Estimados padres, me dirijo a Vds para comunicarles que soy la

I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
TRABAJO Y ENERGÍA - RESUMEN
1º. El trabajo realizado por una fuerza
constante es el producto escalar de la fuerza
por el desplazamiento:


W  F  r
es decir, se puede obtener como el producto de
la componente de la fuerza en la dirección del
movimiento y el desplazamiento producido,
luego:
W  F cos   r  Fr  r
donde Fr es la componente de la fuerza en la
dirección del movimiento.
W F . conservati va    E p
Es decir, el trabajo realizado por una fuerza
conservativa sobre un sistema es igual a la
disminución de energía potencial del sistema.
Por lo tanto, el trabajo que realizan las fuerzas
conservativas se realiza a costa de su energía
potencial asociada.
8º. El valor absoluto de la energía
potencial carece de importancia. Sólo interesan
los cambios de energía potencial.
9º. La energía potencial gravitatoria de
un cuerpo de masa m a una altura y por encima
del nivel de referencia es:
2º. Si la fuerza es variable, entonces el
trabajo que realiza vendrá dado por:
W 
r2
r
1


F  dr 
x2
x
F x dx 
1
y2
y
F y dy 
1
z2
z
F z dz
1
3º. El trabajo total realizado por varias
fuerzas es igual al trabajo que realiza la fuerza
resultante de ellas.
4º. Una fuerza es conservativa si el
trabajo que realiza sobre una partícula depende
sólo de las posiciones inicial y final, no
dependiendo del camino seguido. Por lo tanto,
una fuerza será conservativa si realiza un
trabajo nulo al recorrer una trayectoria cerrada.
Son fuerzas conservativas, por ejemplo, la
gravitatoria, la eléctrica, la elástica, etc.
5º. El trabajo total realizado sobre una
partícula es igual a la variación de la energía
cinética que experimenta (Teorema trabajoenergía o Teorema de las fuerzas vivas).
W Total   E c 
1
2
mv
2
2

1
2
mv
2
1
6º. La unidad en el S.I. del trabajo y de
la energía es el julio (J).
E p ( grav )  mgy
Esto es válido para alturas pequeñas
sobre
la
superficie
terrestre
donde
consideramos que “g” permanece constante.
La energía potencial elástica de un
muelle, de constante elástica K, cuando se
alarga o se contrae una distancia x desde el
equilibrio viene dada por:
E p ( elástica ) 
1
kx
2
2
10º. Si sobre un cuerpo sólo realizan
trabajo las fuerzas conservativas, la suma de la
energía cinética y potencial, es decir, la energía
mecánica permanece constante. Esta es la ley
de conservación de la energía mecánica.
E m  E c  E p  cte
11º. El trabajo realizado por una fuerza
no conservativa actuando sobre una partícula
es igual a la variación de la energía mecánica
total del sistema:
W no conservati vas   E m
7º. La energía potencial de un sistema
es la energía asociada con la configuración del
mismo. La variación en la energía potencial de
un sistema se define como el valor negativo del
trabajo realizado por una fuerza conservativa
que actúa sobre el sistema:
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
1
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TRABAJO Y ENERGÍA - COMPLEMENTOS
1. TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA
ELÁSTICA.
Como ejemplo de trabajo realizado por
una fuerza variable tenemos el trabajo
realizado por la fuerza elástica de un resorte o
muelle.
producido. Por eso, puesto que la fuerza del
resorte siempre actúa tendiendo a llevar al
cuerpo hacia la posición de equilibrio, recibe
también el nombre de “fuerza recuperadora”.
Si se produce un desplazamiento
arbitrario del bloque desde la posición 1 a la 2,
el trabajo realizado por la fuerza elástica es:
W 
x2
x
(  kx ) dx   k
1
x2
x
xdx 
1
2
1
2
k x1 
1
2
2
k x2
Es decir, el trabajo realizado por la
fuerza elástica depende sólo de los puntos
inicial y final, por lo tanto, la fuerza elástica es
una fuerza conservativa.
X = 0
F
X > 0
F < 0
2. ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA
X
F
X < 0
F > 0
Como hemos visto el trabajo que
realiza un muelle cuando pasa de una posición
x1 a otra x2 es:
2
X
W 
Sea el caso de un cuerpo colocado
sobre una superficie horizontal y lisa que está
conectado a un resorte helicoidal.
Si el resorte se estira o se comprime
una pequeña longitud respecto de su posición
de equilibrio, se ejerce sobre el cuerpo una
fuerza elástica, por parte del resorte, que viene
dada por la ley de Hooke:
2
kx 1
2
2

kx 2
2
El signo “-“ nos indica que la fuerza
ejercida por el resorte sobre el cuerpo tiene
siempre sentido contrario al desplazamiento
kx 2
trabajo realizado por la fuerza conservativa
elástica equivale, de nuevo, a la variación
negativa de la energía potencia elástica:
W 
donde “x” es el desplazamiento del cuerpo con
respecto a la posición de equilibrio. Es positivo
cuando se encuentra a la derecha de x=0, y
negativo cuando se encuentra a la izquierda de
esta posición. “K” es la constante elástica del
muelle. Los muelles rígidos tienen grandes
valores de k, mientras que los “suaves” o
fácilmente
deformables
tienen
valores
pequeños.
2

y, por lo tanto, la fuerza elástica será
conservativa. Por lo tanto, al ser una fuerza
conservativa se puede definir una función
Energía Potencia Elástica de tal forma que el
2
F  k x
kx 1
2
 E pe (1)  E pe ( 2 )    E pe
Así, si a partir de la posición de
equilibrio (x=0) ejercemos una fuerza F sobre el
bloque, el muelle se comprimirá una distancia
“x” determinada. El trabajo realizado sobre el
muelle queda almacenado en este en forma de
energía potencial elástica.
Cuando el bloque se libera, el muelle
realiza un trabajo positivo sobre él,
transformándose la Energía Potencial elástica
en energía Cinética del bloque.
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
2
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El nivel cero de energía potencia
elástica es aquel en el que el muelle está en la
posición de equilibrio (x=0).
3.
CONSIDERACIONES
ENERGÍA POTENCIAL
SOBRE
LA
1ª.
La Energía Potencial es una
energía de configuración.
Nos hemos referido a la energía
potencial de una partícula sometida a una
fuerza conservativa como si esa energía
potencial estuviese almacenada en la partícula,
es decir, como si dicha energía estuviese
exclusivamente ligada a la partícula a través de
la posición que ocupa.
Esto es, sin embargo, una forma
simplificada de enfocar la cuestión ya que la
Energía Potencial es una propiedad de un
sistema de partículas, considerado como un
todo, que interaccionan entre sí.
Estrictamente hablando, la energía
potencia depende tanto de las coordenadas de
la partícula considerada como de las
coordenadas de todas las demás partículas
que constituyen su “medio ambiente”. Esto es,
la energía potencial no debe asignarse a
ningún cuerpo o partícula concreta, sino que
debe de considerarse como algo perteneciente
a todo el sistema en su conjunto, es decir, a
todas las partículas interactuantes. Veamos
algunos ejemplos.
Consideremos una piedra situada a
una cierta altura sobre la superficie terrestre.
Podemos afirmar que “la piedra posee una
cierta energía potencial mgh”, por cuanto que
posee, en virtud de su posición, una cierta
capacidad para realizar trabajo. Un poco de
reflexión nos descubrirá que debemos
considerar ese energía potencial como una
propiedad del sistema piedra-tierra en su
conjunto; es la posición relativa entre las partes
la que determina su energía potencial. La
energía potencial es mayor cuanto más
separadas están dichas partes.
Supongamos que abandonamos el
sistema; las partes se aproximan y disminuye la
energía potencial del conjunto. Durante esa
“desaparición” de energía potencial se realiza
un trabajo por parte de las fuerzas gravitatorias
y se va incrementando la energía cinética del
sistema.
La piedra “cae” hacia la Tierra, pero la
Tierra “también cae” hacia la piedra. La Tierra
adquiere pues una cierta aceleración, muy
pequeña dada la enorme desproporción de
masas. Como el cambio de rapidez de la Tierra
es sumamente pequeño, su incremento de
energía
cinética
es
despreciable
en
comparación al de la piedra que “cae”, por lo
que se identifica la energía cinética del Sistema
con la energía cinética de la piedra. Además,
como la configuración del sistema piedra-Tierra
viene expresado en función de la posición (h)
de la piedra con respecto a la Tierra, hablamos
de la Energía Potencial del Sistema PiedraTierra como Energía potencial “mgh” de la
piedra. Esta es la razón por la que solemos
afirmar: La energía potencial mgh que pierde la
piedra durante la caída se invierte en aumentar
su energía cinética. Sin embargo, esta
afirmación, expresada de manera correcta
sería:
“ La Energía Potencial mgh de
interacción entre la piedra y la Tierra,
cuando aquella se encuentra a una
altura h, se transforma durante su
caída en Energía Cinética del
Sistema “
La energía potencial no existe para un
cuerpo o partícula aislada.
2ª. La Energía Potencial no tiene
carácter absoluto.
Observese que la ecuación de
definición
de
la
energía
potencial,
W F . conservati va    E p , sólo permite calcular
diferencias de energía potencial. Dicho de otra
manera, el valor de la energía potencia en un
punto B, Ep(B), sólo estará definido si
conocemos el valor de Ep(A), pues entonces:
E p ( B )  E p ( A )  W F . conservati va
Esto es, la energía potencial, al
contrario que la energía cinética, no tiene
carácter absoluto, ya que sólo podemos
calcular “la diferencia de energía potenciales
correspondientes a dos posiciones dadas de la
partícula”; sólo la diferencia Ep(B) - Ep(A) tiene
siempre un significado físico.
Debido a esto, no podemos calcular la
energía potencial en valor absoluto; todo lo
más que podemos hacer es definir la diferencia
de energía potencial de la partícula, para dos
posiciones dadas, como “el trabajo que realiza
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
3
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la fuerza conservativa, cambiado de signo, en
un desplazamiento de la partícula entre esas
dos posiciones”.
Sin embargo, podemos dar un
significado a la energía potencial en B haciendo
que el punto A sea un punto de referencia
conveniente al que le asignamos un valor
arbitrario de energía potencial, ordinariamente
igual a cero. Entonces:
4.
DIFERENCIAS ENTRE LA ENERGÍA
POTENCIAL Y LA ENERGÍA CINÉTICA
1ª. Las fuerzas que intervienen en la
ecuación de definición de la energía potencial
son sólo las fuerzas conservativas.
Comparando la ecuación de definición
de la energía potencial, W F . conservati va    E p
con la ecuación:
E p ( B )  E p ( A )  W F . conservati va 
W ( Total )   E c
  W F . conservati va
Conviene dejar claro que cualquier
punto o nivel de referencia cómodo es
igualmente válido. Lo que importa físicamente
es el cambio en la Energía Potencial, porque es
lo que se relaciona con el trabajo efectuado.
Así, por ejemplo, considerar “mgh”
como expresión de la energía potencial
gravitatoria significa que hemos fijado
arbitrariamente un “valor cero” de energía
potencial para una altura h=0. Se suele
considerar como cero la energía potencial en el
suelo donde estamos llevando a cabo el
experimento. Sin embargo, es preciso insistir
en que éste es un criterio totalmente arbitrario,
pues si el suelo se hundiera, por ejemplo, el
objeto seguiría cayendo.
que expresa el Teorema Trabajo-Energía
Cinética, conviene hacer notar que esta última
expresión es válida cualquiera que sea la
fuerza F de que se trate, siempre que F sea la
fuerza resultante, aunque no sea una fuerza
conservativa. Sin embargo, la ecuación que se
utiliza para definir la Ep sólo es valida para
fuerzas conservativas.
2ª. La expresión que da el valor de la
Energía Potencial es diferente según la fuerza
conservativa que se trate.
En tanto que la energía cinética de una
partícula viene expresada siempre por la
fórmula
1
mv
2
2
, no ocurre lo mismo con la
3ª. La Energía Potencial puede ser
positiva o negativa.
energía potencial. A cada fuerza conservativa
podemos asociarle una energía potencial, que
viene expresada por una ecuación distinta de
acuerdo con la naturaleza de la fuerza, y que
recibe distintos calificativos, tales como:
energía potencial gravitatoria, energía potencial
elástica, etc. No existe una fórmula única para
expresar la energía potencial.
Todo depende
referencia elegido.
3ª. La energía potencial no puede
conocerse en valor absoluto.
Asimismo, para la energía potencial
elástica se suele tomar como “nivel cero” a la
posición de equilibrio del muelle.
del
nivel
cero
de
4ª. La Energía Potencia está asociada
a fuerzas conservativas.
En el caso de que la fuerza no sea
conservativa, el trabajo que realiza en su
desplazamiento desde A hasta B dependerá
del camino que siga la partícula y, al no ser
dicho trabajo función exclusiva de la posición
inicial y final de la partícula, no existirá una
función energía potencial asociada a la fuerza
no conservativa. Por ejemplo, no existe
ninguna energía potencial asociada a la fuerza
de rozamiento.
Al contrario de lo que ocurre con la
energía cinética, en la determinación de la
energía potencial interviene una constante
arbitraria (nivel cero). Esto no supone ningún
inconveniente, ya que lo que está relacionado
con el trabajo efectuado por las fuerzas no es
la energía potencial sino sus variaciones, y
éstas tienen siempre el mismo valor cualquiera
que sea el nivel de referencia elegido.
4ª. La energía potencial puede tomar
valores negativos.
Mientras que la energía cinética es
siempre positiva.
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
4
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TRABAJO Y ENERGÍA - EJERCICIOS
1. Un cuerpo se desplaza horizontalmente
50 m bajo la acción de una fuerza constante
de 100 N. Determinar el trabajo realizado por
dicha fuerza si:
a) Actúa horizontalmente en el sentido del
movimiento.
b) Forma un ángulo de 60º con la horizontal.
c) Actúa perpendicularmente.
d) Forma 150º con la dirección del
desplazamiento.
F
N
FT
FN
Froz
α
P
α=30º
F es la fuerza paralela al plano de valor 15 N y
Froz es la fuerza de rozamiento cuyo valor será:
Al ser constante la fuerza, el trabajo lo
podremos calcular de la forma:
Froz    FN  0,2  16 ,97 N  3,39 N


W  F   r  F   r  cos 
Como el cuerpo asciende por el plano las
fuerzas FN y N no realizarán trabajo ya que
forman
un
ángulo
de
90º
con
el
desplazamiento. El trabajo de las demás
fuerzas será:
a)
W  F   r  cos   100 N  50 m  cos 0 º  5000 J
W (F )  15 N  10 m  cos 0 º  150 J
b)
W  F   r  cos   100 N  50 m  cos 60 º  2500 J
c) W  F   r  cos   100 N  50 m  cos 90 º  0 J
W (FT )  9,8 N  10 m  cos 180 º   98 J
W (Froz )  3,39 N  10 m  cos 180 º   33 ,9 J
d)
W  F   r  cos   100 N  50 m  cos 150 º   4330 J
El trabajo total realizado será:
--------------- 000 --------------W TOTAL
2. Un cuerpo de 2 kg recorre un espacio de
10 m en ascenso por un plano inclinado 30º
sobre la horizontal, obligado por una fuerza
de 15 N paralela al plano. Si el coeficiente de
rozamiento entre el cuerpo y el plano vale
0'2, calcula el trabajo realizado por las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
 150 J  98 J  33 ,9 J  18 ,1 J
--------------- 000 ---------------
3. Un cuerpo de 3 kg de masa experimenta
un desplazamiento que viene dado por
 


 r  3 i  j  2k
m
bajo la acción de una

La situación sería la representada en la figura.
En ella FT y FN son las componentes del peso
cuyos valores son:
FT  mg  sen   9,8 N
FN  mg  cos   16 ,97 N



fuerza constante que vale F  10 i  j  4 k N .
Determina: a) El trabajo realizado por la
fuerza en ese desplazamiento.
b) El valor de la componente de la fuerza en
la dirección del desplazamiento.
a) El trabajo realizado será:
N es la reacción del plano y del mismo valor
que FN
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5
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
 

 


W  F   r  (10 i  j  4 k )  ( 3 i  j  2 k ) J 
 30  1  8  23 J
b) El trabajo se puede expresar en función de
la componente Fr en la dirección del
movimiento en la forma:
W  F cos   r  Fr  r
Y como el módulo del vector desplazamiento Δr
es:
r 
9  1  4  3,74 m
Tendremos que la componente de la fuerza en
la dirección del movimiento será:
Fr 
W
r

23 J




 rBC  ( 3  0 ) i  ( 3  3 ) j  3 i
Luego el trabajo realizado será:


W ( O  C )  W ( O  B )  W ( B  C )  15 j  3 j 


 15 j  3 i  45  0 J  45 J
b) En este caso los vectores desplazamiento
serán:




 rOA  ( 3  0 ) i  ( 0  0 ) j  3 i




 rAC  ( 3  3 ) i  ( 3  0 ) j  3 j
 6,14 N
3,74 m
Y el trabajo realizado sería:
--------------- 000 ---------------
4. Calcula el trabajo realizado por la fuerza


F  15 j




 rOB  ( 0  0 ) i  ( 3  0 ) j  3 j
N al trasladar una partícula desde
el punto (0,0) hasta el punto (3,3) según las
siguientes trayectorias:
a) (0,0) . . . . . (0,3). . . . . (3,3)
b) (0,0). . . . . .(3,0). . . . . (3,3)
c) (0,0). . . . . .(3,3)
Las trayectorias serían las representadas en la
figura.
B(0,3)
C(3,3)
a


W ( O  C )  W ( O  A )  W ( A  C )  15 j  3 i 


 15 j  3 j  0  45 J  45 J
c) En este caso el vector desplazamiento será:





 rOC  ( 3  0 ) i  ( 3  0 ) j  3 i  3 j
Y el trabajo será:



W ( O  C )  15 j  ( 3 i  3 j )  0  45 J  45 J
Como se puede observar en las tres
trayectorias el trabajo realizado por la fuerza es
el mismo, por lo tanto, se trataría de una fuerza
conservativa.
--------------- 000 ---------------
c
5. Sobre una partícula actúa la fuerza
b
O(0,0)



2
F  6x i  2y j .
A(3,0)
a) En el primer caso la partícula va de O a B y
a C. El trabajo realizado sería:
W ( O  C )  W ( O  B )  W (B  C )
Calcular el trabajo que
realiza cuando la partícula se desplaza
desde el origen O hasta el punto P(1,1).
En este caso se trata de una fuerza variable ya
que su valor depende en todo momento de las
coordenadas (x,y) en las que se encuentre la
partícula. Por lo tanto, para calcularlo
tendremos que utilizar la expresión:
Los vectores desplazamiento en cada uno de
estos trayectos son:
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6
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W 
r2
r
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

F  dr
Froz    N    ( F y  P )  489 N
1
Como la componente Fy es perpendicular al
desplazamiento no realizará trabajo. Lo mismo
ocurre con la fuerza Peso y con la reacción del
plano N. El trabajo de la fuerza F es debido
exclusivamente a la componente Fx, luego:
Que en nuestro caso será:
P
O
W 
W 
1
0
6x
2




2
( 6 x i  2 y j )  ( dx i  dy j )
dx 
1
0
   y 
3 1
0
2 y dy  2 x
2 1
0
3J
--------------- 000 ---------------
W (F )  W (F x )  1125 ,83 N  6 m  cos 0 º 
 6754 ,98 J
El trabajo de la fuerza de rozamiento será:
W (Froz )  489 N  6 m  cos 180 º   2934 J
6. Un bloque de 100 kg es empujado una
distancia de 6 m sobre un piso horizontal,
mediante una fuerza de 1300 N que forma un
ángulo de 30º hacia abajo con la horizontal.
El coeficiente de rozamiento entre el bloque
y el piso es de 0'3. Calcular:
a) El trabajo que realiza cada una de las
fuerzas.
b) Comprueba que el trabajo de todas las
fuerzas que actúan sobre el bloque es igual
al trabajo de la fuerza resultante que actúa
sobre él.
Y el trabajo total será:
W TOTAL
 6754 ,98 J  2934 J  3820 ,98 J
b) Calculamos primero la fuerza resultante de
todas las que actúan sobre el cuerpo. Como N
neutraliza a las fuerzas P y Fy, la resultante
sobre el cuerpo será:
FR  F x  Froz  1125 ,83 N  489 N  636 ,83 N
Y el trabajo que realiza esta fuerza resultante
será:
a) La situación sería la siguiente:
W (FR )  636 ,83 N  6 m  cos 0 º  3820 ,98 J
N
Froz
Donde se comprueba que el trabajo de todas
las fuerzas es igual al trabajo de la fuerza
resultante de ellas.
α=30º
P
F
--------------- 000 ---------------
Si descomponemos la fuerza F en sus
componentes perpendiculares tendremos:
N=P+Fy
Fx
Froz
α
P
Fy
F
Cuyos valores serán:
F x  F  cos   1125 ,83 N
F y  F  sen   650 N
7. Un resorte de constante elástica 80 N/m
se comprime una longitud de 3 cm, a partir
del equilibrio, sobre una superficie lisa y
horizontal. Calcular el trabajo realizado por
el resorte cuando el bloque pasa de la
posición x1= - 3 cm hasta su posición no
deformada.
La fuerza que ejerce el muelle viene dada por
F   kx y es, por lo tanto, una fuerza variable,
ya que su valor depende en todo momento de
la posición x.
El trabajo que realiza al descomprimirse desde
la posición inicial (x1=-0,03 m) hasta la posición
final (x2=0 m) será:
El valor de la fuerza de rozamiento será:
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0
W 
x2
x
1
x2 
(  kx ) dx   k xdx   80



 0 ,03
m  2 

  0 ,03

 0,03  2
N 
  80
0
m 
2

0
N

  0 ,036 J


8. Calcula el trabajo que realiza la fuerza
al
partícula desde el punto
punto B(3, -1, 2).
desplazar
una
A(0,0,0) hasta el
r2
r


F  dr 
1
x2
x
F x dx 
1
y2
y
F y dy 
1
z2
z
3x 2
W 
3 x dx   y dy  2 z dz  
0
0
0
 2


1
1

1
2
 
--------------- 000 ---------------
9. Un cuerpo de 2 kg desciende en caída
libre.
a) ¿Qué fuerza constante es preciso
aplicarle, en el instante en que su velocidad
es de 20'4 m/s, para detenerlo en 2 s?.
b) ¿Qué trabajo se realiza sobre el cuerpo
desde que se aplica la fuerza hasta que se
detiene?.
F>P
P
necesaria
para
m
s
  10 ,2 ms
2
2s
La fuerza resultante necesaria para producir
esta aceleración será:

FR  ma  2 kg   10 ,2 ms
FR  P  F
2
   20 ,4 N

a) Si el cuerpo cae
libremente es debido a
que sobre él sólo actúa
la fuerza peso que
provoca
que
su
velocidad
vaya
en
aumento. Si queremos
detenerlo es necesario
aplicarle una fuerza
hacia arriba y mayor
que su peso de tal
2
F  P  FR 
  20 ,4 N   40 N
b) Para calcular el trabajo debemos conocer
previamente el espacio que recorre el cuerpo
hasta que se detiene. Este será:
3

 
 0
y 
27
1
2 2

 z 0 
  4  17 J

2 
2
2

0
2
0  20 ,4
 2 kg  9,8 ms
F z dz
Que en nuestro caso tendremos que:
3
negativa
Esta fuerza debe estar dirigida hacia arriba.
Ahora bien:
Al ser una fuerza variable su trabajo lo
calcularemos de la forma:
W 
La aceleración
detenerlo será:
v  v0
a 

t
--------------- 000 ---------------




F  3 x i  y j  2 zk
manera que le provoque una aceleración
negativa para que pueda detenerlo (ver figura).
s  vo t 
 20 ,4 ms
at
1
2

2
 10 ,2 ms   4 s
2
2s 
2
 20 ,4 m
2
Por lo tanto, el trabajo que realiza la fuerza F
que debemos ejercer será de:
W  40 N  20 ,4 m  cos 180 º   816 J
El signo negativo del trabajo es debido a que la
fuerza F que ejercemos tiene sentido contrario
al movimiento del cuerpo.
--------------- 000 ---------------
10. Una partícula de masa m está unida a un
muelle cuyo comportamiento no sigue la ley
de Hooke, ya que la fuerza que ejerce es, en
función de la deformación x, F=-4x2 - 2x.
Calcular el trabajo que es preciso realizar
para deformarlo 6 cm.
La fuerza F es variable ya que depende de la
posición x en la que se encuentra el muelle con
respecto a la posición de equilibrio.
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
8
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
La partícula pasa de la posición inicial, x 0= 0 m,
hasta la posición final, x=0,06 m. El trabajo que
realiza la fuerza elástica vendrá dado por:
W 
x
x
F dx 
0
 
 x
2 0 ,06
0
0 ,06
0
2
(4 x
x3
 2 x ) dx   4 
 3
0 ,06


 0
 0 ,06 3

2
 4
 0   0 ,06  0 
 3




  3 ,88  10
3

La pérdida de energía será debido a la pérdida
de energía potencial, es decir:
 Epg  mg ( h 0  h ) 
J
Este es el trabajo que realiza la fuerza debido
al muelle. El trabajo que tendremos que realizar
nosotros será el mismo pero de signo positivo.
--------------- 000 ---------------
11. Una piedra de 2 kg atada al extremo de
una cuerda de 0'5 m gira con una velocidad
de 2 revoluciones por segundo.
a) ¿Cuál es su energía cinética?.
b) Calcular el valor de la fuerza centrípeta
que actúa sobre la piedra.
c) ¿Qué trabajo realiza la fuerza centrípeta
en una vuelta?.
a) La velocidad angular en el S.I. será:
2
rev

12. Si una masa de 10 g cae, sin velocidad
inicial, desde una altura de 1 m y rebota
hasta una altura máxima de 80 cm. ¿Qué
cantidad de energía ha perdido?.
(Universidad de Murcia, 1983).
Sol: 0'0196 J.

s
2  rad
 12 ,56 rad  s
 0,01 kg  9,8 ms
2
1m  0,8 m   0,0196
--------------- 000 ---------------
13. Un trineo de 5 kg se desliza con una
velocidad inicial de 4 m/s. Si el coeficiente
de fricción entre el trineo y la nieve es de
0'14, determinar la distancia que recorrerá el
trineo antes de detenerse.
El trineo termina parándose debido a que en
todo momento actúa sobre él la fuerza debido
al rozamiento, que al ir en contra del
movimiento le provocará una disminución de
velocidad. La fuerza peso P se ve equilibrada
por la reacción del plano N; estas fuerzas no
afectan al movimiento del cuerpo.
1
1 rev
vo=4 m/s
Su velocidad lineal será:
v    r  12 ,56 rad  s
1
 0,5 m  6,28 ms
N=P
P
1
2
mv
2

1

2 kg  6,28 ms
2

1 2
 39 ,43 J
b) La fuerza centrípeta será:
Fc 
mv
v=0
Froz
1
Y su energía cinética:
Ec 
J
2
 157 ,75 N
r
c) Ninguno ya que en todo momento forma un
ángulo de 90º con el desplazamiento.
Δx
Si aplicamos el teorema trabajo-energía
cinética analizaríamos la situación de la
siguiente forma: inicialmente el cuerpo posee
una energía cinética, como la única fuerza que
actúa sobre el cuerpo, la Froz, realiza un trabajo
negativo entonces su energía cinética irá
disminuyendo (su velocidad disminuye) hasta
que termina perdiendo toda la energía cinética
que tenía al principio, parándose finalmente.
Aplicando el teorema trabajo-energía cinética
tendremos que:
W Total   E c
--------------- 000 ---------------
Y el trabajo total es debido al rozamiento ya
que esta es la única fuerza que actúa, luego:
W TOTAL
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
 W roz  Froz   x  cos 
9
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Dpto. Física y Química
El valor de la fuerza de rozamiento será:
Froz    N    P  0,14  5 kg  9,8 ms
2
 6,86 N
Para calcular la velocidad final aplicaremos el
teorema trabajo-energía cinética calculando
primero la energía cinética final y de aquí la
velocidad final. Es decir:
Luego el trabajo que realiza será:
W Total   E c
W roz  Froz   x  cos   6 ,86   x  cos 180 º 
  6,86  x
W TOTAL
 ( F   mg )   x 
Donde Δx es el espacio que recorre hasta
pararse y la incógnita que debemos calcular.
 ( 25 N  0 ,35  4 kg  9 ,8 ms
 
1
 Ec
F

5 kg  4 ms
2
0
 0  Ec

1 2
0
 
1
x 
40

)  3 m  33 ,84 J
Por lo tanto:
mv
2
2
0

W Total   E c

Ec F  33 ,84 J
  40 J
Si igualamos el trabajo total y la variación de
energía cinética podremos calcular la distancia
que recorre hasta pararse. Es decir:
W Total   E c
2
 Ec  Ec F  Ec 0  Ec F  0  Ec F
La variación de energía cinética será:
 E c  Ec
 F TOTAL   x  F  Froz    x 
 6 ,86   x   40
Ec F 

1
2
mv F
2
2  33 ,84 J

vF 
 4 ,11 ms
2  Ec F

m
1
4 kg

--------------- 000 ---------------
 5 ,83 m
6 ,86
--------------- 000 ---------------
14. Una fuerza horizontal de 25 N se aplica a
una caja de 4 kg, inicialmente en reposo
sobre una mesa rugosa horizontal. El
coeficiente de fricción cinética entre la caja
y la mesa es 0'35. Determinar la velocidad
de la caja después de haber sido empujada
a lo largo de una distancia de 3 m.
Sobre la caja actúan dos fuerzas: la fuerza
vo=0
2
 8 m  4,31 J
v?
F=25 N
P
a) En el primer caso la altura con respecto al
nivel de referencia es de 8 m, luego:
Epg  mgh  55 kg  9,8 ms
N=P
Froz
15. Una muchacha de 55 kg se encuentra en
el tercer piso de un edificio, que se
encuentra 8 m por encima de la planta baja.
¿Cuál es la energía potencial del sistema
muchacha-Tierra si:
a) Si se elige como nivel de referencia igual
a cero en la planta baja.
b) Si se elige como nivel de referencia igual
a cero en el segundo piso, que está 4 m por
encima de la planta baja.
Δx=3 m
b) En el segundo caso la altura con respecto al
nivel de referencia es de 4 m, luego:
Epg  mgh  55 kg  9,8 ms
2
 4 m  2,15 J
horizontal hacia la derecha y la fuerza de
rozamiento hacia la izquierda. La primera
favorece el movimiento y la de rozamiento va
en contra de él.
--------------- 000 ---------------
La fuerza peso P y la reacción del plano se
anulan y no realizan trabajo alguno.
16. Se empuja un bloque de 2 kg contra un
muelle, cuya constante elástica es 500 N/m,
comprimiéndolo 20 cm. ¿Cuánto vale la
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
10
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Dpto. Física y Química
energía potencial elástica del bloque en ese
instante?.
Epe 
1
kx
2
2

1
500 Nm
1
2
 0,2 m 
2
viene
v 
dada
por
2 m 2  m 1 gh
m1  m 2
. Suponer m2 > m1.
La situación gráfica antes y después de caer
sería la siguiente:
m1< m2
17. Desde una altura de 200 m se deja caer
una piedra de 5 kg.
a) ¿Con qué velocidad llega al suelo?.
b) ¿Cuánto valdrá su energía potencial en el
punto más alto?.
c) ¿Cuánto valdrá su energía cinética al
llegar al suelo?.
d) ¿Cuánto valdrá su velocidad en el punto
medio de su recorrido?.
Considerar g=10 m/s2
a) La velocidad al llegar al suelo, aplicando la
ecuación del m.u.a. será:
2 gh 
b) Epg
0
2  10 ms
2
 200 m  63 ,24 ms
 mgh  5 kg  10 ms
2
 200 m  10
4
1
J
c) Al no existir fuerzas no conservativas, la Epg
arriba se transformará íntegramente en Ec en
el suelo, luego Ec = 104 J.
m1
P1

h
P2
Epg 0  Epg ( pm )  Ec ( pm )
Ec ( pm )  Epg 0  Epg ( pm ) 
v ( pm ) 
4
J  5 kg  10 ms
2 Ec ( pm )
m

2
Epg=0
El sistema inicialmente está en reposo.
Comienza a moverse ya que las fuerzas que
actúan son P2 y P1 y, al ser P2>P1, el sistema
se moverá hacia la derecha de forma acelerada
ganando velocidad. Al estar unidos por una
cuerda el cuerpo 1 subirá una distancia h
cuando el cuerpo 2 descienda también una
distancia h. Además los dos se moverán en
cada momento con la misma velocidad.
Como las únicas fuerzas que intervienen, los
pesos de
los cuerpos, son
fuerzas
conservativas se cumplirá el Principio de
Conservación de la Energía Mecánica. Por lo
tanto tendremos que:
 44 ,72 ms
Evaluaremos la energía mecánica inicial y final
y las igualaremos. Para ello, consideramos
como nivel cero de Epg el nivel al que se
encuentran los cuerpos inicialmente.
Energía mecánica inicial
 100 m  5000 J
2  5000 J
v
Em 0  Em F
Donde pm indica “punto medio”. Por lo tanto:
 10
v
h
m2
d) Al conservarse la Em tendremos que:
Em 0  Em ( pm )
expresión
 10 J
--------------- 000 ---------------
v 
la
1
5 kg
--------------- 000 ---------------
18. Dos bloques de masas m2 y m1 se
encuentran unidos por una cuerda delgada
que pasa por una polea ligera sin
rozamiento. Demostrar que la velocidad de
cada uno de los bloques cuando el más
pesado de ellos desciende una distancia “h”
La energía cinética de ambos cuerpos será
cero ya que están en reposo.
La energía potencial gravitatoria será cero ya
que ambos cuerpos se encuentran en el nivel
cero elegido arbitrariamente. Luego:
Em 0  Ec 0  Epg 0  0  0  0
Energía mecánica final
Como ambos cuerpos se mueven a la misma
velocidad v, la energía cinética del sistema
será:
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
11
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Ec F 
1
2
m1 v
2
1

2
m2 v
Dpto. Física y Química
2

1
2
m 1  m 2  v 2
La Epg del cuerpo 1 será positiva ya que se
encuentra por encima del nivel cero, mientras
que la del cuerpo 2 será negativa al
encontrarse por debajo del nivel cero. Luego:
Epg F  m 1gh  m 2 gh  m 1  m 2 gh
conservará la Em y lo que ocurre es que la
pérdida de energía potencial se traduce en
ganancia de energía cinética. Por lo tanto,
podremos escribir que:
mgh 
1
mv
2

v 
2 gh
2
Para calcular h tendremos en cuenta que:
Por lo tanto:
Lh
cos  

h  L  L  cos  
L
Em F  Ec
F
 Epg
F

1
2
 m 1  m 2 gh
m 1  m 2 v 2
Luego, la velocidad al pasar por la vertical será:
Si aplicamos el principio de conservación de la
energía mecánica tendremos que:
Em
0
 Em F

0 
2
m 1  m 2 v 2
v 
1
2
 m 1  m 2 gh
1
 1 m  1 m  cos 37 º  0 ,20 m

v 
2 gh 
2
2  9 ,8 ms
 0 ,2 m  1,97 ms
1
--------------- 000 ---------------
m 1  m 2 v 2

 m 2  m 1 gh
2 m 2  m 1 gh
20. Un proyectil de 2 g sale del cañón de un
fusil a 300 m/s:
a) Calcular la energía cinética del proyectil a
la salida del cañón.
b) Si la fuerza que actúa sobre el proyectil
mientras está en el cañón es F = 360 - 720 x,
determinar la longitud del cañón.
m1  m 2
a) Ec 
Al mismo resultado se hubiera llegado de haber
elegido como nivel cero de Epg cualquier otra
referencia.
--------------- 000 ---------------
1
mv
2

2
1

0,002 kg  300 ms
2

1 2
 90 J
b) Aplicaremos el teorema trabajo-energía
cinética, es decir:
W TOTAL
 W F   Ec  Ec F  Ec 0 
 90 J  0 J  90 J
19. Calcular la velocidad de un péndulo de 1
m de longitud cuando pasa por la vertical, si
se suelta desde una desviación de 37º.
Para calcular el trabajo que realiza la fuerza F,
al ser esta variable, tendremos que utilizar la
expresión, siendo L la longitud del cañón:
WF 
α
L-h
h
L
0
F dx 
x2
 720 
 2
L
h
Cuando el péndulo cae desde una desviación
hasta la vertical desciende una altura “h”,
perdiendo Epg. En cambio, gana Ec al ir
ganado velocidad. Como la única fuerza que
actúa es el peso, fuerza conservativa, se
L
 720 x dx  360 x 0 
0 360
L
L

2
  360  L  360  L
 0
Por lo tanto, tendremos:
90  360 L  360 L
2

L  0,5 m
--------------- 000 ---------------
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
12
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Dpto. Física y Química
21. Un bloque de 0'5 kg de masa se
encuentra en el extremo superior de un
plano que está inclinado 45º respecto de la
horizontal. En la parte inferior del plano
existe un resorte de constante elástica
k=400 N/m, inicialmente sin deformar. El
bloque se encuentra a 3 m del extremo del
resorte y está inicialmente en reposo. Al
deslizar el bloque y entrar en contacto con
el resorte lo comprime. Calcular la
deformación máxima que sufre el resorte.
cuerpo, suponiendo el nivel cero de Epg la
base del plano. Al final sólo hay energía
potencial elástica debido a la compresión del
muelle.
Al principio el cuerpo tiene Epg que, al
descender se convierte en Ec y ésta se va
convirtiendo en Epe al ir comprimiendo el
muelle. Por lo tanto podremos poner que:
Epg 0  Epe F
x 
La situación gráfica inicial sería:
2 mgh

mgh 
1
2
kx

2
2
2  0 ,5 kg  9 ,8 ms

k
400 Nm
 2,12 m
1

 0 ,22 m
v0=0
--------------- 000 ---------------
3m
h
45º
La altura vertical h a la que se encuentra el
cuerpo será:
22. Un niño de masa 40 kg se desliza hacia
abajo por un tobogán inclinado 30º. El
coeficiente de fricción cinética entre el niño
y el tobogán es 0'2. Si el niño parte del
reposo desde el punto más alto del tobogán,
a una altura de 4 m sobre el suelo. ¿Qué
velocidad tiene al llegar al suelo?.
h  3 m  sen 45 º  2,12 m
Debido a la fuerza peso del cuerpo este
desciende por el plano ganando velocidad y, al
final, al encontrarse con el muelle lo
comprimirá, perdiendo velocidad, hasta que al
final el cuerpo se para siendo en este caso la
compresión del muelle máxima. La situación
final sería:
Las fuerzas que intervienen son las
representadas en la figura, donde FT y FN son
las componentes del peso.
v0=0
Froz
N
x
FT
h=4 m
FN
v
30º
h
x
v=0
El niño recorre una distancia x a lo largo del
plano, distancia que valdrá:
45º
donde x es la compresión máxima que
experimenta el muelle.
Si analizamos la situación desde el punto de
vista trabajo-energía diremos que: sobre el
cuerpo actúa inicialmente la fuerza peso y al
entrar en contacto con el muelle la fuerza
elástica,
como
ambas
son
fuerzas
conservativas, se conservará la energía
mecánica del sistema.
Ahora bien, inicialmente sólo hay energía
potencial gravitatoria debido a la situación del
sen 30 º 
h
x

x 
h
sen 30 º

4m
8m
0,5
En este caso, al existir fuerza de rozamiento, la
Epg inicial no se transforma íntegramente en
Ec al llegar al suelo ya que parte de la energía
se pierde debido al rozamiento. Al existir una
fuerza no conservativa, la Froz, no se mantendrá
constante la Em, ahora bien, podremos poner
que:
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
13
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
W (Fnc )  W (Froz )   Em
Movimiento de subida
Ahora bien:
W (Froz )  Froz  x  cos 180 º    mg  cos   x 
  0,2  40 kg  9,8 ms
2
 cos 30 º  8 m   543 ,12 J
Si consideramos como nivel cero de Epg la
base del plano tendremos:
 Em  Em F  Em 0  Ec F  Epg 0 

1
mv
2
 mgh 
2
1
40  v
2
 20 v
W (Froz )  Froz  x  cos 180 º    mg  cos   x 
    20 kg  9,8 ms
 mgh 
 1568



 543 ,12  20 v
1568  543 ,12
v 
1
 Em
mv

 7 ,15 ms
2
 1568
1
20
--------------- 000 ---------------
23. Un bloque que tiene una masa de 20 kg
comienza a ascender, por un plano
inclinado que forma un ángulo de 30º con la
horizontal con una velocidad de 12 m/s. Al
regresar el cuerpo pasa por el punto de
partida con una velocidad de 6 m/s. Calcula
el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo
y la superficie del plano inclinado.
2
1
 cos 30 º  x   169 ,74    x
 Epg
0
F
 Ec
 20 kg  9 ,8 ms
20 kg  12 ms
2
W ( Froz )   Em
1
F
2
Por lo tanto:
2
ya que tanto μ como x son desconocidos.
 Em  Em
 40  9 ,8  4 
2
2
Se inicia con una velocidad v1 = 12 m/s para
terminar parándose a una altura h, recorriendo
una distancia x sobre el plano.

1 2
0
2

 x  sen 30 º 
 98  x  1440
Por lo tanto:
W (Froz )   Em

 169 ,74   x  98 x  1440
Ecuación con dos incógnitas que no podremos
resolver sin otra ecuación que las relacione.
Por eso vamos a analizar el movimiento de
bajada.
Movimiento de bajada
Se inicia con velocidad cero a una altura h para
terminar en el suelo con una velocidad v2 = 6
m/s.
W (Froz )  Froz  x  cos 180 º    mg  cos   x 
    20 kg  9,8 ms
2
 cos 30 º  x   169 ,74    x
 Em  Em F  Em 0  Ec F  Epg 0 
1


W (Fnc )  W (Froz )   Em
W (Froz )   Em
2
 20  9 ,8  x  sen 30 º  360  98 x

 169 ,74   x  360  98 x
Si comparamos las dos ecuaciones obtenidas
en la subida y en la bajada tendremos que:
v=0
98 x  1440  360  98 x
h

1
2
1 2
mv 2  mgh  20  6 ms

2
Al existir fuerza de rozamiento no se mantendrá
constante la Em sino que deberemos emplear
la ecuación:
x

x  9,18 m
v1=12 m/s
30º
v2=6 m/s
Vamos a aplicarla al movimiento de subida y al
de bajada. Suponemos que el cuerpo
finalmente está a una altura “h” con respecto al
suelo después de haber recorrido una distancia
“x” sobre el plano inclinado.
Y sustituyendo este valor en cualquiera de las
dos ecuaciones obtenemos para el coeficiente
de rozamiento el valor de μ = 0,34.
--------------- 000 ---------------
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
14
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
24. Un cuerpo de 20 kg se lanza por un
plano inclinado 37º, con la velocidad de 20
m/s. Calcular la distancia que recorre hasta
que se detiene:
a) Si se desprecia el rozamiento.
b) Considerando que el coeficiente de
rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0'2.
2
v0
h 
Fa 

2  g 

m 

b) la velocidad con la que regresa al punto
de partida es:
mg  Fa
v  v0
a) Si llamamos h a la altura vertical que sube y
x a la distancia que recorre sobre el plano
tendremos que:
sen 37 º 
a) Al existir fuerza de rozamiento tendremos
que:
W (Fnc )  W (Froz )   Em
h

h  x  sen 37 º
x
W (Froz )   Fa  h
Si no hay rozamiento se cumple el principio de
conservación de la energía mecánica, luego:
Em 0  Em F

 20 kg  9,8 ms
2
1

 x  sen 37 º


x  33 ,91 m
 mgh 
1
2

 Em
mv
2
1
20  20 ms
 cos 37 º  x   31,3  x
2
0

0
 Epg
F
 Ec
0
 Fa  h  mgh 

1
2

mv 0
2
 Ec
0

h 
2
mv 0
2

h 
m
mg
1
2
2
mv 0
mv 0
2 mg  Fa 
del
numerador
2
v0
2
mgh  Fa h 
2
1
 Fa 

al
2
v0
Fa 
 mg
2 


m
m 


v0
Fa 

2  g 

m 

b) Si aplicamos el mismo razonamiento al
movimiento de descenso, tendremos que:
Igualando las dos ecuaciones tendremos que:
 31,3  x  117 ,95  x  4000
F
2
0
2

 117 ,95  x  4000
 Epg
Pasando la masa m
denominador tendremos:
 20  9 ,8  x  sen 37 º 
1 2
0
Por lo tanto:
h mg  Fa  
W (Froz )  Froz  x  cos 180 º    mg  cos   x 
F
mv
2
W (Fnc )  W (Froz )   Em
  0,2  20 kg  9,8 ms
1

b) Al haber rozamiento tendremos que aplicar
la ecuación:
2
 Em  Em F  Em
 mgh 
1 2
20 kg 20 ms
2
 Em  Em
mg  Fa
W (Froz )   Fa  h
x  26 ,8 m
 Em  Em F  Em
Lógicamente una distancia menor que en el
primer caso al existir ahora rozamiento.
--------------- 000 ---------------
25. Una pelota se lanza verticalmente hacia
arriba con la velocidad inicial v0. Si el aire
ejerce una fuerza de rozamiento constante
Fa sobre la pelota, demostrar que:
a) la altura h alcanzada por la pelota es:

1
mv
2
0
 Ec F  Epg
0

 mgh
2
 Fa h 

1
mv
2
 mgh
2

v 
2 mgh  Fa h 

m
2 h mg  Fa 
m
Si sustituimos h por la expresión obtenida en el
apartado anterior y desarrollamos llegaremos a
la ecuación pedida para v.
--------------- 000 ---------------
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
15
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
26. Desde una torre de 40 m de altura se
dispara un proyectil de 1 kg, formando un
ángulo de 37º con la horizontal, con una
velocidad de 120 m/s. Calcular la velocidad
del proyectil cuando llega al suelo, por
consideraciones energéticas, despreciando
el rozamiento con el aire.
alcanzará en la segunda rampa será también
de 1 m.
b) Al existir rozamiento la altura que alcanzará
será menor de 1 m ya que parte de la energía
inicial se pierde.
A
El ángulo de inclinación no importa ya que al
aplicar término energéticos sólo nos interesa el
módulo de la velocidad. Al no existir rozamiento
se cumple el principio de conservación de la
energía mecánica.
x
1m
h
y
1m
β=53º
α=37º
v0=120 m/s
El cuerpo desciende una distancia x en el
primer plano que valdrá:
sen 37 º 
h=40 m
Ec 0  Epg 0  Ec F
1
1
2
2
mv 0  mgh  mv
2
2
2
v 
v 0  2 gh 
 123 ,22 ms
x  1,66 m
Desliza 1 m por el plano horizontal y asciende
una distancia y por el plano vertical que valdrá:
Si consideramos nivel cero de Epg al suelo
tendremos que:


x
v
Em 0  Em F
1m
1

2
120 ms 
1 2
v
2

1
2
sen 53 º 
2
 2  9 ,8 ms
2


 40 m 
h
y 
y

v 0  gh
h
 1,25  h
sen 53 º
Para calcular el trabajo que realiza el
rozamiento habrá que hacerlo por separado en
cada una de las superficies. Es decir:
W (Froz )  W (Froz )1  W (Froz ) 2  W (Froz ) 3
1
W (Froz )1    mg cos 37 º  x 
--------------- 000 ---------------
27. Desde el punto A de la figura se suelta
un cuerpo. Calcular la altura que alcanza en
la rampa de 53º:
a) si no hay rozamiento.
b) si hay rozamiento en todo el recorrido,
siendo 0'1 el coeficiente de rozamiento.
  0,1  m  9,8 ms
2
 cos 37 º  1,66 m   1,3  m
W ( Froz ) 2    mg  1 m 
  0,1  m  9,8 ms
2
 1 m   0,98  m
W ( Froz ) 3    mg cos 53 º  y 
  0,1  m  9,8 ms
2
 cos 53 º  1,25 h   0,73  m  h
Luego:
A
W ( Froz )   1,3  m  0,98  m  0,73  m  h 
  m ( 2,28  0,73  h )
1m
1m
α=37º
β=53º
La variación de energía mecánica desde la
posición inicial a la final será:
a) Si no hay rozamiento se conserva la energía
mecánica y, por lo tanto, la altura que
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
16
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Dpto. Física y Química
 Em  Em F  Em 0  Epg F  Epg 0 
 mgh  mgh 0  m  9 ,8 ms
 m  9 ,8 ms
2
2
h 
 1 m  9 ,8  m  h  9 ,8  m 
 9 ,8 m ( h  1)
Igualando las dos ecuaciones tendremos:
 m ( 2,28  0,73  h )  9,8 m ( h  1)
 2,28  0,73  h  9,8  h  9,8
10 ,53  h  7,52



h  0,71 m
Lógicamente, alcanzará una altura inferior a 1
m, debido a la pérdida de energía por
rozamiento.
extremo libre de un resorte, de masa
despreciable y constante elástica k = 400 N
m-1 , colocado horizontalmente.
a) Analice las transformaciones de energía
que tienen lugar desde un instante anterior
al contacto del bloque con el resorte hasta
que éste, tras comprimirse, recupera la
longitud inicial. ¿Cómo se modificaría el
balance energético anterior si existiera
rozamiento entre el bloque y la superficie?.
b) Calcule la compresión máxima del resorte
y la velocidad del bloque en el instante de
separarse del resorte, en el supuesto inicial
de que no hay rozamiento.
(Universidades Andaluzas, 1999)
La situación gráfica sería la siguiente:
--------------- 000 ---------------
v0=10 m/s
1
28. Dejamos caer un cuerpo de 100 g sobre
un muelle de K=400 N/m. La distancia entre
el cuerpo y el muelle es de 5 m. Calcular la
longitud x del muelle que se comprime.
x
v=0
La situación antes y después sería:
5m
v
Nivel 0 de Epg
x
Las fuerzas que intervienen, el peso y la fuerza
elástica, son conservativas luego se conservará
la Em. Es decir:
Em 0  Em F
mgh 0 
1
kx

2
Epg 0  Epe F  Epg F
 mgx

2

0 ,1  9 ,8  5 
3
a) Inicialmente, en la posición 1, el bloque
posee una energía cinética debido a su
velocidad, suponiendo el nivel cero de Epg en
el suelo. Al chocar con el muelle va perdiendo
Ec pero el sistema va ganando Epe al ir
comprimiéndose el muelle. Cuando el cuerpo
pierde toda su Ec, posición 2, el muelle alcanza
su máxima compresión, x, y , por lo tanto, su
máxima Epe que al no existir rozamiento será
igual a la Ec inicial del cuerpo antes de chocar
con el muelle. Es decir, de la posición 1 a la 2
lo que ocurre es una transformación íntegra de
Ec en Epe ya que la única fuerza que
interviene, la fuerza elástica, es conservativa y
la Em del sistema debe conservarse.
2
--------------- 000 ---------------
De la posición 2 a la 3 ocurre el proceso
inverso. La Epe se convertirá íntegramente en
Ec cuando el cuerpo abandone el contacto con
el muelle. Por lo tanto, la velocidad del cuerpo
al abandonar el muelle será de 10 m/s igual a
la inicial ya que no ha habido pérdidas de
energía.
29. Un bloque de 8 kg desliza por una
superficie horizontal sin rozamiento con una
velocidad de 10 m s-1 e incide sobre el
Caso de existir rozamiento, parte de la Ec
inicial se perderá por rozamiento de tal manera
que la compresión x del muelle será menor a la
anterior y ya no se cumplirá que la Ec inicial

1
400  x
2
 0 ,1  9 ,8  x

2
200  x
2
 0 ,98  x  4 ,9  0

x  0 ,15 m
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
17
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Dpto. Física y Química
sea igual a la Epe del muelle en su máxima
compresión. En el siguiente proceso, de 2 a 3,
ocurrirá también una pérdida de energía por
rozamiento y, por lo tanto, la Epe no se
convertirá íntegramente en Ec. Consecuencia
de los dos procesos en que la Ec final del
bloque será inferior a la Ec inicial, por lo tanto,
el bloque abandonará el muelle con una
velocidad inferior a 10 m/s.
b) Al no existir rozamiento se conservará la
energía mecánica. Si aplicamos esta condición
desde la posición 1 a la 2 podremos calcular l
máxima compresión del muelle:
Em
1
0
mv
2
x 
 Em
2
0

1

F
kx
2
Ec

0
 Epe
mv
2
mv
k
2
0


8 kg 10 ms
400 Nm
2
0
 kx


F
2

1 2
1
 1,41 m
La velocidad final del bloque será de 10 m/s tal
y como se ha razonado en el apartado anterior.
--------------- 000 ---------------
30. Un cuerpo de 0'5 kg se encuentra
inicialmente en reposo a una altura de 1 m
por encima del extremo libre de un resorte
vertical, cuyo extremo inferior está fijo. Se
deja caer el cuerpo sobre el resorte y,
después de comprimirlo, vuelve a subir. El
resorte tiene una masa despreciable y una
constante elástica k = 200 N m-1.
a) Haga un análisis energético del problema
y justifique si el cuerpo llegará de nuevo al
punto de partida.
b) Calcule la máxima compresión que
experimenta el resorte.
g = 10 m s-2.
(Universidades Andaluzas, 1999)
La situación gráfica sería la siguiente:
1m
h
Nivel 0 de Epg
x
Si suponemos como nivel cero de Epg la
posición del cuerpo cuando el muelle está en
su máxima compresión el análisis energético
será el siguiente.
Si no existe fuerza de rozamiento, las únicas
fuerzas que actúan sobre el sistema son la
fuerza peso y la fuerza elástica, ambas
conservativas, por lo tanto, se conservará la
energía mecánica del sistema.
Inicialmente, el sistema tiene sólo Epg debido a
la altura, 1m + x, del cuerpo sobre el nivel cero.
Al caer esta Epg0 se va convirtiendo
paulatinamente en Ec. Al chocar el cuerpo con
el muelle va perdiendo Ec y va ganado Epe.
Cuando el muelle esté en su máxima
compresión la Epg0 se habrá convertido
totalmente en Epe ya que en este momento el
cuerpo no tiene Ec (está parado) ni Epg (está
en el nivel cero).
Desde está posición ocurrirá el fenómeno
contrario, la Epe se irá convirtiendo primero en
Epg y Ec y después la Ec se irá convirtiendo en
Epg. Al no existir rozamiento no hay pérdidas
de energía y, por lo tanto, el cuerpo alcanzará
la altura inicial de 1 m.
b) Si aplicamos la conservación de la Em
desde la posición inicial hasta la máxima
compresión del muelle tendremos que:
Em
0
 Em

F
mg 1  x  
1
kx
100 x
2
0
 Epe
F


2
0 ,5  10  1  x  

2
Epg
1
200  x
 5 1  x   100 x
2
2
5x5  0

2
x  0 ,25 m
--------------- 000 ---------------
31. Una fuerza conservativa actúa sobre una
partícula y la desplaza, desde un punto x 1
hasta otro punto x2, realizando un trabajo de
50 J.
a) Determine la variación de la energía
potencial
de
la
partícula
en
ese
desplazamiento. Si la energía potencial es
cero en x1, ¿cuánto valdrá en x2?.
b) Si la partícula, de 5 g, se mueve bajo la
influencia exclusiva de esa fuerza, partiendo
del reposo en x1, ¿cuál será la velocidad en
x2?; ¿cuál será la variación de su energía
mecánica?.
(Universidades Andaluzas, 2000)
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
18
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Dpto. Física y Química
a) Si la fuerza es conservativa podremos poner
que:
W (Fcons )    Ep  50 J

 Ep   50 J
 Ep  Ep ( x 2 )  Ep ( x 1 )   50 J
igual a la Ec inicial del cuerpo antes de chocar
con el muelle. Es decir, de la posición 1 a la 2
lo que ocurre es una transformación íntegra de
Ec en Epe ya que la única fuerza que
interviene, la fuerza elástica, es conservativa y
la Em del sistema debe conservarse.

v0=30 m/s
Ep ( x 2 )   50 J  Ep ( x 1 )   50 J  0   50 J
1
b) Si sólo existe la fuerza conservativa esta
será también la fuerza resultante, por lo tanto,
aplicando el teorema trabajo-energía cinética
podremos poner que:
W (FR )  W (Fcons )   Ec
x
v=0
Em
Como en x1 está en reposo su Ec1=0, luego:
1
0
mv
2
W (Fcons )   Ec  Ec
2
 Ec 1  Ec
2
 Em
2
0
m
2


F
1
kx
2

2
0
 141 ,42 ms
0
 Epe
mv

2
0
10 kg 30 ms

k
2  50 J
Ec
2
mv
Y la velocidad en x2 será:
2  Ec

 50 J
x 
v2 
2
200 Nm
 kx


F
2

1 2
1
 6 ,7 m
1
0,005 kg
Al actuar sólo la fuerza conservativa su energía
mecánica permanecerá constante, luego la
variación de Em será nula.
b) Si existiera rozamiento parte de la Ec inicial
se perdería guante la compresión del muelle y,
por lo tanto, la Epe final será inferior a la Ec
inicial lo que implica que la compresión del
muelle sería menor que en el caso anterior.
--------------- 000 ---------------
--------------- 000 ---------------
32. Un cuerpo de 10 kg se lanza con una
velocidad de 30 m s-1 por una superficie
horizontal lisa hacia el extremo libre de un
resorte horizontal, de constante elástica 200
N m-1, fijo por el otro extremo.
a) Analice las variaciones de energía que
tienen lugar a partir de un instante anterior
al impacto con el resorte y calcule la
máxima compresión del resorte.
b) Discute en términos energéticos las
modificaciones relativas al apartado a) si la
superficie horizontal tuviera rozamiento.
(Universidades Andaluzas, 2000)
33. Un bloque de 3 kg cuelga verticalmente
de un muelle cuya constante elástica es 600
N/m.
a) ¿Cuál es el alargamiento del muelle
cuando el bloque está en equilibrio?.
b) ¿Cuánta energía potencial se almacena
en el sistema muelle-bloque?.
a) Según la ley de Hook:
F  kx

x 
F
k

mg
k

3  kg  9 ,8 ms
600 Nm
1
2

 0 ,049 m
a) Inicialmente, en la posición 1, el bloque
posee una energía cinética debido a su
velocidad, suponiendo el nivel cero de Epg en
el suelo. Al chocar con el muelle va perdiendo
Ec pero el sistema va ganando Epe al ir
comprimiéndose el muelle. Cuando el cuerpo
pierde toda su Ec, posición 2, el muelle alcanza
su máxima compresión, x, y , por lo tanto, su
máxima Epe que al no existir rozamiento será
b) El sistema almacena energía potencial
elástica:
Epe 
1
kx
2

2
1
2
600 Nm
1
0,049
m   0,72 J
2
--------------- 000 ---------------
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
19
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
34. Se empuja un bloque de 2 kg contra un
muelle cuya constante elástica es de 500
N/m, comprimiéndolo 20 cm. Luego se
suelta, y el muelle proyecta al bloque por
una superficie horizontal sin rozamiento y
por un plano inclinado de 45º sin
rozamiento. ¿Qué distancia llega a recorrer
subiendo por el plano inclinado?.
Aplicamos la ecuación W (FR )   Ec . Las
fuerzas que intervienen son la F=25 N y la de
rozamiento cuyo valor es:
La situación gráfica sería:
Froz   mg  0 ,35  4 kg  9 ,8 ms
x=20 cm
α=45º
v=0
1
α=45º
2
L
3
Si no existe rozamiento, como las únicas
fuerzas que actúan, la fuerza elástica y el peso,
son conservativas la Em se conservará a lo
largo del desplazamiento del cuerpo.
Inicialmente, posición 1, el sistema tiene Epe,
al actuar el muelle esa Epe se va convirtiendo
íntegramente en Ec, situación 2. Al comenzar a
subir el plano la Ec se va convirtiendo en Epg.
Cuando el cuerpo se pare finalmente, a una
altura h recorriendo sobre el plano una
distancia L, la Ec se habrá convertido
íntegramente en Epg.
Por lo tanto, en conjunto la Epe inicial se
convertirá íntegramente en Epg al final, luego:
 Epg
kx
2
h
L
1

kx
2
 mgh

2

500 Nm

L 
2 mg
sen  
F
1
0,2 m 2
2  2 kg  9,8 ms
h
sen 

2
 0,51 m
0,51 m
sen 45 º
--------------- 000 ---------------
Como la caja está inicialmente en reposo su
Ec0=0, por lo tanto:
W ( FR )   Ec  Ec
h
α=45º
h 
 13 ,72 N
W (FR )  FR   r  cos 0 º  11,28 N  3 m  33 ,84 J
v
0
2
FR  F  Froz  25 N  13 ,72 N  11,28 N
v
Epe
35. Una fuerza horizontal de 25 N se aplica a
una caja de 4 kg, inicialmente en reposo
sobre una mesa rugosa horizontal. El
coeficiente de fricción cinética entre la caja
y la mesa es 0'35. Determinar la velocidad
de la caja después de haber sido empujada
a lo largo de una distancia de 3 m.
 0,72 m
vF 
2 Ec
m
F

F
 33 ,84 J
2  33 ,84 J

 4,11 ms
1
4 kg
--------------- 000 ---------------
36. Un bloque de 4 kg cuelga de una cuerda
ligera que pasa por una polea y por el otro
extremo está atada a un bloque de 6 kg que
descansa sobre una mesa rugosa. El
coeficiente de fricción cinética es 0'2. El
bloque de 6 kg se empuja contra un muelle
cuya constante elástica es 600 N/m,
comprimiéndolo
30
cm.
En
estas
condiciones se deja el bloque en libertad.
Determinar la velocidad que tienen los
bloques cuando el bloque de 4 kg ha caído
una distancia de 40 cm.
El sistema está inicialmente en reposo, al
liberar el muelle la masa 2 desciende en
vertical 40 cm y, por lo tanto, la masa 1 se
desplaza horizontalmente también 40 cm
quedando el muelle en su posición de equilibrio
y adquiriendo las dos masas una velocidad v, la
misma para las dos ya que están unidas por
una cuerda.
Suponemos que la masa 2 está inicialmente a
una altura “a” de la superficie horizontal.
Asimismo vamos a considerar como nivel cero
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
20
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
de Epg la posición de la masa 2 al final de la
caída. Ver figura.
Energía mecánica final
v=0
Los cuerpos están ahora en movimiento luego
tendrán Ec. El muelle está en su posición de
equilibrio luego no habrá Epe. La masa 1
tendrá Epg pero la 2 no ya que se encuentra en
el nivel cero elegido. Por lo tanto:
x=30cm
m1=6 kg
m2=4 kg
P.E.
del muelle
Em
1

F
2
m 1
 m 2 v
2
 m 1 g h  a 
Por lo tanto:
 Em  Em
v
1
  kx
2
a

1
2
kx
2
v
aparece sólo en el desplazamiento de 40 cm de
la masa 1. Vamos a evaluar el trabajo que
realiza el rozamiento y la variación de energía
mecánica del sistema.
Trabajo del rozamiento
W ( Froz )  Froz   r  cos 180 º   m 1 g  r cos 180 º 
2
 0,4 m   1   4,7 J
Energía mecánica inicial
Al estar en reposo las dos masas no tendrán
Ec. Al estar comprimido el muelle habrá Epe.
Teniendo en cuenta el nivel cero de Epg
elegido tanto la masa 1 como la 2 tendrán Epg.
Por lo tanto:
0
1

2
m 1  m 2 v 2
 Epe  Epg
0 (1)
 m 1 g h  a   m 2 gh
 Epg
0
(2) 
 m 1 g h  a  
1

2
 m 1 g h  a   m 2 gh   m 1  m 2 v 
2

 m 2 gh
1
kx
2

2
 42 ,68
Por lo tanto:
W ( Fno
v 
)   Em
cons
42 ,68  4 ,7

 4 ,7  5 v
 2,75 ms
2
 42 ,68 
1
5
--------------- 000 ---------------
37. Se lanza una pequeña pelota de 15 g
mediante una pistola de juguete que posee
un muelle cuya constante es de 600 N/m. El
muelle puede comprimirse hasta 5 cm. ¿Qué
altura puede alcanzar la pelota si se apunta
verticalmente?.
Sol:5'05 m.
Si suponemos que no existe rozamiento se
conservará la energía mecánica, por lo tanto la
Epe al inicio se convertirá en Epg, luego:
Epe  Epg

1
kx
2
 mgh

h 
2

Em
0
 Em  5 v
Las fuerzas que actúan son: los pesos de
ambos cuerpos, la fuerza elástica del muelle y
la fuerza de rozamiento. Al existir una fuerza no
conservativa la Em no permanecerá constante
debiéndose
utilizar
la
ecuación
W ( Fno cons )   Em . La fuerza de rozamiento
 0,2  6 kg  9,8 ms
 Em
Si sustituimos los valores numéricos nos
quedará que:
h=40 cm
Nivel cero
de Epg
2
F
600 Nm
1
2

2 mg
0,05 m 2
2  0 ,015 kg  9 ,8 ms
kx
2
 5 ,1 m
2
--------------- 000 ---------------
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
21
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
38. Se conectan dos bloques por medio de
una cuerda de masa despreciable que pasa
por una polea sin rozamiento. El bloque m 1
= 0,5 kg está apoyado sobre una superficie
horizontal y unido a un resorte cuya
constante elástica vale k = 50 N/m. Si el
sistema se libera a partir del reposo cuando
el resorte no está estirado y m2 = 0,3 kg cae
una distancia h = 0,05 m antes de quedar en
reposo, calcula el coeficiente de rozamiento
entre m1 y la superficie.
Em 0  m 1g h  a   m 2 gh
Energía mecánica final
Los cuerpos están al final también en reposo
luego no tendrán Ec. El muelle está estirado
una distancia de 0,05 m luego habrá Epe. La
masa 1 tendrá Epg pero la 2 no ya que se
encuentra en el nivel cero elegido. Por lo tanto:
Em
1

F
kx
2
2
La situación gráfica sería:
 m 1 g h  a 
Por lo tanto:
v=0
 Em  Em
m1=0,5 kg
F
 Em
0

1
 m 1 g h  a   m 2 gh  
m2=0,3 kg
P.E.
del muelle
kx
2
2
1
2
kx
 m 1 g h  a  
2
 m 2 gh   0 ,0845 J
Luego:
W ( Fno
 
cons
0,0845
)   Em

 0,245     0,0845 
 0,34
0,245
x=0,05 m
--------------- 000 --------------a
h=0,05 m
Nivel cero
de Epg
v=0
Haciendo un análisis similar al del ejercicio
anterior tendremos que:
Trabajo del rozamiento
W ( Froz )  Froz   r  cos 180 º   m 1 g  r cos 180 º 
   0,5 kg  9,8 ms
2
 0,05 m   1   0,245  
Energía mecánica inicial
Al estar en reposo las dos masas no tendrán
Ec. Al estar el muelle en su posición de
equilibrio no habrá Epe. Teniendo en cuenta el
nivel cero de Epg elegido tanto la masa 1 como
la 2 tendrán Epg. Por lo tanto:
Física 2º Bachillerato - Trabajo y Energía
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