Contraste de hipótesis para una distribución normal Segundo ejemplo: distribución poblacional normal

Vídeos docentes sobre
Probabilidad y Teoría de la Decisión
Contraste de hipótesis
para una distribución normal
F. J. Díez Vegas
Dpto. Inteligencia Artificial. UNED
fjdiez@dia.uned.es
www.ia.uned.es/~fjdiez
Segundo ejemplo:
distribución poblacional normal
X
Objetivo: estudiar la relación entre la vitamina X y el síndrome Y
X
Hecho: la concentración de X en la sangre de personas sanas
es 128 μg/cm3 (desviación estándar 20 μg/cm3)
X
Datos: análisis de sangre de 25 pacientes con el síndrome Y
El promedio de la concentración de X es 117 μg/cm3
X
Pregunta: ¿Hay asociación entre el déficit de vitamina X y la
presencia del síndrome Y?
(Sólo queremos averiguar si hay asociación. No pretendemos demostrar relación causal.)
1
Contraste de hipótesis
(para este ejemplo)
1. Hipótesis experimental: HE = “μ < 128”
2. Hipótesis nula: H0 = “μ ≥ 128”
3. Tipo de distribución poblacional: normal (gaussiana)
4. Distribución poblacional, en el límite de la hipótesis nula:
−
1
P( x | μ = 128) =
e
σ 2π
( x −μ )2
2σ 2
−
1
=
e
20 2π
( x−128)2
2×202
P(x | μ=128)
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
50
100
150
200
250
x
Distribución (poblacional) del nivel de X en sangre, X
para el valor límite de la hipótesis nula
2
5. Tamaño de la muestra: n = 25
6. Distribución muestral para el estadístico X (promedio del nivel de X):
distribución normal (gaussiana), con
μ′ = μ = 128
σ′ =
σ
=
n
20
=4
25
es decir,
P( x | μ = 128) =
−
1
e
σ ′ 2π
( x −μ′)2
2σ ′2
=
−
1
e
4 2π
( x −128)2
2×42
P(x | μ=128)
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0
50
100
150
200
250
x
Distribución (muestral) de X, el promedio de X
para el valor límite de la hipótesis nula
3
Vista ampliada
P(x | μ=128)
0.12
0.10
0.08
0.06
Resultado
experimental
0.04
0.02
0 110
115
120
125
130
135
140
145
x
Distribución (muestral) de X, el promedio de X
para el valor límite de la hipótesis nula
7. Resultado experimental: xexp = 117
8. Valor p
1
p = P( x ≤ 117 | μ = 128) =
4 2π
117
∫
−
e
( x −128)2
2×42
d x = 0'003
−∞
4
Vista ampliada
P(x | μ=128)
0.02
Resultado
experimental
p = P( x ≤ 117 | μ = 128)
0
x
110
115
117
120
p = área bajo la curva
Probabilidad de error tipo I (α)
P(x)
0.12
Umbral de
decisión
0.10
0.08
significativo
Distribución de X
según la hipótesis nula
no significativo
0.06
0.04
0.02
0
100
Probabilidad de
error tipo I
110
120
130
140
x
5
Probabilidad de error tipo II (β)
P(x)
0.12
0.10
Distribución de X
para personas enfermas
Umbral de
(muestra n=25)
decisión
0.08
significativo
Distribución de X
para personas sanas
(muestra n=25)
no significativo
0.06
Probabilidad de
error tipo II
0.04
0.02
0
100
110
120
130
140
x
Nota: Sólo podríamos calcular la probabilidad de error tipo II si conociéramos la distribución de X
para personas enfermas (que es precisamente lo que no conocemos)
Ambos tipos de error son posibles
P(x)
0.12
0.10
Distribución de X
según HE
0.08
significativo
Umbral de
decisión
Distribución de X
según H0
no significativo
0.06
Probabilidad de
error tipo II
0.04
0.02
0
100
Probabilidad de
error tipo I
110
120
130
140
x
6
Compromiso entre ambos tipos de error
P(x)
0.12
0.10
Distribución de X
para muestras de
personas enfermas
(n=25)
Umbral de
decisión
significativo
Distribución de X
para muestras de
personas sanas (n=25)
no significativo
0.08
0.06
0.04
0.02
0
100
Probabilidad de
error tipo II
Probabilidad de
error tipo I
110
120
130
140
x
Al intentar eliminar el error tipo II aumenta la probabilidad de error tipo I
Tipos de error
Significativo ( p < α):
concluimos HE
HE cierta (H0 falsa)
HE falsa (H0 cierta)
Acierto:
nuevo conocimiento
Error tipo I (α):
conclusión errónea
Acierto:
No significativo ( p > α):
Error tipo II (β):
no concluimos nada no se concluye nada no se concluye nada
¿Es posible disminuir a la vez
la probabilidad de error tipo I
y la probabilidad de error tipo II?
7
Solución: aumentar el tamaño de la muestra
P(x)
0.16
Distribución de X
para muestras de
personas enfermas
(n=50)
Umbral de
decisión
0.14
0.12
Distribución de X
para muestras de
personas sanas (n=50)
significativo
no significativo
0.10
0.08
0.06
0.04
Probabilidad de
error tipo II
Probabilidad de
error tipo I
0.02
0
100
110
120
130
140
x
Así conseguimos dismunuir simultáneamente
las probabilidades de los dos tipos de error
8