UNIDAD 1: CINEMATICA DE LA PARTICULA Y DEL CUERPO

UNIDAD 1: CINEMATICA DE LA PARTICULA Y DEL
CUERPO RIGIDO.
1.1 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
La observación de un fenómeno es en general, incompleta a menos que dé lugar a una información
cuantitativa. Para obtener dicha información, se requiere la medición de una propiedad física. Así, la
medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental.
La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado
de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como
unidad.
Supongamos una habitación cuyo suelo está cubierto de baldosas, tal como se ve en la figura, tomando una
baldosa como unidad, y contando el número de baldosas medimos la superficie de la habitación, 30
baldosas. En la figura inferior, la medida de la misma superficie da una cantidad diferente 15 baldosas.
La medida de una misma magnitud física (una superficie) da lugar a dos cantidades distintas debido a que se
han empleado distintas unidades de medida.
Este ejemplo, nos pone de manifiesto la necesidad de establecer una única unidad de medida para una
magnitud dada, de modo que la información sea comprendida por todas las personas.
Unidades básicas.
Magnitud
Nombre
Símbolo
Longitud
metro
m
Masa
kilogramo
kg
Tiempo
segundo
s
Intensidad de corriente eléctrica
ampere
A
Temperatura termodinámica
kelvin
K
Cantidad de sustancia
mol
Intensidad luminosa
candela
mol
cd
Unidad de longitud: metro (m) El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante
un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.
Unidad de masa
El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del
kilogramo
Unidad de tiempo
El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación
correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado
fundamental del átomo de cesio 133.
Unidad de intensidad de
corriente eléctrica
El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que
manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud
infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un
metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7 newton
por metro de longitud.
Unidad de temperatura
termodinámica
El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción
1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.
Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T)
expresada en kelvins, se utiliza también la temperatura Celsius (símbolo t)
definida por la ecuación t = T - T0 donde T0 = 273,15 K por definición.
Unidad de cantidad de
sustancia
El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas
entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono
12.
Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales,
que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o
grupos especificados de tales partículas.
Unidad de intensidad
luminosa
La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una
fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540·1012
hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por
estereorradián.
Unidades derivadas sin dimensión.
Magnitud
Nombre
Símbolo
Expresión en unidades
SI básicas
Ángulo plano
Radián
rad
mm-1= 1
Ángulo sólido
Estereorradián
sr
m2m-2= 1
Unidad de ángulo plano
El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un
círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un
arco de longitud igual a la del radio.
Unidad de ángulo sólido
El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el
centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un
área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.
Unidades SI derivadas
Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y
suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de
las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1.
Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y
suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular.
Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres de
unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite el
empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la
distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la
frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefiere el
newton metro al joule.
Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas y suplementarias.
Magnitud
Nombre
Símbolo
Superficie
metro cuadrado
m2
Volumen
metro cúbico
m3
Velocidad
metro por segundo
m/s
Aceleración
metro por segundo cuadrado
m/s2
Número de ondas
metro a la potencia menos uno
m-1
Masa en volumen
kilogramo por metro cúbico
kg/m3
Velocidad angular
radián por segundo
rad/s
Aceleración angular
radián por segundo cuadrado
rad/s2
Unidad de velocidad
Un metro por segundo (m/s o m·s-1) es la velocidad de un cuerpo que,
con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro en 1
segundo
Unidad de aceleración
Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m·s-2) es la aceleración de un
cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya velocidad
varía cada segundo, 1 m/s.
Unidad de número de ondas
Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el número de ondas de una
radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro.
Unidad de velocidad angular
Un radián por segundo (rad/s o rad·s-1) es la velocidad de un cuerpo
que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1
segundo, 1 radián.
Unidad de aceleración angular Un radián por segundo cuadrado (rad/s2 o rad·s-2) es la aceleración
angular de un cuerpo animado de una rotación uniformemente variada
alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, varía 1 radián por
segundo, en 1 segundo.
Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales.
Magnitud
Nombre
Símbolo
Expresión en
otras unidades
SI
Expresión en unidades
SI básicas
Frecuencia
hertz
Hz
s-1
Fuerza
newton
N
m·kg·s-2
Presión
pascal
Pa
N·m-2
m-1·kg·s-2
Energía, trabajo,
cantidad de calor
joule
J
N·m
m2·kg·s-2
Potencia
watt
W
J·s-1
m2·kg·s-3
Cantidad de electricidad coulomb
carga eléctrica
C
s·A
Potencial eléctrico
fuerza electromotriz
volt
V
W·A-1
m2·kg·s-3·A-1
Resistencia eléctrica
ohm

V·A-1
m2·kg·s-3·A-2
Capacidad eléctrica
farad
F
C·V-1
m-2·kg-1·s4·A2
Flujo magnético
weber
Wb
V·s
m2·kg·s-2·A-1
Inducción magnética
tesla
T
Wb·m-2
kg·s-2·A-1
Inductancia
henry
H
Wb·A-1
m2·kg s-2·A-2
Unidad de frecuencia
Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo es
1 segundo.
Unidad de fuerza
Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa
de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo
cuadrado.
Unidad de presión
Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie
plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie
una fuerza total de 1 newton.
Unidad de energía, trabajo,
cantidad de calor
Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyo
punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la fuerza.
Unidad de potencia, flujo
radiante
Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de energía
igual a 1 joule por segundo.
Unidad de cantidad de
electricidad, carga eléctrica
Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1 segundo
por una corriente de intensidad 1 ampere.
Unidad de potencial eléctrico,
fuerza electromotriz
Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos
puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad
constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre estos puntos es
igual a 1 watt.
Unidad de resistencia eléctrica Un ohm () es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un
conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada
entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de
intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el
conductor.
Unidad de capacidad eléctrica Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre sus
armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1 volt, cuando
está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb.
Unidad de flujo magnético
Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una
sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se
anula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme.
Unidad de inducción
magnética
Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida
normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a través
de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber.
Unidad de inductancia
Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el que
se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente
eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de un
ampere por segundo.
Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales
Magnitud
Nombre
Símbolo
Expresión en
unidades SI
básicas
Viscosidad dinámica
pascal segundo
Pa·s
m-1·kg·s-1
Entropía
joule por kelvin
J/K
m2·kg·s-2·K-1
Capacidad térmica másica
joule por kilogramo
kelvin
J/(kg·K)
m2·s-2·K-1
Conductividad térmica
watt por metro kelvin
W/(m·K)
m·kg·s-3·K-1
Intensidad del campo
eléctrico
volt por metro
V/m
m·kg·s-3·A-1
Unidad de viscosidad dinámica
Un pascal segundo (Pa·s) es la viscosidad dinámica de un fluido
homogéneo, en el cual, el movimiento rectilíneo y uniforme de una
superficie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerza
retardatriz de 1 newton, cuando hay una diferencia de velocidad de
1 metro por segundo entre dos planos paralelos separados por 1
metro de distancia.
Unidad de entropía
Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un sistema
que recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la temperatura
termodinámica constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema no
tenga lugar ninguna transformación irreversible.
Unidad de capacidad térmica másica Un joule por kilogramo kelvin (J/(kg·K) es la capacidad térmica
másica de un cuerpo homogéneo de una masa de 1 kilogramo, en el
que el aporte de una cantidad de calor de un joule, produce una
elevación de temperatura termodinámica de 1 kelvin.
Unidad de conductividad térmica
Un watt por metro kelvin W/(m·K) es la conductividad térmica
de un cuerpo homogéneo isótropo, en la que una diferencia de
temperatura de 1 kelvin entre dos planos paralelos, de área 1 metro
cuadrado y distantes 1 metro, produce entre estos planos un flujo
térmico de 1 watt.
Unidad de intensidad del campo
eléctrico
Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo eléctrico,
que ejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado con
una cantidad de electricidad de 1 coulomb.
Nombres y símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos decimales de unidades SI
autorizados
Magnitud
Nombre
Símbolo
Relación
Volumen
litro
loL
1 dm3=10-3 m3
Masa
tonelada
t
103 kg
Presión y
tensión
bar
bar
105 Pa
Unidades definidas a partir de las unidades SI, pero que no son múltiplos o submúltiplos
decimales de dichas unidades.
Magnitud
Nombre
Ángulo plano
vuelta
Tiempo
Símbolo
Relación
1 vuelta= 2 rad
grado
º
(/180) rad
minuto de ángulo
'
( /10800) rad
segundo de ángulo
"
( /648000) rad
minuto
min
60 s
hora
h
3600 s
día
d
86400 s
Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha obtenido
experimentalmente.
Magnitud
Nombre
Símbolo
Valor en unidades SI
Masa
unidad de masa atómica
u
1,6605402 10-27 kg
Energía
electronvolt
eV
1,60217733 10-19 J
Múltiplos y submúltiplos decimales
Factor
Prefijo
Símbolo
Factor
Prefijo
Símbolo
1024
yotta
Y
10-1
deci
d
1021
zeta
Z
10-2
centi
c
1018
exa
E
10-3
mili
m
1015
peta
P
10-6
micro
μ
1012
tera
T
10-9
nano
n
109
giga
G
10-12
pico
p
106
mega
M
10-15
femto
f
103
kilo
k
10-18
atto
a
102
hecto
h
10-21
zepto
z
101
deca
da
10-24
yocto
y
Escritura de los símbolos
Los símbolos de las Unidades SI, con raras excepciones como el caso del ohm (Ω), se expresan en caracteres
romanos, en general, con minúsculas; sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unidades derivadas de
nombres propios, su letra inicial es mayúscula. Ejemplo, A de ampere, J de joule.
Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural. Por ejemplo, se escribe 5 kg, no 5 kgs
Cuando el símbolo de un múltiplo o de un submúltiplo de una unidad lleva exponente, ésta afecta no
solamente a la parte del símbolo que designa la unidad, sino al conjunto del símbolo. Por ejemplo, km2
significa (km)2, área de un cuadrado que tiene un km de lado, o sea 106 metros cuadrados y nunca k(m2), lo
que correspondería a 1000 metros cuadrados.
El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo, sin espacio. Por ejemplo, cm, mm, etc.
El producto de los símbolos de de dos o más unidades se indica con preferencia por medio de un punto, como
símbolo de multiplicación. Por ejemplo, newton-metro se puede escribir N·m Nm, nunca mN, que significa
milinewton.
Cuando una unidad derivada sea el cociente de otras dos, se puede utilizar la barra oblicua (/), la barra
horizontal o bien potencias negativas, para evitar el denominador.
No se debe introducir en una misma línea más de una barra oblicua, a menos que se añadan paréntesis, a fin
de evitar toda ambigüedad. En los casos complejos pueden utilizarse paréntesis o potencias negativas.
m/s2 o bien m·s-2 pero no m/s/s. (Pa·s)/(kg/m3) pero no Pa·s/kg/m3
Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos eminentes deben de escribirse con
idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial. No obstante, serán igualmente
aceptables sus denominaciones castellanizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidas por la Real
Academia de la Lengua. Por ejemplo, amperio, voltio, faradio, culombio, julio, ohmio, voltio, watio,
weberio.
Los nombres de las unidades toman una s en el plural (ejemplo 10 newtons) excepto las que terminan en s, x
ó z.
En los números, la coma se utiliza solamente para separar la parte entera de la decimal. Para facilitar la
lectura, los números pueden estar divididos en grupos de tres cifras (a partir de la coma, si hay alguna) estos
grupos no se separan por puntos ni comas. Las separación en grupos no se utiliza para los números de cuatro
cifras que designan un año.
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm
Sistema Internacional de Unidades
Con objeto de garantizar la uniformidad y equivalencia en las mediciones, así como facilitar todas las actividades
tecnológicas industriales y comerciales, diversas naciones del mundo suscribieron el Tratado del Metro, en el que se
adoptó el Sistema Métrico Decimal. Este Tratado fue firmado por 17 países en París, Francia, en 1875. México se
adhirió al Tratado el 30 de diciembre de 1890. 51 naciones participan como miembros actualmente en el Tratado. El
Tratado del Metro otorga autoridad a la Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM - Conferencia General de
Pesas y Medidas), al Comité International des Poids et Mesures (CIPM - Comité Internacional de Pesas y Medidas) y
al Bureau International des Poids et Mesures (BIPM - Oficina Internacional de Pesas y Medidas), para actuar a nivel
internacional en materia de metrología.
En el año de 1948, la novena Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) encomienda al Comité Internacional
de Pesas y Medidas (CIPM), mediante su resolución 6, el estudio completo de una reglamentación de las unidades de
medida del sistema MKS y de una unidad eléctrica del sistema práctico absoluto, a fin de establecer un sistema de
unidades de medida susceptible de ser adoptado por todos los países signatarios de la Convención del Metro. Esta
misma Conferencia en su resolución 7, fija los principios generales para los símbolos de las unidades y proporciona
una lista de nombres especiales para ellas.
En 1954, la décima Conferencia General de Pesas y Medidas, en su resolución 6 adopta las unidades de base de este
sistema práctico de unidades en la forma siguiente: de longitud, metro; de masa, kilogramo; de tiempo, segundo; de
intensidad de corriente eléctrica, ampere; de temperatura termodinámica, kelvin; de intensidad luminosa, candela.
En 1956, reunido el Comité Internacional de Pesas y Medidas, emite su recomendación número 3 por la que establece
el nombre de Sistema Internacional de Unidades (SI), para las unidades de base adoptadas por la décima CGPM.
Posteriormente, en 1960 la décima primera CGPM en su resolución 12 fija los símbolos de las unidades de base,
adopta definitivamente el nombre de Sistema Internacional de Unidades; designa los múltiplos y submúltiplos y define
las unidades suplementarias y derivadas.
La decimacuarta CGPM efectuada en 1971, mediante su resolución 3 decide incorporar a las unidades de base del SI,
la mol como unidad de cantidad de sustancia. Con esta son 7 las unidades de base que integran el Sistema
Internacional de Unidades.
En 1980, en ocasión de la reunión del CIPM se hace la observación de que el estado ambiguo de las unidades
suplementarias compromete la coherencia interna del SI y decide recomendar (resolución número 1) que se interprete
a las unidades suplementarias como unidades derivadas adimensionales.
Finalmente, la vigésima Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en 1995 decide aprobar lo expresado por
el CIPM, en el sentido de que las unidades suplementarias del SI, nombradas radián y esterradián, se consideren
como unidades derivadas adimensionales y recomienda consecuentemente, eliminar esta clase de unidades
suplementarias como una de las que integran el Sistema Internacional. Como resultado de esta resolución que fue
aprobada, el SI queda conformado únicamente con dos clases de unidades: las de base y las derivadas.
La CGPM está constituida por los delegados que representan a los gobiernos de los países miembros, quienes se
reúnen cada cuatro años en París, Francia. Cada Conferencia General recibe el informe del CIPM sobre el trabajo
realizado. En su seno se discuten y examinan los acuerdos que aseguran el mejoramiento y diseminación del Sistema
Internacional de Unidades; se validan los avances y los resultados de las nuevas determinaciones metrológicas
fundamentales y las diversas resoluciones científicas de carácter internacional y se adoptan las decisiones relativas a
la organización y desarrollo del BIPM. La última reunión de la CGPM, la vigésima segunda realizada desde su
creación, se llevó a cabo del 13 al 17 de octubre de 2003 en París, con la participación del CENAM en representación
de México.
El Sistema Internacional de Unidades se fundamenta en siete unidades de base correspondientes a las magnitudes
de longitud, masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura, cantidad de materia, e intensidad luminosa. Estas
unidades son conocidas como el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, el mol y la candela,
respectivamente. A partir de estas siete unidades de base se establecen las demás unidades de uso práctico,
conocidas como unidades derivadas, asociadas a magnitudes tales como velocidad, aceleración, fuerza, presión,
energía, tensión, resistencia eléctrica, etc.
Las definiciones de las unidades de base adoptadas por la Conferencia General de Pesas y Medidas, son las
siguientes:
El metro (m) se define como la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío en un lapso de 1 / 299 792
458 de segundo (17ª Conferencia General de Pesas y Medidas de 1983).
El kilogramo (kg) se define como la masa igual a la del prototipo internacional del kilogramo (1ª y 3ª Conferencia
General de Pesas y Medidas, 1889 y 1901).
El segundo (s) se define como la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición
entre los dos niveles hiperfinos del estado base del átomo de cesio 133 (13ª Conferencia General de Pesas y
Medidas, 1967).
El ampere (A) se define como la intensidad de una corriente constante, que mantenida en dos conductores paralelos,
rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable, colocados a un metro de distancia entre sí en el
vacío, produciría entre estos conductores una fuerza igual a 2 X 10 -7 newton por metro de longitud (9ª Conferencia
General de Pesas y Medidas, 1948).
El kelvin (K) se define como la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua (13ª
Conferencia General de Pesas y Medidas, 1967).
El mol (mol) se define como la cantidad de materia que contiene tantas unidades elementales como átomos existen
en 0,012 kilogramos de carbono 12 (12C) (14ª Conferencia General de Pesas y Medidas, 1971).
La candela (cd) se define como la intensidad luminosa, en una dirección dada de una fuente que emite una radiación
monocromática de frecuencia 540 x 1012 Hz y cuya intensidad energética en esa dirección es de 1/683 watt por
esterradián (16ª Conferencia General de Pesas y Medidas, 1979).
La Ley Federal sobre Metrología y Normalización establece que el Sistema Internacional es el sistema de unidades
oficial en México.
Fuente: http://www.cenam.mx/siu.asp
El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, en francés Système International d'Unités, es el
sistema de unidades más extensamente usado. Junto con el antiguo sistema cegesimal (de cgs = centímetro,
gramo, segundo), del cual constituye una ampliación, el SI también es conocido como sistema métrico,
especialmente en las naciones en las que no se ha implantado aún para su uso cotidiano.
El SI consta de siete unidades básicas, que son las siguientes:







Longitud: metro (m)
Masa: kilogramo (kg)
Tiempo: segundo (s)
Intensidad de corriente eléctrica: amperio (A)
Temperatura: kelvin (K)
Cantidad de substancia: mol (mol)
Intensidad luminosa: candela (cd)
Longitud
Unidad: metro (m)
Un metro se define como la distancia que viaja la luz en el vacío en 1/299.792.458 segundos. Esta norma fue
adoptada en 1983 cuando la velocidad de la luz en el vacío fue definida exactamente como 299.792.458 m/s.
[editar]
Masa
Unidad: kilogramo (kg)
Un kilogramo se define como la masa que tiene un cilindro compuesto de una aleación de platino-iridio que
se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres, cerca de París.
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Tiempo
Unidad: segundo (s)
Un segundo es el tiempo requerido por 9.192.631.770 ciclos de una transición hiperfina en el cesio 133. Esta
definición fue adoptada en 1967.
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Intensidad de corriente eléctrica
Unidad: amperio (A)
El amperio es la corriente eléctrica constante que, mantenida en dos conductores paralelos de longitud
infinita, de sección circular despreciable y ubicados a una distancia de 1 metro en el vacío, produce una
fuerza entre ellos igual a 2×10-7 newtons por metro de longitud.
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Temperatura
Unidad: kelvin (K)
El kelvin se define como la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.
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Cantidad de substancia
Unidad: mol (mol)
Un mol es la cantidad de substancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos
hay en 0,012 kg de carbono 12.
Cuando se usa el mol, las entidades elementales deben ser especificadas y pueden ser átomos, moléculas,
iones, electrones, otras partículas o grupos específicos de tales partículas.
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Intensidad luminosa
Unidad: candela (cd)
Una candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación
monocromática con frecuencia de 40×1012 Hz de forma que la intensidad de radiación emitida, en la
dirección indicada, es de 1/683 W por estereorradián.
En el SI las unidades básicas tienen múltiplos y submúltiplos, que son indicados mediante prefijos. Así, por
ejemplo, la expresión kilo indica "mil", y por lo tanto un kilómetro son mil metros y un kilogramo son mil
gramos.
Existen también las unidades derivadas. Algunas son variantes de las unidades básicas y sirven para medir
magnitudes diferentes aunque relacionadas con éstas. Así, por ejemplo, el metro, que es una unidad de
longitud, se utiliza como metro cuadrado (m2) para medir una superficie, y el kilogramo, que es una unidad
de peso, se utiliza como kilogramo por metro cúbico (kg/m3) para medir la densidad.
En cualquier caso siempre es posible establecer una relación entre las unidades derivadas y las básicas o
fundamentales mediante las correspondientes ecuaciones dimensionales.
Los símbolos de las unidades se escriben en minúsculas, excepto cuando son abreviaturas del nombre de una
persona. En tal caso la primera letra se escribe en mayúsculas. Los símbolos son los mismos cuando se trata
de varias unidades, es decir, no debe añadirse una "s". Tampoco deben situarse puntos (".") a continuación de
los símbolos, salvo al final de una frase. Por lo tanto, es incorrecto escribir, por ejemplo, el símbolo de
kilogramos como "Kg", kgs" o "kg.", y es correcto en cambio escribirlo como "kg".
El SI puede ser usado legalmente en cualquier país del mundo, incluso en aquellos que no lo han implantado.
En otros muchos paises su uso es obligatorio. En los paises que utilizan todavía otros sistemas de unidades de
medidas, como los Estados Unidos y el Reino Unido, se acostumbran a indicar las unidades del SI junto a las
propias, a efectos de conversión de unidades.
El SI fue adoptado por la undécima Conferencia General de Pesos y Medidas (CGPM) en 1960.
Las unidades derivadas del SI son parte del Sistema Internacional de Unidades y se derivan de las unidades
básicas
Unidades Derivadas del SI
Magnitud física
Nombre de la
unidad
Símbolo
de la
unidad
Expresada en
unidades
derivadas
Expresada en
unidades
básicas
Frecuencia
Hercio
Hz
s-1
Fuerza
Newton
N
m·kg·s-2
Presión
Pascal
Pa
N·m-2
m-1·kg·s-2
Energía, trabajo,
calor
Julio
J
N·m
m2·kg·s-2
Potencia
Vatio
W
J·s-1
m2·kg·s-3
Carga eléctrica
Culombio
C
A·s
Potencial eléctrico,
Voltio
V
J·C-1
m2·kg·s-3·A-1
fuerza electromotriz
Resistencia eléctrica
Ohmio
Ω
V·A-1
m2·kg·s-3·A-2
Conductancia
eléctrica
Siemens
S
A·V-1
m-2·kg-1·s3·A2
Capacitancia
eléctrica
Faradio
F
C·V-1
m-2·kg-1·s4·A2
Densidad de flujo
magnético,
inductividad
magnética
Tesla
T
V·s·m-2
kg·s-2·A-1
Flujo magnético
Weber
Wb
V·s
m2·kg·s-2·A-1
Inductancia
Henrio
H
V·A-1·s
m2·kg·s-2·A-2
Temperatura
Grado Celsius
°C
K
Ángulo plano
Radián
rad
1
m·m-1
Ángulo sólido
Estereorradián
sr
1
m2·m-2
Flujo luminoso
Lumen
lm
cd·sr
Iluminancia
Lux
lx
cd·sr·m-2
Actividad radiactiva
Becquerel
Bq
s-1
Dosis de radiación
absorbida
Gray
Gy
J·kg-1
m2·s-2
Dosis equivalente
Sievert
Sv
J·kg-1
m2·s-2
Actividad catalítica
Katal
kat
mol·s-1
Algunas otras unidades que no tienen un nombre especial pero son de uso común:
Otras Unidades
Magnitud física
Expresada en unidades
derivadas
Expresada en
unidades básicas
Área
m2
m2
Volumen
m3
m3
Velocidad, rapidez
m·s-1
m·s-1
Velocidad angular
s-1, rad·s-1
s-1, rad·s-1
Aceleración
m·s-2
m·s-2
Torque
N·m
m2·kg·s-2
Número de ondas
m-1
m-1
Densidad
kg·m-3
kg·m-3
Volumen específico
m3·kg-1
m3·kg-1
Concentración
mol·m-3
mol·m-3
Volumen molar
m3·mol-1
m3·mol-1
Capacidad de calor, entropía
J·K-1
Capacidad molar de calor,
entropía molar
J·K-1·mol-1
m2·kg·s-2·K-1·mol-1
Capacidad de calor específico,
entropía específica
J·K-1·kg-1
m2·s-2·K-1
Energía molar
J·mol-1
m2·kg·s-2·mol-1
Energía específica
J·kg-1
m2·s-2
Densidad de energía
J·m-3
m-1·kg·s-2
Tensión superficial
N·m-1=J·m-2
kg·s-2
Densidad de flujo de calor
W·m-2
kg·s-3
Conductividad térmica
W·m-1·K-1
m·kg·s-3·K-1
Viscosidad cinemática, coeficiente
de difusión
m2·s-1
m2·s-1
Viscosidad dinámica
N·s·m-2 = Pa·s
m-1·kg·s-1
Densidad de carga eléctrica
C·m-3
m-3·s·A
Densidad de corriente eléctrica
A·m-2
A·m-2
Conductividad eléctrica
S·m-1
m-3·kg-1·s3·A2
Conductividad molar
S·m2·mol-1
kg-1·mol-1·s3·A2
Permisividad
F·m-1
m-3·kg-1·s4·A2
Permeabilidad
H·m-1
m·kg·s-2·A-2
Intensidad de campo eléctrico
V·m-1
m·kg·s-3·A-1
Intensidad de campo magnético
A·m-1
A·m-1
Luminancia
cd·m-2
cd·m-2
Exposición (rayos X y gamma)
C·kg-1
kg-1·s·A
Tasa de dosis absorbida
Gy·s-1
m2·s-3
2
·kg·s-2·K-1
Los prefijos para los múltiplos y submúltiplos de las unidades del Sistema Internacional de Unidades (SI)
son:
(Sub)múltiplo Prefijo Símbolo Nombre (EEUU y Canadá)
Nombre (Europa)
1024
yotta
Y
Septillón
Cuatrillón
10
21
zetta
Z
Sextillón
Mil trillones(Trillardo)
1018
exa
E
Quintillón
Trillón
10
15
peta
P
Cuatrillón
Mil billones(Billardo)
1012
tera
T
Trillón
Billón
10
giga
G
Billón
Mil millones(Millardo)
106
9
mega
M
Millón
3
kilo
k
Mil
10
2
hecto
h
Cien
101
deca
da
Diez
10
deci
d
Décima
10-2
centi
c
Centésima
10
mili
m
Milésima
10-6
10
-1
-3
micro μ
Millonésima
-9
nano
n
Billonésima
Milmillonésima
10
-12
pico
p
Trillonésima
Billonésima
10-15
femto f
Cuatrillonésima
Milbillonésima
10
atto
a
Quintillonésima
Trillonésima
10-21
zepto
z
Sextillonésima
Miltrillonésima
-24
yocto
y
Septillonésima
Cuatrillonésima
10
-18
10
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/SI
1.1.1 CONVERSION DE UNIDADES
Transformar una medida a otra equivalente en la que han cambiado las unidades que acompañan a la cantidad
numérica que se expresa en la medida.
Un método para realizar este proceso es con el uso de los factores de conversión. Con este método basta
multiplicar la medida que conocemos por una fracción (factor de conversión) y el resultado es otra medida
equivalente en la que han cambiado las unidades.
Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades se pueden utilizar varios factores
de conversión uno tras otro, de forma que el resultado final será la medida equivalente en las unidades que
buscamos.
El factor de conversión es una fracción en la que el numerador y el denominador son medidas iguales
expresadas en unidades distintas, de tal manera, que esta fracción vale la unidad. Método efectivo para
cambio de unidades y resolución de ejercicios sencillos dejando de utilizar la regla de tres.
Ejemplo 1: Pasar 15 pulgadas a centímetros (factor de conversión: 1 pulgada = 2,54 cm)
15 pulgadas × (2,54 cm / 1 pulgada) = 15 × 2,54 cm = 38,1 cm.
Ejemplo 2: Pasar 25 metros por segundo a kilómetros por hora (factores de conversión: 1 kilómetro = 1000
metros, 1 hora = 3600 segundos)
25 m/s × (1 km / 1000 m) × (3600 s / 1 h) = 90 km/h.
Ejemplo 3: Obtener la masa de 10 litros de mercurio (densidad del mercurio: 13,6 kilogramos por decímetro
cúbico)
Nótese que un litro es lo mismo que un decímetro cúbico.
10 litros de mercurio × (1 decímetro cúbico de mercurio / 1 litro de mercurio) × (13,6 kilogramos / 1
decímetro cúbico de mercurio) = 136 kg.
En cada una de las fracciones entre paréntesis se ha empleado la misma medida en unidades distintas de
forma que al final sólo quedaba la unidad que se pedía.
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/SI
TABLA DE CONVERSION DE UNIDADES
TABLA DE DIMENSIONES DE MAGNITUDES
Fuente: http://usuarios.lycos.es/fisicacrimin/tablas.htm
CONVERSION DE UNIDADES INGLESAS AL SISTEMA METRICO DECIMAL
MULTIPLIQUE EL NUMERO DE PARA OBTENER EL equivalente número de POR
cm
pulgadas / inches
0.39
m
pies / feet
3.28
m
yardas / yards
1.09
pulgadas / inches
cm
2.54
pies / feet
m
0.30
yardas / yards
m
0.91
cm²
pulgada² / inch²
0.15
m²
pies² / feet²
10.73
m²
yardas² / yards²
1.19
pulgada² / inch²
cm²
6.54
pies² / feet²
m²
0.09
yardas² / yards²
m²
0.83
onzas
gramos
28.34
gramos
onzas
0.03
libras
kilogramos
0.45
kilogramos
libras
2.20
Fuente: http://www.varelaenred.com.ar/tabla.htm
1.2 MOVIMIENTO RECTILINEO
Movimiento rectilíneo
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el
instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la
izquierda del origen.
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm
1.2.1 DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION.
Posición
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el
móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado x=x'-x en el intervalo de tiempo
t=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.
Velocidad
La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por
Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan pequeño como sea
posible, en el límite cuando t tiende a cero.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por
x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:






2 y 3 s.
2 y 2.1 s.
2 y 2.01 s.
2 y 2.001 s.
2 y 2.0001 s.
Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s) x’ (m)
Δx=x'-x
Δt=t'-t
m/s
3
2.1
2.01
2.001
2.0001
...
46
23.05
21.2005
21.020005
21.00200005
...
25
2.05
0.2005
0.020005
0.00200005
...
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
...
0
25
20.5
20.05
20.005
20.0005
...
20
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La
velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t




La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
La posición del móvil en el instante t+t es x'=5(t+t)2+1=5t2+10tt+5t2+1
El desplazamiento es x=x'-x=10tt+5t2
La velocidad media <v> es
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto
del tiempo.
En el instante t=2 s, v=20 m/s
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la
velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre
los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha
tardado en efectuar dicho cambio, t=t'-t.
La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo t tiende a cero, que es
la definición de la derivada de v.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de


La velocidad
La aceleración del móvil en función del tiempo.
Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento
Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los
instantes t0 y t, mediante la integral definida.
El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El
desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.
En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en
función del tiempo, el área en color azul mide el
desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el
segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.
Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando
la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado
mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante
cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s.
está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.
Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad
Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un
registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que
experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.
En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la
curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la
fórmula anterior.
Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en
el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.
Ejemplo:
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2
m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la
velocidad del móvil en cualquier instante
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm
Aceleración.
Al aumento o disminución de la velocidad se le llama aceleración.
La velocidad de un móvil generalmente varia conforme pase el tiempo.
Al aumentar o disminuir la velocidad, decimos se acelero, entonces podemos decir que la aceleración
es la rapidez con que varia la velocidad en un tiempo dado. Para determinar la aceleración se requiere de una
dirección y sentido.
Esta se calcula relacionando la velocidad inicial y la final que alcanza el cuerpo con el tiempo
empleado de lo cual se deduce la formula de aceleración:
A = Vf - Vi/t donde:
A = aceleración
Vf = velocidad final Vi = velocidad inicial t = tiempo
Fuente: http://www.micromegas.com.mx/apuntes/documents/fisqui1-1/fisqui01.doc
Desplazamiento:
Al cambio de la posición de la partícula se le denomina desplazamiento,
. Es decir, el esplazamiento es la resta vectorial entre el vector posición
final y el vector posición inicial:
.
En la figura 4 se ilustra la operación.
Es de anotar que como el desplazamiento es la resta de dos vectores, debe
ser también un vector.
De la misma figura 4 se puede observar que el desplazamiento es un vector
trazado desde la posición inicial hasta la posición final.
Figura 4
De la definición de desplazamiento se puede concluir que éste no depende
de la trayectoria seguida por la partícula, sino que sólo depende del punto
de partida y del punto de llegada. La figura 5 nos ilustra esta importante
afirmación. En esta figura, tres partículas tienen el mismo desplazamiento
siguiendo trayectorias diferentes.
Figura 5
Tanto el vector posición
como el vector desplazamiento
tienen como ecuación dimensional L. Es decir, esas
dos magnitudes se miden en unidades de longitud. Específicamente en el MKS se miden en metros (m).
Aceleración media,
:
Se define la aceleración media como el cambio en la velocidad instantánea,
, dividido por el intervalo de tiempo,
:
Su ecuación dimensional es LT-2 , es decir , en el sistema M-K.S se mide en m.s-2 .
La aceleración media es un vector dirigido hacia donde se dirige el cambio de velocidad,
ejemplos que nos ilustren esta idea fundamental:
. Veamos algunos
Ejemplo :
Una partícula que se mueve rectilíneamente, ocupa la posición A en el
instante
con velocidad,
con velocidad
velocidad,
, y en el instante
, ocupa la posición B
, tal como se ilustra en la figura 9. El cambio de la
, se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial:
Esta operación está ilustrada en la misma figura. En ella se observa que
como,
, apunta hacia la derecha, la aceleración media,
dirige así.
, también se
Figura 9
Ejemplo :
Una partícula que se mueve rectilíneamente, ocupa la posición A en el
instante
con velocidad,
con velocidad
velocidad,
, y en el instante
, ocupa la posición B
, tal como se ilustra en la figura 10. El cambio de la
, se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial:
Esta operación está ilustrada en la misma figura. En ella se observa que
como,
, apunta hacia la ixquierda, la aceleración media,
dirige así.
Figura 10
, también se
Ejemplo :
Una partícula sigue la trayectoria ilustrada en la figura 11. En el instante
ocupa la posición A con velocidad,
, y en el instante
, ocupa la
posición B con velocidad
. Por tanto, el cambio de la velocidad,
dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial:
, se
Esta operación está ilustrada en la misma figura . En ella se observa que
como,
, apunta hacia la derecha, la aceleración media,
dirige así.
, también se
Figura 11
Ejemplo
Una partícula se mueve con movimiento circular uniforme
(M.C.U). En el instante
se encuentra en la posición A con
velocidad,
y en el instante
, ocupa la posición B con
velocidad
, tal como se ilustra en la figura 12. Por lo tanto,
el cambio de la velocidad,
, se dirigirá según el resultado
de la siguiente resta vectorial:
El resultado de esta operación está ilustrada en la figura 12.
La aceleración apunta hacia donde apunta el vector ,
.
Figura 12
Clases de aceleración:
De la definicón de aceleración se concluye que ésta es diferente de cero
siempre que hayan cambios en la velocidad. Como la velocidad es un
vector, puede cambiar en magnitud, en dirección, o en ambas. Si la
velocidad cambia en magnitud se dice que el cuerpo tiene aceleración
tangencial (
) ; si cambia en dirección , se dice que el cuerpo tiene
aceleración centrípeta o normal (
). En el caso que cambie
simultáneamente en magnitud y en dirección, la aceleración resultante
(
) será la suma vectorial de las aceleración tangencial y de la
aceleración centrípeta, por lo que la magnitud de la aceleración resultante
será igual a:
Figura 13
Fuente: http://www.unalmed.edu.co/~daristiz/preuniversitario/unidades/cinematica/definiciones/concepto/
Desplazamiento, velocidad y aceleración
Para comprender como se mueven los objetos cuando actúan en ellos fuerzas y momentos de rotación externos
no equilibrados, es importante configurar exactas imágenes físicas y matemáticas del desplazamiento, la velocidad y
la aceleración, comprender las relaciones entre estas tres cantidades.
En el proceso se imaginará un sistema que comprende tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares y un
pequeño cuerpo en movimiento, que en el curso del tiempo, describe alguna clase de trayectoria en el espacio de
coordenadas.
El principio, no se tendrá interés en las fuerzas que provoca este movimiento, ni en la relación entre estas causas
físicas y la trayectoria resultante.
En vez de ello, se supondrá que se conoce una ecuación de movimiento que puede resolverse para dar
información explícita en todo momento acerca de la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula.
Sólo se considerarán los aspectos geométricos del movimiento, cuyo estudio se llama cinemática.
Inicialmente se supone que, de alguna manera, la partícula objeto del estudio está limitada a moverse sólo a lo
largo del eje x.
Entonces se puede describir su posición en cualquier instante t por medio de la distancia x entre el origen y la
partícula, como hay un valor bien definido de x asociado a cada valor t del tiempo, x es una función de t.
Por lo anterior será posible representar gráficamente el desplazamiento x en función del tiempo y obtener una
gráfica como la de la figura (2.1)
.
x
Q
(x + ∆x, t + ∆t)
∆x
θ
P(x, t)
t
0
t
∆t
t + ∆t
Desplazamiento de un objeto que se mueve sobre el eje x graficado en función del tiempo. La cantidad ∆x/∆t
representa la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el límite de esta cantidad cuando ∆t tiende a
cero, que es la derivada dx/dt, representa la velocidad instantánea en el tiempo t.
La velocidad media
vx durante un intervalo de tiempo t pude obtenerse determinado la distancia x que recorre la
partícula en ese intervalo, y observando que
(2.2.1)
desplazamento
i
x
Vx 

int .de.tiem po
t
De la figura 2.1 es claro que vx es la tangente del ángulo θ, por lo que representa también la pendiente de la
secante PQ que une los dos puntos de la curva que corresponde al tiempo t y al desplazamiento x + x .
Ahora podrá definirse la velocidad instantánea v x asociada a un instante t y el desplazamiento correspondiente x,
como el límite de
vx cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero. Pero esto es precisamente la definición de la
derivada de x con respecto a t; entonces,
V X  lim t 0
x dx

t dt
(2.2.2)
La velocidad instantánea puede considerarse como la pendiente de la tangente en P a la curva de la figura 2.1.
Es claro que conforme ∆t y ∆x tienden a cero en el límite, la pendiente de la secante PQ se aproxima a la
pendiente de la tangente a la curva en P.
Por la ecuación (2.2.2), se puede considerar que la velocidad instantánea Vx es la rapidez de variación del
desplazamiento.
Fácilmente se demuestra que si la velocidad instantánea es constante, entonces la velocidad media un intervalo
de tiempo es igual a la velocidad instantánea.
Si la velocidad instantánea no fuese constante, entonces la velocidad dependerá del intervalo tiempo escogido y,
en general, no será igual a la velocidad instantánea al principio o al final del intervalo.
También se puede hablar de la aceleración media āx durante cierto intervalo, como el cambio en la velocidad
instantánea Vx que experimenta la partícula durante aquél, dividido entre la duración del mismo,.. t ; entonces,
cam bio.de.velocidad v x

int .de.tiem po
t
ax 
(2.2.3)
Como antes, la aceleración instantánea ax asociada al tiempo t se considera como el límite de a x conforme el intervalo
t tiende a cero, es decir, como la derivada de vx con respecto a t, o bien en vista de (2.1.2), como la segunda
derivada de x con respecto a t:
vx dvx d 2x

 2
t 0 t
dt
dt
ax  lím
(2.2.4)
En consecuencia, se puede decir que la aceleración instantánea es la rapidez de variación de la velocidad
instantánea.
Si se graficara la velocidad vx como función del tiempo (y no del desplazamiento), se encontraría que la
pendiente dvx/dt en cualquier punto sería igual a la aceleración instantánea en el tiempo correspondiente.
Utilizando (2.2.2) y (2.2.4) es posible expresar la aceleración a x en forma ligeramente distinta, lo que a
menudo es muy útil.
Escribiendo dv/dt = (dvx/dx) (dx/dt), que equivale a multiplicar dv x/dt por dx/dx (es decir, por la unidad), se
obtiene:
(2.2.5)
dv
dv x dx
dv
a x relación
 x 
 v x xel desplazamiento en términos de la velocidad, o viceversa.
Se verá que esta
sirve para encontrar
dt
dx dt
dx
NOTA 1:
De aquí en adelante se usarán poco la velocidad media o la aceleración media, y a menos que se especifique
lo contrario, los términos velocidad o aceleración se referirán a los valores instantáneos de estas cantidades.
GRÀFICA DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÌCULA EN EL ESPACIO
z
Q(t +
∆t)
(x + ∆x, y + ∆y,
z, + ∆z)
∆r
∆z
r + ∆r
P
∆y
Desplazamiento de un punto que se mueve a lo largo de una trayectoria arbitraria en el espacio coordenado
tridimensional. El vector ∆r/∆t es la velocidad media durante el intervalo t , en tanto que la derivada dr/dt. (Que se
obtiene en el limite cuando t →0, representa el vector velocidad instantánea al tiempo t) (Figura 2.2)
Si no se confina el movimiento de la partícula al eje x aquella describirá una cierta curva o trayectoria en el
espacio, como se muestra en la figura2.2. En el tiempo t, la partícula estará en algún punto P cuyas coordenadas
espaciales son (x, y, z); y en este momento se pede describir su desplazamiento con respecto al origen mediante un
vector de posición r, cuyas componentes según los ejes coordenados son x, y e z, respectivamente. Entonces el
vector de posición r en el tiempo t es



r  xi  yj  zk
En un tiempo posterior t + t , la partícula se habrá movido a lo largo de su trayectoria hasta un punto Q de
coordenadas ( x +  x, y +  y, z +  z). El vector de posición
r +  r asociado a Q es:
r +  r =(x +  x)i +(y +  y)j +(z +  z)k
En forma análoga a (2.1.1) la velocidad media puede explicarse como el vector
(2.2.6)
(2.2.7)
v  r / t .
Por tanto:

 
r (r  r )  r  x   y    z  
V

  i    j   k
t
t
 t   t 
 t 
(2.2.8)
Ahora se define la velocidad instantánea v como un vector que exprésale valor límite de v conforme t tiende a cero,
por lo que:
r
x 
v 
z 



 i x  lím
  i y  lím
  i z  lím

t 0 t
 r 0 t 
 r 0 t 
 r 0 t 
v  lím
V
o sea que,
dx  dx 
 dy 
 dz 
  ix   i y   iz
dt  dt 
 dt 
 dt 
(2.2.9)
La velocidad instantánea es, entonces, un vector cuyas componentes x, y y z son:
dx
dt
(2.2.10)
dy
vy 
dt
dz límite del vector  r cuando  t 0; es decir, conforme Q se mueve a lo
La dirección de este vector es la dirección
vz 
dtes evidente que en este límite la dirección  r es la de la tangente a la
largo de la curva hacia P. De la figura 1.2
vx 
trayectoria en P.
En consecuencia, la dirección de v también es la dirección de la tangente a la trayectoria en P.
V  Vx  V y  Vz
2
Desde luego, la expresión:
2
2
(2.2.11)
es el módulo de la velocidad
Ahora se puede utilizar precisamente el mismo método para estudiar la aceleración. El vector
velocidad V en el tiempo t es:




V  vx i  v y j  vz k
(2.2.12)
En que (2.1.10) de vx’ vy y vz’ en tanto que en el tiempo t+  t, la velocidad serà:




V  v  (v x  v x )i  (v y  v y ) j  (v z  v z )k
La aceleración media
Por lo que:
(2.2.13)
a en el intervalo  t es  v/  t


a = v  (v  v)  v   v x
t
t
 t
   v y
i  
  t
   v z
 j  
 t


k

(2.2.14)
La aceleración instantánea en el tiempo t se obtiene evaluado la aceleración media en el límite cuando
 t  0. Como en (1.19), las relaciones  vx/  t,  vy/  t, etc., se convierten en derivadas en este límite, y el
resultado final es:
a
dv  dvx   dvy    dvz
j 

i  
dt  dt   dt 
 dt

k

(2.2.15)
La aceleración instantánea a es un vector cuyas componentes son:
dvx d 2 x
 2
dt
dt
dvy d 2 y
ay 
 2
dt
dt
dv
d 2z
az  z  2
dt
dt
ax 
(2.2.16)
La dirección del vector aceleración es la del vector dv que representa el cambio de la velocidad en un intervalo de
tiempo infinitesimal. No es el necesario que este vector tenga la misma dirección que el vector velocidad v, y en
realidad, generalmente no la tiene.
Como siempre, la magnitud del vector aceleración está dada por:
a
ax  a y  az
2
2
(2.2.17)
2
Como antes, usando el mismo razonamiento algebraico, es posible demostrar que las componentes de
la aceleración se pueden escribir en la forma alternativa
 dv 
ax  vx  x 
 dx 
 dv y 

a y  v y 
dy


 dv 
az  vz  z 
 dz 
(2.2.18)
Al resolver problemas reales en la dinámica de estados físicos, se podrán determinar los valores de las
componentes de la aceleración a x’ ay y az’ a partir de las leyes del movimiento expresadas como un sistema de
ecuaciones de movimiento. Entonces será posible obtener las componentes de la velocidad por integración, ya que de
(2.2.16)
v x   a x dt
Bdvx  a x dt
dvy  a y dt
de donde
(2.2.19)
v y   a y dt
v z   a z dt
dvz  a z dt
Al evaluar las integrales se obtiene una constante de integración que no puede determinarse a menos que se
conozca de antemano el valor de la velocidad en un tiempo específico.
A menudo se encontrara que se conoce o puede especificar la velocidad inicial (cuando t=0).
De modo que para obtener los valores precisos de la velocidad en todo tiempo, es necesario conocer (además
de las ecuaciones de movimiento que dan la aceleración) algo acerca de la velocidad en algún momento o lugar
determinado.
A esta información complementaria se la llama condición en la frontera.
Una vez evaluadas las componentes de la velocidad a partir de la aceleración dada, con ayuda de una
condición en la frontera adecuada será posible evaluar el desplazamiento de la partícula integrando nuevamente.
De (2.2.10) se puede escribir:
x   v x dt
dx  v x dt
dy  v y dt
dz  v z dt
y por tanto
y   v y dt
z   v z dt
(2.2.20)
Otra vez más aparece una constante de integración que no puede evaluarse sin datos adicionales.
-Otra condición en la frontera, que esta vez especifica que la ubicación de la partícula en determinado instante. Al
estudiar los ejemplos, se examinarán en detalle las técnicas a emplear en la integración de ecuaciones de movimiento
y el uso de las condiciones en la frontera.
2.3 OTRAS CONSIDERACIONES IMPORTANTES SOBRE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y RAPIDEZ
El movimiento de una partícula se conoce por completo si su posición en el espacio se conoce en todo
momento.
Por ejemplo, considérese un auto (que trataremos como una partícula) que se mueve a lo largo del eje x
desde un punto P a un punto Q.
Su posición en el punto P es x, en el tiempo ti y su posición en el punto Q es xf en el tempo tf. (Los índices i y f
se refieren a los valores inicial y final.) (Figura 2.3)
Pendiente = v
Q
Xf
∆x
P
xi
∆t
o
ti
tf
b)
A. Un auto se mueve a la derecha a lo largo de una línea recta tomando como el eje x. Debido a que nos
interesa solo el movimiento de traslación del auto se puede tratar como una partícula
B. Grafica posición-tiempo para el movimiento de la “partícula
En tiempos diferentes a ti y tf, la posición de la partícula entre estos dos puntos puede variar,.
Una gráfica con estas características recibe el nombre de gráfica de posición - tiempo, Cuando la partícula se
mueve de la posición xi a la posición xf, su desplazamiento está dado por Xf - xi.
Como se sabe con la letra griega delta se indica el cambio en una cantidad.
Por consiguiente, se escribe el cambio en la posición de la partícula (el desplazamiento).
x  x  xi
(2.3.1)
El desplazamiento no debe confundirse con la distancia recorrida puesto que en cualquier movimiento ésta es
por completo diferente a cero.
Por ejemplo, en la figura 2.4 se ve que un jugador de béisbol cuando batea un home run, recorre una
distancia de 360 pies en su viaje alrededor de las bases; sin embargo, su desplazamiento es 0 porque las posiciones
final e inicial del jugador son idénticas.
90 pies
90 pies
Plato de home
Vista aérea de un diamante de béisbol. Un bateador que batea un home run viaja 360 pies cuando recorre las
bases, pero su desplazamiento en la vuelta completa es cero
La velocidad promedio no nos brinda detalles del movimiento entre los puntos P y Q en la figura 2.3b.
La velocidad promedio de una partícula en una dimensión puede ser positiva o negativa, según el signo del
desplazamiento.
(El intervalo de tiempo,  t, siempre es positivo.)
Si la coordenada de la partícula aumenta en el tiempo (es decir, si x f > xi), entonces  x es positiva, y también
v.
Este caso corresponde al movimiento en la dirección x positiva.
Si la coordenada disminuye en el tiempo (xf< xi),  x es negativa y consecuentemente es
Este caso corresponde al movimiento en la dirección de x negativa.
v negativa.
Fuente: http://www.monografias.com/trabajos13/cinemat/cinemat2.shtml
1.2.2 MOVIMIENTO UNIFORME Y UNIFORMEMENTE
ACELERADO
Movimiento rectilíneo uniforme
Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es
constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del
móvil en el instante t lo podemos calcular integrando
o gráficamente, en la representación de v en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme
resultan
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél
cuya aceleración es constante. Dada la aceleración
podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los
instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.
Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos
el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0
y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un
triángulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado, las siguientes.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v
con el desplazamiento x-x0
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm
Movimiento Rectilíneo Uniforme.
Se llama movimiento rectilíneo uniforme cuando un movimiento recorre distancias iguales en tiempos
iguales.
En todo movimiento implica una distancia recorrida y un x tiempo para recorrer esa distancia.
Se puede calcular la velocidad mediante la siguiente formula:
V=d/t donde:
V = velocidad
d = distancia
t = tiempo
Cuando se conoce la velocidad y se desconoce la distancia se aplica la siguiente formula:
d=v*t
Y cuando se va a calcular el tiempo se emplea la formula:
t=d/v
Fuente: http://www.micromegas.com.mx/apuntes/documents/fisqui1-1/fisqui01.doc
Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)
Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles de describir. En primer lugar, aquél en el que la
velocidad es constante. En el caso más sencillo, la velocidad podría ser nula, y la posición no cambiaría en el
intervalo de tiempo considerado. Si la velocidad es constante, la velocidad media (o promedio) es igual a la
velocidad en cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con t
= 0, la distancia e recorrida a velocidad constante v será igual al producto de la velocidad por el tiempo. En el
movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la aceleración es nula.
v = e/t
v = cte.
a=0
Fuente: http://www.fisicanet.com.ar/fisica/f1ap01/apf1_04a.html
1.2.3 MOVIMIENTO RELATIVO
El movimiento es relativo, depende del sistema al cual me refiera ("sistema de referencia"). Cuando digo que
la velocidad de un objeto es tal, tengo que indicar con respecto de qué.
Tomamos a P como la partícula cuyo movimiento queremos describir y A y B son los dos sistemas de
referencia. La cosa es que si representamos el movimiento de P en A será distinto que si lo representamos en
B y queremos encontrar la vinculación. La ecuación de la transformación de las velocidades es:
Vap=Vab+Vbp donde las tres magnitudes son vectoriales (es decir, ojo con los signos) y sabiendo que Vap=
-Vpa. (la fórmula es similar para el caso de las posiciones)
Por ejemplo: un típico problema de relativo es el del bote y la corriente: Entre los muelles A y B que están en
la misma orilla de un canal rectilíneo hay una distancia de 400m. Un bote de remos tarda 40 segundos en ir
de A hasta B y 50 segundos en regresar. Considerando constantes los módulos de las velocidades del bote
respecto del agua y de la corriente respecto a la orilla, hallar el valor de los mismos.
Entonces: de A a B tarda 40s (en MRU) y de B a A tarda 50 s(también en MRU). En realidad, el bote
siempre va al mismo ritmo, entonces por qué tarda más en volver que en ir? porque a la vuelta, la corriente
intenta frenarlo, pero a la ida (de A a B), iba a favor de la corriente (ésta favoreció su movimiento y entonces
tardó menos en recorrer la misma distancia).
Así que: Vat es la velocidad de la corriente respecto de la tierra u orilla, Vba es la velocidad del bote con
respecto a la corriente.
De A a B: Vba=400m/40s-Vat , mientras que, de B a A: Vba=-Vba=-400m/50s-Vat (fijate que consideré los
signos, puse, por ejemplo, -Vba porque va contrario a mi eje positivo que de en dirección A-B). Con esas dos
ecuaciones formo el sistema y llego a Vba=9m/s (velocidad del bote si el agua estuviera quieta) y Vat=1m/s
Fuente: http://www.geocities.com/id_imaginedream/movimrelativo.htm
Vamos a analizar ahora el movimiento de un sistema rígido aplicando una metodología distinta a la
vista recientemente.
Para ello analizaremos el movimiento del sólido respecto de una terna que se mueve con respecto a
otra considerada fija y a la cual se desea referir el movimiento.
A la terna "fija" la llamamos absoluta y a la móvil, de arrastre siendo
la terna móvil y
el vector rotación absoluta de
la velocidad de dicho punto también absoluta, pueden distinguirse 3 movimientos:
1) Movimiento Relativo: es el movimiento del sistema rígido con respecto a la terna de arrastre como
si ésta estuviese fija.
2) Movimiento de Arrastre: Es el movimiento del sólido como si estuviera solidariamente unido a la
terna móvil y ésta lo "arrastrase" en su movimiento.
3) Movimiento Absoluto: Es el movimiento del sistema rígido respecto de la terna absoluta como
consecuencia de la simultaneidad de los dos movimientos anteriores.
Habrá siempre un movimiento absoluto y uno relativo pero puede haber muchos de arrastre según las
ternas que se intercalen; todos ellos pueden reducirse a uno solo por composición de movimientos.
Notar que
es la velocidad de rotación de los ejes
rotación del sólido es
mientras que la velocidad de
(ambas absolutas). Tomemos un punto P del sólido y analicemos cuál sería su
velocidad con respecto a la terna absoluta como consecuencia de los movimientos relativos y de
arrastre. Será:
(19)
derivando con respecto al tiempo:
(19’)
pero siendo
vectores de posición con respecto a la terna absoluta, sus derivadas temporales
darán las velocidades de P y 01 respecto del sistema absoluto;
Con respecto a los 3 últimos sumandos del lado derecho de la igualdad, pueden aplicarse las fórmulas
de Poisson, obteniéndose:
Por lo tanto y teniendo en cuenta que los 3 primeros sumandos representan la velocidad de P como si la
terna móvil estuviese quieta:
(20)
donde:
= velocidad absoluta de P
= velocidad relativa de P
= sería la velocidad de P como si éste fuese arrastrado por la terna móvil (velocidad de
arrastre); así, rotaría con
y 01 sería el centro de reducción del movimiento.
Luego:
(20’)
Es decir que la velocidad absoluta de un punto cualquiera de un sistema rígido resulta de la suma de
sus velocidades de arrastre y relativa.
Veamos ahora qué ocurre con la aceleración; derivamos dos veces la expresión (19):
(21)
resolvamos el primer paréntesis:
=
=
el segundo paréntesis nos da:
; por (20)
=
Reemplazamos en (21)
(22)
donde:
aceleración absoluta de P
aceleración relativa de P
es la forma impropia de la ley de distribución de aceleraciones en un
sistema rígido (tal como si éste fuese arrastrado por la terna móvil) y se denomina aceleración de
arrastre.
aceleración complementaria o de Coriolis, aparece por la rotación de los ejes de la terna
móvil y representa la diferencia en aceleración de P como si fuera medida a partir de unos ejes (0,i,j,k)
no giratorios y de otros (01, i1, j1, k1) giratorios, ambos con origen en 01. Se anula si no hay rotación o
bien si no hay movimiento relativo y también en los movimientos helicoidales permanentes donde
Así resulta:
(22’)
EJEMPLO DE APLICACION
Movimiento Relativo
La barra de la figura rota en 0 con  = 3t + 1 mientras que el punto P se desplaza sobre la barra con
una ley r = 4 t2 + 4. Encontrar la velocidad y aceleración absolutas de P respecto del sistema
graficar los vectores.
y
Solución
Adoptemos una terna móvil de origen 01  0 y con su eje
fijo a la barra, es decir rotando con
Así:
y
;
Luego
Obsérvese que
está en
por lo tanto actúa sobre el módulo de
y sobre la dirección
DIAG. DE VELOCIDADES
DIAG. DE ACELERACION
Fuente:
http://www.frbb.utn.edu.ar/carreras/materias/mecanicadelsolido/apuntes/2.5.2Movimiento%20Relativo.htm
1.2.4 CAIDA LIBRE DE CUERPOS
Un cuerpo es lanzado desde el techo de un edificio de altura x0 con
velocidad v0, determinar las ecuaciones del movimiento, la altura máxima y
el tiempo que tarda el cuerpo en alcanzar el origen.
En primer lugar, establecemos el origen y la dirección del movimiento, el
eje X. Después, los valores de la posición inicial y los valores y signos de la
velocidad inicial, y de la aceleración, tal como se indica en la figura.
Resultando las siguientes ecuaciones del movimiento.
Cuando alcanza la altura máxima, la velocidad del móvil es cero. De la ecuación de la velocidad, se obtiene
el tiempo que transcurre desde que se lanza hasta que llega a dicha posición. El tiempo transcurrido se
sustituye en la ecuación de la posición, obteniéndose la máxima altura que alcanza el móvil medida desde el
suelo.
El tiempo que tarda en llegar al suelo, se obtiene a partir de la ecuación de la posición, poniendo x=0,
resolviendo una ecuación de segundo grado.
Nota: como podrá comprobar el lector, la solución del problema es independiente de la situación del origen.
Si colocamos el origen en el punto de lanzamiento, la posición inicial x0 es cero, pero el suelo se encuentra en
la posición -x0 respecto de dicho origen, resultando la misma ecuación. La altura máxima se calcula ahora
desde el techo del edificio, no desde el origen.
Signo de la aceleración:
Si el eje X apunta hacia arriba la aceleración de la gravedad vale a=-g,
g=9.8 ó 10 m/s2
Signo de la velocidad inicial:
Si el eje X apunta hacia arriba y el cuerpo es inicialmente lanzado hacia
arriba el signo de la velocidad inicial es positivo, en caso de ser lanzado
hacia abajo el signo es negativo
Situación del origen:
Se acostumbra a poner en el origen, en el punto en el que es lanzado el
móvil en el instante inicial. Esto no tiene que ser siempre así, si un
cuerpo es lanzado desde el techo de un edificio podemos situar el origen
en el suelo, la posición inicial del móvil correspondería a la altura del
edificio h.
Si situamos el origen en el techo del edificio y lanzamos el móvil desde
el suelo, la posición inicial sería -h.
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/graves/graves.htm
Para entender el concepto de caída libre de los cuerpos,veremos el siguiente ejemplo: Si dejamos caer una
pelota de hule macizo y una hoja de papel , al mismo tiempo y de la misma altura,observaremos que la pelota
llega primero al suelo.Pero,si arrugamos la hoja de papel y realizamos de nuevo el experimento observaremos
que los tiempos de caída son casi iguales.
El movimiento vertical de cualquier objeto en movimiento libre,para el que se pueda pasar por elto la
resistencia del aire, se resume entonces mediante las ecuaciones:
a). v = -gt + v0
b). vm = (vo + v)/2
c). y = -0.5 gt² + vo t + y0
d). v²= -2gt(y - y0 )
Fuente: http://guillermoga.galeon.com/enlaces13781.html
Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte su movimiento,
encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o composición,
caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta aceleración,
denotada por el símbolo g , se llama aceleración en caída libre
Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimiento hacia arriba experimentan la misma
aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la aceleración en caída libre varía con la latitud y con
la altitud. Hay tambien variaciones significativas causadas por diferencias en la densidad local de la corteza
terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar en esta sección.
Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un movimiento rectilíneo con aceleración constante pueden
ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones:
Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y tomamos como positiva la dirección hacia
arriba.+
Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g ,
puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es
negativa.
En la gráfica anterior podemos observar la dirección de los vectores aceleración y velocidad, de un objeto
que ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos
que el vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleración ( g
) tiene una dirección hacia abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto
cae (bola a la derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el mismo sentido del desplazamiento y
el vector aceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en el sentido negativo del eje Y.
Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser:
a(t)=-g
v ( t ) = v0 - g . t
Fuente: http://www.manizales.unal.edu.co/cursofisica/contenido/caida.htm
OBJETOS QUE CAEN LIBREMENTE
Es bastante conocido que todos los objetos, cuando se sueltan, caen hacia la tierra con aceleración casi
constante. Hay una leyenda según la cual fue Galileo quien descubrió este hecho al observar que dos diferentes
pesas dejadas caer simultáneamente desde la inclinada Torre de Pisa golpeaban el suelo casi al mismo tiempo. Si
bien hay cierta duda de que este particular experimento se llevó a cabo, está perfectamente establecido que Galileo
efectuó muchos experimentos sistemáticos en objetos que se movían sobre planos inclinados. Con cuidadosas
mediciones de distancias e intervalos de tiempo, fue capaz de mostrar que el desplazamiento de un objeto que parte
del reposo es proporcional al cuadrado del tiempo en que el objeto está en movimiento.
Esta observación es consistente con una de las ecuaciones cinemáticas que se obtuvo para el movimiento con
aceleración constante (ecuación 2.4.4). Los logros de Galileo en la ciencia de la mecánica prepararon el camino para
que Newton desarrollara sus leyes del movimiento.
Tal vez el lector desee intentar el siguiente experimento. Deje caer una moneda
y un pedazo de papel apretado con la mano simultáneamente desde la misma altura.
Como no hay resistencia del aire, ambos experimentarán el mismo movimiento y
llegarán al suelo al mismo tiempo. En un experimento real (no ideal), la resistencia del aire no puede ignorarse. En el
caso idealizado; donde se desprecia la resistencia del aire, dicho movimiento se conoce como caída Ubre. Si este
mismo experimento se llevará a cabo en un buen vacío, donde la fricción del aire es despreciable, el papel y la
moneda caerían con la misma aceleración, sin que importara la forma del papel.
Este caso se ilustra de manera muy convincente en la fotografía de la manzana y la pluma que caen en un vacío. El 2
de agosto de 1971 el astronauta David Scott realizó un experimento de estas características en la Luna (donde la
resistencia del aire es despreciable). Simultáneamente soltó un martillo de geólogo y la pluma de un halcón, que
hicieron contacto con la superficie lunar al mismo tiempo. ¡Esa demostración seguramente habría complacido a
Galileo!
Denotaremos la aceleración de caída libre con el símbolo g. El valor de g sobre la Tierra disminuye conforme aumenta
la altitud. También, hay ligeras variaciones de g con la latitud. La aceleración de caída libre está dirigida hacia el
centro de la Tierra.
En la superficie, el valor de g es aproximadamente 9.80 m/s 2, o 980 cm./s2 o 32 pies/s2. A menos que se establezca
lo contrario, cuando efectuemos cálculos usaremos este valor para g.
Cuando se emplea la expresión objeto que cae libremente no se hace referencia necesariamente a un objeto que se
soltó desde el reposo. Un objeto que cae libremente es cualquiera que se mueve con libertad bajo la influencia de la
gravedad, sin importarse movimiento inicial. Los objetos lanzados hacia arriba o hacia abajo y los que se sueltan
desde el reposo todos caen libremente una vez que se han liberado. También, es importante recordar que cualquier
objeto que cae libremente experimenta una aceleración dirigida hacia abajo. Esto es cierto independientemente del
movimiento inicial del objeto.
Un objeto lanzado hacia arriba y uno lanzado hacia abajo experimentarán la misma aceleración que un objeto que se
deja caer desde el reposo. Una vez que están en caída libre, todos los objetos tienen una aceleración hacia abajo,
igual a la aceleración de caída libre.
Sí se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleración en caída libre novaría con la altitud, entonces el
movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento en una dimensión con aceleración
constante.
Por tanto, pueden aplicarse las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante.
Se tomará la dirección vertical como el eje y-y se indicará positiva hacia arriba. Con estas coordenadas es posible
sustituir x por y en las ecuaciones 2.4.3, 2.4.4 y 2.4.5.
Asimismo, como es positiva, hacia arriba, la aceleración es negativa (hacia abajo) y está dada por a = -g. El signo
negativo indica simplemente que la aceleración es hada abajo. Con estas sustituciones se obtienen las siguientes
expresiones:
v  v0  gt
1
y  y 0  v  v0 t
2
1
y  y 0  v0 t  gt 2
2
2
2
v  v0  2g y  y0 
(2.5.1)
(para a constante = -g)
(2.5.2)
(2.5.3)
(2.5.4)
Adviértase que el .signo negativo para la aceleración ya está incluido en estas expresiones.
Por consiguiente, cuando se utilicen estas ecuaciones en cualquier problema de caída libre, sólo debe sustituirse g =
9.80 m/s2
Fotografía de destellos múltiples de
una bola de billar que cae.
Conforme esto ocurre, el espacio
entre imágenes sucesivas aumenta,
lo que indica que la bola se acelera
hacia abajo. El diagrama de
movimiento
muestra
que
la
velocidad de la bola (flechas del
lado izquierdo) aumenta con el
tiempo, en tanto que su aceleración
(flechas
del
lado
derecho)
permanece constante.
EJEMPLO CONCEPTUAL
Un niño lanza una canica al aire con cierta velocidad inicial. Otro niño deja caer una pelota en el mismo instante.
Compare las aceleraciones de los dos objetos mientras permanecen en el aire.
Razonamiento Una vez que los objetos abandonan la mano ambos están en caída libre y, en consecuencia,
experimentan la misma aceleración hacia abajo igual a la aceleración de caída libre, g= 9.80 m/s 2.
EJEMPLO
Una pelota de golf se lanza desde arriba. Mientras esta en el aire,
a)¿qué pasa con su velocidad?
b)¿Su aceleración aumenta, disminuye o permanece constante?
Razonamiento
a) La velocidad de la pelota cambia continuamente. Cuando viaja hacia arriba su velocidad disminuye 9.80 m/s
durante cada segundo de su movimiento. Cuando alcanza el punto máximo de su movimiento, su velocidad se vuelve
cero. Conforme se mueve hacia abajo, su velocidad aumenta 9.80 m/s cada segundo, b) La aceleración de la pelota
permanece constante mientras permanece en el aire, desde el instante que se separa de la mano hasta el instante
anterior a su choque con el suelo. Su magnitud es la aceleración de caída libre, g = - 9.80 m/s2. (Si la aceleración
fuera cero en el punto máximo cuando la velocidad es cero, esto indicaría que de ahí en adelante ya no habría cambio
en la velocidad, por lo que la pelota se detendría en dicho máximo, y permanecería ahí, que no es el caso.)
1.3 MOVIMIENTO CURVILINEO
Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y
representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las
magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:
Vector posición r en un instante t.
Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante
t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su
vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P',
su posición viene dada por el vector r'.
Diremos que el móvil se ha desplazado r=r’-r en el intervalo de
tiempo t=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que
une los puntos P y P'.
Vector velocidad
El vector velocidad media, se define como el cociente entre el
vector desplazamiento r y el tiempo que ha empleado en
desplazarse t.
El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector
desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se
calcula la velocidad media <v1> entre los instantes t y t1.
El vector velocidad en un instante, es el límite del vector
velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el
intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad
media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con
los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el
punto P.
En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad
v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.
Vector aceleración
En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una
velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho
punto.
En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una
velocidad v'.
El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en
módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector
diferencia v=v’-v.
Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad v y el intervalo de
tiempo t=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.
Y la aceleración a en un instante
Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son
La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila
corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir
respecto del eje Z.
Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos
rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.
Ejemplo 1:
Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están
dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m. Calcular:

Las componentes de la velocidad en cualquier instante.
vx=6t2-6t m/s
vy=2t-2 m/s

Las componentes de la aceleración en cualquier instante.
ax=12t m/s2
ay=2 m/s2
Ejemplo 2:
Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en función del
tiempo vienen dadas por las expresiones: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Si en el instante inicial t0=0 s, el móvil se
encontraba en la posición x0=1, y0=2 m. Calcular:


Las componentes de la aceleración en cualquier instante
Las coordenadas x e y, del móvil, en función del tiempo.
Dada la velocidad vx=4t3+4t del móvil, el desplazamiento x-1 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la
integral
x=t4+2t2+1 m
Dada la velocidad vy=4t del móvil, el desplazamiento y-2 entre los instantes 0 y t se calcula mediante la
integral
y=2t2+2 m
Ejemplo 3:
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de
50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una
aceleración de 2 m/s2. Calcular:



La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto
La altura máxima
Los instantes y los valores de las componentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m
de altura sobre el suelo.
1. Primero, se establece el origen en el punto del lanzamiento y los
ejes X e Y apuntando hacia arriba.
2. Se determinan los signos de las velocidades iniciales v0x=0 y
v0y=20 y de la aceleración ay=-10.
3. Se escriben las ecuaciones del movimiento

Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X
ax=2
vx=2t
x=2t2/2

Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de caída de los cuerpos)
ay=-10
vy=20+(-10)t
y=20t+(-10)t2/2
1. El punto de impacto tiene de coordenadas x desconocida e y=-50 m. Dado y se obtiene el valor de t y
luego el valor de x.
y=-50 m
t=1.74 s
x=3.03 m
2. La altura máxima se obtiene cuando la velocidad vertical es cero
vy=0 m/s
t=2 s
y=20 m
La altura desde el suelo es 20+50=70 m.
3. El móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de altura sobre el suelo (10 sobre el origen), ya que su
trayectoria corta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m. La ecuación de segundo grado tiene dos
raíces
10=20t+(-10)t2/2
t1=0.59 s y t2=3.41 s.
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las
componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la
normal a la misma.
Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple
problema de geometría, tal como se ve en la figura.

Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se
representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la
dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la
dirección normal.

Se determina el ángulo  entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor
numérico de dichas componentes: at=a cos y an=a sen
Ejemplo:
El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las
componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector
aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.
1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración
vx =3t-2 m/s, ax=3 m/s2
vy=6t2-5 m/s, ay=12t m/s2
2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son
vx =4 m/s, ax=3 m/s2
vy=19 m/s, ay=24 m/s2
3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración
4. Calculamos el ángulo  que forman el vector velocidad y el vector aceleración


Por el producto escalar: v·a=v·a·cos
Calculando el ángulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos ángulos
5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración
at=a·cos =24.1 m/s2
an=a·sen=2.0 m/s2
Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector
aceleración a y el vector velocidad v.
v·a=va·cosθ=v·at
La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial at
Radio de curvatura
En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el
instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidad
v+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto
C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro
de curvatura C es el radio de curvatura ρ.
En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector
velocidad cambia un ángulo dθ. que es el ángulo entre las tangentes o entre
las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco
ds=ρ·dθ, tal como se aprecia en la figura.
Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector
velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido
ut=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos
El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut, es la componente tangencial de
la aceleración
El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección
normal un. Como vemos en la figura las componentes del vector
unitario ut son
ut=cosθ·i+senθ·j
Su derivada es
El vector aceleración es
Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente
Esta última fórmula, la obtuvimos de una forma más simple para una partícula que describía un movimiento
circular uniforme.
Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que
cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez.



Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo,
tenemos únicamente aceleración tangencial.
Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante
como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal.
Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico,
tendremos aceleración tangencial y aceleración normal..
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/curvilineo/curvilineo.htm
MOVIMIENTO CIRCULAR
Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen
O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.
Posición angular, 
En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular
viene dada por el ángulo , que hace el punto P, el centro de la
circunferencia C y el origen de ángulos O.
El ángulo , es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la
circunferencia r, =s/r. La posición angular es el cociente entre dos
longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.
Velocidad angular, 
En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el
ángulo  '. El móvil se habrá desplazado = ' - en el intervalo de
tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.
Se denomina velocidad angular media al cociente entre le desplazamiento y el tiempo.
Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la
velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Aceleración angular, 
Si en el instante t la velocidad angular del móvil es  y en el instante t' la
velocidad angular del móvil es '. La velocidad angular del móvil ha
cambiado =' - en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t
y t'.
Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de
tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.
La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de
tiempo que tiende a cero.
Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular
Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento  -0 entre
los instantes t0 y t, mediante la integral definida.
El producto dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo
dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los
instantes t0 y t.
En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad angular en función del tiempo, el área en color azul mide
el desplazamiento angular total del móvil entre los instantes t0 y t, el arco en color azul marcado en la
circunferencia.
Hallamos la posición angular  del móvil en el instante t, sumando la posición inicial 0 al desplazamiento,
calculado mediante la medida del área bajo la curva -t o mediante cálculo de la integral definida en la
fórmula anterior.
Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular
Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t0 y t, a partir
de un registro de la velocidad angular  en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad 
-0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en
función del tiempo.
En la figura, el cambio de velocidad  -0 es el área bajo la curva  - t,
o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.
Conociendo el cambio de velocidad angular  -0, y el valor inicial 0
en el instante inicial t0, podemos calcular la velocidad angular  en el
instante t.
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento circular son similares a las del
movimiento rectilíneo.
Movimiento circular uniforme
Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular 
es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición
angular  del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando 
 -0=(t-t0)
o gráficamente, en la representación de  en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son
análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme
Movimiento circular uniformemente acelerado
Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya
aceleración  es constante.
Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad
angular  -0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o
gráficamente.
Dada la velocidad angular en función del tiempo, obtenemos el
desplazamiento  -0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente
(área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente
acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad
angular ω con el desplazamiento θ-θ0
Fuente: http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/teoria/A_Franco/cinematica/circular/circular.htm
A continuación, se describe un problema de artillería que no tiene una solución sencilla.
Un cañón dispara un proyectil con velocidad v, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Un carro de combate
situado a una distancia d del cañón, en el momento del disparo, se mueve con velocidad constante u hacia el
cañón. Se tratará de determinar el ángulo (o los ángulos) de disparo que hacen que el proyectil impacte en el
carro de combate.
Descripción
El proyectil se mueve bajo la aceleración constante de la gravedad, que es la composición de dos
movimientos

Uniforme a lo largo del eje horizontal X
ax=0
vx=v·cosθ
x= v·cosθ·t

Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y
ay=0
vy=v·senθ-g·t
y= v·senθ·t-gt2/2
El movimiento del carro de combate es rectilíneo y uniforme. Su posición x en función del tiempo es
x=d-u·t
El impacto del proyectil sobre el carro de combate se produce para y=0, es decir, en el instante t=2·v·senθ/g
En dicho instante, han de coincidir las posiciones x de ambos móviles
Se pueden dar tres casos dependiendo de cual sean los datos y las incógnitas.
1. Se conoce la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad de disparo v. Calcular la velocidad
u del carro de combate.
2. Se conoce la separación inicial d, el ángulo de tiro θ y la velocidad u del carro de combate. Calcular
la velocidad de disparo v
3. El caso más interesante, es aquél en el que se conoce la separación inicial d, la velocidad de disparo v
y la velocidad u del carro de combate, se pide calcular el ángulo (o ángulos) de tiro θ
Ángulos de disparo
Tenemos que hallar las raíces de la ecuación trascendente
v2·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g=0
Existen varios procedimientos, el más simple, es trazar la gráfica de la función z=f(θ)
z=v2·sen(2θ)+2u·v·senθ-d·g
y determinar aproximadamente, los puntos de corte de la función con el eje horizontal, tal como se aprecia en
la figura.
El máximo de la función z se produce
para un ángulo θm independiente de la distancia d
Los dos ángulos buscados θ1 y θ2 están en los intervalos (0, θm) y (θm, π/2) respectivamente. Podemos
emplear un procedimiento como el del punto medio para calcular cada una de las raíces de la ecuación
trascendente
Existe una distancia dm para la cual la ecuación trascendente tiene una sola raíz θm. El máximo de la función
f(θm) es z=0.
Si la distancia d entre el cañón y el carro de combate es mayor que dm, no hay ningún ángulo para el que se
pueda producir impacto, la ecuación trascendente carece de raíces, tal como puede verse en la figura.
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/parabolico/carro/carro.htm
1.4 MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO
Se define el sólido rígido como un cuerpo indeformable, de modo que las posiciones relativas de las
partículas que lo constituyen se mantienen invariables.
Se describe el movimiento del sólido rígido como la composición de dos tipos de movimiento, traslación del
centro de masas y rotación en torno a un eje que pasa por dicho punto.
La dinámica del sólido rígido se divide en dos partes:


Movimiento de rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo
Movimiento general de un sólido rígido (movimiento de rodar)
En el aula y en el laboratorio se propone a los estudiantes resolver un conjunto de problemas de dinámica del
sólido rígido para practicar las ecuaciones de la dinámica de rotación y el principio de conservación de la
energía.
Se usa un dispositivo similar a una rueda de bicicleta que puede girar alrededor de un eje fijo. Se enrollan
cuerdas de las que penden pesas tal como se muestra en la figura.
Se mide el tiempo que tarda una pesa en recorrer una determinada altura, partiendo del reposo. A partir de
este dato, de las masas de las pesas, y de los radios interior y exterior de la rueda, se calcula el momento de
inercia por dos procedimientos


Aplicando las ecuaciones de la dinámica
Aplicando el principio de conservación de la energía
Describiremos a continuación, cada una de los tres experiencias desde el más sencilla a la más complicada
Primera experiencia

Método: conservación de la energía
La comparación de la situación inicial y la situación final nos permite formular rápidamente el principio de
conservación de la energía.



La pesa de masa m desciende una altura h.
La pesa de masa m incrementa su velocidad en
v
La rueda gira con velocidad angular 
La energía potencial disminuye en mgh, su energía
cinética se incrementa en mv2/2, y lo mismo ocurre
para sólido en rotación, su energía cinética se
incrementa en I 2/2.
La ecuación del balance energético es
La velocidad v se calcula a partir de h y del tiempo t que tarda la pesa en descender esta altura, partiendo del
reposo.
La velocidad angular  está relacionada con la velocidad v de la pesa que a su vez, es la misma que la
velocidad de un punto del borde de la rueda de radio r (siendo r el radio interior de la rueda). Véase la
relación entre magnitudes lineales y angulares.
Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido
Altura h
Tiempo t
Velocidad v
Radio r
Velocidad angular 
Masa de la pesa m
Momento de inercia I

Método: dinámica
En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento.

La ecuación de la dinámica de rotación de la rueda es
Tr=I

La ecuación de la dinámica de traslación del bloque es
mg-T=ma

La relación entre la aceleración angular  del disco y la aceleración a de
la pesa es la misma que la existente entre sus respectivas velocidades
a= r
Conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a
A partir de la medida del radio r de la rueda (interior o exterior, según el caso), se calcula la aceleración
angular  del disco, la tensión T de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.
Altura h
Tiempo t
Aceleración a
Radio r
Aceleración angular 
Masa de la pesa m
Tensión de la cuerda T
Momento de inercia I
Ejemplo:
Introducir en el programa interactivo los siguientes datos:



Masa de la primera pesa cero (m1=0),
Masa de la segunda pesa m2=200 g,
Radio interior r=30 cm.
Se pulsa el botón titulado Empieza, y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura
medida por la regla adjunta. Utilizar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse a la altura deseada.
Calcular el momento de inercia y compararlo con la respuesta dada por el programa que se obtiene pulsando
en el botón titulado Resultado.
Segunda experiencia

Método: conservación de la energía
Comparando la situación inicial y la final apreciamos de un vistazo las variaciones de energía que han
experimentado los cuerpos que intervienen.





La pesa m2 desciende una altura h.
La pesa m1 asciende la misma altura h.
La pesa m1 aumenta en v su velocidad.
Lo mismo le ocurre a la pesa m2
La rueda gira con velocidad angular  .
Se formula el principio de conservación de la energía
Calculando la velocidad v a partir de h y del tiempo t que la pesa tarda en descender esta altura, partiendo del
reposo, y relacionando v con velocidad angular  de la rueda, se obtiene el momento de inercia I.
Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido
Altura h
Tiempo t
Velocidad v
Radio R
Velocidad angular 
Masa de la pesa m1
Masa de la pesa m2
Momento de inercia I

Método: Dinámica
En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A
partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.
m2g-T2=m2a
T1-m1g=m1a
T2R-T1R=I
a= R
Como en el ejemplo anterior, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se
determina la aceleración a
A partir de la medida del radio exterior R de la rueda, se calcula la aceleración angular  del disco, las
tensiones T1 y T2 de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.
Altura h
Tiempo t
Aceleración a
Radio R
Aceleración angular 
Masa de la pesa m1
Masa de la pesa m2
Tensión de la cuerda T1
Tensión de la cuerda T2
Momento de inercia I
Ejemplo:
Introducir en el programa interactivo los siguientes datos:



Masa de la primera pesa cero (m1=100 g)
Masa de la segunda pesa m2=200 g
Radio 50 cm.
Se pulsa el botón titulado Empieza, y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura
medida por la regla adjunta. Utilizar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse a la altura deseada.
Calcular el momento de inercia y compararlo con la respuesta dada por el programa que se obtiene pulsando
en el botón titulado Resultado.
Tercera experiencia

Método: conservación de la energía
Comparando el estado inicial y final observamos que





La pesa m1 desciende una altura h1
La pesa h2 asciende una altura h2
La pesa m1 incrementa su velocidad en v1
La pesa m2 incrementa su velocidad en v2
La rueda está girando con velocidad 
Formulamos el principio de conservación de la energía
Existe una relación entre h1 y h2, la misma que existe entre v1 y v2. Recordaremos que las magnitudes
angulares son las mismas para todos los puntos del sólido en rotación mientras que las magnitudes lineales
son proporcionales al radio.




v1= r1
v2= r2
h1= r1
h2= r2
 es la velocidad angular de la rueda y  es el ángulo girado en el tiempo t.
Dados los datos de h1, la altura que cae la masa m1 y el tiempo t que tarda en caer, y a partir de las medidas
de los radios interior r2 y exterior r1 de la rueda podemos calcular, el momento de inercia I desconocido de la
rueda, siguiendo los mismos pasos que en los ejercicios previos.
Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido
Altura h1
Radio r1
Radio r2
Altura h2
Tiempo t
Velocidad v1
Velocidad angular 
Velocidad v2
Masa de la pesa m1
Masa de la pesa m2
Momento de inercia I

Método: dinámica
En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A
partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.
m1g-T1=m1a1
T2-m2g=m2a2
T1r1-T2r2=I
a1= r1
a2= r2
Como en los ejemplos anteriores, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa m1 y la altura h1 desde la que
cae, se determina la aceleración a1. Con los datos de los radios r1 y r2, se determina  y a2. A continuación
T1, T2 y finalmente I.
Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido
Altura h1
Altura h2
Tiempo t
Aceleración a1
Radio r1
Radio r2
Aceleración angular 
Aceleración a2
Masa de la pesa m1
Masa de la pesa m2
Tensión de la cuerda T1
Tensión de la cuerda T2
Momento de inercia I
Fuente: http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/teoria/A_Franco/solido/dinamica/dinamica.htm
Movimiento general de un sólido rígido
En esta página se describe el movimiento general de un sólido rígido respecto a un observador inercial O.
En la figura vemos que la posición del punto P del sólido
es
rP=rC+R
Donde C se refiere al centro de masas del sólido. El
vector que va del centro de masas al punto P es un vector
cuyo módulo es constante. Un sólido fijo se caracteriza
por ser indeformable, las posiciones relativas de los
puntos del sólido se mantienen fijas aunque se apliquen
fuerzas al mismo.
Derivando la expresión anterior respecto del tiempo obtenemos
El primer término es la velocidad del punto P, el segundo la velocidad del centro de masas y el tercero es la
velocidad del punto P respecto del centro de masas.
Dado que el vector R tiene módulo constante, el único movimiento
posible de P respecto de C es una rotación con velocidad angular 
alrededor de un eje instantáneo que pase por C, tal como vemos en la
figura.
Así pues, el movimiento de un punto P del sólido lo podemos considerar como la suma de un movimiento de
traslación del centro de masas más una rotación alrededor de un eje instantáneo que pasa por el centro de
masas.
Movimiento de rodar sin deslizar
El movimiento general de un sólido rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de
masa y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa. En el movimiento
de rodar sin deslizar, la rueda se traslada a la vez que gira.

En el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La
velocidad de un punto del sólido es la misma que la velocidad del centro de masas.

En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de un
punto del sólido es proporcional la radio de la circunferencia que describe, y su dirección es tangente
a dicha circunferencia.
En el movimiento de rodar sin deslizar, existe una relación entre el movimiento de rotación y traslación. El
punto de la rueda que está en contacto en un instante dado con el suelo tiene velocidad nula. Por tanto, se
debe de cumplir que
vC= R
La velocidad de traslación vC es igual a la velocidad de rotación  por el radio de la rueda R.
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/rodar/mov_rodar.htm
UNIDAD 2: CINETICA DE LA PARTICULA Y DEL
CUERPO RIGIDO.
2.1 LEYES DE NEWTON
La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercía, nos dice que si sobre un
cuerpo no actua ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta con
velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero).
Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cual sea el observador que
describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el interventor viene caminando
lentamente por el pasillo del tren, mientras que para alguien que ve pasar el tren desde el andén
de una estación, el interventor se está moviendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un
sistema de referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para definir
un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de referencia inerciales,
que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no
actua ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante.
En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay
algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema
de referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos
en un sistema inercial. En muchos casos, suponer a un observador fijo en la Tierra es una buena
aproximación de sistema inercial.
La Primera ley de Newton nos dice que para que un cuerpo altere su movimiento es necesario
que exista algo que provoque dicho cambio. Ese algo es lo que conocemos como fuerzas. Estas
son el resultado de la acción de unos cuerpos sobre otros.
La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la
fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho
cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos
expresar la relación de la siguiente manera:
F=ma
Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un
valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse
como:
F=ma
La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton
es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una
aceleración de 1 m/s2, o sea,
1 N = 1 Kg · 1 m/s2
La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea
constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es
válida la relación F = m · a. Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el
caso de sistemas en los que pueda variar la masa.
Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad
de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de
un cuerpo por su velocidad, es decir:
p=m·v
La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una magnitud vectorial
y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s . En términos de esta nueva magnitud física, la
Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:
La Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de
movimiento de dicho cuerpo, es decir,
F = dp/dt
De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de
que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se
deriva un producto tenemos:
F = d(m·v)/dt = m·dv/dt + dm/dt ·v
Como la masa es constante
dm/dt = 0
y recordando la definición de aceleración, nos queda
F=ma
tal y como habiamos visto anteriormente.
Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo
que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza
total que actua sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que:
0 = dp/dt
es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto
significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo (la derivada de una
constante es cero). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento: si la
fuerza total que actua sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece
constante en el tiempo.
Tal como comentamos en al principio de la Segunda ley de Newton las fuerzas son el resultado
de la acción de unos cuerpos sobre otros.
La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice que si un
cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de
sentido contrario.
Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas ocasiones. Por ejemplo, cuando
queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo
es la que nos hace saltar hacia arriba.
Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros tambien nos movemos en
sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona hace sobre nosotros, aunque no
haga el intento de empujarnos a nosotros.
Hay que destacar que, aunque los pares de acción y reacción tenga el mismo valor y sentidos
contrarios, no se anulan entre si, puesto que actuan sobre cuerpos distintos.
Fuente: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Fisica/02/leyes.html
Newton fue un físico y matemático del siglo XVII que nació el 4 de enero de 1643 en Woolsthorpe
(Inglaterra) y murió e 31 de marzo de 1727 en Londres, Inglaterra. Fue un hombre ilustrado que no confiaba
en la revelación ni en la tradición, sino en la razón.
Aportaciones.- Este físico desarrolló el cálculo infinitesimal, examinó la mecánica del movimiento planetario
y llegó a la conclusión de que las desviaciones de los planetas de las órbitas previstas por Kepler se
explicaban de acuerdo con sus teorías.
Sin embargo, sus aportaciones más importantes fueron el descubrimiento de las tres leyes fundamentales de
la mecánica y la ley de la gravitación universal. Veamos a continuación el contenido de cada una de estas
leyes.
Leyes universales:
1.Ley de la Inercia: "todo cuerpo continua su estado de reposo o de movimiento uniforme y rectilíneo
mientras no haya ninguna fuerza que lo modifique".
2.Ley de las aceleraciones: "la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la magnitud de la
fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo".
Fórmula Equivalencias Unidades
A= aceleración A = m/s (al cuadrado)
A = F : m F= fuerza
m= masa
F= N (Newton)
M= Kg
3.Ley de acción y reacción: "siempre que actúa una fuerza se produce también una reacción igual en tamaño
y cantidad, pero en sentido contrario".
Ley de la gravedad.- La ley de la gravedad también fue una de las aportaciones de Newton. Esta ley dice:
"todos los objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de su distancia".
Fuente: http://www.mailxmail.com/curso/excelencia/historia_fisica/capitulo4.htm
2.2 RESOLUCION DE ECUACIONES
Fuerzas de rozamiento
Cuando un cuerpo está en movimiento sobre una superficie áspera, o cuando un objeto se mueve a través de
un medio viscoso, como el aire o el agua, existe una resistencia al movimiento debido a la interacción del
objeto con el medio que le rodea. A una fuerza de resistencia de esta naturaleza se le conoce como fuerza de
rozamiento o de fricción. Las fuerzas de rozamiento o de fricción son muy importantes en la vida cotidiana.
Por ejemplo, las fuerzas de rozamiento permiten caminar o correr y son necesarias para que se realice el
movimiento de los vehículos con ruedas.
Considere un bloque sobre una mesa horizontal. Sí se aplica una fuerza externa horizontal F al bloque,
actuando hacia la derecha, permanecerá estacionario si F no es demasiado grande. La fuerza que evita el
movimiento del bloque actúa hacia la izquierda y es la fuerza de rozamiento, fs. En tanto el bloque esté en
equilibrio, fs = F. Como el bloque permanece estacionario, a esta fuerza de rozamiento se le da el nombre de
fuerza de rozamiento estático, fs.
Si se sigue incrementando la magnitud de F, en cierto momento el bloque se deslizará. Cuando el bloque está
a punto de deslizarse, fs, es un máxímo (fuerza de rozamiento estática máxima); al hacerse F mayor que fs, m,
entonces se mueve y se acelera hacia la derecha. Al quedar el bloque en movimiento, la fuerza de rozamiento
se hace menor que fs, a esta nueva fuerza se le denomina fuerza de rozamiento cínético, fk.
En el ejemplo siguiente localizaremos las fuerzas sobre los cuerpos 1 y 2 incluida la de rozamiento existente
entre el cuerpo 1 y el plano horizontal...
Fuente: http://nti.educa.rcanaria.es/fisica/dinamica.htm#Fuerzas%20de%20rozamiento
LEYES DE NEWTON I
1.23E Si un núcleo captura un neutrón desorbitado, éste deberá atraer al neutrón hasta pararlo dentro del diámetro del
núcleo por medio de una gran fuerza. La fuera que mantiene al núcleo unido, es esencialmente cero fuera del núcleo.
Suponiendo que el neutrón desviado con una velocidad inicial 1.4 x 10 7 m/s2 es capturado justo por un núcleo con un
diámetro d = 1.0 x 10-14 m. Asumiendo que la fuerza del neutrón es constante encontrar la magnitud de esa fuerza. La
masa del neutrón es de 1.67 x 1027 kg.
R: |F|= 16N
2.27E Referirse a la fig 1 dado que la masa del bloque es de 8.5 = 30º. Encontrar:kg y el ángulo
a. La tensión en la cuerda
b. La fuerza Normal actuando sobre el bloque
c. Si la cuerda se corta, encontrar la magnitud de la aceleración del bloque
R: a) 42N, b) 72N, c) –4.9 m/s2
3.32E Un electrón es proyectado horizontalmente a una velocidad de 1.2 x 107 m/s hacia un campo eléctrico que
proporciona una fuerza vertical constante de 4.5 x 10-6 N sobre ella. La masa del electrón es de 9.11 x 10-31 kg.
Determinar la distancia vertical que el electrón es rechazado durante el tiempo que se a movido 30 mm
horizontalmente.
R: 1.5 x 10-3 m
4.36P Una niña de 40 kg y un trineo de 8.4 kg están en la superficie de un lago congelado separados por un cuerda de
15m. Por medio de la cuerda la niña proporciona una fuerza de 5.2N, jalando hacia ella:
a. ¿Cuál es la aceleración del trineo?
b. ¿Cuál es la aceleración de la niña?
c. ¿Qué tan lejos de la posición inicial de la niña se encuentran asumiendo que no actúa ninguna fuerza de
fricción?
R: a) 0.62 m/s2 b) 0.13 m/s2, c) 2.6m
5.38P Una esfera de masa 3 x 10-4 esta suspendida de un cordón. Una brisa horizontal constante empuja la esfera de
modo que el cordón forma un ángulo de 33º con la vertical cuando esta en reposo. Encontrar:
a. La magnitud del empuje;
b. La Tensión en el cordón.
R: a) 2.2 x 10-3N, b) 3.7 x 10-3N
1. El coeficiente de fricción estática entre el teflón y los huevos revueltos es de alrededor de 0.04 ¿Cuál es el ángulo
más pequeño desde la horizontal que provocará que los huevos resbalen en el fondo de una sartén recubierta con
teflón?
2. Suponga que sólo las ruedas traseras de un automóvil puede acelerarlo, y que la mitad del peso total del automóvil
lo soportan esas ruedas (a) ¿Cuál es la aceleración máxima posible si el coeficiente de fricción estática entre las
llantas y la carretera es s? (b) Tome s = 0.56 y obtenga un valor numérico para esta aceleración.
3. ¿Cuál es la mayor aceleración a la que puede llegar un corredor si el coeficiente de fricción estática entre los
zapatos y el camino es de 0.95?
4. Un jugador de béisbol con una masa de 79 kg que desliza hacia una base, es retenido por una fuerza de fricción de
470N ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el jugador y el terreno?
12. Un estudiante desea determinar los coeficientes de fricción estática y cinética entre una caja y un tablón. Coloca la
caja sobre el tablón y gradualmente eleva un extremo del tablón. Cuando el ángulo de inclinación respecto a la
horizontal alcanza 28.0º, la caja comienza a deslizarse y desciende 2.53m por el tablón en 3.92s. Halle los
coeficientes de fricción.
24. El bloque B de la figura 33 pesa 712 N. El coeficiente de fricción estática entre el bloque B y la mesa es de 0.25.
Halle el peso máximo del bloque A con el que el sistema se mantendrá en equilibrio.
Leyes de Newton II (Problemas Propuestos)
1.2E Un jugador de béisbol con nua masa de 79 kg que se barre hacia la segunda base, es retenido por una fuerza de
fricción fk = 470N. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética k entre el jugador y el terreno?
R: 0.61
2.8E Una persona empuja con una fuerza horizontal de 220N sobre un cajón de 55 kg, para moverlo a nivel del piso. El
coeficiente de fricción cinético es k = 0.35
a. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción?
b. ¿Cual es la magnitud de la aceleración del cajón?
R: a) 190N, b) 0.56 m/s2
3.11E Una fuerza horizontal F de 12N empuja a un bloque que pesa 5N contra la pared y el bloque es de 0.60 y el
coeficiente de fricción cinética es de 0.40 Suponga que el bloque no se esta moviendo inicialmente.
a. ¿Se moverá el bloque?
b. ¿Cuál es la fuerza que la pared ejerce sobre el bloque en términos de vectores unitarios?
R: a) El bloque no se resbala, b) –12i + 5j
4.5E Una ficha de hockey se desliza sobre el hielo por 15m antes de que llegue al reposo
a. Si su rapidez inicial fue de 60 m/s ¿Cuál fue la magnitud de la fuerza de fricciíon sobre la ficha durante el
recorrido?
b. ¿cuál fue el coeficiente de fricción entre la ficha y el hielo?
R: a) 0.13N b) 0.12
6.23P Una caja de 68 kg se desliza a través del piso jalada por un cuerda inclinada a 15º sobre la horizontal. Si el
coeficiente de fricción estático es de 0.50.
a. ¿Cuál es la tensión mínima que se requiere en la cuerda para comenzar a mover la caja?
b. Si k = 0.35 ¿Cuál es la magnitud de la aceleración inicial de la caja?
R: 3 x 102N, b) 1.3 m/s2
2.31P El bloque B (en la fig. 2) pesa 711N. El coeficiente de fricción estático entre el bloque B y la mesa es de 0.25.
Determine el peso máximo del bloque A para cual el sistema se mantendrá estacionado.
R: 100N
3.32P El objeto A pesa 102N y el objeto B pesa 32N. Entre el objeto A y el plano inclinado los coeficientes de fricción
son fricción estático s = 0.56 y cinética k es de 40º.= 0.25. El ángulo Halle la aceleración del sistema sí:
a. A esta inicialmente en el reposo
b. A se mueve hacia arriba del plano
c. A se mueve hacia abajo del plano
R: a) 0, b) -3.9 m/s2, c) 0.98 m/s2
4.35P Se muestran dos bloques con pesos W 1 = 8lb y W 2 = 16 lb unidos por una cuerda de masa despreciable y
deslizándose hacia abajo del plano inclinado a 30º. El coeficiente de fricción cinética entre W 1 y el plano inclinado es
0.10, entre W 2 y el plano es de 0.20. Suponga que el bloque de peso W 1 conduce:
a. Calcule la aceleración común de los bloques
b. La tensión de la cuerda
c. Describa el movimiento si los bloques se invierten
R: 11 ft/s2, b) 0.46 lbs
2.39P Una losa de 40 kg descansa sobre un puso sin fricción. Un bloque de 10 kg descansa a su vez sobre la losa
como en la fig. 2. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y la losa es de 0.60 mientras que el coeficiente de
fricción cinética es de 0.40. El bloque de 10 kg recibe la acción de una fuerza horizontal de 100N ¿Cuáles son las
aceleraciones resultante de:
a. el bloque? y
b. la losa?
R: a) 0.98 m/s2, b) 6.1 m/s2
3.40P Una caja se desliza hacia abajo por un canal inclinada y en ángulo recto como se muestra en la fig. 2 El
coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el material del canal es k. Halle la aceleración de la caja.
R:
Fuente: http://www.monografias.com/trabajos12/resni/resni.shtml#new
PROBLEMAS PROPUESTOS:
1) Determine la tensión en cada una de las cuerdas para
los sistemas descritos en la figura. (Desprecie la masa de
las cuerdas.)
2) Los sistemas que se muestran en la figura están en equilibrio. Si las balanzas de resorte están calibradas
en N, ¿cuál es la lectura en cada caso? (Desprecie la masa de las poleas y las cuerdas, y suponga que el plano
inclinado es liso.)
P1) Un bloque de 67 N reposa sobre el piso. a) ¿Qué fuerza ejerce el piso sobre el bloque? b) Si se ata una
cuerda al bloque y después se hace pasar sobre una polea hasta que el otro extremo se sujeta a un peso de 45
N que cuelga libremente, ¿cuál es la fuerza del piso sobre el bloque de 67 N? c) Si se reemplaza el peso de 45
N que se menciona en el inciso b) por un peso de 90N, ¿cuál es la fuerza del piso sobre el bloque de 67N?
P2) Un bloque resbala hacia abajo de un plano liso que tiene una inclinaci6n de  = 15º. Si el bloque parte
del reposo desde la parte superior del plano y la longitud del mismo es de 2 m, calcule a) la aceleración del
bloque y b) su rapidez cuando llega a la parte inferior.
Problemas 3,4,5
3) Se conectan dos masas de 3 kg y 5 kg por medio de una cuerda ligera que pasa sobre
una polea lisa, como se indica en la figura. Determine a) la tensión en la cuerda b) la
aceleración de cada masa y c) la distancia que recorre cada masa en el primer segundo del
movimiento, si parten del reposo.
4) A un bloque se le imprime una velocidad inicial de 5 m/s, hacia arriba de un plano inclinado que forma
un ángulo de 20º con la horizontal. ¿Hasta qué punto del plano inclinado llega el bloque antes de detenerse?
5) Se conectan dos masas por medio de una cuerda ligera que pasa sobre
una polea lisa, como se ve en la figura. Si el plano inclinado no tiene fricción
y si m = 2 kg, M = 6 kg, y  = 55º, calcule a) la aceleración de las masas, b)
la tensión en la cuerda y c) la rapidez de cada masa 2 s después de que se
sueltan a partir del reposo.
P3) Una masa de 50 kg cuelga de una cuerda que mide 5 m de longitud y está sujeta al techo. ¿Qué fuerza
horizontal aplicada a la masa la desviará lateralmente 1 m a partir de la posición vertical y la conservará en
esa posición?
Problemas 6,7,8,9
6) Dos masas, m y M, situadas sobre una superficie horizontal y sin fricción, se conectan por medio de una
cuerda ligera. Sobre una de las masas se ejerce una fuerza, F, hacia la derecha. Determine la aceleración del
sistema y la tensión T en la cuerda.
7) Un bloque se mueve hacia arriba de un plano indicado a 45º, con rapidez constante, bajo la acción de una
fuerza de 15 N aplicada en forma paralela al plano. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0.3, determine
a) el peso del bloque y b) la fuerza mínima requerida para hacer que el bloque se mueva hacia abajo del plano
con rapidez constante.
8) El coeficiente de rozamiento estático entre un bloque de 4 kg y una superficie horizontal es 0.3. ¿Cuál es
la fuerza horizontal máxima que se puede aplicar al bloque antes de que empiece a resbalar?
9) Un bloque de 20 kg está inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal áspera. Se requiere una
fuerza horizontal de 75 N para hacer que el bloque se ponga en movimiento. Una vez que se encuentra en
movimiento, se requiere una fuerza horizontal de 60 N para mantenerlo en movimiento con rapidez
constante. Calcule los coeficientes de rozamiento estático y cinético, a partir de esta información.
P4) Un automóvil de carreras se acelera uniformemente desde 0 hasta 80 km/h en 8 s. La fuerza externa
que acelera al automóvil es la fuerza de rozamiento entre los neumáticos y el piso. Si los neumáticos no
giran, determine el coeficiente mínimo de rozamiento entre los neumáticos y el piso.
P5) En un juego de tejo, a un disco se le imprime una rapidez inicial de 5 m/s; el disco recorre una distancia
de 8 m antes de quedar en reposo. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético entre el disco y la
superficie?
P6) Un automóvil se está moviendo a 50 km/h, sobre una carretera horizontal. a) Si el coeficiente de
rozamiento entre el piso y los neumáticos, en un día lluvioso, es 0. 1, ¿cuál es la distancia mínima en la que
el automóvil se detendrá? b) ¿Cuál es la distancia recorrida cuando la superficie está seca  = 0.6 c) ¿Por qué
debe evitarse oprimir de golpe los frenos si se desea detenerlo en la distancia más corta?
Problemas 10,11
10) Dos bloques conectados por medio de una cuerda ligera están siendo arrastrados por medio de una
fuerza horizontal F. Suponga que F = 50 N, m = 10 kg, M = 20 kg, y el coeficiente de rozamiento cinético
entre cada bloque y la superficie es 0. 1. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre de cada bloque. b) Determine
la tensión, T, y la aceleración del sistema.
11) Un bloque resbala sobre un plano inclinado áspero. El coeficiente de rozamiento cinético entre el
bloque y el plano es  .a)Si el bloque se acelera hacia abajo del plano inclinado, demuestre que la aceleración
del mismo está dada por a = g (sen -  cos ). b) Si el bloque se proyecta hacia arriba del plano, demuestre
que su desaceleración es a = -g (sen  +  cos ).
P7) Un bloque de 3 kg parte del reposo desde la parte superior de un plano inclinado a 30º y resbala una
distancia de 2 m hacia abajo del plano, en 1.5 s. Calcule a) la aceleración del bloque, b) el coeficiente de
rozamiento cinético entre el bloque y el plano, e) la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque y d) la
rapidez del bloque después que ha resbalado 2 m.
P8) Con el fin de determinar los coeficientes de rozamiento entre el caucho y diversas superficies, un
estudiante utiliza un bloque de caucho y un plano inclinado. En uno de los experimentos, el bloque resbala
hacia abajo del plano cuando el ángulo de inclinación es de 36º y después se mueve hacia abajo con rapidez
constante cuando el ángulo se reduce hasta 30º. A partir de estos datos, determine los coeficientes de
rozamiento estático y cinético para este experimento.
Problemas 12,13,14,15
12) Dos masas están conectadas por medio de una cuerda ligera que pasa
sobre una polea lisa, como se ve en la figura. El plano inclinado es áspero.
Cuando m = 3 kg, M = 10 kg, y  = 0.6, la masa de 10 kg se acerca hacia
abajo del plano a 2 m/s2. Calcule a) la tensión en la cuerda y b) el coeficiente
de rozamiento cinético entre la masa de 10 kg y el plano.
13) Se observa que el sistema descrito en la figura tiene una aceleración de
1.5 m/s2, cuando los planos inclinados son ásperos. Suponga que los
coeficientes de rozamiento cinético entre cada bloque y los planos
inclinados son los mismos. Halle a) el coeficiente de rozamiento cinético y
b) la tensión en la cuerda.
14) Se coloca un bloque de 2 kg arriba de un bloque de 5 kg, como se
indica en la figura. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque
de 5 kg y la superficie es 0.2. Se aplica una fuerza horizontal F al bloque
de 5 kg. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre de cada bloque. ¿Qué
fuerza acelera al bloque de 2 kg? b) Calcule la fuerza necesaria para tirar
de los bloques hacia la derecha con una aceleración de 3 m/s2. c) Halle el
coeficiente mínimo de rozamiento estático entre los bloques, de modo
que el bloque de 2 kg no resbale bajo una aceleración de 3 m/s2.
15) Tres bloques están en contacto uno con otro, sobre una superficie
horizontal lisa, como se ilustra en la figura. Se aplica una fuerza horizontal
F a m1. Si m1 = 2 kg, m2, = 3 kg, m3 = 4 kg, y F = 18 N, determine a) la
aceleración de los bloques, b) la fuerza resultante sobre cada uno de ellos y
c) la magnitud de las fuerzas de contacto entre ellos.
P9) Una caja reposa sobre la parte posterior de un camión. El coeficiente de rozamiento estático entre la
caja y la superficie es 0.3. a) Cuando el camión se acelera, ¿qué fuerza acelera la caja? b) Calcule la
aceleración máxima que puede aplicarse al camión antes de que la caja resbale.
P10) Un bloque se desliza hacia abajo de un plano inclinado a 30º con aceleración constante. El bloque
parte del reposo desde arriba y recorre 18 m hasta abajo, en donde su rapidez es de 3 m/s. Determine a) el
coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano inclinado y b) la aceleración del bloque.
P11) Un automóvil se mueve con una velocidad vo hacia abajo de una carretera que tiene un ángulo de
inclinación  . El coeficiente de rozamiento entre el automóvil y la carretera es  . El conductor aplica los
frenos en cierto instante. Suponiendo que los neumáticos no patinan y que la fuerza de fricción es máxima,
halle a) la desaceleración del automóvil, b) la distancia que recorrerá antes de quedar en reposo, una vez que
se aplican los frenos y c) los resultados numéricos de la desaceleración y la distancia recorrida si vo = 60
km/h,  = 10º, y  = 0.6.
P12) Repita el problema 15, suponiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre los bloques y la
superficie es 0. 1.
Ir al principio
Problemas 16,17,18,19
16) En la figura, el coeficiente de rozamiento cinético entre los
bloques de 2 kg y 3 kg es 0.3. La superficie horizontal y las poleas son
lisas. a) Trace los diagrarnas de cuepo libre de cada bloque. b)
Determine la aceleración de cada uno de ellos. c) Halle la tensión en las
cuerdas.
17) Se aplica una fuerza horizontal F a una polea sin fricción cuya masa es
m2 como si indica en la figura. La superficie horizontal es lisa. a) Demuestre
que la aceleración del bloque de masa m, es el doble de la aceleración de la
polea. Calcule b) la aceleración de la polea y la del bloque y c) la tensión en
la cuerda
18) Un bloque de 5 kg se coloca arriba de un bloque de 10 kg. Se aplica
una fuerza horizontal de 45 N al bloque de 10 kg, en tanto que el bloque
de 5 kg se ata a la pared. El coeficiente de rozamiento cinético entre las
superficies en movimiento es 0.2. a) Trace un diagrama de cuerpo libre a
cada bloque e identifique las fuerzas de acción-reacción entre ellos. b)
Determine la tensión en la cuerda y la aceleración del bloque de 10 kg.
19) Los tres bloques de la figura están conectados por
medio de cuerdas ligeras que pasan sobre poleas sin
fricción. La aceleración del sistema es 2 m/s2 y las
superficies son ásperas. Calcule a) las tensiones en las
cuerdas y b) el coeficiente de rozamiento cinético entre los
bloques y las superficies. (Suponga la misma  para ambos
bloques.)
P11) Un bloque de masa m está sobre un plano inclinado áspero cuyo ángulo es  . a) ¿Cuál es la fuerza
horizontal máxima que puede aplicarse al bloque antes de que resbale hacia arriba del plano? b)¿Qué fuerza
horizontal hará que el bloque se mueva hacia arriba del plano con una aceleración a? Tome los coeficientes
de rozamiento estático y cinético como  s, y  k, respectivamente.
P12) Una bola de boliche sujeta a una balanza de resorte se suspende del techo de un elevador. La lectura en
la balanza es de 71.2 N, cuando el elevador está en reposo. a) ¿Cuál será la lectura en la balanza si el
elevador se acelera hacia arriba a 2.4 m/s2 b) ¿Cuál será la lectura si el elevador se acelera hacia abajo 2.4
m/s2? c) Si la cuerda que sostiene a la bola puede soportar una tensión máxima de 111N y se desprecia el
peso de la balanza, ¿cuál es la aceleración máxima que puede tener el elevador antes de que la cuerda se
rompa? d) Si el peso de la balanza es de 22 N, ¿qué cuerda se rompe primero? ¿Por qué?
P13) ¿Qué fuerza horizontal debe aplicarse a la carretilla de la figura
para que los bloques permanezcan estacionarios con relación a la
misma? Suponga que todas las superficies, ruedas y polea son lisas.
(Sugerencia: Observe que la tensión en la cuerda acelera a m1.)
P14) Dos bloques que se encuentran sobre un plano inclinado
áspero están conectados por medio de una cuerda ligera que pasa
sobre una polea sin fricción, como se ilustra en la figura.
Suponiendo que m1>m2 y tomando el coeficiente de rozamiento
cinético para cada bloque como  , determine expresiones para a)
la aceleración de los bloques y b) la tensión en la cuerda.
(Suponga que el sistema está en movimiento.)
P15) Un niño ingenioso llamado Luis desea alcanzar una manzana que está
en un árbol, sin tener que subirse a él. Sentado en una silla conectada a una
cuerda que pasa sobre una polea sin fricción (Luis tira del extremo suelto de
la cuerda con una fuerza tal que la balanza de resorte proporciona una
lectura de 267 N. El peso verdadero de Luis es de 285 N y la silla pesa 142
N. a) Trace los diagramas de cuerpo libre de Luis y la silla, considerados
como sistemas separados, y otro diagrama de Luis y la silla, considerados
como un sistema. b) Demuestre que la aceleración del sistema es hacia
arriba y encuentre su magnitud. c) Halle la fuerza que el niño ejerce sobre
la silla.
P16) Un bloque de masa m está en reposo sobre la cara inclinada y
áspera de una cuña de masa M, según se indica en la figura. La cuña
puede moverse libremente sobre una superficie horizontal y sin
fricción. Se aplica una fuerza horizontal F a la cuña, de modo que el
bloqueo queda a punto de resbalar hacia arriba del plano inclinado*.
Si el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la cuña es tt,
calcule a) la aceleración del sistema y b) la fuerza horizontal
necesaria para producir esta aceleración
Fuente: http://nti.educa.rcanaria.es/fisica/ejerdinp.htm#top
2.3 APLICACIONES A MOVIMIENTO RECTILINEO
Aplicación practica de la ecuación fundamental de la dinámica.
La segunda ley de Newton establece que la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al
producto de su masa por su aceleración.
Teniendo esta afirmación en cuenta consideramos como ejemplo, a un hombre de masa m que está de pie
sobre una báscula den un ascensor que sube con una aceleración a.
En este ejemplo se quiere estudiar el movimiento del hombre porque conocemos su masa, los cuerpos
vecinos que ejercen sobre el cuerpo diferentes fuerzas como las fuerzas de contacto que ejerce la báscula
perpendicularmente a la superficie de apoyo (los pies) y las fuerza a distancia que debido a la acción
gravitatoria de la Tierra seria el peso. La fuerza de contacto mencionada se trata de una fuerza vertical hacia
arriba que recibe el nombre de reacción normal representada por N.
Se realiza un diagrama de fuerzas que se aplican todas sobre un mismo punto del cuerpo:
R= fuerza resultante
N= reacción normal
P= peso= masa* gravedad= Mg.
Fórmula
R= N-Mg.
Y aplicando la segunda ley de Newton, obtenemos : ΣFi = ma
N-mg = ma
N = m (g+a)
Donde la fuerza N es ejercida por la bascula sobre el hombre, la reacción F es la fuerza que ejerce el hombre
sobre la bascula que coincide con lo que marca la báscula.
2. Movimiento rectilíneo por la acción de fuerzas constantes.
Movimiento sobre un plano horizontal liso
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sin tener en cuenta la fuerza de rozamiento que se supone
despreciable, son: la fuerza aplicada F ,su peso mg y la fuerza de reacción normal del plano N.
La fuerza F en dirección horizontal produce una aceleración al cuerpo:
Fi = m·ax
Para que el cuerpo solo lleve la dirección horizontal las otras dos fuerzas N y P deben ser iguales de manera
que :
N = m·g
aunque no siempre la reacción normal es igual al peso por ejemplo, cuando la fuerza que se aplica al cuerpo
forma un ángulo α con la horizontal, entonces:
Fx = F cos α
y
Fy =F sen α
Pero como la fuerza vertical tiene que valer cero, queda:
N= mg- F sen α
En este caso la fuerza responsable de la aceleración es Fx = F cos α:
F cos α = m·a
•Movimiento sobre un plano inclinado liso
Un cuerpo situado sobre un plano inclinado sin rozamiento desciende sin necesidad de empujarlo, por eso si
queremos que ascienda o que permanezca en reposo debemos aplicarle una fuerza.
En el primer caso actúan la reacción normal del plano y el peso que se descompone en dos ejes de la
siguiente manera:
Px= mg sen α
Py = mg cos α
Donde en la dirección del eje y se cumple:
ΣFy = 0 = N – mg cos α = N - Py
y en la dirección del eje x actúa al fuerza productora de al aceleración:
Px = mg sen α = max
Ahora consideramos un cuerpo de masa m que se lanza hacia arriba por un plano inclinado que forma un
ángulo α con la horizontal. Queremos saber el espacio recorrido por el cuerpo antes de que se detenga. Para
ello debemos realizar un diagrama de fuerzas en el que sólo aparecen las fuerzas que actúan
permanentemente sobre cuerpo durante el movimiento:
Fx = - mg sen α = max
x = - g sen α
la fuerza resultante Fx resulta hacia abajo y sólo queda aplicar las ecuaciones cinemáticas del mrua con V =
0.
e = ( V2 – V1 ) / (2 ax ) = V20 / (2g sen α)
Fuente:
http://platea.cnice.mecd.es/~pmarti1/educacion/glosario/aplicaciones_dinamica/aplicaciones_dinamica.htm
2.5 MOMENTO DE UNA FUERZA
ELEMENTOS TEÓRICOS.
7.2.1. Las figuras 98a y 98b nos muestran una vista frontal de la hélice de un avión en la cual estan actuando dos fuerzas opuestas
y
(igual magnitud, igual dirección y sentido opuesto), en dos situaciones diferentes.
FIGURA 98.
En ambas sitaciones la suma de las fuerzas que actuan sobre el sólido rígido es igual al vector nulo, sin embargo en la primera el
cuerpo está en equilibrio, mientras que en la segunda no hay equilibrio rotacional, puesto que la hélice rotaria alrededor del eje O
en el sentido de las manecillas del reloj, debido al momento que generan las dos fuerzas en su nueva posición.
Es importante señalar en consecuencia que, considerado como vector libre,
es el mismo vector en ambas situaciones, puesto
que lo podemos aplicar en cualquier punto del espacio manteniendo la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido;
pero la realidad física que representan ambas situaciones es bien distinta como lo acabamos de anotar.
Las situaciones descritas nos muestran la necesidad de manejar con sumo cuidado los objetos matemáticos, cuando los utilizamos
para describir propiedades físicas, porque las propiedades asociadas al objeto matemático no tienen necesariamente una
equivalencia en los fenómenos físicos reales. El caso particualr que es objeto de estudio nos lleva a la necesidad de caracterizar un
nuevo vector que permita describir adecuadamente la situación física planteada. este vector se denomina vector deslizante y
pasaremos a continuación a determinarlo.
7.2.2. El vector deslizante.
En la caracterización del vector libre tenemos un segmento rectilíneo orientado el cual esta dotado de magnitud, dirección y sentido,
entendiendose la dirección como la clase de equivalencia asociada a la relación de paralelismo; bajo esta concepción todos los
vectores situados sobre la misma recta ó en rectas distintas y paralelas tienen la misma dirección; y en consecuencia si dos vectores
situados en rectas distintas pero paralelas tienen el mismo sentido y la misma magnitud, son iguales.
Vamos a restringir ahora el concepto general en la dirección y planteamos la siguiente definición, como en su momento restringimos
también la definición general para definir los vectores de posición o vectores ligados a un origen determinado.
7.2.2.1. DEFINICIÓN: VECTOR DESLIZANTE SOBRE UNA RECTA DADA L.
Sea L una recta dada.
i. A todo segmento orientado determinado sobre L, y únicamente a este, lo llamaremos vector deslizante sobre L. De L diremos que
es la linea de acción del vector.
ii.De todo segmento nulo determinado sobre L, diremos que es un vector deslizante nulo.
Notación:
Sean A, B
L. El vector deslizante de origen A y extremo en B lo notaremos
7.2.2.2. CARACTERISTICAS DEL VECTOR DESLIZANTE SOBRE LA RECTA L.
Dado un vector deslizante sobre L, identificamos tres caracteristicas inherentes a él así:


Magnitud: Es la medida del segmento orientado, en términos de las unidades previamente convenidas.
Dirección: Esta asociada únicamente a la dirección de la recta L. De dos vectores deslizantes diremos que tienen la misma
dirección únicamente si están determinados sobre la misma recta.
Sentido: Toda dirección supone la existencia de dos sentidos que los designamos opuestos entre si. (Es el mismo concepto
formulado para el vector libre).

7.2.2.3. DEFINICIÓN. IGUALDAD ENTRE VECTORES DESLIZANTES.
Dos vectores delizantes son iguales si y sólo si tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido.
Observaciones.
1. La igualdad definida entre vectores deslizantes requiere, para su establecimiento, que los vectores esten determinados sobre la
misma recta.
2. La caracterización del vector deslizante y la definición de igualdad, permite afirmar que los infinitos segmentos nulos que se
pueden determinar sobre una recta dada (Conjuntos unitarios de un solo punto) son iguales y ésta solo puede darse, entre los
vectores nulos de una misma recta.
3. Dado un vector deslizante
tal que
, si P
L, entonces con origen en P podemos, por la definición de igualdad, determinar un vector
Del vector
diremos que es una "aplicación" del vector
cualquier punto de L podemos construir un vector con origen en él, igual al vector
comporta como si el vector
en el punto P. En esta forma en
. Esta posibilidad crea un modelo que se
se "deslizara" sobre su linea de acción y de ahí el nombre de vector deslizante.
FIGURA 99.
En la figura 99, los vectores
,
,
son "aplicaciones" del vector
en sus respectivos puntos de origen.
Ilustración 1.
Para lograr una mejor comprensión de éste último concepto, como también sus relaciones en términos generales con el vector libre,
proponemos a continuación las siguientes situaciones.
Sean:
i.
L1
L2
L3
rectas
ii.
A,
iii.
iv. P, D, G, K, U
distintas,
H,
L3
L
L
L
L
B,
R,
como
se
Q,
F,
indica
en
la
S
M,
figura
100.
L1
T
L2
FIGURA 100.
1. Analicemos las siguientes parejas de vectores, de acuerdo a sus caracteristicas fundamentales (magnitud, dirección y sentido), en
sus contextos propios.

y
sentido.

y

y
opuestos.

y

: Estos vectores deslizantes con linea de acción L1 tienen distinta magnitud, la misma dirección y el mismo
: Estos vectores libres tienen distinta magnitud, la misma dirección y el mismo sentido.
: Estos vectores deslizantes con linea de acción L2 tienen distinta magnitud, la misma dirección y sentidos
: Estos vectores libres tienen distinta magnitud, la misma dirección y sentidos opuestos.
y
: Estos vectores deslizantes, con linea de acción L3 tienen la misma magnitud, la misma dirección y el
mismo sentido, en consecuencia

y
: Estos vectores libres tienen la misma magnitud, dirección y sentido y en consecuencia
2. Determinemos de las siguientes proposiciones cuales son verdaderas y cuales son falsas, justificando adecuadamente la
afirmación respectiva.
1).
2).
3).
4).
5).
6).
y
tienen
y
la
tienen
y
la
tienen
y
misma
tienen
misma
sentidos
sentidos
dirección.
dirección.
opuestos.
opuestos.
7).
.
8).
.
9).
y
son
vectores
opuestos.
10).
.
11).
.
12).
.
13).
y
tienen
distinta
dirección.
14).
y
tienen
sentidos
opuestos.
15).
y
tienen
distinta
dirección.
16).
y
tienen
sentidos
opuestos.
17).
18).
Veamos las respuestas para algunas de ellas; las demás se dejan para ser resueltas por el lector.








La proposición 1). es verdadera por la igualdad entre vectores geométricos.
La proposición 2). es falsa por la igualdad entre vectores deslizantes.
La proposición 3). es verdadera por la definición de dirección entre vectores libres.
La proposición 4). es falsa por la definición de dirección entre vectores deslizantes.
La proposición 5). es verdadera por la definición de sentido entre vectores libres.
La proposición 6). es falsa, puesto que solo son comparables en el sentido. dos ectores deslizantes que tengan la misma
dirección.
La proposición 10). es verdadera por la igualdad entre vectores libres.
La proposición 11). es falsa por la igualdad entre vectores deslizantes.
Convenciones:
i. Designaremos por
; el conjunto de todos los vectores deslizantes con linea de acción en la recta L.
ii. Designaremos también mediante letras minúsculas latinas con el correspondiente subindice, los elementos de
, así:
designan vectores deslizantes en L.
iii. . Designamos por
un vector nulo deslizante en L.
7.2.2.4. OPERACIONES EN EL CONJUNTO
.
7.2.2.4.1. DEFINICIÓN: SUMA.
Sean
.
Si en el extremo de
vector suma de
aplicamos el vector
y
, el vector origen en el origen de
y lo notamos
En la figura 101 podemos observar la operación descrita.
y extremo en el extremo de
lo llamaremos el
FIGURA 101.
7.2.2.4.2. DEFINICIÓN: VECTOR DESLIZANTE OPUESTO.
Sea
.
Existe un vector deslizante en L con la misma magnitud y el sentido opuesto al de
Este vector lo llamaremos opuesto de
lo notamos
Consecuencias.
i. Si
ii. Si
., entonces,
, su opuesto es el vector
y por tanto
iii.
Observaciones.
1. La suma es una operación binaria en el conjunto
2. Es inmediatamente verificable que
, constituyendose el sistema
es un grupo Abeliano.
7.2.2.4.3. DEFINICIÓN: DIFERENCIA.
Sean
.
Esto es, como ocurre en todos los grupos aditivos, la diferencia es un caso particular de la suma.
En la figura 102 podemos observar la operación descrita.
y
FIGURA 102.
7.2.2.4.4. DEFINICIÓN: PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR DESLIZANTE.
Sean
,
.
Definimos un vector deslizante con linea de acción en L, y lo designamos
.
ó
, con las siguientes caracteristicas:
i.
ii.
.
iii. Si
tiene el mismo sentido de
Si
tiene
el
sentido
opuesto
al
de
Si
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN REAL POR UN VECTOR DESLIZANTE.
Sean
L,
.
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
1).
2).
3).
4).
(
5).
6).
Observaciones.
1. El producto de un real por un vector deslizante corresponde a una ley de composición externa.
2. El conjunto
con las operaciones definidas, es un espacio vectorial real.
3. Como puede concluirse de las estructuras anteriores, el conjunto de los vectores deslizantes con sus propiedades se obtiene de
restringir las nociones generales del vector libre en el espacio, a su determinación y operación en una recta.
7.2.3. Con el vector deslizante como herramienta matemática ya caracterizada, vamos ahora a revisar algunos elementos físicos
importantes que se apoyan en este objeto.
PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD. FUERZAS EQUIVALENTES.
El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o movimiento de un sólido rígido permanecerán
inalterables si una fuerza
, ejercida sobre un punto dado, se reemplaza por otra fuerza
de igual magnitud, dirección y sentido,
que actua sobre un punto diferente, siempre que las fuerzas tengan la misma linea de acción. Las dos fuerzas
y
tienen el
mismo efecto sobre el sólido rígido y se dice que son equivalentes Este principio se basa en la experiencia. No puede obtenerse a
partir de las propiedades establecidas hasta ahora y debe aceptarse, por tanto como una ley experimental.
El principio físico anterior nos permite afirmar que las fuerzas que actuan sobre un sólido rígido, estan asociados al modelo
geométrico de los son vectores deslizantes y por tanto en adelante su tratamiento algebráico; corresponderá a este tipo de vector
en los problemas físicos donde ellas se presenten.
En la figura 103 mostramos dos fuerzas opuestas
y
(deslizantes) y se indican distintas fuerzas equivalentes actuando sobre
una barra rígida, y como por el principio de transmisibilidad, sus efectos son equivalentes.
FIGURA 103.
Debemos anotar desde luego que el principio de transmisibilidad y el concepto de fuerzas equivalentes tiene limitaciones, así por
ejemplo en la primera posición de la figura 102, las fuerzas actuantes, dependiendo de su magnitud y del tipo de material de la
barra, podrían producir una elongación de ésta, en tanto que en la segunda posición podrian generar una compresión de la misma;
alterando la estructura del sólido. Sinembargo en las aplicaciones que desarrollaremos, asumiremos condiciones ideales que no
generan ninguna deformación en los cuerpos analizados.
Regresando al problema inicial de las fuerzas actuando sobre la hélice, podemos entender que ahora las situaciones generadas son
distintas porque la fuerza
linea de acción.
en la primera aplicación no es equivalente a
en la segunda aplicación puesto que se cambió la
De lo anteriormente expuesto queda implícito en consecuencia, que las fuerzas que actuan sobre un sólido rígido se representarán y
operaran como vectores deslizantes.
MOMENTO O TORQUE DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO.
Sean:
Una fuerza que está aplicada en un punto A de un sólido rígido como se indica en la figura 104.
Un
punto
del
sólido
alrededor
del
cual
éste
puede
rotar.
El vector de posición de A, tomando como origen el punto O.
FIGURA 104.
Se define el momento o torque de la fuerza
con respecto al punto O y se designa por
como:
Observaciones:
1. El simbolo < class="large3">
corresponde a una letra del alfabeto griega y se lee tao, también se designa el momento con
respecto al punto O por
2. De la definición del producto vectorial se derivan las siguientes consecuencias que se pueden observar en las figuras 105 y 106.
FIGURA 105.
7.3.1. MAGNITUD DE
, siendo
el ángulo que determinan los dos vectores cuando los aplicamos en un mismo punto; observemos
que no necesariamente, el ángulo determinado entre el vector
y la aplicación de
en su extremo que corresponde realmente a
su suplemento pero que, erróneamente, en muchas ocasiones se toma como el ángulo entre los dos vectores.
FIGURA 106.
Vemos que en el
rectángulo, donde OH representa la distancia del punto O a la linea de acción de
y por lo tanto se tiene tambien que:
a la distancia OH se le denomina brazo de palanca, y una
consecuencia inmediata de la expresión anterior es que la magnitud del torque de la fuerza
aplicación de ésta sobre su línea de acción, puesto que la distancia de O a la recta es constante.
Remitiendonos de nuevo a la ecuación inicial para
descomponer la fuerza
es independiente del punto de
podemos establecer otra interpretación interesante que se origina al
en dos componentes rectangulares así: una componente paralela al vector
perpendicular a éste; que designamos respectivamente por
, que
y
como podemos observar en la figura 107.
y otra componente
FIGURA 107.
Se tienen en consecuencia las siguientes expresiones para
Cada expresión puede ser de mayor o menor utilidad, dependiendo de los datos específicos del problema a estudiar.
Anotemos finalmente que las unidades en las que se expresa la magnitud del torque, en el sistema MKSC corresponde al producto
Newton.metro. Recordando algo anteriormente visto, tenemos que, en el mismo sistema, el trabajo también se expresa en este
mismo producto, designando como Joule la unidad para el trabajo. No obstante utilizaremos el Joule únicamente para las unidades
del trabajo y en el caso del torque los designamos explicitamente como Newton.metro. Mas adelante daremos una explicación
detallada del significado del torque.
7.3.2. DIRECCIÓN DE
y
y por lo tanto es perpendicular al plano que determinan los vectores
consecuencia la recta de acción de
y
cuando ellos no son paralelos. En
representa el eje respecto al cual tiende a girar el cuerpo cuando está sujetó en O y se le
aplica la fuerza
7.3.3. SENTIDO DE
El sentido de
está indicado por la regla de la mano derecha, como lo estudiamos en la definición del producto vectorial. Para el
caso de la situación analizada el vector
está "entrando" al plano determinado por
y 107; esta regla nos indica además el sentido del giro que la fuerza
determinado por la línea de acción de
y que pasa por O.
y
como lo indicamos en la figura 105, 106
tiende a imprimir al sólido rígido, alrededor de un eje
En este caso el sentido del giro es horario y por convención lo indicaremos con el simbolo
asignandole signo negativo al módulo de
como se indica en la figura 108,
en caso contrario si el sentido es antihorario lo indicaremos con el simbolo
asignandole signo positivo al módulo de
FIGURA 108.
Esta caracterización de
la magnitud de
punto O fijo.
nos permite, por último comprender cabalmente el significado de este objeto físico que resumiremos así:
mide la tendencia de la fuerza
a imprimir al sólido rígido un movimiento de rotación cuando el cuerpo tiene el
7.3.4. Como ya fué observado previamente, el momento
de una fuerza respecto a un punto, no depende de la situación real del
punto de aplicación de la fuerza a lo largo de su linea de acción (recordemos que la fuerza corresponde a un vector deslizante).
Recíprocamente el momento
Sin embargo, el momento
acción de
de una fuerza no determina la posición del punto de aplicación de la misma.
de una fuerza
de magnitud, dirección y sentidos dados, determina completamente la recta de
. En efecto, la recta de acción de
distancia de la recta al punto O es igual al cociente
lado de O se determina la recta.
se encuentra en un plano perpendicular al vector
además el sentido de
y que pasa por O; y la
y el signo asignado nos permite precisar a que
Podemos plantear además una nueva expresión para el principio de transmisibilidad, como consecuencia de todo lo anterior, en los
siguientes términos: Dos fuerzas
y
dado O. Esto lo podemos simbolizar así,
son equivalentes, si y sólo si, son iguales y tienen momentos iguales respecto a un punto
y
son equivalentes si y sólo si
y
COMPONENTES RECTÁNGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA.
En general la determinación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica notablemente si se procede a la descomposición
en sus componentes rectángulares en los ejes coordenados, para el vector de posición del punto de aplicación de la fuerza, y de
ésta respectivamente. Consideremos el momento
de una fuerza
de componentes
respectivamente como se
indica en la figura 110 y cuyo punto de aplicación corresponde a P
FIGURA 110.
Se tiene por lo tanto que:
y en consecuencia
Donde los escalares
,
y
de
, indican la tendencia de la fuerza
alrededor de los ejes coordenados en su respectivo orden.
Calculemos a su vez las componentes de
a imprimir a un sólido rígido un movimiento de rotación
esto significa que:
Destaquemos aquí una aplicación importante que corresponde al caso de fuerzas coplanarias. En este caso podemos asumir que la
fuerza
está contenida en el plano
Al sustituir estos valores en la ecuación
como se indica en la figura 109 y en consecuencia
y
y
se tiene
que corresponde a un vector perpendicular al plano
por lo tanto
como se esperaba.
Finalmente queremos resaltar, para esta situación, dos elementos importantes.
1. Un valor positivo de
indica que el vector
apunta "hacia afuera del plano" (la fuerza
tiende a hacer girar el cuerpo en
sentido contrario al de las agujas del reloj alrededor de O), y un valor negativo indica que el vector
plano (la fuerza
2. Si P
apunta hacia adentro del
tiende a hacer girar el sólido en sentido de las agujas del reloj alrededor de O).
designa un punto de cualquiera de la línea de acción de la fuerza
ecuación de dicha recta:
o en forma equivalente
, entonces la ecuación
nos representa la
FIGURA 111.
Ilustración 2.
En la figura 112 se tiene una fuerza
en el plano
de magnitud igual a 15N que se aplica a un cuerpo en un punto A. La fuerza está contenida
y forma un ángulo de 50º con el semieje
. El vector de posición
forma un ángulo de 25º con respecto al semieje
y su magnitud es igual a 80cm.
Calcular el torque de la fuerza respecto al punto O y la ecuación de la línea de acción de ésta.
FIGURA 112.
Solución.
Podemos utilizar dos procedimientos diferentes así:
En el primero procedemos a la determinación de las componentes rectángulares de
y
respectivamente.
esto es
Lo que indica que la rotación alrededor de O tiene sentido antihorario es decir
Ahora la ecuación de la linea de acción de
está "saliendo del plano
, se obtiene, considerando un punto genérico P
o también
En la segunda forma, recurrimos a la definición de la magnitud
como podemos observar en la figura 113 tenemos:
".
perteneciente a ella, como:
FIGURA 113.
(¿Porqué?).
Luego
, con el signo positivo de acuerdo al sentido del producto vectorial (regla de la mano derecha).
Ilustración 3.
Determine la fuerza resultante, el torque resultante respecto al punto O y la ecuación de la linea de acción de la fuerza resultante,
para el sistema de fuerzas coplanarias que se indica en la figura 114, siendo las magnitudes de las fuerzas:
y la longitud de cada cuadrícula es igual a 10cm.
FIGURA 114.
Solución.
Expresemos inicialmente cada fuerza, en sus componentes rectangulares.
(¿Porqué?)
(¿Porqué?)
Luego,
en consecuencia
y
¿Corresponde el sistema anterior a un sistema de fuerzas concurrentes?. Justifique su afirmación.
Determinemos a continuación, las componentes rectangulares de cada vector de posición para el punto de aplicación de cada
fuerza.
Calculemos ahora el torque de cada fuerza, respecto al punto O.
Por lo tanto el torque resultante
es:
esto es
de O tiene sentido antihorario, es decir que
lo cual nos indica que la rotación alrededor
está "saliendo del plano
La ecuación de la línea de acción de la fuerza resultante es:
, correspondiendo a:
y en consecuencia
Si E(0.2, 0.3) entonces, ¿es E un punto de la linea de acción de
Grafique la recta anterior.
?
".
¿Se cumple que
Justifique su respuesta.
Ilustración 4.
Hallar el momento respecto al origen de una fuerza
en la cual sus componentes estan dadas en Newtons,
cuando se aplica en un punto A; asumiendo que el vector de posición de A es:
a.
b.
c.
donde todas las componentes estan expresadas en metros.
Determine en cada caso, la ecuación de la línea de acción de
Solución.
Resolvamos el primer caso.
, donde cada componente está expresada en
Si P
es un punto cualquiera de la línea de acción de
luego
se cumple:
¿Porqué?.
y en consecuencia se tiene:
Ecuaciones paramétricas de la linea de acción de
Ilustración 5.
Una fuerza
de 50 Kgf actua en una esquina de una placa y en el mismo plano de ésta como se indica en la figura 115. Halle el
momento de esta fuerza respecto al punto A en las siguientes formas:
a.
b.
Empleando
Descomponiendo
la
fuerza
la
en
c. Descomponiendo la fuerza en componentes paralela a
componentes
y perpendicular a
definición.
paralelas
a
y
.
respectivamente.
FIGURA 115.
Solución.
Aplicando la definición, tenemos incialmente que
determinado entre
y
luego
siendo
como se indica en la figura 116.
FIGURA 116.
Podemos observar que
Luego
, por tanto
¿Porqué?.
el ángulo
Puede verificarse que el vector
punto A.
está "saliendo del plano de la placa" y genera una rotación en sentido antihorario alrededor del
Dejamos al lector el desarrollo del literal b.
Evaluemos el torque mediante la forma sugerida en el literal c; para ello utilizamos la figura 117.
FIGURA 117.
Descomponemos a
en dos componentes con las caracteristicas solicitadas que designamos por
partiendo de la definición tenemos:
como
y
respectivamente, y
(¿Porqué?), entonces
y en consecuencia:
Ilustración 6.
Se aplica una fuerza vertical
118.
de 150 Kgrf al extremo de una palanca que está unida a un eje en O como se indica en la figura
Halle:
a. El momento de
respecto al punto O.
b. La magnitud de una fuerza horizontal aplicada en A, que produce el mismo momento anterior, respecto a O.
c. La fuerza mas pequeña que aplicada en A crea el mismo momento anterior respecto a O.
d. A que distancia del eje debe actuar una fuerza vertical
de 250 Kgrf para producir el mismo momento anterior, respecto a O.
FIGURA 118.
Solución.
Tenemos inicialmente que
, luego
(¿Porqué?) como se indica en la figura 119.
FIGURA 119.
donde
, en consecuencia
y el vector
rotación en sentido horario alrededor del punto O.
Designemos por
y
está entrando al plano que contiene a la palanca y a
, generando una
la fuerza horizontal que aplicada en A, produce el mismo momento, entonces se cumple que
como se indica en la figura 120.
FIGURA 120.
con
en consecuencia
¿Qué ocurre si en lugar de la fuerza
y
se toma su opuesta?.
¿Variaría el resultado?. Analice y justifique su respuesta.
Determinemos ahora la fuerza mínima que aplicada en A, genera el mismo momento. Para ello analicemos cada término de la
ecuación básica:
, despejando
, como
y
tenemos:
son constantes en este caso, el valor mínimo de
denominador alcanza su valor máximo y esto sucede cuando
fuerza mínima que designamos por
es perpendicular a
correspondiendo al ángulo
se obtiene cuando el
En consecuencia la
como se indica en la figura 119 y su valor corresponde a:
¿Qué ocurre si en lugar de la fuerza
se toma su opuesta?.
¿Variaría el resultado?. Analice y justifique su respuesta.
FIGURA 121.
Para abordar la solución del literal d, designemos por X el punto de aplicación de la fuerza
se indica en la figura 122 y analicemos una vez mas la ecuación básica.
FIGURA 122.
y
(¿Porqué?).
que genera el mismo momento como
Despejando
para
tenemos
, lo que nos indica que la fuerza
obteniendo
finalmente
que
debe aplicarse a 54cm del eje O.
Ilustración 7.
Una viga uniforme de 50N de peso y 4m de longitud se encuentra en reposo y descansa sobre dos caballetes como se indica en la
figura 123. Calcular las fuerzas que los caballetes ejercen sobre la viga.
FIGURA 123.
Solución.
Determinemos el diagrama del sólido libre en la figura 124, en el cual podemos ubicar el peso de la viga que designamos por
el centro de gravedad de la misma. Designamos también por
y
en
las fuerzas ejercidas por los caballetes.
FIGURA 124.
Se tiene por lo tanto un sistema de fuerzas coplanarias, no concurrentes y en consecuencia las condiciones de equilibrio son:
[1]
nulo.
[2]
, esto es la suma de los torques respecto a un punto cualquiera de la viga debe ser igual al vector
Asumamos que la viga se orienta sobre el eje x y las fuerzas estan orientadas en el eje y; en consecuencia la ecuación [1] se
reduce a:
[1'].
y por lo tanto
Como los torques se pueden tomar en cualquier punto, seleccionemos el punto A pues en esta forma el torque generado por
igual al vector nulo. Así, en la ecuación [2] tenemos:
es
Al analizar el sentido de los productos, podemos concluir que estos vectores tienen sentido opuesto. (¿Porqué?), y en consecuencia
tenemos que :
luego
despejando para
[2'].
se tiene :
Sustituyendo este valor en la ecuación [1] despejamos
Plantee la ecuación de los momentos tomando como referencia el punto B o el punto C y verifique que el resultado es el mismo.
Fuente: http://ayura.udea.edu.co/~vectorfisico/seccion6.html
UNIDAD 3: TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y
CONSERVACION DE ENERGIA.
3.1 CONCEPTO DE TRABAJO
Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.
Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector
desplazamiento dr, y  el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos
infinitesimales
Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la
función que relaciona la componente tangencial de la fuerza Ft, y el
desplazamiento s.
Ejemplo: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m.
La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·x N, donde x es la deformación. El trabajo de esta
fuerza se calcula mediante la integral
El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J
Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del
desplazamiento por el desplazamiento.
W=Ft·s
Ejemplo:
Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo
entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.



Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo
Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm
3.2 TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGIA
Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de
dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.
En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual
a la masa por la aceleración tangencial.
En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el
cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del
móvil.
Se define energía cinética como la expresión
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una
partícula modifica su energía cinética.
Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y
que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es
de 15 g.
El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm
3.3 POTENCIA
Desde un punto de vista práctico, es interesante conocer no sólo el trabajo realizado sobre un objeto sino
también el tiempo durante el cual se efectúa el trabajo. La tasa de tiempo a la cual se realiza el trabajo se
conoce como potencia.
Si una fuerza externa se aplica a un aobjeto( el cual, suponemos, actúa como una partícula ), y si el trabajo
hecho por esta fuerza es W en el intervalo de tiempo
, entonces la potencia promedio durante este
intervalo se define como :
El trabajo hecho sobre el objeto contribuye a aumentar la energía del objeto. Una definición más general de
potencia es la tasa de transferencia de energía en el tiempo. La potencia instantánea es el valor del límite de
la potencia promedio cuando
tiende a cero. Por tanto, la potencia instantánea puede escribirse :
donde hemos aprovechado el hecho de que v = ds/dt .
Fuente: http://www.manizales.unal.edu.co/cursofisica/contenido/potenci.html#potencia2
3.4 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS
Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y
final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.
El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B.
El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.
Ejemplo
Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N
Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.



La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.
CD es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y
CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)
El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento
dW=F·dr=(Fxi+Fyj)·(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy
Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la trayectoria y=f(x),
y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a través de la
interpretación geométrica de la derivada dy=f’(x)·dx. Donde f’(x) quiere decir,
derivada de la función f(x) con respecto a x.
Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado.

Tramo AB
Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)x·dx.

Tramo BC
La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya
ordenada en el origen es 1.
y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx

Tramo CD
La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo WCA=0

El trabajo total
WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0
El peso es una fuerza conservativa
Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya
ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es yB.
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional
Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía potencial.
La fuerza que ejerce un muelle es conservativa
Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la partícula proporcional a
la deformación x y de signo contraria a ésta.
Para x>0, F=-kx
Para x<0, F=kx
El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la posición xA a la posición xB es
La función energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa F vale
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformación es cero x=0, el
valor de la energía potencial se toma cero, Ep=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.
Fuerzas no conservativas
Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a compararla con la fuerza
conservativa peso.
El peso es una fuerza conservativa.
Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A hacia B, y a continuación cuando
se traslada de B hacia A.
WAB=mg x
WBA=-mg x
El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A, WABA es cero.
La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa
Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesta al
movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza es de signo contrario al desplazamiento
WAB=-Fr x
WBA=-Fr x
El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A,
WABA es distinto de cero
WABA=-2Fr x
Balance de energía
En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas Fc y no conservativas Fnc. El trabajo de la
resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final
menos la inicial.
El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y la final
Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que
El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética más potencial) de la
partícula.
Ejemplo 1:
Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de inclinación, con una
velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar:


la longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para
la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano
Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado



La energía del cuerpo en A es EA=½0.2·122=14.4 J
La energía del cuerpo en B es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x J
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·x=-0.272·x J
De la ecuación del balance energético W=EB-EA, despejamos x=11.5 m, h=x·sen30º=5.75 m
Cuando el cuerpo desciende



La energía del cuerpo en B es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x=0.98·11.5=11.28 J
La energía del cuerpo en la base del plano EA==½0.2·v2
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J
De la ecuación del balance energético W=EA-EB, despejamos v=9.03 m/s.
Ejemplo 2:
Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de cuarto de circunferencia de radio R, tal
como se muestra en la figura.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:



El peso mg
La reacción de la superficie N, cuya dirección es radial
La fuerza de rozamiento Fr, cuya dirección es tangencial y cuyo sentido es opuesto a la velocidad de
la partícula.
Descomponiendo el peso mg, a lo largo de la dirección tangencial y normal, escribimos la ecuación del
movimiento de la partícula en la dirección tangencial
mat=mg·cosθ-Fr
Donde at=dv/dt es la componente tangencial de la aceleración. Escribimos en forma de ecuación diferencial
la ecuación del movimiento
Calculamos el trabajo Wr realizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es de sentido
contrario al desplazamiento
Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un pequeño arco de
circunferencia dl=R·dθ y que
El trabajo realizado por la fuerza no conservativa Fr vale
Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ=0. Cuando llega a la posición θ


La energía cinética se ha incrementado en mv2/2.
La energía potencial ha disminuido en mgRsenθ.
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial o bien,
la suma de la variación de energía cinética más la variación de energía potencial.
El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe el cuarto de círculo es
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm
Fuerzas Conservativas
En la sección anterior vimos que las relaciones de energía son de gran utilidad en el análisis de sistemas cuya
energía mecánica total permanece constante, o lo que el lo mismo, cuya energía mecánica total se conserva.
La energía mecánica total de un sistema se conserva si se cumplen dos condiciones:


El sistema debe ser aislado. Esto significa que no actuán fuerzas externas sobre los cuerpos que
conforman el sistema o que toda fuerza externa que actúe sobre estos cuerpos no realiza trabajo sobre
ellos a lo largo de cualquier posible movimiento de los mismos
Toda fuerza interna del sistema, es decir, una fuerza ejercida sobre un cuerpo del sistema por otro
cuerpo del mismo tiene la siguiente propiedad: la fuerza no realiza trabajo total cuando los cuerpos
que constituyen el sistema se mueven desde una distribución inicial a otra cualquiera y vuelven a la
distribución original
La fuerza de la gravedad es conservativa. El trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre un objeto que
se mueve entre dos puntos cualesquiera cerca de la superficie de la Tierra es:
A partir de esto vemos que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sólo depende de las coordenadas
inicial y final del objeto y, en concecuencia, es independiente de la trayectoria.
Podemos asociar una función de energía potencial con cualquier fuerza conservativa. En la sección anterior
encontramos que la función energía potencial asociada a la fuerza gravitacional era igual a:
Ep = mgy
Las funciones de energía potencial son definidas sólo para fuerzas conservativas. En general, el trabajo W,
hecho sobre un objeto por una fuerza conservativa es igual al valor inicial de la energía potencial asociada al
objeto menos el valor final .
Fuerzas no conservativas
Las fuerzas no conservativas son aquellas que extraen energía mecánica del sistema. Por lo tanto, la energía
mecánica total no es constante. En sistemas físicos reales, suelen presentarse fuerzas no conservativas, como
la fricción. El trabajo hecho por una fuerza no conservativa ejercida sobre una partícula que se mueve por
una trayectoria cerrada es diferente de cero.
WAB=-Fr x
WBA=-Fr x
El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, WABA es distinto de cero
WABA=-2Fr x
Fuente: http://www.manizales.unal.edu.co/cursofisica/contenido/conservativa.html
3.5 TEOREMA DE CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la
diferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial
Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre la
partícula es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energía cinética.
Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la energía
EkA+EpA=EkB+EpB
La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética) es constante en todos los
puntos de su trayectoria.
Comprobación del principio de conservación de la energía
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular
1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo,
aplicando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
2. La energía cinética potencial y total en dichas posiciones
Tomar g=10 m/s2

Posición inicial x=3 m, v=0.
Ep=2·10·3=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60 J

Cuando x=1 m
Ep=2·10·1=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60 J

Cuando x=0 m
Ep=2·10·0=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60 J
La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía cinética aumenta.
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm
LOS estudios decisivos que condujeron a establecer la equivalencia entre el trabajo mecánico y el calor
fueron realizados en 1840 por James Joule en la Gran Bretaña. Tales estudios estuvieron inspirados en los
trabajos que Rumford había llevado a cabo casi cincuenta años antes y que describimos en el capítulo
anterior. En un trabajo intitulado EI equivalente mecánico de calor, que data de 1843 y que fue publicado en
1850, Joule presentó evidencia inequívoca justificando las conclusiones de Rumford. Al respecto escribió:
Durante mucho tiempo ha sido una hipótesis favorita que el calor consiste de una
fuerza o potencia perteneciente a los cuerpos, pero le fue reservado al conde Rumford
llevar a cabo los primeros experimentos decididamente en favor de esta idea. El
justamente famoso filósofo natural demostró por sus ingeniosos experimentos que la
gran cantidad de calor excitada por la horadación de un canón no puede asociarse a un
cambio que tiene lugar en la capacidad calorífica del metal, por lo tanto él concluye
que el movimiento del taladro se transmite a las partículas del metal, produciéndose así
el fenómeno del calor.
Hizo ver también que si en el experimento de Rumford (ver capítulo I) se supone que la rapidez con que se
suministra el trabajo (potencia) es, como indica Rumford, de un caballo de fuerza se puede estimar que el
trabajo requerido para elevar una libra (454 g) de agua, 1º F (18º C) es aproximadamente igual a 1 000 ft. lb
(1 356 julios) lo cual no es muy diferente del valor obtenido en sus propios experimentos, 772 ft-lb (1 046
julios).
El experimento de Joule fue una verdadera proeza de precisión y de ingenio considerando los medios de que
se disponían en esa época. El aparato (ver Fig. 4) consistía esencialmente en un eje rotatorio dotado de una
serie de paletas, de hecho ocho brazos revolventes, girando entre cuatro conjuntos de paletas estacionarias. El
propósito de estas paletas era agitar el líquido que se colocaba en el espacio libre entre ellas. El eje se
conectaba mediante un sistema de poleas y cuerdas muy finas a un par de masas de peso conocido. El
experimento consistía en enrollar la cuerda sujetando las masas sobre las poleas hasta colocarlas a una altura
determinada del suelo. Al dejar caer las masas, el eje giraba lo cual a su vez generaba una rotación de los
brazos revolventes agitando el líquido contenido en el recipiente.
Figura 4. Aparato empleado por Joule en la medición del equivalente mecánico del calor. Las masas
conocidas m se enrollan por medio de la manivela sobre el cilindro. La cuerda pasa por dos poleas P
perfectamente bien engrasadas. La altura de las masas sobre el suelo es conocida, y la temperatura del
agua se controla mediante el termómetro.
Este proceso se repetía veinte veces y se medía la temperatura final del líquido agitado. Las paredes del
recipiente que contenía el líquido eran herméticas y estaban fabricadas de una madera muy gruesa
adecuadamente tratada para minimizar cualquier pérdida de calor por convección y por radiación. Después de
una repetición muy cuidadosa de estos experimentos Joule concluyó lo siguiente:
1) La cantidad de calor producida por la fricción entre cuerpos, sean líquidos o sólidos siempre es
proporcional a la cantidad de trabajo mecánico suministrado.
2) La cantidad de calor capaz de aumentar la temperatura de 1 libra de agua (pesada en el vacío y tomada a
una temperatura entre 55º y 60º F) por 1.8º C (1º F) requiere para su evolución la acción de una fuerza
mecánica representada por la caída de 772 lb (350.18 kg) por la distancia de l pie (30.48 cm).
Entre 1845 y 1847 repitió estos experimentos usando agua, aceite de ballena y mercurio, obteniendo que por
cada libra de estos compuestos, los equivalentes mecánicos eran respectivamente iguales a 781.5, 782.1 y
787.6 lb, respectivamente. De ahí concluyó lo siguiente:
Estos resultados, coincidiendo entre sí tan estrechamente y con otros previamente
obtenidos con fluidos elásticos y una máquina electromagnética, no dejaron duda en mi
mente respecto a la existencia de una relación equivalente entre fuerza y trabajo.
Los resultados obtenidos por Joule son de hecho la base de lo que se conoce en la actualidad como la primera
termostática. En efecto, lo que hacen ver es que aislados de su exterior, y a los que se suministra la misma
cantidad de energía mecánica de maneras diferentes, el cambio observado en el sistema es el mismo. En el
caso del experimento de Joule este cambio se registra por la variación de la temperatura del sistema. Sistemas
aislados de su exterior, son aquellos que se encuentran encerrados en recipientes cuyas paredes impiden
totalmente la interacción térmica con los alrededores; a estas paredes ideales se les llama paredes adiabáticas.
Obsérvese que en estos experimentos el sistema no se mueve, su energía cinética es cero, ni se desplaza
respecto al nivel del suelo, su energía potencial permanece constante y sin embargo ¡el sistema ha absorbido
una cierta cantidad de energía! La clave de la respuesta a esta interrogante es que si creemos en el principio
de la conservación de la energía, la energía suministrada debe convertirse en otro tipo de energía. A esta
energía la llamamos la energía interna del sistema. Las experiencias de Joule sirvieron para extender esta
observación a todo sistema termodinámico y postular que si a cualquier sistema aislado, esto es, que no
intercambie ni calor ni masa con sus alrededores, le suministramos una cierta cantidad de energía mecánica
W, ésta sólo provoca un incremento en la energía interna del sistema U, por una cantidad U de manera tal
que:
U = Wad
(1)
Esta igualdad, en donde el índice "ad" en W sólo sirve para puntualizar que la energía mecánica suministrada
al sistema debe hacerse sólo cuando este se encuentre aislado de sus alrededores, constituye la definición de
la energía interna U. La existencia de esta cantidad para cualquier sistema, es el postulado conocido como la
primera ley de la termostática.
Es importante insistir en que la ecuación (1) que ahora proponemos sea válida para cualquier sistema, agua,
aceite, un metal, un gas, un trozo de imán, etc. constituye una extrapolación de los experimentos de Joule,
quien la verificó, como hemos visto, sólo para unas cuantas substancias.
Más aún, la hemos podido escribir invocando el principio de la conservación de la energía, que en esencia
nos permite definir lo que entenderemos por U. Vale la pena aclarar que U es un símbolo que representa al
cambio en la energía interna entre el estado inicial (e.g. el agua a 55º F en el experimento de Joule) que
podemos llamar Ui y la energía interna en el estado final (e.g. el agua a la temp. final) que designaremos por
Uf . Entonces, U  Uf — Ui.
Por otra parte, hemos visto ya en el capítulo I que si el sistema sobre el cual estamos realizando nuestros
experimentos está a una temperatura diferente que la del medio ambiente habrá una tendencia natural a
establecerse un flujo de calor entre ambos. En pocas palabras si los experimentos de Joule u otros similares
sobre otros sistemas se llevaran a cabo sin tomar la precaución de aislar el sistema de sus alrededores,
observaríamos que:
U —W 0
(2)
El ejemplo más simple al que el lector puede recurrir es el de calentar la misma masa de agua usada por
Joule, pero poniéndola directamente al fuego hasta obtener la misma variación en la temperatura. Tomando
las precauciones necesarias para que ni el volumen, ni la presión ni otra propiedad del agua cambien,
debemos concluir que la misma energía W que produjo el cambio en U en los experimentos de Joule, fue
ahora suministrada por el fuego, i.e, es una cantidad de calor Q. Y en el caso de que la energía mecánica sea
suministrada en las condiciones que exhibe la ecuación (2), es claro que la energía faltante, según Carnot,
debe tomarse en cuenta por las "pérdidas" de calor provocadas por el flujo de calor del cuerpo o sistemas al
exterior. Combinando estos resultados podemos escribir que :
U - W = Q
(3)
esto es, la energía se conserva en todo proceso si se toma en cuenta el calor. Esta simple ecuación que no es
otra cosa más que la expresión del principio de conservación de la energía para procesos termostáticos
requiere de varios comentarios importantes que ponen de manifiesto, tanto su relevancia como su naturaleza
misma. El primer comentario se refiere a la concepción de Q en la ecuación (3). Según las experiencias de
Rumford y de Joule corresponde a una forma no mecánica de energía, precisamente aquella que se libera por
fricción. De hecho, las propias experiencias de Joule muestran que la cantidad de calor Q definida en (3) sólo
difiere por un factor numérico de la definición tradicional. Una caloría se define como la cantidad de calor
requerido para elevar 1 g. de agua de 15.5º C a 16.5º C. Pero según Joule, esa cantidad de calor es
equivalente a un trabajo mecánico de 4.187 julios en unidades MKS.2 Entonces, una caloría es igual a 4.187
julios y al factor de conversión de unas unidades a otras se conoce como el equivalente mecánico del calor, a
menudo representado por J. Así,
J = 4.187 julios / caloría
El segundo comentario concierne al origen de la ecuación (3). Para llegar a ella hemos invocado la validez
universal del principio de conservación de la energía. Así pues esta ecuación sólo resume las experiencias de
Rumford, Joule y Carnot. No es la primera ley de la termostática como suele afirmarse a menudo. Pero
insistimos, para hablar de conservación de energía se requiere de una definición operativa de energía para
cualquier sistema. Esta definición, dada por la ecuación (1) y que extiende las experiencias de Joule a
cualquier sistema, es la primera ley de la termostática.
El tercer comentario concierne a la naturaleza de los términos que aparecen en la ecuación (3). Por una parte,
U corresponde, por definición, a una cantidad que no depende de la naturaleza del proceso usado para
medirla. En este sentido tiene una jerarquía similar a otras variables como la presión p, el volumen V, la
temperatura T, etc. Decimos entonces que es una variable capaz de describir el estado de un sistema o,
simplemente, una variable de estado. Es pues una cantidad intrínseca a la naturaleza del sistema que se
escoge para estudiarlo. Nótese que la definición (1) sólo nos permite medir diferencias de energía interna lo
cual indica que análogamente al caso de la energía potencial en mecánica o el potencial electrostático,
podemos escoger arbitrariamente un punto de referencia, i.e, un estado arbitrario al cual podemos asignar un
valor determinado a U y que puede ser cero. Los otros dos términos Q y W son de naturaleza totalmente
diferente a U. Sólo intervienen en un sistema cuando lo llevamos por un proceso determinado en el cual
puede realizar o recibir trabajo y absorber o ceder calor. Claramente los valores de Q y W dependerán del
proceso en cuestión y por consiguiente ni uno ni otro es una variable de estado.
Una analogía pedestre puede ayudar a comprender esta situación. En términos de una cuenta bancaria, la
solvencia económica de una persona sólo puede determinarse por los fondos que tiene en ella, esto es, el
dinero depositado en el banco. Esa cantidad describe o indica el estado financiero por lo que a sus fondos
disponibles concierne, de esa persona. Cuando ocurre un proceso éste puede concebirse como al girar o
depositar cheques bancarios y sacar o depositar dinero en efectivo. Al final del proceso el cambio en sus
fondos será igual a la suma neta de las cantidades involucradas en el manejo de cheques y en efectivo.
Estas dos juegan el papel de W y Q en tanto que el dinero en la cuenta es U. (Aquí el estado de referencia es
obvio pues U = O corresponde a tener la cuenta en cero.)
Así que, en pocas palabras, U es una variable de estado, Q y W sólo tienen sentido y aparecen en escena si
ocurre un proceso. A menudo, aun después de todas estas consideraciones, es frecuente escuchar la pregunta:
¿ Y qué es el calor? La respuesta es ahora obvia: es una forma de energía que aparece en un proceso y cuyo
origen no es mecánico. El frotamiento continuo entre dos cuerpos, como observó Rumford, genera "calor".
Cierto es que para producir ese frotamiento requerimos de un agente externo, sea el esfuerzo muscular de
quien los frota, el caballo que daba vueltas al taladro en el experimento de Rumford, etc. Pero la acción
misma de frotamiento produce una energía que como mostró Carnot no puede convertirse íntegramente en
trabajo útil. Sin embargo su inclusión en la descripción global de un proceso, en cuanto a un balance de
energía concierne, es imprescindible para estar en concordancia con el principio de conservación de la
energía.
Calor es, pues, una forma de energía en tránsito. A pesar de esto es frecuente usar el término calor en modos
que aparentan estar en contradicción con lo arriba expuesto. Decimos que el calor "fluye" de un cuerpo
caliente a uno frío como si se tratara de un fluido. Esto es incorrecto y justamente lo que debemos descartar
para entender correctamente la ecuación (3). Como en el caso del mechero discutido en conexión con los
experimentos de Joule, U = Q representa el cambio en la energía interna del sistema formado por los dos (o
más) cuerpos cuando por diferencias en las temperaturas entre ellos ocurre un intercambio de energía de
naturaleza no mecánica.
Antes de llevar a su final esta discusión sobre la conservación de la energía y la primera ley de la
termostática conviene señalar que a pesar de sus brillantes experiencias y el hecho casi obvio de que la
ecuación (3) estaba por detrás de todos sus resultados no fue Joule el primero en llegar a esta conclusión. La
ecuación (3) fue en realidad producto del análisis más profundo que sobre las experiencias de Joule, Carnot y
otros realizaron sir William Thomson, más tarde lord Kelvin, y Rudolf Clausius a principio de la segunda
mitad del siglo XIX. Pero todavía es más curioso que un año antes que Joule diera a conocer sus resultados
en Inglaterra, un joven médico nativo de Heilbronn, Alemania. Julius Robert Mayer en 1842 sugirió una
equivalencia general entre la conservación de todas las formas de energía. En su ensayo intitulado
Comentarios sobre las energías de la naturaleza inorgánica usando lo que ahora llamamos "experimentos
pensados" hizo ver que partiendo del principio que establece que una causa es igual a su efecto y
considerando que las energías son causas capaces de asumir varias formas, las energías son entidades
indestructibles e interconvertibles. A pesar de que el método de Mayer es enteramente diferente al de Joule,
pues no tuvo la oportunidad de realizar experimentos, sus conclusiones son muy parecidas. Mayer hace notar
que existen formas de energía en la naturaleza que no están asociadas necesariamente con el movimiento
(energía cinética) ni con la elevación o descenso de un cuerpo (energía potencial) y plantea, con base en su
primera proposición, el problema sobre otras formas que la energía puede asumir. Hace ver que, como el
calor se puede generar por fricción, debe ser una forma de movimiento y por lo tanto equivalente a una
energía cinética o potencial.
Finalmente, se plantea la pregunta acerca de cómo calcular la cantidad de calor correspondiente a una
cantidad dada de energía cinética o potencial (¡El equivalente mecánico del calor!). En este punto crucial,
Mayer plantea un "experimento pensado" y esboza un cálculo mediante el cual muestra que J = 4 200
julios/Kcal, el cual considerando la imprecisión de un método, es muy razonable si lo comparamos con la
ecuación (4). Sin embargo, su trabajo pasó desapercibido y no recibió crédito alguno en los 20 años
subsecuentes.
Para completar la lista de los distinguidos y notables investigadores que reclaman la paternidad del contenido
físico de la ecuación (3) no podemos dejar de citar a H. von Helmholtz quien el 23 de julio de 1847 leyó ante
la Sociedad de Física de Berlín un trabajo intitulado "La conservación de la fuerza". En este trabajo, de
naturaleza estrictamente matemática, hace ver que la energía (fuerza en su trabajo) se conserva y que el calor
es una forma de energía, una vez más, las proposiciones básicas detrás de la ya familiar ecuación (3).
Es así como para 1847-1850, cuando las locomotoras recorrían grandes distancias, los ríos y lagos eran
surcados por buques de vapor y la máquina de vapor era de uso común, apenas se establecían las bases
teóricas de la equivalencia entre calor y trabajo mecánico, en tanto se desterraban los últimos resquicios de la
teoría del calórico y se asentaba el concepto de "energía interna" como un postulado ahora llamado la
primera ley de la termostática. Sin embargo subsistía sin responderse una segunda pregunta planteada por
Sadi Carnot en 1824: ¿Qué fracción del calor cedido a una máquina térmica es aprovechable? Su respuesta
condujo a los físicos de la época por el sendero de la segunda ley de la termostática y el todavía controvertido
y escurridizo concepto de la entropía.
http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/05/htm/sec_6.html
3.6 OSCILACIONES ARMONICAS
- En la Naturaleza no todo fenómeno oscilatorio tiene un comportamiento tan regular como el del resorte o el
péndulo pero, veremos luego que, estas oscilaciones más complejas pueden describirse como la
superposición de oscilaciones simples.
Ejemplos de sistemas que presentan oscilaciones se encuentran en muchas áreas de la física, de la
ingeniería, de la química y también de la biología.
Un ejemplo común de evolución oscilatoria se encuentra en los fenómenos ondulatorios, tales como,
las ondas de sonido, las ondas en el agua, vibraciones en instrumentos musicales, ondas electromagnéticas
(ondas de luz). En ingeniería, vibraciones en materiales, puentes y edificios.
Otros ejemplos, un poco más obscuros, son las vibraciones moleculares, atómicas o nucleares,
asociadas con la emisión de ondas luminosas. Estos fenómenos se estudian en el marco de la Teoría
Cuántica, la cual nos da una nueva visión de la naturaleza hablándonos sobre la “dualidad onda-partícula”.
Dentro del marco de esta teoría, las partículas ya no se comportan como pelotitas, que es como uno
ingenuamente se las imagina, sino que en ciertas experiencias se manifiestan con características ondulatorias
mientras que en otras lo hacen como partículas. Este tipo de fenómenos contradice nuestro preconcepto de la
realidad, no esperamos que un electrón se comporte como una onda, pero hasta el momento toda la evidencia
experimental existente no hace más que confirmar, con mucha exactitud, las predicciones de la teoría
cuántica.
Fuente: http://www.ungs.edu.ar/ici/fisica/fisica2/1.zip
UNIDAD 4: INTRODUCCION A LA ESTATICA DE LA
PARTICULA Y DEL CUERPO RIGIDO.
4.1 FUERZAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Interacción es la acción mutua entre dos o más objetos.
Observa las interacciones de la imagen. Indica, en
cada situación, cuáles son los cuerpos que
interactúan y en qué consiste la interacción.
La fuerza es una magnitud física que sirve para
explicar las interacciones entre cuerpos.
Los efectos de las interacciones son muchos.
Nosotros nos vamos a centrar inicialmente en la
capacidad que tiene las fuerzas de provocar
deformaciones...
La fuerza es una magnitud física que nos permite: comprender la apariencia de nuestro mundo. Todo cuanto nos rodea está
sometido a interacciones con otros cuerpos (FUERZAS) y debido a sus equilibrios y desequilibrios el mundo se presenta de
la forma en que lo conocemos.
La base de la gran mayoría de avances científicos, claves para el desarrollo de nuestra sociedad, como la construcción de
puentes, aviones.., se centra en el dominio y utilización de las fuerzas.
Fuente: http://newton.cnice.mecd.es/4eso/estatica/estatic1.htm
Fuerza
Magnitud física que se representa con un vector y su unidad puede ser Newton (N), kilogramo fuerza (kgr) o
dina (din).
Resultante
Es la suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas y no aplicadas a un sistema.
Momento de una fuerza
El momento de una fuerza es el producto de dicha fuerza por la distancia perpendicular a un determinado eje
de giro. Cuando se aplica una fuerza a una puerta pesada para abrirla, la fuerza se ejerce perpendicularmente
a la puerta y a la máxima distancia de las bisagras. Así se logra un momento máximo. Si se empujara la
puerta con la misma fuerza en un punto situado a medio camino entre el tirador y las bisagras, la magnitud
del momento sería la mitad. Si la fuerza se aplicara de forma paralela a la puerta (es decir, de canto), el
momento sería nulo.
Sea el vector distancia, un vector perpendicular a una fuerza, de magnitud igual a la distancia entre un punto
A y la recta de acción de la fuerza, se define como vector momento de la fuerza con respecto al punto A:
El producto vectorial entre el vector fuerza y el vector distancia, cuya dirección es perpendicular al plano
que forman el punto A y la fuerza y, el sentido dependerá del vector fuerza (horario – antihorario).
Vista tridimensional según la regla del tirabuzón (para la mano izquierda)
Las unidades del vector momento son: N.m, kilográmetro (kgrm) ó din.cm. por ser éste un producto
vectorial.
Fuente: http://www.fisicanet.com.ar/fisica/f1ap01/apf1_03a.html
4.2 EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA
Momento de una fuerza
Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada por las figuras. Se
aplica una fuerza F en el extremo de la llave. Es fácil contestar a las siguientes preguntas:



¿En qué situaciones se enrosca el tornillo?
¿En que situaciones se desenrosca el tornillo?
¿Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?.
En la primera figura, el tornillo avanza en una dirección
perpendicular al plano de la página, y hacia el lector. El
módulo del momento es F·d.
En la segunda figura, el tornillo avanza en la misma
dirección y sentido. El módulo del momento es
F/2·(2d)=F·d. Con una llave más larga estamos en una
situación más favorable que con una llave más corta.
En la tercera figura, el tornillo avanza en la misma dirección
pero en sentido contrario.


Un momento se considera positivo si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave gira en sentido
contrario al movimiento de las agujas del reloj.
Un momento se considera negativo si el tornillo entra, la llave gira en el sentido del movimiento de
las agujas del reloj.
Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la
fuerza por el vector fuerza F.
M=rF
El vector M tiene



Por módulo, M=F·r·senθ=F·d. Siendo d el brazo de la fuerza (la distancia desde el punto O a la
dirección de la fuerza)
Dirección, perpendicular al plano determinado por la fuerza F y el punto O.
Sentido, la aplicación de la regla del sacacorchos
La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento, y a
determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento de una fuerza:



El módulo es el producto de la fuerza F por la longitud d de la
llave. M=F·r·senθ=F·d
La dirección, es la del eje del tornillo, eje Z
El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando
hacemos girar a la llave, (sentido del movimiento de las agujas
del reloj, negativo)
Equilibrio de una barra
Supongamos una barra de masa despreciable, que está sujeta por su extremo O.
Si colocamos un peso P a una distancia x del origen. El momento de esta fuerza respecto del origen O es
+P·x.
Atamos una cuerda a una distancia y del origen, y tiramos de ella haciendo un ángulo θ con la vertical, tal
como se muestra en la figura. El momento de la fuerza F respecto del origen es -F·y·cosθ.
Para que la barra esté en equilibrio, el momento total deberá
ser nulo.
-F·y·cosθ+P·x=0
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/palanca/palanca.htm
4.3 MOMENTO DE UNA FUERZA
Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector
posición r de la fuerza por el vector fuerza F.
M = rF
La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el
significado físico de la magnitud momento, y a determinar
correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento
de una fuerza:



El módulo es el producto de la fuerza por su brazo (la
distancia desde el punto O a la recta de dirección de la
fuerza). M = Fd
La dirección perpendicular al plano que contiene la
fuerza y el brazo.
El sentido viene determinado por el avance del tornillo
cuando hacemos girar a la llave.
Ejemplo:
Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada por las
figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave. Es fácil contestar a las siguientes
preguntas:



¿En qué situaciones se introduce el tornillo?
¿En que situaciones se saca el tornillo?
¿Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?.
En la primera figura, el tornillo avanza en una
dirección perpendicular al plano de la página, y
hacia el lector. El módulo del momento es Fd.
En la segunda figura, el tornillo avanza en una
dirección perpendicular al plano de la página, y
hacia dentro (sentido contrario al anterior). El
módulo del momento es F2d. Con una llave más
larga estamos en una situación más favorable que
disponiendo de una llave más corta.
En la tercera figura, el tornillo avanza en una
dirección perpendicular al plano de la página, y
hacia el lector. El módulo del momento es
F·sen30·2d=Fd. Esta situación es equivalente a la
primera.


Un momento se considera positivo si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave gira en
sentido contrario a las agujas del reloj.
Un momento se considera negativo si el tornillo entra, la llave gira en el sentido de las
agujas del reloj.
Supongamos una barra de masa despreciable, que está
sujeta por su extremo O.
Si colocamos un peso P a una distancia x del origen.
El momento de esta fuerza respecto del origen O es
P·x.
Para que la barra esté en equilibrio la fuerza F deberá
ser tal que el momento total sea nulo. F.d = P.x
Fuente: http://www.educastur.princast.es/proyectojimena/franciscga/momento.htm