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UNIVERSIDAD DEL VALLE
Departamento de Matemáticas
Profesor: José R. Quintero
Problemas Sucesiones y Series - Cálculo II
I.- Determine la convergencia de cada una de las sucesiones dadas calculado el lı́mite,
si existe. En los ejercicios (3, 4, 5) encuentre el término n-simo an . Diga cuales son
crecientes o decrecientes.
1 1 1
1) 1, −1, −1, 1, −1, −1, 1, ....
2) − 1, 32 , − 35 , 74 , − 59 , .....
3) 1, − 21 , −
, , , − 16 , − 17 , .....
3 4 5
√
3 2
+2n+3
4) 1, 1−1 1 , 1−1 2 , 2−1 1 , 3−1 1 , 4−1 1 ... 5) 1, 1−1 1 , 1−1 2 , 1−1 3 , 1−1 4 , ... 6) an = √4nn3 +2n
2 +3
2
3
2
3
4
2
3
4
5
1
n
cos(nπ)
1
7) bn = ( n+1
) n2
8) an = 2n+1
9) bn = n+1
n+2
n2
3
ln(2n2 +1)
2 n
n2 +1
10) an =
11)
a
=
(1
+
)
12)
b
=
.
n
n
n4
n2
n2 +2
II.- Considere las siguientes sucesiones definidas de forma recursiva. Encuentre los primeros
10 términos. Si es posible determine el lı́mite. Muestre que las sucesiones son monótonas.
Suponga la convergencia de cada una de las sucesiones y calcule el lı́mite.
√
an
bn
1
1) a1 = 1, an+1 = 1 + . 2) b1 = 2, bn+1 =
+ . 3) u1 = 3, u2n+1 = un + 3.
2
2
bn
III.- Diga cuales de las series dadas son convergentes, explicando la razón.
n P
(1) n=0 31n + −53 P
n
(2) n=0 41n − 58 P
(3) n=1 n12 + 21
n3 P
1
(4) n=1 4 + 23
n5
n 2
P
(5) n=1 n43 − 45n
P
1
n2 +1
(6) n=1 n4/3
− 3n
2 +5
n
P
(7) n=1 1 + n12
IV.- Verifique las igualdades indicadas.
n 43
P
.
(1) n=0 41n + −52 = 21
P
1
3 n
9
(2) n=0 2n + 5
=2
P
1
(3) n=1 (n+2)(n+3) = 1
P
(4) n=1 n22n+1
=1
(n+1)2
P
1
1
1
√
(5) n=1 √
−
= √
5
5
5
2n+1
2n+3
3
V.- Determinar la convergencia de las series dadas utilizando el criterio de comparación
por paso al lı́mite. En los ejercicios (7, 8, 9) utilice el criterio de la integral.
P
n
(1) n=1 √
3
4n7 +1
P
3n2 +1
(2) n=1 √
3
4n8 +1
1
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(2n3 +5n−1)2
2
4
√ (4n +1)
P
3 +5n−1
2n
√
3
n=1
4n2 +1
P
arctan(n)
√
n=1 n n+2
P
sin2 (n)
√
n=1 n2 +2
P
−n2
Pn=1 ne
1
3
Pn=3 n ln(n)[ln(ln(n))]
1
n=3 n ln(n)[ln(ln(n))]1/4
P
n=1
1
3n
n2 +1
ln(2n+1)
4n
n3 +2n2 +1
3n
(n3 +1) ln(3n+1)
5n
(n3 +1)
5n (n+1)3
1
4n +3n
n+3n
2n+4n
n+3n
n=1 n+2n
P
Pn=1
Pn=1
Pn=1
Pn=1
Pn=1
Pn=1
Pn=1
VI.- Determinar la convergencia de las series dadas utilizando el criterio del cociente o el
criterio de la raı́z (o ambos).
P
n
(1) n=1 (450)
n!
P
n
(2) n=1 3nnn!
P
√
(3) n=1 ln(2n+1)
n+2
P
√
(4) n=1 ln(3n+1)
n n+2
P
n3 ln(3n+1)
(5) n=1
4n
1
P
3n
(6) n=1 n2 +1
P
(7) n=1 ln(2n+1)
4n
P
n4 +1
(8) n=1 3n
P
3
ln(n)
(9) n=1 (n +1)
5n
P
3 +1)
(10) n=1 4n(n(n+1)
3
P
1
(11) n=1 4n +3n
P
3n
(12) n=1 2n+4
n
P
4n
(13) n=1 n+3n
VII.- Determinar si las series alternantes dadas convergen o divergen.
P
(1) n=1 (−1)n+1 n!2
P
√
(2) n=1 (−1)n+1 ln(n)
n
2
P
n+1 ln(n)
n=1 (−1)
n2 +1
P
n+1 n2
(−1) n3 +1
Pn=1
(−1)n+1 3nn
Pn=1
n!
(−1)n+1 (2n)!
Pn=1
1
(−1)n+1 √
nn
Pn=1
2 +1
(8) n=2 (−1)n+1 nln(n)
P
2
(9) n=2 (−1)n+1 n e+1
n
P
n+1 3n
(10) n=1 (−1)
n!
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
VIII.- Determinar si las series dadas convergen absolutamente, convergen condicionalmente o divergen.
P
n
(1) n=1 (−1)n+1 2n!
P
n
(2) n=1 (−450)
n!
P
n
(3) n=1 3nnn!
P
√
(4) n=1 ln(2n+1)
n+2
P
√
(5) n=1 ln(3n+1)
n n+2
P
n3 ln(3n+1)
(6) n=1
4n
1
P
n
(7) n=1 n32 +1
P
(8) n=1 ln(2n+1)
4n
P
4
(9) n=1 n3+1
n
P
(n3 +1) ln(n)
(10) n=1
5n
P
1
(11) n=1 (−1)n+1 2n +3n+1
P
3n
(12) n=1 (−1)n+1 2n+4
n
P
n+1 ln(n)
√
(13) n=1 (−1)
n
P
ln(n)
n+1
(14) n=1 (−1) n2 +1
P
3 +2
(15) n=1 (−1)n+1 nn4 +1
P
(16) n=1 (−1)n+1 3nn
P
1
(17) n=1 (−1)n+1 √
nn
P
2 +1
(18) n=2 (−1)n+1 nln(n)
P
2
(19) n=2 (−1)n+1 n e+1
n
P
n+1 3n
(20) n=1 (−1)
n!
IX.- Determine los valores de x, y, z para los cuales las series dada son absolutamente
convergentes.
P
n
(1) n=1 4 n(x−2)
3 +1
P
(n3 +1) ln(n)(2y−3)
(2) n=1
5n
3
P
n (3z+4)
(3) n=1 3 2n+4
n
X.- Determine el radio y el intervalo de convergencia de la series de potencias dadas.
Analice la convergencia en los extremos del intervalo de convergencia.
P
5n xn
(1) n=1 3n
4 +1
P
(2n)!xn
(2) n=1 n3 +1
P
n
n
(3) n=1 3 (x−1)
n!
P
(x−3)n
(4) n=1 (3n
2 +1)3n
P
(n3 +1) ln(n)(x+1)n
(5) n=1
4n
P
2n (x−2)n
(6) n=1 2+3n
P
2
n
(7) n=2 (−1)n+1 (n +1)(x+5)
ln(n)
P
n
√
(8) n=1 (x+3)
nn
P
3
n
(9) n=2 (3n +1)(x−3)
ln(n)
P
2
n
(10) n=2 (n +1)(x+4)
en
XI.- Encuentre la representación en series de potencia para f (x) y determine el radio de
convergencia de la serie. Los problemas están relacionados con la serie geométrica
∞
X
1
g(x) =
=
xn ,
1 − x n=0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
|x| < 1.
1
f (x) = 1−2x
1
f (x) = 1+3x
f (x) = ln(1 + x)
1
f (x) = (5−2x)
1
f (x) = (1+2x)
2
1
f (x) = 1−4x2
x
f (x) = (1+4x)
2
3
x
(8) f (x) = 2−x
3
x2
(9) f (x) = 1−x
4
(10) f (x) = arctan(x)
Rx
(11) f (x) = R0 ln(1 − y) dy
x
(12) f (x) = 0 arctan(z) dz
XII.- Utilice series de potencias alrededor de cero para resolver las siguientes ecuaciones
diferenciales.
(1) g 0 (x) − 2g(x) = e2x .
Rta: g(x) = xe2x con g(0) = 0.
(2) h00 (x) − 9h(x) = 2e3x + 12xe3x .
Rta: h(x) = x2 e3x con h(0) = h0 (0) = 0.
00
(3) k (x) + 4k(x) = −4 sin(2x).
Rta: k(x) = x cos(2x) con k(0) = 0, k 0 (0) = 1.
(4) l00 (x) + 9l(x) = 12x cos(3x) + 2 sin(3x). Rta: l(x) = x2 cos(3x); l(0) = l0 (0) = 0.
4
2
2
(5) f 00 (x) − 4x2 f (x) = 2ex .
Rta: f (x) = ex ; f (0) = 1, f 0 (0) = 0.
XIII.- Utilice series de Taylor para obtener una aproximación de la integral definida
tomando los tres primeros términos de la serie asociada con el integrando.
√
R1
(1) 0 t2 cos( 2t) dt.
R1
2
(2) 0 (z + 1)e−z , dz.
√
R1√
(3) 0 t sin( t) dt.
√
R1
(4) 04 w ln(1 + 2w) dw.
5