Descargar ejercicios resueltos

TRIGONOMETRÍA (REPASO). EJERCICIOS RESUELTOS.
1.- En el siguiente triángulo rectángulo, determina:
a) Las razones trigonométricas del ángulo

(seno, coseno, tangente y sus inversas).
b) La medida del ángulo  . Expresa el resultado en el Sistema Sexagesimal (en forma
compleja: grados, minutos y segundos) y en el Sistema Internacional (en radianes).
B
a
c = 9 cm

C
A
b = 12 cm
a) Hallamos la longitud de la hipotenusa:
a  b 2  c 2  122  9 2  15 cm
sen  
9
 0,6
15
cosec  
cos  
12
 0,8
15
sec  
9
 0,75
12
cotg  
tg  
b) tg  
9
12

  arc tg
Calculadora: TAN-1 (9/12)
1
15

sen  9
1
15

cos  12
1
12

tg  9
9
 36,87º  36º 52'12' '  0,64 rad
12
Modo DEG (Sistema sexagesimal)
Para pasar de º a rad  36,87º

180º
Modo RAD (Radianes)
 0,2  rad  0,64 rad
Nota: Para expresar un ángulo en radianes se suele dejar en función de  e indicaremos
0,2  rad en lugar de 0,64 rad
2.- Se sabe que un faro tiene una altura, sobre el nivel del mar, de 196 m. Desde un barco
situado en el mar se ve el faro bajo un ángulo de 14º 16’ 32’’ (como se observa en la siguiente
figura). ¿A qué distancia se encuentra el barco de la costa?
x
tg 14º 16' 32' ' 
196
x

x
196
 770.3 m
tg 14º 16' 32' '
1
3.- Resolver los siguientes triángulos rectángulos:
ˆ  35º
a) c = 15 cm y A
Cˆ  90º  Aˆ  90º 35º  55º
a
tg Aˆ 
c

c
cos Aˆ 
b
 b
a  c  tg Aˆ  15  tg 35º  10,5 cm
c
cos Aˆ

15
 18,3 cm
cos 35º
b) a = 5 cm y b = 8 cm
c  b 2  a 2  82  52  39  6,245cm
a
5
sen Aˆ 
 sen Aˆ 
b
8
5
 Aˆ  arc sen  38º 40' 56' '
8
Cˆ  90º Aˆ  90º38º 40' 56' '  51º 19' 04' '
c) b = 24 cm y Cˆ  62º45'12' '
Aˆ  90ºCˆ  90º62º 45'12' '  27º 14' 48' '
a
cos Cˆ 
b
 a  b  cos Cˆ  24  cos 62º 45'12' '  10,99 cm
c
sen Cˆ 
b
 c  b  sen Cˆ  24  sen 62º 45'12' '  21,34 cm
4.- Determina el perímetro y el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia
de 16 cm de radio.
Se determina el ángulo central

360º
 72º
5


2

 36º
Se halla el lado del pentágono.
x
 x  16  sen 36º  9,4 cm
16
l  2 x  2  9,4  18,8 cm
sen 36º 


16 cm
a

x
Hallamos el perímetro del pentágono.
P  n  l  5  18,8  94 cm
Para determinar el área, hallamos previamente la apotema:
cos 36º 
A
a
16
 a  16  cos 36º  12,94 cm
P  a 94  12,94

 608,18 cm 2
2
2
2
5.- Determina el área de los siguientes triángulos:
8 cm
h
32º
12 cm
8 cm
12 cm
14 cm
h
60º
62º
x
8 cm
h
24 cm
b
a) Determinamos la altura. Como es un triángulo equilátero sus 3 ángulos internos son iguales
180º
 60º
3
A

h  8  sen 60º  6,93 cm
b  h 8  6,93

 27,72 cm 2
2
2
b) Determinamos la base y la altura:
x  12  sen16º  3,3 cm  b  2  x  6,6 cm
h  12  cos 16º  11,5 cm
A
b  h 6,6  11,5

 37,95 cm 2
2
2
c) Determinamos la altura:
h  14  sen 62º  12,36 cm
A
b  h 24  12,36

 148,32 cm 2
2
2
6.- Calcula la altura del puente, sabiendo que tiene 24 m de largo.
24 m
x
h
Resolveremos el problema utilizando el método de la doble observación (o de las tangentes):
tg 40º 
h
x
h
tg 47º 
24  x



 
 h  24  x   tg 47º 


 h  x  tg 40º
igualando ambas expresiones:
3
x  tg 40º  24  x   tg 47º
x  tg 40º  24  tg 47º  x  tg 47º
x  tg 40º  x  tg 47º  24  tg 47º
x  tg 40º  tg 47º   24  tg 47º
x
24  tg 47º
 13,46 m
tg 40º  tg 47º
h  x  tg 40º  1 3,46  tg 40º  11,3 m
7.- Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de
30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 metros hacia el pie de la torre, su punto más alto
se ve bajo un ángulo de 60º. Determina la altura de la torre.
h
60º
30º
x
75 m
Resolveremos el problema utilizando el método de la doble observación (o de las tangentes):
tg 60º 
h
x
tg 30º 
h
75  x



 
 h  75  x   tg 30º 


 h  x  tg 60º
igualando ambas expresiones:
x  tg 60º  75  x   tg 30º
x  tg 60º  75  tg 30º  x  tg 30º
x  tg 60º  x  tg 30º  75  tg 30º
x  tg 60º  tg 30º   75  tg 30º
x
75  tg 30º
 37,5 m
tg 60º  tg 30º
h  x  tg 60º  37,5  tg 60º  65 m
4
8.- Desde un faro situado a 50 metros sobre el nivel del mar se observan dos barcos: uno se ve
bajo un ángulo de depresión de 30º y otro (alineado con el primero y con el faro) bajo un
ángulo de depresión de 10º. Calcula la distancia que hay entre los dos barcos.
50 m
30º
10º
y
x
tg 30º 
50
y
tg 10º 
50
x y

x

y

50
 86,6 m
tg 30º
tg 10º 
50
x  86,6
 x  86,6 
50
tg 10º

50
 86,6  197 m
tg 10º
9.- Dos individuos A y B observan un globo que está situado en un plano vertical entre ellos.
La distancia entre los individuos es de 4 km. Los ángulos de elevación del globo desde los dos
observadores son 48º y 32º, respectivamente. Determinar la altura del globo y la distancia del
globo a cada observador.
C
a
b
48º
A
h
x
32º
4-x
4 Km
B
Resolveremos el problema utilizando el método de la doble observación (o de las tangentes):
tg 48º 
h
x
h
tg 32º 
4x



 
 h  4  x   tg 32º 


 h  x  tg 48º
igualando ambas expresiones:
x  tg 48º  4  x   tg 32º
x  tg 48º  4  tg 32º  x  tg 32º
x  tg 48º  x  tg 32º  4  tg 32º
x  tg 48º  tg 32º   4  tg 32º
4  tg 32º
x
 1,44 Km
tg 48º  tg 32º
h  x  tg 48º  1, 44  tg 48º  1,6 Km
a  h 2  (4  x) 2  1,6 2  (4  1,44) 2  3 Km
b  h 2  x 2  1,6 2  1,44 2  2,15 Km
5
10.- Desde un cierto punto del suelo se ve un árbol bajo un ángulo de 42º. ¿bajo que ángulo se
verá si nos colocamos al doble de distancia? ¿Y si nos colocamos al triple de distancia?
h
42º


x
2x
3x
h
x

h  x  tg 42º
[1]
tg  
h
2x

h  2 x  tg 
[2]
tg  
h
3x

h  3 x  tg 
[3]
tg 42º 
Igualando las relaciones [1] y [2] se halla
x  tg 42º  2 x  tg   tg  

tg 42º
 0,45    arc tg 0,45  24º 14'15' '
2
Igualando las relaciones [1] y [3] se halla 
x  tg 42º  3 x  tg   tg  
11.- Sabiendo que cos   
tg 42º
 0,3    arc tg 0,3  16º 42' 23' '
3
2
y que
5

demás razones trigonométricas del ángulo
es un ángulo del segundo cuadrante, determina las
.
A partir de la relación fundamental de la Trigonometría:
sen 2  cos 2  1
2
 2 
1
1
4 1
  1    sen   

sen   1  cos   1   
5
5 5
5
5

2
Como
2
 es un ángulo del segundo cuadrante (

2
    ) la única solución válida es la
positiva (el seno es positivo en el segundo cuadrante).
Por tanto, sen  
1
5
1
tg  
sen 
5 1


cos   2
2
5
seno
+ +
- -
Resta calcular cosec  , sec  y cotg  .
6
12.- Sabiendo que tg  
trigonométricas del ángulo
1  tg 2 
4
13
.
2
1
3
 1   
2
cos 2 
 
1
cos 2 
 cos 2  
3
y que 180º    270º , determina las demás razones
2
 cos   
 1
9
1

4 cos 2 

13
1

4 cos 2 

4
2

13
13
Como en el tercer cuadrante el coseno es negativo, la única solución válida es la negativa:
cos   
2
13
Para hallar el seno:
tg  
sen 
cos 
cosec  
 sen   tg   cos  
1
13

sen 
3
sec  
13.- Sabiendo que sen   
trigonométricas del ángulo
.
3 
2 
3
  
  
2 
13 
13
1
13

cos 
2
cotg α 
1
2

tg  3
3
3
y que    
, determina las demás razones
5
2
Igual que el ejercicio nº 11
14.- Sabiendo que cotg   
trigonométricas del ángulo
tg  
.
4
y que 270º    360º . Determina el resto de razones
3
1
3

y se sigue el mismo procedimiento que en el ejercicio nº 12
cotg 
4
15.- Completa la siguiente tabla:

0º
30º
45º
60º
90º
180º
270º
360º
sen 
0
1
2
2
2
3
2
1
0
-1
0
cos 
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
0
1
tg 
0

0

0
1
3
1
3
7
16.- Calcula (sin hacer uso de la calculadora):
Ver apuntes (Circunferencia goniométrica y Relaciones entre las razones trigonométricas de
algunos ángulos: ángulos suplementarios, ángulos complementarios, etc.).
a ) sen 120º  sen 60º 
3
2
Nota: 120º y 60º son dos ángulos suplementarios (suman 180º).
b) cos 150º   cos 30º  
3
2
Nota: 150º y 30º son dos ángulos suplementarios (suman 180º).
c) tg 135º 
sen 135º
sen 45º

 tg 45º  1
cos 135º  cos 45º
Nota: 135º y 45º son dos ángulos suplementarios (suman 180º).
d ) sen 210º  sen 30º  
1
2
Nota: 30º y 210º son dos ángulos que difieren en 180º.
e) cos 300º  cos  60º   cos 60º 
1
2
Nota: 60º y - 60º son dos ángulos opuestos (300º = - 60º)
f ) tg 240º 
sen 240º  sen 60º

 tg 60º  3
cos 240º  cos 60º
Nota: 60º y 240º son dos ángulos que difieren en 180º.
g ) sen 330º  sen (30º )  sen 30º  
1
2
Nota: 30º y - 30º son dos ángulos opuestos (330º = - 30º)
h) cos  60º   cos 60º 
1
2
Nota: 60º y - 60º son dos ángulos opuestos.
i ) tg  120º   tg 240º 
sen 240º  sen 60º

 tg 60º  3
cos 240º  cos 60º
17.- Sabiendo que sen   a y cos  b (donde a y b son valores conocidos y  es un
ángulo del primer cuadrante), determina las razones trigonométricas de los siguientes ángulos
(en función de los valores a y b ):
a) sen      DC  AB  sen   a
b) cos      OD  OA   cos   b
c) tg     
sen     sen 
a


cos      cos   b
8


d ) sen      DC  OA  cos   b
2



e) cos      OD  AB  sen   a
2



sen    


2
  cos   b
f ) tg     
2
 cos      sen  a


2

g ) sen      DC   AB  sen   a
h) cos      OD  OA   cos   b
i ) tg     
sen      sen   a a



cos      cos   b b
j ) sen 360º    AC   AB  sen   a
k ) cos     OA  cos   b
l ) cotg    
cos ( )
cos 
b


sen ( )  sen   a
18.- Sabiendo que sen  a
y
cos  b
y que 0º    90º , calcula:
a) tg (   )

)
2
c) cos (   )
d ) sec ( )
b) cosec (
Igual que el anterior
9
19.- Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:
a)
1  tg 2
1  tg 2 1  tg 2

 2
 tg 2
2
1  cotg  1  1
tg   1
2
tg 
tg 2
También se puede simplificar de esta forma:
sen 2
cos 2   sen 2
sen 2
cos 2  
cos 2 


 tg 2
cos 2  sen 2  cos 2  cos 2 
1
sen 2
sen 2
1
b)
cos 2 
1  sen 2 1  sen    1  sen  


 1  sen 
1  sen  1  sen 
1  sen 

sen 2 
2
1 

cos



cos 2   cos 2   sen 2
cos 2   1  tg 2
1

c)



 tg 
cos 
cos 
cotg 
cotg
sen 
sen 


 sen  cos  
  sen 2  cos 2   1
d ) sen   cos   tg   cotg    sen   cos   

cos

sen





e) tg 2  tg 2  sen 2  tg 2  1  sen 2  tg 2  cos 2  
sen 2
 cos 2   sen 2
2
cos 
20.- ¿Puedes encontrar algún ángulo cuyo coseno sea igual a la secante? ¿Y cuyo seno sea igual
a la secante?
cos   sec 
 cos  
1
cos 

sen   sec 
 sen  
1
cos 
 sen   cos   1
sen   1  sen 2  1
sen 2  sen 4  1


cos 2   1

sen 2  1  sen 2  1

cos   1

  0º

  180º


sen 2  sen 4  1
 sen 4  sen 2  1  0 (bicuadrada)
2
Se hace el cambio x  sen 
x 2  x  1  0 No tiene solución.
Por tanto, no se puede encontrar ningún ángulo cuyo seno sea igual a la secante.
10