UNIVERSIDAD DEL VALLE Departamento de Matemáticas Primer Parcial Cálculo II José R. Quintero, Humberto Mora, Dora Salazar. Nombre: Código: GRUPO: Abril 11 de 2007 Nota 1: No se permite el uso de ningún material bibliográfico en la solución, ni de calculadora. Nota 2: Responder cada problema en el espacio correspondiente I. Z 20√pts. Calcule cos x √ dx x Z sec3 (x) tan3 (x) dx Z x4 ln(x) dx Z x2 dx x6 + 25 1 2 II. 6 pts. (1) La posición de una partı́cula está dada por la fórmula Z 2x 1 + sin t f (x) = 3 + dt. 2 + t2 0 Encuentre la velocidad de la partı́cula cuando x = π/2. (2) Suponga que P satisface la ecuación diferencial √ dP =k t dt Encuentre P en términos de k y t. Si P (0) = 500 y P (1) = 600. Calcule P (7). 3 III. 15 pts. Considere la regón R limitada por las gráficas de las funciones f (x) = x2 y g(x) = 2 − x2 . (1) Dibuje la región R y calcule su área. (2) Calcule el volumen del sólido resultante cuando la región R gira en torno a la recta x = 1. (3) Calcule el volumen del sólido resultante cuando la región R gira en torno al eje x. 4 IV. 10 pts. (1) Calcule la longitud de la curva y 2 = x3 desde el punto P (0, 0) hasta el punto Q(1, 1). (2) Calcule el área de la superficie que se obtiene cuando la curva x4 1 y= + 2 4 8x gira en torno al eje x para x en [1, 2].