GUÍA : Arreglos , variaciones , permutaciones , combinatiria

Teorema fundamental principio multiplicativo) Si un suceso puede tener lugar de m maneras
distintas y cuando ocurre una de ellas, se puede realizar otro suceso independiente de m formas
distintas. Ambos sucesos se pueden realizar de m*n formas diferentes.
Variación: Una variación de un cierto número de elemento, es una disposicion de una parte de
ellos en un orden determinado. (De los n elementos, r de ellos se mueven)
Variación de n elementos tomados de r en r:
V nr =n(n-1)(n-2)…….(n-r+1)=
n!
(n  r )!
Permutaciones: una permutación de un cierto número de elementos es una disposición en la que
entran todos ellos en un orden determinado. (Diremos que todos se mueven). En otras palabras
una permutación es una variación en la que n=r, es decir:
P (n)  Vnr  n(n  1)(n  2)........1  n!
Permutaciones con elementos repetidos: el número P de permutaciones de n elementos de los
cuales se repiten r, s, t elementos, viene dado por la formula:
P

( n ; r , s , t ....)
n!
r!*s!*t!....
Permutaciones circulares: el numero de maneras en que se pueden colocar n elementos
diferentes a lo largo de una circunferencia es igual a
P (n)  (n  1)!
Combinación: una combinación de un número de elementos es una disposición de una parte de
ellos, prescindiendo del orden, a diferencia de una variación o arreglo. C nm 
Vmn
m!

n! n!(m  n)!
Total de combinaciones de n elementos.: El numero total de combinaciones de n elementos
distintos tomados de 1, 2,3……….n formas, viene dado por:
C n  2n  1
Problemas propuestos:
1.-Un estudiante tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 5 idiomas y 4 asignaturas.Hallar
el número de formas distintas en que puede hacerlo. (20)
2.-¿de cuantas formas se pueden repetir dos premios entre 10 personas, sabiendo que ambos
premios?
2.1.- no se pueden conceder a una misma persona
2.2.- se pueden conceder a la misma persona.
(90, 100)
3.-¿de cuantas maneras se pueden introducir 5 cartas en 3 buzones?.
(243)
4.- hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 2 para secretario.calcule
de cuantas maneras se pueden ocupar estos tres puestos. (48)
5.-¿De cuantas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila?. (120)
6.- ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7 libros en una estantería?
(5040)
7.- Hallar el número de formas en que se pueden colocar en una fila 4 cuadros de una colección
que se compone de 12 cuadros. (11880)
8.- ¿De cuantas manaras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de forma que estas
ocupen los lugares pares? (2880)
9.- ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila sabiendo que uno de
ellos debe estar,
9.1...- en el centro? (720)
9.2.- en uno de los extremos? (1440)
10.- ¿De cuantas manaras pueden colocarse 9 libros diferentes sobre una estantería de forma que:
10.1.- Tres de ellos estén siempre juntos?
10.2.- Tres de ellos no estén nunca todos juntos?.
(4320 , 358.5560)
11.- ¿De cuantas maneras se pueden disponer en una fila n hombres, con la condición de que 2 de
ellos no ocupen posiciones contiguas? ( ) n-2) (n-1)!
12.- Sobre una estantería se deben colocar 6 libros distintos de Biología, 5 de Química y 2 de
Física, de forma que los de cada materia estén juntos. Hallar el número de formas en que se puede
hacer. (1.036.800)
13.- Hallar el número de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar con las letras de la
palabra “empujado”.
13.1.- Si cada letra no se emplea más de una vez
13.2.- Si cada letra se puede repetir.
(6.720 ,
32.768)
14.- Hallar los números que se pueden formar con 4 de los dígitos: 1, 2, 3, 4,5
14.1.- Si estos no se pueden repetir en cada número
14.2.- Si se pueden repetir
14.3.-Si los dígitos no se pueden repetir. 1.4.3.1.- ¿Cuantos números de 4 cifras se pueden formar,
Empezando por 2?
13.3.2.- ¿Terminando en 25?
(120, 625, 24, 6)
15.-Hallar cuantos números se pueden formar con los 10 dígitos , 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .
15.1.-Si cada uno de ellos se emplea solo una vez
15.-2.- ¿Cuantos de ellos son impares?.
(5040 , 2520)
16.- Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los dígitos, 1, 2,3…………….9.,
pudiendo estos repetirse
16.2.- ¿Cuantos de estos números?
16.2.1.- ¿Empiezan por 40?
16.2.2.- ¿Son pares?
16.2.3.-¿Son divisibles por 5?
(90.000 , 1.000 , 45.000 , 18.000 )
17.- ¿Cuantos números comprendidos entre 3.000 y 5.000 , se pueden formar con los dígitos ,
0,1,2,3,4,5,6?, si cada uno se puede repetir en cada numero.
(240)
18.- Entre 11 novelas y 3 diccionarios se seleccionan 4 novelas y 1 diccionario y se colocan en una
estantería de forma que el diccionario este en el medio.Hallar el numero de formas en que esto se
puede llevar a cabo. (23.760)
19.- ¿Cuantas señales se pueden hacer con 5 banderolas diferentes usando un número cualquiera
de ellas a la vez?
(325)
20.- Hallar la suma de los números de 4 cifras que se pueden formar con los digitos, 2, 5,3, y 8,
sabiendo que cada digito no puede figurar más de una vez en cada número. (119.998)
21.- Hallar el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra “ cooperador”
tomadas todas a la vez.
21.2.- ¿Cuantas de estas palabras:
21.2.1.- ¿Tienen juntas las tres “O”?
21.2.2.- ¿Empiezan con las dos “r”?
(302.400, 2520 , 6720)
22.- Se dispone de tres ejemplares de 4libros diferentes. ¿De cuantas maneras se pueden colocar en
una estantería?
(369.600)
23.1-¿De cuantas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa redonda?
23.2. ¿De cuantas maneras se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa redonda de modo
que dos de ellas estén siempre juntas?
(24 , 1.440).
24.- ¿De cuantas maneras se pueden colocar 4 mujeres y 4 hombres alrededor de una mesa
redonda de manera que cada mujer este entre dos hombres?
(144
25.- ¿Cuantas pulseras se pueden hacer ensartando en un hilo 9 cuentas de colores diferentes?
(20.160)
26.- ¿Cuantos grupos de 4 alumnos se pueden formar con 17 alumnos aventajados para
representar al Liceo San Antonio en un concurso de preguntas de matemáticas?
(2.380)
27.- ¿De cuantas maneras se pueden elegir 5 idio9mas de entre 8?
(56)
28.- ¿De cuantas formas se pueden repartir 12 libros entre dos personas A y B, de modo que a
uno le toquen 9 y al otro 3?
(440)
29.-Determinar el número de triángulos diferentes que se pueden formar uniendo los 6 vértices de
un hexágono (20)
30.- ¿Cuantos ángulos menores de 180º forman 12 semirrectas que se cortan en un punto
sabiendo que ninguna de ellas puede estar en prolongación de cualquiera de las otras?
( 66)
31.- ¿Cuantas diagonales tiene un octágono? (20)
32.- ¿Cuantos paralelogramos se pueden formar al cortar un sistema de 7 rectas paralelas por otro
sistema de 4 rectas paralelas? (126)
33.-En un plano están situado 10 puntos de forma que 4 de ellos están sobre una recta y entre los
restantes no hay 3 en prolongación.Hallar el numero de rectas que se pueden formar uniendo los
10 puntos.
(40)
34.- ¿De cuantas maneras se pueden elegir 3 hombres de un grupo de 15, de forma que:
34.1.- Uno de ellos debe figurar en cada grupo seleccionado? (91)
34.2.- Dos de ellos no deben figurar en cada grupo seleccionado? (286)
34.3.- Uno de ellos debe, y otros 2 no deben figurar en cada grupo seleccionado? (66)
35.-Un equipo científico consta de 25 miembros, de los cuales 4 son doctores .Hallar el número de
grupos de 3 miembros que se pueden formar, de manera que en cada grupo haya por lo menos un
doctor (970)
36.- ¿Cuantos grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 Químicos y 5 Biólogos de manera
que en cada grupo se encuentren 4 Químicos?. (150)
37.- ¿Cuantas palabras de 5 letras se pueden formar con 8 consonantes y 4 vocales, de manera que
cada una conste de 3 consonantes diferentes y 2 vocales distintas?.
(40.320)
38.- ¿Cuantas sumas de dinero distintas se pueden sacar de una caja que contiene 5 monedas de
$1, $5, $50, $100, $500, una de cada clase?
(63)
39, ¿De cuantas maneras se pueden elegir dos o más corbatas de una colección de 8?
(247)
40.- Se dispone de telas de 5 tonos diferentes de color gris, 4 tonos diferentes de color negro, y 3
tonos diferentes de color blanco .Hallar el numero de selecciones de tonos que se pueden efectuar
con la condición de tomar siempre un tono de gris y un tono negro.
(3720).