Tema 3 - Gobierno de Canarias

IES Saulo Torón
Departamento de Matemáticas
Matemáticas Especiales
Sucesiones. Límite de una sucesión
Tema 3. Sucesiones de números
reales
Definición: Llamamos sucesión a cualquier conjunto indefinido de números reales, escritos con
un orden determinado.
{1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, … . . } {0,1, 0,01, 0,001, 0,0001, … } son
Ej. {1, 3, 5, 7, 9, 11, … … },
sucesiones de números reales.
Los números que la integran se llaman términos de la sucesión y se designan mediante un
subíndice que indica el lugar ocupado por el término dentro de ella.
Así, en la sucesión an = {1, 3, 5, 7, 9, 11, … … }, a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7, etc
Las sucesiones de números reales cumplen las siguientes condiciones:
1.- Hay un primer elemento.
2.- No hay último elemento.
3.- Se ha dado una regla que permite determinar un elemento cuando se conoce el lugar que
ocupa.
Se llama término general de una sucesión a la expresión de su término n-simo (se lee enésimo)
en función de n.
En la sucesión an = {1, 3, 5, 7, 9, 11, … … }, el término n-simo es an = 2n – 1 (compruébalo y calcula
a7, y a20)
En la sucesión bn = {1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, … . . }, bn = ( – 1)n+1 (compruébalo y calcula b8 y b11 y
en la sucesión cn = {0,1, 0,01, 0,001, 0,0001, … }, cn = (10)-n (compruébalo y calcula c5 y c7)
Ejercicios:
1. Hallar los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son:
𝑎𝑛 =
1
𝑛
𝑏𝑛 =
𝑒𝑛 = (−1)𝑛 · (𝑛 + 1)
𝑛+2
𝑛
𝑐𝑛 = 1 + 𝑛2
𝑓𝑛 =
2𝑛
3𝑛 − 1
𝑑𝑛 =
𝑛+2
3
𝑔𝑛 = 3 · (−2)𝑛
2. Hallar el término general de las sucesiones siguientes:
𝑎𝑛 = {2, 4, 6, 8, 10, … . . }
1 −1 1 −1
𝑑𝑛 = { ,
, ,
,…}
2 3 4 5
1 1 1 1
𝑏𝑛 = { , , , , … }
3 5 7 9
𝑒𝑛 = {2, 4, 8, 16, 32, … }
𝑐𝑛 = {−1, −4, −9, −16, −25 … }
1 3 5 7 9
𝑓𝑛 = { , , , , , … }
2 5 8 11 14
1
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Sucesiones. Límite de una sucesión
Sucesiones monótonas:
Se dice que la sucesión {an} de números reales es una sucesión monótona creciente cuando
cada término es mayor o igual que el anterior:
a2 ≥ a1; a3 ≥ a2; a4 ≥ a3; . . .
En general cualquiera que sea n, an+1 ≥ an o, mejor aún, 𝒂𝒏+𝟏 − 𝒂𝒏 ≥ 𝟎 ∀𝒏
Ej. La sucesión an = {1, 3, 5, 7, 9, 11, … 2𝑛 − 1} es monótona creciente porque comprobamos
que cada término es dos unidades mayor que el anterior. Sin embargo, para demostrarlo
hemos de utilizar el término general:
𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1
− 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1 − (2𝑛 − 1) = 2 ≥ 0 ∀𝑛
}𝑎
𝑎𝑛+1 = 2 · (𝑛 + 1) − 1 = 2𝑛 + 1 𝑛+1
Se dice que la sucesión {an} de números reales es una sucesión monótona decreciente cuando
cada término es menor o igual que el anterior:
a2 ≤ a1; a3 ≤ a2; a4 ≤ a3; . . .
En general cualquiera que sea n, an+1 ≤ an o, mejor aún, 𝒂𝒏+𝟏 − 𝒂𝒏 ≤ 𝟎 ∀𝒏
Ej. La sucesión {𝑏𝑛 = 1, 1⁄2 , 1⁄3 , 1⁄4 , …. 1⁄𝑛} es monótona decreciente. Vamos a
demostrarlo:
1
𝑏𝑛 =
1
1 𝑛 − (𝑛 + 1)
−1
𝑛 }𝑏
− 𝑏𝑛 =
− =
=
< 0 ∀𝑛
𝑛+1
1
(𝑛 + 1) · 𝑛
(𝑛 + 1) · 𝑛
𝑛+1 𝑛
𝑏𝑛+1 =
𝑛+1
Ejercicios:
3. Escribe tres sucesiones crecientes y tres decrecientes.
4. Justifica que son crecientes las sucesiones siguientes:
1 3 5
{2, 2,9, 2,99, 2,999, 2,9999}
{ , 1, , 2, , … }
2 2 2
5. Justifica que son decrecientes las sucesiones siguientes:
{7, 4, 1, −2, −5, … }
7 10 13 16
{4, , , , , … }
2 3 4 5
{1,1, 1,01, 1,001, 1,0001, . . . }
5 7 9 11
{3, , , , , … }
2 3 4 5
6. Estudiar el crecimiento de las sucesiones {𝑏𝑛 }, {𝑐𝑛 }, {𝑑𝑛 } 𝑦 {𝑓𝑛 } del ejercicio 1.
Sucesiones acotadas.
Una sucesión {an} está acotada superiormente si existe un número real M, igual o mayor que
todos los elementos de la sucesión. El número M decimos que es una cota superior de {an}.
Ej. La sucesión {an} = {3, 2, 1, 0, −1, −2, … (4 − 𝑛)} está acotada superiormente ya que el
número 3 es una cota superior de la sucesión. Naturalmente, cualquier número mayor que 3
es también una cota superior de {an}.
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Sucesiones. Límite de una sucesión
SUCESIÓN
3 COTAS SUPERIORES
Llamamos extremo superior a la menor de las cotas superiores. Si el extremo superior
pertenece a la sucesión, recibe el nombre de máximo.
En el caso anterior, Sup({an}) = 3 y, como 3 pertenece a la sucesión, Máx({an}) = 3
Análogamente:
Una sucesión {bn} está acotada inferiormente si existe un número real m, igual o menor que
todos los elementos de la sucesión. El número m decimos que es una cota inferior de {bn}.
Ej. La sucesión {bn} = {1, 4, 7, 10, 13, … (3𝑛 − 2)} está acotada inferiormente ya que el
número 1 es una cota inferior de la sucesión. Naturalmente, cualquier número menor que 1 es
también una cota inferior de {bn}.
1
COTAS INFERIORES
SUCESIÓN
Llamamos extremo inferior a la mayor de las cotas inferiores. Si el extremo inferior pertenece
a la sucesión, recibe el nombre de mínimo.
En el caso anterior, Inf({bn}) = 1 y, como 1 pertenece a la sucesión, mín({bn}) = 1
Una sucesión está acotada cuando lo está superior e interiormente.
1 1 1
1
Ej. La sucesión 𝑐𝑛 = {1, 2 , 3 , 4 , … 𝑛} cuyos términos son cada vez menores, pero siempre
positivos (la sucesión “tiende a cero”, aunque nunca llegue), está acotada:
COTAS INFERIORES
0
SUCESIÓN
1
COTAS SUPERIORES
Su extremo superior y máximo es 1; su extremo inferior es 0 pero no tiene mínimo ya que 0
no es ningún término de la sucesión:
𝑰𝒏𝒇({𝒄𝒏 }) = 𝟎
∄𝒎í𝒏({𝒄𝒏 })
𝑺𝒖𝒑({𝒄𝒏 }) = 𝒎á𝒙𝒇({𝒄𝒏 }) = 𝟏
¿Qué relación hay entre monotonía (crecimiento) y acotación?


Toda sucesión creciente está acotada inferiormente porque cada término es mayor
que el anterior y, por lo tanto, el primero es el mínimo de la sucesión.
Toda sucesión decreciente está acotada superiormente, porque cada término es
menor que el anterior y, por lo tanto, el primero es el máximo de la sucesión.
Ejercicio:
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Sucesiones. Límite de una sucesión
7. Justifica si son correctas las siguientes las siguientes afirmaciones y, si son incorrectas,
propón un contraejemplo:
 Las sucesiones crecientes no pueden estar acotadas superiormente, porque
como los términos van creciendo, se hacen tan grandes como queramos, por
lo que es imposible encontrar un número que sea mayor que todos ellos.
 Las sucesiones decrecientes no pueden estar acotadas inferiormente, porque
como los términos van decreciendo, se hacen tan pequeños como queramos,
por lo que es imposible encontrar un número que sea menor que todos ellos.
 Todas las sucesiones cuyos términos son negativos son decrecientes.
 Todas las sucesiones cuyos términos son positivos son crecientes
8. Escribe un ejemplo de sucesión creciente que esté acotada e indica sus extremos.
9. Escribe un ejemplo de sucesión decreciente que esté acotada e indica sus extremos.
10. Escribe un ejemplo de sucesión creciente que no esté acotada e indica por qué.
11. Escribe un ejemplo de sucesión decreciente que no esté acotada e indica por qué.
12. Estudiar la acotación de las sucesiones del ejercicio 2.
Límite de una sucesión
Observa con cuidado las sucesiones siguientes para poder contestar las preguntas que se
formulan a continuación:
{𝑎𝑛 } = {1, 3, 5, 7, 9, . . . . . }
𝑎𝑛 =
1 1 1 1 1
{𝑏𝑛 } = { ,
,
,
,
, ......}
1 2 3 4 6
𝑏𝑛 =
1 2 3 4 5
{𝑐𝑛 } = { ,
,
,
,
, ......}
2 2 2 2 2
𝑐𝑛 =
{𝑑𝑛 } = {1, -2, 3, -4, 5, −6 . . . . . }
𝑑𝑛 =
1 2 3 4 5
{𝑒𝑛 } = { ,
,
,
,
, ......}
2 3 4 5 6
𝑒𝑛 =
−1 1 −1 1 −1
,
,
,
,
, ......}
1
2
3
4
5
𝑓𝑛 =
{𝑔𝑛 } = {-1, -4, -7, -10, -13, −16 . . . . . }
𝑔𝑛 =
{𝑓𝑛 } = {
(Halla el término general de cada una de ellas y escríbelo a la derecha)
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Sucesiones. Límite de una sucesión
Nos preguntamos cuál va a ser el comportamiento de la sucesión, no sólo en los primeros
términos, sino más adelante, cuando avanzamos y el número de términos es muy grande. Para
decirlo con más precisión, cuando 𝑛 → ∞.
Para cada una de ellas podemos preguntarnos:
 ¿La sucesión crece, decrece o ninguna de las dos cosas?
 Si es monótona creciente o decreciente, ¿toma valores tan grandes como queramos
(positivos o negativos)?, es decir, ¿no está acotada?
 Si está acotada, ¿crees que hay algún número al que se acercan mucho los términos
de la sucesión? (Puedes ayudarte de la calculadora para dar a “n” valores muy
grandes al sustituir en el término general).
Las sucesiones cuyos términos crecen hasta hacerse “tan grandes como queramos”, decimos
que “ tienden a +∞". P. ej.: 2n+1, 3n2 – 2, n4 – 5n, e2n+3, . . .
Las sucesiones cuyos términos decrecen hasta hacerse “tan grandes en negativo como
queramos”, decimos que “tienden a −∞". P. ej.: 1 – 2n, -3n2 – 2, n – 5n4, 3 – e2n+3, . . .
En ambos casos hablamos de sucesiones divergentes.
 Identifica sucesiones divergentes entre las que hemos visto al principio de la página.
En otras sucesiones, llamadas convergentes, los términos se van acercando cada vez más a un
determinado valor al que llamamos LÍMITE DE LA SUCESIÓN.
𝐸𝑗.: {𝑎𝑛 } =
La sucesión
1
𝑛
1
1 1 1 1
1
1
1
={ ,
,
,
,….
, ...
, ...
→0 }
𝑛
1 2 3 4
100
100.000
100.000.000
𝟏
𝒏
𝒏→∞
decimos que tiene límite cero y escribimos 𝐥𝐢𝐦 = 𝟎 porque los términos de
la sucesión toman valores cada vez más próximos a 0.
¿Cuándo decimos que una sucesión tiene límite l? Cuando los términos de la sucesión se acercan a
l “tanto como queramos”, es decir, que si pensamos en una cantidad, por pequeña que sea, los
términos de la sucesión llegan a distar del límite menos de la cantidad fijada. O, dicho con algo más
de precisión,
𝑼𝒏𝒂 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒍 𝒔𝒊 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆𝒂 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐
𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 (𝝐), 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒖𝒏 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆
𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒆 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒆𝒏 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒅𝒆 𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝝐
Está claro que las sucesiones que tienden a +∞ o a −∞ (las sucesiones divergentes) no
tienen límite en el sentido de la definición anterior. Sin embargo, es frecuente decir que “el
límite de una sucesión es infinito” o incluso escribir lim 𝑎𝑛 = ∞. Nosotros también
𝑛→∞
emplearemos esa notación, pero sabemos que formalmente no es correcta y que las únicas
sucesiones que tienen límite son las convergentes.
Las sucesiones que no son convergentes (tienen límite) ni divergentes (tienden a ∞) se llaman
sucesiones oscilantes.
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Sucesiones. Límite de una sucesión
CÁLCULO DE LÍMITES
Calcular el límite de una sucesión consiste, en la práctica en encontrar su valor (si existe) cuando n
se hace muy grande, cuando 𝑛 → ∞.
Por ello, y aún sabiendo que ∞ no es un número, vamos a aprender a operar con él, entendiendo
que cuando escribimos ∞ + 𝑎 = ∞ queremos decir que si a una sucesión que tiende a ∞ le
sumamos una sucesión que tiene límite a, la sucesión resultante tiende a ∞.
SUMAS Y RESTAS
+∞ ± 𝑎 = +∞
−∞ ± 𝑎 = −∞
∞ + ∞ = +∞
}
− ∞ − ∞ = −∞
∞ − ∞ 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂
𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏
PRODUCTOS Y COCIENTES
𝑺𝒊 𝒂 ≠ 𝟎
∞ · 𝑎 = ∞ (𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠)
∞
}
= ∞ (𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠)
𝑎
𝑎
=0
∞
𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠,
0· ∞
𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂
𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝟎
𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝟎
∞
𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏
∞
POTENCIAS Y EXPONENCIALES
+∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 0
(+∞)𝑎 = {
0 𝑠𝑖 𝑎 < 0 (∗)
1
∞𝟎 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏
1
(∗) ∞−2 = 2 = = 0
∞
∞
𝑺𝒊 𝒂 > 0
+∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 1
𝑎∞ = {
0 𝑠𝑖 0 < 𝑎 < 1
𝟏∞ 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝟎𝟎 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏
Cuando al calcular el límite de una sucesión empleamos la expresión “es una indeterminación”
queremos decir que el valor del límite no lo conocemos a priori, sino que serán necesarios cálculos
o transformaciones que permitan “deshacer la indeterminación” y calcular finalmente el límite.
Vamos a calcular el límite de un polinomio y a indicar cómo resolver las indeterminaciones más
frecuentes.
LÍMITE DE UN POLINOMIO:
El límite de un polinomio siempre es ∞. Será +∞ o −∞ dependiendo del signo del coeficiente del
término de mayor grado. De hecho, cuando no hay indeterminaciones, podemos escribir que
lim 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = lim 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
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Sucesiones. Límite de una sucesión
Ejemplos:
lim (−3𝑥 2 + 5𝑥 − 3) = −∞
lim (2𝑥 − 1) = +∞
𝑥→∞
𝑥→∞
lim (5𝑥 + 2) · (3 + 5𝑥 − 4𝑥 2 ) = lim (5𝑥) · (−4𝑥 2 ) = (+∞) · (−∞) = −∞
𝑥→∞
𝑥→∞
LÍMITE DEL COCIENTE DE POLINOMIOS (Indeterminación ∞/∞ )
El límite de la suma, resta y multiplicación de polinomios se calcula muy fácilmente conociendo la
regla anterior. Sin embargo, cuando calculamos el límite de un cociente de polinomios, aparece la
indeterminación ∞/∞, que resolvemos recurriendo a la potencia de mayor grado:
(3 + 5𝑥 − 4𝑥 2 )
(−4𝑥 2 )
−4
= lim
= lim
𝑥 = −∞
𝑥→∞
𝑥→∞ (5𝑥)
𝑥→∞ 5
(5𝑥 + 2)
lim
(3 + 5𝑥 − 4𝑥 2 )
(−4𝑥 2 )
(−4)
4
=
lim
= lim
=−
2
2
𝑥→∞
𝑥→∞ (5𝑥 )
𝑥→∞ 5
(5𝑥 + 2)
5
lim
(−4𝑥 2 + 5𝑥 − 2)
(−4𝑥 2 )
(−4) −4
=
lim
= lim
=
=0
3
3
𝑥→∞ (5𝑥 − 4𝑥 + 1)
𝑥→∞ (5𝑥 )
𝑥→∞ 5𝑥
∞
lim
De aquí podemos deducir la siguiente regla práctica:
𝑬𝒍 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒄𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐𝒔 𝒆𝒔:
> ∞ 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
> 0 𝑠𝑖 𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒆𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓
> 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑖 𝑙𝑜𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠
Esta regla es válida incluso con expresiones no polinómicas como las raíces (*) siempre que no
haya otra indeterminación, como ∞ − ∞.
𝑚
𝑛
(*) Recordamos que una raíz es una potencia de exponente fraccionario: √𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛
Ejemplos:
𝑛
1
𝑛+2
lim (
) = lim ( ) =
2
𝑛→∞ 2𝑛 + 3
𝑛→∞ 2𝑛
(𝑛 − 1) · (𝑛 + 1) + 3
𝑛2 …
1
= lim 2
=
𝑛→∞ (3𝑛 − 2) · (𝑛 + 7)
𝑛→∞ 3𝑛 …
3
lim
3
√𝑛3 − 1
√𝑛3
𝑛2
3
lim ( 2
) = lim ( 2 ) = lim ( 2 ) = 0 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 < 2
𝑛→∞
𝑛→∞ 𝑛
𝑛→∞ 𝑛
𝑛 −1
2
3𝑛 + 1
3𝑛
lim √ 2
= lim √ 2 = √0 = 0
𝑛→∞ 6𝑛 − 𝑛
𝑛→∞ 6𝑛
3𝑛 + √𝑛2 − 2𝑛
3𝑛 + √𝑛2
3𝑛 + 𝑛
4
= lim
= lim
=−
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
2 − 5𝑛
−5𝑛
−5𝑛
5
lim
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Sucesiones. Límite de una sucesión
Ejercicios:
Calcular los siguientes límites:
lim (3𝑛2 + 1)
lim (2𝑛 − 5𝑛3 )
𝑛→∞
lim (
𝑛→∞
lim (
𝑛→∞
2𝑛3 − 3𝑛2 + 7
)
5𝑛3 + 3𝑛
lim (
𝑛→∞
𝑛2 − 1
lim (√ 2
)
𝑛→∞
9𝑛 + 5
𝑛→∞
5𝑛4 + 7𝑛 − 11
)
−𝑛3 + 5𝑛2 + 1
𝑛 + √4𝑛2 − 1
lim (
)
𝑛→∞
3𝑛 + 5
5𝑛 + 2
)
2𝑛
lim (
lim (
𝑛→∞
2√𝑛 + √𝑛3
𝑛→∞
1 + √𝑛
1 − 2𝑛2
)
3𝑛
lim (
)
𝑛→∞
√𝑛5 + 3
)
𝑛3 − 1
1 − 2𝑛 3
lim (
)
𝑛→∞
3𝑛
1 − 2𝑛 2𝑛 + 1
lim (
:
)
𝑛→∞ 3𝑛 + 2
𝑛
Sol.: + ∞ , – ∞ , 5/2 , – ∞ , 2/5 , – ∞ , + ∞ , 0, 2, – 2, – ∞ , 1/3 , 1, -1/3 , (-2/3)3
INDETERMINACIÓN ∞ − ∞ CON RAÍCES.
La indeterminación ∞ − ∞ se resuelve en los casos más sencillos efectuando la operación:
lim (3𝑛2 + 1) − (2𝑛 − 5𝑛3 ) = lim (5𝑛3 + 3𝑛2 − 2𝑛 + 1) = +∞
𝑛→∞
lim (2𝑛 −
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛2 − 1
2𝑛(3𝑛 + 2) − (𝑛2 − 1)
6𝑛2 − 𝑛2
5𝑛2
= lim
= +∞
) = lim (
) = lim
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞ 3𝑛
3𝑛 + 2
3𝑛 + 2
3𝑛
Sin embargo, cuando en la operación aparecen raíces, para resolver la indeterminación tenemos
que multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión que contiene la raíz:
Ejemplos:
lim (𝑛 − √𝑛) = lim
𝑛→∞
lim
𝑛→∞ 2𝑛
(𝑛 − √𝑛) · (𝑛 + √𝑛)
𝑛→∞
1
− √𝑛2 + 5𝑛
= lim
𝑛→∞ (2𝑛
(𝑛 + √𝑛)
2
= lim
𝑛→∞
𝑛2 − (√𝑛)
(𝑛 + √𝑛)
(2𝑛 + √𝑛2 + 5𝑛)
− √𝑛2 + 5𝑛) · (2𝑛 + √𝑛2 + 5𝑛)
= lim
𝑛2 − 𝑛
𝑛→∞ 𝑛
= lim
𝑛→∞
+ √𝑛
= +∞
(2𝑛 + √𝑛2 + 5𝑛)
2
(2𝑛)2 − (√𝑛2 + 5𝑛)
3𝑛
(2𝑛 + √𝑛2 + 5𝑛)
(2𝑛 + √𝑛2 )
=
lim
= lim 2 = 0
2
2
2
2
𝑛→∞ 4𝑛 − (𝑛 + 5𝑛)
𝑛→∞ 4𝑛 − 𝑛
𝑛→∞ 3𝑛
lim
8
=
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Sucesiones. Límite de una sucesión
Ejercicios:
lim (√𝑛2 − 𝑛 − 𝑛)
lim (√𝑛 + 4 − √𝑛)
𝑛→∞
𝑛→∞
√𝑛 + 2 − √𝑛 − 2
𝑛→∞
3
lim
Sol.: 0, -1/2 , 1,
0,
lim
𝑛→∞ 𝑛
1
− √𝑛 + 1
lim (√𝑛2 + 2𝑛 − √𝑛2 + 1)
𝑛→∞
lim
𝑛→∞ 𝑛
1
− √𝑛2 + 1
0, – ∞ .
INDETERMINACIÓN 𝟏∞ .
Los límites del tipo 1∞ (y también los de tipo 00 o ∞0) dan lugar a potencias de “e”.
El número “e” es un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182818 y que se define como:
1 𝑛
𝑒 = lim (1 + )
𝑛→∞
𝑛
Para resolver límites donde aparece la indeterminación 1∞ empleamos la siguiente expresión:
lim (𝐹−1)·𝐺
lim 𝐹 𝐺 = 𝑒 𝑛→∞
𝑛→∞
Ejemplo:
lim (
𝑛→∞
lim (3𝑛+2)
𝑛 + 3 3𝑛+2
𝑛 + 3 𝑛→∞
)
= lim (
)
= 1∞
𝑛→∞ 𝑛 − 1
𝑛−1
Una vez comprobado que se trata de una indeterminación del tipo 1∞ , aplicamos la fórmula:
𝑛+3
4
12𝑛+8
𝑛 + 3 3𝑛+2
lim (
−1)·(3𝑛+2)
lim (
)·(3𝑛+2)
lim (
)
lim (
)
= 𝑒 𝑛→∞ 𝑛−1
= 𝑒 𝑛→∞ 𝑛−1
= 𝑒 𝑛→∞ 𝑛−1 = 𝒆𝟏𝟐
𝑛→∞ 𝑛 − 1
Ejercicios:
3𝑛+2
𝑛2 + 3
lim ( 2
)
𝑛→∞ 𝑛 − 1
𝑛2 −5
𝑛2 + 3𝑛
lim ( 2
)
𝑛→∞ 𝑛 − 1
Soluciones: e0 = 1, e3/4, e- 4, 1, 𝑒 ∞ = ∞,
𝑛2 −1
2𝑛2 + 3 3𝑛+2
lim ( 2
)
𝑛→∞ 2𝑛 − 3𝑛
e1/2
9