Sinopsis: La naturaleza es un entramado de relaciones e interacciones, una red de redes. Gracias a Internet y sus bases de datos, otra red de redes, disponemos por primera vez de una imagen fidedigna de la estructura de muchas de ellas. Ecosistemas, metabolismo celular, redes neuronales y un largo etc. exhiben propiedades topológicas comunes e inesperadas. Los científicos están descubriendo, entre otras cosas, que el mundo es un pañuelo. Algo que ya sabían nuestros abuelos. Redes: el mundo es un pañuelo. ¿Qué tienen en común las líneas de alta tensión, el metabolismo celular, Internet, las cadenas tróficas de los ecosistemas o el cerebro? Algo obvio: todos estos sistemas son redes. Los conceptos de interacción o de relación entre elementos son pilares básicos para estructurar una explicación racional del mundo. Ambos pueden visualizarse como líneas que conectan a los elementos o nodos. La complejidad de interacciones o relaciones queda entonces plasmada en forma de red. A esta forma de pensar la naturaleza se la ha denominado conexionismo. Las redes pueden mostrar un conexionado extremadamente intrincado como en el caso de las redes metabólicas. Pueden presentarse en continua evolución como ocurre en la WWW donde las páginas web y los links se crean y destruyen a cada instante. O poseer diferentes pesos asociados a sus conexiones como en el caso de las redes neuronales donde existen neuronas activadoras e inhibitorias. Además, los nodos pueden ser sistemas dinámicos no lineales que varían en forma complicada en el tiempo. O ser de naturalezas muy distintas en la misma red. Por último, varias de estas complicaciones pueden acoplarse entre sí. Durante las últimas décadas, para progresar en su estudio se han obviado los problemas asociados a la estructura o topología. De este modo la investigación podía centrarse en la complejidad del comportamiento colectivo producida por la dinámica no lineal, en muchos casos, de los nodos. Así se ha tendido a utilizar redes de geometría regular, cadenas lineales o cuadrículas bidimensionales por ejemplo, para acoplar sistemas dinámicos idénticos como en el caso de los autómatas celulares o el modelo de Ising. En otras áreas se ha optado por la conexión total, todos con todos, como por ejemplo en algunas redes neuronales. O se han usado estructuras aleatorias, donde las conexiones entre nodos se establecen al azar. Ejemplos son las redes booleanas aleatorias o los vidrios de espín. De esta manera se ha progresado mucho en temas como la sincronización colectiva, el caos espaciotemporal, las transiciones de fase o la emergencia de complejidad. Es obvio que la estructura de una red es determinante en su funcionamiento. Un resultado teórico reciente ha animado a la comunidad científica a atacar con vigor la vertiente olvidada: la estructura de las redes. En los años 60, el psicólogo S. Milgram, concluyó un experimento pionero en redes sociales. En su esquema cada individuo constituía un nodo, que se conectaba a otro individuo en caso de que fueran conocidos mutuos. ¿Qué número de individuos o nodos intermedios, diría el lector, que separan en promedio a dos personas escogidas al azar de entre la población norteamericana? La respuesta es: ¡tan solo seis! Desde entonces este resultado se conoce como “seis grados de libertad”, la versión estadística del dicho popular: “el mundo es un pañuelo”. Muy recientemente, inspirados en esta idea, Watts y Strogatz propusieron un modelo sencillo de red denominado Small World. En la figura mostramos un grafo regular (izquierda) al que asignaron valor p=0 y la derecha un grafo aleatorio con valor p=1. El valor p indica la probabilidad de que cualquier nodo redireccione una conexión a cualquier otro nodo de la red al azar. Por ejemplo, p=0.3 nos indicaría que el 30% de las conexiones son al azar y el resto regulares. De esta manera parametrizaron de forma continua el paso de un grafo regular a uno aleatorio. Podemos definir la distancia media entre nodos o diámetro de una red como el tamaño medio de los caminos mínimos entre todos los pares de nodos. Para el caso de grafos regulares tenemos que el diámetro crece linealmente con el número de nodos. Para grafos aleatorios, sin embargo, crece como el logaritmo del número de nodos. Este resultado expresa matemáticamente nuestra intuición de que es más rápido alcanzar cualquier punto desde un nodo escogido al azar en una red aleatoria que en una regular. Ambas redes se distinguen claramente en otra propiedad: la transitividad de sus conexiones. En una red regular es muy probable que si un nodo A está conectado con un nodo B, y este a su vez lo está con un nodo C, entonces A esté conectado con C. En el caso de redes aleatorias esto es muy improbable. Lo que descubrieron Watts y Strogatz es que al aumentar ligeramente p desde 0, el equivalente a introducir muy pocas conexiones al azar y probablemente a larga distancia, el diámetro de la red pasaba bruscamente de crecer linealmente a hacerlo logarítmicamente. La red adquiría esta propiedad típica de las redes aleatorias manteniendo el alto grado de transitividad asociado a las redes regulares. Las Small World son un resultado teórico interesante, pero lo realmente excitante es que gracias a Internet, las bases de datos y la potencia de los ordenadores hoy disponemos de una ingente cantidad de datos estadísticos inimaginables hace tan solo unas décadas. Así, recientemente, han aparecido estudios empíricos sobre la estructura de redes de naturaleza tan diversa como las comentadas al comienzo del artículo. Y respondiendo a la pregunta inicial, ¿qué tienen en común?, muchas presentan estructura Small World o estructura de red libre de escala. En todo caso no presentan ni regularidad en sus conexiones ni azar puro. Si definimos p(k) como el número esperado de nodos con k conexiones, muchas de las redes investigadas poseen distribuciones que decaen como leyes de potencias p(k) k - . Las redes que presentan esta distribución han sido denominadas libres de escala por su analogía con los fractales, donde no podemos definir una escala característica. Estas redes presentan “efecto Small World”: crecen en su diámetro como las aleatorias y poseen alta transitividad como las regulares. Una propiedad especialmente interesante de estas redes es que la conexión entre dos nodos cualesquiera se mantiene robusta frente a la eliminación aleatoria de nodos o conexiones. A los científicos no se les escapa la importancia de esta conclusión para entornos como Internet o redes de neuronas. Las especulaciones que determinan que estas distribuciones son ventajosas evolutivamente por su robustez son en estos momentos motivo de análisis. Asistimos a la sorpresa de encontrar estructuras topológicas semejantes y con estructuras inesperadas en las redes de ámbitos extraordinariamente distintos. Este hecho debe ser justificado teóricamente. La relación con las reglas de crecimiento y evolución de dichas redes o los principios de optimización son tan solo algunos de los problemas que serán abordados. El objetivo final es allanar el camino para entender el diálogo entre la dinámica y la estructura de esas redes que forman el mundo y en las que en muchos casos estamos inmersos.