ayudantia n4 modelos estocasticos con desarrollo

Profesor: Iván Derpich
Ayudante: Paulina Moreno
1° semestre 2010
Modelos Estocásticos
Ayudantía Nº 4
Proceso de Poisson
1. El número de personas que salen del Departamento de Ingeniería Industrial (DII), se rige bajo un Proceso de
Poisson no homogéneo de tasa λ(t). Estas personas son alumnos de Ingeniería Civil (45%), alumnos de Ingeniería
Ejecución (40%), Profesores (5%), o personal administrativo del departamento (10%). El DII abre sus puertas
desde las 7:00 hrs. (t=0) hasta las 23:00 hrs. (t=16).
Suponiendo que la tasa de salida de las personas esta medida en (alumnos/hora) y está definida por:
λ(t)=
16
si
t2
si
81
si
10t – 49 si
0<t < 4
4<t < 9
9<t < 13
13<t < 16
a. Calcule la probabilidad de que entre las 8:00 y las 14:00 horas salgan a lo más 200 personas de DII.
b. Determine el número medio de alumnos de Ingeniería Civil, alumnos de Ingeniería Ejecución,
profesores, y personal administrativo que salen del departamento durante un día de operación.
c. Si se sabe que entre las 17:00 hrs. y las 19:00 hrs. han salido 100 personas de DII. Calcule la probabilidad
de que al menos el 8% de ellas hayan sido administrativos.
d. Un hecho conocido en el DII es que el 50% de los alumnos (civil+ejecución) que salen del departamento
se dirige a comprar algún producto a la cafetería. El monto ($) gastado por los alumnos es la cafetería
sigue una distribución uniforme de parámetros [100,1000] pesos. Determine el ingreso obtenido por la
cafetería, durante una mañana de operación (8:00 hrs. a 12:00 hrs.). Suponga que solo los alumnos de
DII son clientes de esta cafetería.
e. Suponga que el tiempo (horas) entre las salidas de los profesores del DII; sigue una función continua de
probabilidad definida por: f(t) = 4t2, t>0. si han pasado 12 minutos y no ha salido ningún profesor, ¿Cuál
es la probabilidad de que en los 3 minutos salga un profesor a DII?
f. Supongamos que N(t) es un proceso de Poisson que cuenta el numero de veces que se ha
reemplazado la ampolleta de una cierta lámpara. Si la primera ampolleta que se instalo en la
lámpara lleva s unidades de tiempo funcionando correctamente, ¿Cuánto tiempo más
funcionara correctamente la ampolleta? Sea Y esta variable aleatoria.
2. A una caja de un supermercado llegan carros con artículos comprados según un Proceso de Poisson con tasa λ.
Cada carro puede llevar 1,2 o 3 artículos, con igual probabilidad.
a. Obtenga la distribución de probabilidad del número de artículos que pasan por la caja en el
intervalo [0, t].
b. Obtenga el número medio de artículos que pasan por la caja.
Desarrollo:
1.
a. N(t)= número de personas que salen del DII en [0,t]
200
∑ e-m(7,1)m(7,1)k
P{N(7)-N(1) < 200} =
k=0
7
m(7,1)=
k!
4
7
ʃ λ (t)dt = ʃ 16 dt + ʃ t
1
1
2
dt = 16 (4-1) + 1/3 (73-43)=141 alumnos
4
200
∑ e-141141k
P{N(7)-N(1) < 200} =
k=0
k!
b. N1(t) = n° alumnos de IC que salen del DII, en [0,t]
N2(t) = n° alumnos de IE que salen del DII, en [0,t]
N3(t) = n° profesores que salen del DII, en [0,t]
N4(t) = n° administrativos que salen del DII, en [0,t]
E[N1(16) – N1(0)] = 0,45 * E[N1(16) – N1(0)] = 0,45 * m(16,0)
16
4
ʃ
9
13
ʃ
16
ʃ
ʃ
9
13
ʃ
m(16,0)= λ(t)dt= 16dt+ t2dt+ 81dt+ (10t–49)dt=16(4-0)+1/3(93-43)+81(13-9)+5(162-132)-49(16-13)~898 alumnos
0




0
4
E[N1(16) – N1(0)] = 0,45 *898 =404 alumnos IC
E[N2(16) – N2(0)] = 0,4 *898 =359 alumnos IE
E[N3(16) – N3(0)] = 0,05 *898 =45 profesores
E[N4(16) – N4(0)] = 0,1 *898 =90 administrativos
c. P[N4(12) – N4(10) > 8/ N(12) – N(10)=100] = P[N4(12) – N4(10) > 8 , N(12) – N(10)=100]
P[ N(12) – N(10)=100]
N5(t) = número de alumnos + número de profesores, en [0,t]
100
=
∑P[N4(12) – N4(10) > 8 ] * P[N5(12) – N5(10)=100 - K]
K=8
P[ N(12) – N(10)=100]
100
∑ e-0,1m(12,10) 0,1m(12,10)k
=.
100!
.
-m(12,10)
100
e
m(12,10)
k=8
k!
100
=
∑
k=8
. 100! . 0,1m(12,10)k 0,9m(12,10)100-k
k! (100-k)!
m(12,10)100
12
12
ʃ
ʃ
10
10
m(12,10) = λ(t)dt = 81dt = 81(12-10)=162
e-0,9m(12,10) 0,9m(12,10)100-k
(100-k)!
100
=
k
100-k
∑ (100
K ) (0,1 * 162) (0,9 *162)
k=8
162100
100
=
k
100-k
∑ (100
K ) (0,1 * 162) (0,9 *162)
k=8
162100+k-k
100
=
k
100-k
∑ (100
K ) (0,1) (0,9)
k=8
d. X = ingreso de la cafetería en [0,t]
Xi= monto aportado por el alumno i ~ U (100,1000)
N6(t): número de alumnos que compra en la cafetería
E(X)=E(N6(t)) * E(Xi)
E(N6(5) -N6(1)) = 0,5 * m(5,1) * 0,85
4
5
ʃ
ʃ
1
4
m(5,1)= 16dt + t2 dt = 29,0417 = 29 alumnos
1000
ʃ
E(Xi) = (1/900)x dx = (1/900)(10002 - 1002) = $550
100
E(X)=E(N6(t)) * E(Xi) = 29 * 550 = $15.950
e. f(t) = 4t2, t > 0
Ti= tiempo entre llegadas de profesores
P[1/3 + 1/20 > Ti / Ti = 1/5] = f(1/5)/ (1 – F(1/5)) * 1/20
t
ʃ
F(t)= f(r) dr = 4/3 t3
0
P[1/3 + 1/20 > Ti / Ti = 1/5] = 4 * (1/5)2 /(1 – 4/3 * (1/5)3) *1/20 ~ 0,008086
Existe una prob. de 0,008086 después de 12 min, en que los 3 min siguientes salga un profesor
2. X(t) = n° de carros que llegan a la caja en el intervalo [0,t]
Yi= el número de artículos que lleva el carro i-ésimo
M(t)= cantidad de artículos que llegan a la caja en el intervalo [0,t]
00
P{M(t)=n} =
∑ P{M(t)=m/X(t)=n} * P{X(t)=n}
n=0
Para cada valor específico:
P{M(t)=0} = P{M(t)=0/X(t)=0} * P{X(t)=0} = P{X(t)=0} = e- λt
P{M(t)=1} = P{M(t)=1/X(t)=1} * P{X(t)=1} = 1/3 * P{X(t)=1} = 1/3 e- λt λt
P{M(t)=2} = P{M(t)=2/X(t)=1} * P{X(t)=1} + P{M(t)=2/X(t)=2} * P{X(t)=2 } =
P(Y1 =2) *P{X(t)=1} + P(Y1 =1 , Y2 =1) *P{X(t)=2} = 1/3 e- λt λt + (1/3)2 e- λt (λt)2 /2!
P{M(t)=3} = P{M(t)=3/X(t)=1} * P{X(t)=1} + P{M(t)=3/X(t)=2} * P{X(t)=2} + P{M(t)=3/X(t)=3} * P{X(t)=3} =
P(Y1 =3) *P{X(t)=1} + P(Y1 =1 , Y2 =2) *P{X(t)=2} + P(Y2 =2 , Y1 =1) *P{X(t)=2} + P(Y1 =1 , Y2 =1 Y2 =1) *P{X(t)=3} =
1/3 e- λt + (1/3)2 e- λt ( λt)2 /2! + (1/3)2 e- λt (λt)2 /2!+ (1/3)3 e- λt (λt)3 /3!