TEOREMA DE MILLMAN El teorema o principio de Millman se llamó

TEOREMA DE MILLMAN
El teorema o principio de Millman se llamó así en honor al electrónico ruso Jacob Millman.
El principio de Millman resulta indicado cuando se tiene un circuito con sólo dos nodos, o lo que es lo
mismo, cuando se tienen varias ramas en paralelo, y en cada una de dichas ramas se tiene una fuente de
tensión en serie con una resistencia (o en su caso más general, en serie con una impedancia1), tal como
se muestra en la Figura 9.1.
Figura 9.1 Circuito en el que se puede aplicar el Teorema de Millman.
El principio de Millman permite obtener directamente la diferencia de potencial en los extremos del
circuito mostrado en la Figura 9.1, es decir, entre los nodos a y b del mismo. Este teorema establece que
el voltaje Vm entre los nodos a y b es igual a la suma de los productos que resultan al multiplicar la
fuente de tensión en cada rama, Vk, por la conductancia en dicha, Gk, para todas las ramas k = 1, 2, ..., n,
todo dividido por la suma de las conductancias, tal como se muestra en la siguiente ecuación:
En el caso más general1, en el que en cada rama se tiene una fuente de tensión en serie con la
impedancia de un elemento lineal pasivo, esta ecuación puede expresarse como
donde Zk es la impedancia (medida en ohms) del dispositivo lineal pasivo en la rama k, y Yk es la
admitancia (medida en siemens) correspondiente, es decir, Yk = 1/Zk. En el caso de las resistencias, Zk =
RK y Yk = Gk.
1
Posteriormente en el curso se definirán los términos impedancias y admitancias.
Para la demostración de este teorema, usaremos la ley de ohm, que en este caso establece que la
corriente ik en cada rama k es
Ahora, a partir de la Ley de Corrientes de Kirchhoff, tenemos que la suma algebraica de las corrientes
que entran y salen en el nodo a es
Desarrollando obtenemos que
Dado que vm es una valor constante que puede sacarse como factor en la sumatoria izquierda de la
Ecuación (9.5), podemos despeja vm, para obtener
Obsérvese que las ecuaciones (9.1) y (9.6) son idénticas. El caso general expresado por la Ecuación (9.2)
puede obtenerse siguiendo el mismo proceso, pero utilizando impedancias y admitancias en lugar de
resistencias y conductancias, respectivamente.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Uso del Teorema de Millman
TEOREMA DE RECIPROCIDAD
Primer Enunciado: Si la excitación o fuente de entrada de un circuito produce una corriente i a la salida,
la misma excitación o fuente aplicada en la salida del circuito producirá la misma corriente i a la entrada
del mismo circuito. Es decir, el resultado es el mismo si se intercambia la excitación y la respuesta del
circuito. Esto se ilustra en la Figura 9.2.
Figura 9.2 a) Una fuente de excitación F aplicada en la entrada del circuito produce una corriente de
salida i; b) La misma fuente de excitación F aplicada en la salida produce una corriente i en la entrada.
Segundo Enunciado: La intensidad i que circula por una rama a de un circuito lineal y pasivo, cuando se
intercala una fuente de tensión en otra rama b, es la misma que circularía por la rama b si la fuente de
tensión se intercala en la rama a. Esto se muestra en la Figura 9.3.
Figura 9.3 a) Una fuente de tensión E en la rama a-b produce una corriente i en la rama c-d;
b) la misma fuente de tensión E aplicada a la rama c-d produce la misma corriente i en la rama a-b.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Teorema de reciprocidad
Utilice el teorema de reciprocidad para comprobar que la fuente de tensión de entrada E que produce la
corriente I en la rama de la resistencia R4, produce la misma corriente I en la entrada si esta fuente de
tensión se coloca en la rama de R4.
Si se usa el teorema de Thévenin, tenemos:
La corriente I = 1.5 A se obtuvo dividiendo entre dos la corriente Is, ya que I se obtiene de un divisor de
corriente entre dos resistencias en paralelo de 6 Ω (R4 = 6 Ω está en paralelo con la serie R3 + R4 = 6 Ω).
Por lo tanto, la resistencia en ambas ramas en paralelo es igual y la corriente en cada una de ellas será la
mitad de Is.
Si se cambia la fuente de tensión a la rama de la resistencia R4, tenemos
Por lo tanto, si aplicamos de nueva cuenta el teorema de Thévenin, obtenemos
Con esto se demuestra el teorema de reciprocidad.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN
Los sistemas lineales obedecen el principio de superposición, que establece que, cuando se excita un
sistema lineal mediante más de una fuente de energía independiente (fuentes de tensión y/o corriente),
la respuesta total es la suma de las respuestas individuales. Una respuesta individual es el resultado de
la actuación de una única fuente independiente. Puesto que estamos tratando con circuitos formados
por elementos lineales de circuito interconectados, podemos aplicar el principio de superposición
directamente al análisis de tales circuitos cuando éstos están excitados por más de una fuente de
energía independiente. Por el momento, restringiremos nuestro análisis a las redes resistivas simples;
sin embargo, el principio es aplicable a cualquier sistema lineal.
La superposición se aplica tanto en el análisis como en el diseño de circuitos. Al analizar un circuito
complejo con múltiples fuentes independientes de tensión y de corriente, normalmente habrá un
número menor de ecuaciones y éstas serán más simples de resolver cuando se consideren por separado
los efectos de las distintas fuentes independientes. Por tanto, la aplicación de la superposición puede
simplificar el análisis de los circuitos. Sin embargo, debe tenerse presente que, en ocasiones, la
aplicación del principio de superposición complica en la práctica el análisis, produciendo un sistema de
ecuaciones para resolver más complicado que el que se obtendría con un método alternativo. La
superposición sólo es necesaria si las fuentes independientes en un circuito son fundamentalmente
distintas.
Se ilustrará el principio de superposición utilizándolo para calcular las corrientes de rama en el circuito
mostrado en la Figura 9.6. Comencemos calculando las corrientes de rama resultantes de la fuente de
tensión de 120 V. Se denotarán dichas corrientes mediante un símbolo de prima. Sustituyendo la fuente
de corriente ideal por un circuito abierto, podemos desactivar dicha fuente, como se muestra en la
Figura 9.7. Las corrientes de rama en este circuito son las resultantes, exclusivamente, de la fuente de
tensión.
Se puede calcular fácilmente las corrientes de rama del circuito de la Figura 9.7 una vez que sepamos la
tensión de nodo en las terminales de la resistencia de 3 Ω. Si designamos esta tensión como v1 , se
puede escribir
de donde
Figura 9.6 Circuito utilizado para ilustrar el principio de superposición.
Figura 9.7 El circuito mostrado en la Figura 9.6, con la fuente de corriente desactivada.
Ahora se puede escribir directamente las expresiones de las corrientes de rama i'1 a i'4
Para calcular la componente de la corriente de rama debida a la fuente de corriente, se desactiva la
fuente de tensión ideal y resolvemos el circuito mostrado en la Figura 9.8. La notación de doble prima
utilizada para las corrientes indica que son las componentes de la corriente total resultantes de la fuente
de corriente ideal.
Figura 9.8 El circuito mostrado en la Figura 9.6, con la fuente de tensión desactivada.
Se determinan las corrientes de rama en el circuito mostrado en la Figura 9.8 calculando primero las
tensiones de nodo en las terminales de las resistencias de 3 y 4 Ω, respectivamente. La Figura 9.9
muestra las dos tensiones de nodo.
Figura 9.9 El circuito mostrado en la Figura 9.6, indicando las tensiones de nodo v3 y v4.
Las dos ecuaciones de tensión de nodo que describen el circuito serán
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (9.11) y (9.12), obtenemos
Ahora podemos escribir directamente las corrientes de rama i"1 a i"4 en términos de las tensiones de
nodo v3 y v4 :
Para calcular las corrientes de rama en el circuito original, es decir, las corrientes i1, i2, i3 e i4 de la Figura
9.6, simplemente sumamos las corrientes proporcionadas por las Ecuaciones (9.16) a (9.19) a las
corrientes dadas por las Ecuaciones (9.9) a (9.11):
Se deja al alumno utilizar otro método para solucionar las corrientes de rama el circuito de la Figura 9.6
y comprobar con esto que los resultados obtenidos con el método de superposición, según las
Ecuaciones (9.20) a (9.23), son iguales.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Utilización del principio de superposición para resolver un circuito
EJEMPLOS
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Utilice el principio de superposición para calcular la tensión vo en el circuito de la siguiente
figura:
Solución:
Con la fuente de 10 V actuando de forma solitaria:
Con la fuente de 20 V actuando de forma solitaria:
Con la fuente de corriente de 6 A únicamente:
Las ecuaciones de tensiones de nodo son:
Que en forma estándar son equivalentes a:
Resolviendo, se obtiene:
Nótese que
Entonces,
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Utilice el principio de superposición para calcular la tensión vo en el circuito de la siguiente
figura:
Solución:
Fuente de voltaje actuando únicamente:
Simplificando,
Ahora, con la fuente de corriente actuando únicamente:
Simplificando,