Fuente: Elaboración propia. - 58 - (58) 2.3.2.4. Centroide. La adopción de un centroide corresponde a la integración de un vector P, de coordenadas (xm , ym , zm ) , dentro del modelo de transformación Molodensky-Badekas (ver figura 19). Figura 19: Modelo de transformación Molodensky-Badekas. Fuente: Adaptado de IGAC (2004). 2.3.2.5. Integración de diez parámetros en modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas. El modelo de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas, relaciona dos sistemas geodésicos cartesianos mediante tres traslaciones ( ∆x, ∆y , ∆z ), tres rotaciones (ω, ε, ψ), un factor de escala (k) y un centriode ( xm , ym , z m ) . Las tres traslaciones son utilizadas para establecer una coincidencia de orígenes de ambos sistemas, las tres rotaciones expresan el paralelismo entre ejes, el factor de escala uniformiza u homogeniza la métrica de los dos sistemas (MOLINA, 2007, p. 17) y el centroide produce una disminución en la fuerte correlación en los parámetros de transformación estimados, permitiendo determinar de manera más realista las precisiones de los parámetros y de los residuos de las observaciones (ZEPEDA et al.). - 59 - El modelo matemático de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas está representado por: x1 ∆x xm 1 ω - ψ x − xm y = ∆y + y + k ⋅ − ω 1 ε ⋅ y − ym 1 m z1 ∆z zm ψ - ε 1 z − zm (59) Donde: • [x, y, z ]T es el vector de coordenadas del sistema inicial o sistema 1 ( S1 ), que corresponde al vector de coordenadas que se desea transformar. • [x1, y1 , z1 ]T es el vector de coordenadas del sistema nuevo o sistema 2 ( S 2 ), que corresponde al vector de coordenadas transformadas. • [∆x, ∆y, ∆z ]T es el vector de las traslaciones en cada uno de los ejes, que relaciona el origen del S1 con el S 2 . • ε corresponde a la rotación en el eje x • ψ corresponde a la rotación en el eje y • ω corresponde a la rotación en el eje z • k corresponde al factor de escala de transformación, debido a la diferencia de magnitud entre el S1 y S 2 . • [xm , ym , zm ]T corresponde al vector de coordenadas del centroide. • [x − xm , y − ym , z − zm ]T corresponde a la diferencia entre el vector de coordenadas del S1 y el vector de coordenadas del centroide. - 60 - 2.4. AJUSTE GEODÉSICO. Cuando se realiza un análisis de observaciones (mediciones), se debe entender que nunca se obtiene el valor verdadero de la magnitud medida. Las observaciones realizadas por el hombre se caracterizan por la inevitable presencia de errores en la medición. Para conseguir una medición de confianza se necesita obtener una estimación del valor medido, a través de varias o muchas observaciones, es decir, con observaciones redundantes. El ajuste de observaciones persigue eliminar inconsistencias y ajustar las observaciones a un modelo matemático, con el fin de obtener una mejor estimación de los valores medidos (GEMAEL, 1994, p. 11). Los matemáticos y geodestas Carl Gauss (1777-1855) y Adrien Legendre (1752-1833), propusieron como mejor estimativa de un valor cualquiera, el valor que torna mínima la suma de los cuadrados de los residuos. Este criterio es el que caracteriza al Método de Mínimos Cuadrados (MMC) (ZEPEDA, 2004, p. 4), el cual se expresa de la siguiente manera: n Φ = v12 + v22 + v32 + ... + v n2 = ∑ vi2 → minimo (60) i =1 Donde: Residuo: vi = X − xi Promedio o valor más probable: X Cantidad medida: xi Según RAMÍREZ y ORTIZ (2003, P. 44), los pasos básicos de un ajuste son: • Definir la solución mediante el modelo matemático de ajuste, estos pueden ser: o Modelo de ecuaciones de condición: este modelo está basado en la relación entre los valores obtenidos directamente en campo (observaciones), y la aplicación en ellos de las condiciones impuestas por el modelo matemático que proporciona dichas ecuaciones de condición (ASÍN, 1990, p. 53). Por ejemplo: una red de - 61 - triángulos planos observados en campo, tienen que satisfacer la condición de que la suma de sus tres ángulos interiores sea 180º. o Modelo de ecuaciones de observación: este modelo está basado en la relación que se establece entre las cantidades medidas (observaciones), parámetros y residuos. Se escribe una ecuación para cada observación, con el objetivo de obtener una solución única. Generalmente, se utilizan más observaciones que incógnitas lo que permite obtener valores más probables mediante el ajuste por el MMC (ZEPEDA, 2004, p. 28). • Seleccionar las observaciones, a través de un pre-procesamiento, con el fin de corregir inconsistencias o perturbaciones de los datos, considerando un número suficiente de observaciones en calidad y cantidad. • Definir la calidad entregada por los parámetros de ajuste. 2.4.1. Tipos de error. Según GEMAEL (1994, p. 59), los distintos tipos de error se producen principalmente por fallas humanas, imperfecciones de los instrumentos de medición e influencia de las condiciones ambientales. • Faltas: se deben a errores groseros, provenientes de una falta de cuidado o confusión. Las faltas o equivocaciones normalmente no se clasifican como errores, y pueden removerse realizando una cuidadosa revisión de los datos (ZEPEDA, 2003, p.7). • Errores sistemáticos: este tipo de error se produce por causas conocidas, pueden ser evitados mediante técnicas especiales de observación, o pueden ser eliminados posteriormente mediante fórmulas entregadas por la teoría (GEMAEL, 1994, p. 60). • Errores accidentales: después de eliminadas las faltas y los errores sistemáticos se aprecia la presencia de errores generalmente pequeños, que poseen signo positivo y - 62 - negativo, este tipo de errores pueden ser tratados estadísticamente (ZEPEDA, 2003, p.7) 2.4.2. Linealización de ecuaciones por serie de Taylor. Para la realización del ajuste de observaciones es necesario contar con un sistema lineal de ecuaciones, de modo contrario el sistema de ecuaciones debe ser linealizado mediante la linealización de series de Taylor. El procedimiento de linealización de ecuaciones se describe según RAMÍREZ y ORTIZ (2003, p. 44 y 45). Este procedimiento requiere definir las correcciones diferenciales ∂x y ∂y , para un grupo de parámetros aproximados x0 e y 0 . Primeramente se debe conocer la función no lineal evaluada en los parámetros ( x0 e y 0 ), posteriormente se debe realizar el cálculo de las derivadas parciales de la función no lineal ( f ' , f ' ' ,…, f n ) respecto de cada incógnita, con este procedimiento se obtienen las correcciones a las aproximaciones. El proceso de linealización de funciones mediante series de Taylor, utiliza correcciones de aproximaciones polinómicas según el orden n de las derivadas parciales ( f n ). Mientras mayor sea el orden de las derivadas parciales, mayor será precisión en la serie de Taylor. El modelo de linealización de funciones no lineales se expresa mediante la siguiente función: F = f ( x, y ) = f x ( x0 , y0 ) + f x' ( x0 , y0 )dx + + f y' ( x0 , y0 )dy + f x'' ( x0 , y0 ) 2 f n (x , y ) dx + ... + x 0 0 dx n + ... 2! n! f ( x0 , y0 ) '' y 2! dy 2 + ... + f n y (x0 , y0 ) n! (61) dy n Si son canceladas las derivadas de orden superior, resulta: ∂F ∂F F = f ( x, y ) = f x (x0 , y0 ) + dx + dy ∂x 0 ∂y 0 Otra manera de expresarlo: - 63 - (62) F (X ) = F (X 0 ) + ∂F ∂X ∆y (63) X0 2.4.3. Matriz de Varianza-Covarianza (MVC). En el proceso de ajuste es necesario medir la variabilidad de cada una de las observaciones, las cuales poseen una varianza ( σ i2 ) y una covarianza ( σ ij , i ≠ j ) asociada. La manera de medir la precisión de las ecuaciones de observación se expresa en la MVC ( ∑ X ). ∑ X σ 12 σ 12 σ 13 L σ 1n σ 21 σ 22 σ 23 L σ 2 n = M M M M M σ n1 σ n 2 σ n 3 L σ n2 (64) La covarianza σ ij corresponde a una variable aleatoria bidimensional que estima la correlación entre las componentes i y j, es decir, establece el grado de dependencia entre las componentes (GEMAEL, 1994, p. 41). Cuando las componentes son estadísticamente independientes su correlación es nula (ZEPEDA, 2004, p.41). Una manera de medir la dependencia lineal entre dos componentes (x e y), es a través del coeficiente de correlación de lineal, el cual se expresa mediante la siguiente función: ρ xy = σ xy σ xσ y Donde: σ x : Desviación estándar de x. σ y : Desviación estándar de y. σ xy : Covarianza de x e y. - 64 - (65) En el cálculo del coeficiente de correlación se verifica la siguiente situación: − 1 ≤ ρ xy ≤ 1 (66) Según GEMAEL (1994, p. 42), cuando el coeficiente de correlación lineal es igual a 1 ó -1, existe una perfecta relación lineal entre x e y, dicho de otra forma, y es una función lineal de x. Si el valor del coeficiente de correlación lineal es igual a cero, las variables x e y, no están correlacionadas, sin embargo, esto no significa necesariamente que las componentes sean independientes estadísticamente. 2.4.4. Ley de propagación de covarianzas. La ley de propagación de covarianzas permite estimar la MVC de un vector aleatorio multidimensional Y, a partir del conocimiento de la MVC de un vector aleatorio multidimensional X (FERREIRA, 2003, p. 10). Según GEMAEL (1994, p. 44 y 45), si se considera dos variables aleatorias multidimensionales X e Y, ligadas por el modelo lineal: Y = m Gn ⋅n X 1 + m C1 m 1 (67) Para un caso lineal, el modelo de propagación de covarianzas es: ∑Y = G ∑ X G T (68) Para un caso no lineal, es posible considerar el modelo: Y=F(X) El cual puede ser linealizado mediante una serie de Taylor: - 65 - (69) ( ) Y = F (X ) ≅ F X 0 + ∂F ∂X (X − X ) 0 (70) X0 Finalmente, el modelo de propagación de covarianzas para un caso no lineal está determinado por: ∑Y = D ∑ X DT (71) ∂y1 ∂x 1 ∂y2 = ∂x1 L ∂ym ∂x1 (72) Donde: D= ∂F ∂X X0 ∂y1 ∂y1 L ∂x2 ∂xn ∂y2 ∂y2 L ∂x2 ∂xn L L L ∂ym ∂ym L ∂x2 ∂xn 2.4.5. Ajuste por el Método Paramétrico de Mínimos Cuadrados. Los principales métodos de posicionamiento utilizan el MMC para el ajuste de observaciones de ángulos y distancias, aplicando el método paramétrico o método de ecuaciones de observación (ALVES, 2008, p. 19). Este método utiliza observaciones indirectas para la realización del ajuste (ZEPEDA, 2004, p. 34). 2.4.5.1. Modelo matemático. Según GEMAEL (1994, p. 117), el método de ajuste paramétrico se verifica cuando los valores observados ajustados, pueden ser expresados explícitamente como una función de los parámetros ajustados, cuando se verifica el siguiente modelo matemático: La = F ( X a ) - 66 - (73) En este modelo matemático La corresponde a las observaciones ajustadas, F ( X a ) es la función relativa de los parámetros y X a son los parámetros ajustados. Por otra parte, las observaciones ajustadas ( La ) pueden definirse como: La = Lb + V (74) Donde: Lb : Vector de los valores observados. V : Vector de los residuos. La corrección de los parámetros ( X a ) puede expresarse como: Xa = X0 + X (75) Donde: X 0 : Vector cuyas componentes son los valores aproximados de los parámetros. X : Vector de las correcciones. Sustituyendo las ecuaciones (74) y (75) en la ecuación (73) y linealizando con la fórmula de Taylor, se obtiene: Lb + V = F ( X 0 + X ) = F ( X 0 ) + ∂F ∂X a X. (76) Xa =X0 Designando la función de los parámetros aproximados por L0 : L0 = F ( X 0 ) Definiendo la matriz de las derivadas parciales A: - 67 - (77) A= ∂F ∂X a (78) X0 La ecuación (76) se escribe: Lb + V = L0 + AX (79) V = AX + L0 − Lb (80) Despejando: Haciendo: L = L0 − Lb (81) Finalmente, se obtiene el modelo matemático linealizado del método paramétrico, el cual se puede expresar matricialmente como: n V1 = n Au ⋅u X 1 + n L1 (82) Una expansión del método paramétrico expresado matricialmente, para n ecuaciones de observación y u parámetros (GEMAEL, 1994, p. 118), corresponde a: ∂f1 ∂x a1 v1 v ∂f 2 2 = ∂xa1 M M v n ∂f n ∂xa1 ∂f1 ∂f1 ∂f1 ... ∂xa 2 ∂xa 3 ∂xau ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 ... ∂xa 2 ∂xa 3 ∂xau M M L M ∂f n ∂f n ∂f n ... ∂xa 2 ∂xa 3 ∂xau x 0 - 68 - x1 l1 x l ⋅ 2 + 2 M M xu l n (83) 2.4.5.2. Ecuaciones normales. Según GEMAEL (1994, p. 119), la obtención de las ecuaciones normales parte con la minimización de la forma cuadrática fundamental ( Φ ), teniéndose: Φ = V T PV = mínimo (84) Donde: Φ : Forma cuadrática fundamental. V : Vector de los residuos. V T : Vector transpuesto de los residuos. P : Matriz de pesos en las observaciones. Reemplazando (82) en (84), se tiene: Φ = V T PV = ( AX + L ) P( AX + L ) = mínimo T (85) Resolviendo: ( ) Φ = V T PV = AT X T + LT P( AX + L ) = mínimo Φ = V T PV = AT X T PAX + AT X T PL + LT PAX + LT PL = mínimo Φ = V T PV = AT X T PAX + 2 X T AT PL + LT PL = mínimo Derivando respecto a X e igualando a cero: ∂Φ = 2 AT PAX + 2 AT PL = 0 ∂X AT PAX + AT PL = 0 Despejando X: - 69 - (86) ( X = − AT PA ) −1 AT PL (87) Haciendo: N = AT PA (88) U = AT PL (89) Finalmente, el vector de corrección de lo parámetros está determinado por: X = − N −1U (90) Donde el vector de los parámetros ajustado está determinado por la expresión (75). 2.4.5.3. Pesos en las observaciones. Generalmente, las observaciones poseen distintos grados de precisión, por lo cual se les asocia diferentes confianzas o pesos. El peso puede definirse como la ponderación relativa entre valores observados, cuando es comparado con otro valor (ZEPEDA, 2004, p. 15). De acuerdo con GEMAEL (1994, p. 120), antes del ajuste es necesario estimar la precisión de las observaciones, para esto es importante determinar la MVC de los valores observados ( ∑ Lb ), que en conjunto con la varianza de peso a priori ( σ 02 ), permite determinar la matriz de pesos: P = σ 02 ∑ −L1b (91) Después de determinada la matriz de pesos de las observaciones y realizado el ajuste, es posible determinar la MVC de las distintas variables aleatorias involucradas en el proceso de ajuste. - 70 - 2.4.5.4. Matriz de Varianza-Covarianza. La determinación de la MVC de las variables aleatorias involucradas en el proceso de ajuste, implican el uso de la varianza a posteriori ( σˆ 02 ) dentro de su desarrollo: σˆ 02 = V T PV n−u (92) Donde: V T PV : Forma cuadrática fundamental. n : Número de observaciones. u : Número de parámetros. (n − u ) : Grados de libertad del modelo. La forma cuadrática fundamental puede ser calculada matricialmente por: V T PV = X T U + LT PL (93) Según GEMAEL (1994, p. 120 y 121), después de determinada la varianza a posteriori, es posible establecer la MVC de las variables aleatorias: X a (parámetros), La (observaciones ajustadas) y V (residuos). • MVC de los parámetros ajustados ( ∑ X a ): ∑ X a = σˆ 02 N −1 • • (94) MVC de las observaciones ajustadas ( ∑ La ): ∑ La = A ∑ X a AT (95) ∑V = σˆ 02 (AN −1 AT − P −1 ) (96) MVC de los residuos ( ∑V ) - 71 - 2.4.5.5. Iteraciones. Los modelos matemáticos más utilizados en Topografía y Geodesia no son lineales (TRENTIN, 2006, p.75). El objetivo principal de un proceso iterativo es llegar a una única solución o solución convergente, a partir de valores iniciales aproximados. Según GEMAEL (1994, p. 179), en un proceso iterativo pueden ocurrir algunas situaciones como: • Convergencia rápida o lenta. • Oscilación en torno a un valor o punto. • Divergencia en la solución. Sin embargo, en la mayoría de los ajustes geodésicos es frecuente la convergencia con un número pequeño de iteraciones. El proceso iterativo en el método paramétrico de ajuste posee las siguientes etapas: 1° Etapa: 2° Etapa (1° iteración): La = F ( X a ) AX + L = V X a = X 10 X ia−1 = X i0 A1 X 1 + L1 = V1 Ai X i + Li = Vi A= ∂F ∂X a A1 = X0 ∂F ∂X a Ai = X 10 L = L0 − Lb L1 = F (X 10 ) − Lb L0 = F ( X 0 ) X 1= − A1T PA1 ( X = − AT PA ( ) −1 σˆ 02,1 = X = X0 + X V T PV n−u ) −1 σˆ 02,i = ∑ La = A ∑ X a A ∑V = σˆ AN A − P T ) −1 −1 ) ∑V1 = σˆ (A N 1 −1 AiT PLi −1 1 A −P T 1 - 72 - ViT PVi n−u ( i a 2 0 ,1 ) ∑ X a = σˆ 02,i AiT PAi ∑ L1 = A1 ∑ X 1 A1T T −1 ( X ia = X i0 + X i ( a X 10 X i= − AiT PAi A1T PL1 V1T PV1 n−u a ( ( −1 ∑ X 1 = σˆ 02,1 A1T PA1 ∑ X a = σˆ 02 AT PA 2 0 ) ∂F ∂X a Li = F (X i0 ) − Lb X 1a = X 10 + X 1 AT PL a σˆ 02 = Etapa i+1 (i-ésima iteración) −1 ) ) −1 ∑ La = Ai ∑ X a AiT i ∑Vi = σˆ (A N i 2 0 ,i i −1 i Ai − P −1 T ) 2.4.5.6. Test de Chi-Cuadrado ( χ 2 ). Según GEMAEL (1994, p. 122), una manera de determinar la discrepancia entre σ 02 y σˆ 02 , es aplicar un test de hipótesis basado en la distribución Chi-Cuadrado ( χ 2 ). El propósito de este test es determinar si el valor calculado para σˆ 02 es estadísticamente igual a σ 02 , esto indicaría si existe un balance entre el vector de residuos y las incertidumbres del mismo (FLORES, 2005, p. 74). El procedimiento parte con el planteamiento de las hipótesis estadísticas (GEMAEL, 1994, p. 123): • Test de hipótesis básica: las varianzas a priori y a posteriori no difieren estadísticamente en un nivel de significancia α . H 0 : σ 02 = σˆ 02 • (97) Test de hipótesis alternativa: las varianzas a priori y a posteriori difieren estadísticamente en un nivel de significancia α . H 1 : σ 02 ≠ σˆ 02 (98) Luego se compara el χ c2 (Chi-Cuadrado calculado): χ c2 = σˆ 02 V T PV S = σ 02 σ 02 (99) Donde: S = n−u Con los valores teóricos χ t2 (Chi-Cuadrado teórico): χ 2 α t S, 2 y χ 2 α t S ,1− 2 Finalmente, la hipótesis básica no es rechazada, con un nivel de significancia α , si: - 73 - (100) χ 2 α < χ c2 < χ 2 S, S ,1− 2 α (101) 2 2.4.5.7. Eliminación de errores groseros. Para la identificación de errores groseros se debe proceder a un cuidadoso análisis del ajuste, pudiendo existir un error en la MVC de las observaciones, faltas o errores sistemáticos no eliminados o corregidos en el proceso de ajuste, el modelo matemático de ajuste no es consistente con las observaciones, etc. (GEMAEL, 1994, p. 123). De acuerdo con GEMAEL (1994, p. 304), el rechazo o eliminación de observaciones que posean errores groseros, es determinado por un test basado en la distribución F de Snedecor: • Test de hipótesis básica: H 0 : La i-ésima observación posee un error grosero (102) La hipótesis básica no es rechazada, con un nivel de significancia α , si: vi σv > F1,∞ ;1−α (103) i Donde: vi : Residuo. σ v : Desviación estándar del residuo. i 2.4.6. Elipse de Error. La elipse de error expresa la incertidumbre posicional de las coordenadas de un punto, con relación a un sistema de referencia que posee un cierto nivel de confianza, además corresponde a la representación gráfica de la precisión de las coordenadas (ALVES, 2008, p. 22). Para el análisis de errores en el ajuste es necesario estudiar el comportamiento de los valores de las desviaciones estándar máxima y mínima (ZEPEDA, 2004, p. 52). - 74 - El desarrollo de las ecuaciones que determinan las elipses de error, parte con la determinación de la MVC de los valores ajustados, determinada por: σ x2 σ xy ∑ xy = 2 σ xy σ y (104) Luego la MVC de los valores ajustados es relacionada al sistema de ejes cartesianos mediante una matriz de rotación R(t): cos t seno t R (t ) = - seno t cos t (105) Donde las nuevas coordenadas son: x' x y ' = R (t ) ⋅ y (106) La MVC de (x’, y’) se calcula por ley de propagación: ∑ x ' y ' = D ∑ xy DT (107) ∂x' ∂x D= ∂y ' ∂x (108) Donde: ∂x' ∂y = R (t ) ∂y ' ∂y Desarrollando los elementos de la matriz ∑ x 'y ' : σ x2' = σ x2 cos 2 t + σ y2 seno 2t + 2σ xy cos t seno t (109) σ y2' = σ x2 seno 2t + σ y2 cos 2t − 2σ xy cos t seno t (110) - 75 - σ x ' y ' = −(σ x2 − σ y2 )cos t seno t + σ xy (cos 2t − seno 2t ) (111) Derivando dos veces (109) respecto a t, para verificar los extremos de la función: ( ) d 2 σ x2' = −2 σ x2 − σ y2 cos 2t − 4σ xy seno 2t 2 dt ( ) (112) La primera derivada de (109) igualada a cero, entrega como resultado: tan 2t = 2σ xy (113) σ x2 − σ y2 Donde las raíces t y t+90°, indican las direcciones ortogonales de los valores críticos, las expresiones de los ángulos críticos son: seno 2t = 2σ xy y cos 2t = M σ x2 − σ y2 M (114) Donde: ( M = 4σ xy2 + σ x2 − σ y2 ) 2 (115) Introduciendo (114) en (112): ( ) ( 2 σ x2 − σ y2 d 2 σ x2' =− dt 2 M ) 2 − 8σ xy2 M (116) GEMAEL (1994, p. 229) concluye: “la función tiene un máximo para valores positivos de M (segunda derivada negativa) y la función tiene un mínimo para valores negativos de M (segunda derivada positiva)”. Finalmente, las funciones que relacionan los valores máximos y mínimos son: - 76 - ( ) (117) ( ) (118) max σ x ' = 0,5 σ x2 + σ y2 + M (Semieje mayor de la elipse) max σ y ' = 0,5 σ x2 + σ y2 − M (Semieje menor de la elipse) El ángulo de rotación queda expresado por la función (113). Gráficamente se representa la elipse de error por la figura 20. Figura 20: Elipse de error. Fuente: Ajuste Geodésico, René Zepeda. - 77 - CAPÍTULO 3 METODOLOGÍA 3.1. DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO. El área de estudio está comprendida por 30 vértices geodésicos pertenecientes al Ministerio de Bienes Nacionales de la República de Chile (ver figura 21), los cuales sirvieron de apoyo para el levantamiento de su cartografía a diferentes escalas. Los 30 vértices geodésicos pertenecen a la VII Región del Maule, fueron medidos y asociados a los SGR: PSAD-56, SAD-69 y SIRGAS, la fecha de medición y de cálculo para SIRGAS corresponde a febrero de 2010. Para el caso de este estudio se realizó el ajuste de vértices geodésicos entre los SGR: PSAD-56 y SIRGAS. Figura 21: Distribución de vértices geodésicos, VII Región del Maule. Fuente: Elaboración propia, a partir de datos proporcionados por el Ministerio de Bienes Nacionales y Google Earth - 78 - El área de estudio fue dividida en tres zonas (ver anexo II), las cuales corresponden a: • Z1-2: Corresponde a la totalidad de los 30 vértices geodésicos, abarcando una extensión aproximada norte-sur de 140 km y este-oeste de 120 km • Z1: Corresponde a una subdivisión ubicada en la zona norte de la zona Z1-2, compuesta por 15 vértices geodésicos, abarcando una extensión aproximada norte-sur de 70 km y esteoeste de 95 km • Z2: Corresponde a una subdivisión ubicada en la zona sur de la zona Z1-2, compuesta por 15 vértices geodésicos, abarcando una extensión aproximada norte-sur de 70 km y esteoeste de 100 km - 79 - 3.2. DETERMINACIÓN DE TOLERANCIA RESIDUAL. En el actual manejo digital de bases cartográficas se ha producido un cambio en el concepto clásico de la escala como algo fijo y dependiente del papel, llegando a ser dinámica y multiescalar (ZEPEDA et al.). Debido a esta razón, se hace necesario establecer precisiones residuales de los ajustes paramétricos de bases cartográficas, las cuales corresponden a: Categoría Precisión Residual Métrica 5m MétricaSubmétrica 0,5 a 2 m Decimétrica < 0,5 m Origen Aplicación Instituto Geográfico Cartografía regular a escalas Militar 1:25.000 a 1:250.000 Ministerio de Bienes Cartografía y planos rurales a Nacionales escalas 1:25.000 a 1:10.000 Todos los planos urbanos y/o Ministerio de Bienes rurales a escalas mayores a Nacionales 1:10.000 Tabla 5: Precisiones residuales. Fuente: www.cartografia.cl; “Parámetros de Transformación Entre Sistemas de Referencia Geodésicos y Cartográficos”. Con el propósito de cumplir con el objetivo de determinar el nivel de precisión en el ajuste de vértices geodésicos asociados a bases cartográficas en escalas grandes, a partir de la referencia establecida en la tabla 5, se establece como tolerancia en el ajuste de vértices geodésicos la precisión decimétrica, estableciendo una modificación determinada por: Precisión decimétrica < 0,5 m Concluyéndose que la aplicación corresponde a bases cartográficas que poseen escalas iguales o mayores a 1:10.000. - 80 - 3.3. CONVERSIÓN DE COORDENADAS. El modelo de Similaridad 3-D de Molodensky-Badekas, utiliza coordenadas tridimensionales en las transformaciones, es por esta razón que las coordenadas de proyección UTM de los distintos vértices geodésicos deben ser convertidas a coordenadas cartesianas tridimensionales. El proceso de conversión de coordenadas entre los SGR: PSAD-56 y SIRGAS comienza con la conversión de coordenadas de proyección UTM ( E UTM , N UTM ) a coordenadas TM ( xTM , yTM ), despejando las expresiones (13) y (14) obteniéndose: xTM = y TM = (E UTM − 500.000m ) m0 (N UTM − 10.000.000m ) m0 (119) (120) La conversión de coordenadas TM ( xTM , yTM ) a coordenadas geodésicas ( φ , λ ), asociadas al elipsoide Internacional de Hayford (ver tabla 1), está determinada por la expresión (5). La conversión de coordenadas geodésicas ( φ , λ ) a coordenadas cartesianas tridimensionales (x, y, z) está determinada por la expresión (184). Luego de aplicados los parámetros de transformación en el modelo de Molodensky- Badekas, se debe realizar el proceso inverso, partiendo con la conversión de coordenadas cartesianas tridimensionales (x, y, z) a coordenadas geodésicas ( φ , λ ), asociadas al elipsoide GRS80 (ver tabla 4), mediante la expresión (185). La conversión de coordenadas geodésicas ( φ , λ ) a coordenadas TM ( xTM , yTM ), está determinada por la expresión (1). La conversión de coordenadas TM ( xTM , yTM ) a coordenadas UTM ( E UTM , N UTM ), está determinada por las expresiones (13) y (14). - 81 - En el proceso de conversión de coordenadas se consideran las alturas correspondientes a los dos SGR con un valor igual a cero, con el propósito de que las diferencias altimétricas no influyan en la determinación de los parámetros de transformación y en las precisiones asociadas, en el modelo de transformación Molodensky-Badekas. - 82 - 3.4. DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS DE PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA. La elección de los parámetros de la proyección cartográfica TM a utilizar, está en función del nivel de utilización de los parámetros de la proyección cartográfica TM, donde la proyección UTM (ver apartado 2.2.5.) corresponde a una de las proyecciones cartográficas utilizadas a nivel mundial (FUENTES, 2006, p. 130), además es utilizada en plataformas globales como Google Earth y Google Maps. Debido a los dos aspectos citados anteriormente y considerando que alrededor de un 30% de los vértices corresponde al huso UTM número 18, y además se exceden en menos de medio grado sexagesimal respecto del límite del huso UTM número 19 (70% de vértices geodésicos restantes), se realizó una extensión de del huso UTM número 19, con el objetivo de abarcar la totalidad de vértices geodésicos. 3.4.1. Universal Transversal de Mercator (UTM). Los parámetros de la proyección corresponden a: • Huso: 19 • Meridiano central ( λ0 ): -69º (grados sexagesimales) • Ancho del huso: 7º • Distorsión de escala en el meridiano central ( m0 ): 0,9996 • EUTM : 500.000 m • N UTM : 10.000.000 m - 83 - 3.5. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN EN MODELOS DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y DE SIMILARIDAD 3D. 3.5.1. Modelos Matemáticos de Ajuste. El método paramétrico de mínimos cuadrados fue utilizado en el proceso de estimación de parámetros de transformación de SGR, y los modelos matemáticos de ajuste corresponden a los modelos de transformación bidimensional (Afín 2-D, Similaridad 2-D, Proyectiva 2-D y Polinomial 2-D) y de Similaridad 3D de Molodensky-Badekas. Con el objetivo de simplificar la notación de las distintas expresiones correspondientes a los modelos de transformación abordados en este estudio, las coordenadas planas (x1 , y1 ) , corresponden a las coordenadas planas UTM transformadas a SIRGAS ( x SIRGAS , y SIRGAS ) , y las coordenadas planas (x, y ) corresponden a las coordenadas planas UTM pertenecientes PSAD- 56 ( x PSAD −56 , y PSAD −56 ) . Para el caso del modelo de transformación Molodensky-Badekas, las coordenadas ( x1 , y1 , z1 ) corresponden a las coordenadas cartesianas tridimensionales transformadas a SIRGAS ( xSIRGAS , y SIRGAS , z SIRGAS ) , y las coordenadas ( x, y, z ) corresponden a las coordenadas cartesianas tridimensionales pertenecientes a PSAD-56 ( x PSAD −56 , y PSAD −56 ) . 3.5.1.1. Modelo matemático de ajuste de transformación de Similaridad 2-D. El modelo de ajuste bidimensional de Similaridad 2-D, establecido para un punto de coordenadas planas (x, y), con centroide de coordenadas (xm , y m ) , está determinado por la expresión (27). La matriz A, correspondiente a las derivadas parciales respecto de los parámetros, está determinada por la expresión (78). Su aplicación al modelo de transformación de Similaridad 2-D corresponde a: - 84 - ∂x1 ∂k ∂y A= 1 ∂k L ∂x1 ∂θ ∂y1 ∂θ L 0 0 1 L L 1 (121) Donde: ∂x1 = ( x − x m ) cos θ + ( y − y m ) seno θ ∂k ∂x1 = − k ( x − x m )seno θ + k ( y − y m ) cos θ ∂θ ∂y1 = ( y − y m ) cos θ − ( x − x m )seno θ ∂k ∂y1 = − k ( y − y m )seno θ − k ( x − x m ) cos θ ∂θ El vector de las correcciones de los parámetros (X), está determinado por la expresión: k θ X = Tx Ty (122) El vector de las observaciones (L) corresponde a la diferencia entre los valores aproximados ( L0 ) y los valores observados ( Lb ), los cuales se relacionan en la expresión (81). Para el caso de los modelos de transformación bidimensional, el vector que posee el subíndice 0, corresponde al vector de las observaciones obtenidas de los parámetros aproximados ( X 0 ), y el vector que posee el subíndice SIRGAS, corresponde al vector de las observaciones que poseen como SGR SIRGAS: - 85 - x1 x1 y y 1 1 L = M − M = L0 − Lb xn xn yn yn 0 SIRGAS (123) 3.5.1.2. Modelo matemático de ajuste de transformación Afín 2-D. El modelo de ajuste bidimensional Afín 2-D, establecido para un punto de coordenadas planas (x,y), con centroide de coordenadas ( x m , y m ) , está determinado por la expresión (35). La matriz A, correspondiente a las derivadas parciales respecto de los parámetros, para el modelo de transformación Afín 2-D, está determinada por la expresión: ∂x1 ∂a 1 A= 0 L 0 ∂x1 ∂b1 ∂y1 ∂a2 0 L L 0 ∂y1 ∂b2 L 0 0 1 L L 1 Donde: ∂x1 ∂y1 = = x − xm ∂a1 ∂a 2 ∂x1 ∂y1 = = y − ym ∂b1 ∂b2 El vector de las correcciones de los parámetros (X), está determinado por la expresión: - 86 - (124) a1 a 2 b X = 1 b2 c1 c 2 (125) El vector de las observaciones (L) corresponde a la expresión (123). 3.5.1.3. Modelo matemático de ajuste de transformación Proyectiva 2-D. El modelo de ajuste bidimensional Proyectivo 2-D, establecido para un punto de coordenadas planas (x, y), con centroide de coordenadas (xm , y m ) , está determinado por la expresión (44). La matriz A, correspondiente a las derivadas parciales respecto de los parámetros, para el modelo de transformación Proyectiva 2-D, está determinada por la expresión: ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1 0 0 0 ∂a ∂a ∂a ∂a ∂a 2 3 4 5 1 ∂y1 ∂y1 ∂y1 ∂y1 ∂y1 A= 0 0 0 ∂a 4 ∂a 5 ∂a 6 ∂a 7 ∂a8 L L L L L L L L Donde: (x − xm ) ∂x1 = ∂a1 a 4 ( x − x m ) + a 5 ( y − y m ) + 1 ( y − ym ) ∂x1 = ∂a 2 a 4 ( x − x m ) + a 5 ( y − y m ) + 1 ∂x1 1 = ∂a 3 a 4 ( x − x m ) + a5 ( y − y m ) + 1 ∂x1 − ( x − x m )[a1 ( x − x m ) + a 2 ( y − y m ) + a 3 ] = ∂a 4 [a 4 (x − x m ) + a5 ( y − y m ) + 1]2 - 87 - (126) ∂x1 − ( y − y m )[a1 ( x − x m ) + a 2 ( y − y m ) + a3 ] = ∂a 5 [a4 (x − xm ) + a5 ( y − y m ) + 1]2 ∂y1 − ( x − x m )[a 6 ( x − x m ) + a 7 ( y − y m ) + a8 ] = ∂a 4 a 4 (x − x m ) + a5 ( y − y m ) + 1 ∂y1 − ( y − y m )[a 6 ( x − x m ) + a 7 ( y − y m ) + a8 ] = ∂a 5 a 4 ( x − x m ) + a5 ( y − y m ) + 1 (x − xm ) ∂y1 = ∂a 6 a 4 ( x − x m ) + a 5 ( y − y m ) + 1 ( y − ym ) ∂y1 = ∂a 7 a 4 ( x − x m ) + a 5 ( y − y m ) + 1 ∂y1 1 = ∂a8 a 4 ( x − x m ) + a5 ( y − y m ) + 1 El vector de las correcciones de los parámetros (X), está determinado por la expresión: a1 a 2 a3 a4 X = a 5 a6 a 7 a8 El vector de las observaciones (L) corresponde a la expresión (123). - 88 - (127) 3.5.1.4. Modelo matemático de ajuste de transformación Polinomial 2-D. El modelo matemático de ajuste bidimensional Polinomial 2-D, establecido para un punto de coordenadas planas (x, y), con centroide de coordenadas ( x m , y m ) , está determinado por la expresión (45). La matriz A, correspondiente a las derivadas parciales respecto de los parámetros, para el modelo de transformación Polinomial 2-D, está determinada por la expresión: ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1 1 ∂a1 ∂a 2 ∂a3 ∂a 4 ∂a5 ∂a6 A= 0 0 0 0 0 0 0 L L L L L L L ∂x1 ∂x 0 ∂a7 ∂a8 0 ∂y1 ∂y1 ∂y1 ∂y1 ∂y1 ∂y1 ∂y1 ∂y1 0 0 1 (128) ∂b1 ∂b2 ∂b3 ∂b4 ∂b5 ∂b6 ∂b7 ∂b8 L L L L L L L L L L L Donde: ∂x1 ∂y1 = = (x − xm ) ∂a1 ∂b1 ∂x1 ∂y1 2 = = (x − xm ) ∂a 2 ∂b2 ∂x1 ∂y1 = = ( y − ym ) ∂a3 ∂b3 ∂x1 ∂y1 = = ( x − xm )( y − y m ) ∂a 4 ∂b4 ∂x1 ∂y1 2 = = (x − xm ) ( y − y m ) ∂a5 ∂b5 ∂x1 ∂y1 2 = = ( y − ym ) ∂a 6 ∂b6 ∂x1 ∂y1 2 = = ( x − xm )( y − y m ) ∂a 7 ∂b7 - 89 - 0 0 0 0 0 0 0 ∂x1 ∂y1 2 2 = = (x − xm ) ( y − y m ) ∂a8 ∂a8 El vector de las correcciones de los parámetros (X), está determinado por la expresión: a0 a 1 M a8 X = b0 b1 M b8 (129) El vector de las observaciones (L) corresponde a la expresión (123). 3.5.1.5. Modelo Matemático de ajuste de de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas. El modelo matemático de ajuste establecido para un punto de coordenadas tridimensionales (x, y, z), con centroide de coordenadas ( xm , y m , z m ) , está determinado por la expresión (59). El desarrollo matricial del modelo matemático de ajuste está determinado por las funciones: x1 = ∆x + k ( x - xm ) + ω ( y - y m ) − ψ( z - z m ) + xm = f1 y1 = ∆y − ω ( x - xm ) + k ( y - y m ) + ε ( z - z m ) + y m = f 2 z1 = ∆z + ψ( x - x m ) − ε ( y - y m ) + k ( z - z m ) + z m = f 3 (130) La matriz A, correspondiente a las derivadas parciales respecto de los parámetros, para el modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas de 10 parámetros, está determinada por la expresión: - 90 - ∂x1 ∂∆x = 1 ∂y A= 1 =0 ∂∆x ∂z1 =0 ∂∆x ∂x1 ∂x =0 1 = 0 ∂∆y ∂∆z ∂y1 ∂y =1 1 = 0 ∂∆y ∂∆z ∂z1 ∂z1 =0 =1 ∂∆y ∂∆z ∂x1 ∂x ∂x = −(z - zm ) 1 = 0 1 = ( y - ym ) ∂ψ ∂ε ∂ω ∂y1 ∂y ∂y = 0 1 = (z - zm ) 1 = −(x - xm ) ∂ψ ∂ε ∂ω ∂z1 ∂z ∂z = (x - xm ) 1 = −( y - ym ) 1 = 0 ∂ψ ∂ε ∂ω ∂x1 = (x - xm ) ∂k ∂y1 = ( y - ym ) ∂k ∂z1 = ( z - zm ) ∂k (131) El vector de las correcciones de los parámetros (X), está determinado por la expresión: ∆x ∆y ∆z X =ψ ε ω k (132) El vector de las observaciones (L) corresponde a la diferencia entre los valores aproximados ( L0 ) y los valores observados ( Lb ), los cuales se relacionan en la expresión (81). Para el caso del modelo de transformación Molodensky-Badekas, el vector que posee el subíndice 0, corresponde al vector de las observaciones obtenidas de los parámetros aproximados ( X 0 ), y el vector que posee el subíndice SIRGAS, corresponde al vector de las observaciones que poseen como SGR SIRGAS: x1 x1 y y 1 1 z1 z1 M M L= − = L0 − Lb M M x n xn y y n n z n 0 z n SIRGAS - 91 - (133) 3.5.2. Matriz de pesos. Debido a que no se conocen las varianzas y covarianzas del sistema PSAD-56, se asumen matrices escalares (todos los elementos de la diagonal principal son iguales) como matriz de peso en el ajuste, por lo tanto, las varianzas de peso a priori ( σ 02 ) tendrán valores diferidos para cada modelo de transformación y zona (ver 4.4.). El asumir matrices escalares no influencia en las soluciones del ajuste, ya que, las observaciones poseen igual probabilidad. El empleo de σ 02 diferidas y asociadas a las matrices escalares de pesos, permite la comparación estadística entre σ 02 y σˆ 02 , a través del test de Chi-Cuadrado ( χ 2 ). 3.5.3. Ecuaciones normales. Luego de determinados los modelos matemáticos de ajuste geodésico, es necesaria la obtención de las ecuaciones normales para cada modelo de transformación, donde el vector X está determinado por la ecuación (90). 3.5.4. Iteraciones. Para el caso de ajuste de los modelos de transformación bidimensional y MolodenskyBadekas, el proceso iterativo utilizado en el método paramétrico de ajuste corresponde a las secuencias presentadas en el apartado 2.4.5.5. - 92 - 3.6. DETERMINACIÓN DE MATRICES DE VARIANZA-COVARIANZA. El cálculo de la varianza a posteriori ( σˆ 02 ), está determinado por la expresión (92), para el caso de los distintos modelos de ajuste. 3.6.1. MVC en modelo de transformación de Similaridad 2-D. La determinación de las MVC corresponde a las expresiones: • MVC de los parámetros ajustados ( ∑ X a ): ∑ Xa • σ k2 σ k ,θ σ k ,Tx σ k ,Ty 2 σ σ σ σ k Tx Ty , , , θ θ θ θ = σˆ 02 N −1 = 2 σ Tx ,k σ Tx ,θ σ Tx σ Tx ,Ty 2 σ Ty ,k σ Ty ,θ σ Ty ,Tx σ Ty MVC de las observaciones ajustadas ( ∑ La ): ∑ La = A ∑ X a • (134) σ x21 σ x1 , y1 2 σ y1 , x1 σ y1 M AT = M M M M M L L L L O M M L σ x2n σ xn , yn L σ yn , xn σ y2n L L (135) MVC de los residuos ( ∑V ): ( ∑ V = σˆ 02 AN −1 AT − I −1 ) σ v2x σ v x ,v y L L L 1 1 1 2 σ v y ,v x σ v y L L L 1 1 1 = M M O M M 2 M L σ vxn σ v xn ,v y n M M M L σ v y n ,v xn σ v2y n - 93 - (136) 3.6.2. MVC en modelo de transformación Afín 2-D. La determinación de las MVC corresponde a las expresiones: • MVC de los parámetros ajustados ( ∑ X a ): ∑Xa • σ a21 σ a 1 , a 2 σ a 1 ,b1 σ a 1 ,b2 σ a 1 , c1 σ a 1 ,c 2 2 σ a 2 , a1 σ a2 σ a 2 ,b1 σ a 2 ,b2 σ a 2 ,c1 σ a 2 ,c 2 2 σ b1 , a1 σ b1 , a2 σ b1 σ b1 ,b2 σ b1 ,c1 σ b1 , c2 2 −1 = σˆ 0 N = 2 σ b 2 , a1 σ b 2 , a 2 σ b 2 ,b1 σ b2 σ b 2 , c1 σ b 2 , c2 2 σ c1 , a1 σ c1 , a 2 σ c1 ,b1 σ c1 ,b2 σ c1 σ c1 ,c 2 2 σ c 2 , a1 σ c 2 , a2 σ c 2 ,b1 σ c 2 ,b2 σ c 2 ,c1 σ c 2 (137) MVC de las observaciones ajustadas ( ∑ La ), posee una estructura similar a la expresión (135). • MVC de los residuos ( ∑V ), posee una estructura similar a la expresión (136). 3.6.3. MVC en modelo de transformación Proyectiva 2-D. La determinación de las MVC corresponde a las expresiones: • MVC de los parámetros ajustados ( ∑ X a ): ∑ Xa σ a21 σ a1 ,a2 σ a1 ,a3 σ a1 , a4 σ a1 , a5 σ a1 ,a6 σ a1 ,a7 σ a1 ,a8 2 σ a2 ,a1 σ a2 σ a2 ,a3 σ a2 ,a4 σ a2 ,a5 σ a2 ,a6 σ a2 ,a7 σ a2 ,a8 2 σ a3 ,a1 σ a3 ,a2 σ a3 σ a3 ,a4 σ a3 ,a5 σ a3 ,a6 σ a3 ,a7 σ a3 ,a8 2 σ σ σ σ σ σ σ σ a , a a , a a , a a a , a a , a a , a a , a 4 5 4 6 4 7 4 8 = σˆ 02 N −1 = 4 1 4 2 4 3 4 2 σ a5 , a1 σ a5 ,a2 σ a5 , a3 σ a5 ,a4 σ a5 σ a5 , a6 σ a5 ,a7 σ a5 ,a8 σ σ σ σ σ σ 2 σ a6 ,a7 σ a6 ,a8 a6 , a1 a6 ,a2 a6 ,a3 a6 ,a4 a6 ,a5 a6 2 σ σ σ σ σ σ σ σ a7 ,a1 a7 ,a2 a7 ,a3 a7 ,a4 a7 ,a5 a7 ,a6 a7 a7 ,a8 σ a ,a σ a ,a σ a ,a σ a ,a σ a ,a σ a ,a σ a , a σ a2 8 7 8 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 - 94 - (138) • MVC de las observaciones ajustadas ( ∑ La ), posee una estructura similar a la expresión (135). • MVC de los residuos ( ∑V ), posee una estructura similar a la expresión (136). 3.6.4. MVC en modelo de transformación Polinomial 2-D. La determinación de las MVC corresponde a las expresiones: • MVC de los parámetros ajustados ( ∑ X a ): ∑ X a = σˆ 02 N −1 • σ a20 σ a0 , a1 L 2 σ a0 , a1 σ a1 L M O M M M L = M M L M M L M L M M L M L L L L L L L L M M M M M σ a28 σ a8 ,b0 σ a8 ,b1 L L 2 σ b0 , a8 σ b0 σ b0 ,b1 L L σ b1 , a8 σ b1 ,b0 σ b21 L L M M M O M L L L L σ b28 L L MVC de las observaciones ajustadas ( ∑ La ), posee una estructura similar a la expresión (135). • MVC de los residuos ( ∑V ), posee una estructura similar a la expresión (136). 3.6.5. MVC en el modelo de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas. La determinación de las MVC corresponde a las expresiones: • (139) MVC de los parámetros ajustados ( ∑ X a ): - 95 - ∑Xa • σ ∆2x σ ∆x , ∆y 2 σ ∆y , ∆x σ ∆y σ ∆z , ∆x σ ∆z , ∆y = σˆ 02 N −1 = σψ , ∆x σψ , ∆y σ σ ε , ∆x ε , ∆y σ σ ω , ∆x ω , ∆y σ k , ∆x σ k , ∆y σ ∆y , ∆z σ ∆y ,ψ σ ∆y ,ε σ ∆y ,ψ σ ∆y ,ψ σ ∆2z σ ψ , ∆z σ ∆z ,ψ σ ∆z ,ε σ ∆z ,ψ σ ∆z ,ψ σψ2 σψ ,ε σψ ,ω σψ , k σ ε , ∆z σ ε ,ψ σ ε2 (140) σ ε ,ω σ ε , k σ ω , ∆z σ ω ,ψ σ ω ,ε σ ω2 σ ω ,k σ k , ∆z σ k ,ψ σ k ,ε σ k ,ω σ 2 k MVC de las observaciones ajustadas ( ∑ x y z ): ∑ x y z = ∑ La = A ∑ X a • σ ∆x, ∆z σ ∆x ,ψ σ ∆x ,ε σ ∆x ,ω σ ∆x , k σ x21 σ x1 , y1 2 σ y1 , x1 σ y1 σ z1 , x1 σ z1 , y1 AT = M M M M M M M M σ x ,z L 1 1 σ y ,z 1 σ M M M M 2 z1 1 L L L L L L L L L O M M M L σ x2n σ xn , yn σ xn , z n L σ yn , xn σ y2n σ yn , zn L σ zn , xn σ z n , yn σ z2n L L (141) MVC de los residuos ( ∑V ): ( ∑ V = σˆ 02 AN −1 AT − I −1 ) σ v2x σ v x ,v y σ v x ,v z L L L L 1 1 1 1 1 σ v y ,v x σ v2y σ v y ,v z L L L L 1 1 1 1 1 σ vz ,v x σ v z ,v y σ v2z L L L L 1 1 1 1 1 = M M M O M M M 2 M M L σ v x σ v x , v y σ v x ,v z M n n n n n 2 M M L σ v y ,v x σ v y σ v y ,v z M n n n n n M 2 M M L σ v z ,vx σ v z ,v y σ v z n n n n n - 96 - (142) 3.7. TEST DE CHI-CUADRADO ( χ 2 ). Con el propósito de analizar si σ 02 es estadísticamente igual a σˆ 02 , se recurre al test de Chi- Cuadrado ( χ 2 ), revisado en la sección 2.4.5.6. El planteamiento de hipótesis estadísticas es igual para todos los modelos de ajuste: • Test de hipótesis básica: las varianzas a priori y a posteriori no difieren estadísticamente en un nivel de significancia α =5%. H 0 : σ 02 = σˆ 02 • (143) Test de hipótesis alternativa: las varianzas a priori y a posteriori difieren estadísticamente en un nivel de significancia α =5%. H 1 : σ 02 ≠ σˆ 02 (144) Planteadas las hipótesis estadísticas, se compara el χ c2 (Chi-Cuadrado calculado): σˆ 02 V T PV χ = 2S= σ0 σ 02 2 c (145) Siendo: S = 2 ⋅ n − u (Modelos de ajuste bidimensional) S = 3 ⋅ n − u (Modelo de ajuste tridimensional) n : Número de observaciones. u : Número de parámetros de ajuste. Finalmente, la hipótesis básica no es rechazada, con un nivel de significancia α =5%, si: χ t2( S , 0,025 ) < χ c2 < χ t2(S , 0,975 ) - 97 - (146) 3.8. ELIMINACIÓN DE ERRORES GROSEROS. La identificación de errores groseros en las observaciones se realiza mediante un test basado en la distribución F de Snedecor (ver 2.4.5.7.). El planteamiento de la hipótesis estadística es igual para todos los modelos de ajuste: • Test de hipótesis básica: H 0 : La i-ésima observación posee un error grosero (147) La hipótesis básica no es rechazada, con un nivel de significancia α =5%, si: vi σv Donde: vi : Residuo. σ v : Desviación estándar del residuo. i F1,∞;0,95 = 3,84 = 1,96 - 98 - > 1,96 i (148) 3.9. PROPAGACIÓN DE COVARIANZAS. Con el objetivo de hacer comparativos los modelos de transformación bidimensional y tridimensional, es necesario realizar una propagación de las covarianzas determinadas en un sistema de coordenadas tridimensional, luego a un sistema de coordenadas geodésicas y finalmente a un sistema de proyección plano UTM. 3.9.1. Propagación de Covarianzas a las Coordenadas Geodésicas. Determinada la MVC de las observaciones ajustadas (∑ x y z ), puede ser propagada a las coordenadas geodésicas ( ϕ , λ ), con el fin de analizar las precisiones en el nuevo sistema de coordenadas, a través de la MVC de las coordenadas geodésicas (∑ϕλ ). Por ley de propagación de covarianzas (ver 2.4.4.), el modelo de propagación para un caso no lineal corresponde a: ∑ϕλ = U ∑ x y z U T (149) Donde: ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂x ∂y ∂z U = ∂λ ∂λ ∂λ ∂x ∂y ∂z (150) Y las derivadas parciales: 1 ∂ϕ 1 = 2 ∂x 1 + tan ϕ η 2 ∂η ∂ξ η ∂x − ξ ∂x 1 ∂ϕ 1 = 2 ∂y 1 + tan ϕ η 2 ∂ξ ∂η η ∂y − ξ ∂y 1 ∂ϕ 1 = 2 ∂x 1 + tan ϕ η 2 ∂η ∂ξ η ∂z − ξ ∂z - 99 - (151) ∂ξ ∂ϑ = 3be'2 seno 2ϑ cosϑ ∂x ∂x ∂ξ ∂ϑ = 3be'2 seno 2ϑ cosϑ ∂y ∂y (152) ∂ξ ∂ϑ = 1 + 3be'2 seno 2ϑ cosϑ ∂z ∂z ∂η x ∂ϑ = + 3ae'2 cos 2 ϑ senoϑ ∂x ∂x d ∂η x ∂ϑ = + 3ae'2 cos 2 ϑ senoϑ ∂y d ∂y (153) ∂η ∂ϑ = 3ae'2 cos 2 ϑ senoϑ ∂z ∂z ∂ϑ =− ∂x axz a2 z 2 bd 3 2 2 + 1 b d ∂ϑ =− ∂y ∂ϑ =− ∂z ayz a2 z2 bd 3 2 2 + 1 b d a a z bd 2 2 + 1 b d 2 2 - 100 - (154) 3.9.2. Propagación de Covarianzas a las Coordenadas Planas UTM. Determinada la MVC de las coordenadas geodésicas (∑ϕλ ), puede ser propagada a las coordenadas planas TM ( xTM , y TM ), con el fin de analizar las precisiones en el nuevo sistema de coordenadas, a través de la MVC de las coordenadas planas TM obtención de la MVC de las coordenadas planas UTM (∑ xUTM y UTM (∑ xTM yTM ) y finalmente la ). Por ley de propagación de covarianzas, el modelo de propagación para un caso no lineal corresponde a: ∑ xTM y TM = V ∑ϕλ V T (155) Donde: ∂x ∂ϕ V = ∂x ∂ϕ ∂y ∂λ ∂y ∂λ (156) Las derivadas parciales se calcularon a partir de una simplificación de las fórmulas de conversión de coordenadas geodésicas a coordenadas planas TM (ver 2.2.1.). ∂a ∂x ∂a1 = ∆λ + 3 ∆λ3 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (157) ∂a ∂y ∂B ∂a 2 = + ∆λ2 + 4 ∆λ4 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (158) ∂x = a1 + 3a3∆λ2 + 5a5 ∆λ4 ∂λ (159) ∂y = 2a2 ∆λ + 4a4 ∆λ3 + 6a6 ∆λ5 ∂λ (160) - 101 - Donde: ( ) ) ∂B a 1− e2 =M = ∂ϕ 1 − e 2 sen 2φ ( 3/ 2 [ ( 1 − e 2seno 2ϕ ae 2seno 3ϕ + senoϕ ae 2cos 2ϕ − a ∂a1 = ∂φ e 4seno 4ϕ − 2e 2seno 2ϕ + 1 )] ∂a2 ae 2seno 4ϕ − aseno 2ϕ + acos 2ϕ =− ∂φ 1 − e 2seno 2ϕ 2e 2seno 2ϕ − 2 ( ) ( ) [ ( ) ] ∂a3 seno3ϕ 5ae 4 cos4 ϕ + 6ae 2 cos2 ϕ − ae 2 + senoϕ ae4 cos6 ϕ − 3ae2 cos4 ϕ − cos2 ϕ ae2 + 6a + a =− ∂φ 1 − e 2seno2ϕ 6e 2seno2ϕ − 6 ( ) ( ( ) ) seno 4ϕ 28ae 6 cos 6ϕ + 45ae 4 cos 4ϕ + 18 ae 2 cos 2ϕ − ae 2 + 1 − e 2 seno 2ϕ seno 2ϕ − 28ae 6 cos 6ϕ + 45ae 4 cos 4ϕ + 18 ae 2 cos 2ϕ + a + 4 ae 4 cos 8ϕ + 9 ae 2 cos 6ϕ + 6 a ∂a 4 =− ∂φ 24 e 4 seno 4ϕ − 2e 2 seno 2ϕ + 1 ( ) La determinación de la propagación de covarianzas a las coordenadas planas UTM ( xUTM , y UTM ), está determinada por la influencia generada por la distorsión de escala en el meridiano central ( m0 ), la cual corresponde a una constante que afecta las coordenadas planas TM ( xTM , y TM ). Finalmente, la expresión para la propagación de covarianzas a las coordenadas planas UTM es: ∑ x UTM y UTM = m0 ⋅ ∑ x TM y TM = m ⋅ V 0 - 102 - ∑ ϕλ V T (161) 3.10. ESTIMACIÓN DE ELIPSES DE ERROR. Con el objetivo de analizar las desviaciones estándar máximas, mínimas y su relación en un eje cartesiano mediante una matriz de rotación, se establece la estimación de las elipses de error, en cada uno de los vértices geodésicos ajustados por los distintos modelos de transformación. 3.10.1. Estimación de Elipses de Error en Coordenadas Planas UTM. La estimación de las elipses de error de las coordenadas planas UTM, de cada vértice geodésico ajustado, por cada uno de los modelos de transformación bidimensional y tridimensional, es realizada a través de las fórmulas: ∑ x UTM y UTM σ x21 σ x1 , y1 2 σ y1 , x1 σ y1 = M M M M M M L L L L O M M L σ x2n σ x n , y n L σ y n , x n σ y2n (162) ( ) (163) ( ) (164) L L a = σ max = 0,5 σ x2n + σ y2n + M b = σ min = 0,5 σ x2n + σ y2n − M 2σ x , y arctan 2 n n2 σ x n − σ y n t= 2 Donde: ( M = 4 σ xn , y n ) + (σ 2 2 xn − σ y2n ) 2 a : Semieje mayor de la elipse. b : Semieje menor de la elipse. - 103 - (165) 3.11. DETERMINACIÓN DE LOS RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES. La estimación de los residuos de las observaciones, para todos los modelos de ajuste, está determinada por el vector de residuos que corresponde a la expresión (82). 3.12. DETERMINACIÓN DE LA VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA MERIDIANA. Con el objetivo de analizar las implicancias generadas en el proceso de transformación de bases cartográficas, se establece la determinación de las variaciones de distorsión de escala y convergencia meridiana, las cuales corresponden a las siguientes magnitudes: • Magnitud de variación de distorsión de escala ( ∆m ): corresponde a la diferencia de distorsión de escala entre un punto transformado y asociado al sistema SIRGAS ( m SIRGAS ), y la distorsión de escala asociada al mismo punto correspondiente al sistema PSAD-56 ( m PSAD −56 ). La determinación de esta magnitud es realizada mediante las expresiones (8) y (166). ∆m = mSIRGAS − m PSAD −56 • (166) Magnitud de variación de convergencia meridiana ( ∆C ): corresponde a la diferencia de convergencia meridiana entre un punto transformado y asociado al sistema SIRGAS ( C SIRGAS ), y la convergencia meridiana asociada al mismo punto correspondiente al sistema PSAD-56 ( C PSAD −56 ). La determinación de esta magnitud es realizada mediante las expresiones (10) y (167). ∆C = C SIRGAS − C PSAD −56 (167) Para cuantificar y analizar las magnitudes ∆m y ∆C , son realizadas pruebas de simulación de cambio de SGR desde PSAD-56 a SIRGAS, para puntos dispersos homogéneamente en el área - 104 - de estudio. El modelo de transformación utilizado para las pruebas de simulación corresponde al modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas. 3.13. DETERMINACIÓN DE LOS RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL. Con el propósito de validar los modelos de transformación dentro del área de estudio, se establece la determinación de los residuos de los puntos de control. Tales residuos corresponden a la diferencia existente entre los puntos de control pertenecientes al SGR SIRGAS y los puntos de control pertenecientes al SGR PSAD-56, los cuales son transformados a través de los parámetros de transformación previamente determinados. - 105 - CAPÍTULO 4 RESULTADOS Para efectos de presentación de resultados, en algunos casos se muestran los indicadores de precisión, los cuales están en función de su desviación estándar de precisión unitaria, la cual se desprende de la Distribución Normal Estandarizada, que posee un promedio µ = 0 y además establece la relación: σ 2 = σ = 1 . Según lo planteado, σ corresponde a la probabilidad de error de un 68,27 % y 2σ corresponde a la probabilidad de error de un 95,45 %. En la presentación de resultados las zonas Z1-2 (2) y Z2 (2), corresponden a zonas donde se tuvo que recalcular los modelos de ajuste, debido a la eliminación de observaciones que poseían errores groseros (ver 4.5.). 4.1. PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN. La estimación de los parámetros de transformación y sus respectivas precisiones ( σ ), fueron obtenidas a través de la metodología planteada en los apartados 3.5. y 3.6., para las distintas zonas y modelos de transformación. - 106 - MODELO DE TRANSFORMACIÓN DE SIMILARIDAD 2-D Z1-2 Z1 Z2 PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ k 1,000003491 0,000001049 0,000002098 1,000002178 0,000002075 0,000004150 1,000005887 0,000000930 0,000001859 0,000000900 0,000001049 0,000002098 0,000009653 0,000002075 0,000004150 0,000000219 0,000000930 0,000001859 Tx Ty -183,174 0,061 0,122 -183,249 0,085 0,170 -183,103 0,036 0,072 -373,597 0,061 0,122 -373,438 0,085 0,170 -373,724 0,036 0,072 CENTROIDE - - - - - - - - - xm 246234,036 - - 256945,730 - - 236160,712 - - ym 6058257,793 - - 6095713,773 - - 6020121,416 - - θ Tabla 6: Parámetros de transformación modelo de Similaridad 2-D. MODELO DE TRANSFORMACIÓN AFÍN 2-D Z1-2 PARÁMETRO Z1 Z2 VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ 1,000002266 0,000001375 0,000002751 1,000000947 0,000001864 0,000003728 1,000003856 0,000000572 0,000001145 -0,000007679 0,000001375 0,000002751 -0,000013906 0,000001864 0,000003728 -0,000000769 0,000000572 0,000001145 -0,000002464 0,000001050 0,000002101 -0,000002075 0,000003054 0,000006108 -0,000000564 0,000001110 0,000002219 1,000005868 0,000001050 0,000002101 1,000003513 0,000003054 0,000006108 1,000013695 0,000001110 0,000002219 -183,187 0,048 0,096 -183,261 0,065 0,130 -183,098 0,022 0,043 -373,554 0,048 0,096 -373,427 0,065 0,130 -373,651 0,022 0,043 CENTROIDE - - - - - - - - - xm 246234,036 - - 256945,730 - - 236160,712 - - ym 6058257,793 - - 6095713,773 - - 6020121,416 - - a1 a2 b1 b2 c1 c2 Tabla 7: Parámetros de transformación modelo Afín 2-D. - 107 - MODELO DE TRANSFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D Z1-2 PARÁMETRO a1 a2 a3 a4 a5 Z1 Z2 VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ 1,000002653 0,000001040 0,000002080 1,000000647 0,000001903 0,000003805 1,000004092 0,000000590 0,000001181 -0,000002341 0,000000788 0,000001576 -0,000003233 0,000003157 0,000006313 -0,000000156 0,000001111 0,000002221 -183,032 0,043 0,086 -183,162 0,095 0,189 -183,055 0,029 0,058 1,21E-10 2,05E-11 4,10E-11 8,25E-11 5,66E-11 1,13E-10 3,65E-11 1,74E-11 3,48E-11 1,42E-11 1,84E-11 3,68E-11 1,25E-11 7,27E-11 1,45E-10 -9,11E-12 3,27E-11 6,54E-11 a6 -0,000008380 0,000001038 0,000002076 -0,000014460 0,000001888 0,000003775 -0,000000969 0,000000572 0,000001144 a7 1,000006031 0,000000797 0,000001594 1,000003602 0,000003186 0,000006372 1,000013428 0,000001081 0,000002161 a8 -373,481 0,052 0,103 -373,425 0,072 0,144 -373,656 0,024 0,047 CENTROIDE - - - - - - - - - xm 246234,036 - - 256945,730 - - 236160,712 - - ym 6058257,793 - - 6095713,773 - - 6020121,416 - - Tabla 8: Parámetros de transformación modelo Proyectivo 2-D. - 108 - MODELO DE TRANSFORMACIÓN POLINOMIAL 2-D Z1-2 Z1 Z2 PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ a0 -183,067 0,073 0,146 -183,298 0,005 0,010 -182,973 0,002 0,003 1,000003354 0,000001301 0,000002601 0,999998821 0,000000102 0,000000205 1,000004337 0,000000056 0,000000113 -8,17E-11 4,83E-11 9,66E-11 3,02E-11 7,49E-12 1,50E-11 -8,63E-11 1,56E-12 3,13E-12 -0,000002587 0,000000686 0,000001373 -0,000008711 0,000000513 0,000001025 0,000004529 0,000000149 0,000000298 -3,38E-11 2,04E-11 4,08E-11 6,11E-11 7,19E-12 1,44E-11 1,14E-10 3,97E-12 7,95E-12 2,91E-16 5,05E-16 1,01E-15 2,06E-15 4,84E-16 9,68E-16 -2,85E-15 1,94E-16 3,88E-16 a6 -2,89E-11 2,33E-11 4,67E-11 2,68E-10 1,51E-11 3,02E-11 -4,03E-12 8,67E-12 1,73E-11 a7 -6,24E-16 6,22E-16 1,24E-15 2,31E-15 2,26E-16 4,53E-16 4,95E-15 2,86E-16 5,72E-16 a8 2,24E-20 1,74E-20 3,48E-20 -1,64E-19 1,08E-20 2,16E-20 4,23E-20 1,93E-20 3,86E-20 b0 -373,631 0,073 0,146 -373,943 0,005 0,010 -373,688 0,002 0,003 -0,000009963 0,000001301 0,000002601 -0,000022466 0,000000102 0,000000205 -0,000001144 0,000000056 0,000000113 1,02E-10 4,83E-11 9,66E-11 4,47E-10 7,49E-12 1,50E-11 2,75E-11 1,56E-12 3,13E-12 1,000005088 0,000000686 0,000001373 0,999985572 0,000000513 0,000001025 1,000013362 0,000000149 0,000000298 -2,55E-10 2,04E-11 4,08E-11 3,41E-10 7,19E-12 1,44E-11 -5,40E-11 3,97E-12 7,95E-12 1,22E-15 5,05E-16 1,01E-15 2,74E-15 4,84E-16 9,68E-16 -1,32E-15 1,94E-16 3,88E-16 b6 -1,27E-11 2,33E-11 4,67E-11 1,04E-09 1,51E-11 3,02E-11 -7,36E-11 8,67E-12 1,73E-11 b7 -2,30E-17 6,22E-16 1,24E-15 1,27E-14 2,26E-16 4,53E-16 1,55E-15 2,86E-16 5,72E-16 b8 3,08E-20 1,74E-20 3,48E-20 -7,24E-19 1,08E-20 2,16E-20 1,13E-19 1,93E-20 3,86E-20 CENTROIDE - - - - - - - - - xm 246234,036 - - 256945,730 - - 236160,712 - - ym 6058257,793 - - 6095713,773 - - 6020121,416 - - a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 Tabla 9: Parámetros de transformación modelo Polinomial 2-D. - 109 - MODELO DE TRANSFORMACIÓN MOLODENSKY-BADEKAS Z1-2 PARÁMETRO ∆x ∆y ∆z ψ ε ω Z1 Z2 VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ -346,185 0,050 0,099 -345,414 0,070 0,140 -346,953 0,030 0,059 391,358 0,050 0,100 389,076 0,070 0,140 393,635 0,031 0,063 -292,321 0,050 0,099 -293,932 0,070 0,140 -290,656 0,030 0,061 -0,000041894 0,000001028 0,000002057 -0,000048474 0,000002073 0,000004147 -0,000041575 0,000000912 0,000001824 -0,000057543 0,000001162 0,000002324 -0,000055313 0,000003140 0,000006281 -0,000057793 0,000001612 0,000003223 0,000024230 0,000001267 0,000002534 0,000019217 0,000001923 0,000003847 0,000024518 0,000000828 0,000001655 k 1,000002300 0,000000854 0,000001707 1,000001027 0,000001713 0,000003426 1,000004643 0,000000764 0,000001528 CENTROIDE - - - - - - - - - xm 1621831,842 - - 1639725,018 - - 1604331,264 - - ym -4933041,594 - - -4949798,072 - - -4915524,901 - - zm -3691013,091 - - -3660753,437 - - -3721695,693 - - Tabla 10: Parámetros de transformación modelo Molodensky-Badekas 3-D. - 110 - Los parámetros de transformación de los modelos de ajuste recalculados corresponden a: MODELO DE TRANSFORMACIÓN DE SIMILARIDAD 2-D Z1-2 (2) PARÁMETRO k VALOR Z1 (2) 2σ σ VALOR 2σ σ 1,000000886 0,000000641 0,000001282 1,000000939 0,000001921 0,000003841 -0,000001324 0,000000641 0,000001282 0,000005847 0,000001921 0,000003841 Tx Ty -183,160 0,039 0,077 -183,243 0,076 0,152 -373,827 0,039 0,077 -373,579 0,076 0,152 CENTROIDE - - - - - - xm 246234,036 - - 256945,730 - - 6058257,793 - - 6095713,773 - - θ ym Tabla 11: Parámetros de transformación modelo de Similaridad 2-D (recalculado). MODELO DE TRANSFORMACIÓN AFÍN 2-D Z1-2 (2) PARÁMETRO VALOR σ 2σ 1,000002707 0,000001244 0,000002488 -0,000004930 0,000001244 0,000002488 -0,000002803 0,000000951 0,000001902 1,000003755 0,000000951 0,000001902 -183,201 0,043 0,086 -373,642 0,043 0,086 CENTROIDE - - - xm 246234,036 - - ym 6058257,793 - - a1 a2 b1 b2 c1 c2 Tabla 12: Parámetros de transformación modelo Afín 2-D (recalculado). - 111 - MODELO DE TRANSFORMACIÓN MOLODENSKY-BADEKAS Z1-2 (2) Z1 (2) PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR Σ 2σ Tx Ty Tz -346,220 0,032 0,064 -345,437 0,063 0,127 391,486 0,035 0,069 389,152 0,064 0,128 -292,507 0,033 0,067 -294,046 0,064 0,127 -0,000040192 0,000000639 0,000001279 -0,000045515 0,000001828 0,000003656 -0,000058131 0,000000848 0,000001696 -0,000056307 0,000002686 0,000005372 0,000025491 0,000000895 0,000001791 0,000021363 0,000001846 0,000003693 k 0,999999729 0,000000526 0,000001052 0,999999812 0,000001595 0,000003190 CENTROIDE - - - - - - xm 1621831,842 - - 1639725,018 - - ym -4933041,594 - - -4949798,072 - - zm -3691013,091 - - -3660753,437 - - ψ ε ω Tabla 13: Parámetros de transformación modelo Molodensky-Badekas 3-D (recalculado). - 112 - 4.2. ELIPSES DE ERROR. El análisis de las precisiones de los vértices geodésicos transformados, está determinado por las elipses de error, las cuales fueron obtenidas a través de la metodología planteada en el apartado 3.10.1., para las distintas zonas y modelos de transformación. Los modelos de transformación de Similaridad 2-D, Afín 2-D, Polinomial 2-D y Molodensky-Badekas; presentan los mismos valores en los semiejes de las elipses de error correspondientes, por cual no influye el ángulo de rotación de las elipses de error. Se presentan los resultados de los modelos de transformación antes citados en un mismo gráfico, apartando el modelo de transformación Proyectiva 2-D, el cual posee distintos valores en los semiejes de las elipses de error correspondientes, por lo cual el ángulo de rotación de las elipses de error sí influye en su orientación. 2σ MAX-MIN Z1-2 0,250 0,150 0,100 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D POLINOMIAL 2-D Gráfico 1: 2σ máximo y mínimo, zona Z1-2. - 113 - MOLODENSKY-BADEKAS A 2 VS 2 A 1 VS 1 vértice VL L VL L VA N 2 I1 I2 VA N 1 U N U N Q 2 TL Q 1 TL P2 ET R 1 PO C 1 EM M 2 M 1 C D R 1 R 2 C D VP VP VI L2 E2 E1 VI L1 H U H U U A2 G P1 U A1 G EM Q 2 C H A 2 Q 1 C H C D U 1 A 1 C D B R T1 0,050 B O metros 0,200 2σ MAX Y 2σ MIN EN MODELO DE TRANSFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z1-2 0,250 0,150 0,100 VS A 2 VS A 1 2 1 VL L VL L VA N 2 I2 VA N 1 I1 U N U N Q 2 TL Q 1 TL 1 C 1 PO P2 ET R M 2 EM C D C D M 1 R 2 R 1 VP VP VI L2 E2 VI L1 E1 H U H U U A2 G P1 U A1 G Q 2 C H EM Q 1 A 2 C H A 1 C D C D B R B O T1 U 1 0,050 vértice 2σ max 2σ min Gráfico 2: 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1-2. ÁNGULO DE ROTACIÓN (t) ELIPSES DE ERROR MODELO DE TRANFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z1-2 50,000 30,000 10,000 -10,000 -30,000 vértice t Gráfico 3: Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1-2. - 114 - VS A 2 1 2 A VS VL L 1 VL L 1 2 VA N VA N N I2 U N I1 U Q 2 TL ET R 1 PO C 1 TL Q 1 D M 2 EM P2 C C D M 1 2 1 R VP 2 R VP VI L 1 VI L U E2 H U E1 H U A2 G P1 U A1 G EM H Q 2 C H Q 1 C D A 2 C D A 1 C R U 1 B O T1 -50,000 B grados sexagesimales metros 0,200 VP VP R 2 1 R 2 VI L VI L 1 U E2 H U E1 H U A2 G U A1 G P1 EM H Q 2 C H Q 1 D A 2 C C C D A 1 R U 1 B B O T1 metros 2σ MAX-MIN Z1 0,400 0,350 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,000 vértice SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS Gráfico 4: 2σ máximo y mínimo, zona Z1. vértice 2σ max 2σ min Gráfico 5: 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1. - 115 - VP R 2 1 R VP 2 VI L 1 VI L E2 H U E1 H U U A2 G U A1 G P1 EM Q 2 C H Q 1 C H A 2 C D A 1 C D U 1 B R T1 B O metros 2σ MAX Y 2σ MIN EN MODELO DE TRANSFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z1 0,500 0,450 0,400 0,350 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 ÁNGULO DE ROTACIÓN (t) ELIPSES DE ERROR MODELO DE TRANFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z1 30,000 10,000 -10,000 -30,000 VP R 2 1 VP R 2 VI L 1 VI L U E2 H U E1 H U A2 G U A1 G P1 EM C C H Q 2 H Q 1 D A 2 C C B O B D A 1 R U 1 -50,000 T1 grados sexagesimales 50,000 vértice t (°) Gráfico 6: Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1. 2σ MAX-MIN Z2 0,100 0,050 vértice SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D POLINOMIAL 2-D Gráfico 7: 2σ máximo y mínimo, zona Z2. - 116 - MOLODENSKY-BADEKAS VS A 2 1 A VS 2 VL L 1 VL L 2 VA N 1 VA N N I2 U N I1 U Q 2 TL Q 1 TL C 1 PO ET R 1 P2 EM M 2 C D M 1 0,000 C D metros 0,150 2σ MAX Y 2σ MIN EN MODELO DE TRANSFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z2 0,100 0,050 2 VS A 1 A VS 2 VL L 1 VL L 2 VA N VA N 1 N I2 U N I1 U TL TL Q 2 Q 1 C 1 PO P2 C D EM M 2 M 1 C D ET R 1 0,000 vértice 2σ max 2σ min Gráfico 8: 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z2. ÁNGULO DE ROTACIÓN (t) ELIPSES DE ERROR MODELO DE TRANFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z2 50,000 30,000 10,000 -10,000 -30,000 vértice t (°) Gráfico 9: Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z2. - 117 - A 2 VS A 1 VS 2 VL L 1 VL L VA N 2 U N VA N 1 I2 I1 U N Q 2 TL Q 1 TL C 1 PO 1 ET R P2 EM M 2 C D M 1 -50,000 C D grados sexagesimales metros 0,150 Los resultados correspondientes a los modelos de transformación recalculados son: 2σ MAX-MIN EN MODELO DE TRANSFORMACIÓN AFÍN 2-D, Z1-2 (2) 0,200 metros 0,175 0,150 0,125 A 2 VS A 1 2 VS VL L VL L 1 VA N 2 I2 VA N 1 U N I1 U N Q 2 TL TL Q 1 C 1 1 PO ET R P2 EM M 2 C D C D VP M 1 R 2 R 1 VP VI L2 VI L1 E2 H U E1 H U U A2 G G U A1 P1 A 2 EM C D C D A 1 U 1 B R B O T1 0,100 vértice AFÍN 2-D Gráfico 10: 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Afín 2-D, zona Z1-2 (2). 2σ MAX-MIN Z1-2 (2) 0,100 0,050 vértice SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS Gráfico 11: 2σ máximo y mínimo, modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas , zona Z1-2 (2). - 118 - 2 VS A 1 A VS 2 VL L 2 1 VL L VA N 1 VA N N I2 U N I1 U Q 2 TL Q 1 TL C 1 PO ET R 1 D M 2 C D M 1 C 2 VP R 1 R VP 2 VI L 1 VI L U E2 H U E1 H D A 2 C D A 1 C R U 1 B O T1 0,000 B metros 0,150 2σ MAX-MIN Z1 (2) 0,350 0,250 0,200 0,150 vértice SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS Gráfico 12: 2σ máximo y mínimo, modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas , zona Z1 (2). - 119 - VP R 2 1 R VP 2 VI L 1 VI L U E2 H U E1 H U A2 G U A1 G P1 EM D A 2 C D A 1 C R U 1 B O T1 0,100 B metros 0,300 4.3. RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES. La validación de los modelos de transformación abordados, está determinada por el vector de residuos, el cual es presentado mediante la diferencia entre las coordenadas (norte o este) pertenecientes al SGR SIRGAS y las coordenadas transformadas. RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1-2 0,600 0,200 0,000 -0,200 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D Gráfico 13: Residuos coordenada este, zona Z1-2. - 120 - MOLODENSKY-BADEKAS 2 A 1 VS A 2 vértice VS 1 VL L 2 N VL L 1 VA N I2 N VA I1 U N U P2 ET R 1 PO C 1 TL Q 1 TL Q 2 M 2 EM C D M 1 2 D R C R 2 1 1 VP VP VI L VI L E2 H U E1 U H A2 U G U A1 P1 G Q 2 H EM Q 1 H D A C C 2 1 A C D R U C B O T1 1 -0,400 B metros 0,400 2 A A 2 1 VS VS 1 VL L 2 N VL L 1 VA N I2 N VA I1 U N U P2 ET R 1 PO C 1 TL Q 1 TL Q 2 M 2 D C EM M 1 2 C D R 1 VP 2 1 R VP VI L E2 VI L U E1 H U A2 H U G U A1 P1 G Q 2 EM H Q 1 C H A C D C D A 2 1 1 U C R B B O T1 metros RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1-2 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 -0,200 -0,400 -0,600 -0,800 -1,000 -1,200 vértice SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS Gráfico 14: Residuos coordenada norte, zona Z1-2. RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1 0,600 metros 0,400 0,200 0,000 -0,200 -0,400 -0,600 BOT1 BRU1 CDA1 CDA2 CHQ1 CHQ2 EMP1 GUA1 GUA2 HUE1 HUE2 VIL1 VIL2 VPR1 vértice SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D Gráfico 15: Residuos coordenada este, zona Z1. - 121 - MOLODENSKY-BADEKAS VPR2 metros RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 -0,200 -0,400 -0,600 -0,800 BOT1 BRU1 CDA1 CDA2 CHQ1 CHQ2 EMP1 GUA1 GUA2 HUE1 HUE2 VIL1 VIL2 VPR1 VPR2 vértice SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS Gráfico 16: Residuos coordenada norte, zona Z1. RESIDUOS COORDENADA ESTE Z2 0,200 metros 0,100 0,000 -0,100 -0,200 CDM1 CDM2 EMP2 ETR1 POC1 TLQ1 TLQ2 UNI1 UNI2 VAN1 VAN2 VLL1 VLL2 VSA1 vértice SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D Gráfico 17: Residuos coordenada este, zona Z2. - 122 - MOLODENSKY-BADEKAS VSA2 RESIDUOS COORDENADA NORTE Z2 0,300 0,200 metros 0,100 0,000 -0,100 -0,200 -0,300 -0,400 CDM1 CDM2 EMP2 ETR1 POC1 TLQ1 TLQ2 UNI1 UNI2 VAN1 VAN2 VLL1 VLL2 VSA1 VSA2 vértice SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS Gráfico 18: Residuos coordenada norte, zona Z2. Los resultados correspondientes a los modelos de transformación recalculados son: RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1-2 (2) 0,200 0,000 -0,100 -0,200 vértice SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS Gráfico 19: Residuos coordenada este, zona Z1-2 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas. - 123 - 2 VS A 1 A VS 2 VL L 2 1 VL L N 1 VA N VA I2 U N I1 N U Q 2 TL Q 1 1 C PO TL 1 ET R M 2 C C D D M 1 2 R 1 VP R VP 2 VI L 1 VI L E2 H U E1 U 2 H D C C D A A 1 1 RU B O T1 -0,300 B metros 0,100 2 A VS A1 VS VL L VL L 2 1 2 1 VA N VA N I2 U N I1 U TL N Q 2 Q 1 TL PO C1 ET R 1 C C DM 2 D M 1 2 R 1 VP R VP VI L 2 1 VI L E2 E1 H U C D CD H U A A2 1 1 U BR B O T1 metros RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1-2 (2) 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 -0,100 -0,200 -0,300 -0,400 -0,500 -0,600 -0,700 vértice SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS Gráfico 20: Residuos de coordenada norte, zona Z1-2 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas. RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1-2 (2) 0,200 0,000 -0,100 -0,200 AFÍN 2-D Gráfico 21: Residuos coordenada este, zona Z1-2 (2), modelo de transformación Afín 2-D. - 124 - A 2 VS A1 VS 2 VL L 1 VL L N 2 N 1 VA vértice VA I2 U N I1 N U Q 2 TL 1 C Q 1 TL 1 PO ET R P2 EM M 2 D C 2 M 1 CD VP R 1 R VP 2 VI L 1 VI L E2 H U E1 H U G U A2 A1 G U P1 EM C D A 2 1 D A C U R B O T1 1 -0,300 B metros 0,100 2 1 A 2 VS A VS 1 VL L VL L 1 VA N2 I2 VA N I1 UN N U Q 2 TL ET R 1 PO C 1 TL Q 1 CD M 2 EM P2 2 D M 1 C R 1 VP 2 R VP VI L 1 E2 VI L H U E1 H U A2 U G UA 1 G P1 2 A EM C D C D A 1 U1 R B BO T1 metros RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1-2 (2) 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 -0,100 -0,200 -0,300 -0,400 -0,500 -0,600 vértice AFÍN 2-D Gráfico 22: Residuos coordenada norte, zona Z1-2 (2), modelo de transformación Afín 2-D. RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1 (2) 0,300 0,200 metros 0,100 0,000 -0,100 -0,200 -0,300 -0,400 BOT1 BRU1 CDA1 CDA2 EMP1 GUA1 GUA2 vértice SIMILARIDAD 2-D HUE1 HUE2 VIL1 VIL2 VPR1 MOLODENSKY-BADEKAS Gráfico 23: Residuos coordenada este, zona Z1 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas. - 125 - VPR2 metros RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1 (2) 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 -0,100 -0,200 -0,300 -0,400 -0,500 -0,600 BOT1 BRU1 CDA1 CDA2 EMP1 GUA1 GUA2 vértice SIMILARIDAD 2-D HUE1 HUE2 VIL1 VIL2 VPR1 MOLODENSKY-BADEKAS Gráfico 24: Residuos coordenada norte, zona Z1 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas. - 126 - VPR2 4.4. ESTADÍSTICA ( χ 2 ). La calidad global de los ajustes está determinada por el test de Chi-Cuadrado ( χ 2 ), el cual fue realizado con el objetivo de tener un 95% de certeza en las estimaciones. Los valores correspondientes fueron obtenidos a través de la metodología planteada en el apartado 3.7., para las distintas zonas y modelos de transformación. Z1-2 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS 20,474 11,929 9,682 4,286 20,084 56 54 52 42 83 0,3 0,3 0,2 0,15 0,3 σˆ 02 0,366 0,221 0,186 0,102 0,242 χ c2 68,247 39,762 48,409 28,574 66,946 χ S2, 0, 025 37,2116 35,5863 33,9681 25,9987 59,6917 χ S2, 0,975 78,5671 76,1921 73,8099 61,7767 110,0902 ELEMENTO V T PV S σ 2 0 Tabla 14: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1-2. Z1 ELEMENTO V T PV S SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS 9,344 5,044 6,819 0,079 9,304 26 24 22 12 38 σ 2 0 0,3 0,3 0,2 0,005 0,3 σˆ 2 0 0,359 0,210 0,310 0,007 0,245 χ c2 31,148 16,812 34,097 15,717 31,015 χ S2, 0, 025 13,8439 12,4011 10,9823 4,4038 22,8785 χ S2, 0,975 41,9231 39,3641 36,7807 23,3367 56,8955 Tabla 15: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1. - 127 - Z2 ELEMENTO SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS 3,093 1,276 1,518 0,031 4,574 V T PV S 26 24 22 12 38 σ 2 0 0,15 0,1 0,07 0,002 0,1 σˆ 2 0 0,119 0,053 0,069 0,003 0,120 χ 2 c 20,623 12,763 21,691 15,691 45,740 χ S2, 0, 025 13,8439 12,4011 10,9823 4,4038 22,8785 χ S2, 0,975 41,9231 39,3641 36,7807 23,3367 56,8955 Tabla 16: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z2. Z1-2 (2) ELEMENTO SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D MOLODENSKYBADEKAS 7,071 11,253 9,367 V T PV S 44 50 65 σ 2 0 0,2 0,2 0,15 σˆ 2 0 0,161 0,225 0,144 χ 2 c 35,353 56,266 62,450 χ 2 S , 0 , 025 27,5745 32,3574 44,603 χ 2 S , 0 , 975 64,2014 71,4202 89,1772 Tabla 17: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1-2 (Modelos de transformación recalculados). Z1 (2) SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKYBADEKAS 5,140 7,730 22 32 0,3 0,2 σˆ 02 0,234 0,242 χ c2 17,134 38,649 χ S2, 0, 025 10,9823 18,2908 χ S2, 0,975 36,7807 49,4804 ELEMENTO V T PV S σ 2 0 Tabla 18: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1 (Modelos de transformación recalculados). - 128 - 4.5. ELIMINACIÓN DE OBSERVACIONES. La eliminación de observaciones está determinada por dos criterios establecidos en la metodología, los cuales corresponden a la tolerancia residual (ver 3.2.) y el test basado en la distribución estadística F de Snedecor (ver 3.8.). A continuación, se presentan las observaciones eliminadas, basadas en los dos criterios anteriormente descritos, según el modelo de transformación y la zona a la cual pertenecen. El campo “AJUSTE”, corresponde al número de ajuste en que se identificaron las observaciones que poseían errores groseros que afectan al resultado esperado. SIMILARIDAD 2-D (Z1-2) COORDENADA VÉRTICE F SNEDECOR UTM AJUSTE RESIDUO 1 CHQ1 NORTE 3,378 -1,073 1 CHQ2 NORTE 3,416 -1,085 2 GUA1 NORTE 2,753 -0,677 2 GUA2 NORTE 2,732 -0,671 3 EMP1 NORTE 2,871 -0,609 3 EMP2 NORTE 2,846 -0,603 Tabla 19: Observaciones eliminadas en modelo de Similaridad 2-D (Z1-2). MOLODENSKY-BADEKAS (Z1-2) F SNEDECOR RESIDUO COORDENADA (COORDENADA (COORDENADA UTM TRIDIMENSIONAL) TRIDIMENSIONAL) AJUSTE VÉRTICE COORDENADA TRIDIMENSIONAL 1 CHQ1 Z 3,400 -0,867 NORTE -1,063 1 CHQ2 Z 3,439 -0,877 NORTE -1,075 2 GUA1 Z 2,743 -0,544 NORTE -0,671 2 GUA2 Z 2,721 -0,540 NORTE -0,666 3 EMP1 Z 2,884 -0,492 NORTE -0,607 3 EMP2 Z 2,856 -0,488 NORTE -0,601 Tabla 20: Observaciones eliminadas en modelo Molodensky-Badekas (Z1-2) AFÍN 2-D (Z1-2) COORDENADA F SNEDECOR UTM AJUSTE VÉRTICE RESIDUO 1 CHQ1 NORTE 2,810 -0,667 1 CHQ2 NORTE 2,855 -0,677 Tabla 21: Observaciones eliminadas en modelo Afín 2-D (Z1-2) - 129 - RESIDUO (UTM) SIMILARIDAD 2-D (Z1) COORDENADA VÉRTICE F SNEDECOR UTM AJUSTE RESIDUO 1 CHQ1 NORTE 2,131 -0,637 1 CHQ2 NORTE 2,169 -0,648 Tabla 22: Observaciones eliminadas en modelo de Similaridad 2-D (Z1). MOLODENSKY BADEKAS (Z1) F SNEDECOR RESIDUO COORDENADA (COORDENADA (COORDENADA UTM TRIDIMENSIONAL) TRIDIMENSIONAL) AJUSTE VÉRTICE COORDENADA TRIDIMENSIONAL 1 CHQ1 Z 2,129 -0,520 NORTE -0,636 1 CHQ2 Z 2,168 -0,530 NORTE -0,647 Tabla 23: Observaciones eliminadas en modelo Molodensky-Badekas (Z1) - 130 - RESIDUO (UTM) 4.6. VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA MERIDIANA. Los valores correspondientes a la magnitud de variación de distorsión de escala y convergencia meridiana, fueron obtenidos a través de la metodología planteada en el apartado 3.12. Figura 22: Magnitud de variación de distorsión de escala. Fuente: Elaboración propia. - 131 - Figura 23: Magnitud de variación de convergencia meridiana. Fuente: Elaboración propia - 132 - 4.7. RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL. Otra manera de validar los modelos de transformación dentro del área de estudio, es determinar los residuos correspondientes a los puntos de control. Los valores correspondientes fueron obtenidos a través de la metodología planteada en el apartado 3.13., para las distintas zonas y modelos de transformación. Residuos Puntos de Control Coordenada Este Z1-2 0,250 0,200 0,150 metros 0,100 0,050 BOT2 0,000 BRU2 -0,050 ETR2 -0,100 POC2 -0,150 -0,200 -0,250 -0,300 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS Gráfico 25: Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z1-2. Residuos Puntos de Control Coordenada Norte Z1-2 0,400 0,300 metros 0,200 0,100 BOT2 0,000 BRU2 -0,100 ETR2 -0,200 POC2 -0,300 -0,400 -0,500 -0,600 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS Gráfico 26: Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z1-2. - 133 - Residuos Puntos de Control Coordenada Este Z1 0,300 0,200 0,100 BOT2 metros 0,000 -0,100 BRU2 -0,200 -0,300 -0,400 -0,500 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS Gráfico 27: Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z1. Residuos Puntos de Control Coordenada Norte Z1 metros 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 BOT2 BRU2 -0,100 -0,200 -0,300 -0,400 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS Gráfico 28: Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z1. Residuos Puntos de Control Coordenada Este Z2 0,060 metros 0,040 0,020 ETR2 0,000 POC2 -0,020 -0,040 -0,060 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS Gráfico 29: Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z2. - 134 - Residuos Puntos de Control Coordenada Norte Z2 0,200 0,150 metros 0,100 ETR2 0,050 POC2 0,000 -0,050 -0,100 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS Gráfico 30: Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z2. - 135 - CAPÍTULO 5 ANÁLISIS DE RESULTADOS 5.1. ANÁLISIS DE LOS PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN. De los resultados presentados en las tablas 6 a 10, es posible observar que aislando las precisiones de los parámetros de transformación, las cuales se pueden asociar a las traslaciones de cada modelo de transformación, en las tres zonas de estudio, corresponden al orden decimétrico; tales parámetros son: Tx y Ty en modelo de transformación de Similaridad 2-D; c1 y c 2 en modelo de transformación Afín 2-D; a3 y a8 en modelo de transformación Proyectiva 2-D; a 0 y b0 en modelo de transformación Polinomial 2-D y ∆x, ∆y, ∆z en modelo de transformación Molodensky-Badekas. Los parámetros asociados a las traslaciones, en los modelos de transformación bidimensional, poseen valores similares, los cuales corresponden aproximadamente a -183 m para la coordenada este y -373 m para la coordenada norte. El modelo de transformación Proyectiva 2-D, en las tres zonas de estudio, posee algunos parámetros que tienden a ser cero, los cuales corresponden a a 4 y a5 ; esto significa que seis parámetros son significativos para ajustar el modelo. Sin embargo, esta situación no implica necesariamente prescindir de los parámetros de transformación que tienden a ser cero, ya que, despreciarlos puede influir, en menor medida, en las precisiones residuales de las observaciones transformadas. Esta situación se replica para el modelo de transformación Polinomial 2-D, en las tres zonas, ya que, 12 de los 18 parámetros presentan valores tendientes a cero. En términos generales, la zona que posee mejor precisión en la estimación de sus parámetros de transformación, para todos los modelos de transformación analizados, corresponde a la zona Z2, y la que presenta la peor precisión corresponde a la zona Z1. - 136 - De los resultados presentados en las tablas 11 a 13, es posible observar que los modelos de transformación de Similaridad 2-D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas; los cuales tuvieron que ser recalculados, debido a la eliminación de observaciones que poseían errores groseros, denotan una mejora en las precisiones de todos los parámetros de transformación correspondientes. Los parámetros de transformación recalculados también poseen precisiones de orden decimétrico, y los parámetros asociados a las traslaciones en los modelos de transformación bidimensional, poseen valores similares que corresponden aproximadamente a -183 m para la coordenada este y -373 m para la coordenada norte. - 137 - 5.2. ANÁLISIS DE LAS ELIPSES DE ERROR. De los resultados presentados en los gráficos 1 a 9, es posible observar que cada uno de los modelos de transformación de Similaridad 2-D, Afín 2-D, Polinomial 2-D y Molodensky-Badekas; en las tres zonas, presentan valores idénticos en las dispersiones máximas (2 σ máximo) y mínimas (2 σ mínimo). Esto produce que las elipses de error se comporten como circunferencias de error, que establecen una simetría en los semiejes de la elipse, esta situación determina que no influya el ángulo de rotación de la circunferencia correspondiente. Por otra parte, el modelo de transformación Proyectiva 2-D, en las tres zonas, presenta valores diferentes en la mayoría de las variaciones máximas y mínimas, comportándose como elipses de error, influyendo de esta manera el ángulo de rotación en la orientación de la elipse. La mayoría de los modelos de transformación presentan una tendencia similar, exceptuando al modelo de transformación Polinomial 2-D, el cual presenta un patrón ligeremante diferente en el comportamiento de sus precisiones en la zona Z1-2; para las zonas Z1 y Z2 este modelo de transformación presenta valores cercanos a cero. Dentro de los patrones más parecidos se encuentran los dos modelos de transformación conforme de Similaridad 2-D y MolodenskyBadekas, este comportamiento se esperaba, debido a las propiedades que conservan en la transformación. Respecto de los ángulos de rotación de las elipses de error, correspondientes al modelo de transformación Proyectiva 2-D, en las tres zonas, se presenta una heterogeneidad en sus valores. Las variaciones máximas son del orden de + 45°. En la zona Z1-2 (ver gráfico 31), se observa que la mayor dispersión máxima corresponde a los modelos de transformación Proyectiva 2-D y de Similaridad 2-D. La menor dispersión máxima al modelo Molodensky-Badekas, los restantes modelos de transformación en orden decreciente corresponden a: Afín 2-D y Polinomial 2-D. Por otra parte, la mayor dispersión mínima corresponde al modelo de transformación de Similaridad 2-D y la menor dispersión mínima al - 138 - modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación Molodensky-Badekas y Afín 2-D poseen el mismo valor, y el modelo de transformación Proyectiva 2-D, presenta un valor inferior a los anteriormente nombrados. 2σ Máximo y 2σ Mínimo Z1-2 0,250 0,206 0,204 0,206 0,186 metros 0,200 0,150 0,167 0,133 0,108 0,108 0,093 0,091 0,100 0,050 0,000 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D 2σ Minimo PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS 2σ Máximo Gráfico 31: 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z1-2. En la zona Z1 (ver gráfico 32), se observa un decrecimiento en las precisiones, debido al aumento de las dispersiones máximas y mínimas en los modelos de transformación de Similaridad 2-D, Afín 2-D, Proyectiva 2-D y Molodensky-Badekas. Sin embargo, el modelo de transformación Polinomial 2-D, presenta una notable mejora en su nivel de precisión. La mayor dispersión máxima corresponde al modelo de transformación Proyectiva 2-D y la menor dispersión máxima al modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación en orden decreciente corresponden a: Afín 2-D, Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas. Por otra parte, la mayor dispersión mínima corresponde al modelo de transformación de Similaridad 2-D, y la menor dispersión mínima al modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación en orden decreciente corresponden a: Proyectiva 2-D, Molodensky-Badekas y Afín 2-D. - 139 - 2σ Máximo y 2σ Mínimo Z1 0,468 0,500 0,450 0,352 0,400 0,325 metros 0,350 0,268 0,300 0,250 0,200 0,174 0,144 0,149 0,136 0,150 0,100 0,008 0,011 0,050 0,000 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D 2σ Minimo POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS 2σ Máximo Gráfico 32: 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z1. En la zona Z2 (ver gráfico 33), se observa una menor dispersión en comparación a las zonas Z1-2 y Z1. La mayor dispersión máxima corresponde al modelo de transformación Proyectiva 2-D y la menor dispersión máxima al modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación en orden decreciente corresponden a: Similaridad 2-D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas. Por otra parte, la mayor dispersión mínima corresponde al modelo de transformación de Similaridad 2-D y la menor dispersión mínima al modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación en orden decreciente corresponden a: Molodensky-Badekas, Afín 2-D y Proyectiva 2-D, estos dos últimos poseen el mismo valor. 2σ Máximo y 2σ M ínimo Z2 0,133 0,140 0,125 0,112 0,120 0,102 0,100 metros 0,075 0,062 0,080 0,060 0,044 0,044 0,040 0,020 0,003 0,005 0,000 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D 2σ Minim o POLINOMIAL 2-D 2σ Máxim o Gráfico 33: 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z2. - 140 - MOLODENSKYBADEKAS En general, para las tres zonas y los cinco modelos de transformación analizados, la mayor dispersión corresponde al modelo de transformación Proyectiva 2-D y la menor dispersión al modelo de transformación Polinomial 2-D. De los resultados presentados en los gráficos 10 a 12, es posible observar que se replica el comportamiento de circunferencias de error, para los modelos de transformación de Similaridad 2D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas, los cuales tuvieron que ser recalculados, debido a la eliminación de observaciones que poseían errores groseros. Los modelos de transformación de Similaridad 2-D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas, denotan una mejora en las precisiones, ya que, el modelo de transformación Afín 2-D en la zona Z1-2 (2), posee dispersiones máximas inferiores a los 0,175 m, y los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, en la misma zona, poseen dispersiones máximas inferiores a los 0,150 m. Por otra parte, en la zona Z1 (2), los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, no presentan mayor mejora en las precisiones, ya que, posee valores similares en las dispersiones máximas observadas. - 141 - 5.3. ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES. En general, los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, presentan, en las tres zonas, valores idénticos con diferencias del orden de milímetros, confirmando que dos modelos de distinta naturaleza, pero que conservan las mismas propiedades entregan los mismos valores residuales. Por otra parte, los residuos en coordenada este, presentan valores inferiores a los residuos en coordenada norte, denotando que existe una mayor deformación de la red geodésica en la ordenada. Según los gráficos 13 y 14, los residuos en coordenada este, para la zona Z1-2, están dentro de la tolerancia residual establecida (ver 3.2.). Sin embargo, para los residuos en coordenada norte existen algunos vértices que exceden tal tolerancia. Según el gráfico 34, en la zona Z1-2, los residuos máximos que alcanzan valores superiores al metro corresponden a los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas. El menor residuo máximo corresponde al modelo de transformación Polinomial 2-D, los restantes modelos en orden decreciente corresponden a la transformación Afín 2-D y Proyectiva 2-D. En relación a los residuos mínimos, estos alcanzan valores similares en todos los modelos. Los modelos que exceden la tolerancia residual establecida corresponden al de Similaridad 2-D, Molodensky Badekas y Afín2-D. Residuos Máximos y Mínimos Z1-2 1,104 1,200 1,084 1,000 0,715 metros 0,800 0,548 0,600 0,337 0,400 0,200 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0,000 SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS Residuo Mínimo Residuo Máximo Gráfico 34: Residuos máximos y mínimos, zona Z1-2. - 142 - Según los gráficos 15 y 16, para la zona Z1, se replica la situación observada en la zona Z1-2, es decir, los residuos en coordenada este para la zona Z1 están dentro de la tolerancia establecida. Sin embargo, para los residuos en coordenada norte existen algunos vértices que exceden la tolerancia. Según el gráfico 35, en la zona Z1, los residuos máximos que alcanzan valores superiores a la tolerancia residual establecida, corresponden a los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas. De igual manera que en la zona Z1-2, el menor residuo máximo corresponde al modelo de transformación Polinomial 2-D, los restantes modelos en orden decreciente corresponden a la transformación Afín 2-D y Proyectiva 2-D. En relación a los residuos mínimos, estos alcanzan valores similares en la mayoría de los modelos, exceptuando al modelo de transformación Proyectiva 2-D que posee el valor más alto. Residuos Máximos y Mínimos Z1 0,700 0,611 0,609 0,600 0,525 0,502 metros 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,004 0,026 0,003 0,000 0,010 0,002 0,000 SIMILARIDAD 2D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2D Residuo Mínimo POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYBADEKAS Residuo Máximo Gráfico 35: Residuos máximos y mínimos, zona Z1. Según los gráficos 17 y 18, los residuos en coordenada este y norte, en la zona Z2, están dentro de la tolerancia establecida, siendo de esta manera la única zona que no necesitó de la eliminación de errores groseros. Según el gráfico 36, en la zona Z2, el valor de los residuos desciende notablemente en todos los modelos de transformación y no superan los 0,300 m. Los residuos máximos que alcanzan los valores superiores corresponden a los modelos de transformación de Similaridad 2-D y - 143 - Molodensky-Badekas. De igual manera que en las zonas Z1-2 y Z1, el menor residuo máximo corresponde al modelo de transformación Polinomial 2-D, los restantes modelos en orden decreciente corresponden a la transformación Afín 2-D y Proyectiva 2-D. En relación a los residuos mínimos estos alcanzan valores similares en todos los modelos. Residuos Máximos y Mínimos Z2 0,297 0,289 0,300 0,250 0,189 metros 0,200 0,145 0,150 0,100 0,050 0,004 0,001 0,001 0,000 0,005 0,003 0,000 SIMILARIDAD 2D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2- POLINOMIAL 2-D MOLODENSKYD BADEKAS Residuo Mínimo Residuo Máximo Gráfico 36: Residuos máximos y mínimos, zona Z2. En general, en cada una de las tres zonas se observa el mismo patrón en relación a los residuos máximos y mínimos, de manera más específica, los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas presentan los residuos más altos. El resto de los modelos en orden descendente corresponden a: Afín 2-D, Proyectiva 2-D y Polinomial 2-D. Por otra parte, el modelo de transformación Polinomial 2-D, presenta una mejora notable en las zonas Z1 y Z2 en comparación a la zona Z1-2; este comportamiento se debe a que este modelo de transformación se ajusta muy bien a la muestra, pero pierde representatividad respecto de la población. Esta aseveración se confirma en la zona Z1-2, donde este modelo de transformación presenta residuos que se asemejan ligeramente a los demás modelos de transformación, sin embargo, en las zonas Z1 y Z2, los residuos se disocian completamente del patrón determinado para los demás modelos de transformación, tal situación ratifica que el modelo de transformación de Similaridad 2-D posee una alta representatividad, sólo sí, cuenta con un gran número de observaciones. - 144 - En los modelos de transformación que tuvieron que ser recalculados, debido a la eliminación de observaciones que poseían errores groseros, es posible observar en la zona Z1-2 (2) (ver gráfico 37) que los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, poseen residuos máximos con valores que bordean el límite de la tolerancia establecida. Por otra parte, el modelo de transformación Afín 2-D, presenta una leve disminución respecto a los dos anteriores modelos. Los valores de los residuos mínimos comparados con los del gráfico 34 presentan un leve incremento. Residuos Máximos y Mínimos Z1-2 (2) 0,564 0,564 0,600 0,470 0,500 metros 0,400 0,300 0,200 0,100 0,013 0,006 0,005 0,000 SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS Residuo Mínimo AFÍN 2-D Residuo Máximo Gráfico 37: Residuos máximos y mínimos, zona Z1-2 (2). En la zona Z1 (2) (ver gráfico 38), los residuos presentan valores idénticos tanto en los valores de los residuos máximos y mínimos, además comparándolos con los del gráfico 35, los valores de los residuos mínimos son mayores. Residuos Máximos y Mínimos Z1 (2) 0,469 0,469 0,500 0,450 metros 0,400 0,350 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,019 0,019 0,050 0,000 SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS Residuo Mínimo Residuo Máximo Gráfico 38: Residuos máximos y mínimos, zona Z1 (2). - 145 - 5.4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO ( χ 2 ). El empleo de varianzas a priori ( σ 02 ) diferenciadas, logró la obtención de resultados satisfactorios en el test de Chi-Cuadrado ( χ 2 ), esto se debe principalmente a que todos los modelos abordados en este estudio, poseen un origen diferente y conservan distintas propiedades en los procesos de transformación. En general, para las tres zonas la forma cuadrática fundamental V T PV que minimiza el vector de los residuos y los pesos asociados, en los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, presenta los valores más altos. De modo contrario, el modelo de transformación Polinomial 2-D, presenta los valores más pequeños. De los resultados presentados en las tablas 14 y 15, es posible observar que la comparación ) estadística entre σ 02 y σ 02 , establecida para un 95% de certeza, para los modelo de transformación de Similaridad 2-D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas, en las Zonas Z1-2 y Z1, indica que σ 02 es igual a 0,300 m 2 ( σ 0 =0,548 m). Para las mismas zonas el modelo de transformación Proyectiva 2D posee una σ 02 igual a 0,200 m 2 ( σ 0 =0,447 m). El modelo Polinomial 2-D presenta en la zona Z1-2 el valor más pequeño respecto de los demás modelos evaluados, correspondiendo esta a σ 02 = 0,150 m 2 ( σ 0 =0,387 m), en la zona Z1 se observa un valor considerablemente inferior de σ 02 = 0,005 m 2 ( σ 0 =0,071 m). A partir de los resultados presentados en la tabla 16, es posible observar que en la zona Z2 todas las varianzas a priori presentan una mejora en sus precisiones. Los modelos de transformación Afín 2-D y Molodensky-Badekas, poseen σ 02 igual a 0,100 m 2 ( σ 0 =0,316 m). La varianza a priori más alta para esta zona corresponde al modelo de transformación de Similaridad 2-D, que posee una σ 02 igual a 0,150 m 2 ( σ 0 =0,387 m). Las restantes varianzas a priori, en orden - 146 - descendente, corresponden a los modelos de transformación Proyectiva 2-D, con una σ 02 igual a 0,07 m 2 ( σ 0 =0,265 m), y Polinomial 2-D con una σ 02 igual a 0,002 m 2 ( σ 0 =0,045 m). De los resultados presentados en la tabla 17, es posible observar que en los modelos de transformación recalculados para la zona Z1-2, los modelo de Similaridad 2-D y Afín 2-D poseen una σ 02 igual a 0,200 m 2 ( σ 0 =0,447 m), siendo de esta manera el modelo de transformación Molodensky-Badekas el que posee una σ 02 de menor valor respecto a los dos modelos anteriormente citados, correspondiendo a 0,150 m 2 ( σ 0 =0,387 m). Comparativamente respecto de los modelos en que no se eliminaron observaciones con errores groseros, las varianzas a priori denotan una mejora en su variabilidad. A partir de los resultados presentados en la tabla 18, es posible observar que para los modelos de transformación recalculados en la zona Z1, el modelo de Similaridad 2-D mantiene su σ 02 , siendo esta igual a 0,300 m 2 ( σ 0 =0,548 m), respecto de la zona Z1 sin eliminación de observaciones que posean errores groseros. Sin embargo, el modelo de transformación Molodensky-Badekas mejora su variabilidad respecto de la zona original, presentando una σ 02 igual a 0,200 m 2 ( σ 0 =0,447 m). - 147 - 5.5. ANÁLISIS DE LAS OBSERVACIONES ELIMINADAS. Los tres modelos de transformación que tuvieron que ser recalculados, debido a errores groseros que superaban la tolerancia residual establecida, corresponden a: Similaridad 2-D, Afín 2D y Molodensky-Badekas. La identificación de errores groseros, a través de la hipótesis estadística basada en la distribución estadística F de Snedecor, resultó satisfactoria considerando la tolerancia de precisión residual establecida. Sin embargo, este test estadístico, por sí solo, se demuestra bastante sensible a las desviaciones estándar asociadas a los residuos, debido a esto, en algunos casos se identificaron mayor cantidad de errores groseros que los establecidos considerando la tolerancia residual, pero que en la práctica no la superaban. En los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, para la zona Z1-2 (ver tablas 19 y 20), se eliminaron los mismos vértices geodésicos. En el primer ajuste del modelo se identificaron y eliminaron posteriormente los vértices geodésicos CHQ1 y CHQ2, los cuales superaban la tolerancia residual con valores superiores al metro. En el segundo y tercer ajuste se identificaron y eliminaron posteriormente los vértices geodésicos: GUA1, GUA2, EMP1 y EMP2, los cuales poseían valores residuales superiores a + 0,600 m. En el modelo de transformación Afín 2-D, en la zona Z1-2 (ver tabla 21), se identificaron y eliminaron posteriormente sólo dos vértices geodésicos en el primer ajuste del modelo, tales vértices corresponden a CHQ1 y CHQ2, los cuales superaban la tolerancia residual con valores superiores a + 0,600 m. En la zona Z1 (ver tablas 22 y 23), los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas presentaron problemas con los vértices geodésicos CHQ1 y CHQ2, los cuales también superaban la tolerancia residual con valores superiores a + 0,600 m. - 148 - 5.6. ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA MERIDIANA. En el proceso de transformación de coordenadas se produce un cambio en la posición planimétrica de los vértices geodésicos transformados, debido a esto, es importante considerar los cambios en la geometría de las bases cartográficas. A partir de los resultados presentados en la figura 22, es posible observar que la magnitud de variación de distorsión de escala ( ∆m ), en el área de estudio presenta valores extremos de 0,85 ppm y 1,53 ppm. La tendencia de esta magnitud son curvas complejas que tienden a parecer líneas verticales que expresan la variación de distorsión de escala, aumentando a medida que se alejan del meridiano central. En términos prácticos y en relación al área de estudio, los vértices geodésicos transformados y las bases cartográficas asociadas a ellos, aumentaron su distorsión de escala entre 0,85 ppm y 1,53 ppm. De los resultados presentados en la figura 23, es posible observar que la magnitud de variación de convergencia meridiana ( ∆C ), en el área de estudio presenta valores extremos de 4,89’’ y 5,78’’ (segundos sexagesimales). La tendencia de esta magnitud son curvas complejas que tienden a parecer líneas inclinadas que expresan la variación de convergencia meridiana, aumentando su variación a medida que se aumenta en latitud y se aleja del meridiano central. En términos prácticos y en relación al área de estudio, los vértices geodésicos transformados y las bases cartográficas asociadas a ellos, aumentaron el ángulo de convergencia meridiana entre 4,89’’ y 5,78’’. Los incrementos en ∆m y ∆C , se pueden considerar no significativos, ya que, los valores son inferiores al nivel de tolerancia residual. Para realizar este análisis se utilizó el modelo de transformación Molodensky-Badekas. En estricto rigor, se podría haber utilizado cualquiera de los modelos de transformación abordados en - 149 - este estudio, ya que, las diferencias residuales entre modelos no son significativas al momento de evaluar estas magnitudes. - 150 - 5.7. ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL. De los resultados presentados en los gráficos 25 a 30, es posible observar que los residuos de los puntos de control poseen valores aceptables dentro de la tolerancia residual establecida, tanto para los residuos en coordenada norte como en coordenada este. Para las zonas Z1-2 y Z2, los residuos en coordenada este son inferiores a los residuos en coordenada norte, concordando con el patrón establecido para los vértices que se utilizaron en el ajuste de los modelos de transformación. La zona Z1-2, presenta los mayores residuos para los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, con valores iguales a -0,556 m. En la zona Z1, el modelo de transformación Afín 2-D, presenta los residuos más altos, con un valor de -0,469 m. La zona Z2 presenta los residuos más altos, determinados por los modelos de transformación de Similaridad 2D y Molodensky-Badekas, con valores correspondientes a 0,152 m y 0,148 m respectivamente. - 151 - CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 6.1. CONCLUSIONES. Atendiendo a los objetivos planteados y los resultados obtenidos en la presente investigación, es posible concluir que: En el proceso de compatibilización de bases cartográficas, los parámetros de transformación y las coordenadas transformadas, siempre tendrán precisión del orden de las coordenadas iniciales, es decir, la calidad de las precisiones logradas en el proceso de compatibilización de bases cartográficas, será siempre igual o peor que el SGR de menor precisión, el cual para este estudio corresponde a PSAD-56. Los modelos de transformación bidimensional, respecto del modelo de Similaridad 3-D, requieren un menor esfuerzo computacional, en relación a la programación de los algoritmos de cálculo, para la determinación de los parámetros de transformación y las MVC asociadas a los parámetros de transformación, observaciones y residuos. Esta situación se debe a que las transformaciones bidimensionales se realizan entre planos de proyección y la transformación de Similaridad 3-D, debido a esto, necesita de la conversión de coordenadas planas a tridimensionales y viceversa, además de la propagación de las covarianzas, desde las coordenadas tridimensionales a las coordenadas planas, con el fin del hacer comparativas sus precisiones con los modelos de transformación bidimensional. - 152 - Los modelos de transformación bidimensional y de Similaridad-3D, abordados en este estudio, son apropiados para la realización de transformaciones de SGR heterogéneos como PSAD56 y SIRGAS. Esta afirmación es validada a través de los puntos de control en las distintas zonas del área de estudio, ya que, todos los modelos de transformación fueron apropiados para la transformación de coordenadas de proyección. Sin embargo, el modelo de transformación Polinomial 2-D, presenta un comportamiento distinto respecto de los demás modelos de transformación, en las zonas Z1 y Z2, indicando la necesidad de un mayor número de observaciones en el ajuste del modelo. El nivel de significancia determinado por la precisión residual, permitió establecer que los modelos de transformación de menor precisión corresponden a: Similaridad 2-D y MolodenskyBadekas. Una mejora de estos dos modelos corresponde a los modelos de transformación Afín 2-D y Proyectiva 2-D, siendo el modelo de transformación Polinomial 2-D, el de mejor precisión residual, si se cuenta con un mayor número de observaciones. La determinación del nivel de precisión residual, para el primer ajuste de los modelos de transformación, permitió establecer que los modelos de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas entregaron residuos superiores al metro, el modelo de transformación Afín 2-D entregó residuos superiores a + 0,600 m, y los modelos de transformación Proyectiva 2-D y Polinomial 2-D entregaron residuos dentro de la tolerancia residual establecida. La aplicación del método paramétrico de mínimos cuadrados, en la determinación de los parámetros de transformación, permitió ajustar cada modelo de transformación basándose en la probabilidad estadística que posee el conjunto de observaciones, para cada una de las zonas del área de estudio, haciendo posible la determinación de “soluciones únicas” para cada modelo de transformación. - 153 - El análisis de las precisiones de los parámetros de transformación, las observaciones y los residuos, a través de la MVC y las elipses de error, permitió determinar la calidad de ajuste que entrega cada modelo de transformación. De esta manera, un factor que influyó en la determinación de precisiones más realistas, corresponde a la adopción de un centriode para cada modelo de transformación y zona correspondiente. La propagación de las covarianzas desde las coordenadas tridimensionales a las coordenadas planas, permitió analizar comparativamente el modelo de transformación de Similaridad 3-D, con los modelos de transformación bidimensional, determinando que posee un comportamiento parecido al modelo de Similaridad 2-D, con diferencias del orden de milímetros. El análisis comparativo de las precisiones entregadas por cada modelo de transformación, permitió establecer que las elipses de error se comportan como circunferencias de error, en todos los modelos de transformación, excepto en el modelo de transformación Proyectiva 2-D, donde las dispersiones máximas y mínimas presentan un comportamiento de elipses de error, además posee las mayores dispersiones máximas. Por otra parte, la precisión residual de orden decimétrico resultó ser concordante con las precisiones asociadas a los parámetros de transformación, las observaciones y los residuos. La determinación de las variaciones de distorsión de escala y convergencia meridiana, generadas en el proceso de transformación, permitió establecer las fluctuaciones mínimas y máximas que tendrán las bases cartográficas transformadas. Determinándose de esta manera un incremento en la distorsión de escala y convergencia meridiana, en el proceso de transformación de bases cartográficas desde el SGR PSAD-56 a SIRGAS. Sin embargo, estos incrementos no son significativos para bases cartográficas de escala 1:10.000 y mayores. - 154 - Respecto de la influencia de las alturas ortométricas en el SGR PSAD-56 y elipsoidales en el SGR SIRGAS, sólo afectan en las coordenadas tridimensionales y no en las proyecciones planimétricas como el plano cartográfico UTM. Sin embargo, la utilización de alturas iguales a cero, en los dos SGR, para el modelo de transformación Molodensky-Badekas, introdujo una mejora la precisión de los parámetros de transformación y en los vértices geodésicos transformados. 6.2. RECOMENDACIONES. Considerando el análisis de resultados y las conclusiones, se recomienda: • Utilizar los modelos de transformación bidimensional y de Similaridad 3-D, para bases cartográficas de escalas grandes, como solución local, definiendo la precisión óptima que se espera del producto cartográfico y las propiedades geométricas que se desean conservar. • Estimar los parámetros de transformación del modelo de transformación Polinomial 2-D, con un gran número de vértices geodésicos, con el fin de garantizar la representatividad de la muestra respecto de la población. • Desarrollar aplicaciones que permitan determinar el comportamiento de los modelos de transformación abordados en este trabajo, en otros sistemas proyectivos cartográficos. - 155 - 7. BIBLIOGRAFÍA. 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Se define analíticamente como: x2 + y2 z2 + 2 =1 a2 b (168) Donde: x, y, z: ejes cartesianos. a: Semieje mayor de la elipse. b: Semieje menor de la elipse. El elipsoide de revolución corresponde al modelo matemático de la Tierra, que es utilizado en cálculos geodésicos y también es llamado “elipsoide de referencia” (BLACHUT et al., 1979, p. 44). Generalmente es definido por dos parámetros, los cuales corresponden a: • Semieje mayor (a): corresponde a la distancia generada entre al centro de la elipse y uno de sus vértices. • Achatamiento (f): corresponde a la razón generada entre la diferencia de los semiejes del elipsoide, respecto del semieje mayor y está definido por: f= a −b a (169) Otras relaciones: • Semieje menor (b): b = a (1 − f ) • Radio de curvatura polar (c): - 161 - (170) c= a2 b (171) • Excentricidad (e): 1/ 2 a 2 − b2 e = 2 a (172) • Segunda Excentricidad (e’): 1/ 2 a2 − b2 e' = 2 b (173) Radios de curvatura de secciones normales Considerando un punto cualquiera sobre el elipsoide, existe un número infinito de planos normales que contienen a este punto, la intersección de estos con el elipsoide genera las secciones normales que poseen distinta curvatura, sin embargo, existen dos secciones normales recíprocamente perpendiculares cuyas curvaturas son máximas y mínimas, las cuales son denominadas secciones normales principales (RAPP, 1981, p. 31). Corresponden a: • Sección normal meridiana: se forma por la intersección de un punto cualquiera y una sección normal plana que contenga al eje de rotación del elipsoide de referencia, además posee una curvatura máxima. • Sección normal del primer vertical: se forma por la intersección de una sección normal plana que es perpendicular a la sección normal meridiana en un punto cualquiera, además posee una curvatura mínima. Los radios de curvatura de estas dos secciones normales principales corresponden a: - 162 - Radio de curvatura de la elipse meridiana Considerando dos puntos “P” y “Q” en la superficie del elipsoide de referencia, contenidos en el mismo meridiano y a una distancia infinitesimal, es posible obtener un arco diferencial de meridiano, que puede ser definido por un único radio de circulo que contiene a los puntos “P” y “Q”. Tal radio corresponde al radio de curvatura de la elipse meridiana denominado “M” (ver figura 24). Figura 24: Radio de curvatura de la elipse meridiana. Fuente: Elaboración Propia. Su expresión matemática corresponde a: M= ( ) (1 − e sen φ ) a 1 − e2 2 2 3/ 2 (174) Radio de curvatura del primer vertical Este radio de curvatura también es llamado gran normal “N”. Se define como el segmento contenido en la sección normal del primer vertical, entre un punto “P” cualquiera sobre el elipsoide y su prolongación a través de la normal de este, hasta la intersección con el eje menor del elipsoide - 163 - de referencia (ver figura 25). Figura 25: Radio de curvatura del primer vertical. Fuente: Elaboración Propia. Su expresión matemática corresponde a: N= a (1 − e sen φ ) 2 2 1/2 (175) Arcos en el elipsoide En términos generales, un arco se define como una curva continua contenida entre dos puntos (TAPIA y RAMÍREZ, 2008, p. 111), tal definición puede ser extendida a arcos en el espacio y de manera más especifica a las longitudes de arco en el elipsoide de revolución. Estas longitudes de arco calculadas en el elipsoide de referencia corresponden a la longitud de arco de paralelo y meridiano (ver figura 26). - 164 - Figura 26: Longitud de arco de paralelo (Sp) y longitud de arco de meridiano (Sm). Fuente: Elaboración Propia. Longitud de arco de paralelo (Sp) El cálculo de esta longitud de arco considera una distancia circular entre dos puntos cualesquiera de longitud geodésica λ1 y λ2 , situados en el mismo paralelo. La definición de la longitud de un arco circular está dada por la expresión: L = R ⋅θ Donde: L : Longitud de arco circular. R : Radio. θ : Ángulo entre dos puntos. - 165 - Asumiendo el radio R como un radio de paralelo r = N cos φ , donde N corresponde a la gran normal y φ a la latitud geodésica de un punto cualquiera. Tomando θ como la diferencia de longitud ( λ1 - λ2 ), se obtiene la expresión para el cálculo de longitud de arco de paralelo S P . S P = N cos φ (λ 2 − λ1 ) (176) Longitud de arco de meridiano (Sm). El cálculo inicial de esta longitud de arco considera una longitud de arco diferencial contenida en la elipse meridiana entre dos puntos de latitud geodésica φ1 y φ2 , expresada por: ds = M ⋅ dφ (177) Donde: ds : Longitud diferencial de arco de meridiano. M : Radio de curvatura de la elipse meridiana. dφ : Diferencia infinitesimal de latitud geodésica entre dos puntos ubicados en el mismo meridiano. Integrando (177) entre φ1 y φ2 , se tiene: φ2 ( ∫ S = M ⋅ dφ = a 1 − e 2 φ1 ( Linealizando la función 1 − e 2 sen 2φ ) −3 / 2 φ2 )∫ (1 − e sen φ ) 2 φ1 2 3/ 2 dφ (178) , mediante el desarrollo de una serie de McLaurin, la expresión queda como: (1− e sen φ ) 2 2 −3 / 2 3 15 35 315 8 8 693 10 10 = 1 + e2 sen2φ + e4 sen4φ + e6 sen6φ + e sen φ + e sen φ + ... (179) 2 8 16 128 256 - 166 - Donde las funciones de ángulo múltiple corresponden a: 1 1 − cos 2φ 2 2 sen 2φ = 3 1 1 sen 4φ = − cos 2φ + cos 4φ 8 2 8 sen 6φ = 15 15 3 1 − cos 2φ + cos 4φ − cos 6φ 16 32 16 32 sen8φ = 35 7 7 1 1 − cos 2φ + cos 4φ − cos 6φ + cos 8φ 128 16 32 16 128 sen10φ = (180) 63 105 15 45 5 1 − cos 2φ + cos 4φ − cos 6φ + cos 8φ − cos10φ 256 256 64 512 256 512 Reemplazando (180) en (179), se obtiene: (1 − e sen φ ) 2 2 −3 / 2 = A − B cos 2φ + C cos 4φ − D cos 6φ + E cos 8φ − F cos 10φ (181) Donde: 3 45 175 6 11025 8 43659 10 A = 1 + e2 + e4 + e + e + e + ... 4 64 256 16384 65536 B= 3 2 15 4 525 6 2205 8 72765 10 e + e + e + e + e + ... 4 16 512 2048 65536 C= 15 4 105 6 2205 8 10395 10 e + e + e + e + ... 64 256 4096 16384 (182) 35 6 315 8 31185 10 D= e + e + e + ... 512 2048 131072 E= 315 8 3465 10 e + e + ... 16384 65536 F= 693 10 e + ... 131072 - 167 - Reemplazando (181) en (178), separando la integral en partes y resolviéndolas, se obtiene: B C D A(φ 2 − φ1 ) − (sen2φ 2 − sen2φ1 ) + (sen4φ 2 − sen4φ1 ) − (sen6φ 2 − sen6φ1 ) 2 4 6 2 Sm = a 1 − e (183) + E (sen8φ − sen8φ ) − F (sen10φ − sen10φ ) + ... 2 1 2 1 10 8 ( ) Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio Un sistema geodésico cartesiano (ver figura 27), se define por un sistema coordenado cartesiano en el espacio. Este sistema posee tres ejes ortogonales “X”, “Y”, “Z”. Un punto cualquiera asociado a un sistema geodésico cartesiano está determinado por el vector tridimensional [x, y , z ] . T Un sistema geodésico cartesiano queda definido por las siguientes características: • Si el origen del sistema cartesiano es coincidente con el centro geométrico del elipsoide de referencia y con el centro de masa de la Tierra, se considera perteneciente a un sistema global, si no coincide con el centro de masa de la Tierra se considera perteneciente a un sistema local. • El eje “X” coincide con el plano ecuatorial y está orientado al meridiano cero (Greenwich). • El eje “Y” coincide con el plano ecuatorial, es perpendicular al eje “X” y define el sistema como dextrógiro (giro hacia la derecha). • El eje “Z” coincide con el eje de rotación del elipsoide de referencia y posee orientación en dirección al polo norte. Sistema de coordenadas geodésicas curvilíneas Un sistema de coordenadas geodésicas curvilíneas o simplemente coordenadas geodésicas (ver figura 27), se define a partir de su asociación a un elipsoide de referencia, con el fin de determinar la posición única de un punto cualquiera sobre esta superficie de referencia. - 168 - Si se intersecta un plano normal (denominado también plano ecuatorial) al punto medio del semieje menor del elipsoide de referencia, se genera una línea de círculo máximo denominada ecuador, la cual divide al elipsoide en hemisferio norte y hemisferio sur. La intersección de los infinitos planos paralelos al plano ecuatorial con el elipsoide de referencia, genera infinitas líneas de círculos menores denominadas paralelos. La intersección de infinitos planos que contengan al semieje menor con el elipsoide de referencia genera líneas llamadas meridianos. Por medio de una convención se ha establecido que el origen de los meridianos (meridiano cero) pasa por el observatorio de Greenwich en Inglaterra (FUENTES, 2006, p. 35) La definición de coordenadas geodésicas curvilíneas, corresponde a la determinación de las coordenadas horizontales latitud geodésica ( φ ) y longitud geodésica ( λ ), coordenada geodésica vertical (h). Latitud geodésica ( φ ) Corresponde al ángulo que se forma entre la normal a un punto cualquiera siguiendo la dirección del meridiano que lo contiene hasta el plano ecuatorial. Posee una variación angular positiva de 0º a 90º correspondiente al hemisferio norte, la variación angular negativa de -90º a 0º corresponde al hemisferio sur. Longitud geodésica ( λ ) Corresponde al ángulo diedro que se forma entre el plano meridiano que contiene a un punto cualquiera y el plano que contiene al meridiano cero. Posee una variación angular positiva de 0º a 180º correspondiente al sentido este del meridiano cero, la variación angular negativa de -180º a 0º corresponde al sentido oeste del meridiano cero. - 169 - Altura elipsoidal (h) Corresponde a la distancia contenida en la normal de un punto cualquiera, que parte desde la superficie del elipsoide al punto. Figura 27: Sistema de coordenadas cartesianas y geodésicas. Fuente: elaboración propia. Relación matemática entre coordenadas cartesianas y geodésicas curvilíneas Debido al frecuente uso de sistemas coordenados, expresados en coordenadas cartesianas o coordenadas geodésicas curvilíneas, para cálculos de transformación geodésica, es necesario establecer una relación matemática entre estos sistemas coordenados, con el fin de que un sistema coordenado pueda ser expresado matemáticamente en otro y viceversa. La relación entre - 170 - coordenadas curvilíneas geodésicas ( φ , λ , h ) de un punto expresadas en coordenadas cartesianas ( x , y , z ), puede escribirse como: x = (N + h )cosφ cos λ y = (N + h )cosφ senλ ( ( ) ) (184) z = N 1 − e 2 + h senφ Donde: φ , λ , h : Latitud, Longitud y altura elipsoidal. e 2 : Excentricidad al cuadrado. N : Gran normal. Las fórmulas de transformación inversa fueron deducidas por Bowring, y no son iterativas en su solución, estas se expresan de la forma: Z + b ⋅ e' 2 ⋅sen 3ϑ φ = arctan d − a ⋅ e 2 ⋅ cos 3ϑ x λ = arctan y d h = −N cos φ Donde: a ⋅ Z b ⋅ d ϑ = arctan ( d = x P2 + y P2 ) 1/ 2 e'2 : Segunda excentricidad al cuadrado. a : Semieje mayor del elipsoide de referencia. b : Semieje menor del elipsoide de referencia. - 171 - (185) Sistema de referencia vertical La adopción de sistemas de geodésicos de referencia (ver 2.1.), ya sean clásicos o modernos, involucran el establecimiento de un sistema de referencia vertical que permita determinar la altura de un punto, la cual puede ser definida como la distancia existente sobre la línea vertical entre la superficie de referencia y el punto (SIRGAS, 2002, p. 23). La superficie de referencia altimétrica corresponde al geoide, que en términos sencillos es definido como una superficie equipotencial, es decir, posee igual valor de atracción gravitacional (ZEPEDA, 2004, p. 61). Existen cuatro problemas principales asociados a los sistemas de referencia verticales (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 86), estos corresponden a: • Definición del tipo de alturas que conforman su estructura: estas corresponden a las alturas geométricas (alturas de nivelación y las alturas elipsoidales) y las alturas físicas (alturas ortométricas, alturas normales, alturas dinámicas). • Determinación del nivel básico al que están referidas dichas alturas: referidas a mediciones realizadas con mareógrafos (nivel medio del mar) u otras superficies de referencia como el geoide y elipsoide. • Materialización de las alturas mediante la realización de un marco de referencia: este puede estar referido a la posición relativa de la marca cero del mareógrafo, tomando en cuenta la superficie del mar. Por otra parte, puede materializarse mediante la determinación física de la superficie de referencia (geoide). • Cambios durante el tiempo: existen problemas asociados a la conexión de puntos en temporalidades diferentes y las variaciones producidas en la corteza terrestre. Superficies de referencia para la definición de alturas En la nivelación clásica se adoptó como referencia vertical el nivel medio del mar, el cual se determinaba, a través del registro de observaciones del nivel del mar durante largos periodos de tiempo y se asumía como coincidente con el geoide. Sin embargo, por causa del gran dinamismo - 172 - oceánico del planeta, el nivel del mar presenta fluctuaciones que provocan diferencias de hasta dos metros entre varios mareógrafos (SIRGAS, 2002, p. 27). A modo de evitar los inconvenientes generados por las mediciones de mareógrafos, es necesario encontrar una superficie de referencia global, que mantenga como condición ser una superficie equipotencial y que no dependa de observaciones del nivel del mar. Geoide Se define como la superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre, es decir, corresponde a la superficie que posee un potencial de gravedad constante. Su estimación se realiza mediante la formulación de hipótesis geofísicas sobre la distribución interna de masas del planeta. Cuasi – Geoide Se define como una superficie no equipotencial, cercana al geoide. Su estimación se realiza mediante el modelamiento matemático del campo de gravedad normal, por lo cual no requiere de la formulación de hipótesis geofísicas. Elipsoide Esta superficie de referencia es utilizada principalmente en la definición de alturas elipsoidales, y es materializada por la utilización de mediciones GPS. Alturas de tipo geométrico Estas corresponden a dos tipos de alturas: Alturas niveladas Este tipo de alturas se obtienen mediante el proceso de nivelación geométrica, utilizando métodos ópticos de medición (ver figura 28). Su calculo se realiza mediante la sumatoria de los - 173 - desniveles (dn) entre los puntos de medición, que se orientan en el campo de la gravedad local en la nivelación, por lo cual, dependen del trayecto seguido, ya que, para un mismo punto pueden obtenerse diferentes alturas niveladas (DREWES & SÁNCHEZ, 2004, p. 92). Figura 28: Alturas niveladas. Fuente: SIRGAS – Boletín Informativo nº6. Debido a la distribución irregular de masas de la Tierra, las diferentes superficies equipotenciales no son equidistantes y dn depende de la posición donde se niveló el punto en cuestión. Este tipo de alturas son utilizadas en áreas restringidas donde no se considere ni la figura elipsoidal de la Tierra ni las variaciones de su campo de gravedad (SIRGAS, 2002, p. 24). Alturas elipsoidales Este tipo de altura se obtiene a través de las coordenadas cartesianas geocéntricas, definidas sobre un elipsoide de referencia (GRS-80; WGS-84), asociado a las mediciones realizadas en el sistema de posicionamiento global (GPS). El principal problema que presenta este tipo de alturas es que no consideran el campo de gravedad terrestre, por lo cual, puntos con niveles diferentes pueden presentar valores iguales o de manera inversa, debido a esto, su aplicación práctica es mínima (SIRGAS, 2002, p. 25) - 174 - Alturas de tipo físico Estas alturas se obtienen mediante la determinación de las distancias reales entre las superficies de nivel, expresadas en diferencias de potencial, en las cuales su sumatoria en un circuito cerrado siempre serán cero, y los resultados entregados por distintas trayectorias serán iguales. En la práctica, estas diferencias se obtienen mediante la combinación de mediciones clásicas y valores de gravedad para una zona de interés (SIRGAS, 2002, p. 25). En la determinación de estas alturas, respecto del geoide, es importante la definición del Número Geopotencial (C): A C= ∫ g ⋅ dn = W − W 0 A (186) 0 Donde: g : Gravedad observada en el punto de cálculo. dn : Diferencia de altura. WA : Potencial sobre la superficie que pasa por el punto de cálculo. Alturas dinámicas Este tipo de alturas se obtienen al dividir los números geopotenciales por un valor constante de gravedad ( γ cte ). H din = C γ cte (187) Este tipo de altura es altamente dependiente de la distancia referida al punto sobre el cual se calcula el γ cte (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 16). Alturas normales Este tipo de alturas se obtienen al dividir los números geopotenciales por el valor medio de la gravedad normal entre la superficie de referencia (cuasi – geoide) y el punto ( γ ' ). - 175 - H norm = C γ' (188) γ ' se obtiene de la fórmula de gravedad normal terrestre, la cual está en función de la latitud geodésica asociada al elipsoide de referencia correspondiente (SIRGAS, 2002, p. 25). El cálculo de este tipo de alturas no requiere la formulación de hipótesis, ya que, depende de una gravedad teórica (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 98). Alturas ortométricas Este tipo de alturas representan la longitud de la línea encorvada de la plomada entre el geoide y el punto a calcular (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 98). Se obtienen al dividir los números geopotenciales por el valor medio de la gravedad real ( g ' ), entre el punto calculado y el geoide. H ortom = C g' (189) Las alturas ortométricas requieren de la formulación de hipótesis sobre la gravedad verdadera entre el terreno y el geoide, además es dependiente de la densidad y distribución de todas las masas terrestres (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 98). - 176 - ANEXO II COORDENADAS DE VÉRTICES GEODÉSICOS - 177 - PSAD-56 ZONA Z1 Z1-2 Z2 ID Este (UTM) (m) Norte (UTM) (m) X (m) Y (m) Z (m) BOT1 249638,862 6092071,702 1632169,710 -4950482,787 -3663568,630 BRU1 257856,460 6130563,681 1647862,927 -4968459,393 -3632285,326 CDA1 304688,706 6110480,451 1687887,731 -4942147,599 -3649643,035 CDA2 304558,734 6110912,250 1687854,365 -4942423,160 -3649287,694 CHQ1 209707,371 6106982,454 1597530,401 -4971514,327 -3650422,655 CHQ2 209569,338 6107293,971 1597464,190 -4971726,369 -3650164,581 EMP1 205939,076 6054290,922 1583032,121 -4944242,367 -3693236,035 GUA1 228413,092 6095769,964 1612890,902 -4959413,244 -3660050,612 GUA2 228642,082 6095878,741 1613129,731 -4959397,335 -3659967,477 HUE1 286925,943 6082384,384 1665334,992 -4932930,406 -3672249,834 HUE2 287305,599 6082507,623 1665718,455 -4932870,716 -3672156,726 VIL1 296793,462 6061610,846 1670312,854 -4918381,904 -3689347,422 VIL2 296849,156 6061869,800 1670419,332 -4918503,975 -3689137,888 VPR1 260499,259 6111891,246 1646515,077 -4957581,157 -3647623,756 VPR2 260618,491 6111487,367 1646544,311 -4957324,943 -3647956,511 CDM1 188056,696 6005501,144 1555883,642 -4923325,076 -3732244,837 CDM2 187779,365 6005053,041 1555526,794 -4923167,786 -3732598,651 EMP2 206184,521 6053887,090 1583179,851 -4943943,500 -3693570,522 ETR1 270123,334 6006507,940 1633610,778 -4897134,692 -3733481,003 POC1 208798,717 5993817,270 1573027,575 -4910213,659 -3742250,011 TLQ1 247751,055 5986727,483 1608319,000 -4893611,340 -3748944,876 TLQ2 247969,614 5986699,250 1608519,315 -4893524,015 -3748972,733 UNI1 228136,905 6003214,762 1593285,704 -4909109,610 -3735169,463 UNI2 228360,243 6003435,419 1593543,246 -4909158,203 -3734996,894 VAN1 284611,630 6022502,681 1650641,628 -4901106,125 -3720842,829 VAN2 284908,322 6022597,207 1650941,190 -4901059,224 -3720772,180 VLL1 243354,250 6027603,398 1612791,620 -4917517,245 -3715818,966 VLL2 243563,796 6027692,841 1613008,238 -4917497,542 -3715751,471 VSA1 281792,096 6012042,553 1645781,258 -4896306,196 -3729248,747 VSA2 281950,184 6011882,718 1645896,606 -4896165,893 -3729381,149 - 178 - SIRGAS ZONA Z1 Z1-2 Z2 ID Este (UTM) (m) Norte (UTM) (m) X (m) Y (m) Z (m) BOT1 249455,610 6091698,020 1631824,120 -4950093,235 -3663862,489 BRU1 257673,187 6130190,497 1647518,233 -4968072,287 -3632580,492 CDA1 304505,405 6110106,571 1687542,770 -4941760,146 -3649938,865 CDA2 304375,432 6110538,372 1687509,411 -4942035,727 -3649583,537 CHQ1 209524,091 6106610,133 1597185,125 -4971125,384 -3650715,211 CHQ2 209386,054 6106921,663 1597118,919 -4971337,447 -3650457,136 EMP1 205755,712 6053917,743 1582685,529 -4943850,198 -3693527,062 GUA1 228229,849 6095397,021 1612545,420 -4959023,800 -3660343,598 GUA2 228458,842 6095505,793 1612784,254 -4959007,898 -3660260,476 HUE1 286742,736 6082010,325 1664989,408 -4932540,972 -3672544,336 HUE2 287122,392 6082133,565 1665372,877 -4932481,298 -3672451,240 VIL1 296610,384 6061237,048 1669967,098 -4917991,716 -3689641,060 VIL2 296666,074 6061496,001 1670073,578 -4918113,802 -3689431,538 VPR1 260315,892 6111517,301 1646169,784 -4957192,770 -3647918,844 VPR2 260435,123 6111113,402 1646199,007 -4956936,527 -3648251,600 CDM1 187873,395 6005127,410 1555535,935 -4922929,683 -3732533,924 CDM2 187596,063 6004679,306 1555179,076 -4922772,365 -3732887,715 EMP2 206001,161 6053513,905 1582833,254 -4943551,311 -3693861,542 -3733771,868 ETR1 269940,379 6006134,129 1633263,877 -4896741,024 POC1 208615,505 5993443,248 1572679,775 -4909817,945 -3742539,275 TLQ1 247568,004 5986353,321 1607971,408 -4893215,999 -3749234,753 TLQ2 247786,565 5986325,089 1608171,726 -4893128,677 -3749262,613 UNI1 227953,822 6002840,832 1592938,340 -4908714,817 -3735459,443 UNI2 228177,162 6003061,490 1593195,890 -4908763,426 -3735286,887 VAN1 284428,680 6022129,021 1650295,170 -4900713,682 -3721134,518 VAN2 284725,361 6022223,550 1650594,725 -4900666,798 -3721063,876 VLL1 243171,345 6027229,795 1612445,064 -4917124,164 -3716110,004 VLL2 243380,892 6027319,242 1612661,686 -4917104,472 -3716042,514 VSA1 281609,131 6011668,820 1645434,546 -4895913,117 -3729540,008 VSA2 281767,219 6011508,984 1645549,891 -4895772,810 -3729672,408 - 179 - ANEXO III COORDENADAS DE PUNTOS DE CONTROL - 180 - PSAD-56 ZONA Z1 Z1-2 Z2 ID Este (UTM) (m) Norte (UTM) (m) X (m) Y (m) Z (m) BOT2 249746,179 6092768,733 1632415,344 -4950823,567 -3663002,474 BRU2 257913,953 6130360,356 1647875,438 -4968331,724 -3632453,140 ETR2 270801,817 6006173,207 1634180,052 -4896726,137 -3733765,803 POC2 209326,694 5993708,900 1573503,683 -4909983,157 -3742351,599 ID Este (UTM) (m) Norte (UTM) (m) Y (m) Z (m) SIRGAS ZONA Z1 Z1-2 Z2 X (m) BOT2 249562,922 6092395,048 1632069,764 -4950434,053 -3663296,366 BRU2 257730,680 6129987,164 1647530,740 -4967944,605 -3632748,306 ETR2 270618,860 6005799,393 1633833,145 -4896332,466 -3734056,670 POC2 209143,484 5993334,874 1573155,886 -4909587,446 -3742640,872 - 181 -
