Documento 155025

Física 1º Bachillerato
Trabajo y Energía
TRABAJO Y ENERGÍA
1. Trabajo mecánico.
1.1. Trabajo de una fuerza constante.
1.2. Trabajo de una fuerza variable.
2. Energía.
2.1. Energía cinética.
2.2. Energía potencial.
2.2.1. Energía potencial gravitatoria.
2.2.2. Energía potencial elástica.
2.2.3. Características de las fuerzas conservativas.
2.3. Energía mecánica. Conservación.
2.4. Fuerzas no conservativas.
3. Potencia.
1.- TRABAJO MECÁNICO.
El concepto de trabajo, al igual que vimos con el concepto de fuerza, en la vida diaria es
algo intuitivo que solemos asociar con una actividad que requiera esfuerzo, tanto físico como
intelectual. En Física, en cambio, el concepto de trabajo tiene un significado que no siempre
coincide con el del lenguaje común.
Para que digamos que se realiza trabajo deben producirse interacciones que produzcan
modificaciones en los cuerpos. Nosotros nos centraremos en el trabajo mecánico que se
produce cuando se aplica una fuerza y se produce un desplazamiento.
A.1. Indica si se está desarrollando trabajo en las siguientes actividades:
a) Empujamos fuertemente sobre una pared.
b) Levantamos un saco de cemento de 50 kg.
c) Un ventilador conectado a un enchufe comienza a girar.
d) Clavamos un clavo golpeándolo con un martillo.
A.2. Un albañil coge un saco de 10 kg de yeso del suelo y lo levanta cargándoselo a la espalda,
lo traslada hasta la obra que está a 10 m y una vez allí lo descarga y lo deja en el suelo. ¿En qué
caso realiza más trabajo, al levantarlo, al trasladarlo o al bajarlo?.
1.1. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE.
El trabajo de una fuerza constante cuyo punto de aplicación se mueve sobre una
trayectoria rectilínea es el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento:
 
W  F. r  F r  cos 

F
(I)

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El trabajo, por tanto, es una magnitud escalar cuya unidad en el S.I. se llama julio (en
honor del científico británico James Prescott Joule, primer investigador que descubrió el
equivalente mecánico del calor) y es el trabajo que realiza una fuerza de un newton cuando su
punto de aplicación se desplaza un metro en la dirección y sentido de la fuerza.
1J = 1N.1m
A.3. ¿Puede ser nulo el trabajo si se realiza fuerza y hay desplazamiento?.
A.4. ¿Puede ser positivo o negativo el trabajo que realiza una fuerza?.
A.5. Un caballo que tira de un carro con una fuerza de 2.500 N en una dirección que forma 60º
con la horizontal. Calcula el trabajo realizado cuando el carro ha recorrido 100 m.
A.6. Calcula el trabajo que se realiza al elevar un cuerpo de 2 kg de masa hasta una altura de 2
m, si:
a) Se eleva verticalmente.
b) Se eleva por un plano inclinado 30º (considera despreciable el rozamiento).
A.7. ¿Qué trabajo se realiza al sostener un cuerpo de 8 kg de masa a 1,5 m sobre el suelo durante
1 minuto?.
A.8. ¿Ahorran trabajo las palancas, las rampas o las poleas?.

Cuando sobre un cuerpo actúan varias fuerzas el trabajo resultante es la suma de los trabajos
realizados por cada una de las fuerzas y coincide con el trabajo realizado por la fuerza
resultante.
WT = W (R) = W (F1) + W (F2) + ...
A.9. Calcula el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 5 kg de
masa que desliza 3 m sobre un plano inclinado 30º, siendo 0,2 el coeficiente de rozamiento.
Comprueba si coincide con el trabajo realizado por la fuerza resultante.

Si observamos la expresión ( I ), vemos que aparece el producto F . cos  que es la
componente tangencial ( Ft ) de la fuerza que realiza el trabajo, con lo que si representamos
gráficamente ( figura 1) la fuerza tangencial frente a la posición ( x ), el trabajo coincide con
el área del rectángulo de la figura:
Ft
W  F  X
t
X0
Figura 1
X
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



Problema resuelto. Un cuerpo experimenta un desplazamiento  r  3 i  j  2 k



acción de la fuerza F  10 i  j  4 k


Solución: W  F . r ;
m bajo la


N . Determina el trabajo realizado en ese desplazamiento.





W  (10 i  j  4 k )(3 i  j  2 k )  23J .
1.2. TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE.
A veces la componente tangencial Ft de la fuerza no es constante a lo largo del
desplazamiento, bien por que varía la propia fuerza aplicada o porque varía el ángulo formado
por la fuerza y el desplazamiento. En estos casos también se realiza trabajo pero no se puede
calcular aplicando directamente la ecuación ( I ), por lo que hay que recurrir al cálculo integral o
a un método gráfico, que no siempre es fácil, ya que el trabajo coincide con el área encerrada
bajo la curva y con el eje de abcisas como se indica en la figura 2
Ft
F
W
W
X
X0
X
Figura 2
X(alargamiento)
X0
X
Figura 3
En la figura 3 se muestra, gráficamente, el trabajo realizado para conseguir un
alargamiento X en un muelle a partir de su posición de equilibrio X0. En este caso, aunque la
fuerza es variable, ya que depende del alargamiento ( F = k . x ), el método gráfico es sencillo
1
2
porque el área a calcular corresponde a la de un triángulo. W  k  X
2
2.- ENERGÍA
El concepto de energía también suele ser muy habitual en el lenguaje común. Se suele
decir que la realización de un trabajo supone un consumo de energía y se atribuye la propiedad
“energía” a los sistemas capaces de realizar un trabajo. Se puede, por tanto, decir que energía es
la capacidad que los cuerpos tienen para realizar transformaciones (realizar un trabajo) en
ellos mismos o en otros cuerpos.

La unidad de energía en el S.I. será, por tanto, la misma que la de trabajo, es decir, el julio.

Cuando un sistema realiza trabajo sobre otro, este último puede adquirir una capacidad para
realizar trabajo ( energía ) que antes no tenía, por ejemplo si levantamos un cuerpo una cierta
altura este adquiere una capacidad de realizar trabajo cuando nosotros lo soltemos.
A.10. Calcula el trabajo que debe hacer un hombre para elevar 5 m un cuerpo de 20 kg de masa.
Calcula ahora el trabajo realizado por la fuerza de gravedad al soltar el cuerpo y volver al suelo.
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
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Observamos en la actividad anterior que el trabajo que puede realizar el cuerpo al haberlo
elevado y, por tanto, la energía que ha adquirido coincide con el trabajo que el hombre
realizó sobre el mismo. Ejemplos como este nos llevan a establecer que la variación de
energía que experimenta un sistema es igual al trabajo realizado sobre él por las fuerzas
externas:
E  W
ext
Como indica esta ecuación el trabajo desde el exterior será positivo cuando aumente la
energía del sistema y negativo cuando produce una disminución de la energía del sistema.
En este segundo caso se dice también que es el sistema el que realiza el trabajo sobre el exterior.
W>0
W<0
E > Eo
E0
E < Eo
E0
A.11. Cuando realizamos una fuerza para comprimir un muelle, ¿qué signo tiene el trabajo que
realizamos?

A pesar de que a la energía suelen añadírsele diferentes calificativos, de hecho puede
hablarse únicamente de dos formas de energía: la energía de movimiento y la que un sistema
posee debido a la existencia de fuerzas propias del sistema (gravitatorias, electromagnéticas o
nucleares). Vamos a estudiar ahora algunos de estos tipos de energía.
2.1. ENERGÍA CINÉTICA
A.12. Sabemos que al lanzar un proyectil, éste puede realizar trabajo (por ejemplo perforar un
objeto). ¿A qué puede atribuirse esa capacidad ?.
De la experiencia cotidiana observamos que los cuerpos pueden realizar un trabajo al
adquirir una velocidad. Esta energía asociada al movimiento de un cuerpo recibe el nombre de
energía cinética, y la representaremos por Ec.
A.13. ¿De qué características del cuerpo en movimiento crees que dependerá su energía cinética?
Para deducir la expresión de la energía cinética consideraremos un cuerpo de masa m
sobre el que actúa una fuerza resultante F , constante, que va a desplazar al cuerpo una distancia
 X sobre una superficie horizontal sin rozamiento. ( figura 4)
Vo
V
F
F
Figura 4
X
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Por aplicación de la 2ª ley de Newton sabemos que el cuerpo adquiere una aceleración
constante, por lo que el cuerpo llevará un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y, por
tanto, aplicando las correspondientes ecuaciones del movimiento obtenemos:
V 2  Vo2  2  a  X 
X 
V 2  Vo2
2a
Calculando el trabajo que realiza la fuerza sobre el cuerpo obtenemos:
W  F  X  cos0º  F  X  m  a 
V 2  Vo2 1
1
  m  V 2   m  Vo2
2a
2
2
Como el trabajo realizado sobre el cuerpo sirve para incrementar su energía, y como en
este caso sólo se ha modificado la velocidad del cuerpo, la energía asociada a la misma se llama
energía cinética y su valor es:
Ec 
1
 m  V2
2
por tanto, la expresión del trabajo queda como:
Wext  Ec2  Ec1  Ec

Esta expresión es conocida como el teorema de las fuerzas vivas o teorema de la energía
cinética. Aunque no lo veremos, se puede demostrar que este teorema es completamente
general y no depende de la naturaleza de las fuerzas que actúan.
A.14. ¿Puede ser negativa la energía cinética de un cuerpo?. ¿Por qué?.
A.15. Un automóvil de 1.000 kg de masa circula a 90 km/h cuando acelera para realizar un
adelantamiento. Si el motor realiza un trabajo de 95.000 J, calcula la velocidad del automóvil
después del adelantamiento.
A.16. Un vehículo de 1.200 kg de masa circula a 72 km/h cuando frena uniformemente,
parándose cuando ha recorrido 30 m. Calcula la fuerza aplicada para detenerlo.
A.17. Desde la base de un plano inclinado 30º se lanza un cuerpo de 2 kg de masa hacia arriba
con una velocidad de 15 m/s. Calcula la velocidad que lleva el cuerpo después de recorrer 5 m
por el plano inclinado.
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Problema resuelto
Una fuerza constante de 15 N actúa durante 12 s sobre un cuerpo de 2,5 kg. que lleva una
velocidad de 1,5 m/s en el mismo sentido y dirección que la fuerza. Calcula la energía cinética
final.
Solución: Al la fuerza y el desplazamiento en la misma dirección, podemos resolverlo usando
únicamente los módulos de los vectores.
F  m.a; 15  2,5.a; a  6m / s 2 ;
1
1
r  v0 .t  a.t 2 : r  1,5.12  6.122 ; r  450m.
2
2
W  F .r. cos ; W  15.450.1  6750J .
1
W  EC 2  EC1; 6750  EC 2  2,5.1,5 2 ; EC 2  6752,8 J .
2
Problema resuelto
Un coche lleva una velocidad de 30 m/s. El coeficiente dinámico de rozamiento entre sus ruedas
y el suelo es de 0,5.¿Cuál es la distancia que recorre hasta pararse?
Solución:
WFuerzas externas  variación de la energia cinética.
W  EC ; El trabajo lo realiza la fuerza de rozamiento que tiene sentido contrario al
desplazamiento, por lo que el cos del ángulo (180º) es -1:
1
 0,5.m.0,8.r  0  m.30 2 ; r  91,8m.
2
2.2. ENERGÍA POTENCIAL.
A.18. ¿En qué caso puede realizar más trabajo un muelle, cuando está relajado o cuando está
comprimido?.

Podemos encontrarnos sistemas de partículas (cuerpos) que son capaces de realizar trabajo
independientemente de su estado de movimiento, por ejemplo un cuerpo que está a una cierta
altura, un tirachinas con las gomas tensionadas, un muelle comprimido, etc. En todos estos
casos los sistemas poseen una energía asociada a la posición de sus partículas que recibe
el nombre de energía potencial.
La energía potencial está asociada a las fuerzas que actúan entre las partículas de un
sistema, de modo que para modificar la posición de las partículas es necesario realizar un trabajo
en contra de ellas. Así, para comprimir un muelle hay que hacer un trabajo exterior venciendo las
fuerzas elásticas. Para elevar un cuerpo a una cierta altura hay que vencer las fuerzas
gravitatorias de atracción cuerpo-Tierra. Vamos a ver precisamente estos dos tipos importantes
de energía potencial: gravitatoria y elástica.
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2.2.1. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
La energía potencial gravitatoria es aquella que poseen los cuerpos por el hecho de
estar a una cierta altura sobre la superficie terrestre (u otro astro).
Vamos a considerar el cuerpo de masa m
que inicialmente está a una altura ho y que
elevamos hasta una altura h, mediante una
fuerza F, (igual que el peso) luego no hay
aceleración y no cambia la velocidad.
F=P
h
Por lo tanto, la energía cinética no varía No
consideramos el rozamiento con el aire.
El trabajo realizado sobre el sistema será :
 
W  F  r ; F  mg; r  h  h0 .
ho


W  m g j .(h  h0 ) j  m g(h  h0 )  m gh m gh0 .
Figura 5
Como el trabajo realizado sobre el cuerpo sirve para incrementar su energía, y como en
este caso sólo se ha modificado la altura del cuerpo, la energía asociada a la misma se llama
energía potencial y su valor es:
E  mgh
p
Por tanto, el trabajo realizado ha producido una variación en la energía potencial del
cuerpo:
Wext  E p  E p  E p
o
Consideraciones importantes:
- Se habla de energía potencial gravitatoria de un cuerpo cuando en realidad se debería
decir energía potencial gravitatoria del sistema Tierra-cuerpo, ya que si la Tierra no
ejerciese una atracción sobre el cuerpo, éste no tendría por sí mismo energía potencial.
Pero al sobreentenderse este hecho se omite mencionar la Tierra.
- En la fórmula de la energía potencial, h representa en realidad la distancia entre la Tierra
y el cuerpo (el radio de la Tierra más la altura), por lo que un cuerpo tiene energía
potencial 0 en el centro de la Tierra. Sin embargo, si trasladamos el cero de la energía
potencial de un cuerpo (Ep = 0) a la superficie terrestre, entonces h representa la altura.
- La fórmula Ep = m . g . h sólo es válida si nos movemos en alturas sobre la superficie
terrestre que no supongan una variación apreciable en el valor de g (valor que, como
vimos en el tema de dinámica, disminuye con la altura), debiendo en caso contrario
calcularse la energía potencial a partir de la expresión de la ley de Gravitación Universal
de Newton.
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A.19. ¿Puede ser negativa la energía potencial de un cuerpo?. ¿Qué significado tiene?.
A.20. Un cuerpo de 10 kg de masa se encuentra sobre una mesa de 1 m de altura en una
habitación que tiene una altura de 10 m sobre la calle. Calcula:
a) Ep del cuerpo respecto de la calle y del suelo de la habitación.
b) Si el cuerpo cae de la mesa al suelo de la habitación, calcula la variación de su energía
potencial respecto a la calle y a la habitación.

Hemos visto la variación de energía que se produce debido al trabajo realizado desde
exterior, pero es conveniente también analizar qué ocurre si las únicas fuerzas que actúan
son las propias del sistema Tierra-cuerpo (fuerzas interiores).
Si el cuerpo de la figura 5 lo dejamos libre cuando está en la altura h , de modo que la única
fuerza que actúe sea la gravitatoria, es decir, el peso, entonces el trabajo que realizará será:


W  P r ;

P  m g;
r  h  h0 ;

W  m g( j ).(h  h0 )( j )  m g(h  h0 ); mgh mgh0 .
Como el objeto pasa de h hasta h0,
EP  EPfinal  EPinicial  mgh0  mgh
que significa que el trabajo realizado por el peso el igual que la variación de la energía potencial
cambiada de signo.
Wint   E p
El trabajo realizado por las fuerzas interiores se efectúa a expensas de la energía potencial
que poseía el sistema.
Vemos, por tanto, que los sistemas abandonados a las fuerzas propias del sistema
evolucionan siempre de modo que su energía potencial disminuya.
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Problema resuelto,
Calcula el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria:
a) Al elevar un cuerpo de 5 kg a 3 m de altura.
b) Al bajarlo hasta el suelo
c) ¿Cuál es el trabajo total?
Solución:







a)
W  Fg  r  3.9,8( j ).3 j  147J ;
b)
W  Fg  r  3.9,8( j ).3( j )  147J ;

c) WTOTAL  WSUBIDA  WBAJADA  0.
A.21. Un cuerpo situado a 2 m de la superficie, ¿dónde tendrá más energía potencial gravitatoria,
en la Tierra o en la Luna?.
2.2.2. ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA.
Vamos a analizar ahora el caso de un muelle que se comprime.
Supondremos la situación inicial cuando el muelle está comprimido X1 y
que le aplicamos una fuerza igual y de sentido contrario a la fuerza de
recuperación elástica que es, según la ley de Hooke, F = k . x hasta
conseguir una compresión X2. En este caso, como la fuerza no es
constante calculamos el trabajo gráficamente ya que coincide con el área
del trapecio señalado en la figura, con lo que tendremos:
En este caso el trabajo también se ha invertido en aumentar la energía potencial elástica:
W
 E
ext
p
siendo
E
p

1
2
 k  x 22  k  x12
2
3
En estos dos casos que hemos visto de fuerzas gravitatorias y elásticas hemos observado
que el trabajo que se ha realizado para vencerlas lo acumula el sistema en forma de energía
potencial que luego puede recuperarse nuevamente en forma de trabajo. Las fuerzas que poseen
esta característica se denominan fuerzas conservativas, y tienen asociada una energía potencial
propia del sistema.
Si el muelle se le dejara libre, la fuerza recuperadora realizaría un trabajo tal que se
cumpliría:
Wint   E p
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2.2.3. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUERZAS CONSERVATIVAS.
El hecho de que la energía mecánica del sistema se conserve bajo la acción de una fuerza
conservativa es realmente una consecuencia de las características de esa fuerza.
Veamos cuáles son algunas de esas características que tienen
las fuerzas conservativas. Consideremos para ello los ejemplos que se
ilustran en las figuras: desde una misma altura h , una misma bola de
masa m es, en primer lugar, lanzada horizontalmente; luego se la deja
caer por un plano inclinado, y, por último, es dejada caer libremente.
En el primer caso, la trayectoria descrita es una semiparábola; en el
segundo, una recta con inclinación, y en el tercero, una recta vertical.
Supongamos que no hay fricción en ninguna de estas situaciones.
¿Cuál es el trabajo que ha realizado en cada ocasión la fuerza
gravitacional sobre el cuerpo al llevarlo desde la misma altura h hasta
el suelo?
• Caso a. Sean, por ejemplo, x a , h  las coordenadas del punto de lanzamiento y x b , h  las del
punto de aterrizaje en el suelo. La fuerza actuante es, en todo caso, la fuerza gravitacional que
incide sobre el objeto (su peso, dirigido verticalmente hacia abajo). Por tanto, el peso y el
desplazamiento no coinciden en dirección durante el movimiento. Deberemos aplicar la
definición de trabajo como producto escalar para evaluarlo:


Fuerza actuante: F  m.g j



Desplazamiento:  r  ( x b  x a ) i  (0  h ) j
Por tanto, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional será:







W  F . r  m.g j ( x b  x a ) i  (0  h ) j   m.g(h )  m.g.h


Así pues, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional mientras el cuerpo cae describiendo una
semiparábola vale m.g.h
• Caso b. En esta ocasión, la fuerza que realiza el trabajo es la componente del peso en la
dirección del plano inclinado (m.g.sen) , y su dirección coincide con el desplazamiento (cuyo
valor es la longitud l del plano). Así pues, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional cuando
el cuerpo desciende por el plano inclinado vale:
W  m.g.sen.l
Pero como l.sen  es justamente h , entonces el trabajo viene a valer lo
W  m.g.h
mismo que en el caso a:


• Caso c. La fuerza que actúa es  m.g. j y el desplazamiento es (0  h ) j ,
por lo que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional cuando el cuerpo
cae en caída libre es también:
W  m.g.(h)  m.g.h
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En conclusión, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional cuando un cuerpo cae
desde una altura h hasta el suelo es independiente de la trayectoria seguida en la caída y sólo
depende de la posición inicial (altura a la que se encuentre) y de la final (suelo, elegido como
h  0 ).
Pues bien, esta es justamente una de esas características que tienen las llamadas fuerzas
conservativas:
El trabajo realizado por las fuerzas conservativas solo depende de la posición inicial y
final del cuerpo y es independiente de la trayectoria seguida para pasar de un punto a otro.
Además, dicho trabajo equivale a la variación negativa de la energía potencial:
W  E P
De lo anterior se deriva otra importante propiedad de las fuerzas conservativas: si la
posición final coincide con la inicial después de haber seguido una trayectoria cíclica o de «ida y
vuelta», entonces el trabajo realizado por ellas a lo largo de toda la trayectoria es cero.
El trabajo realizado por las fuerzas conservativas a lo largo de una trayectoria cíclica
o de ida y vuelta es nulo.
B
Pues bien, fuerzas como la gravitacional, la elástica y
electrostática, son conservativas.
3
A
Problema resuelto. Calcula el trabajo realizado por la fuerza


F  15 j N al trasladar una partícula desde el punto O (0,0)
al A (3,3) pasando por :
a) El punto B.
b) El punto C.
2
1
O
C
1
2
3
c) Directamente desde O hasta A .
Solución:
















a) WTOTAL  WOB  WBA  F  r OB  F  r BA  15 j .3 j  15 j .3 i  45J .
b) WTOTAL  WOC  WCA  F  r OC  F  r CA  15 j .3 i  15 j .3 j  45J .





c) WTOTAL  WOA  F  r OA  15 j .(3 i  3 j )  45J


El trabajo realizado por F es el mismo a lo largo de las tres trayectorias, luego F es una fuerza
conservativa.
pág. 11
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2.3. ENERGÍA MECÁNICA. CONSERVACIÓN.
Una consecuencia importante de lo que hemos visto hasta ahora es que los diferentes
tipos de energía estudiados pueden ser convertidos íntegramente en trabajo mecánico, siendo
precisamente la energía mecánica total la energía de un cuerpo que puede transformarse en
trabajo y, por tanto, será la suma de la energía cinética y las diferentes potenciales que posea
el cuerpo ( gravitatoria, elástica,...).
Teorema de conservación de la energía mecánica:
Hemos visto la transformación que se produce cuando modificamos la posición de un
cuerpo en contra de las fuerzas gravitatorias y elásticas, así como cuando modificamos la
velocidad, estableciendo que el trabajo exterior suponía una variación de la energía potencial o
cinética del cuerpo, respectivamente.
Si suponemos que sobre un cuerpo realizamos un trabajo de modo que se modifique su
velocidad y a la vez su posición, entonces tendremos que:
Wext  E c  E p
 Si consideramos un sistema aislado (no actúa ninguna fuerza exterior sobre él), entonces:
W
0
ext
 0  E  E
c
p
Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2
;
,
0 = ( Ec2 – Ec1) + ( Ep2 – Ep1)
es decir:
Em1 = Em2
lo que constituye el teorema de conservación de la energía mecánica: “ En un sistema aislado la
energía mecánica del sistema permanece constante”.
En un sistema aislado, por tanto, la energía puede transformarse de unas formas a otras
(por ejemplo de cinética a potencial o viceversa) pero la energía total permanecerá constante.
Problema resuelto.
Desde lo alto de un plano inclinado de 2 m de longitud y 30º de inclinación se deja resbalar un
cuerpo de 500 g de masa al que se le imprime una velocidad inicial de 1 m/s. Suponiendo nulo
el rozamiento, calcular la velocidad con que llega al suelo.
Solución:
Al no haber rozamiento se conserva la energía mecánica:
La altura donde esta inicialmente el cuerpo es h1  l.sen30  0,5.2  1 m.
La altura final será h2  0.
1
1
Em (1)  Em (2); mgh1  mv12  mgh 2  mv 22
2
2
0,5.9,8.1 
1
1
0,5.0  0,5.0,9.0  0,5.v 22 ; v 2  4,43m / s.
2
2
pág. 12
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Se puede resolver de esta otra forma:
WREALIZADO  EC ; La fuerza que le hace bajar es la componente del peso paralela al plano:
PX  mgsen  0,5.9,8.0,5  2,45N ; El desplazamiento r  2m. y el ángulo que forman es 0º:


F . r  2,45.2. cos0º  4,9 J ; Como W  EC 2  EC1 ;
4,9 
1
1
0,5.v 22  0,5.v12 . v 2  4,43m / s.
2
2
A.22. Un cuerpo de 2 kg está a una altura de 20 m sobre el suelo y se deja caer. Calcula la E p ,
Ec y Em en cada uno de los siguientes puntos:
a) En la posición inicial
b) Cuando se encuentra a 5 m del suelo
c) Al llegar al suelo
d) Si el cuerpo es elástico y rebota, calcula hasta que altura subirá si pierde una energía de
100 julios debido al choque.
Problema resuelto.
Un cuerpo de 500 g lleva una velocidad de 5 m/s cuando choca
contra un muelle de K=300 N/m. Calcular la deformación que se
produce en el muelle.
Solución:
La Ec del cuerpo se transforma en energía potencial elástica del muelle, conservándose la
energía total del sistema:
Ec1  Ep1  Ec 2  Ep 2 ;
1
1
1
1
0,5.5 5  300 .0 2  .0,5.0 2  300 .x 2 ; x  0,20 m  20cm.
2
2
2
2
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2.4.- FUERZAS NO CONSERVATIVAS.
En los sistemas físicos reales no solo participan fuerzas conservativas; por el contrario, lo
habitual es que existan también fuerzas no conservativas o disipativas, como pueden ser las de
fricción, las musculares, etc. Un ejemplo típico lo constituye la caída de un objeto: aquí, además
de la fuerza gravitacional (conservativa), actúa la fricción con el aire (disipativa).
En estos casos, el trabajo total es la suma de los trabajos efectuados por ambos tipos de
fuerzas:
W  Wconservativas  Wnoconservativas
El trabajo total, en cualquier caso, producirá variación de energía cinética. Además, el
trabajo efectuado por las fuerzas conservativas equivale a la variación negativa de energía
potencial. Así pues:
E C  E P  Wno conservativas
Es decir, el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la
energía mecánica del sistema.
Wno conservativas  (E C  E P )
El trabajo realizado por las fuerzas disipativas, como la fricción, es negativo, por lo que produce
siempre una disminución de la energía mecánica del sistema. Así pues:
Las fuerzas no conservativas realizan un trabajo que se emplea en disminuir o disipar la
energía mecánica del sistema.
El trabajo efectuado por la fricción, por ejemplo, hace que parte de la energía mecánica
del sistema se disipe en forma de calor (Q).
Problema resuelto.
Desde lo alto de un plano inclinado de 2 m de longitud y 30º de
inclinación se deja resbalar un cuerpo de 500 g de masa al que se le
imprime una velocidad inicial de 1 m/s. Si el coeficiente de rozamiento
con el plano es 0,2, calcular la velocidad con que llega al suelo.
Solución:
La altura inicial es: h1  l.sen30  0,5.2  1 m.
Al existir rozamiento no se conserva la energía. Debido a la fricción la Em (final) es menor que
la Em (inicial). Parte de la Em (inicial) se transforma en calor.
WRozamiento  Em( final)  Em(inicial);
1
1
  .m.g . cos .l  ( m v2f  m.g.h f )  ( m v02  m.g.h0 );
2
2
1
1
 0,2.0,5.9,8.0,866.2  ( 0,5.v 2f  0,5.9,8.0)  ( 0,5.12  0,5.9,8.1); v f  3,7m / s.
2
2
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Trabajo y Energía
3. POTENCIA
A.23. Una grúa levanta un conjunto de 20 sacos de cemento de 50 kg cada uno hasta un 5º piso,
a una altura de 15 m, durante 20 segundos. La grúa de la obra de enfrente hace lo mismo en
medio minuto. ¿Qué máquina desarrolla más trabajo?. ¿Cuál crees que es más eficaz?
En muchos sistemas capaces de desarrollar un trabajo, como ocurre con muchas
máquinas, no sólo es importante el trabajo que desarrollan, sino también la rapidez con que lo
efectúan, por lo que es conveniente definir una nueva magnitud que llamamos Potencia y que es
el trabajo que desarrolla en la unidad de tiempo.
P
W
t
A.24. Define la unidad de potencia en el sistema internacional.
Si al desarrollar el trabajo éste no se realiza de manera uniforme, podemos hablar de
potencia media ( Pm ) o bien de potencia instantánea ( P ):
W
Pm 
t

P
dW
dt
La unidad de potencia se denomina vatio (W) en honor del ingeniero escocés James Watt
(1736-1819). Con frecuencia se suelen utilizar múltiplos del vatio como son el kilovatio
(kW) y el megavatio (MW), y también el caballo de vapor (CV) unidad que equivale a
735,5 vatios.
A.25. Calcula la potencia desarrollada por las máquinas de la actividad 22.
A.26. Calcula el tiempo empleado en llenar un depósito de 20 m3 de capacidad situado a una
altura media de 15 m , si se emplea un motor de 10 CV.

Un caso interesante y sencillo en el cálculo de la potencia es cuando actúa una sola fuerza.
Por ejemplo la potencia que desarrolla el motor de un automóvil para mantener a éste con
velocidad constante venciendo la fuerza de rozamiento. Como realiza una fuerza constante
contraria a la de rozamiento, desarrollará la siguiente potencia:
P
W F  r  cos 0º
r

 F
 F v
t
t
t
P=F.v
Esta expresión es muy útil en algunas aplicaciones, pudiendo observar que la potencia
depende de la rapidez del movimiento, o a la inversa, de ahí que cada vehículo tenga una
velocidad límite en función de la potencia que puede desarrollar.
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Trabajo y Energía
Problema resuelto.
Durante un día, la energía solar incide sobre una casa a razón de 400 W/m2 durante 8 h.¿Cuánta
energía es captada por un ventanal de 5 m2? Expresa el resultado en Kwh.
Solución:
w
Energía
.5m 2  2000w; P 
; Energía  P.t ; Energía  2000w.28800s  5,76.107 J ;
2
tiem po
m
1Kwh
5,76.107 J .
 16Kwh.
3,6.106 J
P  400
A.27. Calcula la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento de un vehículo que alcanza
una velocidad de 100 km/h cuando desarrolla una potencia de 30 CV.
A.28. A la vista de la definición de potencia, ¿de qué magnitud será unidad el kilovatio-hora (
kWh)?. ¿Cuál es su equivalencia en unidades del S.I.?
A.29. Calcula la potencia que debe desarrollar un ciclista para subir una rampa del 12 % con una
velocidad constante de 12 km/h , si la masa del ciclista más la bicicleta es de 80 kg y el
coeficiente de rozamiento es 0,1.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
1.- Calcula la fuerza de rozamiento que actúa entre un cuerpo de 10 kg de masa y el suelo, si al
lanzarlo con una velocidad de 10 m/s , se detiene tras recorrer 5 m.
Sol: 100 N
2.- Un cuerpo de 200 g de masa está sujeto a un muelle y apoyado sobre un plano horizontal.
Separamos el conjunto 10 cm de su posición de equilibrio y lo soltamos. Sabiendo que la
constante elástica del muelle es 2000 N/m, calcula:
a) Velocidad del cuerpo cuando pase por la posición de equilibrio.
b) Velocidad del cuerpo cuando se encuentre a 5 cm de la posición de equilibrio.
Sol: a) 10 m/s ; b) 8,6 m/s
3.- Una pistola de juguete tiene un muelle de 200N/m de constante. Para cargarla con una bola de
10 g se comprime el muelle 5 cm. Calcula la velocidad con que la bola sale de la pistola.
Sol: 7,07 m/s
4.- Un cuerpo de 4 kg de masa se mueve hacia arriba por un plano inclinado20º. Sobre el cuerpo
actúan, además del peso, las siguientes fuerzas: una horizontal de 80 N, una paralela al plano de
100 N en el sentido del movimiento y la de rozamiento de 10 N. Calcula el trabajo de cada
fuerza, así como el trabajo resultante.
Sol: Wp= -268,14 J ; W1= 1503,5 J ; W2= 2000 J ; WFr = -200 J ; Wtotal = 3035,35 J
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Trabajo y Energía
5.- Un vehículo de 1000 kg de masa está subiendo una cuesta de 10º de inclinación con una
velocidad de 72 km/h. Cuando faltan 100 m para llegar a la cumbre se le acaba la gasolina.
Determina la velocidad con que llegará al final de la cuesta (si es que llega):
a) Considerando despreciable los rozamientos
b) Suponiendo un coeficiente de rozamiento de 0,2
Sol: a) 7,26 m/s ; b) No llega
6.- Un muelle cuya constante es 500 N/m es comprimido 20 cm por una masa de 2 kg.A
continuación se deja libre el muelle. Suponiendo que no existe rozamiento, calcula:
a) La velocidad con que la masa se separa del muelle
b) La altura que alcanza el cuerpo si tras abandonar el muelle asciende por un plano inclinado
45º. Sol: a) 3,16 m/s ; b) 0,5 m
7.- Una pelota de 30 g es capaz de rebotar hasta una altura que es el 90 % de la altura inicial.
¿Cuánta energía pierde cuando la pelota rebota dos veces si se suelta desde 3 m de altura?.
Sol: 0,167 J
8.- ¿Desde qué altura del plano inclinado hay que dejar caer un cuerpo para que al llegar al final
del plano pueda describir un “ rizo”?. (Supón que no hay rozamientos)
R
Sol : h 
5
R
2
h
9.- Un cuerpo desciende 2 m por un plano inclinado 30º y coeficiente de rozamiento 0,2, después
entra en una superficie horizontal de idéntico rozamiento. Calcula : a) velocidad del cuerpo al
final del plano y b) distancia que recorre sobre el plano horizontal hasta pararse.
Sol: a) 3,6 m/s ; b) 3,3 m
10.- La duración del programa de un lavavajillas es 50 minutos. Si la potencia del lavavajillas es
2.500 w y el coste del kilovatio-hora es 13 ptas más IVA(16%), calcula el coste de la ejecución
del programa entero.
Sol: 31,41 ptas
11.-Una piedra de 200 g se deja caer desde una ventana situada 10 m sobre el suelo, llegando al
suelo con una velocidad de 10 m/s. Calcula la energía disipada por rozamiento y la fuerza media
que el aire ha opuesto a la caída de la piedra.
Sol: 9,6 J ; 0,96 N
12.- Un péndulo simple está constituido por una masa m que cuelga de una cuerda de masa
despreciable y de 1 m de longitud. Si desplazamos lateralmente dicha masa de modo que la
cuerda forme un ángulo de 30º con la vertical, y la dejamos en libertad, ¿con qué velocidad
pasará por el punto más bajo (posición inicial)?.
Sol: 1,6 m/s
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